Лекции по курсу «Математика в экономике»
advertisement
Лекции по курсу «Математика в экономике»
Лекция 1
Матрицы и определители
1.1.Основные сведения о матрицах
Определение. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел
вида
a11 a12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2 n
,
...
... ... ...
a
a
...
a
m2
mn
m1
состоящая из m строк и n cтолбцов.
Числа, стоящие в матрице, называются ее элементами и обозначаются
переменной (буквой) с двумя индексами, первый из которых равен номеру строки, а
второй – номеру столбца в пересечении которых находится данный элемент.
Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита. Вместо
выписывания всей таблицы чисел часто указывают только ёё элементы и размерность:
A = (aij) (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n).
Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра –
имеют большое значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть
математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно
простой, а главное – компактной форме.
Например, предприятие производит три типа продукции, используя сырье,
поставляемое двумя фирмами. Поставки осуществляются ежемесячно. Данные об объеме
поставок можно записать в виде таблицы
Вид продукции
1
2
3
Объем поставляемой продукции
за месяц в условных единицах
Фирма 1
Фирма 2
3
4
5
7
8
9
Эта таблица может быть записана в простой и компактной форме в виде матрицы:
3 4
А = 5 7 .
8 9
Виды матриц. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется
квадратной, а число ёё строк (столбцов)– порядком матрицы.
Среди квадратных матриц выделим следующие классы матриц.
Квадратная матрица, у которой вне главной диагонали стоят нулевые элементы,
называется диагональной. Ёё схематический вид:
a11 0 ... 0
0 a 22 ... 0
A=
.
... ... ... ...
0
0 ... a nn
Диагональная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны
единице, называется единичной матрицей:
1
0
E=
...
0
0 ... 0
1 ... 0
.
... ... ...
0 ... 1
Определение. Если в матрице А каждую строку заменить ёё столбцом с тем же
номером, то полученная матрица называется транспонированной по отношению к
матрице А и обозначается через A или АТ.
1.2.Операции над матрицами и их свойства
Определение. Две матрицы А = aij и B bij называются равными, если они
одного размера, а их соответствующие элементы равны, т. е. aij bij при любых
значениях индексов i и j. Равенство матриц записывается в виде: A=B.
Определение. Суммой матриц А = aij и B bij одинакового размера
называется матрица
C cij того же размера, каждый элемент которой равен сумме
соответствующих элементов матриц А и В, т. е. cij aij bij . Сумма двух матриц
обозначается: C = A + B.
Операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам:
1) A + B = B + A;
2) (A + B) + C = A + (B + C).
Определение. Произведением матрицы A aij на число называется
матрица C =A, каждый элемент c ij которой равен a ij , т.е. cij aij .
Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:
1) ()A = (A);
2) (A + B) = A + B;
3) ( + )A = A + B.
Определение. Разностью двух матриц A и B называется матрица
C = A + (–1) B.
Определение. Произведением строки А из n элементов на столбец В из n
элементов называется число
b1
n
b2
AB= (a1 a 2 ...a n ) = a1b1 a2 b2 ... an bn = a i bi .
i 1
...
b
n
Определение. Произведением матрицы A aij размера m n на матрицу
B bij размера n k называется матрица C cij размера m k , каждый элемент c ij
которой равен произведению i-той cтроки матрицы А на j -тый столбец матрицы В, т.е.
n
cij ai1b1 j ai 2 b2 j ... ain bnj ail blj ; i 1, 2, …, m; j =1, 2, …, k.
l 1
Правила для запоминания: 1) строка первой матрицы умножается на столбец
второй матрицы; 2) число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом
строк второй матрицы.
Произведение матриц обладает следующими свойствами:
1) (AB)C = A(BC);
2) A(B+C) = AB+AC.
Свойство перестановочности для умножения матриц не выполняется.
Например, если
1 0
0 1
0 1
0 0
, B =
, то AB =
, а BA =
.
А =
0 0
0 0
0 0
0 0
1.3. Определители
Определение. Определителем называется число, которое ставиться в соответствие
квадратной матрице по определенному правилу.
1) Определителем матрицы 1-го порядка называется элемент этой матрицы.
2) Определителем матрицы второго порядка называется число, обозначаемое
символом
a
a12
A 11
a 21 a 22
и определяемое равенством
a11 a12
a11a 22 a12 a 21 .
(1)
a 21 a 22
В квадратной матрице диагональ, проходящая из верхнего левого угла в правый угол,
называется главной диагональю, а вторая диагональ – побочной. Тогда формулу (1)
можно запомнить в виде правила: определитель матрицы второго порядка равен
произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной
диагонали.
3) Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое
равенством:
a11 a12 a13
A = a 21 a 22
a31 a32
a 23 = а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 – а13а22а31 – а12а21а33 – а11а23а32 .
a33
Чтобы запомнить, какие произведения берутся со знаком «+», а какие со знаком «–»,
применяется правило треугольников (правило Саррюса), cхематическая запись
которого приведена ниже:
+
–
1.4. Свойства определителей
1) При транспонировании квадратной матрицы ёё определитель не изменяется, т.е.
A =| A |.
2) При перемене местами двух строк (столбцов) матрицы, ёё определитель меняет
свой знак на противоположный.
3) Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
4) Если все элементы одной строки (столбца) квадратной матрицы умножить на
число k , то ёё определитель умножится на это число.
5) Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то
сам определитель равен нулю.
6) Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то
определитель равен нулю.
7) Пусть все строки матриц A, B, C одного порядка одинаковы, кроме i-той строки,
а каждый элемент аij i-той строки матрицы А есть сумма соответствующих элементов
матриц B и С: аij = bij + cij. Тогда A = B + C .
8) Величина определителя не измениться, если к элементам какой-либо строки
прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Определение. Минором элемента aij квадратной матрицы A порядка n называется
определитель матрицы порядка n–1, полученный из матрицы A вычеркиванием i-й строки
и j -го столбца. Обозначается Mij.
Определение. Алгебраическим дополнением элемента aij квадратной матрицы A
называется величина
Aij = (–1)i+j Mij.
9) Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какойлибо строки (какого-либо столбца) матрицы на алгебраические дополнения этих
элементов.
Например, для n = 3:
A = ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3 =
3
a
j 1
ij
Aij ,
i =1, 2, 3;
(2)
3
( A a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j = a ij Aij , j=1,2,3) .
(3)
i 1
Формулы (2) и (3) называются соответственно формулами разложения определителя
матрицы по элементам i -той строки и по элементам j-того столбца.
Определение. Определителем матрицы А n-го порядка называется число А ,
вычисляемое по формуле
n
А = a1 j А1 j ,
j 1
где А1j - алгебраические дополнения элементов первой строки.
Теорема 1. Каков бы не был номер строки i (i = 1, 2,…, n), для определителя n-го
порядка справедлива формула
А =
n
a
j 1
ij
Aij ,
(4)
называемая разложением этого определителя по i-той строке.
Теорема 2. Каков бы не был номер столбца j (j = 1, 2,…, n), для определителя n-го
порядка справедлива формула
n
a
i 1
ij
Aij ,
(5)
называемая разложением этого определителя по j-му столбцу.
1.5. Методы вычисления определителей
1.Метод эффективного понижения порядка
Применяя свойство 8 определителей и формулу (4) или формулу (5), вычисление
определителя n -го порядка всегда можно свести к вычислению одного определителя
(n -1) –порядка, сделав в какой-либо строке (столбце) все элементы, кроме одного,
равными нулю.
2.Алгоритм Гаусса
Определение. Квадратная матрица называется треугольной матрицей, все ёё
элементы, стоящие выше или ниже главной диагонали, равны нулю.
Теорема. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов
главной диагонали.
Матрица A называется ступенчатой, если она имеет вид:
a11 a12 ... a1r ... a1k
0 a 22 ... a 2 r ... a 2 k
A
,
... ... ... ... ... ...
0
0
...
a
...
a
rr
rk
где aii 0, i = 1,2, …, r; r k.
Алгоритм Гаусса состоит в приведении квадратной матрицы к треугольному виду,
а прямоугольной матрицы – к ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований, к которым относятся:
а) перестановка строк;
б) умножение всех элементов строки на число, не равное нулю;
в) прибавление к каждому элементу одной строки соответствующих элементов
другой строки, умноженных на любое число.
Литература:
[1] Глава 1, 1.1- 1.4, c.9-26.
Контрольные вопросы:
1. Что называется матрицей
2. Как определяются линейные операции над матрицами, и каковы их свойства?
3. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения
матриц?
4. Что называется определителем второго и третьего порядков, каковы их
свойства
5. Что называется минором и алгебраическим дополнением?
6. Каковы способы вычисления определителей?
7. Какая матрица называется единичной
Лекция 2
Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений
2. 1. Обратная матрица
Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется
такая матрица A 1 , что выполняется равенство
A А 1 А 1 А E.
Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ёё
определитель не равен нулю. Матрица, определитель которой равен нулю, называется
вырожденной матрицей.
Определение. Присоединённой матрицей для квадратной матрицы А
~
называется матрица A , элементами которой являются алгебраические дополнения
транспонированной матрицы А.
Теорема об обратной матрице. Невырожденные матрицы и только они имеют
обратные матрицы, которые находятся по формуле
~
A
A = .
А
Более подробно эту формулу можно переписать в виде
A11 A21 ... An1
1 A12 A22 ... An 2
1
.
A
... ... ...
A ...
A
A
...
A
2n
nn
1n
1
2.2. Ранг матрицы
Выделим в матрице А размера
k строк и k столбцов, где k –
m n
натуральное число, не превышающее m и n.
Определение. Минором k -го порядка матрицы А называется определитель
матрицы k-го порядка, составленной из элементов, стоящих на пересечении k строк и
k столбцов матрицы A.
Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от
нуля миноров этой матрицы (обозначается r (A)).
Ранг матрицы это целое неотрицательное число, не превосходящее числа строк и
столбцов матрицы А. В частности, ранг ненулевой строки
всегда равен 1. Если А –
невырожденная квадратная матрица порядка n, то r (A) = n. Если же А = 0, то r (A)< n.
Подсчёт ранга в соответствии с определением очень трудоёмкий. Более простой
способ вычисления ранга матрицы основан на свойствах 2, 4, 8 определителей. Если над
строками или столбцами выполнять элементарные преобразования, то по свойствам 2, 4,
8 ненулевые миноры так и останутся ненулевыми. Поэтому для подсчёта ранга можно
к строкам матрицы А применить алгоритм Гаусса и привести матрицу к треугольному
или к ступенчатому виду. Каждое элементарное преобразование не меняет ранга
матрицы. Матрица В, полученная из А с помощью элементарных преобразований
называется эквивалентной матрице А и обозначается в виде А ~ В.
Теорема. Ранги эквивалентных матриц равны.
Значит, ранг исходной матрицы будет равен рангу эквивалентной матрицы В,
полученной в результате применения алгоритма Гаусса. А ранг матрицы В равен числу
ненулевых строк.
2.3. Системы линейных уравнений. Основные понятия
Определение. Системой из m линейных уравнений c n неизвестными
называется система вида:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 ,
a x a x
... a 2 n x n b2 ,
21 1
22 2
(1)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm .
Здесь переменные x1 , x2 ,..., x n называются неизвестными системы, числа аij, где
i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n называются коэффициентами системы, а числа b1 , b2 ,..., bm –
свободными членами.
Определение. Решением системы называется упорядоченный набор чисел (
1 , 2 ,..., n ), который после подстановки в систему (1) превращает все ёё уравнения в
тождества.
Система, имеющая решение называется совместной, система, не имеющая
решение – несовместной.
Обозначим:
x1
b1
a11 a12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2 n
x2
b2
A=
,
X
=
,
В
=
... ,
...
...
... ... ...
x
b
a
a
...
a
n
m
m2
mn
m1
где А – матрица размера m n , cоставленная из коэффициентов при неизвестных, эта
матрица называется матрицей системы; X матрица -столбец из неизвестных системы;
В – матрица-столбец свободных членов.
Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения:
AX = B.
(2)
Это запись называется матричной формой записи системы (1) .
Расширенной матрицей системы называется матрица A , получаемая из матрицы
А добавлением справа столбца свободных членов системы:
a11 a12 ... a1n b1
a 21 a 22 ... a 2 n b2
.
A =
...
... ... ...
..
a
m1 a m 2 ... a mn bm
2.4. Матричный метод решения систем линейных уравнений и правило
Крамера
Матричный метод и правило Крамера применимы только для систем с квадратной
матрицей cистемы, определитель которой отличен от нуля.
а) Матричный метод.
Cистему уравнений, записанную в матричном виде (2), умножим на обратную
матрицу А–1 слева, получим: A 1 АХ= A 1 В. Так как A 1 А= E, то Х= A 1 В. Таким
образом, получили теорему.
Теорема. Cистема линейных уравнений АX = В, обладающая квадратной
невырожденной матрицей, имеет единственное решение:
X = A 1 B.
б) Правило Крамера. Пусть для системы линейных уравнений АХ = В,
определитель A 0 . Пусть i – определитель матрицы, полученной из А заменой i того столбца на столбец свободных членов. Тогда эта система имеет единственное
решение, которое находится по формулам Крамера:
xi= i , i = 1, 2,…, n.
2.5. Условие совместности линейной системы
Исследовать систему – значит определить, совместна ли она и, в случае
совместности, определить, сколько решений она имеет.
Ответ на вопрос о совместности системы (1) даёт следующая теорема.
Теорема Кронекера – Капелли. Cистема линейных уравнений совместна тогда и
только тогда, когда ранг ёё матрицы равен рангу расширенной матрицы системы,
т. е. когда
r(A) = r( A ).
Следствие. Если r(A) r( A ), т.е. ранг матрицы системы не равен рангу
расширенной матрицы, то система линейных уравнений является несовместной.
Таким образом, для установления совместности системы нужно вычислить
алгоритмом Гаусса ранги r(A), r( A ) и сравнить их.
2.6. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) для
исследования и решения систем
Метод Гаусса является универсальным методом решения систем, так как он
применим для нахождения решений произвольных систем линейных уравнений.
Определение. Две системы линейных уравнений относительно одного и того же
числа неизвестных называются эквивалентными, если они имеют одинаковые решения.
С уравнениями системы будем производить элементарные преобразования
следующих трёх типов: а) перестановка двух уравнений системы; б) умножение обеих
частей уравнения на один и тот же ненулевой коэффициент; в) прибавление к одному
уравнению системы другого уравнения той же системы, умноженного на некоторое
число.
Очевидно, что в результате каждого из этих преобразований, а значит, и в
результате последовательного их применения, данная система уравнений будет
преобразована в эквивалентную систему.
Очевидно, что при выполнении преобразований все производимые действия
выполняются над строками расширенной матрицы A .
Первый этап метода Гаусса (так называемый « прямой ход») состоит в
приведении
расширенной
матрицы A системы с помощью элементарных
преобразований к ступенчатому виду. Если после приведения к ступенчатому виду в
последней ненулевой строке матрицы A ненулевой элемент окажется только в последнем
столбце, то это означает, что исходная система является несовместной, так как в
этом случае r( A ) > r(A).
Второй этап метода Гаусса (так называемый « обратный ход») применяется
только для совместных систем.
Здесь возможны два случая.
Случай 1. r(A) = r( A ) = n (ранги матриц равны числу неизвестных). В этом случае
система имеет единственное решение. Чтобы найти это решение по полученной матрице
ступенчатого вида восстанавливается система, эквивалентная исходной системе, и
решается, начиная с последнего уравнения.
Cлучай 2. r(A) = r( A ) < n. Пусть r(A) = r( A )= r. Число уравнений в новой
системе в точности равно рангу r. Для решения системы нужно найти какой-либо
минор порядка
r, отличный от нуля, называемый базисным минором.
Неизвестные, коэффициенты которых входят в
базисный
минор,
называются
базисными. Имеем r базисных неизвестных. Остальные n – r неизвестных системы
называются свободными. Перенося свободные неизвестные в правую часть новой
системы, можно выразить, как в случае 1, базисные неизвестные через свободные
члены и свободные неизвестные. Полученное решение называется общим решением
данной системы. Придавая
свободным неизвестным произвольные действительные
значения, мы будем получать каждый раз решение эквивалентной системы, а значит, и
решение исходной системы (1). Тогда,
очевидно, в случае 2 система имеет
бесконечно много решений. Любое решение, полученное из общего решения при
конкретных числовых значениях, придаваемых свободным неизвестным, называется
частным решением
2.7. Однородные системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные
члены равны нулю:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n 0,
a x a x
... a 2 n x n 0,
21 1
22 2
(3)
...
...
... ... ...
...
... ...
...
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n 0.
Очевидно, что однородная система всегда совместна, поскольку она имеет
нулевое (тривиальное) решение x1 0, x2 0,..., xn 0 .
Теорема. Если матрица A однородной системы (3) имеет ранг r, то все ее
решения можно получить в виде линейной комбинации n – r некоторых ее решений,
называемых фундаментальными. При этом нельзя обойтись меньшим, чем n – r числом
решений. Здесь n – это число неизвестных в системе.
Следствие. Однородная система имеет ненулевые решения в том и только в том
случае, когда число неизвестных больше ранга матрицы, т.е. n > r.
Для нахождения фундаментальной системы решений применяется метод Гаусса,
r базисных неизвестных выражаются через свободные n – r неизвестные. Поочередно
n – r свободных переменных заменяются элементами каждой строки невырожденной
квадратной матрицы порядка n – r, например, единичной E n r .
Литература:
[1] Глава 1, 6, c.26-35, Глава 2, 2.1- 2.7, c.38 -60.
Контрольные вопросы:
1. Какая матрица называется обратной для данной матрицы Всегда ли
существует обратная матрица Как можно найти обратную матрицу
2. Что называется рангом матрицы Как его можно найти?
3. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы
называются совместными, а какие – несовместными?
4. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных
уравнений?
5. В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?
6. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?
7. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
8. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное
решение?
9. Опишите метод Гаусса исследования и решения систем линейных уравнений.
10. Какие неизвестные в системе линейных уравнений и в каком случае
называются базисными, а какие – свободными? Что называется общим решением
системы линейных уравнений?
11. При каком условии однородная система n линейных уравнений c n
неизвестными имеет ненулевое решение?
Лекция 3
Элементы векторной алгебры
3.1. Векторы и линейные операции над ними
Определение. Вектором называется направленный отрезок.
Обозначается вектор, либо как направленный отрезок символом AB , где точки A и
B обозначают соответственно начало и конец вектора, либо одной латинской прописной
буквой с чёрточкой наверху, например а .
Вектор, у которого начало и его конец совпадают, называется нулевым и
обозначается 0 или просто 0.
Определение. Длиной или модулем вектора называется расстояние между его
началом и концом. Обозначение длины вектора, либо | AB |, либо | а |.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором.
Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а ,
называется ортом вектора а и обозначается а 0 .
Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых называются
коллинеарными.
Определение. Два вектора а и b называются равными ( а = b ), если они
коллинеарны, одинаково направлены и равны по модулю.
Определение. Вектора называются компланарными, если они лежат либо в одной
плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Определение. Пусть даны векторы а и b . Приложим начало а к концу b .
Суммой а + b двух векторов а и b называется вектор, начало которого совпадает с
началом вектора а , а конец – с концом вектора b (рис.1).
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.
а
b
а +b
Рис.1
Сумму а + b можно определить и по правилу параллелограмма (рис.2):
а
а +b
b
Рис.2
Определение. Суммой векторов а1 , a 2 ,..., a n , у которых начало вектора a i
совпадает с концом ai 1 ( i = 2, 3, …, n ), называется вектор, соединяющий начало вектора
а1 с концом вектора a n (рис.3).
Определение. Разностью а – b векторов а и b , выходящих из одной точки,
называется вектор, соединяющий конец вектора b с концом вектора а (рис.4).
а2
an
а –b
а
а1
а1 a2 ... an
b
Рис.3
Рис.4
Определение. Произведением вектора a на число называется вектор а ,
удовлетворяющий трем условиям:
1) | а | =| || a |,
2) a | | a ,
3) вектор а одинаково направлен с вектором a , если >0 и направлен в
противоположную сторону, если <0.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами.
1. 1 a a .
2. 0 a 0 .
3. а + b = b + а .
4.( а + b )+ c = а + ( b + c ).
5. ( а + b )= а + b .
6. ( a ) ( )a .
7. ( ) a = а + a .
8. а : а =| а | a 0 , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт;
9. Если b a , то b | | а . И обратно, если b | | а : b a .
3.2. Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана числовая ось l. Проекцией точки А на ось
называется точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку А
перпендикулярно оси.
Пусть в пространстве задан произвольный вектор AB . Через А1 и B1 обозначим
проекции на ось l точек начала и конца вектора AB (рис.5).
Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется величина, равная:
| A1 B1 |, если направление A1 B1 совпадает с направлением оси,
– | A1 B1 |, если направление A1 B1 противоположно направлению оси.
Проекция вектора AB
на ось l обозначается
прl AB .
B
А
O
l
A1
B1
Рис.5
Обозначим AB = a . Пусть вектор a составляет с осью l угол .
Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами.
1. прl а =| a |сos ;
2. прl ( а + b ) = прl а + прl b ;
3. прl ( а )= прl а .
3.3. Базис векторного пространства. Координаты вектора
Определение. Равенство 1e1 2 e2 ... n en = b называется
разложением
вектора b по векторам e1 , e2 ,..., en .
Определение. Выражение 1e1 2 e2 ... n en называется линейной
комбинацией векторов e1 , e2 ,..., en с коэффициентами 1, 2,…, n .
Определение. Вектора e1 , e2 ,..., en называются линейно зависимыми, если
найдутся такие числа, 1 , 2 ,…, n , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что
линейная комбинация векторов e1 , e2 ,..., en с указанными числами обращается в нуль,
т.е. имеет место равенство 1e1 2 e2 ... n en = 0.
Определение. Вектора e1 , e2 ,..., en называются линейно независимыми, если их
1e1 2 e2 ... n en равна нулю только в случае, когда все
линейная комбинация
коэффициенты 1, 2,…, n равны нулю.
Например, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы. Действительно,
если a | | b , то найдется число такое, что b = a , откуда получаем равенство: 1
b ( )a 0 . Из последнего равенства и следует линейная зависимость коллинеарных
векторов.
Определение. Любой ненулевой вектор e на прямой называется базисным
вектором этой прямой. Любая пара неколлинеарных векторов { e1 , e2 } плоскости
называется базисом этой плоскости. Любая тройка некомпланарных векторов { e1 , e2 , e3 }
называется базисом пространства.
Теорема о базисе. Любой вектор а (на прямой, плоскости или в пространстве)
единственным образом записывается в виде линейной комбинации соответствующих
базисных векторов. То есть, разложение вектора а по базису имеет следующий вид:
1) на прямой: а = x e ,
2) на плоскости: а = x e1 + y e2 ,
3) в пространстве: а = x e1 + y e2 + z e3 .
Геометрически разложение вектора а , например, по базису { e1 , e2 , е3 } можно
e1 , e2 , е3 , а к одной точке, а затем, построить
получить, приложив векторы
параллелепипед, диагональю которого является вектор а , а ребра лежат на прямых,
определяемых векторами e1 , e2 , е3 .
Базисные векторы всегда линейно независимы.
Определение. Коэффициенты линейной комбинации базисных векторов
выражающих вектор а на
прямой, в плоскости или в пространстве называются
координатами вектора а в данном базисе.
Теорема 1.
При
сложении (вычитании) векторов их
соответствующие
координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его
координаты умножаются на это число.
Таким образом, знание координат векторов позволяет сводить их равенство к
равенству соответствующих координат, а линейные операции над векторами
заменяются теми же операциями над координатами.
Размерностью пространства (плоскости, прямой) называется число векторов в
базисе. Таким образом, размерность пространства равна трём, плоскости – двум,
прямой – одному.
Чаще всего на практике мы имеем дело с декартовыми системами координат.
Пусть в пространстве имеется декартова система координат Оxyz. С ней связан
стандартный базис из единичных взаимно перпендикулярных векторов, расположенных
вдоль осей Ox, Oy, Oz. Такой базис называется ортонормированным и обозначается через
{ i , j , k } (рис.6).
Вектор, начало которого находится в начале координат – точке О, а конец в точке
А, т.е. вектор OA , называется радиус – вектором точки А. Обозначим его а = OA . Пусть
(x, y, z) – координаты точки А в системе Oxyz. Проведём через точку А плоскости,
перпендикулярные осям координат. Тогда:
прOx а = x =| OA1 |; прOy а = y =| OA 2 |; прOz а = z =| OA 3 |.
а = OB + OA3 , OB = OA1 + OA 2 .
По правилу сложения векторов находим
Отсюда
а = OA1 + OA 2 + OA3 .
(1)
Кроме того
(2)
OA3 = z k .
OA1 = x i ;
OA 2 = y j ;
Из равенств (1) и (2) получим формулу разложения вектора в
пространстве по ортонормированному базису:
а = x i + y j +z k .
(3)
z
A3
A
k
O
i
A1
a
j
A2
y
B
x
Рис.6
Таким образом, координаты x, y, z вектора а в ортонормированном базисе
совпадают c проекциями вектора а на соответствующие координатные оси, а
координаты точки А (x, y, z) в системе Oxyz и вектора OA в базисе { i , j , k } – это одни и
те же числа.
То, что вектор а имеет координаты х, y, z в базисе { i , j , k } записывают в виде:
а = (x, y, z).
Если вектор а задан своими координатами: а = ( x, y, z), то, применяя теорему
Пифагора (рис.6), получим формулу длины вектора:
| a |
x2 y2 z2 .
(4)
z
B
A
0
y
х
Рис. 7
Теорема 2. Пусть в декартовой системе координат Oxyz заданы две точки
А (x1, y1, z1) и B (x2, y2, z2), тогда в базисе { i , j , k } вектор AB имеет координаты:
AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).
(5)
Действительно, имеем (рис. 7): AB = ОB – ОА . Так как ОB и ОА – радиусывекторы соответственно точек B и А, то: ОB =( x2, y2, z2),
ОА =( x1, y1, z1).
При вычитании векторов их одноимённые координаты вычитаются, отсюда и
получаем формулу (5).
Пусть векторы а =( x1, y1, z1)
и b = (x2, y2, z2)
заданы своими
координатами. Если a || b , то найдется число такое, что b = a . Тогда из теоремы 1
следует выполнение равенств: x2 = x1; y2 = y1; z2 = z1.
Разрешая их относительно , получим следующее условие:
x2 y 2 z 2
a | |b
(6)
,
x1 y1 z1
т.е. векторы a
и
пропорциональны.
b коллинеарны только в том случае, когда их координаты
4. Простейшие задачи аналитической геометрии
Применяя методы векторной алгебры, решим простейшие задачи аналитической
геометрии.
1. Расстояние между двумя точками
Теорема 3. Расстояние d между точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) в пространстве
Охуz находится по формуле
d = | M 1 M 2 | x2 x1 y2 y1 z 2 z1 .
2. Деление отрезка в данном отношении
Пусть
в пространстве Охуz даны точки М1 ( x1, y1, z1) и М2 (x2, y2, z2).
Проведем через данные точки прямую L (рис.8).
Определение. Разделить отрезок М1М2 в отношении – это значит, найти
M 1M
на нём такую точку M(x, y, z) , что
= .
MM 2
2
2
z
2
M2
M1
L
M
0
y
x
Рис. 8
Теорема 4. Если точка M(x, y, z) делит отрезок М1М2 в отношении – 1, то
координаты этой точки определяются формулами:
x x2
y y 2
z z 2
(7)
x 1
,
y 1
,
z 1
.
1
1
1
Действительно, M 1 M MM 2 , M 1 M (x – x1, y – y1, z – z1),
MM 2 =(x2 – x, y2 – y, z2 – z).
Тогда из условия (6) коллинеарности векторов M 1 M , MM 2 получим
x – x1 = (x2 – x). Разрешая равенство, относительно x получим первую из формул (7).
Аналогично получим все остальные формулы.
Деление отрезка М1М2 будет внутренним, если >0, и внешним (точка М лежит
вне отрезка М1М2), если <0. При =1 точка М будет серединой отрезка М1М2. При
этом формулы будут иметь вид:
x x2
y y2
z z2
x 1
,
y 1
,
z 1
.
2
2
2
3.5. Скалярное произведение векторов и его свойства
Определение. Скалярным произведением двух векторов a и b называется
число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a b =| a || b | cos.
(8)
Здесь = ( a b ) – угол между векторами.
Определение. Проекцией вектора a на ненулевой вектор b (обозначение пр b a )
называется его проекция на ось l, проведённую через вектор b (рис.9).
Так как | a | cos = пр b a , а
| b | cos= пр a b , то формулу (8) можно
записать в другом виде
a b =| b | пр b a = a пр a b .
a
пр b a
b
l
Рис. 9
Свойства скалярного произведения:
1. a b = b a .
2. ( a ) b = ( a b ).
3. ( a + b ) c = a c b c .
4. a a | a |2 , так как cos( a a ) = cos0 = 1.
Cкалярное произведение a a называется скалярным квадратом вектора a и
обозначается а 2 . Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого
вектора, то длину вектора можно выразить через его скалярный квадрат: | a |= a 2 .
В частности: i 2 j 2 k 2 =1.
5. a b = 0 a b . В частности: i j = j k = k i = 0.
Теорема 1. Если векторы a и b заданы своими декартовыми координатами
a =(x1, y1, z1), b =(x2, y2, z2), то скалярное произведение векторов равно сумме
произведений их соответствующих координат:
a b = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Следствие 1. Длина вектора a = (x, y, z) равна
|a | =
x2 y2 z2 .
Следствие 2. Косинус угла между векторами a = (x1, y1, z1) и b = (x2, y2, z2)
определяется по формуле:
cos
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
.
x y12 z12 x 22 y 22 z 22
a = (x1, y1, z1) и
Следствие 3. Условие перпендикулярности векторов
b = (x2, y2, z2):
a b x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.
Следствие 4. Проекция вектора a = (x1, y1, z1) на вектор b = (x2, y2, z2) равна:
x x y1 y 2 z1 z 2
пр b a = 1 2
.
x 22 y 22 z 22
Определение. Направляющими косинусами вектора a называются косинусы
углов, образованных вектором a с осями координат Ox, Oy, Oz. (рис.10). На рис.10 эти
углы обозначены через , , .
z
2
1
a
O
x
y
Рис.10
Следствие 5. Для вектора a = (x, y, z) его направляющие косинусы вычисляются
по формулам:
x
y
z
cos =
;
cos =
; cos =
.
x2 y2 z2
x2 y2 z2
x2 y2 z2
Следствие 6. Сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого
вектора равна единице, то есть:
cos2 + cos2 + cos2 = 1.
3.6. n-мерный вектор и векторное пространство. Евклидово пространство.
Определение. n- мерным вектором называется упорядоченная совокупность n
действительных чисел, записываемых в виде x ( x1 , x2 ,..., xn ), где xi i -я компонента
вектора x .
Понятие n- мерного вектора широко используется в экономике, например,
некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором x ( x1 , x2 ,..., xn ), а
соответствующие цены – вектором y ( y1 , y 2 ,..., y n ) .
Cуммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z x y,
компоненты которого равны суммам соответствующих компонент слагаемых векторов,
т.е. z i xi yi , i 1,2,..., n.
Произведением вектора x на число называется вектор u = x ,
компоненты u i которого равны произведению на соответствующие компоненты
вектора x , т.е. u i = xi , i 1,2,..., n.
Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам.
1. x y = y + x .
2. ( x y ) + z = x ( y + z ).
3. ( x ) ( ) x .
4. ( x y ) x y .
5. ( ) x x x .
6. Существует нулевой вектор 0 (0,0,..,0) такой, что x 0 = x для любого
вектора x .
7. Для любого вектора x существует противоположный вектор (– x ) такой, что
x (– x ) = 0 .
8. 1 x x для любого вектора x .
Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором
определены операции сложения векторов и умножения на число, удовлетворяющие
приведенным выше восьми свойствам, называется векторном пространством.
Определение. Векторное пространство называется n –мерным, если в нем
существую n линейно независимых векторов, а любые из (n +1) векторов уже являются
линейно зависимыми.
Определение. Совокупность n линейно независимых векторов n –мерного
пространства R n называется базисом.
Пусть векторы e1 , e2 ,..., en образуют базис пространства R n .
Теорема. Каждый вектор x пространства R n можно представить (и притом
единственным способом) в виде линейной комбинацией векторов базиса:
x = x1e1 x2 e2 ... xn en .
(9)
Равенство (9) называется разложением вектора x по базису { e1 , e2 ,..., en }, а числа
x1 , x2 ,..., xn координатами вектора x в данном базисе.
Скалярным произведением двух векторов x ( x1 , x2 ,..., xn ) и y ( y1 , y 2 ,..., y n )
называется число
n
( x , y ) x1 y1 x 2 y 2 ... x n y n xi y i .
i 1
Скалярное произведение имеет экономический смысл. Если x ( x1 , x2 ,..., xn ) –
вектор объемов различных товаров, а y ( y1 , y 2 ,..., y n ) – вектор их цен, то скалярное
произведение ( x , y ) выражает суммарную стоимость этих товаров.
Свойства скалярного произведения:
1. ( x , y ) ( y , x ) .
2. ( x , y z ) ( x , y ) ( x , z ) .
3. (x , y ) ( x , y ) – для любого действительного числа .
4. ( x , x ) >0, если x – ненулевой вектор; ( x , x ) = 0, если x – нулевой вектор.
Определение. Евклидовым пространством называется линейное (векторное)
пространство в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющих
свойствам 1– 4.
Длиной (нормой) вектора x в евклидовом пространстве называется число
| x |
x12 x 22 ... x n2 .
Угол между векторами x и y определяется равенством
(x, y)
cos
,
| x || y |
где 0< .
Векторы e1 , e2 ,..., en n-мерного евклидово пространства образуют
ортогональный базис, если (ei , e j ) 0 при i j и– ортонормированный базис, если
(ei , e j ) 0 при i j и ei 1 при i = 1, 2,…, n.
Литература:
[1] Глава 3, 3.1-3.3, 3.5, c. 63-74, c. 76-78.
Контрольные вопросы:
1. Что называется вектором и модулем вектора?
2. Какие вектора называются коллинеарными, компланарными, равными?
3. Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих
операций?
4. Что называется базисом на прямой, на плоскости и в пространстве?
5. Какой базис называется ортонормированным?
6. В каком случае векторы называются линейно зависимыми, и в каком – линейно
независимыми?
7. Какой вид имеют формулы деления отрезка в данном отношении?
8. Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и
как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном
базисе?
9. Какой вид имеют формулы для длины вектора, угла между двумя векторами и
расстояния между двумя точками в декартовой прямоугольной системе координат?
Лекция 4
Уравнение линии на плоскости
4.1. Уравнения прямой на плоскости
Вывод всех типов уравнений прямой линии основан на следующем
геометрическом соображении. Прямая линия полностью определяется заданием двух ёё
параметров: либо двумя различными точками, либо точкой и направлением.
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору.
Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой
называется нормальным вектором этой прямой.
Пусть задан нормальный вектор n ( A, B ) прямой L и точка
M0(x0, y0) L .
Возьмём
на прямой произвольную точку
M(x,y)
и
рассмотрим
вектор
M 0 M ( x x0 , y y0 ) (рис.1).
n ( A, B)
L
y
M(x,y)
M0(x0,y0)
Рис.1
x
Точка M(x,y) L M 0 M n , тогда их скалярное произведение будет равно нулю:
n M 0 M 0 . Записывая последнее равенство через координаты векторов, получим
уравнение
(1)
A( x x0 ) B( y y0 ) 0 .
Уравнение (1) называется уравнением прямой, проходящей через точку M0(x0, y0)
перпендикулярно нормальному вектору n ( A, B ) .
2. Общее уравнение прямой.
В уравнении (1) раскроем скобки и обозначим C Ax0 By 0 .Уравнение вида
Ax + By + C = 0
(2)
называется общим уравнением прямой.
Общее уравнение прямой называется полным, если все его коэффициенты A, B, C
отличны от нуля.
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.
1) A 0, B 0, C = 0. Тогда Ax + By = 0 – уравнение прямой, проходящей через
начало координат.
C
2) A 0, B = 0, C 0 . Тогда Ax + C = 0 или х = –
есть уравнение прямой,
A
C
параллельной оси Oy и проходящей через точку (– ,0).
A
С
3) A = 0, B 0, C 0 . Тогда By + C = 0 или у = –
есть уравнение прямой,
B
С
параллельной оси Ox и проходящей через точку (0,– ).
B
4) A 0, B = 0 и C = 0. Тогда уравнение вида Ax = 0 или х = 0 определяет ось Oy.
5) A = 0, B 0, C = 0. Тогда уравнение вида By = 0 или y = 0 определяет ось Ox.
3. Уравнение прямой в “отрезках”.
Рассмотрим полное уравнение прямой. Так как все коэффициенты A, B и C
отличны от нуля, перепишем уравнение (2) в виде:
x
y
1.
C
C
A
B
C
C
Обозначим a , b .
A
B
Уравнение вида
x y
1
a b
называется уравнением прямой в “отрезках”.
Здесь числа a и b имеют простой геометрический смысл: они равны величинам
отрезков, которые отсекает прямая на осях Ox и Oy соответственно (отрезки
отсчитываются от начала координат).
4. Векторное уравнение прямой.
Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой называется
направляющим вектором этой прямой.
Пусть задан направляющий вектор s прямой L и точка М0 L .
Фиксируем в пространстве полюс О. Тогда положение точки М0 однозначно задаётся ёё
радиус - вектором r0 = OM 0 . Возьмём на прямой произвольную точку M (рис.2).
L
M
M0
r
s
r0
O
Рис.2
Точка М L M 0 M = t s для некоторого действительного числа (параметра)
t. Так как
M 0 M = r – r0 , где r - радиус- вектор точки М, то r – r0 = t s , или
(3)
r = r0 + t s .
Уравнение (3) называется векторным уравнением прямой.
Очевидно, что если t изменяется в интервале (– , ), то М пробегает вдоль
всей прямой L. Физически уравнение (3) можно интерпретировать как прямолинейное
равномерное движение точки М со скоростью s . Причём в момент t = 0 точка
находится в точке М0.
5. Параметрические уравнения прямой.
Пусть теперь на плоскости задана система координат Оху. Если вектор s и точка М0
имеют координаты: s (l , m) и
M0(x0, y0), то, записывая равенство (3) через
координаты векторов, получим параметрические уравнения прямой:
x x0 lt ,
y y 0 mt.
Здесь x, y – координаты произвольной точки М прямой.
6. Каноническое уравнение прямой.
Так как коллинеарность векторов s (l , m) и M 0 M ( x x0 , y y0 ) равносильна
пропорциональности их координат, то:
x x0 y y 0
.
(4)
l
m
Уравнение (4) называется каноническим уравнением прямой.
Замечание. Может оказаться, что один из знаменателей в (4), но не оба, равен
нулю. В таком случае считается, что соответствующий числитель также равен нулю, так
a c
как всякую пропорцию мы понимаем как равенство ad = bc.
b d
7. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Если прямая L проходит через две различные точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2), то
достаточно заметить, что вектор M 1 M 2 ( x 2 x1 , y 2 y1 ) является направляющим
для прямой L и, используя (4), получим уравнение прямой, проходящей через точки
M1(x1; y1) и M2(x2; y2):
x x1
y y1
.
(5)
x2 x1 y 2 y1
8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть дана некоторая прямая L, не перпендикулярная оси Ох. Назовём углом
наклона данной прямой к оси Ох угол , отсчитываемый от положительного
направления оси Ох до прямой против хода часовой стрелки (рис. 3). В таком случае
0 < . Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом
прямой и обозначается через k: k tg .
Пусть известны угловой коэффициент прямой k и величина b отрезка ОВ,
который прямая отсекает на оси Оу. Возьмём на прямой произвольную точку M(x, y) и
параллельные осям. Так как точка M(x,y) L, то из
MN
прямоугольного треугольника ВN M имеем k = tg =
, BN = x, MN = y – b.
BN
y b
Отсюда получаем k =
или
x
(6)
y kx b .
Уравнение вида (6) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
y
M
провёдём прямые ВN и MN,
B
N
b
x
0
Рис.3
9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым
коэффициентом.
Найдём уравнение прямой, зная угловой коэффициент k прямой и зная одну
точку M0(x0, y0) прямой. Так как прямая проходит через точку M0(x0, y0), то ёё
координаты должны удовлетворять уравнению (6): y 0 kx0 b . Вычитая последнее
уравнение из уравнения (6), получим уравнение прямой, проходящей через данную
точку M0(x0, y0) с данным угловым коэффициентом:
y y 0 k ( x x0 ) .
4.2. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая L не проходит через начало координат, и расстояние от точки O до
прямой равно OP = p. Проведём через начало координат нормальный единичный вектор
прямой n (cos , cos ) , где cos , cos – направляющие косинусы вектора (рис. 4).
L y
P
p
n
M(x,y)
0
x
Рис. 4
Возьмём на прямой произвольную точку М (x, y). Так как точка
М (x, y) лежит на прямой, то OM n | n | прn OM p или в координатной форме получим
уравнение, называемое нормальным уравнением прямой:
x cos y cos p 0 .
Чтобы из общего уравнения прямой Ax + By + C = 0 (C 0 ) получить её нормальное
1
уравнение, необходимо все члены уравнения умножить на множитель
,
2
A B2
называемый нормирующим множителем. Знак берётся противоположным знаку
свободного члена С.
С помощью нормального уравнения прямой можно определить расстояние от
данной точки М0(х0, у0) до прямой на плоскости.
Теорема.
Расстояние от точки М0(х0,у0) до прямой
L: x cos y cos p 0
определяется формулой:
d = | x0 cos y0 cos p |.
Следствие. Расстояние от точки
М0(х0,у0)
до прямой L : Ax By C 0
определяется по формуле:
Ax0 By 0 C
.
d
A2 B 2
Замечание. Так как cos sin , то нормальное уравнение прямой можно
записать в виде:
x cos y sin p 0 .
4.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых
1) Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями:
L1 : A1 x B1 y C1 0 и L2 : A2 x B2 y C2 0 .
Угол между прямыми L1 и L2 – это угол между нормальными векторами этих
прямых. Так как n1 ( A1 , B1 ) , n2 ( A2 , B2 ) , то косинус угла между прямыми
находится по формуле:
n n
A1 A2 B1 B2
cos 1 2
.
| n1 || n2 |
A12 B12 A22 B22
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 эквивалентно условию
ортогональности нормальных векторов n1 и n 2 этих прямых, т. е. равенство нулю их
скалярного произведения. Таким образом,
L1 L2 n1 n 2 n1 n2 = 0 A1 A2 B1 B2 0 .
Условие параллельности прямыx L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности
нормальных векторов n1 и n 2 этих прямых, т. е. пропорциональности их координат:
A1 B1
L1 | |L2 n1 | | n 2
.
A2 B2
2) Пусть две прямые заданы своими каноническими уравнениями:
x x1 y y1
x x2 y y 2
и L2 :
.
L1 :
l1
m1
l2
m2
Так как направляющими векторами прямыx L1 и L2 являются вектора s1 (l1 , m1 ) и
s 2 (l 2 , m2 ) , то по аналогии получаем:
косинус угла между двумя прямыми:
cos
l1l 2 m1m2
l12 m12 l 22 m22
;
l1 m1
;
l 2 m2
условие перпендикулярности двух прямых: L1 L2 l1l2 m1m2 0 .
3) Пусть теперь две прямые заданы своими уравнениями через угловые
коэффициенты:
условие параллельности двух прямых:
L1| | L2
L1 : y k1 x b1 и L2 : y k 2 x b2 .
Если 1 и 2 – углы наклона прямых L1 и L2 к оси Ox, а - один из углов между
этими прямыми, то 1 2 . Тогда
tg1 tg 2
k k2
.
tg tg(1 2 )
1
1 tg1 tg 2 1 k1k 2
k k2
И, следовательно, угол между двумя прямыми: tg 1
.
1 k1k 2
Условие параллельности прямых, очевидно
L1||L2 k1 = k2.
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 эквивалентно условию обращения в
нуль котангенса угла между прямыми и, следовательно, имеет вид: k1k2 + 1 = 0. Или
L1 L2 k1k2 = 1.
Литература:
[1] Глава 4, 4.1-4.3, c. 96-104.
Контрольные вопросы:
1. Как записывается каноническое уравнение прямой?
2. Как записывается уравнение прямой, проходящей через две точки?
3. Как записывается уравнение прямой с угловым коэффициентом?
4. Как записывается уравнение прямой, проходящей через данную точку с
данным угловым коэффициентом?
5. Как вычисляется угол между двумя прямыми?
6. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?
7. Какой вид имеет формула расстояния от точки до прямой?
Лекция 5
Уравнения плоскости и прямой в пространстве
5.1. Уравнения плоскости
1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору.
Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости,
будем называть нормальным вектором этой плоскости.
Пусть задан нормальный вектор n ( A, B, C ) плоскости P и точка M0(x0, y0, z0) P.
Возьмём на плоскости
произвольную точку M(x,y,z)
и рассмотрим вектор
M 0 M ( x x0 , y y0 , z z 0 ) (рис.1).
z
M0
M
P
n
y
0
x
Рис. 1
Точка M(x,y,z) принадлежат плоскости только в том случае, когда векторы M 0 M
и n будут перпендикулярны. Из условия перпендикулярности двух векторов получаем
уравнение:
(1)
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z 0 ) 0 ,
которое называется уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0 )
перпендикулярно
вектору n ( A, B, C ) .
2. Общее уравнение плоскости.
В уравнении (1) раскроем скобки и обозначим D Ax0 By 0 Cz0 .
Уравнение вида
Ax + By + Cz + D = 0
(2)
называется общим уравнением плоскости в пространстве.
Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты A, B,
C, D отличны от нуля.
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.
1) D = 0. Тогда Ax + By + Cz = 0 есть уравнение плоскости, проходящей через
начало координат.
2) C = 0. Уравнение Ax + By + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Oz,
пересекающую плоскость Оху по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение
Ax + By + D = 0. Действительно, нормальный вектор этой плоскости n ( A, B,0)
перпендикулярен оси Oz.
3) С = 0, D = 0. Уравнение Ax + By = 0 определяет плоскость, проходящую через ось
Оz, пересекающую плоскость Оху по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение Ax
+ By = 0.
4) A = 0. Уравнение By + Cz + D = 0 определяет плоскость параллельную оси Ox,
пересекающую плоскость Оуz по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение
By + Cz + D = 0. Действительно, нормальный вектор этой плоскости n (0, B, C )
перпендикулярен оси Ox.
5) A = 0, D = 0. Уравнение By + Cz =0 определяет плоскость, проходящую через
ось Ох, пересекающую плоскость Оуz по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение
By + Cz = 0.
6) B = 0. Уравнение Ax + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Oy,
пересекающую плоскость Оxz по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение Ax+ Cz
+D = 0. Действительно, нормальный вектор этой плоскости n ( A,0, C ) перпендикулярен
оси Oy.
7) B = 0, D = 0. Уравнение Ax + C z =0 определяет плоскость, проходящую через ось
Oy, пересекающую плоскость Оxz по прямой, имеющей на этой плоскости уравнение
Ax + Cz =0.
D
определяет плоскость,
C
параллельную координатной плоскости Oxy, пересекающую ось Oz в точке с апликатой
D
z=–
. Действительно, плоскость параллельна осям Ox и Oy.
C
D
9) A = 0, C = 0. Уравнение By + D = 0 или у = –
определяет плоскость,
B
параллельную координатной плоскости Oxz, пересекающую ось Оу в точке с ординатой у
D
= – . Действительно, плоскость параллельна осям Ox и Oz.
B
D
10) B = 0, C = 0. Уравнение Ax + D =0 или х = –
определяет плоскость,
A
параллельную координатной плоскости Oyz, пересекающую ось Ох в точке с
D
абсциссой х = – . Действительно, плоскость параллельна осям Oy и Oz.
A
11) A = 0, B = 0, D = 0. Уравнение Cz = 0 или z = 0 определяет координатную
плоскость Oxy.
12) A = 0, С = 0, D = 0. Уравнение By = 0 или y = 0 определяет координатную
плоскость Oxz.
13) B = 0, C = 0, D = 0. Уравнение Ax = 0 или x = 0 определяет координатную
плоскость Oyz.
8) A = 0,
B = 0.
Уравнение
Cz + D = 0 или z = –
3. Уравнение плоскости в “отрезках”.
Рассмотрим полное уравнение плоскости. Так как все коэффициенты A, B, C и D
отличны от нуля, перепишем уравнение (2) в виде:
x
y
z
1.
D
D
D
A
B
C
D
D
D
Обозначим a , b , c .
A
B
C
Уравнение вида
x y z
1
a b c
называется уравнением плоскости в отрезках (рис.2).
z
c
О
b
a
x
Рис. 2
y
Здесь числа a , b и c имеют простой геометрический смысл: они равны величинам
отрезков, которые плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz соответственно.
4. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть плоскость P не проходит через начало координат, и расстояние от точки О до
P равно p, и пусть n (cos , cos , cos ) – единичный нормальный вектор, проведенный
из точки О в направлении плоскости, cos , cos , cos – его направляющие косинусы.
Уравнение данной плоскости получим аналогично тому, как мы получили нормальное
уравнение прямой.
Нормальным уравнением плоскости называется уравнение вида:
xcos y cos z cos p 0 .
Чтобы из общего уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0 получить ёё
нормальное уравнение, необходимо все члены уравнения умножить на нормирующий
множитель :
1
,
A2 B 2 C 2
где знак бёрётся противоположным знаку свободного члена D.
С помощью нормального уравнения плоскости можно определить расстояние от
данной точки M0(x0,y0,z0) до плоскости.
Теорема. Расстояние от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости
P: x cos y cos z cos p 0
определяется формулой:
d = | x0 cos y0 cos z 0 cos p |
Следствие. Расстояние от точки M0(x0;y0;z0) до плоскости P: Ax By Cz D 0
вычисляется по формуле:
Ax0 By 0 Сz0 D
.
d
A2 B 2 C 2
5. 2. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности двух плоскостей.
Пусть даны две плоскости заданные общими уравнениями:
P1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 и P2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 .
Под углом между плоскостями понимается один из двугранных углов,
образованных этими плоскостями. При любом расположении плоскостей P1 и P2 в
пространстве один из углов между ними равен углу между их нормальными
векторами n1 ( A1 , B1 , C1 ) и n2 ( A2 , B2 , C 2 ) . Поэтому косинус угла между
плоскостями вычисляется по формуле:
n n
A1 A2 B1 B2 C1C 2
cos 1 2
.
| n1 || n2 |
A12 B12 C12 A22 B22 C 22
Условие параллельности плоскостей P1 и P2
эквивалентно условию
коллинеарности нормальных векторов n1 и n 2 этих плоскостей:
A
B
C
P1 | | P2 n1 | | n 2 1 1 1 .
A2 B2 C 2
Условие перпендикулярности плоскостей P1 и P2 эквивалентно условию
ортогональности нормальных векторов n1 и n 2 этих плоскостей:
P1 P2 n1 n 2 n1 n2 = 0 A1 A2 B1 B2 C1C2 0 .
5.3. Прямая в пространстве
Пусть в пространстве Oxyz имеется прямая L с направляющим вектором
M0(x0, y0, z0) L . Возьмём на прямой произвольную точку
s (l , m, n) и точка
M(x, y, z). По аналогии с прямой на плоскости получим следующие уравнения прямой в
пространстве.
1. Векторное уравнение прямой:
r = r0 + t s .
2. Параметрические уравнения прямой в пространстве:
x x0 lt ,
y y 0 mt,
z z nt.
0
3. Канонические уравнения прямой в пространстве:
x x0 y y 0 z z 0
.
l
m
n
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Если прямая L проходит через две различные точки M1(x1, y1, z1), и M2(x2, y2, z2),
то вектор M 1 M 2 ( x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 ) можно взять за направляющий вектор
прямой L и получить уравнение прямой, проходящей через точки M1(x1, y1, z1), и
M2(x2, y2, z2):
x x1
y y1
z z1
.
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
5.Угловые соотношения.
Пусть две прямые заданы своими каноническими уравнениями:
x x1 y y1 z z1
x x2 y y 2 z z 2
и L2 :
.
L1 :
l1
m1
n1
l2
m2
n2
Так как направляющими векторами прямыx L1 и L2 являются вектора s1 (l1 , m1 , n1 ) и
s 2 (l 2 , m2 , n2 ) , то можно получить следующие формулы.
Косинус угла между двумя прямыми:
l1l 2 m1 m2 n1 n2
cos
.
l12 m12 n12 l 22 m22 n22
Условие параллельности двух прямых:
l
m
n
L1 | |L2 1 1 1 .
l 2 m2 n 2
Условие перпендикулярности двух прямых:
L1 L2 l1l2 m1m2 n1n2 0.
5. 4. Прямая и плоскость
Пусть заданы прямая L и плоскость P в пространстве уравнениями:
x x0 y y 0 z z 0
L:
и P: Ax + B y+ C z+ D = 0.
l
m
n
Тогда направляющий вектор прямой имеет координаты s (l , m, n) , а нормальный
вектор плоскости имеет координаты n ( A, B, C ) .
Под углом между прямой L и плоскостью P будем понимать острый угол между
прямой L и ёё проекцией на плоскость P (рис.3).
L
n
P
Очевидно, что угол
s
Рис.3
является дополнительным углом углу образованному
векторами n и s . Тогда = 90 – , sin sin( 90 ) = сos . И для вычисления
синуса угла между прямой и плоскостью можно использовать формулу:
Al Bm Cn
.
sin
2
2
A B C 2 l 2 m2 n2
Условием параллельности прямой и плоскости является перпендикулярность
нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой:
L | |P n s Al Bm Cn 0 .
Условием перпендикулярности прямой и плоскости является коллинеарность
нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой:
A B C
L P n | |s .
l m n
Литература:
[1] Глава 4, 4.7, c.119-121.
Контрольные вопросы:
1. Что называется нормальным вектором плоскости?
2. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через данную
точку перпендикулярно данному вектору?
3. Как записывается общее уравнение плоскости?
4. Как записываются параметрические уравнения прямой в пространстве?
5. Как записываются канонические уравнения прямой в пространстве?
6. Как записываются уравнения прямой в пространстве, проходящей через две
точки?
7. Как вычисляются углы между двумя плоскостями, между прямой и
плоскостью?
8. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей,
прямой и плоскости?
9. Какой вид имеет формула расстояния от точки до плоскости?
Лекция 6
Функция. Предел и непрерывность функции
6.1. Функция. Способы задания и свойства функций
Пусть D и Е – некоторые множества.
Определение. Функцией f с областью определения D и областью значений E
называется некоторое отображение из D в E , т. е. соответствие, при котором
каждому элементу x D сопоставляется единственный элемент y f ( x) E .
Если D и Е – некоторые множества чисел, то функция y f (x) называется
числовой. В этом случае говорят также, что задана независимая переменная
(аргумент) х, которая может принимать значения из множества D, и каждому х D
приведено в соответствие определённое значение (число) другой переменной у Е,
называемой функцией или зависимой переменной. Числовые функции можно задавать
следующими способами.
а) Табличный.
б) Графический. Графиком функции у = f(x) называется множество точек (х, у)
плоскости Oxy таких, что x D и y f (x) .
в) Аналитический. Аналитическим способом, т.е. с помощью одной формулы,
можно задавать только элементарные функции.
Рассмотрим основные свойства функций.
1. Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений
х из области определения f( –x) = f( x) и нечетной, если f( –x) = – f( x). В противном
случае функция y f (x) называется функцией общего вида.
2. Монотонность. Функция y f x называется неубывающей (невозрастающей)
на множестве X, если для любых x1 , x2 X , удовлетворяющих условию
x1 < x2
справедливо неравенство f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 )) .
Неубывающие и невозрастающие функции объединяются под общим названием
монотонные функции.
Если для любых x1 , x2 X , удовлетворяющих условию
x1 < x2 справедливо
неравенство f ( x1 ) f ( x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ), то функция называется возрастающей
(убывающей) на множестве X.
Возрастающие и убывающие функции называются также строго монотонными.
3.Ограниченность. Функция y f x называется ограниченной на множестве X,
если существует такое число М >0, что f x M .
4. Периодичность. Функция y f x называется периодической с периодом Т 0,
если для любых значений х из области определения функции f( x + Т ) = f( x).
6.2. Основные элементарные функции. Элементарные функции
Функции C (постоянная); x a (степенная); a x (показательная, а>0, a 1 ); log a x
(логарифмическая, а>0, a 1 ); sinx, cosx, tgx, ctgx (тригонометрические); arcsinx,
arccosx, arctgx, arcctgx (обратные тригонометрические) называются основными
элементарными функциями.
Определение. Если на множестве X определена функция u x со множеством
значений
U, а на множестве
U определена функция y = f u , то y f ( x)
называется сложной функцией от x , а переменная u – промежуточным аргументом
сложной функции.
Cложную функцию называют также функцией от функции или суперпозицией
заданных функций.
Применяя к основным элементарным функциям арифметические действия и
операции функции от функции (суперпозиции) в конечном числе, можно получать
новые функции, которые называются элементарными функциями. Областью
определения элементарной функции y f (x) называется множество всех значений
аргумента х при которых выражение f (x) имеет смысл.
6.3. Числовая последовательность и ее предел
Под числовой последовательностью x1 , x2 ,..., xn ,... понимается функция x n =
f (n) , заданная на множестве N натуральных чисел. Последовательность обозначают
в виде x n или x n , n N .
Определение. Число а называется пределом последовательности xn
( lim x n a ), если для любого числа 0 найдётся такое натуральное число N, что
n
при всех n N , выполняется неравенство xn a .
(lim xn a 0N ( )n N xn a ).
n
6.4. Предел функции
Определение 1. Число А называется пределом функции y f (x) при x a
( lim f ( x) A ), если для любого 0 найдётся такое 0, что для всех x a ,
xa
удовлетворяющих неравенству | x a | , выполняется неравенство f ( x) A .
( lim f ( x) A если 0 0x : | x a | , x a f ( x) A .
xa
Определение 2. Число А называется пределом слева функции y f (x) при x a
( lim f ( x) A или f (a 0) A ), если
xa
0 0 : x (a , a)
f ( x) A . .
Определение 3. Число А называется пределом справа функции y f (x) при
x a ( lim f ( x) A или f (a 0) A ), если
xa
0 0x (a, a )
f ( x) A
Теорема. Предел lim f ( x ) существует в том и только в том случае, когда
x a
существуют пределы lim f ( x), lim f ( x) , и они равны между собой.
xa
xa
Определение 4. Число А называется пределом функции y f (x) при x
( lim f ( x) A ), если 0 N : x N f ( x) A .
x
Определение 5. Число A называется пределом функции y f (x) при x
( lim f ( x) A ), если 0 N : x N f ( x) A .
x
Определение 6. Число А называется пределом функции y f (x) при x ,
если 0N : x : x N f ( x) A . Обозначается lim f ( x) A .
x
Теорема. Предел lim f ( x ) существует в том и только в том случае, когда
x
существуют пределы lim f ( x), lim f ( x) и они равны между собой.
x
x
6.5. Свойства функций и последовательностей, имеющих предел
Теорема 1. Предел постоянной функции (или последовательности) равен этой
постоянной, т.е. lim C C .
xa
Теорема 2.
Если предел функции (последовательности) существует, то он
единствен.
Функция y f x называется ограниченной на множестве D, если существует
такое число М > 0 , что для всех x D , f x M . Последовательность x n
называется ограниченной, если существует такое число М > 0 , что для всех n N ,
выполняется неравенство | x n | M .
Теорема 3. Если функция y f (x) имеет предел lim f ( x ) , то она ограничена в
x a
некоторой окрестности точки a .
Любая последовательность, имеющая предел, ограничена.
Теорема 4. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Теорема 5. Если lim x n a , lim y n a и справедливо неравенство xn z n y n
n
n
(начиная с некоторого номера), то lim z n a.
n
Теорема 6. Пусть функции f x и x имеют в точке а пределы lim f ( x ) =A,
x a
lim g ( x) =B. Тогда функции f (x ) g (x ) , f ( x) g ( x) ,
x a
f ( x)
(B 0) имеют в точке а
g ( x)
пределы, равные соответственно B C , BC , B / C.
6.6. Бесконечно малые и бесконечно большие и их свойства
Функция y (x) называется бесконечно малой (б.м.) при
lim ( x ) 0 .
x a , если
xa
Теорема 1. Пусть 1 ( x), 2 ( x),..., n ( x) — б.м. при x a , тогда их сумма
( x) 1 ( x) n ( x) также является б.м. при x a .
Теорема 2. Пусть (x ) б. м. при x a , а f (x) ограничена в некоторой
окрестности точки а, тогда ( x) f ( x) является б. м. при x a .
Функция y = F(x) называется бесконечно большой (б.б.) при x a
( lim F ( x) ), если N 0 0 x : | x a | , x a F ( x) N
xa
Теорема 1. Сумма б.б. одного знака при x a является б.б. при x a .
Теорема 2. Сумма б.б. функции при x a и ограниченной в окрестности точки а
функции является б.б. при x a .
Теорема 3. Если y F (x) б.б. при x a , а g ( x) C 0 в некоторой окрестности
точки а, то функция y F ( x) g ( x) является б.б. при x a . В частности,
произведение двух б.б. и произведение б.б. на функцию, имеющую ненулевой предел,
является б.б.
1
Теорема 4. Если функция (x ) – б.м. ( 0 ), то функция
есть б.б. и
( x)
1
наоборот: если функция f (x) – б.б., то
– б.м.
f ( x)
6.7. Замечательные пределы
1. Первый замечательный предел
sin x
1.
Теорема. lim
x 0
x
2. Второй замечательный предел
n
x
1
1
1
Теорема. a ) lim 1 e, б ) lim 1 e, в) lim 1 x x e .
n
x
x0
x
n
Здесь e 2,718282... – иррациональное число.
6.8. Сравнение бесконечно малых
Бесконечно малая y ( x) называется б.м. высшего порядка малости по
сравнению с б.м. y (x) при x a в случае, если найдётся б.м. y ( x ) при x a
такая, что ( x) ( x) ( x) . Соответствующее обозначение ( x) o ( x) .
Бесконечно малые y ( x) и y ( x) при x a называются эквивалентными,
( x)
если lim
1 . Обозначение ( x) ( x ) .
xa ( x)
Это отношение эквивалентности удовлетворяет свойствам:
1) ( x) ( x) ;
2) ( x) ( x) ( ( x) ( x )) ;
3) Если ( x ) ( x ) и (x) ( x) , то ( x) ( x) .
Теорема. Пусть ( x) есть б. м. при x a , тогда:
1) sin ( x) ~ ( x) ;
2) tg ( x ) ( x) ;
3) arcsin ( x) ( x) ;
4) arctg ( x) ( x ) ;
5) ln 1 ( x) ( x) ;
6) b ( x ) 1 ( x ) lnb , (b 0) ;
7) 1 ( x) 1 a ( x ) , (a 0) .
Теорема. Пусть i ( x) ~i ( x) i 1,2...n при x a , тогда
( x) 2 ( x)... k ( x)
~ ( x) ~2 ( x)...~k ( x)
.
lim 1
lim 1 ~
x a
x a
k 1 ( x) ... n ( x)
k 1 ( x) ... ~n ( x)
При этом оба записанных предела существуют одновременно.
a
6.9. Непрерывность функции. Свойства
функций, непрерывных в
точке.
Определение. Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 , если
выполняются три условия:
1) f ( x 0 ) ; 2) lim f ( x) ; 3) lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
Теорема 1. Пусть функции y f (x) и y g (x) непрерывны в точке x0 . Тогда
f ( x)
функции y f ( x) g ( x) , y f ( x) g ( x) , y
(при условии g ( x0 ) 0, ) являются
g ( x)
функциями, непрерывными в точке x0 .
Теорема 2 (непрерывность сложной функции). Пусть функция y f (x)
непрерывна в точке x0 и u0 f ( x0 ) , а функция z g (u ) непрерывна в точке u0 . Тогда
сложная функция z g f (x) непрерывна в точке x0 .
6.10. Точки разрыва функции и их классификация
Определение. Точка x0 , в которой нарушается хотя бы одно условие
непрерывности функции y f (x) , называется точкой разрыва этой функции.
1. Если lim f ( x) , значение f ( x0 ) не определено или lim f ( x) f ( x0 ) , то x 0
x x0
x x0
называется точкой устранимого разрыва.
2. Если lim f ( x) , lim f ( x) и lim f ( x) lim f ( x) , то точка x0 называется
xx0
xx0
xx0
xx0
разрывом первого рода функции y f (x) .
3. Если хотя бы один из пределов lim f ( x) , lim f ( x) не существует (равен
xx0
xx0
бесконечности), то точка x 0 называется разрывом второго рода функции y f (x) .
Литература: [1] Глава 5, 5.1- 5.5, c.123-134. Глава 6, 6.1- 6.7, c.141-166.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение функции. Что называется областью определения
функции?
2. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.
3. Какая функция называется элементарной, сложной? Приведите примеры.
4. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции
при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при
стремлении аргумента к бесконечности.
5. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?
6. Какой предел называется первым замечательным пределом?
7. Сформулируйте определение числа е.
8. Сравнение бесконечно малых, теоремы о пределах функций.
9. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке.
10. Какие точки называются точками разрыва функции?
Лекция 7
Понятие производной и дифференциала функции
7.1. Производная функции
Пусть функция y f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 .
Приращением аргумента х в точке x 0 называется разность x x x0 .
Приращением функции y f (x) в точке x0 называется разность
f f ( x) f ( x0 ) f x0 x f ( x0 ) .
Геометрически х и f означают изменения абсциссы и ординаты точки на графике
y f (x) при перемещении из точки x0 , f ( x0 ) в точку ( x, f ( x)) (рис. 1).
y = f(x)
y
y
f ( x0 )
0
f (x )
x0
x
x
x
Рис. 1
Определение. Если функция y f (x) определена в некоторой окрестности точки
x0 и lim y 0 , то она называется непрерывной в точке x0 .
x 0
Определение. Производной функции y f (x) в точке x0 называется предел:
y
f x0 x f x0
f ( x0 ) lim
lim
.
(1)
x 0 x
x 0
x
Для
обозначения
y, y( x), f ( x).
производных
пользуются
следующими
символами:
Если функция y f (x) имеет конечную производную в точке x 0 , то она
называется дифференцируемой в этой точке (т. е. предел (1) существует).
Теорема. Если функция y f (x) дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна
в этой точке.
7.2. Механический и геометрический смыслы производной
1. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь s(t).
Тогда за промежуток времени от t 0 до t 0 t она проходит путь st 0 t st 0 s ,
s
и средняя скорость точки на промежутке t 0 , t 0 t равна v ср
. Мгновенная
t
скорость v точки в момент t 0 равна пределу vср при
t 0 :
s
s (t 0 ) .
t 0
t 0 t
То есть, производная пути по времени s (t 0 ) есть скорость точки в момент t 0 .
В этом состоит механический смысл производной.
2. Рассмотрим график непрерывной кривой y f (x) .
Проведём через точки Ax0 , f ( x0 ) и Bx0 x, f ( x0 x графика прямую AB. Эта
прямая называется секущей (рис.2). Её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла наклона
BC y
к оси Ох равен tg
.
AC x
v (t 0 ) lim vср lim
y f (x)
y
f ( x0 x)
B
D
f ( x0 )
A
С
x
0
x0
Рис. 2
x0 x
Определение. Касательной к кривой y f (x) в точке A называется предельное
положение AD секущей AB, проходящей через точку A, когда точка B неограниченно
приближается по кривой к точке A.
Касательная AD в точке x0 , f ( x0 ) – это прямая, проходящая через x0 , f ( x0 ) ,
угловой коэффициент которой равен tg lim tg .
x 0
Таким образом: производная f ( x0 ) в точке x 0 равна угловому коэффициенту
касательной, проведенной к кривой y f (x) в точке x 0 . В этом заключается
геометрический смысл производной.
Уравнение касательной к кривой y f (x) в точке x 0 имеет вид
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) .
7.3. Экономический смысл производной. Предельные издержки
Пусть
функция u u (t ) выражает количество произведенной продукции u за
время t и необходимо найти производительность труда в момент t 0 .
Очевидно, за период времени от
t 0 до t0 t количество произведенной
продукции изменится от значения u 0 u(t 0 ) до значения
u 0 u u (t 0 t ) ; тогда
u
. Очевидно, что
средняя производительность труда за этот период времени z ср
t
производительность труда в момент t 0 можно определить как
u
z lim z ср lim
u (t 0 ).
t 0
t 0 t
Таким образом: производная объема произведенной продукции по времени u (t0 )
t 0 . В этом заключается
есть
производительность труда в
момент
экономический смысл производной.
Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл
производной.
Издержки производства
у будем рассматривать как функцию количества
выпускаемой продукции х. Пусть x – прирост продукции. Тогда y – приращение
y
издержек производства и
– среднее приращение издержек производства на единицу
x
y
продукции. Производная y lim
выражает предельные издержки производства
x 0 x
и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы
дополнительной продукции.
Предельные издержки зависят от уровня производства х и определяются не
постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо
и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка,
предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и другие предельные
величины.
7.4. Правила дифференцирования
Теорема 1. (правила дифференцирования суммы, произведения и частного).
Если функции y u (x ) и y v(x) дифференцируемы в точке х, то сумма,
произведение и частное этих функций (частное при условии, что v ( x ) 0 ) также
дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:
u u v uv
1. u v u v ; 2. u v u v uv ; 3.
.
v2
v
Теорема 2. (правило дифференцирования сложной функции). Если функция
u (x) имеет производную u x в точке x , а функция y f (u ) имеет производную y u
в соответствующей точке u (x) , то сложная функция y f ( ( x)) имеет
производную y x в точке x , которая находится по формуле
y x = y u ∙ u x .
Теорема 3. (правило дифференцирования обратной функции). Если функция
y f (x) в точке x имеет производную y x 0 , то обратная функция x ( y ) также
имеет в соответствующей точке y f (x) производную, причем
1
.
x y
y' x
Дифференцирование неявных функций
Функцию одной переменной y y (x ) можно задавать с помощью уравнения,
содержащего x и y вида
F ( x, y ) 0 .
Функция y y (x ) , заданная с помощью такого уравнения называется неявной.
Если зависимость между х и у задана в неявной форме, то для нахождения производной
функции y необходимо продифференцировать по x обе части данного уравнения,
рассматривая y как функцию от x . Из полученного уравнения находится y .
7.5. Таблица производных элементарных функций
Здесь u – независимая переменная или непрерывно дифференцируемая функция
u = u(x), с, а – постоянные, а > 0, a 1 .
1.
c 0;
2.
u n u
3.
a a
4.
5.
6.
7.
n
n 1
u ;
ln a u , e u e u u ;
log a u 1 u , ln u u ;
u ln a
u
sin u cos u u ;
cos u sin u u ;
tgu u 2 ;
cos u
u
u
u
;
sin 2 u
u
9. arcsin u
;
1 u 2
u
10. arccos u
;
1 u 2
u
11. arctg u
;
1 u 2
8 . (ctgu )
12.
arcctg u
u
.
1 u 2
7.6. Дифференциал функции и его геометрический смысл
Определение. Если приращение функции y f (x) в точке x0 можно представить
в виде f a x x x , где a – число, а x - б.м. при x 0 , то величина
df x0 a x называется дифференциалом функции y f (x) в точке x0 (главной
частью приращения).
Теорема о дифференциале. Для того чтобы функция y f (x) имела
дифференциал в точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы существовала
производная f ( x0 ) , при этом df x0 f x0 x , (т.е. a f ( x0 ) .
Выясним геометрический смысл дифференциала (рис.3). Поскольку tg f x0 то
СВ АВ tg f x0 x df x0 . Поэтому
df x0
равен приращению координаты
касательной, проведённой к графику функции y f (x) в точке x0 при приращении x
аргумента x0 .
y
D
(x)x
f
С
df
A
y0
B
0
x0
Рис. 3
x0 x
x
Основные свойства дифференциала.
Пусть функции y u (x) и y v ( x) дифференцируемы, тогда
1)
d u v du dv , d (u c) du , где с – число.
u vdu udv
d (uv) vdu udv, d (cu ) cdu .
2)
3) d
, если v( x) 0 .
v2
v
Формула для приближенного вычисления значения функции в точке x0 x имеет
вид: f x0 x f x 0 f x0 x .
7.7. Производные высших порядков
Производная y f (x) функции y f (x) есть также функция от х и называется
производной первого порядка.
Определение. Производной n – го порядка функции называется производная от
её производной (n –1) порядка
y (n ) ( y ( n1) ) , n =1,2,3,…
7.8. Правило Лопиталя
Теорема 1. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
0
). Пусть
0
функции y f (x) и y g (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки а
и обращаются в нуль в этой точке: f (a ) = g (a ) =0. Пусть g ( x ) 0 в окрестности а.
f ( x)
f ( x)
Тогда, если существует lim
, то существует lim
и
x a g ( x )
x a g ( x)
f ( x)
f ( x)
= lim
.
lim
x a g ( x )
x a g ( x )
Если производные f (x) и g (x ) удовлетворят тем же условиям, что и функции
y f (x) и y g (x) , то теорему 1 можно применить еще раз:
f ( x)
f ( x)
f ( x)
= lim
= lim
и т.д.
lim
x a g ( x )
x a g ( x )
x a g ( x )
Теорема 2. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
). Пусть
функции y f (x) и y g (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки а
lim f ( x ) = lim g ( x) ,
(кроме, может быть, точки а) и в этой окрестности
xa
x a
f ( x)
f ( x)
, то существует lim
и
x a g ( x )
x a g ( x)
f ( x)
f ( x)
= lim
.
lim
x a g ( x )
x a g ( x )
Аналогичные утверждения справедливы для x , x , x , x a ,
xa.
К пределам видов (0 ), ( ), (1 ), (0 0 ), ( 0 ) , также можно применять
g ( x ) 0 . Тогда, если существует lim
правило Лопиталя, предварительно преобразовав выражение к виду
0
или .
0
Литература: [1] Глава 7, 1–7.6, c.176-197. Глава 8, 8.2, c.208–212.
Контрольные вопросы:
1. Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и
геометрический смысл?
2. Запишите формулы дифференцирования основных элементарных функций
3. Запишите формулу дифференцирования сложной функции.
4. Сформулируйте определение дифференциала функции. В чем заключается
свойство инвариантности формы дифференциала функции?
5. На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?
6. Сформулируйте определения производных и дифференциалов высших
порядков.
7. Правило Лопиталя.
Лекция 8
Исследование функций
8.1. Возрастание и убывание функций
Функция y f (x) называется неубывающей (возрастающей) в интервале (а, b),
если для любых x1 x2 из этого интервала выполняется неравенство f ( x1 ) f ( x2 )
( f ( x1 ) f ( x2 ) ). Если (x1 , x2 (a, b) : x1 x2 ) ( f ( x1 ) f ( x2 )) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ), то
такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, b). Такие функции
называют монотонными в интервале (а, b).
Теорема. 1) Если функция f (x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает
на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f (x) 0.
2) Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в
промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на
отрезке [a, b].
Если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f(x) 0 на этом отрезке. Если
f(x) < 0 в промежутке (а, b), то f(x) убывает на отрезке [a,b] .
8.2. Максимум и минимум функций. Необходимые и достаточные условия
существования экстремума
Определение. Точка x1 называется точкой максимума функции у = f (x), если
cуществует такая окрестность точки x1 , что для всех x x1 из этой
окрестности выполняется неравенство f(x) < f( x1 ).
Определение. Точка x 2 называется точкой минимума функции у = f( x), если
cуществует такая окрестность точки x 2 , что для всех x x2 из этой
окрестности выполняется неравенство f (x) > f ( x 2 ).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом
(минимумом) функции. Максимум (минимумом) функции называется экстремумом
функции.
Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если
дифференцируемая функция у = f(x) имеет экстремум в точке x1 , то ее производная
в этой точке равна нулю: f ( x1 ) = 0.
Обратное утверждение к этой теореме не верно.
Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых
производная функции не существует или равна нулю.
Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума).
Пусть
функция f (x) непрерывна в интервале (а, b), который содержит критическую точку
x1 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой
точки x1 ). Если при переходе через точку x1 слева направо производная функции f
(x) меняет знак с плюса на минус, то в точке x1 функция f (x) имеет максимум, если
же производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке
минимум, если же производная знака не меняет, то в точке x1 экстремума не
существует.
Исследование функции на экстремум с помощью производных высших
порядков.
Теорема 3. Пусть в точке x1 первая производная функции f (x) равна нулю
(f ( x1 ) = 0), а вторая производная в точке x1 существует и отлична от нуля (
f ( x1 ) 0 ), то при f ( x1 ) 0 в точке x1 функция имеет максимум и минимум – при
f ( x1 ) 0 .
8.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
Рассмотрим на плоскости кривую y f (x) , являющуюся графиком
дифференцируемой функции f (x) .
Определение. Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на
интервале (а, b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом
интервале.
Определение. Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на
интервале (b, с), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом
интервале.
Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а
обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.
у
а
в
с
x
Рис.1
На рисунке 1 показана кривая, выпуклая на интервале (а, b) и вогнутая на
интервале (b, с).
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x)
отрицательна, т.е. f ( x) 0 , то кривая y = f (x) на этом интервале обращена
выпуклостью вверх (кривая выпукла).
Теорема 1′. Если во всех точках интервала (b, с) вторая производная функции
f (x) положительна, т.е. f ( x) 0 , то кривая y = f (x) на этом интервале обращена
выпуклостью вниз (кривая вогнута).
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется
точкой перегиба кривой.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y f (x) . Если вторая
производная f (a) = 0 или f (a) не существует и при переходе через точку х = а
производная f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой
перегиба.
8.4. Асимптоты графика функции
Определение. Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние от
переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность
стремится к нулю.
Асимптоты функции делятся на два вида:
1) вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси Oy ; они имеют
уравнения вида х = а;
2) наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси Oy ; они имеют
уравнения вида y = kx + b.
Теорема о вертикальной асимптоте. Прямая х = а является вертикальной
асимптотой функции y f (x) только в том случае, когда lim f ( x) , или
x a 0
lim f ( x) .
x a 0
Теорема о наклонной асимптоте.
Прямая y kx b является наклонной
асимптотой графика функции y f (x) при x ( x ) только в том случае,
когда существуют (конечные) пределы
k lim
x
( x )
f ( x)
x
и
b lim f ( x) kx.
x
( x )
8.5. Общая схема исследования функции и построения графика
Исследование функции целесообразно проводить в следующем порядке.
1) Найти область определения функции.
2) Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.
3) Выяснить является ли функция четной, нечетной, периодической.
4) Найти точки пересечения графика с осями координат.
5) Найти интервалы монотонности функции и экстремумы функции.
6) Найти интервал выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.
7) Построить график функции.
Литература: [1] Глава 8, 8.3–8.8, c.213 – 231.
Контрольные вопросы:
1. Сформулируйте определение точек экстремума функции.
2. Сформулируйте правила нахождения экстремума функции с помощью первой
производной и второй производной.
3. Как находятся интервал выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба?
4. Как находятся вертикальные и наклонные асимптоты графика функции?
5. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.
Лекция 9
Функции нескольких переменных
9.1. Основные понятия и определения
Пусть имеется n переменных величин и каждому набору их значений
( x1 , x 2 ,…, xn) из некоторого подмножества D R n соответствует определенное
значение переменной величины u. Тогда говорят, что на множестве D задана
функция нескольких переменных u = f( x1 , x 2 ,…,xn). Переменные x1 , x 2 ,…,xn
называются независимыми переменными или аргументами, u – зависимой
переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество D называется
областью определения функции.
Пусть теперь D - некоторое подмножество на плоскости Oxy (в пространстве
Oxyz ).
Определение. Функцией двух (трех) переменных называется функция, область
определения D которой есть некоторое подмножество плоскости R2 (пространства
R3), а область значений E принадлежит действительной оси R.
Соответствующие обозначения: u = f(x, y), (u = f(x, y, z)).
Способы задания функции нескольких переменных
а) Аналитический способ. Этот способ позволяет задать функцию нескольких
переменных с помощью одной формулы, включающей в себя переменные, основные
элементарные функции, их суперпозиции и четыре арифметических действия. Такие
функции называются элементарными.
Аналитически заданная (элементарная) функция имеет естественную область
определения D – множество всех значений аргументов функции, при которых
выражение, определяющее функцию, имеет смысл.
б) Табличный способ. Таблица функции двух переменных имеет прямоугольную
форму, ее строки и столбцы отмечены значениями соответственно первой и второй
переменных этой функции. Например, таблица функции z = f(x, y) имеет вид:
y1
y2
…
yn
…
x1
z11
z12
…
z
…
x2
z 21
z
…
z
…
…
xm
…
z
…
z
…
…
…
z
…
x
y
1n
2n
22
m1
m2
mn
…
Здесь z ij = f(xi, yj), точки (xi, yj) принадлежат области определения функции.
в) Графический способ.
Определение. Графиком функции двух переменных z = f (x, y) называется
поверхность
в
пространстве
Oxyz,
образованная множеством
точек
M(x, y, z) пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f (x, y).
Проекция графика функции на плоскость Oxy совпадает с областью определения D
этой функции.
Пусть C число. Линией уровня C функции z = f (x, y) называется множество всех
точек M ( x, y ) из области
D определения функции, координаты которых
удовлетворяют уравнению
f (x, y) = C.
Поверхностью уровня C функции u = f(x, y, z) называется множество всех точек
M(x, y, z) из области определения функции D, координаты которых удовлетворяют
уравнению
f (x, y, z) = C.
9.2. Предел и непререрывность функции двух переменных
Определение. Множество M точек, координаты x и y которых удовлетворяют
неравенству p( M ,M0)< , называется окрестностью точки М0 ( x 0 , y 0 ) .
Определение. Число А называется пределом функции z = f (x, y) в точке
М0 ( x 0 , y 0 ), если для любого >0 существует такое число = ( ) >0, что для всех
точек M(x, y), удовлетворяющих условию ( M , M 0 )< выполняется неравенство
f ( x, y) A < .
Соответствующее обозначение:
lim f (M ) A
M M 0
или
lim f ( x, y) A .
x x0
y y0
Теорема. Пусть функции f (M) и g (M) определены на одном и том же множестве и
f (M )
имеют в точке M0 пределы B и С. Тогда функции f (M) g (M) , f (M) g (M ) и
g (M )
B
(C 0 ) имеют в точке M0 пределы, равные соответственно B C , B C и .
C
Определение. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M0(x0, y0),
если она: 1) определена в точке М0; 2) существует предел lim f ( x, y ) функции в этой
x x0
y y0
точке; 3) этот предел равен значению функции в точке (x0, y0), т.е.
lim f ( x, y ) f ( x0 , y 0 ).
x x0
y y0
9.3. Частные приращения и частные производные
Пусть на некотором множестве D определена функция z = f (x, y). Возьмем
произвольную точку M(x, y) этого множества.
Определение. Если переменной х дать некоторое приращение x , а значение
переменной у оставить неизменным, то функции z = f(x, y) получит приращение
х z, называемое частным приращением функции z по переменной х в точке M(x, y):
x z f ( x x, y) f ( x, y).
Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y:
y z f ( x, y y ) f ( x, y ).
Определение. Частной производной функции z = f(x, y) в точке М(х, y) по
переменной x называется предел отношения частного приращения по х функции в
этой точке к приращению х аргумента х при х 0 , т.е.
z
f x ( x, y) lim x .
x 0 x
f z
.
Другие обозначения этой частной производной: z x , ,
x x
Аналогично, частная производная по y в точке M(x, y) определяется в виде
предела
yz
f y ( x, y) lim
.
y 0 y
f z
Другие обозначения этой частной производной: z y , , .
y y
Частные
производные
функций
находятся
по
известным
правилам
дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме той,
по которой дифференцируется функция, считаются постоянными. Так при нахождении
f x для функции z f ( x, y ) переменная y принимается за постоянную, а при
нахождении f y за постоянную принимается x.
9.4. Полное приращение и полный дифференциал функции
Если переменной х дать приращение x , а значение переменной у – приращение
y , то функции z = f(x, y) получит приращение z , называемое полным
приращением функции z в точке M(x, y): z f ( x x, y y ) f ( x, y ).
Определение. Функция z f ( x, y ) называется дифференцируемой в точке
M(x, y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
(1)
z Ax By x y ,
где A и B – постоянные, а = (x, y ) и = (x, y ) – бесконечно малые при x
0 , y 0 функции.
Определение. Главная, линейная относительно приращений x и y часть
полного приращения функции z = f(x, y), называется полным дифференциалом
функции в точке M(x, y) и обозначается символом dz : dz Ax By .
Теорема. Пусть функция z f ( x, y ) и ее частные производные z x и z y
непрерывны в некоторой окрестности точки. Тогда функция z f ( x, y )
дифференцируема в в точке M(x, y) и ее полный дифференциал равен: dz z x dx z y dy.
Если в формуле (1) отбросить бесконечно малые и и заменить полное
приращение приближенно полным дифференциалом, то получим следующую формулу
для приближенного нахождения значений функции
с помощью полного
дифференциала.
f ( x x, y y ) f ( x, y ) + f x( x, y)x + f y ( x, y )y .
9.5. Частные производные высших порядков
Определение. Частной производной n–го порядка функции z f ( x, y )
называется частная производная от одной из ее производных (n 1) порядка.
Сама функция f ( x, y ) считается производной нулевого порядка. Перечислим
четыре производных второго порядка:
2 f
2 f
2 f
2 f
f
(
f
)
,
,
,
f
(
f
)
f
(
f
)
f yy ( f y )y .
xx
x x
xy
x y
yx
y x
x 2
yx
xy
y 2
Определение. Частная производная функции, в которой присутствуют
дифференцирования по разным переменным, называется смешанной производной.
Теорема. Если функция z f ( x, y ) и ее частные производные f x, f y , f xy , f yx
определены и непрерывны в точке M ( x, y ) и ее окрестности, то в этой точке ее
смешанные производные второго порядка равны между собой:
2z
2z
.
xy yx
Следствие. Пусть все частные производные функции z f ( x, y ) до (n 1) –го
порядка включительно и все ее смешанные производные n–го порядка непрерывны в
некоторой окрестности точки M ( x, y ) . Тогда в этой точке ее смешанные
производные n–го порядка, отличающиеся только очередностью дифференцирования,
совпадают.
Функция z f ( x, y ) , имеющая все непрерывные частные производные до n –го
порядка включительно в окрестности точки M ( x, y ) называется n раз
дифференцируемой в этой точке.
9.6. Производная по направлению и градиент
Найдем скорость изменения функции трех переменных u(x, y, z) при перемещении
из точки М(x, y, z) в направлении вектора s , направляющие косинусы которого
cos , cos , cos . На векторе s рассмотрим точку М1( x + x, y + y, z + z)
.Расстояние между точками М и М1 обозначим s: s x 2 y 2 z 2 .Функция u
получит при этом полное приращение u .
Определение. Предел отношения
u
при s 0 называется производной
s
функции u(x, y, z) в точке M(x, y, z) по направлению вектора s и обозначается
u
,
s
т.е.
u u
.
s 0 s
s
Производная по направлению определяется по формуле
u u
u
u
cos cos cos .
s x
y
z
Определение. Градиентом функции u(x, y, z) в точке M(x, y, z) называется
вектор, проекции которого на координатные оси совпадают с соответствующими
u u u
частными производными
, взятыми в точке M(x, y, z); он обозначается
,
,
x
y
z
u
u
u
gradu
i
j
k.
x
y
z
Для произвольного ненулевого вектора s c единичным вектором s0 :
u
= gradu s 0 .
s0 i cos j cos k cos ,
s
Свойства градиента
u
1)
совпадает с проекцией вектора gradu на вектор s :
s
u
np s gradu.
s
2) Производная в данной точке по направлению вектора s имеет наибольшее
значение, если направление вектора s совпадает с вектором градиента; это наибольшее
значение производной равно gradu .
lim
Т.е. градиент указывает направление наибольшего возрастания функции и его
модуль равен производной по этому направлению.
3) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору gradu ,
равна нулю.
9.7. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные
условия экстремума
Определение. Точка М 0 ( x 0 , y 0 ) называется точкой максимума функции
z f ( x, y ) , если существует такая точки М 0 , что для всех точек ( x, y ) из этой
окрестности выполняется неравенство
f ( x, y) f ( x0 , y 0 ) .
Определение. Точка М 0 ( x 0 , y 0 ) называется точкой минимума функции
z f ( x, y ) , если существует такая точки М 0 , что для всех точек ( x, y ) из этой
окрестности, отличных от ( x 0 , y 0 ) выполняется неравенство
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) .
Значение функции в точке максимума f ( x0 , y0 ) , называется максимумом
функции, а ее значение в точке минимума – минимумом.
Точки максимума и минимума называются экстремальными точками функции, а
максимумы и минимумы называются экстремумами функции.
Теорема. (Необходимые условия экстремума). Если функция z f ( x, y ) в точке
М 0 ( x 0 , y 0 ) имеет экстремум, то в этой точке ее частные производные первого
порядка или равны нулю или хотя бы одна из них не существует.
Точка, в которой частные производные первого порядка функции z f ( x, y ) равны
нулю, т.е. f x = 0 и f y = 0, называется стационарной точкой функции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не
существует, называются критическими точками функции.
Теорема. (Достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке М
0 ( x 0 , y 0 ) и некоторой ее окрестности функция f ( x, y ) имеет непрерывные частные
производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке ( x 0 , y 0 ) значения
f xx ( x0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C , D AC B 2 .
Тогда:
1) Если D 0 , то функция f ( x, y ) в точке М 0 имеет экстремум:
а)минимум, если A 0 ; б)максимум , если A 0 ;
2) Если D 0 , то в точке М 0 ( x 0 , y 0 ) экстремума нет.
В случае
D 0 для определения экстремума требуется дополнительное
исследование.
Наибольшее (наименьшее) значение
функции z = f( x, y) (глобальный
максисмум (минимум))
определяется как наибольшее
(наименьшее) значение
функции в замкнутой области из ее значений в критических точках внутри области и на
ее границе.
9.8. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
Пусть требуется найти экстремум функции u = f(x, y) при условии, что х и у
связаны уравнением (х, у) = 0, которое называется уравнением связи. Здесь мы
имеем задачу на условный экстремум.
Уравнения
f
x x 0,
f
0,
y
y
( x, y ) 0.
являются необходимыми условиями условного экстремума функции u = f( x, y) при
условии (х, у) = 0.
Левые части полученной системы есть частные производные функции
F ( x, y, ) = f ( x, y) + (х, у),
которая называется функцией Лагранжа. Использование функции Лагранжа для
нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей
Лагранжа.
Литература: [1] Глава 15, 15.1–15.6, c.383 – 402.
Контрольные вопросы:
1. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения?
2. Что называется частной производной функции многих переменных?
3. Какими правилами и формулами можно воспользоваться для вычисления
частных производных?
4. Что называется дифференциалом функции двух переменных?
5. Дайте определение частных производных высших порядков.
6. Что такое градиент функции z f x, y в заданной точке M x, y ?
7. Что называется экстремумом функции двух переменных?
8. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух переменных.
9. В чем состоит метод множителей Лагранжа нахождения условных
экстремумов?
Лекция 10
Неопределенный интеграл
10.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение. Первообразной для функции y f (x) , определенной в интервале
(a, b) , называется такая функция y F (x) , производная которой совпадает с f (x ) в
x (a, b) .
интервале (a, b) , т.е. F ( x) f ( x)
Теорема 1. Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на (a; b) ,
то множество всех первообразных для f (x) задается формулой F ( x ) C , где С –
постоянное число.
Определение. Множество всех первообразных для функции y f (x) на интервале
(a, b) называется ее неопределенным интегралом от функции f (x ) и обозначается
символом
f ( x)dx .
Здесь f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным
выражением, х – переменной интегрирования,
– знаком неопределенного интеграла,
dx – дифференциалом переменной x.
Таким образом, если F (x) какая либо первообразная функции f (x) , то
f ( x)dx F ( x) C .
10.2. Свойства неопределенного интеграла
1) f ( x)dx f ( x) ; d f ( x)dx f ( x)dx .
f ( x)dx f ( x) C ; d f ( x) f ( x) C .
3) Если a– число, то a f ( x)dx a f ( x)dx .
4) f x g x dx f x dx g x dx
2)
5) Если
1
f ( x)dx F ( x) C ; a 0 , b - числа, то f (ax b)dx a F (ax b) C .
10.3. Таблица основных интегралов
Здесь u – независимая переменная или непрерывно дифференцируемая функция
u= u(x).
u a 1
C , (a 1) ;
1. u a du
a 1
du
ln u C ;
2.
u
au
C , (a 0, a 1) ;
3. a u du
ln a
4.
5.
6.
e du e C ;
sin udu cos u C ;
cos udu sin u C ;
u
u
du
7.
cos
8.
sin
9.
10.
11.
12.
2
u
tgu C ;
du
ctgu C ;
u
du
1
u
a 2 u 2 a arctg a C , (a 0) ;
du
1
ua
a 2 u 2 2a ln u a C , (a 0) ;
du
2
2
u 2 a 2 ln u u a C , (a 0) ;
du
u
a 2 u 2 arcsin a C , (a 0) .
2
10.4. Основные методы интегрирования
Непосредственное интегрирование – это метод приведения данного интеграла к
одному или нескольким табличным интегралам путем тождественных преобразований
подынтегральной функции или подынтегрального выражения и применения
свойств неопределенного интеграла.
Метод подстановки (метод замены переменной)
Теорема. Если функция y f (x) непрерывна, а функция x x(t ) непрерывно
дифференцируема, то
f ( x)dx f ( x(t )) x(t )dt
Это равенство можно также записать в виде
f ( x)dx f ( x(t ))dx(t ) .
Метод подведения под знак дифференциала
Следствие. Пусть функции y f (u ) , y u (x) , y u (x) непрерывны, тогда
f (u ( x))u ( x)dx f (u )du .
Метод интегрирования по частям
Теорема. Пусть функции y u (x) и y v(x) непрерывно дифференцируемы, тогда
udv uv vdu .
Этот метод применяется в случае, когда подынтегральная функция имеет вид
произведения f ( x) Pn ( x) g ( x) , где Pn (x) – многочлен, а g (x ) - тригонометрическая,
показательная (u Pn ( x), g ( x)dx dv) , обратная тригонометрическая, или
логарифмическая функция (u g ( x), Pn ( x)dx dv) .
Литература: [1] Глава 10, 10.1–10.4, c.247 – 263.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение первообразной функции.
2. Что называется неопределенным интегралом?
3. Напишите таблицу основных интегралов.
4. Какой вид имеет формула замены переменной в неопределенном интеграле?
5. Запишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Лекция 11
Определенный интеграл
11.1. Определение определенного интеграла
Пусть на отрезке [a; b], a b задана непрерывная функция y f (x) 0 .
Определение. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y f (x) , снузу–
осью Ox , сбоку прямыми x a и x b , называется криволинейной трапецией
(рис.1).
y
y f x
A
f 1
O
a x0 1 x1
f n
f 2
2 x2
xn 1 n x b
n
x
Рис.1
Найдем площадь этой трапеции. Для этого выполним следующие действия.
1. Разобьем
отрезок [a; b] на n частичных отрезков точками
a = x0 x1 x2 xn = b.
2. В каждом частичном отрезке [ xi1 , xi ] , i 1,2,3,..., n выберем произвольную
точку i [ xi 1 , xi ] и вычислим значение функции в ней, т.е. f ( i ) .
3. Умножим найденное значение функции f ( i ) на длину соответствующего
частичного отрезка xi xi xi 1 . Произведение f ( i ) xi равно площади
прямоугольника с основанием xi и высотой f ( i ) .
4. Составим сумму S n всех таких произведений:
n
S n = f (1 )x1 f ( 2 )x2 …+ f ( n )xn = f ( i )xi .
(1)
i 1
Эта сумма называется интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [a; b].
Геометрически сумма S n равна площади ступенчатой фигуры, составленной из
прямоугольников с основаниями xi и высотами f ( i ) (рис.1) и приближенно равна
площади S криволинейной трапеции:
S Sn
n
f ( )x .
i 1
i
i
Обозначим через max xi длину наибольшего частичного отрезка xi .
5. Найдем предел интегральной суммы (1), когда n так, что max xi 0 .
(2)
Определение. Если предел интегральной суммы S n при стремлении max xi к
нулю существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные
отрезки, ни от выбора в них точек, то этот предел называется определенным
b
интегралом от функции y f (x) на отрезке [a; b] и обозначается
f ( x)dx . Таким
a
образом,
b
f ( x)dx
a
n
lim
max xi 0
f ( )x .
i 1
i
i
Функция y f (x) , для которой на отрезке [a; b] существует определенный
b
интеграл
f ( x)dx
называется интегрируемой на этом отрезке.
a
Теорема 1. Если функция y f (x) непрерывна на отрезке [a; b] , то она
интегрируема на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади
криволинейной трапеции.
11.2. Свойства определенного интеграла
b
1) Cdx C (b a) , C - постоянная.
a
2) Если f ( x) g ( x) на [a, b] , то
b
b
a
a
f ( x)dx g ( x)dx .
3) Оценка определенного интеграла снизу и сверху. Если на отрезке [a, b]
функция f (x) ограничена снизу и сверху числами m и M , т.е. если на [a, b]
b
m f ( x) M , то
m(b a) f ( x)dx M (b a) .
a
4) Теорема о среднем. Пусть функция y f (x) непрерывна на отрезке [a, b] ,
тогда на этом отрезке найдется такая точка c, что
b
f ( x)dx f (c)(b a) .
a
Это значение f (c ) называется средним значением функции на [a, b] .
b
5) Оценка модуля определенного интеграла.
b
f ( x)dx | f ( x) | dx .
a
6) Свойство линейности.
a
b
b
b
a
a
a
( Af ( x) Bg ( x))dx A f ( x)dx B g ( x)dx.
6) Свойство аддитивности. Если выполняется неравенство a c b , то
b
a
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .
(3)
Если a b , то интегралом
a
b
f ( x)dx называется число f ( x)dx . Интеграл
a
b
a
f ( x)dx считается равным нулю. Свойство аддитивности справедливо (при условии
a
существования интегралов) для чисел a, b, c расположенных в любом порядке, т.е.
требование a c b здесь не обязательно.
11.3. Вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 1. (Ньютона – Лейбница) Пусть функция y f (x) непрерывна на
отрезке [a; b] и функция y F (x) есть какая-либо ее первообразная на этом отрезке,
то имеет место формула
b
b
=
f
(
x
)
dx
F
(
b
)
F
(
a
)
F
(
x
)
.
a
a
11.4. Основные методы интегрирования
Теорема 2. (Замена переменной в определенном интеграле). Пусть функция
y f (x) непрерывна на отрезке [ a; b] , а функция x (t ) монотонна и непрерывно
дифференцируема на отрезке [ ; ] , где ( ) a , ( ) b , тогда
b
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt .
a
Теорема 3. (Нахождение определенного интеграла по частям). Если функции
y u (x) и y v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [ a; b] , то имеет
место формула
b
b b
a udv uv a a vdu .
11.5. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
1) Пусть функция у = f (x) непрерывна на промежутке [a; + ).
f ( x)dx
Определение. Несобственным интегралом
от функции f (x) на
a
промежутке [a; + ) называется предел f ( x)dx lim
b
a
b
f ( x)dx .
a
Если этот предел существует (равен числу), то несобственный интеграл
называется сходящимся; если предел не существует, то интеграл называется
расходящимся.
2) Пусть функция у = f (x) непрерывна на промежутке (– ; b].
b
f ( x)dx от
Определение. Несобственным интегралом
функции f (x) на
промежутке (– ; b] называется предел
b
b
f ( x)dx lim
a
f ( x)dx .
a
3) Пусть функция у = f (x) непрерывна на всей числовой оси.
f ( x)dx
Определение. Несобственным интегралом
от функции f (x)
на
интервале от – до + называется сумма двух интегралов:
a
f ( x)dx
f ( x)dx f ( x)dx , где а – любое число.
a
Интеграл
f ( x)dx
a
называется сходящимся, если сходятся оба интеграла
f ( x)dx
и
f ( x)dx .
Если хотя бы один этих интегралов расходится, несобственный
a
интеграл
f ( x)dx
называется расходящимся.
2. Несобственные интегралы от разрывных функции
Пусть функция y f (x) непрерывна в промежутке [a, b) и имеет разрыв в точке b .
b
f ( x)dx
Определение. Несобственным интегралом
от функции y f (x)
a
разрывной в точке b называется предел слева
b
f ( x)dx
a
c
lim
c b 0
f ( x)dx .
a
Если предел, стоящий справа, существует (равен числу), то несобственный
интеграл называется сходящимся; если предел не существует, то интеграл называется
расходящимся.
Если функция y f (x) непрерывна в промежутке (a, b] и имеет разрыв в точке a ,
то несобственным интегралом от этой функции называется предел справа
b
f ( x)dx
a
b
lim
c a 0
f ( x)dx .
c
Следствие 5. Если функция непрерывна в промежутке (a, b] и y F (x) – ее
первообразная в этом промежутке, то
b
b
f ( x)dx F ( x) F (b) lim F ( x) .
x a 0
a
a
Пусть функция y f (x) непрерывна в отрезке [a, b] за исключением точки c из
интервала (a, b) , в которой функция имеет разрыв. Тогда несобственным интегралом по
этому отрезку называется следующая сумма двух несобственных интегралов:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx .
Такой интеграл называется сходящимся только в том случае, когда сходятся оба
записанных справа интеграла.
3. Признаки сходимости несобственных интегралов
Для того чтобы ответить на вопрос сходится или нет данный несобственный интеграл,
не обязательно его вычислять. Установить сходимость интеграла можно с помощью
следующих теорем, в которых исследуемый интеграл сравнивается с известным
сходящимся или расходящимся интегралом. Эти теоремы называются признаками
сходимости. Для определенности сформулируем эти признаки для интегралов вида
f ( x)dx , хотя они верны для всех типов несобственных интегралов.
a
Теорема 1. Если для всех х (x a) выполняется условие 0 f ( x) ( x) и интеграл
a
a
( x)dx сходится, то f ( x)dx
тоже сходится.
Теорема 2. Если для всех х (x a) выполняется условие 0 ( x) f ( x) и интеграл
a
a
( x)dx расходится, то f ( x)dx
тоже расходится.
Литература: [1] Глава 11, 11.1–11.5, 11.7, c.278 – 294, c.302 – 306.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение определенного интеграла. Каковы его свойства и
геометрический смысл?
2. Напишите формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного
интеграла.
3. Какой вид имеет формула замены переменной в определенном интеграле?
4. Запишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
5. Дайте определение несобственных интегралов с бесконечными пределами
интегрирования.
6. Дайте определение несобственных интегралов от разрывных функций.
Лекция 12
Приложения определенного интеграла
12.1. Площадь фигуры в декартовых координатах
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график
расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “–“, если график
расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”. В общем случае,
b
если функция y f (x) принимает значения разных знаков на [a,b], то
f ( x)dx равен
a
сумме площадей частей криволинейной трапеции, лежащих выше оси Ox , взятых со
знаком “плюс” и частей, лежащих ниже оси со Ox , взятых со знаком “минус”.
Для нахождения суммарной площади можно воспользоваться формулой
b
f ( x) dx .
a
Если на отрезке [a; b] заданы непрерывные функции y f1 ( x) и y f 2 ( x) такие,
что
f1 ( x) f 2 ( x) , то площадь фигуры, заключенной между кривыми y f1 ( x) и
y f 2 ( x) на отрезке [a; b] вычисляется по формуле
b
S ( f1 ( x) f 2 ( x)) dx .
a
Если график функции y f (x) на отрезке [a, b] задан с помощью параметрических
функций
x x(t ),
y y (t ),
t
где y (t ) 0 непрерывна, а x(t ) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция
на [, ] , причем ( ) a , ( ) b , то площадь соответствующей криволинейной
трапеции находится по формуле
S y(t ) x(t )dt .
12.2. Длина дуги кривой
Пусть плоская кривая AB задана на плоскости уравнением y f (x) , x [a, b] , где
f (x ) непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [ a, b] . Разобьем эту кривую на
n частей точками M 1 , M 2 ,, M n1 , где M i имеет координаты ( xi , yi ) , xi xi1 xi ,
yi yi1 yi (рис. 1).
y
M1
M2
A
O
a
M i 1
yi
Mi L
xi
x1
xi1
x2
xi
y f x
B
b
x
Рис. 1
Длину вписанной в L ломаной с вершинами в выбранных точках обозначим через
In :
n
I n xi2 yi2 .
i 1
Определение. Длиной кривой L называется предел суммы длин ломанных,
вписанных в эту кривую, при максимальном xi , стремящемся к нулю.
Будем обозначать ее через l:
l lim I n .
max xi 0
Кривая, имеющая длину (если указанный предел существует),
называется
спрямляемой.
Теорема. График непрерывно дифференцируемой на [a, b] функции y f (x)
спрямляем, и его длина находится по формуле
b
l 1 ( f ( x)) 2 dx .
a
Следствие. Пусть кривая L на плоскости задана с помощью непрерывно
дифференцируемых параметрических функций
x x(t ),
y y (t ),
t [ , ].
Тогда эта кривая спрямляема, и ее длина находится по формуле
l ( x(t )) 2 ( y (t )) 2 dt .
12.3. Объем тела вращения
Тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции,
ограниченной кривой y f (x) , осью Ox и прямыми x a и x b , имеет объем
b
Vx f 2 ( x)dx .
a
Тело, образованное вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции,
ограниченной кривой x ( y ) , осью Oy и прямыми y c и y d , имеет объем
d
V y 2 ( y)dy
c
12.4. Площадь поверхности тела вращения
Пусть график непрерывно дифференцируемой функции y f (x) , где x [ a, b] и
f ( x ) 0 , вращается вокруг оси Ox . Площадь получившейся поверхности вращения H
находится по формуле
b
S x 2 f ( x) 1 ( f ( x)) 2 dx .
a
12. 5. Экономический смысл определенного интеграла
Пусть функция z f (t ) описывает изменение производительности некоторого
производства с течением времени. Найдем объем продукции u, произведенной за
промежуток времени [0; T ] . Для этого применим схему, основанную на определении
определенного интеграла.
1. Разобьем отрезок [0; T ] на промежутки времени точками:
0 = t 0 t1 t 2 t n = T .
2. В каждом промежутке времени [t i 1 , t i ] , i 1,2,3,..., n выберем произвольную точку
i [t i 1 , t i ] и вычислим значение функции f ( i ) в ней.
3. Умножим найденное значение
функции f ( i ) на промежуток времени
t i t i t i 1 . Произведение u i = f ( i ) t i приближенно равно величине объема
продукции u i , произведенной за промежуток времени t i , приближенно – так как мы
функцию f (t ) считаем постоянной на промежутке времени t i , f (t ) = f ( i ) .
4. Сумма всех таких произведений приближенно равна объему продукции u,
произведенной за промежуток времени [0; T ] :
n
n
i 1
i 1
u u i = f ( i ) t i .
5. При стремлении max t i к нулю каждое слагаемое в последней сумме будет
становиться все более точным, поэтому
n
u = lim
max ti 0
f ( )t .
i
i 1
i
По формуле (3) это означает, что
T
u = f (t )dt.
0
Таким образом, если f (t ) – производительность труда в момент t , то величина u
объем выпускаемой продукции, произведенной за промежуток времени [0; T ] , численно
T
равна определенному интегралу
f (t )dt .
В этом состоит экономический смысл
0
определенного интеграла.
Литература: [1] Глава 11, 11.6, 11.9, c.294 – 302, 310–313.
Контрольные вопросы:
1. Запишите формулы для вычисления площадей с помощью определенного
интеграла.
2. Запишите формулу для вычисления длина дуги кривой.
3. Запишите формулу для вычисления объема тела вращения.
4. Запишите формулу для вычисления площади поверхности тела вращения.
5. В чем состоит экономический смысл определенного интеграла?
Лекция 13
Дифференциальные уравнения
13.1. Основные понятия и определения
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение,
связывающее независимую переменную x , искомую функцию y yx
и ее
n
производные y , y ,..., y , т.е. уравнение вида
F x, y, y , y ,..., y n 0 .
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок
наивысшей производной, входящей в уравнение.
Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция
y yx , которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в
тождество.
Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется
интегрированием уравнения, а график решения дифференциального уравнения –
интегральной кривой этого уравнения.
13.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде имеет вид
F x, y, y 0 .
Если это уравнение можно разрешить относительно y , то его записывают в
виде
y f x, y
и называют уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Теорема (существования и единственности решения дифференциального
уравнения первого порядка). Если в уравнении y f ( x, y ) функция f ( x, y ) и ее
частная производная по у непрерывны в некоторой области D на плоскости Oxy ,
содержащей точку ( x0 , y0 ) , то в некоторой окрестности точки x 0 существует
единственное решение этого уравнения y yx , удовлетворяющее условию:
y ( x0 ) y 0 .
Геометрический смысл теоремы заключается в том, что в указанной окрестности
существует и притом единственная интегральная кривая уравнения, проходящая через
точку ( x0 , y0 ) .
Условие, что при x x0 функция y yx должна равняться заданному числу y 0 ,
называется начальным условием. Оно записывается в виде
y0 или y( x0 ) y 0 .
x x0
Задача отыскания решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию,
носит название задачи Коши.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка
называется функция
y = y(x, C),
удовлетворяющая следующим условиям:
1)
она является решением дифференциального уравнения при любом
конкретном значении постоянной С;
2)
для любых начальных условий y x x0 y 0 , где ( x0 , y0 ) D можно найти
y
такое значение С=С0, что функция y = y(x, C0) удовлетворяет данному начальному
условию.
Равенство вида ( x, y, C ) 0 , неявно задающее общее решение, называется общим
интегралом дифференциального уравнения. Решение, полученное из общего решения
(интеграла) дифференциального уравнения при фиксированном С называется частным
решением (интегралом) этого уравнения.
13.3. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
dy
f1 ( x ) f 2 ( y ) ,
(1)
dx
которое называется уравнением с разделяющимися переменными.
Предполагая, что f 2 ( y) 0 , преобразуем его следующим образом:
1
dy f1 ( x)dx .
(2)
f 2 ( y)
dy
f1 ( x)dx C .
Интегрируя (2), получим общий интеграл уравнения
f 2 ( y)
Дифференциальное уравнение типа (2) или вида M ( x)dx N ( y )dy 0
называют уравнением с разделенными переменными. Общий интеграл его есть
M ( x)dx N ( y)dy C .
Уравнение вида
M1 ( x) N1 ( y)dx M 2 ( x) N 2 ( y)dy 0 ,
в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие
только от x и только от y , называется уравнением с разделяющимися переменными.
Путем деления обеих частей на произведение N1 ( y)M 2 ( x) оно приводится к
уравнению с разделенными переменными. Общий интеграл этого уравнения имеет вид
M 1 ( x)
N 2 ( y)
M 2 ( x) dx N1 ( y) dy C .
13.4. Однородные уравнения первого порядка
Определение 1. Функция f ( x, y ) называется однородной функцией n-го измерения
относительно переменных x и y , если при любом 0 и любых х и у из области
определения функции справедливо тождество
f (x, y) n f ( x, y) .
Определение 2. Уравнение первого порядка
y f ( x, y )
(3)
называется однородным уравнением, если функция f ( x, y ) есть однородная функция
нулевого измерения относительно x и y .
Метод
решения
однородного
уравнения
следующий.
По
условию
1
y
f (x, y ) f ( x, y ) . Положим в этом тождестве , получим f ( x, y ) f 1, , т.е.
x
x
однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.
Уравнение (3) в этом случае примет вид
y
y f 1, .
(4)
x
y
Сделаем подстановку u , т.е. y u x . Тогда будем иметь y = xu u .
x
Подставляя это выражение производной в уравнение (4) получим уравнение с
разделяющимися переменными
du
du
f (1, u ) , или x
f (1, u ) u .
dx
dx
Разделяя переменные и интегрируя, найдем:
du
dx
du
,
ln x ln C .
f (1, u ) u
f (1, u ) u x
Подставляя вместо u отношение y/x, получим общий интеграл уравнения (3).
Замечание. Уравнение вида M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 будет однородным в том и
только в том случае, когда M ( x, y ) и N ( x, y ) являются однородными функциями
одного и того же измерения.
ux
13.5. Линейные уравнения первого порядка
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение,
линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида
y p( x) y q( x) ,
(5)
где p (x ) и q(x) – непрерывные функции от х.
Будем искать решение уравнения (4) в виде произведения двух функций от x :
y u ( x) v( x) .
Дифференцируя обе части последнего равенства, находим y uv vu .
Подставляя полученное значение производной y в уравнение (5), имеем
uv vu p( x)uv q( x) ,
или
du
(6)
u v p ( x)v v
q( x) .
dx
Выберем функцию v (x ) так, чтобы
v p( x)v 0 . Разделяя переменные в этом
дифференциальном уравнении, находим v e p ( x ) dx .
Подставляя найденное значение v (x ) в (6) , получим u q ( x)e p ( x ) dx
dx C .
Окончательно, y e p ( x ) dx C q( x)e p ( x ) dx dx .
Литература: [1] Глава 12, 12.1–12.6, c.319 – 334.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка и его общего и
частного решения (интеграла). Сформулируйте задачу Коши для дифференциального
уравнения первого порядка и укажите ее геометрический смысл.
2. Дайте определение дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными. Изложите метод нахождения его общего решения.
3. Дайте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Изложите метод нахождения его общего решения.
4. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Изложите методы нахождения его общего решения.
Лекция 14
Числовые ряды
14.1. Понятие числового ряда.
Определение. Пусть дана бесконечная числовая последовательность
u1 , u 2 ,..., u n ,... Выражение вида
u1 u2 ... un ... un
(1)
n 1
называется числовым рядом, или просто рядом. При этом числа u1 , u 2 ,... , un,…
называются членами ряда, а un – общим членом ряда.
Определение. Сумма конечного числа n первых слагаемых ряда (1) называется
n-ой частичной суммой:
S n u1 u 2 ... u n .
Рассмотрим частичные суммы
S1 = u1 , S 2 = u1 u 2 ,…, S n = u1 u 2 ... u n .
Определение. Если при n существует конечный предел S lim S n
n
последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел S называют суммой
ряда и говорят, что ряд сходится. Символически это записывается так:
S un .
n 1
Если предел последовательности частичных сумм не существует или равен
бесконечности, то ряд (1) называют расходящимся.
14.2. Свойства рядов
1) Если ряд
u n сходится и его сумма равна S, то ряд
n 1
cu
n 1
n
, где
с – произвольное число тоже сходится, и его сумма равна сS.
2) Пусть ряды u n и
n 1
тогда ряды
(u
n 1
n
v
n 1
n
сходятся и их суммы соответственно равны S и ,
v n ) также сходятся и их суммы соответственно равны
S .
3) Если в ряде (1) изменить, добавить или отбросить конечное число его членов,
то сходимость этого ряда не изменится, т.е. если ряд (1) сходился, то новый ряд
также сходится, а если ряд (1) расходился, то новый ряд также расходится.
14.3. Необходимый признак сходимости ряда
Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член un стремиться к нулю при
n , т. е. lim u n 0 .
n
Следствие. Если lim u n не равен нулю, то ряд (1) расходится.
n
Условие lim u n 0 является лишь необходимым, но не достаточным условием
n
сходимости ряда.
Например, так называемый гармонический ряд
1
1 1 1
1
... ...
2 3 4
n
n 1
является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
n
=1+
14.4. Достаточные признаки сходимости для рядов с положительными
членами
Теорема (первый признак сравнения). Пусть даны два ряда
un и
n 1
v
n 1
с
n
положительными членами (u n , vn 0) , удовлетворяющими для всех n неравенству
un vn . Тогда если ряд
v
n 1
n
, то ряд
un
также сходится, если же ряд
n 1
u
n 1
n
расходится, то ряд
v
n 1
n
также расходится.
Для сравнения обычно используют такие известные ряды как геометрическая
прогрессия или обобщенный гармонический ряд:
1
1
1
1
...
p
p
p .
2
3
n 1 n
Этот ряд при p 1 сходится, а при p 1 расходится. При p 1 он превращается
в расходящийся гармонический ряд.
un и
Теорема (предельный признак сравнения). Пусть ряды
n 1
v
n 1
с
n
положительными членами таковы, что существует конечный ненулевой предел
u
l lim n (l 0) . Тогда эти ряды сходятся или расходятся одновременно.
n v
n
Теорема (признак Даламбера). Пусть дан ряд
u
n 1
n
с положительными членами
u n 1
l . Тогда
un
а) при l < 1 ряд сходится;
б) при l > 1 ряд расходится.
При l 1 данный признак неприменим.
и существует предел
lim
n
Теорема (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд
u
n 1
положительными членами
n
с
и существует предел lim n u n l . Тогда
n
а) при l < 1 ряд сходится;
б) при l > 1 ряд расходится.
Теорема (интегральный признак Коши). Пусть имеется ряд
u
n 1
n
и функция
y f (x) такие, что выполняются следующие условия:
а) Для целых n 1 f (n) u n ;
б) Функция y f (x) непрерывна, неотрицательна и не возрастает на
промежутке 1, .
n 1
1
u n и несобственный интеграл
Тогда ряд
f ( x)dx
сходятся или расходятся
одновременно.
14.5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Определение. Знакочередующимся рядом называется числовой ряд вида
u1 u 2 u 3 u 4 ... (1) n 1 u n ... = (1) n 1u n ,
(2)
n 1
где u n 0 для n 1,2,... .
Теорема (признак Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд (2) удовлетворяет
двум условиям:
а) lim u n 0 ,
n
б) Члены ряда по модулю убывают, т. е., u1 u 2 u3 ...
Тогда этот ряд сходится, и его сумма S удовлетворяет неравенству
0 S u1 .
14.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости рядов
Рассмотрим ряд с членами произвольных знаков. Такой ряд называется
знакопеременный рядом.
Возьмем знакопеременный ряд
u1 u 2 ... u n ... u n ,
(3)
n 1
где числа u1 , u 2 ,... , un,… могут быть как положительными, так и отрицательными.
Одновременно рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
u1 u 2 ... u n ... u n
(4)
n 1
Теорема 1. Если ряд (4) сходится, то сходится и ряд (3) .
Определение. Ряд (3) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (4).
Если ряд (3) сходится а ряд (4) расходится, то ряд (3) называется условно
сходящимся.
Теорема 2. При любой перестановке членов в абсолютно сходящемся ряду
сходимость ряда не нарушается и сумма ряда не меняется.
Теорема 3. Если числовой ряд сходится условно то для любого числа А можно так
переставить члены этого ряда что сумма полученного ряда станет равной А. Кроме
того можно так переставить члены условно сходящегося ряда что он станет
расходиться.
Литература: [1] Глава 13, 12.1–13.4, c.343 – 360.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение суммы ряда.
2. Дайте определение сходящегося и расходящегося рядов.
2. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.
3. Сформулируйте теорему о сравнении рядов с положительными членами.
4. Сформулируйте признак Даламбера сходимости рядов с положительными
членами.
5. Сформулируйте интегральный признак Коши сходимости рядов с
положительными членами.
6. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
7. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда.
Лекция 15
Степенные ряды
15.1. Основные понятия
Определение. Функциональным рядом называется выражение вида
a 0 ( x) a1 ( x) a n ( x) ,
(1)
n 0
где a n (x) есть некоторые функции от х.
Определение. Областью сходимости функционального ряда (1) называется
множество всех значений x, при которых ряд (1) сходится.
Определение. Функциональный ряд вида
a0 a1 x a 2 x 2 ... a n x n ... a n x n
n 0
называется степенным рядом.
Постоянные числа a0 , a1 , a2 ,..., an называются
коэффициентами ряда (2).
15.2. Теорема Абеля. Интервал сходимости степенного ряда
(2)
Теорема 1 (теорема Абеля). а) Если степенной ряд сходится в точке x0 ( x0 0 )
то он сходится и притом абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству
x x0 .
б) Если степенной ряд расходится в точке x1 , то он расходится и при всех x,
удовлетворяющих неравенству x x1 .
Определение. Наибольшее значение
степенной ряд
a
n 0
n
x0 такое, что в интервале ( x0 , x0 )
( x ) сходится, называется радиусом сходимости этого ряда
(обозначается через R ) а интервал R, R называется его интервалом
сходимости.
Из теоремы Абеля следует, что в интервале R, R ряд (2) сходится, а в
интервалах ,R и R, он расходится. Сходимость ряда в точках x R
исследуется дополнительно.
Если степенной ряд сходится только в точке 0 то R считается равным 0 а если
он сходится для всех действительных x, то R считается равным .
Для определения радиуса сходимости R имеются следующие формулы,
получаемые из признаков Даламбера и Коши:
1
a
R lim
R lim n
.
n n
n a
an
n 1
Свойства степенных рядов
1) Сумма степенного ряда (2) непрерывна в интервале сходимости ( R, R) .
2) Пусть S (x ) сумма степенного ряда (2) и отрезок [ , ] лежит в интервале
сходимости ( R, R) . Тогда степенной ряд можно почленно интегрировать на
отрезке [ , ] , при этом для ряда
S (x ) = a0 a1 x a 2 x 2 ... a n x n ...
(3)
выполняется равенство
S ( x)dx a dx a xdx a x
0
1
2
2
dx …+ a n x n dx …
3) Степенной ряд внутри интервала сходимости можно
дифференцировать, при этом для ряда (3) выполняется равенство
S (x ) a1 2a 2 x 3a3 x 2 ... na n x n 1 ...
Функциональный ряд
a
n 0
n
( x x0 ) n
почленно
(4)
называется смещенным степенным рядом с центром в точке x0 .
Ряд (4) имеет интервал сходимости вида ( x0 R, x0 R) и в этом интервале он
обладает всеми свойствами степенных рядов.
15.3. Ряды Тейлора и Маклорена
Определение. Многочленом Тейлора nго порядка для функции y f (x) с
центром в точке x0 называется многочлен
f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2
f ( n ) ( x0 )( x x0 ) n
1!
2!
n!
n
( x x0 ) k
f ( k ) ( x0 )
.
k!
k 0
Разность между функциями f (x) и Pn (x) называется остаточным членом
Pn ( x) f ( x0 )
Тейлора: Rn ( x) f ( x) Pn ( x) .
Теорема 1. Пусть функция y f (x) имеет в окрестности x0 непрерывную (n 1)
ую производную f ( n1) ( x) . Тогда для любого x из этой окрестности найдется такая
точка c ( x0 , x) ( или c ( x, x0 ) ), что
f ( n1) (c)
(5)
( x x0 ) n1 .
(n 1)!
Определение. Остаточный член Rn (x) , записанный в виде (5) называется
остаточным членом в форме Лагранжа, а запись функции в виде
n
( x x0 ) k f ( n1) (c)
(k )
f ( x) Pn ( x) Rn ( x) f ( x0 )
( x x0 ) n1
k!
(n 1)!
k 0
называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Определение. Пусть функция y f (x) бесконечно дифференцируема в
окрестности точки x0 . Рядом Тейлора для функции y f (x) с центром в точке x 0
называется степенной ряд вида
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( x0 )
( x x0 )
( x x0 ) 2
1!
2!
Rn ( x)
Теорема 2. Пусть функция y f (x) бесконечно дифференцируема в окрестности
точки x0 и пусть для всех x из этой окрестности остаточный член Тейлора Rn (x)
стремится к нулю при n . Тогда ряд Тейлора функции y f (x) с центром в x0
сходится в окрестности точки x0 и его сумма S (x ) совпадает с f (x) .
Рядом Маклорена для функции y f (x) называется ряд Тейлора с центром в
точке x0 0 :
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
f (0)
x
x ...
x ...
1!
2!
n!
15.4. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций
x2
xn
... .
1) e 1 x
2!
n 0 n!
x
x3 x5
x 2 n1
(1) n
.
3! 5!
(2n 1)!
n 0
x2 x4
x 2n
3) cos x 1
.
(1) n
2! 4!
(2n)!
n 0
Эти ряды сходятся и указанные равенства верны для всех x (, ) .
( 1) 2
( 1) ( n 1) n
x 1
x .
4) (1 x) 1 x
2!
n!
n 1
Здесь R и x (1,1) .
2) sin x x
x 2 x3
xn
, x (1,1] .
(1) n1
2
3
n
n 1
x3 x5
x 2 n1
6) arctgx x
, x (1,1] .
(1) n
3
5
2n 1
n 0
1 x 3 1 3 x 5 1 3 5 x 7
(2n 1)!! x 2 n1
7) arcsin x x
.
x
2 3 24 5 246 7
k 1 (2n)!! (2n 1)
Здесь (2n 1)!! 1 3 5 (2n 1) ; (2n)!! 2 4 2n ; x (1,1) .
5) ln( 1 x) x
Литература: [1] Глава 14, 14.1–14.3, c.366 – 378.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение области сходимости функционального ряда.
2. Сформулируйте теорему Абеля о сходимости степенных рядов.
3. Запишите формулы для определения радиуса сходимости степенных рядов.
4. Дайте определение ряда Тейлора.
5. Дайте определение ряда Маклорена.
6. Какой вид имеет разложение функции у = e x в ряд Маклорена?
7. Какой вид имеет разложение функции у = (1 x) в ряд Маклорена?
