ЛЕКЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ

ЛЕКЦИЯ
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Экстремумы функции (локальные).
Минимумы и максимумы функции – это точки, где она локально (т.е. вблизи данной точки, а не
на всей области определения) принимает наибольшее и наименьшее значение.
х = 1 и х = 4 – локальные минимумы, х = 3 – локальный максимум.
Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Теорема. Если х0 – точка локального экстремума дифференцируемой функции
f x  , то
f x0   0 .
Значит, точки экстремума дифференцируемой функции нужно искать только среди корней
уравнения f x0   0 , но не всегда корень этого уравнения является точкой экстремума. Точки, в
которых производная функции равна нулю, называются стационарными.
Теорема. Пусть функция f x  дифференцируема на интервале a; b , x0  a; b  , и f x0   0 .
Тогда: 1) если при переходе через стационарную точку х0 функции f x  ее производная меняет знак с
"плюса" на "минус", т.е.
f x0   0 слева от точки х0 и
f x0   0 справа от точки х0, то х0 – точка
максимума функции f x  ; 2) если при переходе через стационарную точку х0 функции f x  ее
производная меняет знак с "минуса" на "плюс", то х0 – точка минимума функции f x  ; 3) если при
переходе через стационарную точку х0 функции f x  ее производная сохраняет свой знак, то в точке х0
нет локального экстремума.
Пример. Найти точки экстремума функции f x   x 4  4x 3 .
Решение: Найдем производную функции: f x   4 x 3  12 x 2 . Найдем стационарные точки:
4 x 2 x  3  0 , x1  0, x2  3 . Методом интервалов устанавливаем, что производная f x   0 при
x  3 , f x   0 при x  0 и при 0  x  3 . Так как при переходе через точку x1  0 знак производной не
меняется, то эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку x2  3 производная
меняет знак с "-" на "+", поэтому x2  3 - точка минимума.
Возрастание и убывание функций.
Функция y = f(x) называется возрастающей на промежутке, если для любых двух значений x1 и
x2 из этого промежутка таких, что х1 < х2 выполняется неравенство f(x1) < f(x2). Иными словами,
большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y = f(x) называется убывающей на промежутке, если для любых двух значений x1 и x2
из этого промежутка таких, что х1 < х2 выполняется неравенство f(x1) > f(x2). Иными словами, большему
значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Функция y = f(x) может возрастать на одних промежутках своей области определения и убывать
на других. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых
функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности. При этом определение промежутков
возрастания и убывания функции называют исследованием функции на монотонность.
С помощью производной можно находить промежутки возрастания и убывания функции.
Теорема. Пусть функция
f x  непрерывна на отрезке a; b и дифференцируема на интервале a; b .
Тогда если f x   0 для всех x  a; b , то функция f x  возрастает на отрезке a; b , а если f x   0 ,
то функция f x  убывает на отрезке a; b .
Пример. Найдем промежутки монотонности функции f x   x 3  6 x 2  9 x  1 .
Решение: Находим стационарные точки, решая уравнение f x   0 : 3x 2  12 x  9  0 ; x1  1, x2  3 .
Методом интервалов устанавливаем, что производная f x   0 при x  1 и при x  3 , f x   0 при
1  x  3.
Значит, функция f x  возрастает на каждом из промежутков  ;1 и 3; , а убывает на отрезке 1;3.
Также можно заметить, что в точке x1  1 функция f x  имеет локальный максимум, а в точке x2  3 локальный минимум.
Выпуклость функции. Точки перегиба.
Говорят, что функция f x  выпукла вверх (выпукла) на интервале a; b , если график этой
функции на интервале a; b расположен ниже любой касательной к графику функции на интервале
a; b .
Функция выпукла вниз (вогнута) на интервале a; b , если график функции расположен выше
касательной на интервале a; b .
Справедливо утверждение: если функция f x  имеет на интервале a; b вторую производную
f x  и f x  0 , то функция f x  выпукла вверх (выпукла) на интервале a; b , а если f x  0 , то
выпукла вниз (вогнута). Интервалы, на которых функция выпукла или вогнута, называются
интервалами выпуклости этой функции.
Точка х0 дифференцируемой функции f x  называется точкой перегиба этой функции, если она
одновременно является концом интервала выпуклости и концом интервала вогнутости для функции
f x  . Иначе говоря, в точке перегиба дифференцируемая функция меняет направление выпуклости.
х = 0 – точка перегиба для данных функций.
Теорема. Если функция f x  имеет перегиб в точке х0, и существует вторая производная в этой
точке f x0  , то f x  0
Теорема. Пусть функция f x  имеет вторую производную на интервале a; b и
x0  a; b  .
Тогда если f x  при переходе через точку х0 меняет знак, то х0 – точка перегиба функции f x  .
Пример. Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции y 
Решение:
1 3
x  x2 .
3
Вычислим вторую производную функции: f x   x 2  2 x ; f x  2 x  2 . Решаем
уравнение: f x  0 : 2x  2  0 ; x  1. Очевидно, что f x   0 на интервале  ;1 и f x  0 на
интервале 1; ,следовательно, x  1- точка перегиба, и на интервале  ;1 функция выпукла, а на
интервале 1; - вогнута.
Общая схема исследования функций и построение их графиков.
Не всегда удобно строить графики функций "по точкам". Иногда построение графиков функций
начинается с ее исследования. Использование производной значительно облегчает эту задачу. При
построении графика функции y = f(x) используют следующую схему:
1) найти область определения функции;
2) выяснить, является ли функция четной (нечетной), периодической. Функция y = f(x)
называется чётной, если для любого x D(f) выполняется равенство f(-x) = f(x). Функция y =
f(x) называется нечётной, если для любого x D(f) выполняется равенство f(-x) = -f(x).
Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число Т > 0, называемое
периодом, что для любого x D(f) точки х + Т и х – Т
3) найти
точки
пересечения
графика
функции
знакопостоянства, т.е. промежутки, на которых
с
 D(f), и f(x+Т) = f(x).
осями
координат
и
промежутки
f x   0 и f x   0 . График пересекается с
0; f 0; а для нахождения точек пересечения с осью абсцисс,
необходимо решить уравнение f x   0 ;
вычислить f x  , найти экстремумы и промежутки монотонности функции, а также значения
осью ординат в точке
4)
функции в точках экстремума;
5) вычислить f x  , найти точки перегиба и промежутки выпуклости функции, а также
значения функции в точках перегиба;
6) исследовать поведение функции в окрестностях "особых" точек и при больших по модулю х;
7) построить график функции.
Пример. Исследуем функцию f x   x 3  2 x 2  x и построим ее график.
Решение:
1) D(f)=R, так как f – многочлен;
2) Функция f не является ни четной, ни нечетной, т.к. f  x    x   2 x    x    x 3  2 x 2  x ,
3
2
т.е. f  x  f x и f  x   f x . Функция не является периодической.
3) x  0 , тогда f 0  0 3  2  0 2  0  0 . Точка (0;0) – точка пересечения с осью ординат. Если


y  0 , тогда x 3  2 x 2  x  0 , x x 2  2 x  1  0 , x  0 и x  1. Точки (0;0) и (1;0) – точки
пересечения с осью абсцисс. f x   0 при x  0 , f x   0 при x  0 .
4)
1
1

f x   3x 2  4 x  1 . Стационарные точки: 3x 2  4 x  1  0 , 3 x  1 x    0 , x1  1 и x 2  .
3
3

Составим таблицу:
х
1

  ; 
3

1
3
1 
 ;1
3 
1
1;
f x 
+
0
-
0
+
4
27
f(x)
Функция
max
возрастает
5) f   6 x  4  0 ; x 
0
Функция
убывает
min
Функция
возрастает
2
. Составим таблицу:
3
х
2

  ; 
3

2
3
2

 ; 
3

f x 
-
0
+
f(x)
выпукла
2
27
вогнута
Точка перегиба
6) "Особых" точек нет; при x   f x    , при x   f x    ;
7) Строим график функции: