Внеурочная работа по математике в условиях дифференциации обучения

Балашовский филиал
Саратовского государственного университета
им. Н. Г.Чернышевского
А. В. Шатилова, Е. В. Сухорукова,
Е. Ю. Павлова, О. А. Задкова
Внеурочная работа по математике
в условиях дифференциации обучения
Учебное пособие
Второе издание, дополненное
Рекомендовано УМО
по специальностям педагогического образования
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 032100 (050201) — математика.
Балашов 2005
УДК 51(09)
ББК 22.1я729
Ш28
Рецензенты:
Доктор педагогических наук, чл.-корр. Российской академии образования,
профессор Мордовского государственного педагогического инститта
им. М. Е. Евсевьева
Г. И. Саранцев;
Учитель математики 1-й категории средней школы № 1 г. Балашова
О. А. Русанова.
Шатилова, А.В.
Ш28 Внеурочная работа по математике в условиях дифференциации обучения : учеб. пособие. — 2-е изд., доп. / А. В. Шатилова, Е. В. Сухорукова, Е. Ю. Павлова, О. А. Задкова. — Балашов: «Николаев», 2005. —
180 с.
ISBN 5—94035—203—0
В пособии представлены некоторые аспекты реализации различных видов внеурочной работы по математике в условиях дифференциации обучения, методические рекомендации по организации ее систематических и
эпизодических форм: факультативов, кружков, предметных недель по математике. Также авторами рассматривается одна из форм внешкольной
работы — районная олимпиада по математике памяти М. Я. Суслина,
проводимая на базе Гуманитарно-педагогического лицея-интерната г. Балашова.
Предлагаемые материалы могут быть использованы учителями математики, студентами математических специальностей педагогических вузов в
процессе организации и проведения внеклассной работы.
УДК 51(09)
ББК 22.1я729
© А. В. Шатилова, Е. В. Сухорукова,
ISBN 5—94035—203—0
Е. Ю. Павлова, О. А. Задкова, 2005
2
Оглавление
Глава 1. Методика организации систематических форм внеурочной
работы по математике
1.1. Внеурочная работа по математике как важное средство
реализации дифференцированного подхода ................................................ 6
1.2. Методические рекомендации по организации факультативов
по математике ............................................................................................... 11
1.3. Методические рекомендации по проведению занятий
математического кружка .............................................................................. 20
Глава 2. Методика организации эпизодических форм внеурочной
работы по математике
2.1. Методические рекомендации по подготовке и проведению
недели математики ....................................................................................... 29
2.2. Районная олимпиада по математике памяти М.Я.Суслина ................ 63
Заключение ................................................................................................. 106
Приложения ................................................................................................ 107
Список литературы..................................................................................... 196
3
Предисловие
Внеклассная работа является неотъемлемой частью профессиональной деятельности учителя математики. Ее эффективность определяется
правильным выбором форм и методов проведения, учитывающим профиль обучения школьников, уровень их математической подготовки,
интерес к изучаемому предмету и т. п. В настоящее время широкое распространение получила концепция профильной дифференциации. Она
реализуется через сеть профильных классов в общеобразовательных
школах, а также в инновационных учебных заведениях — лицеях, гимназиях, колледжах и др. Учителю математики необходимо использовать
новые подходы, технологии не только в процессе обучения, но и в организации внеурочной работы.
В настоящем пособии отражена специфика организации внеурочной
работы по математике в условиях профильной дифференциации обучения в старших классах средней школы.
Авторами описывается система внеурочной работы по математике,
реализуемая на базе Гуманитарно-педагогического лицея-интерната
(ГПЛИ) г. Балашова и обобщается многолетний опыт работы.
Начинающие учителя и студенты математических специальностей
педагогических вузов нуждаются в конкретных дидактических материалах, поэтому, рассказывая о методике проведения тех или иных внеклассных мероприятий, мы приводим примерные программы факультативных курсов и математических кружков, сценарии математических
КВНов, викторин, устных журналов и т. п. Приведены условия задач
математических боев и олимпиад, многие из которых снабжены решениями.
В конце пособия указана литература, которую читатель может использовать в процессе организации внеурочной работы по математике.
4
Вашему вниманию предлагается второе издание учебного пособия,
которое по откликам учителей и студентов оказалось весьма полезным в
организации и проведении внеурочной работы по математике.
Авторы выражают благодарность за оказание финансовой поддержки при повторном издании настоящего пособия администрации Балашовского филиала Саратовского государственного университета
им. Н. Г. Чернышевского (БФСГУ), администрации и коллективу Гуманитарно-педагогического лицея-интерната г. Балашова, а также студентам физико-математического факультета БФСГУ, принимавшим участие в организации и проведении внеурочной работы по математике на
базе ГПЛИ.
Авторами написаны следующие разделы: Е. В. Сухорукова (гл. 1,
1.3, приложение 1), А. В. Шатилова, Е. Ю. Павлова, О. А. Задкова (предисловие, гл. 1, гл. 2, приложение 2, заключение).
5
Глава 1
Методика организации систематических форм
внеурочной работы по математике
1.1. Внеурочная работа по математике как важное
средство реализации дифференцированного подхода
Под внеурочной работой мы будем понимать систему занятий по математике, которая проводится во внеучебное время. Внеурочная работа
по математике способствует расширению и углублению знаний учащихся, обеспечивает оптимальное развитие их математических способностей и интереса к изучаемому предмету, а также прививает им определенные навыки научно-исследовательского характера. В методической литературе обычно выделяют три вида внеурочной работы по
математике:
1) внеклассная работа;
2) внешкольная работа;
3) заочная работа.
Внеклассная работа является одной из важных составляющих процесса математического образования школьников, органично дополняя
учебную работу по предмету. Внеклассная работа проводится, как правило, учителем с учащимися тех классов, где сам учитель преподает
математику. В процессе реализации различных форм внеклассной работы на базе одного учебного заведения возможно совместное проведение
мероприятий несколькими учителями математики для учащихся разных
классов. Формы внеклассной работы по математике весьма разнообразны и подробно освещены в педагогической и методической литературе.
На практике часто используются такие формы, как неделя или декада
математики, вечера, утренники, различные соревнования, игры, викторины, конкурсы, школьные олимпиады, математическая печать, научные конференции, подготовка учащимися докладов, рефератов и сочинений по математике, ее истории и приложениям, изготовление математических моделей и др. Наряду с перечисленными формами
внеклассной работы, которые реализуются периодически, используются
систематические формы работы — математический кружок и факультативные занятия.
Факультативы были введены в среднюю школу в 1966 году. Обычно
в учебно-методической литературе они рассматриваются как форма
учебной работы, которая способствует углублению и расширению знаний учащихся по предмету, развитию интереса к предмету, приобщению к исследовательской работе и т. д. Однако, учитывая некоторые
особенности организации факультативных занятий (свобода выбора
6
факультатива школьниками, объединение учащихся из параллельных
или последовательных классов в факультативные группы и т. д.), можно
считать, что факультатив — это одна из форм внеурочной работы по
математике. Факультатив дополняет основной курс школьной математики, обогащает его. Факультативные занятия представляют большие
возможности подготовки к математическим олимпиадам, научнопрактическим конференциям, содействуют профессиональной ориентации учащихся в области математики и ее приложений. В настоящее
время согласно новой концепции математического образования, ориентированной на предпрофильную и профильную подготовки учащихся
средней школы, факультативы из учебного плана исключаются, уступая
место элективным курсам.
Элективные курсы — обязательные курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы выполняют, по крайней мере, три основных функции. Одни из
них могут выступать в роли «надстройки», дополнения содержания профильного курса. В этом случае такой дополненный профильный курс становится в полной мере углубленным, а школа (класс), в которой он изучается, превращается в традиционную спецшколу с углубленным изучением отдельных учебных предметов. Другой тип элективных курсов может
развивать содержание одного из базисных курсов, изучение которого в
данной школе (классе) осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне. Это позволяет интересующимся школьникам удовлетворить свои познавательные потребности и получить дополнительную подготовку, например, для сдачи ЕГЭ по этому предмету на профильном
уровне. Третий тип элективных курсов направлен на удовлетворение познавательных интересов отдельных школьников в областях деятельности
человека, как бы выходящих за рамки выбранного им профиля.
Внешкольная работа по математике предполагает организацию занятий с учащимися из разных школ, которые могут проводиться на базе
вуза его преподавателями. По форме организации это может быть вечерняя математическая школа, воскресная математическая школа, летняя математическая школа и т. п. Хорошо зарекомендовали себя и такие
формы внешкольной работы, как научные конференции школьников, а
также математические олимпиады — районные, городские, областные,
республиканские.
Заочная работа со школьниками не предусматривает непосредственных контактов учителя с учеником. Наиболее распространенными формами заочной работы являются заочные математические школы, заочные олимпиады, конкурсы по решению задач. Заочные математические
школы действуют при ведущих вузах страны. Систематически заочные
7
олимпиады и конкурсы по решению задач проводятся журналами «Математика в школе», «Квант» и др. Обратная связь с учащимися осуществляется либо путем рецензирования каждой работы и возвращением ее обратно ученику, либо путем разбора задач на страницах журнала с анализом присланных в адрес редакции решений. Как показывает практика, в
заочном решении математических задач принимают участие школьники
как в индивидуальном порядке, так и коллективы школьных математических кружков. Таким образом, задания для заочной работы могут быть
использованы во внеклассной и внешкольной работе по предмету.
В процессе реализации различных видов и форм внеурочной работы
по математике необходимо учитывать идеи личностно-ориентированного образования, по сути предусматривающие дифференцированный
подход как к обучению, так и к организации внеурочной работы с учетом уровня интеллектуального развития школьников, а также их подготовки по данному предмету, способностей и интересов.
Проблема дифференциации обучения принадлежит к числу традиционных для отечественной школы. Ее методологические основы отражены в работах Ю. К. Бабанского, А. А. Кирсанова, И. Я. Лернера,
Х. И. Лийметс, А. З. Макоева, Е. С. Рабунского, И. Э.Унт, Р. А. Утеевой,
В. Ф. Чучкова и др. Различные аспекты дифференцированного обучения
математике исследованы в работах С. В. Алексеева, В. А. Гусева,
М. И. Зайкина, Ю. М. Колягина, Г. И. Саранцева, И. М. Смирновой,
А. А. Столяра, Н. А. Терешина и др. Они внесли значительный вклад в
развитие теории и практики дифференцированного обучения математике.
Образование на современном этапе характеризуется усилением внимания к ученику. Учебный процесс строится так, чтобы знания, получаемые учеником, имели для него личностный смысл, сам ученик был бы
в центре процесса обучения. Полноценное образование человека возможно лишь в условиях гуманизации, которая означает, прежде всего,
необходимость его дифференциации.
В концепции развития школьного математического образования задачи дифференциации формулируются следующим образом: «Дифференциация способствует более полному учету индивидуальных запросов учащихся, развитию их интересов и способностей, достижению целей образования. В условиях дифференцированного обучения ученик
реализует право выбора предмета или уровня обучения в соответствии
со своими склонностями: известная однородность интересов и уровня
подготовленности учащихся облегчает и делает более эффективной работу учителя» [22, с. 7].
В педагогической литературе различают понятия «внутренней» и
«внешней» дифференциации. Под внутренней (уровневой) дифферен8
циацией понимается такая организация учебного процесса, при которой
индивидуальные особенности учащихся учитываются в условиях организации учебной деятельности на уроке в своем классе. При внешней
(профильной) дифференциации учащиеся разного уровня обученности
специально объединяются в учебные группы.
В последнее время все большее признание и распространение получила концепция профильного дифференцированного образования, которая реализуется через сеть классов с углубленным изучением отдельных
предметов в общеобразовательных школах, а также в различных инновационных учебных заведениях, ориентированных на подготовку к
дальнейшему продолжению образования по выбранной специальности в
соответствии с интересами и способностями учащихся. Несмотря на то,
что в профильные классы поступают школьники, уже проявившие интерес к соответствующему предмету, в процессе обучения наблюдается их
расслоение. В связи с этим имеет место уровневая дифференциация,
которая предполагает различные варианты планирования обязательных
результатов обучения.
В нашем регионе Концепция профильной дифференциации реализуется, в частности, в Гуманитарно-педагогическом лицее-интернате
(ГПЛИ), организованном в 1995 году при Балашовском филиале СГУ
им. Н. Г. Чернышевского для одаренных молодых людей из городов и
сельских районов Правобережья Саратовской области, выпускников
девятилетней школы. Обучение в лицее осуществляется по трем
направлениям: социально-гуманитарное, естественно-научное и физикоматематическое.
Главной задачей коллектива ГПЛИ является выявление талантливой
молодежи и обучение ее по специальным программам, направленным на
развитие творческих способностей личности, подготовка ее к самостоятельной жизни в новых социально-экономических условиях, к успешному усвоению программ высшего образования.
Дифференцированный и индивидуальный подходы к учащимся как в
организации учебных занятий, так и во внеурочной деятельности занимают важное место. Наличие разнопрофильных классов в лицее оказывает влияние на организацию, структуру и содержание внеурочной работы по математике. Внеклассная работа по математике в ГПЛИ планируется методическим объединением учителей математики. При этом
учитываются интересы и способности учащихся классов различных
профилей. В план включаются как систематические формы внеклассной
работы, так и эпизодические. Постоянно действующей формой работы
по математике в классах математического и естественно-научного
направлений являются факультативы. Одной из важных задач занятий
9
факультатива является подготовка лицеистов к участию в предметных
олимпиадах.
Ежегодно в ноябре, начиная с 1996 года, на базе ГПЛИ проводится
олимпиада по математике для учащихся 10-х и 11-х классов памяти нашего
земляка, талантливого ученого — М. Я. Суслина (15.11.1894—21.10.1919).
В 1998 году эта олимпиада получила статус районной. В состав оргкомитета и жюри олимпиады входят ведущие преподаватели физикоматематического факультета Балашовского филиала СГУ им. Н.Г. Чернышевского. Олимпиада проводится при содействии районного управления образования и администрации лицея в рамках декады математики
в лицее. План проведения декады математики формируется с учетом
профиля класса, уровня математической подготовки учащихся, а также
запросов и индивидуальных наклонностей различных групп учащихся.
Знание особенностей организации внеклассной работы по математике, овладение методиками проведения разнообразных внеклассных мероприятий является частью методической культуры учителя. Решению
задач профессиональной подготовки студентов педвуза способствует
работа проблемной группы, действующей на базе лицея, руководство
которой осуществляют ведущие преподаватели физико-математического факультета БФСГУ. В процессе деятельности студенты знакомятся с различными направлениями содержания внеклассной работы по
математике в условиях дифференциации обучения, целями и формами
внеклассной работы. Формированию профессиональных умений и
навыков у студентов способствует их активное участие в организации и
проведении внеклассных мероприятий в ГПЛИ. Лицей является экспериментальной площадкой Балашовского филиала СГУ им. Н. Г.Чернышевского, на базе которой студенты вуза проводят научно-методические исследования по заданиям кафедр, органов народного образования. Материалы исследований включаются в содержание выпускных
квалификационных работ, тематика которых направлена на разработку
студентами авторских факультативных курсов, их апробация осуществляется в профильных классах.
Внеурочная работа по математике является важным средством осуществления дифференцированного подхода. При выборе форм и методов внеклассной работы необходимо учитывать профиль класса, индивидуальные и возрастные особенности учащихся.
Более подробно методика организации внеклассной работы в условиях дифференциации будет рассмотрена в следующих параграфах.
10
1.2. Методические рекомендации по организации
факультативов по математике
В ГПЛИ факультативы проводятся по авторским программам, получившим положительное заключение кафедр физико-математического
факультета БФСГУ и утвержденным на заседании педагогического совета лицея.
Отличительной чертой организации факультативов в ГПЛИ является
полный охват учащихся классов математического и естественнонаучного профилей этим видом работы. В этих классах обязательный
курс математики изучается по программам средней общеобразовательной школы, а на изучение факультативных курсов выделяется дополнительное время (до двух часов в неделю). Обязательные и факультативные занятия проводит один и тот же учитель; часы факультативных занятий включены в расписание как обычные уроки.
В классах естественно-научного профиля основной целью проведения факультативного курса является подготовка к выпускным и вступительным экзаменам по математике. Содержание данного факультатива —
решение задач школьной программы, предлагаемых на экзаменах в
школе и в вузах. На факультатив отведен дополнительно один час в неделю.
В математических классах ГПЛИ изучаются отдельно три предмета
математического цикла: алгебра, геометрия, начала анализа. Занятия
проводятся преподавателями кафедр соответствующего профиля физико-математического факультета БФСГУ. Согласно учебному плану в
математических классах реализуются два факультативных курса: по
геометрии и по математическому анализу.
Приведем программу факультативного курса для учащихся 11-го математического класса, составленную старшим преподавателем кафедры
алгебры и геометрии БФСГУ Е. Ю. Павловой.
Программа факультативного курса по геометрии
«Комбинации геометрических тел»
Пояснительная записка. В материалы Централизованного тестирования и в варианты вступительных экзаменов в вузы включаются задачи
на различные комбинации геометрических тел. Однако в содержании
базового курса по геометрии для средней школы не в полной мере представлены теоретические и практические аспекты данной темы. В связи с
этим актуальным является проведение факультатива по теме «Комбинации геометрических тел».
Основными его целями являются: рассмотрение различных случаев
взаимного расположения геометрических тел в пространстве, формирование у школьников умений и навыков решения задач по данной теме,
подготовка учащихся к выпускным и вступительным экзаменам в вузы.
11
На проведение данного факультатива отводится 16 часов. Основная
форма проведения — практические занятия. На занятиях актуализируются и систематизируются знания, полученные школьниками при изучении следующих тем базового курса: «Многогранники», «Тела вращения», «Объемы и поверхности тел». При решении задач привлекается
планиметрический материал: соотношения между сторонами и углами в
треугольниках, площади плоских фигур и т. д.
В содержание практических занятий включены задачи, аналогичные
тем, которые предлагаются при проведении Централизованного тестирования по математике и на вступительных экзаменах в вузы.
Тематический план факультативного курса
Призма-призма
1 час
Пирамида-призма
1 час
Призма-цилиндр
1 час
Пирамида-цилиндр
1 час
Пирамида-конус
1 час
Призма-конус
1 час
Призма-сфера (шар)
2 часа
Пирамида-сфера (шар)
2 часа
Конус-сфера (шар)
1 час
Конус-цилиндр
1 час
Цилиндр-сфера (шар)
2 часа
Зачетная работа в виде теста
(2 варианта)
2 часа
Всего:
16 часов
Рассмотрим примерное содержание факультативного занятия на тему «Комбинации конуса и пирамиды».
Тип занятия. Изучение нового материала.
Характеристика темы занятия.
Содержанием темы является понятие пирамиды, вписанной в конус
и описанной около него. (На предыдущем занятии были рассмотрены
определения призмы, вписанной в цилиндр и описанной около него.) На
данном занятии формируется умение применять изученные факты в
конкретных ситуациях. Для этого подобраны упражнения на применение этих фактов в простых и сложных ситуациях.
Цели занятия:
— сформировать понятие пирамиды, вписанной в конус и описанной
около него;
— формирование действий, адекватных определению понятий, с использованием моделей для установления связей между рассматриваемыми телами;
12
— формирование умений работы с задачами по данной теме;
— развитие гибкости мышления — быстрой перестройки мыслительных действий при варьировании условий задачи.
Оборудование. Каркасные модели конусов и пирамид и модели из
картона; чертежи; демонстрационный столик.
Методы обучения. Эвристический метод, аналогия, репродуктивный
метод.
Структура занятия.
1. Постановка цели.
2. Актуализация знаний и умений.
3. Формирование понятий.
4. Применение к решению задач.
5. Подведение итогов работы на уроке.
6. Задание на дом.
Ход занятия.
1. Постановка цели.
2. Актуализация знаний.
Повторение определений конуса и пирамиды, определений призмы,
вписанной в цилиндр и описанной около цилиндра.
3. Формирование понятий.
Используя плакаты с чертежами (рис. 1—4) и модели, ввести определения пирамиды: а) вписанной в конус; б) описанной около конуса.
Определения формулируются самими учащимися на основе анализа
конкретных ситуаций, создаваемых учителем.
Определения: а) Пирамидой, вписанной в конус, называется такая
пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые
ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.
б) Пирамида называется описанной около конуса, если ее основанием является многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.
Разъяснить понятия «конус вписан в пирамиду» и «конус описан
около пирамиды» и сформировать умения учащихся в выполнении чертежей, а также в установлении зависимостей между величинами при
решении задач.
4. Применение к решению задач.
Задание. Составьте текст задачи по чертежу (рис. 1) и символической записи данных и искомых.
Дано: (восполнить пробел); NMK   ; S MNK  S ; PTO   .
Найти: S APB .
Решите составленную задачу.
13
Рис. 1
Рис. 2
Учащимся дается некоторое время на обдумывание формулировки
задачи, затем эта формулировка уточняется, и составленная задача
предлагается к решению.
Текст задачи. В конус вписана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с острым углом  и площадью S .
Боковая грань пирамиды, которая проходит через катет, прилежащий к
углу  , наклонена к плоскости основания под углом  . Найти площадь осевого сечения конуса.
Предлагаемая задача относится к задачам динамического характера,
когда каждая новая ситуация возникает при постановке дополнительных условий в предыдущей.
Рис. 3
Рис. 4
Решение
Построим плоский чертеж основания пирамиды (рис. 5).
14
Рис. 5
Пусть NK  a .
1
1
1) SAPB  AB  OP; AB  R; OP  H, тогда S APB  R  H .
2
2
a
2) Из MKN : MN 
; MK  a  ctg .
sin 
S MNK 
3)
1
MK  NK ;
2
1 2
a ctg   a  2S  tg  .
2
1
4) OE  NK ,
как средняя линия треугольника MNK,
2
2S  tg 
1
1
OE  a 
; R  MN , как радиус окружности, описанной
2
2
2
2S  tg 
a

.
около прямоугольного треугольника; R 
2 sin 
2 sin 
S
2S  tg
) : PO  OE  tg  ;
2
POE (O  90 ; E   ; OE 
5)
PO 
2S  tg 
 tg  ; PO  H .
2
6) S APB  R  H 

2 S  tg 
2 sin 

2 S  tg 
2
S  tg 
(кв. ед.).
2 cos 
Ответ: S APB 
S  tg 
кв. ед.
2 cos 
15
 tg  
2 S  tg 
 tg  
4 sin 
Решите задачу (рис. 3). В правильную треугольную пирамиду, у которой высота в два раза больше стороны основания, вписан конус. Около этой пирамиды описан еще один конус. Найти отношение площадей
боковых поверхностей этих конусов.
Решение. Для удобства введем обозначения: а — сторона основания
пирамиды, r, R — радиусы оснований соответственно вписанного и
описанного конусов; l1, l2 — образующие вписанного и описанного конусов; S1, S2 — площади боковых поверхностей соответственно вписанного и описанного конусов.
a
a
1) S1  rl1 ; S 2  Rl2 ; r 
; R
, тогда
2 3
3
S1   a  l1  3 l1

 .
S2
l2
2 3  a  l2
2) Выразим образующие конусов через сторону основания пирамиды, зная, что H  2a . Используем для этого теорему Пифагора.
MOP : PM 2  OM 2  OP 2 ;
a2
7a

;
12 2 3
AOP : AP 2  OA 2  OP 2 ;
l1  H 2  r 2  4a 2 
l 2  H 2  R 2  4a 2 
a2
13
 a
.
3
3
S1
7a 3
7


.
S 2 2  2 3  a 13 4 13
S
7
Ответ: 1 
.
S 2 4 13
5. Подведение итогов занятия.
6. Задание на дом.
1) Докажите, что высота пирамиды совпадает с высотой вписанного
в нее (описанного около нее) конуса.
2) Составьте текст задачи по чертежу (рис. 2) и символической записи данных и искомых. Решите задачу.
Дано: (восполнить пробел); OK  r; MNO  ; BAC  2.
Найти: S бок.пир.
3)
Текст задачи: Радиус основания конуса равен r, а образующая
наклонена к плоскости основания под углом φ. Около этого конуса опи-
16
сана пирамида, имеющая в основании прямоугольный треугольник с
острым углом 2φ. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
r 2 1  sin 2 
Ответ: S бок.пир. 
кв. ед.
cos 2  sin 
Факультатив завершается зачетной контрольной работой, на которую отводится два часа. Форма контрольной работы — тест, примерные
варианты которого приведены ниже.
Тест: Комбинации фигур
Вариант I
1. Если диаметр основания конуса равен 18, а радиус вписанного в
него шара равен 7,2, то высота конуса равна
а) 80; б) 40; в) 20; г) 160.
2. Площадь поверхности правильного тетраэдра равна 12 3 см2.
Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в этот тетраэдр.
а) 3 6 см2; б) 6π см2; в) 4π см2; г) 2 6 см2.
3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один из углов которого α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данный параллелепипед, если площадь боковой поверхности
параллелепипеда равна S.
S  sin 
S  sin 
S  sin 
S  cos
а)
; б)
; в)
; г)
.
4
8
2
2
4. Около правильной треугольной пирамиды со стороной основания
6 см и высотой 8 см описан шар. Найдите радиус шара.
а) 4 2 см; б) 4,75 см; в) 4 см; г) 4,5 см.
5. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар объемом
4
 см3 . Найдите объем пирамиды, если ее высота 5 см.
3
25 3
100
а) 10 см3; б)
см ; в) 12,5 см3; г)
см3.
3
9
6. В полушар вписан цилиндр, причем одно из оснований цилиндра
лежит в плоскости диаметрального круга полушара, а высота цилиндра
вдвое меньше радиуса полушара. Найдите отношение объема цилиндра
к объему полушара.
3
9
5
5
а) ; б)
; в) ; г) .
16
9
8
4
7. Если сфера касается всех граней правильной треугольной призмы
с длиной ребра основания 3, то радиус сферы равен
17
а)
3 3
3
9 3
3 3
; б)
; в)
; г)
.
3
5
4
2
8. В конус, высота которого равна 4 2 дм, а радиус основания 2 дм,
вписан куб, четыре вершины которого принадлежат основанию, а четыре другие вершины — боковой поверхности. Найдите ребро куба.
а) 2 2 дм; б) 1,2 2 дм; в) 0,5 2 дм; г)
4 2
дм.
3
Вариант II
1. В сферу вписан конус с высотой, равной диаметру основания. Если площадь основания конуса равна 2,4, то площадь сферы равна:
а) 6; б) 9π; в) 15; г) 15  .
2. Площадь поверхности правильного тетраэдра равна 30 3 см2.
Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в этот тетраэдр.
а) 8 3 см2; б) 12,5π см2; в) 10π см2; г) 8 2 см2.
3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один из углов которого β. Найдите объем цилиндра, вписанного в данный параллелепипед, если объем параллелепипеда равен V.
V  sin 2 
V  sin 2 
V  sin 
V  sin 
а)
; б)
; в)
; г)
.
2
4
2
4
4. Около правильной треугольной пирамиды со стороной основания
9 см и высотой 10 см описан шар. Найдите радиус шара.
а) 6 см; б) 6,35 см; в) 5,6 см; г) 7,25 см.
4
5. В конус вписан шар объемом  см3 . Найдите объем конуса, ес3
ли его высота 3 см.
а) 2 3 см3; б) 4π см3; в) 3π см3; г) 3 2 см3.
6. В полушар вписан цилиндр, причем одно из оснований цилиндра
лежит в плоскости диаметрального круга полушара, а высота цилиндра
втрое меньше радиуса полушара. Найдите отношение объема цилиндра
к объему полушара.
6
4
5
2 3
; в) ; г)
.
9
9
9
5 3
7. Если сфера радиуса 3 касается всех граней правильной шестиугольной призмы, то длина ребра основания призмы равна
а)
; б)
а) 3 3 ; б) 4 3 ; в)
3 ; г) 2 3.
18
8. В правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания
4 2 дм и высотой 6 2 дм вписан куб. Найдите ребро куба.
а) 1,8 2 дм; б) 2 2 дм; в) 2,4 2 дм; г) 3 2 дм.
Замечание: в каждом задании буква верного ответа выделена жирным
шрифтом.
В процессе подготовки к зачету учащимся предлагаются для самостоятельного решения задания, выполнение которых способствует
успешному усвоению данной темы.
Задания к зачету по теме «Комбинации геометрических тел»
1. Радиус основания кругового конуса равен r, а образующие наклонены к плоскости основания под углом  . Около конуса описана пирамида, имеющая в основании прямоугольный треугольник с углом  .
Определить боковую поверхность пирамиды.
2. В шар вписан круговой конус. Образующие конуса наклонены к
плоскости основания под углом  . Боковая поверхность конуса равна
Q . Определить поверхность шара.
3. Образующие кругового конуса наклонены к плоскости основания
под углом  , а сумма высоты конуса и радиуса основания равна m .
Найти поверхность и объем шара, вписанного в этот конус.
4. Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, в три раза больше радиуса шара, вписанного в нее. Найти двугранный угол  между основанием и боковой гранью.
5. Угол между соседними боковыми ребрами правильной четырехугольной пирамиды равен  , радиус описанной около пирамиды сферы
равен R. Найти длину бокового ребра пирамиды и ее объем.
6. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Н. Перпендикуляр, опущенный из центра описанного вокруг пирамиды шара на ее
боковую грань, образует с высотой угол  . Определить объем шара.
7. Около шара описана правильная треугольная призма, а около
призмы описан шар. Найти отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.
8. Около шара описан усеченный конус. Отношение объема конуса к
13
объему шара равно
. Найти угол наклона образующей конуса к плос6
кости основания.
9. Объем конуса, в который вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом  при вершине, равен V. Найти боковое ребро
пирамиды.
19
10. В правильной треугольной пирамиде проведено сечение через
боковое ребро и высоту пирамиды. Отношение площади сечения к площади основания равно k. Найти отношение объема вписанного в пирамиду шара к объему вписанного в пирамиду конуса.
11. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник.
Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна h и
составляет с одним из катетов угол α. Найти объем призмы, если известно, что в нее вписан шар.
1.3. Методические рекомендации по проведению занятий
математического кружка
Наряду с факультативами систематической формой внеклассной работы по математике являются математические кружки. Для учащихся,
посещающих занятия кружка, не требуется дополнительных знаний по
математике, поэтому в условиях профильной дифференциации кружковые занятия позволяют объединить учащихся разных классов. В ходе
занятий перед школьниками ставятся задачи поискового, изобретательского характера: создание новых приборов, установок, усовершенствование существующих. В настоящее время поиск способов повышения
качества математического образования ведется по различным направлениям. В связи с этим в процессе обучения используются всевозможные
методы и средства, способствующие повышению уровня знаний и умений школьника, а также всестороннему развитию его личности. Одним
из таких средств является применение наглядных пособий в процессе
обучения и самостоятельное изготовление их учащимися. Еще Я. А. Коменский считал принцип наглядности «золотым правилом дидактики».
И в наше время проблема умелого использования наглядности остается
актуальной.
Подробнее опишем содержание занятий кружка, посвященных моделированию (изготовлению наглядных пособий), которое разработано
и апробировано заведующей кафедрой математики и методики преподавания математики БФСГУ, кандидатом педагогических наук, доцентом
Е. В. Сухоруковой. Во-первых, изготавливая модели, математический
кружок может оказать большую помощь в оборудовании математического кабинета, что является немаловажным в современных экономических условиях, а во-вторых, моделирование приносит большую пользу
самим школьникам, ибо изготовление моделей способствует более глубокому усвоению учащимися школьного курса математики. Школьник
приобретает полезные навыки практического характера. Прежде чем
сделать модель, школьнику приходится продумать технологию ее изготовления, продумать, какие элементы модели находить путем измере20
ний, а какие вычислениями. От этой подготовительной работы зависит
не только качество модели, но и простота ее изготовления.
Важно помнить, что моделирование помогает не только поддерживать интерес к математической литературе, описывающей способы изготовления моделей и других наглядных пособий, но и развивать воображение ребенка, давать ему наглядное представление о многих сложных теоретических вопросах математики.
Современная теория и методика обучения математике считает, что
применение наглядных пособий есть эффективное средство при изучении математики, которое способствует не только лучшему усвоению
знаний, но и созданию на уроках обстановки заинтересованности, облегчает восприятие, следовательно, повышается качество обучения.
Анализ состояния современных кабинетов математики показывает,
что в основном в школах имеются в наличии таблицы, плакаты, дидактические материалы, раздаточный материал, наборы чертежных инструментов. Моделей геометрических фигур явно недостаточно. Это частично
можно объяснить тем, что многие предприятия прекратили выпуск
наглядных пособий и средства наглядности почти не приобретаются. Частичное решение этой проблемы возможно путем конструирования
наглядных пособий самими школьниками под руководством учителя.
Наглядные пособия помогают созданию у учеников пространственных представлений и развивают конструктивные способности, помогают развивать и некоторые практические навыки учащихся. Преподавание геометрии без наглядных пособий едва ли возможно себе представить. Создание наглядных пособий самими школьниками, анализ
конструкций производственных образцов, демонстрация их на уроках
оказывают значительное влияние на развитие учащихся.
В последние годы, в связи с дифференциацией обучения, появлением классов различной профильной направленности, по-новому встают
вопросы о методах обучения математике. Наиболее интересной является постановка преподавания геометрии в классах различной профильной направленности с использованием наглядных пособий, а также решение вопросов по изготовлению наглядных пособий самими учащимися. Необходимы новые подходы к их использованию, которые
учитывали бы специфику таких классов, но при этом сохраняли бы достаточно высокий общий уровень математического образования.
Иногда учителя недооценивают роль наглядных пособий в формировании умения решать геометрические задачи, а также в самостоятельном получении новых для учеников фактов. Наглядные пособия используются в основном как средство предъявления условия теоремы или
геометрической задачи. Между тем наглядные пособия могут служить
21
базой для исследования возможных случаев соотношения между элементами фигуры, а также представить материал для анализа и геометрических обобщений.
Сформулируем следующие положения, которые необходимо учитывать в практике обучения:
Роль одних и тех же средств наглядности на различных этапах обучения неодинакова.
Увлечение готовыми моделями при обучении учащихся, уже достигших некоторого уровня пространственного воображения, является
неоправданным.
В старших классах заслуживают предпочтения задания, требующие
самостоятельного конструирования моделей.
Использование средств наглядности иногда дает отрицательный эффект. Это наблюдается тогда, когда происходит использование средств,
имеющих особенности, которые отвлекают от процесса усвоения. Это,
например, яркая, бросающаяся в глаза окраска, которую лучше было бы
использовать для выделения основных черт.
Б. И. Крельштейн [11, с. 91] выделяет следующие требования,
предъявляемые к наглядным пособиям, по их изготовлению:
1) должны быть просты для понимания, свободны от лишнего, заслоняющего существенно важное;
2) должны удовлетворять требованию удобообозримости;
3) изготовление их по возможности осуществляется учениками,
что создает у них некоторые практические навыки в пользовании простейшими инструментами и умение использовать различные материалы.
Вследствие этого изготовление наглядных пособий развивает конструктивные способности учащихся.
А. Я. Блох и другие [29, с. 34] выделяют следующий ряд правил, которым подчинено применение наглядных пособий в обучении:
1) ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с
помощью различных органов чувств;
2) обращать внимание учащихся на самые важные, существенные
признаки предмета;
3) по возможности показать предмет в его развитии;
4) предоставить учащимся возможность проявлять максимум активности и самостоятельности при рассмотрении наглядных пособий;
5) использовать средства наглядности ровно столько, сколько это
нужно, не допускать перегрузки обучения наглядными пособиями, не
превращать наглядность в самоцель.
Следовательно, умелое применение средств наглядности в обучении
всецело находится в руках учителя. Учитель в каждом отдельном слу22
чае должен самостоятельно решать, когда и в какой мере надо применять наглядность в процессе обучения, так как от этого в определенной степени зависит качество знаний учащихся.
Методика использования пособий разнообразна: одни пособия демонстрируются с целью поставить вопрос, решением которого занят
класс; другие показывают динамику процесса, непрерывность изменения, многообразие форм; третьи подтверждают результаты, полученные
аналитическим или логическим путем. Некоторые модели предваряют
рассуждение. Отдельные группы фигур строят на глазах учащихся,
иные, наоборот, показывают в собранном, готовом виде. Среди пособий
также должны существовать наборы деталей-полуфабрикатов для конструирования моделей самими учащимися и учителем.
В отношении пособий не может быть единого методического режима, прием должен выбираться в зависимости от индивидуальных особенностей класса, ученика и учителя. В иной группе учеников элемент
конкретизации следует усилить, в другой — достаточно ограничиться
одним чертежом. В одном и том же классе отдельным учащимся можно
разрешить не пользоваться пособиями, другим, наоборот, надо предоставить возможность самостоятельно разобрать конструкцию задачи на
модели. Но использование пособий по математике предусматривает
предварительную подготовку учителя к урокам и приобретение им
навыков в свободном обращении с оборудованием. Общеизвестен факт,
что неудавшаяся демонстрация отрицательно влияет на дисциплину
класса, на отношение учеников к содержанию вопроса.
Изготовление и разумное применение наглядных пособий по математике поможет учителю воспитать у учащихся внимание, зрительную
память, развить интеллектуальные способности, а также привить некоторые трудовые умения и навыки. Все это в значительной степени повышает качество всего учебно-воспитательного процесса.
Рассмотрим изготовление моделей, связанных с темой «Многогранники». Выбор этой темы можно объяснить тем, что многогранники составляют один из важнейших предметов изучения стереометрии. Центральная роль многогранников определяется прежде всего тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются из
соответствующих результатов для многогранников. Независимо от этого многогранники сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойствами, специально к ним относящимся теоремами и
задачами. Многогранникам должно быть уделено в школьном курсе
больше внимания еще и потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того
23
соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии.
Работа по изготовлению и использованию моделей многогранников
для учащихся классов различной профильной ориентации может значительно отличаться. С учащимися классов гуманитарной направленности
вполне возможно ограничиться изготовлением моделей, а иногда и просто их рассмотрением и анализом различных свойств и соотношений в
связи с изучаемой темой или решением конкретной задачи. Хотя и в
таких классах довольно часто находятся ученики, которым, может быть,
тяжело общаться на языке математики с помощью формул, но к практическому изготовлению моделей они проявляют интерес.
У учащихся классов математической направленности моделирование
само по себе иногда может не вызвать интереса, так как они не видят в
этой работе математического содержания. Действительно, чтобы вырезать по определенной выкройке с указанными размерами развертку модели и склеить ее клапаны, математических знаний не требуется. В этом
случае эффективность работы по изготовлению моделей будет зависеть
от того, насколько учителю удастся раскрыть перед учениками математическую сущность их практической деятельности, связанную с обучением математике. Например, при изготовлении модели правильного
тетраэдра необходимо вначале дать задание изготовить различные развертки тетраэдра, а затем, после обсуждения, выбрать наилучшие варианты с точки зрения экономного использования бумаги, наименьшей
длины линии склеивания, наиболее рационального порядка работы,
прочности модели и т. п. Использование именно такого типа задач по
моделированию с включением «математической фазы» работы, предшествующей изготовлению моделей, активизирует мыслительную деятельность школьников, поднимает их творческую инициативу, развивает конструктивные способности, воспитывает эстетический вкус.
Изготовление моделей в технике оригами
Оригами — искусство складывания из бумаги. В российскую педагогику и методику преподавания математики оригами лишь начинает
входить, но первые шаги по использованию оригами в процессе обучения геометрии позволяют говорить о достаточно высокой эффективности его применения.
Оригами является мощным стимулом для интеллектуального и эстетического развития учащихся. За относительно короткое время ребенок
начинает превращать бумагу, обычный квадрат в удивительные изделия, игрушки, фигуры, некоторые из которых он и представить не мог.
С использованием оригами происходит развитие творческих способностей ребят: умения целенаправленно наблюдать, сравнивать, выдви24
гать гипотезы, ставить проблемы, разрешать их; подтверждать или
опровергать выдвинутые гипотезы. Занятия оригами помогают стать им
более раскрепощенными, активными и свободными.
При работе в технике оригами выделяются следующие положительные аспекты:
Постепенно происходит знакомство с геометрическими понятиями,
обогащение математического словаря и словаря специальных терминов
оригами, усвоение свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве, утверждений относительно этих фигур в их взаимосвязи, непроизвольно усваиваются формулы, выражающие определенные свойства фигур и связи между ними.
Активизируются мыслительная деятельность. В процессе конструирования возникает необходимость соотнесения наглядных символов при
показе приемов складывания со словесными и перевод их в плоскость
практических действий при самостоятельном выполнении.
Усиливаются представления о взаимосвязи плоскости с пространством, происходит развитие конструктивных навыков. Совершенствуется мелкая моторика рук, точные движения пальцев, координация мелкой
мускулатуры, происходит развитие глазомера. Вырабатывается способность работать руками под контролем сознания. Происходит развитие
концентрации внимания и памяти.
Осуществляется эстетическое воспитание, совершенствуется чувство
прекрасного. Оригами стимулирует создание игровых ситуаций, следовательно, расширяются коммуникативные способности.
Отметим литературу по оригами, которую с успехом можно использовать на уроках геометрии и во внеклассной работе:
1. Афонькин, С. Ю. Волшебные шары — кусудамы / С. Ю. Афонькин,
Е. Ю. Афонькина. — СПб. : ООО «Изд. дом «Кристалл», 2001.
2. Афонькин, С. Ю. Уроки оригами в школе и дома / С. Ю. Афонькин,
Е. Ю. Афонькина. — М. : «Аким», 1998.
3. Афонькин, С. Ю. Универсальный бумажный конструктор — оригами /
С. Ю. Афонькин, Е. Ю. Афонькина. — М. : «Аким», 1997.
4. Белим, С. Н. Задачи по геометрии, решаемые методом оригами / С. Н. Белим. — М. : «Аким», 1998.
5. Оригами помогает геометрии / под ред. Н. И. Чиканцевой. — М., 1995.
6. Сборник лучших моделей из бумаги. М. : «Аким», 2001.
7. Журналы «Оригами».
При изучении темы «Куб» мы предлагаем изготовить в технике оригами модель куба.
Схема сборки предлагается в приложении № 1 (технологическая
карта № 1). Сборка самого куба из шести готовых модулей уже сама по
себе — занимательная головоломка. Учащимся классов гуманитарной
направленности можно ограничиться сборкой куба (рис. 6).
25
Членам кружка, обучающимся в общепедагогическом классе, мы
предлагаем изготовить модель «сплетенные кубики», а именно, два пересеченных куба. Для этого у готового кубика расплетают один из углов, сгибая раскрываемые модули по диагоналям граней куба.
Добавляя еще три модуля к этой частично
раскрытой модели, перед учащимися ставится задача получить пересекающиеся кубики
(рис. 7).
Учащимся класса физико-математической
направленности предлагаем после освоения
приема изготовления пересекающихся куби
Рис. 6
ков изготовить модели трех, четырех и т. д. кубиков, затем усложняем
задание, ставя различные ограничения, например, расположить все пересекающиеся кубики по прямой, закольцевать полученную модель.
Можно также предложить подсчитать площадь поверхности получившейся модели.
Рис. 7
Изготовление моделей многогранников из картона
Среди самодельных наглядных пособий по стереометрии важное место занимают модели, изготовляемые из картона. Картон является
наиболее доступным и простым в работе материалом. Чтобы выполнить
картонную модель, достаточно усвоить такие простые операции, как
резание, сгибание, склеивание картона. Однако из-за непрозрачности
картона нельзя использовать картонные фигуры для демонстрации сечений тел и различных комбинаций тел. Но, несмотря на это, модели,
предлагаемые ученикам для изготовления из картона, могут быть разработаны таким образом, чтобы с помощью простых материалов, например, цветной бумаги, можно было показать и сечение тел.
Мы предлагаем изготовить следующие модели:
26
 правильная треугольная пирамида (технологическая карта № 2);
 правильная четырехугольная пирамида (технологическая карта
№ 3);
 правильная пятиугольная призма (технологическая карта № 4);
 наклонная треугольная призма (технологическая карта № 5);
 тетраэдр, гексаэдр (технологическая карта № 6);
 октаэдр (технологическая карта № 7);
 додекаэдр (технологическая карта № 8);
 икосаэдр (технологическая карта № 9);
 сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через параллельные стороны верхнего и нижнего оснований, не
принадлежащих одной грани (технологическая карта № 10).
Изготовление моделей из нестандартных материалов
Модели с использованием пластиковых бутылок
Практика последнего времени показывает, что очень интересными и
наглядными для учащихся оказываются модели, выполненные с использованием пластиковых бутылок. Несомненным преимуществом такого
материала является прозрачность, способствующая наибольшей наглядности модели. Также к преимуществам можно отнести доступность этого материала и абсолютную безопасность.
Мы предлагаем изготовить следующие модели:
 сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось, и плоскостью, проходящей через диаметр и середину образующей (технологическая карта № 11);
 сечение куба плоскостью, проходящей через диагональ нижнего
основания и середины двух смежных сторон верхнего основания (технологическая карта № 12);
 правильная четырехугольная призма, вписанная в цилиндр (технологическая карта № 13);
 правильная треугольная пирамида, вписанная в цилиндр (технологическая карта № 14);
 конус, вписанный в цилиндр (технологическая карта №1 5);
 правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр (технологическая карта № 16).
Модели с использованием флюорографической пленки
В ходе занятий был использован еще один непривычный для моделирования материал — флюорографическая пленка. Но прежде чем использовать этот материал для моделирования, его необходимо подготовить. Для этого листы использованной флюорографической пленки по27
мещаются в горячую воду и оставляются там на некоторое время до тех
пор, пока не размягчится верхний слой, затем размягченный слой напыления удаляется и в результате получается прозрачная голубоватая
пленка. Из нее можно изготовить множество интересных моделей, которые будут удовлетворять основным требованиям, предъявляемым к
ним, т. е. наглядности и безопасности как при изготовлении, так и при
использовании уже готовых моделей. Мы предлагаем изготовить следующие модели:
 сечение куба плоскостью, проходящей через диагональ нижнего
основания и середины двух смежных сторон верхнего основания (технологическая карта № 17);
 сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты параллельно основанию (технологическая
карта № 18).
Все вышеперечисленные технологические карты находятся в приложении 1.
Практика работы показала, что у учащихся, самостоятельно изготовлявших наглядные пособия, существенно повысился интерес к изучению математики, они стали более логично мыслить, у них улучшилась
способность к абстрагированию, появилась уверенность, что математический материал доступен и по силам им, а сознательное восприятие
изучаемого материала является одним из важнейших требований гуманизации образования.
28
Глава 2
Методика организации эпизодических форм
внеурочной работы по математике
2.1. Методические рекомендации по подготовке
и проведению недели математики
Достаточно хорошо известны различные эпизодические формы организации внеурочной работы по математике: математические состязания (математические бои, олимпиады, КВН и т. д.), научные конференции и семинары, устные журналы, сочинения, стенная печать (математические газеты, сканеры, кроссворды и т. п.) и др. Ежегодно в ГПЛИ
проводится предметная неделя (декада), в структуру которой включаются перечисленные выше формы. Рассмотрим методические особенности организации некоторых форм внеурочной работы, реализуемых в лицее
в рамках недели математики (в приложении 2 приводятся варианты сценариев различных внеклассных мероприятий, проведенных в ГПЛИ).
Проведение предметной недели по математике стало традиционной
формой организации внеклассной работы в ГПЛИ. Предметная неделя
проводится в конце ноября и приурочивается ко дню рождения нашего
земляка, ученого-математика М. Я. Суслина. Мероприятия, проводимые
в рамках недели математики, носят разноплановый характер и позволяют охватить всех учащихся, независимо от профиля класса. Эти мероприятия дополняют учебную работу по математике, способствуют расширению и углублению знаний учащихся, обеспечивают оптимальное
развитие их математических способностей и интереса к изучаемому
предмету, а также прививают им определенные навыки научноисследовательского характера.
Программа недели математики формируется на заседании методического объединения учителей математики с учетом анализа мероприятий,
проведенных в предшествующие годы, интересов и запросов различных
групп учащихся. Традиционным стало проведение в рамках недели математики районной олимпиады памяти М. Я. Суслина, математического
боя для учащихся 10-х и 11-х классов лицея, конкурса математической
печати. Наряду с общелицейскими формами внеурочной работы проводятся мероприятия и внутри каждого класса: викторины, игры, устные
журналы и т. д. В организации и проведении недели математики в лицее
принимают участие студенты пятого курса физико-математического
факультета БФСГУ, которые в этот период проходят педагогическую
практику на базе лицея.
29
Приведем примеры программ математических недель, проведенных
в ГПЛИ в разные годы.
День недели
Понедельник
Вторник
Среда
Четверг
Пятница
Суббота
День недели
Понедельник
Вторник
Среда
Четверг
Пятница
Суббота
День недели
Понедельник
Вторник
Среда
Четверг
Пятница
Суббота
1997 год
Название мероприятия
Конкурс газет и творческих работ
учащихся на тему «Математика —
это …»
Мат. игра «Проще простого»
Мат. игра «Крестики — нолики»
Мат. игра «Счастливый случай»
Математический бой
Компьютерная эстафета
Математический КВН «Семнадцать мгновений математики»
Районная олимпиада по математике памяти М. Я. Суслина
1998 год
Название мероприятия
Математический бой
Конкурс математических кроссвордов
«Брейн-ринг»
Лабораторный
практикум
«Наглядные пособия по математике, их виды и функции»
Математический КВН «Подвески
королевы Анны»
Районная олимпиада по математике памяти М. Я. Суслина
1999 год
Название мероприятия
Интеллектуальный
математический марафон
Устный журнал «Разве математики
не имеют своих тайн…» (Ньютон и
Лейбниц)
Математический бой
Устный журнал «Какие числа правят миром»
Игра «Счастливый случай»
Математический КВН «И это все о
ней …»
Районная олимпиада по математике памяти М. Я. Суслина
30
Класс
Все классы
10—11 ОПК
11 ФК
10 ФК
10—11 МК
Все классы
Все классы
10—11 классы
Класс
10—11 МК
Все классы
10—11 ФК
10—11 ОПК
10—11 классы
10—11 МК
Класс
Все классы
Все 11-е классы
10—11 МК
10 ОПК
10—11 ФК
10—11 классы
10—11 классы
День недели
Понедельник
Вторник
Среда
Четверг
Пятница
Суббота
День недели
Понедельник
Вторник
Среда
Четверг
Пятница
Суббота
2000 год
Название мероприятия
Урок-экскурсия «Музей правильных многогранников»
Математический бой
Устный журнал «Тайны тригонометрии»
Интеллект-шоу «Черный ящик»
«МК в лицее» (Математический
клуб в лицее — общелицейская
газета)
Математический КВН «Есть у математики Началøа, нет у математики конца»
Районная олимпиада по математике памяти М. Я. Суслина
2001 год
Название мероприятия
Математический бой
Урок-экскурсия «В музее многогранников»
Урок-викторина «Что мы знаем о
параллельности в пространстве?»
«Математическое кафе»
Конкурс математических сканеров
Математический КВН «Без математики нет жизни, и с математикой
— не жизнь»
Районная олимпиада по математике памяти М. Я. Суслина
Класс
11 ОПК
10—11 МК
10 ОПК
10—11 ФК
Все классы
10—11 классы
10—11 классы
Классы
10 — 11 МК
11 ОПК
10 ОПК
10—11 ФК
Все классы
10—11 классы
10—11 классы
В течение недели в 2001 году проводился «Чемпионат лицея по
арифметике».
Рассмотрим более подробно особенности подготовки и проведения
некоторых мероприятий, проведенных в рамках предметной недели.
Математический бой
Традиционно математический бой проводится между командами
10—11 математических классов, так как его проведение требует от учащихся специальной подготовки по предмету. Правила организации математического боя описаны в учебно-методической литературе [7; 20 и др.].
Цели проведения математического боя:
 формирование умений и навыков решения задач различных типов;
 развитие умений применять полученные на уроках знания к решению нестандартных задач;
31
 воспитание терпения, самостоятельности, активности, умения отстаивать свою точку зрения, духа коллективизма, сплоченности, интереса к предмету, культуры поведения;
 подготовка учащихся к предметным олимпиадам;
 развитие мышления, логики речи, умения аргументировать свои
ответы, внимания, памяти, интуиции.
Правила игры
Для участия от каждого класса выдвигается команда до 6 человек, в
которой выбирается капитан, именно им определяется стратегия боя и
распределяются задачи между членами команд.
1 этап: За 3—4 часа до начала проведения боя каждая команда получает экземпляр всех задач, каждая задача оценивается определенным
количеством баллов. Задачи подбираются таким образом, чтобы в их
решении содержались особые случаи или в процессе их выполнения
возможно приобретение посторонних решений или их потеря и т. п.
Получив задание, команды в течение отведенного времени решают задачи.
2 этап: Начало боя — конкурс капитанов, который дает право победившему капитану выбирать, будет ли его команда производить вызов или
передаст эту возможность соперникам, а также можно бросить жребий.
Проводить конкурс капитанов можно следующим образом. В течение отведенного времени (10 минут) капитаны команд решают предложенную задачу, условие которой вывешивается на плакате.
Например: Во время шторма капитан приказал выбросить за борт
половину из тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в
нерешительности, каждый не хотел выбросить свой груз. Видя это, капитан корабля сказал: «Сделаем так: матросы расставят все 30 тюков по
кругу, мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый девятый тюк,
пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались товарами этого купца. Как были расставлены тюки?
Ответ: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой,
2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.
Во время обдумывания капитанами решения задачи, проводится игра со зрителями, которая позволяет болельщикам заработать дополнительные очки для своей команды.
Также для решения капитанам можно предложить задачу, не требующую длительного обдумывания решения.
Например: К задуманному числу прибавили три, результат разделили на 4, получили 4. Какое число было задумано?
Ответ: 13.
32
Данный конкурс капитанов не дает команде дополнительных очков,
но капитан победившей команды имеет право вызвать команду соперников на любую из предложенных задач для защиты решения, а сама
команда выступает в роли оппонента.
В дальнейшем команды вызывают друг друга по очереди. Если вызываемая команда не принимает вызов, то она выставляет оппонента, а
вызывающая команда – защитника. Таким образом проводится «проверка корректности» вызова. При защите решения выставляется участник, рассказывающий решение, подробно обосновывая все свои рассуждения, а также отвечающий на все вопросы оппонента, возникающие в ходе решения задачи. Оппонент по ходу защиты решения имеет
право задавать вопросы по приведенному решению задачи, указывает на
ошибки и недочеты решения, если таковые имеются. Количество туров
проводимого математического боя определяется количеством задач,
предложенных для решения. После рассмотрения каждой задачи жюри
подводит итоги тура и рецензирует ответы защитника и оппонента, в
результате чего дается заключение о правильности, полноте и рациональности решения. Количество баллов, выставляемых жюри по итогам
каждого тура, определяется «ценой» задачи, которая делится между
отвечающим и оппонентом. Оценка оппонента не может превышать
половины баллов за задачу, оценка отвечающего зависит от полноты
решения. В случае некорректного вызова (т. е. вызова на нерешенную
задачу или неправильно решенную) на вызывающую команду начисляются штрафные баллы, а баллы вызываемой команде могут прибавляться при хорошем оппонировании.
Итоги каждого тура можно заносить в протокол в виде следующей
таблицы (табл. 1).
Таблица 1
Протокол «Математического боя»
№ за
дачи
Баллы за
задачу
Оппонент
Ф. И.
Защитник
Класс
Ф. И.
Класс
Баллы
за задачу
(итоговые)
10 кл. 11 кл.
1.
2.
3.
Итоговые баллы:
Каждый участник команды может выступать в роли защитника или
оппонента не более двух раз. Побеждает та команда, которая наберет
большее количество баллов.
Ниже приведены варианты заданий и их решения, которые предлагались в лицее в период с 1999 по 2001 гг.
33
1999 год
1. Что больше? (10 баллов).
10 1 9 6 8  1
10 1967  1
или 1 9 6 9 .
1968
10  1
10  1
2. В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения
пункта А он проехал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал
на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через 9 c после того, как автомобиль
достиг пункта А, навстречу ему выехал автобус из пункта В, находящегося на расстоянии 258 м от пункта А. В первую секунду автобус проехал 2 м, а в каждую последующую он проезжал на 1 м больше. Какое
расстояние проехал автобус до встречи с автомобилем? (10 баллов).
3. Найти все числовые функции f такие, что для любого х  0 справедливо равенство (х – 1) f(х) + f(1/х) = 1/х (10 баллов).
4. Три окружности радиусов 5 см, 10 см, 15 см касаются друг друга.
а) Найдите радиус окружности, проходящей через центры окружностей.
б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания
данных окружностей, имеющих радиусы 14 см, 16 см, 18 см (10 баллов).
5. Найти все положительные числа х, произведение цифр в десятичной записи которых равно х2 – 10х – 22 (10 баллов).
2000 год
2
1. Решить уравнение: x  2 x  y 2  4 y  5  0 (8 баллов).
2. Докажите тождество: 2 sin

3

1
(10 баллов).
10
10
2
3. Внутри прямого угла дана точка М, расстояния от которой до сторон угла равны 4 см и 8 см. Прямая, проходящая через точку М, отсекает от прямого угла треугольник с площадью 100 см 2. Найти катеты треугольника (10 баллов).
4. Дед Мороз приготовил Снегурочке на Новый год подарок, но не
положил его под елку, а спрятал в саду. Вот что он сообщил внучке:
«В моем саду растет 6 фруктовых деревьев: 1) черешня, 2) груша,
3) яблоня, 4) абрикос, 5) слива, 6) вишня. Под одним из них я спрятал
подарок. Чтобы его найти, нужно считать от 1 до 2000, последовательно
называя: черешня — 1, груша — 2, яблоня — 3, абрикос — 4, слива — 5,
вишня — 6, слива — 7, абрикос — 8, яблоня — 9, груша — 10, черешня —
11, груша — 12, яблоня — 13, абрикос — 14, слива — 15 и т. д., подарок
зарыт под деревом, при котором будет названо число 2000» (12 баллов).
5. Доказать, что число n4+4 при любом целом n, n>1 является составным (6 баллов).
sin
34
6. Найдите значение выражения:
tg 10·tg 20 ·tg 30· …· tg 870· tg 880· tg 890 (8 баллов).
2001 год
1. Решить уравнение:
x2  33  4x  63  216  18  4x  6 3  x2 . (10 баллов).
2. Доказать, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно его сторон, лежат на описанной около треугольника окружности (10 баллов).
3. Часы показывают в некоторый момент времени на две минуты
меньше, чем следует, хотя и идут вперед. Если бы они показывали на
три минуты меньше, чем следует, но уходили бы в сутки вперед на полминуты больше, чем уходят, то верное время они показали бы на сутки
раньше, чем покажут. На сколько минут в сутки спешат часы? (10 баллов).
4. Дано:
sin  
3
15
, cos (   ) 
,   0; 90,   0; 90,      90; 0.
5
17
Найти: cos  (10 баллов).
5. Построить график функции y 
2  x x
(10 баллов).
6. Найти все целые числа х такие, что число x3  2x 2  2x  4 является простым (10 баллов).
Решения заданий математического боя за 1999 год
10
 1 10 1968  1
1) 1968


10
 1 10 1969  1
1967

10 1967  10 1969  10 1967  10 1969  1  10 19682  2  10 1968  1
(10 1968  1)(10 1969  1)
10
19 68

 11019 69  1  0
 10 3936  101968 10 1  10 101968  10 3936  2 101968 
 10196810 1  10  2,
101968>0, (10-1 + 10 – 2)>0 
101967  1 101968  1

0
101968  1 101969  1
1019 67  1 1019 68  1

.
1019 68  1 1019 69  1
2) Условие задачи можно проиллюстрировать с помощью рис. 8.
2a  d n  1
Sn  1
n ; а10 = 30 – 2(10 – 1) = 12 (м).
2

35
В
D
258 м
С
А
Время движения автомобиля из А в С — 9 с.
2  30  2(9  1)
S AC 
9  198
2
 BC = 258 – 198 = 60 (м).
Пусть время до встречи — х
c.
3а10  2( х  1)
х 
2
26 х  2 х 2

2
2  2  1( х  1)
(4  х  1) х
3х  х 2
х 

, S автом об 
,
2
2
2
Рис. 8
S автомоб 
26 х  2 х 2 3х  х 2

 60 .
2
2
–х2+29х – 120 = 0, х2 – 29х+120 = 0,
D = 361 = 192, х1 = 5 с, х2 = 24 с — не удовлетворяет условию задачи,
т. к. S = 324 > АВ.
3  5  25
 20 (м). Ответ: 20 метров.
SBD =
2
1
1
3. ( х  1) f ( x)  f ( )  .
x
x
S автомоб  S автомоб  60 ,
Пусть x 
1
, уR\{0}.
y
1  1
  1 f    f  y   y.
 y   y

1 1
( x  1) f x   f    ,

 x x

 1  1 f  1   f x   x;
 x   x 
1 1
 1  1

f      x  1 f  x  ,   1   x  1 f  x   f  x   x ,
x x
 x  x

 1  1

  1  xf  x   f  x   f  x   x,
x
x



2
1
1
1
     x  1 f  x    x  1 f  x   f  x   x,
x
x
x
36
2
1
1 1


    f x   1  x  1  x  1  x,
x
x
x
 


f x  
x
1 1
 
x  x
2

x3  x  1
.
x3  x 2  x
1
x  1  x  1
x
4. Условию задачи соответствует чертеж, изображенный на рис. 9.
а) Эта окружность описана около
треугольника, стороны которого
O2
равны попарно суммам радиусов
трех данных окружностей. Ее радиус
abc
можно найти по формуле R 
,
O1
O3
4S
где a, b, c — стороны треугольника,
а S — его площадь. Так как а = 25,
в= 20, с = 30, по формуле Герона
находим S = 150,
Рис. 9
25  20 15
 12 ,5.
R
4 150
б) Окружность вписана в тот же треугольник. Ее радиус можно
S
найти из формулы r  , где S — площадь треугольника, а р — его
p
1
полупериметр. Таким образом, р = 30, получим r  6 7 см.
5. х2 – 10х – 22  0, т. к. произведение цифр неотрицательно.
х2 – 10х – 22 = 0, D/4 = 25 + 22 = 47,
x1 = 5  47 , x2 = 5  47 (рис. 10).
–
+
+
5  47
5  47
х
Рис. 10
x  5  47  11 .
Произведение цифр меньше либо равно самому числу, поэтому
х2 – 10х – 22≤х, х2 –11х –22≤0,
D = 121 + 88 = 209,
37
x1 
11  209
11  209
; x2 
(рис. 11).
2
2
–
+
5,5 
209
2
+
5,5 
Рис. 11
209
2
х
209
 13.
2
11  x  13. Подходит х = 12, т. к. 144 – 120 – 22 = 1·2 = 2.
х > 0  x  5,5 
Решения заданий математического боя за 2000 год
1) х2 – 2х+у2 – 4у+5 = 0; (х2 – 2х + 1) + (у2 – 4у + 4) = 0;
(х – 1)2+(у – 2)2 = 0;
x 1  0
x  1

.

y  2  0 y  2
Ответ: (1; 2).
2) Доказательство:
3
3

3

2 sin 10
cos
sin
sin sin

3
10
10 
5
10 
2 sin sin



10
10
cos
cos
10
10
  

3
3
3
sin  sin  
2 sin sin
cos
sin  sin
5
5
 2 10 
5
10
10 
5 



3

3

3
2 cos cos
2 cos cos
2 cos cos
10
10
5
10
10
10
 5 3 
  3 



sin

 sin 

sin cos
sin
10
10


 2 10 
5
10 
5 




3
3
3
2 cos
2 cos
2 cos
2 cos
3
10
10
10
10 cos
10
3
cos
10  1 .

3 2
2 cos
10
3) Дано: В = 900, КМ = 8 см, ML = 4см, SABC = 100 см2 (рис. 12).
38
Найти: АВ, ВС.
Решение
1. МКАВ, MLВС.
2. Пусть АК = х см, LC = y см.
3. АКМ~MLC (по двум углам).
AK AM KM


Следовательно,
имеем
ML MC
LC
x 8
 .
4 y
А
К
М
С
В
N
1
4. SABC= AB  BC (т. к. АВС — прямо2
угольный треугольник)
Рис. 12

x  4 y  8
1
S ABC   AK  KB BL  LC  
,
2
2
что по условию задачи равно 100 см2.
5. Составим систему уравнений и решим ее:
 x  4
x 8

 4  y
 xy  32
 y  32

 

x  16
2 x  y  34
 x  4  y  8  100


2
 y  2
Значит, а) АВ = х + 1 = 5 (см), ВС = у + 8 = 40 (см).
б) АВ = 20 см,
ВС = 10 см.
Ответ: а) АВ = 5 см, ВС = 40 см; б) АВ = 20 см, ВС = 10 см.
4) Подарок находится под грушей.
Решение
1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, …
Цикл состоит из 10 чисел.
2000:10 = 200 (остаток 0).
Значит, на 10-м месте стоит та цифра, что и на 2000-м, т. е. цифра 2,
которая соответствует груше.
5) Доказательство: n4+4=(n2+2)–(2n)2=(n2+2–2n)(n2+2+2n).
6) Ответ: 1.
tg 10 · tg 20 · tg 30 … tg 870 · tg 880 · tg 890 = tg 10 · tg 20`· tg 30 … tg 870 ·
tg 880 · tg (900–1) = tg 10 · tg 20 · tg 30 … tg 870 · tg 880 · сtg 10 = tg 20 · tg 30
… tg 870 · tg 880 · 1 = tg 20 · tg 30 · … · tg 870 · ctg 20 = tg 30 · tg 40 … tg 860
· tg 870 · 1 = … = tg 450 = 1.
39
Решение заданий математического боя за 2001 год
1. Введем обозначения: x 2  3  a;  4x  6  b; 6  c. Уравнение
примет вид:
a 3  b 3  c 3  3abc  0;


a 3  b 3  c 3  3abc  a  b  c  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac 
 a  b  c 
a  b 
2
 a  c   b  c 
,
2
2
2
поэтому либо a  b  c  0 , либо a  b  a  c  b  c  0. Условие
a  b  c  0 приводит к уравнению x 2  3  4x  6  6  0 , корни которого x1  2  7 , x2  2  7 . При одновременном выполнении трех усло x 2  4 x  3  0,

вий a  b  a  c  b  c  0 получаем систему:  x 2  9,
которая
 4 x  12 ,

имеет единственное решение x3  3.
Ответ:  3; 2  7 .
А
Н
В
2
3
1
А0
Н1
Рис. 13
2. Доказательство проводится в соответствии с рис. 13.
Н — точка пересечения высот, Н1
— точка пересечения прямой АН с
описанной
окружностью.
1  2, 1  3 , как опирающиеся
на одну и ту же дугу, тогда 2  3.
как прямоA0 BH  A0 H 1 B
угольные с равными соответственными острыми углами, следовательно,
HA0  H1 A0 .
3. Если часы спешат на х мин. в сутки, то они покажут верное время
2
через
суток. Если бы они показывали на 3 мин. меньше, а спешили
x
1

бы на  x   мин. в сутки, то верное время они показали бы через
2

3
суток.
1
x
2
40
С
Таким образом, получаем уравнение:
3
2
1
 1  , или 2x 2  3x  2  0 , откуда x  .
1
x
2
x
2
1
Ответ: .
2
4.          cos  cos     cos   sin   sin   . Так
4
8
15 4 3 8 84
как cos   и sin      , то cos    
 .
17
17 5 5 17 85
5
84
Ответ: cos 
.
85
2
5. Имеем: y 2   x 2  2 x и y  0 , т. е. x  1  y 2  1 и y  0 . А это
уравнение полуокружности единичного радиуса с центром (1; 0), расположенной в верхней полуплоскости относительно оси Ох.
6. x 3  2 x 2  2 x  4  x 2  2x  2 . Если это число простое, то
x  2  1, а x2  2 — простое число. Отсюда, х = 3.
Ответ: 3.
Интеллектуальный математический марафон
Идея проведения интеллектуального математического марафона была предложена педагогическим коллективом школы № 218 города
Москвы. В основу концепции положен культурологический подход к
оценке знаний учащихся, учитывающий разный уровень подготовки
учеников и разнообразие их склонностей и интересов по четырем циклам: математика, естествознание, культурология и языки.
В ГПЛИ проводился интеллектуальный марафон по математике, в
котором принимали участие все классы, независимо от их профиля.
Учащимся выдавались книжки с заданиями, одинаковыми для всех
классов, каждое задание оценивалось определенным количеством баллов, на их выполнение отводилось 3 часа. Лицеисты выполняли эти задания в одно и то же время.
Содержание вопросов и задач по циклу «Математика» охватывает
школьные курсы математики: алгебра, начала математического анализа,
геометрия, а также вопросы по информатике, лингвистике, задачи с
шахматной тематикой. Задания, предлагаемые для решения, в большинстве случаев не требуют знаний, выходящих за рамки школьной программы, но некоторые предполагают возможность применения стандартных знаний в нестандартной ситуации, эрудиции. Более подробно с
математическими заданиями школьного марафона можно познакомиться в учебно-методической литературе, указанной в списке [54].
41
Итоги проведенного интеллектуального марафона подтвердили доступность заданий, предлагаемых для выполнения учащимся. Наибольшее количество баллов удалось набрать ученику 11-го математического
класса А. Кругову (98 баллов), а второе место заняла ученица 10-го филологического класса О. Николаева (62 балла).
Урок-внеклассное мероприятие
Классно-урочная форма обучения является основной в настоящее
время, а основной формой организации учебной работы является урок.
Проведение урока в форме внеклассного мероприятия позволяет с одной стороны систематизировать и обобщить изучаемый программный
материал, выявить имеющиеся пробелы в знаниях школьников и наметить пути их устранения, а с другой — стимулировать интерес к предмету, задействовать большее количество учащихся класса. Такие уроки
можно проводить как внутри одного класса, так и между параллелями,
межпредметные уроки и т. п.
Тематика может быть разнообразной, например: устные журналы
«Какие числа правят миром?», «Тайны тригонометрии»; урок-экскурсия
«В музее многогранников»; урок-КВН «Что мы знаем о логарифмах?» и т. д.
(приложение 2).
Для проведения устного журнала учащиеся должны заранее прочитать литературу по тематике журнала. Устный журнал проводится как
путешествие по его страницам, на каждой предлагаются интересные
факты по теме журнала, возможно ранее не известные учащимся. Последнюю страничку можно провести в форме викторины.
Урок-КВН проводится как обобщающий урок, урок закрепления темы. Урок-КВН — это игра-процесс, в котором моделируются отношения, способы деятельности и принятия решений. Данная форма проведения урока позволяет сделать учебный процесс одновременно значимым и интересным, а зачетный урок привлекательным, что дает
возможность добиться эффективного, глубокого и прочного усвоения
учебного материала. План проведения урока соответствует структуре
телевизионной игры, но конкурсы адаптируются в соответствии со спецификой предмета. С примерными правилами проведения урока-КВН
можно познакомиться в учебно-методической литературе [26; 47 и др.].
Возможны следующие конкурсы:
Разминка: пятиминутная самостоятельная работа по обязательным
результатам обучения. Правильность выполнения заданий проверяют
консультанты команды соперников.
Конкурс капитанов: капитанам предлагается выполнить задание,
участники команд могут при необходимости помочь своему капитану.
42
Блиц-турнир: командам предлагаются задания типа «Найди ошибку», «Что бы это значило…», на которые они поочередно отвечают. Победит та команда, которая даст ответ последней.
Конкурс «Домашнее задание»: консультанты проверяют правильность выполнения домашнего задания у команды соперников. Этот конкурс можно проводить в целях экономии времени в течение разминки.
Конкурс консультантов: консультант команды решает задание у
доски и объясняет его решение. Задача команды соперников задать ему
как можно больше вопросов по решению, разыграв непонимание.
Результаты каждого конкурса заносятся в таблицу, подводится общий итог, объявляются команда-победительница, лучшие участники
команд.
Конкурсы печатных работ
В конкурсах печатных работ принимают участие все классы независимо от их профиля. Возможны следующие формы организации таких конкурсов: стенгазета, бюллетень, кроссворды, сочинения, рефераты и т. п.
Названия математических стенгазет могут быть различными,
например: «Математика — это интересно», «Искусство и математика»,
«Математическая шкатулка», «В мире математики», «Архимед» и др.
Приведем перечень возможных рубрик математической газеты: «Из
истории математики», «Это ты знаешь», «Математики шутят», «Знаете
ли вы, что...», «В королевстве чисел», «Сосчитай», «Софизмы» и т. п.
Интересной формой проведения конкурса математических печатных
работ является выпуск общешкольной математической газеты, когда
каждый класс выпускает определенную страницу. Учащиеся ГПЛИ выпускали газету под названием «МК в лицее». Название газеты вызывало
определенные ассоциации с газетой «Московский комсомолец», но в
данном случае «МК» расшифровывалось как «Математический клуб».
Названия некоторых рубрик были заимствованы из газеты «МК» и
адаптированы с учетом специфики предметной недели. Для репортажей
учащимся предлагались следующие рубрики: «О чем говорит лицей?»,
«Они нас удивили», «Астрологический прогноз», «Знай наших», «Это
интересно», «Разборки», «Отгадай» и т. д.
Так, например, в рубрике «О чем говорит лицей» рассказывалось о
различных мероприятиях, проводимых в рамках недели математики,
раздел «Разборки» был посвящен результатам боя группировок «Ромб»
(10 МК) и «Квадратная синусоида» (11 МК), каждая из которых отстаивала свой метод решения математических задач. Астрологический прогноз был составлен на неделю математики для каждого класса. Возможен следующий перечень прогнозов: важная новость, шансы на выигрыш, любовь, расширение кругозора, награды за труды, учителя к вам
43
будут благосклонны, страсти разгораются, не проспи интересное, воздержись от мучного, внешность обманчива, успех во всем, контрольная
работа и т. д.
Конкурсы кроссвордов: кроссворды могут быть тематическими: биографическими, историческими, числовыми и т. д.
Конкурсы письменных работ учащихся: К письменным работам относятся домашние сочинения, рефераты и т. п. Обычно тематика рефератов и сочинений соответствует программному материалу, а также
может включать различные вопросы, связанные с историческим развитием отдельных математических идей, биографиями великих математиков. Целесообразно, как показал опыт, предлагать участвовать в этих
конкурсах учащимся филологических классов для расширения и углубления их математического кругозора. По материалам своих работ они
выступали с сообщениями перед лицеистами.
Конкурсы, игры, викторины
Игра «Крестики-нолики». Для проведения игры оформляется большое табло в виде древнейшей игры «Крестики- нолики». В игре участвуют две команды: команда «крестиков» и команда «ноликов». Они по
очереди выполняют задания, помещенные в квадратах поля. После каждого раунда подводится итог. В зависимости от того, кто победит, ставится «Х» (крестик) или «О» (нолик). Победителем игры становится
команда, заполнившая своими знаками строчку по вертикали, по диагонали или по горизонтали.
Интересными для учащихся являются формы организации и проведения внеклассных мероприятий, заимствованных из телевизионных
телепередач, таких, как: «Счастливый случай», «Брейн-ринг», «Звездный час», «Поле чудес», «Проще простого», «Умники и умницы», «О,
счастливчик!» и т. п. При проведении мероприятий такого типа целесообразно придерживаться ритуала, принятого телевидением и хорошо известного ученикам. Рассмотрим правила организации некоторых из них.
«Счастливый случай». В игре принимают участие две команды, игра
состоит из пяти геймов.
I гейм «Дальше, дальше…»
Каждой команде предлагаются вопросы, на которые надо быстро ответить в течение двух минут. Если команды не могут дать ответ, то они
говорят: «Дальше, дальше…» Каждый правильный ответ оценивается в
одно очко.
II гейм «Заморочки из бочки»
В мешке 10 бочонков с номерами от одного до десяти и один бочонок с подковой. Игроки команд по очереди достают бочонки. Ведущий
зачитывает вопрос, команды совещаются 15 секунд, после чего один из
44
членов команды дает ответ. За верный ответ команда получает одно
очко; если команда не может дать правильный ответ, то ей могут помочь болельщики. Если команде достался бочонок с «подковой», то это
«счастливый случай», и команда получает три очка, не отвечая на вопрос.
III гейм «Ты — мне, я — тебе»
Каждая команда заранее готовит команде соперников вопросы.
Называется имя игрока, которому адресован вопрос. Игрок отвечает
самостоятельно, без подсказки со стороны своей команды, после ответа
он имеет право задать свой вопрос любому члену команды соперников и т.
д.
IV гейм «Темная лошадка»
С помощью наводящих вопросов учащиеся отгадывают имя человека, который является «темной лошадкой». Им может быть учитель или
выпускник школы. Гость заранее готовит для команд вопросы и определяет победителя этого гейма.
V гейм «Гонка за лидером»
Команды должны за одну минуту ответить на максимальное число
вопросов ведущего. Начинает гейм проигрывающая команда.
«Звездный час». В игре участвуют шесть пар: шесть участников и
шесть помощников, ими могут быть друзья, родители, братья, сестры.
Для каждого участника делаются таблички с номерами ответов.
Ход игры:
Представление участников.
Тур 1: играющим предлагается ответить на шесть вопросов, каждый
из которых содержит четыре варианта ответа. Участник должен найти
правильный ответ и поднять табличку, соответствующую номеру ответа. Помощники также отвечают на вопросы. «Звездочка» дается участнику игры, если его правильный ответ совпал с ответом помощника.
После первого тура двое участников, набравших наименьшее количество очков, покидают игру, им вручаются утешительные призы. Если
число очков одинаково, то проигравшего определяют по числу заработанных в процессе игры звезд.
Тур 2: из ящика высыпают 10 кубиков, на каждой грани которых
написаны буквы. Из букв, расположенных на верхних гранях кубика, за
одну минуту нужно составить самое длинное слово (существительное в
именительном падеже, единственном числе). Участник, который составит слово из наибольшего количества букв, получает поощрительный
приз; составивший самое короткое слово, выбывает из игры, получив
утешительный приз.
45
По истечении времени проводится игра со зрителями. Зрители
должны за то же время составить из выпавших букв самое длинное слово. Зритель, использовавший большее количество букв, становится победителем и получает приз.
Тур 3: участникам предлагаются «логические цепочки». Они должны
определить, правильна ли предложенная последовательность. Если это
так, участник поднимает табличку с цифрой «О», если нет, то две таблички с цифрами, которые нужно поменять местами. Участник, ответивший на меньшее число вопросов, покидает игру.
Финал: два оставшихся участника должны составить как можно
больше слов, используя буквы из предложенного слова. Таким словом
может быть «математика», «биссектриса» и т. п. Участнику на помощь
может прийти его помощник. Победителем становится участник, который составит наибольшее количество слов. Победителю игры предоставляется звездный час, он произносит речь.
«Брейн-ринг». В игре участвуют две команды по шесть человек.
Каждая команда выбирает капитана. Стол каждой команды снабжен
сигнальной карточкой. Игра идет до шести очков. На каждом раунде
разыгрывается одно очко. Время на обсуждение — 30 секунд. После
того как будет задан вопрос и подан сигнал «Время», капитан той команды, которая знает ответ, поднимает сигнальную карточку и сообщает, кто будет отвечать: номер игрока, его фамилию и имя. В случае, если
у команды нет правильного ответа, дается время на обсуждение другой
команде, но уже 10 секунд. По истечении времени команда должна дать
ответ; если ответ команды неправильный, то счет остается прежним, и в
следующем раунде будет разыгрываться два очка.
Математический КВН
Стало традицией в ГПЛИ заканчивать неделю математики КВН
между сборными командами учащихся 10 и 11 классов. Каждую команду составляют учащиеся классов разных профилей. Математический
КВН, конечно, не устанавливает действительных математических способностей учащихся. КВН — это игра, но игра осмысленная, серьезная
и очень полезная. Это соревнование вырабатывает у школьников коллективное чувство необходимости победы в присутствии многих учащихся и учителей; команда прилагает все свои силы, чтобы оправдать
признание и доверие своего класса, своего учителя математики и классного воспитателя.
Тема математического КВН и названия конкурсов сообщаются командам заранее, т. к. проведение такого мероприятия требует большой и
серьезной подготовки как со стороны учителя, так и со стороны учащихся. Содержание конкурсов традиционно: приветствие, разминка,
46
музыкальный конкурс, конкурс капитанов, конкурс болельщиков, домашнее задание.
В подготовке команд к участию в КВН помогают классные воспитатели, студенты, проходящие практику в классах, а также подготовительную работу курируют учителя математики лицея.
Темы математического КВН могут быть различными: «Семнадцать
мгновений математики», «И это все о ней», «Есть у математики
Началøа, нет у математики конца», «Без математики нет жизни, и с математикой — не жизнь» и т. д.
Традиционные конкурсы, о которых говорилось выше, имеют свое
название, девиз. Например, конкурс-приветствие: «Не любо не слушай,
а врать не мешай», «Науки юношей пиытают» и др. Музыкальные конкурсы проходили под девизом: «Нагружать все больше нас стали почемуто….», «Вихри враждебные веют над нами», «Мода и математика» и т. п.
Домашнее задание обычно соответствует тематике КВН, но может
иметь и свое собственное название. Так, в математическом КВН «И это
все о ней» тема домашнего задания формулировалась следующим образом: «Есть о математике молва, что она в порядок ум приводит…»; в
КВН «Семнадцать мгновений математики» домашнее задание называлось: «Ночь перед контрольной».
КВН — это зрелище, спектакль, который нужно смотреть и слушать.
Перенести на лист бумаги все действия участников, передать необычность их костюмов, мимику, пластику выступлений просто невозможно.
В связи с этим описывать процесс игры — дело неблагодарное. Однако
некоторые удачные шутки, выступления капитанов и фрагменты других
конкурсов мы решили привести в нашем пособии.
Ведущими КВН традиционно являются студенты физикоматематического факультета БФСГУ. Они начинают КВН, предваряя
выступление команд:
Ведущий 1: Здравствуйте, мы рады приветствовать вас в этом зале!
Сегодня собрались все здесь,
Чтоб посмотреть, как будут биться
Команды славных мудрецов,
Команды славных лицеистов.
Мы этой встрече с вами рады,
Желаем вам больших удач
Не ради славы и награды,
А ради каверзных задач.
Ведущий 2:
И будет схватка ваша сложной,
Но чтоб победу получить,
47
К нам пожаловали гости
Вашу участь облегчить.
Жюри сегодня при параде,
Им честь великая дана
Судить по совести и правде,
Кому победа будет отдана.
Так познакомимся мы с ними,
Хотя знакомы много дней.
Все это уважаемые люди —
Любители математических затей.
Представление жюри.
Интересным было приветствие таких команд, как «Тандем», «Радуглы», «Гиперболический ХАОС»:
Приветствие команды «Тандем»:
Девиз: Жить можно дружно,
Без проблем, коль есть
Содружество, тандем.
Нам по плечу любые дали.
Команда, жми на все педали.
Жизнь не бывает без проблем,
Но если рассудить:
Коль дружен будет наш тандем,
Легко всех победить!
— Чтобы в КВНе победить,
Очень умным и умелым надо быть.
Победить нас будет нелегко,
Сражаемся за каждое очко.
Песня: Мы вам честно сказать хотим,
В КВНе сегодня победим.
Ведь от него сегодня нам не уйти,
Противники наши стоят на пути.
Сколько надо нам песен спеть,
Сколько нужно нам ребусов прочесть,
Быть под наркозом вопросительных фраз
И слышать голос жюри лишь в пользу нас.
Хотя талантлив наш соперник,
Не уступим мы ни в чем.
Пусть противник наш трепещет,
В наступление идем.
Приветствие команды «Радуглы».
48
(Под музыку X-Files (Секретные материалы) выходит с фонариками
команда, освещая вокруг себя. Включается свет.)
Ученик 1: Радианы плюс углы получились «Радуглы».
Ученик 2: И у нас, как у угла, есть начало, нет конца.
Ученик 3: Геометрию решаем, в алгебре соображаем.
Ученик 4: ОПК по всем предметам занимается на «пять», эту точную
науку ОПК ну должен знать.
Ученик 5: Вот помощники стоят — мозговитый наш физмат.
Ученик 6: Учимся всегда отлично, в поведении — прилично.
Ученик 7: И филологи скрипят, учат, сами уж не рады, не хотят они
колов, а кому их надо.
Все вместе: Ну не ставьте нам колы, мы же «Рад-уг-лы».
(Ученики уходят со сцены. Остается ученик № 3.)
Ученик 3: Я с детства не любил овал,
Я с детства угол рисовал.
(На сцену выходят пятеро мальчиков в костюмах лебедей. Звучит
музыка П. И. Чайковского «Танец маленьких лебедей» из балета «Лебединое озеро». Мальчики танцуют. Звучит музыка из балета «Щелкунчик», к мальчикам присоединяются девочки. Под музыку они произносят слова и одновременно показывают линии.)
Просто парабола.
Просто гипербола.
Просто синусоида.
Просто прямая.
Приветствие команды «Гиперболический ХАОС».
Название: Гиперболический ХАОС-е… вот и вышли мы на сцену.
— Спешу сообщить вам, господа лицеисты, пренеприятнейшее известие — крыша поехала!
— Скоба упала! (за сценой стук по ведру).
— Началась утечка мозгов! (за сценой сливают воду).
— И что же нам предпринять?
—Я, я, я знаю! Ударим математикой по иррационализму и деструктурализации ума! С точки зрения банальной эрудиции мы не можем
игнорировать парадоксальных тенденций, так как это может привести к
субстратной специфике элементов той или иной системы.
Все: Угу.
Песня: Не кочегары мы, не плотники, да!
Но, к восхищенью, глупых нет средь нас,
А мы филологи, экологи, да!
И математики средь нас!
Мы изучаем математику, да!
49
Но и еще (перечисляют предметы).
— Стоп!
Все: И в КВН хотим сыграть!
— А с кем играть-то?
— Да с малышами, МНС.
— Кальве? Майонез?
— Младшие научные сотрудники!
(Музыка.)
— Эй вы, надменные потомки,
С раскосыми и жадными очами,
Известные мне наглостью своей.
Дерзнули вы такими резкими речами
Их вызвать нынче на дуэль.
— Слышь, что он гонит? Какая дуэль? Его ж посадят!
— Да кто ж его посадит, тормоз, он же памятник!
— А кто это?
— Да ты что? Он же кольцо Мебиуса придумал!
— А что это такое?
— Это кроме него никто не знает.
— Как же так?! Лицеисты — и не знают? Непорядок!
— Я! Я знаю! Это…
— Стоп! Рекламная пауза!
— Вы знаете, я влюбилась… в математику.
— А сейчас немного науки. Сосредоточьтесь!
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной,
перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то
она перпендикулярна и проекции наклонной (чертеж).
— Математика — это достойно вас!
— Эй, ребята, быстрее сюда!
Все: Сейчас, подожди!
Песенное попурри:
Отчего так путаются мысли,
Отчего так меркнет часто свет.
Математика пришла из прошлой жизни,
В этой от нее мне счастья нет.
Через годы, через расстоянья,
На любой дороге, в стороне любой
Алгебре не скажешь: «До свиданья»,
Геометрия всегда с тобой.
В конкурсе «Разминка» каждая команда задает команде соперников
по очереди три вопроса. Вопросы команд носят юмористических харак50
тер и не всегда связаны непосредственно с математикой. Приведем некоторые вопросы и ответы на них команд-участников КВН (стилистика
вопросов и ответов, придуманных школьниками, сохранена).
1. После математического боя учитель физкультуры пишет оперу.
Ответ 1: А про меня там будет?
— Вот вызовут к оперу, тогда узнаешь.
Ответ 2: Это была трагическая опера. В ней писали о том, что 11-й
физико-математический класс проиграл математический бой.
2. Что такое мат. анализ?
Ответ 1: Анализ, он и в Африке анализ.
Ответ 2: Это анализ и пи-пи-пи…
3. Какой учитель считается порядочным?
Ответ: Который ставит «два» без удовольствия.
4. Почему 11-й математический класс во вторник не явился в лицей?
Ответ: (на мотив рэпа) вечеринка у Вадика дома: шахматы, кроссворд, компот в ассортименте.
5. С какой целью Коля Л. из 11-го физмата бегал за Максимом Т. из
10-го физмата?
Ответ: Им было по пути.
7. Штирлиц шел по лесу, ткнул палкой в одну сторону — нет грибов,
в другую — нет грибов, прямо — тоже нет. В чем тут дело?
Ответ 1: «Не сезон»,— подумал он и сел в сугроб.
Ответ 2: «Бермудский треугольник», — подумал Штирлиц.
8. Длина удава от головы до конца хвоста 6 м, а от хвоста до головы
7 м. Почему?
Ответ: Наш удав — как хотим, так и меряем.
9. Выйду на улицу, гляну на село — девки решают…
Ответ: А мне все равно!
10. Вовочка 10 раз дернул за косичку Машу, 5 раз Дашу, 7 раз Клаву
и 1 раз по ошибке завуча Маргариту Ивановну. Спрашивается, сколько
раз Вовочка дергал за косичку и что теперь будет?
Ответ: 23 раза и вызов родителей.
В конкурсе капитанов представитель команды должен продемонстрировать свою эрудицию, юмор, находчивость, артистичность. На
наш взгляд, заслуживают внимания следующие выступления капитанов:
Капитан команды «Радуглы»:
Разговор с мыслью (голос за сценой).
Капитан: Здравствуйте!
Мысль: Привет! (пренебрежительно).
Капитан: Я рад всех вас видеть!
Мысль: А чего это вы здесь все собрались?
51
Капитан: Я хочу вам рассказать об открытии, о моем открытии
журнала.
Мысль: Ага! Вместе с папой (С ухмылкой).
Капитан: Я вспоминал и рассказывал папе историю каждой моей
оценки.
Мысль: А он все не верил, не верил.
Капитан: А недавно на контрольной работе мысль покинула мою
голову.
Мысль: Не выдержав одиночества.
Капитан: Но я все-таки написал эту контрольную работу.
Мысль: По листочку, прилетевшему со второй парты.
Капитан: Поражаюсь! До чего же бывают скучны тугодумы. Вот я,
например, вчера сделал открытие. Оказывается, бывают не только спортивные олимпиады, но еще математические. Представляете, какой элементарщиной они занимаются! Да я за 10 минут все задачки решу. Вот,
например: «Ослик Иа вышел из пункта А со скоростью 10 км/ч, а в другой пункт прибыл через 15 мин.». Проведя моментально сложные математические расчеты, я получил ответ: ослик Иа бежал со скоростью 365
км/ч. Думаете, ослик не может бежать с такой скоростью?
Мысль: А как вы думаете, с какой бы скоростью вы бежали, если бы
на вас ехал грузовик?
Капитан: Вот вторая задача: «Метрострой города Москвы нанял
двух кротов для рытья туннеля…»
Мысль: Интересно… Людям, понимаешь, негде работать, а они кротов нанимают.
Капитан: Вопрос: «За сколько дней они пророют туннель имени
Патриса Лумумбы?» А почему именно туда?
Мысль: А потому что там братья наши меньшие учатся.
Капитан: И тут, передо мной, сидит виновник моего открытия…
Мысль: …Журнала.
Капитан: Видеть вас — одно удовольствие.
Мысль: А не видеть — другое.
Капитан: Любимый учитель!
Мысль: Мучитель!
Капитан: Такого, как вы, не было и нет.
Мысль: И врагу не пожелаешь!
Капитан: Любите математику, как я люблю…
Мысль: …Рыбий жир.
Конкурс капитанов «Монолог учителя»
52
Извините, товарищи, я тут немного дергаться буду и порой даже заикаться. Не волнуйтесь, это все производственные травмы: я учителем
работаю, с детишками, значит. Учу их.
Как закончил институт, так сразу и пошел в школу работать. Больно
уж детей люблю. Видите, шишка на лбу? Это я как-то на замене был в
11-м филологическом. Дети там хорошие. Умненькие все такие… Вот
только двери не вовремя закрывают…
Нет, сотрясения мозга нет. В наши учительские ряды только таких
набирают, у которых что угодно, а сотрясения мозга быть не может.
Вот, например, недавно предлагали воспитателем в филологический
класс идти — ой, много наших на этом деле полегло!
Почему передних зубов нет? Это я случайно в коридор вышел, после
пятого урока… т. е. когда 10-е классы на обед бежали…
А голова дергается — так это я и сам не знаю, почему. Стаж, наверное, сказывается… Не один год все-таки работаю.
Детки (с благоговением) — они ж такие шалуны. Им же все поиграть
хочется! На физмате как-то мне мышеловки с ядерными боеголовками
подложили — еле ушел! А химики с биологами — тоже шалуны. Веселые такие ребята, общительные. Прихожу как-то к ним на урок, смотрю,
чевой-то хихикают. Ах, лапочки. Потом достаю сумку, а там неведома
зверушка. Во! Вот теперь с перевязанной рукой хожу… И химию учат
детки тоже хорошо. Устраивают газовые атаки политринитилметилуранэтилдебилом. Всем-всем пятерки поставил.
А дети-то как меня любят! Знают, когда у меня день рождения. Подарки дарят. Конфеты, например, в прошлом году подарили «Сало в
шоколаде». В этом году подарили «Хэд энд шолдерс» и электробритву с
ножами от сенокосилок.
А столовая у нас — прелесть, не столовая — чудо! Недаром детки
так ее любят. Блюдо там одно мне нравится — пельмени замедленного
действия. Ну что сказать? Вкусно!
А дети у меня такие милые! Даже друг друга по-особенному как-то
называют.
(Голоса за сценой)
— Ах ты, хорейный гекзаметр! Ямб ты четырехстопный!
— Сфера! Функция ты последняя после этого!
— Что? А ты — поливинилхлорид! Митохондрия ходячая!
Учитель: Ах, какие умники! Вот такая нужная людям профессия!
Опасная, но нужная. Я вот только не пойму, чевой-то вы смеетесь? Над
кем смеетесь, товарищи?!
Обычно за конкурсом капитанов проводится музыкальный конкурс.
Этот конкурс можно считать парадом талантов, синтезом музыки, паро53
дии и смеха. Достаточно часто школьники, которые на уроках бывают
не очень активны и заметны, проявляют себя именно на сцене. В музыкальном конкурсе обычно используются известные мелодии, участники
КВН пародируют модных исполнителей, переделывая слова песен в
соответствии с заданной тематикой.
Музыкальный конкурс «Мода и математика»
(На сцене сидят два деда с балалайками в руках, в процессе показа
мод они исполняют частушечные страдания. Рекламируя одежду, на
сцену выходят девушки. Модели одежды состоят из различных математических символов, геометрических фигур и тел. Ведущие комментируют показ моделей в стиле «рэп».)
— Вам высокую моду мы представим сейчас.
Все модели одежды предлагаем для вас.
— Здесь увидите много прекрасных идей,
Вся одежда для умных людей.
— На первой модели парабола вниз,
На эту модель ты оглянись.
— Скорее внимание на нее обрати,
Какая трапеция у нее на зади.
Деды: Димка че, да Димка че,
Не пойму никак ниче.
Че показывают нам?
Это прям какой-то срам.
— Вторая имеет прекрасный колпак.
Задуман цилиндром, но это не так.
— Квадратное платье — ее клевый прикид,
И этим нарядом вас всех покорит.
Деды: Ты смотри, какой колпак,
Не пойму ниче никак —
То ли баба, то ль мужик,
То ль корова, то ли бык.
— У третьей модели каблук кирпичом,
И слякоть и грязь ему нипочем.
— Площадь подошвы очень большая,
поэтому надо идти не спеша.
Деды: Ну, а эту кирпичом
Вдруг одели ни за че,
И поэтому идет
То ли взад,
А то ль вперед.
— Классная шляпа у этой модели,
Просто треугольник на нее мы надели.
54
— Шляпа у нас получилась — атас,
Ведь треугольник — это класс!
Деды: На буденовку колпак
Не похож совсем никак.
Говорят, что треугольник,
А мы видим, что не так.
— А вот колготки в виде луча,
Отрезок на пятке... Она хороша!
— В любой обстановке,
В прикиде любом
Все ее страхи будут лишь сном!
Деды: Ой, я, Димка, не могу,
Щас от смеха упаду.
Натянула два бинта,
Ламца-дримца, оба-на!
— Вот последняя модель
Как она хороша!
— При взгляде на нее
Замирает душа!
Вот это конус, какой объем!
Эй, красотка, со мной-ка пойдем!
Деды: Димка, Димка, ну ты че
Навалился на плечо?
Глянь, модель-то ничего,
Не проспи, смотри, ниче.
— Вот и окончен показ наших мод.
Все эти платья, как новый восход.
— Носите их каждый, всегда и везде,
И каждый узнает, учились вы где.
Домашнее задание — это своеобразный мини-спектакль на заранее
предложенную тему. Описать это представление достаточно трудно,
поэтому приведем лишь некоторые его фрагменты.
Например, по теме «Есть о математике молва, что она в порядок ум
приводит…» команда «Тандем» приготовила выступление в форме
сказки. Приведем ее содержание:
В сказке было то, аль во сне,
Осенью, али по весне,
Может, вовсе не бывало,
Только я про то слыхала,
Что не слышал вряд ли кто.
Что-то я про все не то
Вам так долго тут толкую,
55
Ахинеицу такую понесла
Сейчас не зря:
Есть три дочки у царя,
Царь живет один с прислугой,
С конюхом, с сестрой и другом,
С братом, сватом и с женой,
Да с кухаркою одной, с мастерицей,
С кружевницей, с повитухой и певицей,
С кошкой Муркой и козой,
С поросенком-егозой, с жеребенком
И теленком и еще с одним ягненком,
Что намедни убежал…
Помню, был такой скандал…
— Хватит, хватит… разошлась,
дай тебе побольше воли,
всех закружишь поневоле.
Приведи в порядок ум.
Есть на свете сем наука,
Для лентяев просто мука,
Для ученых просто клад —
Бьюсь с тобою об заклад.
Пусть подумают друзья,
Сколько было у царя
При дворе всего народу…
Ты забыла воеводу!
— Всех 17 человек.
— Ай-да люди, молодцы!
Не скажу, что вы глупцы,
Но задачку не решили,
Видно сразу — поспешили.
Математика-наука.
Ум в порядок приведет
И нигде не подведет.
— Сказка ложь, да в ней намек,
Добрым молодцам урок,
Надо было с детства знать,
Пальцы шибче загибать.
В математическом КВН «Есть у математики Началøа, нет у математики конца» команды-участницы представили домашнее задание в форме пародии.
Домашнее задание команды «Модуля»
(звучит музыка из фильма X-Files (Секретные материалы))
56
Голос за кадром: Малдер и Скалли в России. Им поручено найти конец математики.
(Малдер и Скалли спрыгивают со стульев с зонтами, в темных очках.
Малдер в наушниках и с плеером — большой чемодан с надписью
«ПОНОСОНИК»)
Малдер: Ой, ничего не видно! (Достает фонарик).
Скалли: Сними очки (снимает очки).
Малдер: Ой, ничего не слышно!
Скалли: Плеер сними (снимает плеер).
С криком: — ФБР (забегают в лицей, открывают удостоверения, мимо них проходят два ученика, не замечая Малдера и Скалли).
Ученик 1: С точки зрения банальной эрудиции, говоря лексиконом
чистой и прикладной математики, дифференцируемость бинарных операций вычислительного алгоритма исключает возможность квадратуры
круга.
Ученик 2: Ты не прав, ведь квадрика в квазирешении кибернетических систем перманентна, что является третьей производной квадратной
синусоиды…
Скалли: Что-то я плохо выучила русский язык.
Уборщица: Вот ножищами грязными натоптали (моет шваброй полы).
(Малдер и Скалли подслушивают под дверью.)
Голоса за дверью: Мы не поняли… Повторите…
Голос учителя: Для тех, кто в шлеме, повторяю!
Малдер: Здесь не лицей, а школа космонавтов какая-то.
(Малдер и Скалли идут дальше по коридору. Дверь в учительскую,
заглядывают.)
Учитель 1: Представляете! Сегодня спрашиваю: «Петров, кто взял
Измаил?», а он мне: «Опять Петров!!! Не брал я!»
Учитель 2: Что вы переживаете! Это же дети, поиграют и отдадут.
А в каком это классе?
Учитель 1: В 10-м математическом.
Учитель 2: Ну, эти точно не отдадут.
(Дверь в кабинет. Заглядывают. Идет зачет.)
Учитель: 22?
Ученик 1: 5.
Учитель: А может, 6?
Ученик: Нет, 5.
Учитель: Тупой, но упорный. Зачет. Следующий.
Учитель: 22?
Ученик 2: 5.
Учитель: А может, 6?
57
Ученик 2: Да, 6.
Учитель: А может, 4?
Ученик 2: Да, 4.
Учитель: Тупой, но поддающийся. Зачет. Следующий.
Учитель: Так, Иванов, ты наделал столько ошибок в контрольной
работе! Ты что, считать не умеешь?
Ученик 3: Умею: 1, 2, 3, 4…
Учитель: Дальше.
Ученик 3: 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама, король…
Учитель: Все понятно. Иди, в следующий раз сдашь. Следующий.
Учитель: Сидоров, тебе 2.
Ученик 4: Марь Иванна! Не ставьте двойку. Я не смогу жить с таким
грузом на душе (начинает привязывать веревку к потолку).
Учитель: Сидоров, хорошо — 3.
Ученик 4: Нет! Как я посмотрю в глаза одноклассникам (продолжает
привязывать веревку).
Учитель: Хорошо, хорошо — 4.
Ученик 4: Нет! Родители меня не поймут.
Учитель: Ладно, 5.
Ученик 4: То-то же, Марь Иванна! (уходит).
(Малдер и Скалли идут дальше. Медицинский кабинет. Врач стоит
спиной к зрителям.)
Врач: Скальпель, зажим, молоток, зубило, тампон, скальпель, ножовка… (гремит инструментами).
Разворачивается к зрителям, в руках держит банку «Килька в томатном соусе». Шум, топот, грохот.
Скалли: Пол дрожит, земля трясется… Что это?
Пробегает толпа, последний кричит:
— 11-й в столовую несется!
Малдер: Это конец!
(Малдер и Скалли, растрепанные, падают. Звучит музыка из фильма
«X-Files».)
Домашнее задание команды «Радуглы»
Игра «О, счастливчик!»
Действующие лица: ведущий, Горбачев, Радзинский, Ельцин (учащиеся подражают голосам известных людей).
Ведущий: В эфире телеигра «О, счастливчик!» Сегодня будут бороться за миллион знаменитые люди: Б. Н. Ельцин…
Ельцин: Здравствуйте, дорогие россияне!
Ведущий: Э. Радзинский (он спит). Эдвард, проснитесь.
Ельцин: Хватит спать, проснись (толкает его, Эдвард просыпается).
58
Радзинский: Здравствуйте.
Ведущий: М. Горбачев…
Горбачев: Здравствуйте, здравствуйте!
Ведущий: Итак. Первый вопрос: Сколько будет 2 2 ? Варианты ответов:
а) опять двадцать пять;
б) приглашали как здоровых, а спрашиваете как с умных;
в) 4;
г) ваш вариант ответа.
Первым отвечает Э. Радзинский.
Радзинский: Мм… ну… да…
Ведущий: Эдвард, отвечайте быстрее, не тяните время.
Радзинский: Математика возникла давным-давно…
Ведущий: А теперь послушаем ответ Бориса Николаевича.
Ельцин: Затрудняюсь ответить.
Ведущий: А что нам скажет М. С. Горбачев?
Горбачев: Мне нужна помощь зала.
Ведущий: Ну, а сколько же действительно получается, мы узнаем после рекламы. Реклама на НТВ.
Реклама.
Голос за кадром: Для того чтобы похудеть, в наше время существует
много способов и средств. Например, суперсистема «Шесть».
(Выбегают три девочки, им навстречу идет худой мальчик, который
изображает Ларису Долину.)
Девушки: Ой, девочки, Лариса!!! ( Подходят ближе.) Лариса!!!
(Одна чихает, и Ларису сдувает порывом ветра.)
Голос за кадром: Вот до чего доводит суперсистема «Шесть».
Ведущий: Мы снова в студии. Продолжаем игру. Правильный ответ
не угадал никто. Давайте просто поговорим о математике. Борис Николаевич, как вы относитесь к математике?
Ельцин: Я к ней не отношусь, понимаешь.
Ведущий: Какие у вас самые хорошие воспоминания о математике?
Ельцин: Самые хорошие воспоминания о математике у меня остались с института.
Ведущий: Почему же?
Ельцин: А у меня там не было математики.
Ведущий: А как обстояли дела в школе?
Ельцин: Плохо.
Ведущий: Почему?
Ельцин: Все дети умели считать до 10 (показывает пальцы), а я только до 8. Приходилось ходить без носков.
59
Ведущий: Михаил Сергеевич, говорят, что ваши неправильные ударения — результат неудачного экзамена по математике.
Горбачев: Ну, во-первых, не по математике, а по алгебре. Во-вторых,
это был не экзамен, а контрольная работа.
Ведущий: Ну а теперь, уважаемые гости, пожелайте что-нибудь телезрителям.
Ельцин: Дорогие россияне! Здравия и благополучия.
Ведущий: Борис Николаевич, скажите, мы будем жить лучше?
Ельцин: Мы будем жить лучше.
Ведущий: А мы?
Ельцин: А вы — не знаю!
Ведущий: На этом мы с вами прощаемся, уважаемые телезрители. До
свидания.
(Заключительная песня на мелодию «Замыкая круг».)
1. Мы в лицей пришли с надеждой,
Чтобы выучиться прежде,
Не на день, на два — на пару лет.
Путь наш начался не просто,
Обучают нас как взрослых,
На любой вопрос дадим ответ.
Припев: Завершая год, выпуск наш уже вот-вот
Прямо из лицея — в «пед»,
Другая жизнь уже зовет.
Пусть бегут года,
Не забудем никогда
Наш лицейский дружный класс.
Будет «супер» все у нас!
2. Мы все рядом, мы так дружны,
Вместе мы в жару и в стужу,
Никогда не будем горевать.
Математику решаем
И друг другу помогаем
Тесты и контрольные писать.
Припев: тот же.
В математическом КВН «Семнадцать мгновений математики» тема
домашнего задания — «Ночь перед контрольной». Вот как ее представила одна из команд.
Ведущий: Поздно. Ночь. Поздняя ночь. Очень поздняя ночь. Ученик
думает. Пишет. Думает по-другому. Опять пишет. Устал. Решил отдохнуть. Заснул, уже спит. Крепко.
60
Ученик: (встает как лунатик) Лезу на стул и думаю о тебе. О, моя
тетрадка с нерешенной задачей по алгебре.
Ведущий: Пробуждение. Мысль пришла. Упорно пишет. Мысль
ушла. Заснул. Опять спит, видит… Ой, подождите, еще не видит. Вот
теперь увидел (на него надвигаются тени учителей).
Их все знают. Это фанаты математики. Их цвет белый, потому что
они всегда в мелу.
Ученик (крестясь): Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (учителя исчезают).
Ведущий: Пишет шпаргалку. Еще одну. И еще, еще, еще. Думает, куда их спрятать. Устает от напряжения. Засыпает.
Песня: И снится нам не рокот космодрома,
Не эта ледяная синева,
А снится им контрольная работа,
Которую не сделать никогда.
Действие в классе.
Ведущий: Сон продолжается. Класс, трудная контрольная работа.
Очень трудная контрольная работа. Ученику удается списать, сдает
первым, получает пять.
Песня: Но сны сбываются и не сбываются,
Мечта приходит к нам порой лишь в снах,
А сны хорошие не забываются,
А сны хорошие и есть мечта.
Ведущий: Проснулся. Размечтался. Вспомнил, что надо писать.
Начал мечтать. Опять задумался. Наконец, засыпает крепким сном.
Звенит будильник.
Песня: На заре ты ее не буди,
На заре она крепко так спит…
Все: Тсс!
Песня (поют все): Душа ее болит и просто не поет,
Когда контрольная и утро ближе, ближе,
Когда настанет час, учитель в класс войдет
И на доске задания напишет.
Контрольную решу и другу помогу я.
Ведь я сидел всю ночь, без шпоры напишу я.
И вот звенит звонок, тетрадку отношу я,
Хорошую отметку сегодня получу я!
Домашнее задание на тему «Без математики нет жизни, и с математикой — не жизнь!»
— Нет науки на свете чудесней,
Без нее нам не жизнь, да и с ней не житье.
61
Так начнемте ей песню петь вместе,
Может, легче жить станет с ней, чем без нее.
Голос за кулисами: Эти дни всегда выпадают не вовремя, то перед
выходными, то перед каникулами, а то и среди недели. Это дни контрольной работы. До контрольной работы осталось пять дней, четыре,
три, два, один… Контрольная работа.
Ученики, замученные, заходят в класс, кое-как садятся, своим видом
показывают свое недовольство. В класс заходит завуч и говорит, что
учитель пока задерживается. Один из учеников вскакивает и начинает
кричать.
Ученик: У нас тоже так было, учитель сначала опаздывал, а потом
летит: глаза — во, тетради дыбом и задания вот такие!
Все начинают трястись и один ученик падает от страха на пол вместе
со стулом. В класс входит молоденькая учительница, раздает задания,
начинается контрольная работа. Одна ученица не знает, как решать, сидит, грызет ногти и повторяет: «Мамочка, мамочка».
Тут входит мама в халате, с бигуди на голове, со сковородой и с половником.
Мама: Дочь, ты меня звала?
Ученица: Нет, уйди.
Мама: А зря, мать всегда пригодится!
Ученица сидит и кричит шепотом отличнику.
Ученица: Максим, Максим.
Он не слышит. Она берет таблетку «Холса» и кричит.
Ученица: Мак-сим!!!!!
В это время за другой партой отличник сидит с другой девочкой.
Девочка: Дай я посмотрю, что ты там пишешь.
Отличник: Нет, отдай, это мое.
Девочка: Тогда послушай историю про жадность.
Учительница встает и проходит по классу.
Ученик: Ольга Алексеевна, Ольга Алексеевна, можно выйти?
Учительница (кричит ученику в ухо): Нет!!
Отличник достает калькулятор и начинает на нем считать.
Учительница: Максим, убери калькулятор. Максим, убери, пожалуйста. Вырубай машину! Решать!
Учительница выходит из класса. В классе кричат ученики:
— Не успею. Опоздаю. Скажем: «Извините, Ольга Алексеевна».
Ученик: Да нет, все это уже было, нам нужна идея.
В класс заходит парень, переодетый девушкой.
Ученики: Ой, идея, идея пришла.
Идея: Заряди мозги, если они есть.
Звенит звонок. К учительнице подходит ученик.
62
Ученик: Ольга Алексеевна, а Вам какие оценки нравится ставить —
красненькие или черненькие?
Учительница: Мне нравятся хорошие, но тебе это не грозит.
Класс сидит на месте.
Учительница: К нам приехала выдающаяся математическая оперная
певица.
В класс входит певица очень больших размеров, но ей не удается
спеть.
Песня (на мотив «Восемнадцать мне уже» группы «Руки вверх»):
Мы сегодня взрослее стали,
Все задачки прочитали,
Прорешали все примеры,
И все это так.
Мы ведь взрослые уже,
Только вы нас не ругайте
И побольше баллов ставьте,
Позабудьте все ошибки!
Дарим все мы вам улыбки.
Припев: В математике у нас
Будет дорог каждый час,
Ведь наука так точна,
И она нам всем нужна.
Ла-ла-ла-ла-…
Анализ результатов внеурочной работы в ГПЛИ показал эффективность выбранной структуры проведения предметной декады. В приложении 2 к пособию приведены разработки некоторых мероприятий,
проведенных в ГПЛИ в рамках предметной недели в разные годы.
2.2. Районная олимпиада по математике памяти М. Я. Суслина
Особое место в проведении декады математики в ГПЛИ занимает районная математическая олимпиада для учащихся 10—11 классов памяти
нашего земляка Михаила Яковлевича Суслина (15.11.1894—21.10.1919).
Варианты заданий составляются на основе предложений ведущих
преподавателей физико-математического факультета БФСГУ. При подборе заданий используются материалы журналов «Квант», «Математика в
школе», сборников задач математических олимпиад различных уровней.
Основными формами подготовки учащихся к олимпиаде являются
факультативные занятия, математические бои и т. п.
Участниками Суслинской олимпиады становятся победители и призеры внутришкольных олимпиад. Согласно Положению об организации
63
и проведении олимпиады памяти М.Я. Суслина, победитель пользуется
льготами при поступлении в БФСГУ.
Приведем варианты олимпиадных заданий за 1998—1999 гг., а также
варианты и решения олимпиадных заданий за 2000—2004 гг.
1998 год, 11 класс
1. Вычислить: 7 + 77+777 + ...+ 77…7(n цифр).
2. АD и ВС — основания трапеции, О — точка пересечения ее диагоналей. Площадь треугольника АОD равна 16, а площадь треугольника
ВОС равна 9. Найти площадь трапеции АВСD.
3. Доказать, что для любого натурального числа n число 6n+3n+2n+1+2
является составным.
4. Доказать, что круги, построенные на сторонах выпуклого четырехугольника, как на диаметрах, покрывают весь четырехугольник.
5. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2
часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.
6. Решить уравнение:
|х3 – 6х2 + 11х – 6| + |х3 – 9х2 + 26х – 24| = 0.
7. Ученик написал одну за другой 4 последовательных цифры, а затем первые две цифры поменял местами. Получившееся четырехзначное
число оказалось точным квадратом. Найти это четырехзначное число.
8. Вне квадрата АВCD дана точка М. Найдите площадь квадрата, если известно, что МА = МВ = 5; DM = 13 .
10 класс
1. Число 2Р – 1 — простое. Доказать, что р — простое.
2. Плоскость покрыта квадратной решеткой. Можно ли через любой
узел провести прямую, не проходящую больше ни через один узел решетки?
3. Определить, при каких значениях а и b многочлен
x3 + ax2 + 2x + b делится на x2 + x + 1.
4. Какую наибольшую площадь может иметь треугольник, стороны
которого а, b, с заключены в следующих пределах
0  a  1  b  2  c  3.
5. Решить уравнение x  1x  3x  5x  7  297 .
6. Найти сумму:
1
1
1
1
1



 ... 
.
1 2 2  3 3  4 4  5
1998  1999
64
7. Найти расстояние между точками минимума графиков функций:
y  x  1 , y  x 2  4 x.
8. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен R. Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются середины медиан данного треугольника.
2
65
1999 год, 11 класс
1. Доказать, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно его стороны, лежат на описанной около треугольника окружности.
2. В клетки таблицы m  n вписаны некоторые числа. Разрешается
одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным применением этой операции
можно превратить данную таблицу в такую, у которой сумма чисел,
стоящих в любом столбце и в любой строке, неотрицательна.
3. Найти все натуральные числа х такие, что произведение цифр числа х равно х2 – 10х – 22.
1  13
.
2
5. В выпуклом шестиугольнике АВСDЕF противоположные стороны
попарно параллельны, но не равны. Доказать, что площадь треугольника АСЕ равна площади треугольника ВDF.
6. Можно ли написать в ряд 25 чисел так, чтобы сумма любых трех
соседних чисел была положительна, а сумма всех 25 чисел — отрицательна.
7. Доказать тождество: cos π/5 – cos 2 π/5 = 1/2.
4. Доказать, что
3  3  ...  3 
10 класс
1. Каждая из двух противоположных вершин параллелограмма соединена отрезками с серединами несмежных с ней сторон. Найти отношение площади вновь образованного параллелограмма к площади данного параллелограмма.
2. Найти все натуральные числа х такие, что произведение цифр числа х равно х 2– 10х – 22.
3. Числа 1, 2,..., п переставлены в некотором порядке: а1, а2 ,..., аn.
Доказать, что если п — нечетно, то произведение (а1 – 1)(а2 – 2)...(аn – п)
обязательно четно.
4. Решить неравенство: |х2 – 3| х |+1| ≤ 1.
5. Сумма трех чисел равна пn, где п — простое число. Сумма двух из
них в четыре раза больше третьего. Чему равно третье число?
6. В треугольнике АВС угол АВС равен 120°. АЕ и ВD — биссектрисы. Доказать, что DЕ — биссектриса угла ВDС.
7. Часы показывают в некоторый момент времени на 2 минуты
меньше, чем следует, хотя и идут вперед. Если бы они показывали на 3
минуты меньше, чем следует, но уходили бы в сутки вперед на полминуты больше, чем уходят, то верное время они показали бы на сутки
раньше, чем покажут. На сколько минут в сутки спешат часы?
66
2000 год, 11 класс
1. В равнобедренном треугольнике из разных вершин основания
проведены медиана и биссектриса и точкой пересечения медиана делится в отношении 3:1, считая от вершины. Найти углы треугольника.
2. Пройдя 3/8 длины моста, ослик Иа заметил сзади автомобиль,
приближающийся со скоростью 60 км/ч. Если ослик побежит назад, то
встретится с автомобилем в начале моста; если вперед, автомобиль
нагонит его в конце моста. С какой скоростью бегает ослик Иа?
3. Решить уравнение sin8x – cos5x = 1.
4. Равнобедренный треугольник АВС обладает тем свойством, что центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно его
основания АВ. Докажите, что в этом случае угол при основании равен 36°.
5. Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал
1/2 времени, необходимого второму и третьему, чтобы вырыть всю канаву, затем второй проработал 1/2 времени, необходимого первому и
третьему, чтобы вырыть всю канаву, наконец, третий проработал 1/2
времени, необходимого первому и второму, чтобы вырыть всю канаву,
и канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава,
если бы все трое с самого начала работали одновременно?
6. Найти все значения a, при которых неравенство x2 + 4x + 6a|x + 2| +
+ 9a2 ≤ 0 имеет не более одного решения.
7. Решить уравнение: |x2 + 2x| – |2 – x| = |x2 – x|.
8. Доказать, что ни при каком натуральном n выражение n2 – n + 9 не
делится на 49.
Решение
1. Условию задачи соответствует рис. 14. При решении используется
свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника. По теореме косинусов из треугольника АВС:
С
b
2t
a
3t
А
b
3a
3b
Рис. 14
67
В
2b 2  3b 2  2  2b  3b  cos   5t 2 ; 2b  5t  t  2 b;
5
4b  9b  12b  cos  25t ;
3
4
13b 2  12b 2  cos  25  b 2 ; 9  12 cos  cos  ;
25
4
3
A  C    arccos ; B  180   2A  180   2 ;
4
cos B  cos180   2    cos 2   2 cos 2   1 
2
2
2
2


9
1
1
  . B    arccos .
16
8
8
2. Если ослик побежит вперед, то в момент, когда он пробежит 3/8
моста, автомобиль въедет на мост. Следовательно, автомобиль проедет
3 3 1
мост за то время, пока Иа пробегает оставшиеся 1   
моста.
8 8 4
Значит, Иа бегает в четыре раза медленнее, чем едет автомобиль, т. е.
скорость ослика равна 15 км/ч.
3.
0  t  1, t n  t n1 , t n  t n1  t  t n1  t n2  ...  t 2  t; sin 8 x  sin 2 x, 1.
 1  2 cos 2   1  2 
Имеем 0  sin 2 x  1, аналогично:  cos5 x  cos2 x, 2 .
sin 8 x  cos5 x  1  sin 2 x  cos2 x. Если хотя бы одно из неравенств
(1) или (2) строгое, то равенства не будет. Значит, должны выполняться
условия
sin 8 x  sin 2 x,
sin x  0;  1;
 

 cos 5 x  cos 2 x
cos x  0;  1.
x    2n, n  Z ,
sin x  0, cos x  1,
x

2
 n, n  Z ,



Ответ:   2n;  n, n  Z .
2


sin x  1, cos x  0.
4. На рисунке 15 О — центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис ABC ), О1 — центр описанной окружности (точка
пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ABC ).
Пусть OAK   , тогда CAK  2. Точки О и О1 симметричны
относительно стороны АВ, поэтому
68
O1 AK  OAK    CAO1  3. O1 AM  O1CM , как прямоугольные по двум катетам, следовательно,
MCK  O1 AM  3.
ACK : A  C  90; 
С
 2  3  90    18;
CAB  CBA  2  36,
что и требовалось доказать.
5. Пусть t1 — время работы
О
первого рабочего. Если бы все
А
В
трое проработали это время
К
вместе, то они бы вырыли
столько, сколько вырыл первый
О1
рабочий и еще половину канаРис. 15
вы.
Аналогично, если бы за
время работы t2 второго рабочего все работали вместе, то они бы вырыли то, что вырыл второй и еще половину канавы. За время t3 работы третьего, работая вместе, они бы вырыли то, что третий и еще половину
канавы. Известно, что канава была выкопана. Значит, работая совместно
t1 + t2 + t3 часов, рабочие выкопали бы 1 + 3 ∙ 0,5 = 2,5 канавы.
Следовательно, одна канава была бы выкопана в 2,5 раза быстрее.
6. Выделим в левой части неравенства полный квадрат:
М
x  2  6a  x  2  9a 2  4;  x  2  3a   4;
2
2
 2  x  2  3a  2;  2  3a  x  2  2  3a.
Полученное неравенство имеет не более одного решения тогда и
только тогда, когда
2
2  3a  0, т. е. a  .
3
2

Итак, a   ; .
3

7. Запишем уравнение в виде: xx  2  x  2  xx  1 .
Значения x  0, x  2, x  1 разбивают всю числовую прямую на
пять промежутков.
Найдем корни данного уравнения на каждом из этих промежутков.
Получим совокупность:
69
 x  2;

 x  2;
 x  1 ;
 2

2
2
 x  2 x  x  2  x  x;

  2  x  0;
 2  x  0;

 x 2  1;
 x 2  2 x  x  2  x 2  x;


0  x  1;
0  x  1;


 2
1 5
2

x

2
x

x

2


x

x
;
;

 x 
2
1  x  2;


1  x  2;
 x 2  2 x  x  2  x 2  x;


 x  1 ;
 x  2;

2
 x 2  2 x  x  2  x 2  x.

x

2
;




 x  1.

Только третья система полученной совокупности имеет решение
 1 5
, которое и является корнем данного уравнения.
2
8. Проведем преобразования:
n 2  n  9  n 2  n  12  21  n  4n  4  7   3  7.
x
Если n  4 7, то n  4  7 49  n  4n  4  7  3  7 не делится на 49.
Если n  4 не делится на 7, то n  4n  4  7 не делится на 7,
поэтому n  4n  4  7  3  7 не делится на 7, а значит, не делится и
на 49.
10 класс
1. Точки А, D лежат внутри острого угла, образованного лучами l, m .
Найдите точки B  l и C  m такие, чтобы путь АВСD был кратчайшим.
2. Докажите, что 4 sin 200 + tg 20° = 3.
3. Пассажир, проезжая в трамвае, заметил знакомого, который шел
вдоль линии трамвая в противоположную сторону. Спустя 10 с пассажир вышел из трамвая и пошел догонять своего знакомого. Через
сколько секунд он догонит его, двигаясь в 2 раза быстрее знакомого и в
5 раз медленнее трамвая?
70
4. Диагональ и средняя линия разбивают трапецию на четыре части:
два треугольника и два четырехугольника. Сумма площадей треугольников
равна 1 см2. Найти сумму площадей четырехугольников.
5. Метрострой нанял двух кротов для рытья туннеля. Один из них
копает быстрее другого, а едят они одинаково. Что выгоднее (в смысле
затрат продуктов): копать с двух сторон до встречи, или копать каждому свою половину туннеля? (Кто не работает, тот не ест!).
6. Решить уравнение: x2 + 9x2/(3 + x)2 = 7.
7. При каких р и q уравнение х2 + р|х| + q = 0 имеет четыре различных
корня?
8. Доказать, что ни при каком натуральном n выражение n2 – n + 9 не
делится на 49.
Решение
1. Используется осевая симметрия относительно сторон угла (рис. 16):
Sm
1) D 
D1 ;
l
Sl
2) D1 
D2 ;
D2
3)l  AD2  B;
B
A
4)m  BD1  C.
Путь ABCD — кратчайший, т. к.
D
AB + BC + CD = AB + (BC +
+ CD1) = AB + BD2 = AD2.
C
m
Точки А, В, D2 лежат на одной прямой.
D1
2. 1 способ
Рис. 16
sin 60  sin 20 


cos 60  cos 20 
sin 60   cos 20   sin 20   cos 60  2sin 20 


 4sin 20 
1
cos 60   cos 20 
2
2 способ
3  tg 20   tg 60   tg 20  
4 sin 20   cos 20   sin 20   3 cos 20 ;  2 sin 40  
3
1
cos 20   sin 20 ; 
2
2
sin 40   sin 60   cos 20   cos 60   sin 20 ; 
sin 40   sin 60   20 ;  sin 40   sin 40 ,
таким образом, тождество доказано.
 3 cos 20   sin 20 ;  sin 40  
71
3.
y
l1
M(10, 100)
xo
O
x
l2
l3
Рис. 17
Решение
задачи
можно
упростить, если использовать его графическую интерпретацию (рис.
17).
 1 : y  10 x; M 10,100    1 ;  3 : y   x;  2 : y  2 x  b.
Найдем b, зная, что
M 10,100    2 ;  100  2  10  b  b  120 .
 y   x;
  x  2 x  120 ;  x0  120 .

 y  2 x  120 ;
Таким образом, время, за которое пассажир догонит своего знакомого, равно 120 – 10 = 110 (секунд), или 1 мин. 50 с.
В
4.
L
А
С
F
N
К
М
D
Рис. 18
4. Условию задачи соответствует рис. 18.
S
CN 1
1
S FCM  S ALF  1(см 2 ), FCM ~ ACD,
  FCM  .
CK 2
S ACD 4
S AFMD  S ACD  S FCM  3  S FCM , S BLFC  3  S LBCF ,
S AFMD  S BLFC  3  S FCM  S ALF   3 1  3(cм 2 ).
72
5. При работе до встречи «быстрый» крот прокопает половину туннеля и еще некоторую часть. А если он остановится на половине туннеля, то эту часть будет копать «медленный» крот, и будет рыть дольше,
т. е. его придется дольше и кормить. Следовательно, работа «до встречи» обойдется дешевле.
6. Выделим в левой части равенства полный квадрат:
2  3x 2
9x 2
6x 2
3x 2
6x 2
x2 


7

;
(
x

)

7

;
3  x 3  x 2
3 x
3 x
3 x
2
2
2
2
 x 2  3x  3x 
 2 

  7  6x ;  x   7  6x ;


3 x
3  x  3  x 
3 x


2
x
 t , получим квадратное уравнение
введем замену
3 x
t  7,
x2
t 2  6t  7  0,  
 7 не имеет корней.
Уравнение
3 x
t  1.
x2
1  13
 1, получим два корня x 
.
3 x
2
7. Пусть x  y, тогда уравнение y 2  py  q  0 должно иметь два
различных положительных корня. Для этого должны выполняться сле p 2  4q,
 D  0,


дующие условия  p  0, т. е.  p  0,
 q  0.
q  0,


Решая уравнение
8. См. решение задачи № 8 варианта для 11-го класса 2000 г.
2001 год, 11 класс
1. Доказать, что 8 cos 10   cos 50   cos 70   3.
2. Эпицентр циклона, движущегося прямолинейно, во время первого
измерения находился в 24 км к северу и 5 км к западу от метеостанции,
а во время второго измерения находился в 20 км к северу и 3 13 км к западу от метеостанции. Определить наименьшее расстояние, на которое
эпицентр циклона приблизится к метеостанции.
x 2  8x
 x 2  1.
3. Решить уравнение cos
5
4. Упростить 4  2 3  19  8 3 .
5. Вокруг праздничного стола могут разместиться 10 человек.
73
а) Сколькими способами их можно рассадить?
б) Сколькими способами их можно рассадить так, чтобы двое из
этих гостей (Таня и Ваня) сидели рядом?
6. В классе 28 учеников. В контрольной работе Вовочка сделал 13
ошибок, а остальные ученики — меньше. Доказать, что найдутся трое
учеников, сделавшие одинаковое число ошибок.
7. Даны два последовательных натуральных числа a и b, а также их
произведение с. Доказать, что число a2 + b2 + c2 является квадратом некоторого нечетного числа.
8. Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Первая
свеча была зажжена на 1 час раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая и третья свечи оказались
имеющими одинаковую длину, а через 2 часа после этого одинаковую
длину стали иметь первая и вторая свечи. За сколько часов сгорает первая свеча, если вторая сгорает за 12 часов, а третья — за 8 часов?
Решение
1. 8  cos 10   cos90   40  cos90   20   3 ;
8  cos 10   sin 40   sin 20   3 ; 4  cos 10  
4  cos 10  
cos 20   cos 60 
3

2
2
cos 20   0,5
3
3

; 2 cos 10   cos 20   cos 10  
;
2
2
2
3
3
; cos 30  
;
2
2
Таким образом, тождество доказано.
2. Введем следующую систему
у
координат: центр О — метеостанция,
24
ось Ох направлена с запада на восток,
ось Оу — с юга на север (рис. 19).
Циклон движется по прямой
20
y  kx  b, причем
3
3

.
2
2
cos 10   cos 30   cos 10  
24  k   5  b,


 10 

20  k    3   b,



12
А
D
12

k   ,
5

b  12 .

В
О
5
Рис. 19
74
х
12
x  12 пересекает оси координат в точках А(0; 12) и
5
В(5; 0). Кратчайшее расстояние от циклона до метеостанции — длина
высоты ОD треугольника ОАВ.
1
1
OA  OB
12  5
8
S OAB  OA  OB  OD  AB,  OD 

 4 км .
2
2
2
2
AB
13
12  5
Прямая y  
3. Наименьшее значение, которое принимает функция y1  x 2  1 , рав-
x 2  8x
также
5
равно 1. Следовательно, пересекаться графики этих функций могут только в точке с абсциссой х = 0. Проверим, пересекаются ли они в этой точке: y1 0  0 2  1  1; y2 0  cos 0  1; 1  1. Таким образом, y1  y2 только
при х = 0.
4.
но 1 (при х = 0). Наибольшее значение функции y2  cos
4  2 3  19  8 3  3  2 3  1  16  8 3  3 
 42  2  4 3 
 3
2



2
3 1 
4  3 
2

 3  2
2
3 1 
3 1  4  3 
 3  1  4  3  3.
5. а). Пронумеруем стулья вокруг стола: 1, 2, 3,…, 10. Стул № 1 может занять каждый из 10 человек. Зафиксируем гостя на стуле № 1.
После этого стул № 2 может занять каждый из оставшихся 9 человек.
Таким образом, существует 10·9 комбинаций рассаживания любых
из 10 гостей на стулья № 1 и № 2. Рассуждая аналогично, получим,
что существует 10·9·8 способов рассаживания трех из десяти гостей
на стулья № 1, № 2, № 3. Продолжая рассуждения, получим, что для
всех стульев количество способов равно 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1 =
3628800.
Замечание (для тех, кому знакома формула для Р n): количество способов
равно числу перестановок из 10 элементов Р 10 = 10! = 3628800.
б). Таня и Ваня окажутся за столом рядом, если будут сидеть на стульях № 1 и № 2, № 2 и № 1, № 2 и № 3, № 3 и № 2,… № 1 и № 10,
№ 10 и № 1 — всего 20 способов. Для каждого из этих 20 случаев
оставшиеся 8 гостей могут разместиться на 8 оставшихся стульях
8·7·6·5·4·3·2·1 способами. Значит, всего количество способов равно
20·8·7·6·5·4·3·2·1 = 806400.
6. Допустим, что такой тройки учеников не существует, т. е. число
учеников, допустивших одинаковое число ошибок, не превышает двух.
Известно, что все, кроме Вовочки, допустили менее 13 ошибок, то есть
75
0, или 1, или 2, или … 12 ошибок (всего 13 вариантов). Так как число
учеников, допустивших любое из перечисленных количеств ошибок, не
превышает двух, то всего учеников в классе не более 2·13 + 1(Вовочка) =
= 27 ≠ 28. Получили противоречие, которое доказывает утверждение.
7. Пусть а — первое число, тогда а + 1 — второе число, а (а + 1) —
третье.
a2 + b2 + c2 = a2 + (a + 1)2 + a2(a + 1)2 = (a2 + (a + 1)2 –2a(a + 1)) + 2a(a + 1)+
+ a2(a + 1)2 = (a + 1 – a)2 + 2(a2 + a) + (a(a + 1))2 = 1 + 2(a2 + a) + (a2 + a)2 =
= (a2 + a + 1)2 = (a(a + 1) + 1)2. Так как одно из чисел a или a + 1 — четное, то их произведение a(a + 1) — четное, значит, число a(a + 1) + 1 —
нечетное.
1
1
8. За один час сгорает
часть второй свечи,
— третьей. Пусть
12
8
1
за час сгорает х частей первой свечи, тогда она сгорит за
часов.
x
Пусть в момент времени t первая и третья свечи имеют одинаковую
длину. Составим систему:
1

x 1  x  t  t  ;
1

8
откуда t = 1, x  .

16
 x  1  x  t  2 x  t  2   1 ,
12

1
Следовательно, первая свеча сгорает за  16 (часов).
x
10 класс
1. Эпицентр циклона, движущегося прямолинейно, во время первого
измерения находился в 24 км к северу и 5 км к западу от метеостанции,
а во время второго измерения находился в 20 км к северу и 3 13 км к западу от метеостанции. Определить наименьшее расстояние, на которое
эпицентр циклона приблизится к метеостанции.
2. В выпуклом четырехугольнике средняя линия равна полусумме противолежащих ей сторон. Доказать, что этот четырехугольник является трапецией
или параллелограммом.
x 2  8x
 x 2  1.
3. Решить уравнение: cos
5
4. Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равна 20 . Найти площадь этого треугольника, если его основание равно 12.
5. Вокруг праздничного стола могут разместиться 10 человек.
а) Сколькими способами их можно рассадить?
76
б) Сколькими способами их можно рассадить так, чтобы двое из
этих гостей (Таня и Ваня) сидели рядом?
6. Корни  и  уравнения x 2  2 px  7 p 2  0 таковы, что
 2   2  18 . Найти p .
7. Даны два последовательных натуральных числа a и b, а также их
произведение с. Доказать, что число a2 + b2 + c2 является квадратом некоторого нечетного числа.
8. Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Первая
свеча была зажжена на 1 час раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая и третья свечи оказались
имеющими одинаковую длину, а через 2 часа после этого одинаковую
длину стали иметь первая и вторая свечи. За сколько часов сгорает первая свеча, если вторая сгорает за 12 часов, а третья — за 8 часов?
Решение
1. См. решение задачи № 2 варианта для 11-го класса 2001 г.
2.
D
b
С
М
N
a
А
В
F
Рис. 20
Пусть ABCD — данный четырехугольник (рис. 20). MN — средняя
1
линия, MN = a  b  . Построим точку F симметрично точке D отно2
сительно N. В ADF MN — средняя линия, значит, AF  2 MN  a  b .
Так как NCD  NBF (по первому признаку равенства треугольников), то BF = 6, BF || CD. Получим, что AF  AB  BF , т. е. точки A, B
и F лежат на одной прямой BF, параллельной CD. Таким образом, AB
|| CD, что доказывает утверждение.
3. См. решение задачи № 3 варианта для 11-го класса 2001 г.
4. Сразу замечаем, что в ABC (рис. 21) B  90 (объяснить!).
77
1) Пусть B — острый (в
ABC) . Получаем: 20π = 2πR  R
= 10; KC = 6, OK =
В
10 2  6 2  8 ;
1
1
 AC  BK  12 18  108 .
2
2
2) Пусть B — тупой.
Как и в пункте 1), получаем
KB΄=
10
–
8
=
2;
1
S AB'C   12  2  12 .
2
Ответ: 108 или 12.
S ABC 
О
А
R
К
С
В/
Рис. 21
5. См. решение задачи № 5 варианта для 11-го класса.
6.


,   p  p2  7 p2  p 1  2 2 .


    p 1  4 2  8  1  4 2  8  18 p 2 ;
2
2
2
18 p  18  p  1  p  1.
7. См. решение задачи № 7 варианта для 11-го класса 2001 г.
8. См. решение задачи № 8 варианта для 11-го класса 2001 г.
2002 год, 10 класс
1. Найти все натуральные а, для которых a 3  1 — степень тройки.
2. В пространстве даны 2002 точки. Известно, что любые четыре из них
лежат в одной плоскости. Доказать, что все точки лежат в одной плоскости.
3. Доказать, что если ( x 2  3x  2)(x 2  9 x  20)  0, то cos 2 x  0 .
4. Внутри выпуклого n-угольника дано m точек. Эти точки соединили отрезками друг с другом и с вершинами многоугольника так, чтобы
каждая из данных точек была вершиной треугольника, и получившиеся
треугольники не имели общих внутренних точек. На сколько треугольников был разбит многоугольник?
ab  bc  ca
 c 2 , если а и b — катеты
5. Доказать неравенство:
2
прямоугольного треугольника, а с — его гипотенуза.
6. Каждая вершина данного квадрата соединяется с серединой
стороны, предшествующей противоположной вершине при обходе периметра квадрата в определенном направлении. Полученные таким об2
2
78
разом прямые образуют стороны нового квадрата. Какую часть составляет площадь нового квадрата от площади данного?
7. Дети делят орехи. Первый взял а орехов и п-ю часть остатка,
второй — 2а орехов и п-ю часть нового остатка, третий — 3а орехов
и п-ю часть нового остатка и т. д. Оказалось, что таким способом дети
разделили все орехи поровну. Сколько было детей?
8. После того как Левша подковал блоху, она совершает каждый следующий прыжок вдвое короче предыдущего: если первый
прыжок был длиной в аршин, то второй — в пол-аршина, третий —
в четверть аршина и т. д. Сможет ли блоха побывать в какойнибудь точке плоскости дважды?
Решение
3
1. 1 способ: a  1  a  1 a 2  a  1  3k  3  3  ... 3, значит, и каж-
а  1
дый из множителей




и a  a  1 является степенью 3, т. е.
2
a  1  3 , a  a  1  3 , где m, n  Z , n  0, m  0. Значит, а не делится на 3.
m
2
n


Но 3a  a  12  a 2  a  1  3 2m  3 n , a  32m1  3n1 . Поскольку а
не делится на 3, то один из показателей равен нулю. Ясно, что n  1  0
и n  1 . При n  1 , a 2  a  1  3, откуда а = 2.
2 способ: a 3  1 делится на 3, значит, a  3 p  1, где p  N .
Действительно, a 3  1  3 p  13  1  27 p 3  27 p 2  9 p делится на 3.


a 3  1  9 p  3 p 2  3 p  1 и 3 p 2  3 p  1 не делится на 3. В то же
время каждый из множителей 9 p и 3 p 2  3 p  1 должен быть степенью
числа 3. Поэтому 3 p 2  3 p  1 = 30  1 , откуда p  1 и a  2 .
2. Пусть существуют три точки, не лежащие на одной прямой. Тогда
через них проходит плоскость α. Добавим к этим точкам любую одну из
оставшихся. По условию она лежит в α. Значит, все точки находятся в
плоскости α.
Пусть любые три точки лежат на одной прямой. Возьмем две точки,
они принадлежат прямой  . Возьмем любую третью точку, она лежит
на прямой  . Значит, все точки лежат на прямой  , следовательно, и в
одной плоскости.
3. Решим неравенство:
2
( x  3x  2)  ( x 2  9x  20)  0 ; ( x  1)  ( x  2)  ( x  4)  ( x  5)  0 .
79
–5
–
+
–
+
–4
–2
+
–1
х
Рис. 22
x  (5;4)  (2;1) .
Построим график функции y  cos2x .
Рис. 23
Видим, что cos2x < 0 для x  (5;4)  (2;1) .
4. Пусть х — число искомых треугольников. По условию они не
имеют общих внутренних точек. Значит, сумма всех внутренних углов
этих треугольников равна 180 o  x . Но эту же сумму можно вычислить
и по-другому. В эту сумму входят все внутренние углы n-угольника,
что дает 180o  (n  2), и все углы с общими вершинами в m данных
точках, что составляет 360 o  m .
Таким образом, 180 o  x  360 o  m  180 o  (n  2) ,
откуда x  2m  n  2.
ab  bc  ca
5.
 c 2 ; ab  bc  ca  2c 2 ; ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2 (по
2
теореме Пифагора).
Для доказательства последнего неравенства рассмотрим разность
правой и левой частей:
1
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ca 
2
1
 (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2  0.
2




80
Поскольку а и b — катеты, а с — гипотенуза, то последнее неравенство строгое. Значит, и исходное неравенство строгое.
6. Проведем AKCM (рис. 24). 1  1 и составляет с частью 2 фигуру, равновеликую квадрату 9. Поэтому весь исходный квадрат разбит
на 5 равных частей (по площади),
С
В
1
т. е. новый квадрат занимает
7
5
6
часть
данного.
8
7. 1 способ: Пусть х — число
5
9
детей, а у — число орехов, полученных каждым. По условию, по1
следний ребенок получит x  a
4
орехов без остатка. Значит,
2
y  xa .
3
Предпоследний ребенок полуD
/
А
xa
1
чил ( x  1)  a 
орехов, т. к. nn 1
ая часть числа в (n – 1) раз меньК
ше остальной части этого числа.
M
По смыслу n  1 . Составим уравРис. 24
нение
xa
( x  1)  a 
 y;
n 1
xa
( x  1)  a 
 xa , откуда x  n  1 .
n 1
2 способ: Пусть S — количество орехов. Тогда первый взял
S a


S  a 
 2a 
S a
n

 , и по условию эти
, а второй взял 2 a 
a
n
n
количества равны:
S  a S  a 2a
S a
2a  2

 2 
= 2a 
, откуда S   a 
a
n  a .
n
n
n 
n
n

Количество детей равно
2a  2

a 
n  a
S
a n 2  2a n  a n  12
n 



 n 1.
S a
2a 
a  a n  2a
n 1

a
a  a 
n
n
n 

81
8. Пусть блоха попала в какую-нибудь точку. Рассмотрим дальнейшие ее прыжки. Их длины составляют геометрическую прогрессию со
знаменателем q  0,5 . Если блоха сделала n прыжков, а длина первого
была b1 , то сумма длин всех прыжков будет
n
1
  1
1 
b
2

S n  b1   
 b1   2  n 1   2b1  n11 .
1
2
2


1
2
b
S n  b1  b1  1  b1 , т. е. длина первого прыжка больше суммы
n
2 1
всех остальных. Ломаная, у которой длина одного звена больше суммы
всех остальных, не может быть замкнутой, т. е. вернуться в исходную
точку блоха не может.
11 класс
1. Доказать, что при cos x  0 справедливо неравенство:
cos 2 x  3
 4.
cos x
2. Найти какое-нибудь натуральное число, которое само делится
на 2002 и сумма его цифр делится на 2002.
3. На листе бумаги нарисован правильный шестиугольник со стороной, равной 1. Используя только линейку без делений, построить отрезок длиной
7 . Построение обосновать.
847 3
847
 6
 3.
4. Доказать, что 3 6 
27
27
5. Каждая точка трехмерного пространства окрашена в черный
или белый цвет. Верно ли, что найдется равносторонний треугольник с
одноцветными вершинами и стороной 1?
6. Определить количество корней уравнения sin  x  tg x  tg x,
принадлежащих отрезку [0; 2002].
7. Мост А находится на 300 м выше по течению реки моста В.
Когда пловец проплывал под мостом А, направляясь к мосту В, ему
бросили два мяча. Первый он подхватил, а второй оставил плыть по
течению. Проплыв с мячом некоторый участок реки, пловец оставил
этот мяч и поплыл вверх по реке за вторым мячом. Подхватив второй
мяч, он снова повернул по направлению к мосту В и достиг его одновременно со свободно плывшим первым мячом. Во сколько раз скорость пловца в стоячей воде выше скорости течения реки, если пловец
проплыл расстояние 600 м?
82
Решение
1. Докажем сначала неравенство u 
1
 2 , при u  0 . Найдем
u
1
, при u  0 :
u
1
u 2 1
y  1 2 
 0,
u
u2
u  1 (так как u  0 ).
В точке u  1 — минимум функции у и это единственный экстремум
на множестве u  0 :
наименьшее значение функции y  u 
+
–
0
1
y'
Рис. 25
Следовательно, y (1)  2 — наименьшее значение у на u  0 .
1
Таким образом, u   2 , при u  0 .
u
Из доказанного неравенВ
ства и нечетности функции
1
следует нераy u
u
1
венство
u   2 , при
u
А3
А4
u  0.
Теперь
cos 2 x  3
2 cos 2 x  1  3

cos x
cos x
А5
А2
А1
Рис. 26
 2  cos x 
1
 22  4
cos x
, при cos x  0 .
2.
Например,
200220022002…2002 (2002
раза подряд).
3. Доказательство:
A1B — искомый отрезок.
А6
83
А3ВА4 — правильный (рис. 26), поэтому
A2 B  A2 A3  A3 B  A2 A3  A3 A4  2  A5 B.
Из A1 A2 B ( A1 A2 B  120 o ), по теореме косинусов, A1B  7.
Или из A1 A5 A6 : A1 A5  3 (по теореме косинусов), затем
из A1 A5 B : A1 B  7 (по теореме Пифагора).
4. Обозначим
3
6
847
 x,
27
3
6
847
 y , тогда
27
( x  y ) 3  x 3  y 3  3 x y  ( x  y )  12  3 3 36 
847
 ( x  y )  12  5( x  y ).
27
Пусть x  y  u; u 3  5u  12  0  u  3 , то есть x  y  3.
5. Пусть искомого треугольника не существует.
Выберем четыре точки пространства так, чтобы они были вершинами
правильного тетраэдра с ребром 1.
Тогда эти точки окрашены так, как показано на рис. 27, т. е. существует отрезок длины 1, соединяющий две белые точки А и В. Пусть
теперь Г — множество точек пространства, расстояния от которых до А
и до В равны 1. Ясно, что Г — окружность.
Все точки Г черные (т. к. если бы на Г существовала белая точка С,
то АВС был бы искомым).
А
А
В
В
Рис. 28
Рис. 27
Рассмотрим теперь всевозможные отрезки AB длиной 1, концы которых лежат на Г (рис. 29).
84
B'
Г
А'
Г'
Рис. 29
Для всех отрезков АВ строим такие же окружности Г  , как и Г для
отрезка АВ. Г  состоят из белых точек. Все эти окружности образуют
множество белых точек (рис. 30).
Рис. 30
Ясно, что на этом множестве можно выбрать три белые точки, являющиеся вершинами правильного треугольника со стороной 1. Получим
противоречие. Следовательно, искомый треугольник существует.
6. tg x(sin x  1)  0,
 tg x  0,

sin x  1,
cos x  0.

(1)
(2)
Множество корней уравнения (1) совпадает с Z — множеством целых чисел. Система (2) несовместна (т. е. не имеет решений). Следовательно, корнями данного уравнения являются целые числа. На данном
отрезке их 2003.
85
7. Пусть v — собственная скорость пловца, v 0 — скорость течения,
N — место, в котором пловец оставил первый мяч, возвращаясь за вторым, М — место, в котором пловец подхватил второй мяч (рис. 31).
А
M
N
B
Рис. 31
Пусть AM  x, BN  y . Тогда
 x  MN  y  300 ,

( x  MN )  MN  ( MN  y )  600
 x  y  MN  300 ,

 x  y  3MN  600
 2MN  300 , MN  150  x  y  300  150  150
y
150  y
150
x x  150
150


и
. Сложим почленно


v0 v  v0
v  v0
v0
v  v0
v  v0
левые и правые части полученных равенств, получим:
Теперь:
x y
300
x  y  300
.


v0
v  v0
v  v0
Так как x  y  150, то
150
300
450


,
v0
v  v0 v  v0
1
2
3


.
v0 v  v0 v  v0
Решая последнее уравнение относительно v , получаем v  5v 0 .
Ответ: в пять раз.
2003 год, 11 класс
1. Доказать, что уравнение sin 4 x  sin 2 3x  sin x  3  0 не имеет
решений.
2. На доске записаны числа 1, 2, 3,…, 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остается два
числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает тот, кто сделал первый
ход; если нет — его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре
и как гарантировать этот выигрыш?
3. Решить уравнение: 2 arcsin x    x  12 .
86
4. Найти все значения a , при которых неравенство
8x 2  4x  3
4x 2  2x  1
a
верно для всех значений x .
5. Группа школьников решила купить фотоальбом ценой от 170 до
195 рублей. Однако в последний момент двое отказались участвовать в
покупке, поэтому каждому из оставшихся пришлось внести на один
рубль больше. Сколько стоил фотоальбом?
9
6. Могут ли числа 2, 6 , быть членами геометрической прогрес2
сии? Ответ обосновать.
7. Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, находящуюся в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться
паук?
8. В трапеции ABCD c основаниями AD = a и ВС = b через точку О
пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям.
Эта прямая пересекает боковые стороны в точках М и N. Найти длину
отрезка MN.
9. Как нужно расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость
была наибольшей?
10. Решить уравнение: 4 sin x  x 2  5 x  10 ,25  0 .
Решение
1. Данное уравнение перепишем в виде sin 4 x  3  sin 2 3x  sin x .
Очевидно, что  3  sin 4 x  3  2, 1  sin 2 3x  sin x  2 .
Таким образом, левая часть уравнения определена на отрезке
 3;  2 , а правая — на отрезке  1; 2 . Так как эти два отрезка не пересекаются, то уравнение не имеет решений.
2. Ответ: выигрывает партнер игрока, делающего первый ход.
Укажем, как партнер начинающего может гарантировать себе выигрыш. В начале партии он должен стирать числа, кратные 3, до тех пор,
пока таковых не останется. Поскольку количество чисел, не превосходящих 1000 и кратных 3, равно 333, партнеру начинающего понадобится не более 333 ходов для того, чтобы ни одно из оставшихся на доске
чисел не делилось на 3 (некоторые числа, кратные трем, могут быть
стерты и начинающим). После этого партнер начинающего делает свои
ходы произвольно до того момента, когда на доске останется три числа.
Каждое из них будет давать остаток 1 или 2 при делении на 3, поэтому
среди трех остающихся на доске чисел обязательно найдется два, даю87
щие одинаковые остатки. Именно их должен оставить партнер начинающего (сумма не будет делиться на 3).
 1
3. Перепишем уравнение в виде arcsin x    x  12 . Так как
2 2
 1


2
  x  1   , а arcsin x   , то уравнение имеет решение то2 2
2
2
гда и только тогда, когда левая и правая части уравнения достигают




arcsin x   ,
arcsin x   ,





2
2
значения  , то есть 
x  1.


1

1
2
2
2
  x  1   ;  x  1  0;
 2 2
2  2
Ответ: –1.
4. Рассмотрим знаменатель дроби: 4 x 2  2 x  1  0 при любых действительных значениях x . Поэтому умножим обе части неравенства на
4x 2  2x  1 .
Получим


равносильное
неравенство:
8x  4x  3  a 4x  2x  1 ; 8x  4x  3  4ax  2ax  a;
2
2
2
2
8  4ax 2  2a  4x  3  a  0 ;
при a  2 получаем 3  2  0, или 1  0 — ложно. Если a  2 , то
имеем квадратное неравенство. Оно справедливо при всех x  R тогда и
8  4a  0, a  2,
только тогда, когда 
(*)

 D  0;
 D  0.
D
 a  22  8  4a 3  a   a  210  3a .
4
 10 
D  0  a  210  3a   0; a  2 a    0.
3

10
10

a   ; 2   ;    . Учитывая (*), получаем: a 
.
3
3

Замечание. Данное неравенство можно решить графически, предварительно преобразовав его:
2
1
4x  2x  1
2
Ответ: a 
 a , или
1
2
1
3

4 x   
4
4

10
.
3
88
 a2.
5. Пусть x школьников сдали по y рублей, тогда (*) 170  xy  195 ,
где xy — цена фотоальбома. С другой стороны, эта цена равна
x  2 y  1 . Таким образом, x  2 y  1  xy .
Отсюда выразим y 
систему

x2
и подставим в неравенство (*), получим
2
 x 2  2 x  390  0
,
 2
 x  2 x  340  0
решением
 
которой
является

x  1  391;1  341  1  341;1  391 .
Учитывая, что по смыслу задачи x  N , получим, что x  20 , тогда
y  9 . Таким образом, цена фотоальбома 20  9  180 (руб.).
Ответ: 180 рублей.
6. Предположим, что данные числа являются k -м, k  m -м и
k  n -м членами геометрической прогрессии, первый член которой
равен b , а знаменатель равен q .
9
Тогда 2  bq k 1 , 6  bq k m1  2q m ,
 bq k n1  2q n .
2
2q n
9
81
27
Получим отношение
 m  q nm ;
 q 2 n  m  ;
 q 2 n  m  .
24
8
2 6 2q
27
. Таким образом, при существовании
8
найденного q указанные числа могут быть тремя членами геометрической прогрессии.
7. Положения паука (Р) и мухи (М) изображены на рисунке 32а.
Один из возможных путей паука состоит из отрезков PQ (в плоскости
грани ABCD) и MQ (в плоскости грани AKMB).
Отсюда имеем q  2nm 
Рис. 32
89
Как выбрать точку Q на ребре АВ так, чтобы путь PQM был
наименьшим при движении по этим двум граням? Чтобы ответить на
этот вопрос и найти другие возможные пути паука, рассмотрим развертку куба. Ясно, что путь PQM будет наименьшим при движении по указанным граням, если в качестве точки Q взять точку пересечения отрезков РМ и АВ. Если ребро куба равно a , то путь PQM в этом случае ра2
13
 3a 
вен  1  a 2    
a. Два других возможных пути паука,
2
 2 
представленные на рисунке 32б, имеют следующие длины:
2a 2   a 
2
2
17
29
 5a 
a,  3  a 2    
a. Наимень2
2
2
 2 
шим из рассмотренных трех путей является первый. Можно иначе развернуть куб и указать другие возможные пути паука. В частности, возможен путь длиной  1 по граням AKLD и АКМВ, но пути более короткого, чем  1 , нет.
8. Так как MN || BC (рис. 33), то AMO ~ ABC и DON ~ DBC .
2 

DN ON DO


. Так как
DC BC BD
AM DN

.
MN || BC и MN || AD , то по теореме Фалеса
AB
DC
Получаем
C
B
MO AM


BC
AB
M
N
,
то
DN ON


О
DC BC
MO ON
А
D

есть
,
BC
BC
Рис. 33
значит, MO  ON .
Следовательно,
AM MO AO


AB
BC
AC
и
BO BC b
BO
b

 и
 .
OD AD a
BD  BO a
BO
b

Отсюда, a  BO  b  BD  b  BO , BOa  b  b  BD ,
.
BD a  b
MO BO
b


Так как OBM ~ BDA, то
.
AD BD a  b
Так как OBC ~ ODA , то
90
Отсюда, MO 
b
ab
 AD 
.
ab
ab
Так как MO  ON , то MN  2 MO 
Ответ: MN 
2ab
.
ab
2ab
.
ab
8.
Рис. 34
Проекция прямоугольного параллелепипеда на плоскость представляет собой шестиугольник (быть может, вырождающийся в четырехугольник). Так как проекция каждой грани параллелепипеда есть параллелограмм, то площадь треугольника АВС (рис. 34) составляет ровно
половину площади всей проекции (так как диагональ параллелограмма
разбивает его на два равных треугольника). Но треугольник АВС представляет собой проекцию соответствующего треугольника AB C  ,
«вписанного» в параллелепипед. Расположение треугольника AB C  ,
очевидно, определяет расположение в пространстве всего параллелепипеда. Как известно, S ABC  S ABC  cos , где AB C  — треугольник,
проекцией которого является треугольник АВС, и  — угол между
плоскостями треугольников АВС и AB C  . Ясно теперь, что площадь
треугольника АВС будет наибольшей (а значит, будет максимальной и
площадь проекции данного прямоугольного параллелепипеда), когда
cos  1 , то есть   0 , или, иначе говоря, когда точки A, B, C  лежат
в горизонтальной плоскости.
x 2  5x  10,25
;
4
 x 2  5 x  6,25  0,
 4  x 2  5 x  10 ,25  4; 
 x 2  5 x  14 ,25  0;
9. sin x  
1  
x 2  5 x  10,25
 1;
4
2

x  2,5  0,


 x  R;
Проверкой убеждаемся, что –2,5 — корень данного уравнения.
Ответ: –2,5.
91
x  2,5.
1. Найти
все
10 класс
целочисленные решения
системы уравнений:
 2 x 2  x  4 xy  2 y  11,
 2
 x  3 y 2  x  7 y  18 .
2. 50 % современных удавов обоего пола имеют длину больше 38
(длина всякого удава, естественно, измеряется в попугаях), 30 % —
длину менее 30. Для удавов-самок эти числа равны соответственно 30 %
и 40 %. Бабушка Удава на днях выяснила, что 25 % удавов-самцов короче 30. Какой процент удавов-самцов длиннее 38?
3. Нарисуйте на шахматной доске с обычной раскраской полей
окружность наибольшего возможного радиуса так, чтобы она не пересекала ни одного белого поля.
4. На гранях куба расставлены числа 1; 2; 3; 4; 5; 6. Может ли каждое число быть делителем суммы своих четырех соседей?
5. Правильный 2003-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один — остроугольный.
6. Вычислить без калькулятора: 3 8,1273  30  8,127  1,873  1,8733 .
9
7. Могут ли числа 2, 6 , быть членами арифметической прогрес2
сии? Ответ обосновать.
8. Два судна движутся прямолинейно и равномерно в один и тот же
порт. В начальный момент времени положения судов и порта образуют
правильный треугольник. После того как второе судно прошло 80 км,
указанный треугольник стал прямоугольным. В момент прибытия первого судна в порт второму оставалось пройти 120 км. Определить расстояние между судами в начальный момент времени.
9. Найти все значения х и у , удовлетворяющие равенству
х 2  4х  3
 2 .
2у2  2у 1
10. В прямоугольном треугольнике АВС на катете АС, как на диаметре, построена окружность, которая пересекает гипотенузу в точке Е.
Через точку Е проведена касательная к окружности, которая пересекает
катет ВС в точке D. Доказать, что треугольник ВDЕ равнобедренный.
Решение
1. Преобразуем
первое
уравнение
системы:
2 x( x  2 y)  ( x  2 y)  11 или x  2 y 1  2 x   11 . Так как решения
должны быть целочисленными, то рассмотрим следующие случаи:
92
 x  6,
 x  2 y  1,

1) 
целых решений система не имеет;

5
1  2 x  11;  y    Z ;
2

 x  0,
 x  2 y  11, 
2) 
целых решений система не имеет;

11
1  2 x  1;
 y   2  Z ;
 x  2 y  11,  x  1,
3) 
— подставим во второе уравнение исходной

1  2 x  1;  y  5;
системы, получим:
1  3  25  1  35  18; 42  18 — неверно, следовательно, система решений не имеет;
 x  2 y  1,  x  5,
4) 
— в результате подстановки во второе

1  2 x  11;  y  2;
уравнение исходной системы получаем верное равенство, поэтому пара
целых чисел 5; 2 является решением данной системы.
Ответ: (–5; 2).
2. Пусть x — число всех удавов, а y — число всех удавов-самок,
тогда x  y  — число всех удавов-самцов; 0,5 x — число всех удавов,
которые длиннее 38; 0,3 x — число всех удавов, которые короче 30;
0,3 y — число удавов-самок, которые длиннее 38; 0,4 y — число уда-
вов-самок, которые короче 30; 0,25x  y  — число удавов-самцов, которые короче 30.
Получим уравнение:
0,25x  y   0,4 y  0,3x;
0,05x  0,15y  x  3 y .
Таким образом, число удавовсамцов, длиннее 38, равно:
а
0,5x  0,3 y  1,5 y  0,3 y  1,2 y ,
число
всех
самцов:
x  y  3 y  y  2 y . Найдем, какой
процент удавов-самцов длиннее
38:
1,2 y  100 %
 60 % .
2y
Ответ: 60 %.
Рис. 35
93
3. Легко видеть (рис. 35), что искомая окружность не может пересекать границу клетки где-нибудь между вершинами, так как в этом случае она проходила бы по белой клетке. Предположим теперь, что эта же
окружность проходит по черной клетке ABCD и пересекает границу
этой клетки в точках A и В. Границу черной клетки AFGH она может
пересечь во второй раз либо в точке F, либо в точке G — и этими тремя
точками ( A, B, F или A, B, G ) окружность полностью определяется.
Ясно, что во втором случае окружность будет больше, чем в первом.
Следовательно, если искомая окружность проходит через точки A и B ,
то она пройдет и через точку G . Если же предположить, что искомая
окружность пересекает границу клетки ABCD в точках A и C , то она
может пересечь границу клетки AFGH либо в F, либо в H (так как
точки A, C , G лежат на одной прямой). Но легко видеть, что обе эти
окружности равны окружности, проходящей через точки A, B, G . Отсюда следует, что наибольшей будет изображенная на рисунке окружность с центром в черной клетке, проходящая по восьми черным клет2
2
1
1 3
10 , где за единицу
кам, радиус которой равен R       
2
2 2
принята сторона клетки.
4. Пусть напротив числа 6 стоит какое-то число x . Тогда сумма соседних с ним чисел, равная 21  6  x  15  x , должна делиться на 6. Это
возможно только при x  3 . Аналогично находим, что напротив числа
5 стоит 1. Тогда третью пару составляют числа 2 и 4, которые должны
быть делителями числа 21 – 2 – 4 = 15, что не выполняется.
Ответ: нет.
5. Окружность, описанная около правильного 2003-угольника, является описанной и для любого треугольника данного разбиения. Так
как центр окружности, описанной около правильного 2003-угольника,
не лежит на диагонали, то он попадет внутрь какого-то одного треугольника. Треугольник является остроугольным, если центр описанной
окружности лежит внутри него, и тупоугольным, если центр описанной
окружности лежит вне его. Следовательно, треугольник, внутрь которого попал центр описанной окружности, является остроугольным, все
остальные — тупоугольные.
6. Пусть a  8,127 , b  1,873 . Заметим, что a  b  8,127  1,873  10 .
Тогда
3


a 3  30 ab  b 3  3 a 3  b 3  30 ab =
94




= 3 a  b  a 2  ab  b 2  30ab = 3 10 a 2  ab  b 2  30 ab =




= 3 10 a 2  ab  b 2  3ab = 3 10 a 2  2ab  b 2 = 3 10a  b 2 =
3
= 10 10 2  10 .
Ответ: 10.
7. Предположим, что данные числа являются k -м,
k  n -м
k  m -м
и
членами арифметической прогрессии, первый член которой
d.
a,
равен
а
разность
равна
Тогда
получим
9
2  a  k  1d ; 6  a  m  k  1d  2  md ;  a  n  k  1d  2  nd .
2
Выражая из этих равенств d и приравнивая результаты, получаем:
5
6 2
5m


 2  6 m  1, n  1, k  1 .
2n
m
2n
В последнем равенстве слева стоит рациональное число, а справа —
иррациональное число, что невозможно. Поэтому указанные числа не
могут быть членами арифметической прогрессии.
8. Положение судов и порта
P
изображено на рис. 36. Пусть
AB  x км, v1 — скорость пер600
вого судна, v 2 — скорость второго судна. BC  80 км,
Е
EP  120 км,
D
P  60 0 , C  30 0 .
300
1
x  80
С
PDC : DP  PC 
;
2
2
x  80
AD  AP  DP  x 

А
2
В
x  80
Рис. 36

.
2
 xv
 x x  120
,  2  x  120 ,
v  v
 1
 v1
2


 80  x  80 ;
 2  80 v1  x  80 .
 v 2
 v 2
2v1
95
Пусть
v2
 k , тогда система примет вид
v1
kx  x  120 ,

160
 k  x  80;

160

k
,

x  80

 160 x  x  120 ;
 x  80
160 x  x 2  40 x  9600 ;
x 2  200 x  9600  0 . Положительным корнем этого уравнения является
число 240, поэтому AB  240 км.
Ответ: 240 км.
8. Исходя из того, что 2 y 2  2 y  1  0 при y  R , получим
x 2  4x  3  4 y 2  4 y  2; x  22  1  2 y  12  1  0;
x  22  2 y  12  0;
сумма квадратов двух выражений равна нулю
лишь при условии равенства нулю каждого из них, поэтому
1
x  2, y  .
2
1
Ответ: x  2, y  .
2
10. EOA равнобедренный
D
C
В
(рис. 37), так как OA  OE ,
следовательно,
OEA  OAE .
ABC : BAC  СBA  900 ,
O
BAC  OAE  OEA , поЕ
этому
СBA  OEA  90 0 .
Так как ED — касательная, то
Рис. 37
А
DEO  90 0 , следовательно,
0
BED  OEA  90 .
Получили: СBA  OEA  90 0 и BED  OEA  90 0 , тогда
СBA  BED и BED равнобедренный, что и требовалось доказать.
2004 год, 11 класс
1. Расшифровать равенство 15  ДВА  6  ПЯТЬ .
(Одним и тем же буквам всегда соответствуют одинаковые цифры, разным — разные, и зашифрованные цифры не совпадают с «открытыми» цифрами.)
96
2. Вася, тренируясь, написал в тетрадке квадратные трехчлены вида
х 2  рх  100 , где р принимает все целые значения от –100 до 100, и
затем нашел сумму действительных корней всех написанных трехчленов. А вы сможете это сделать?
3. Окружность с центром на диагонали АС трапеции АВСД (ВС ||
АД) проходит через вершины А и В, касается стороны СД в точке С и
пересекает основание АД в точке Е. Найти площадь трапеции АВСД,
если СД= 6 13 , АЕ = 8.
4. Решите уравнение cos( sin x)  cos( cos x) .
5. Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную графи y  x  9,
ками функций 
, и найдите ее площадь.
 y  1  x  1  3
6. Целые числа k, n, m в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию с целым знаменателем. Известно, что число m на 39
больше, чем k, а прогрессия не является возрастающей. Чему равна
сумма чисел k, n и m?
7. Все ребра треугольной пирамиды равны между собой (т. е. она —
правильный тетраэдр). Докажите, что эту пирамиду можно так пересечь
плоскостью, что в сечении получится квадрат.
8. Группа школьников, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4, 5. Сумма полученных оценок равна 93, причем троек было больше, чем пятерок, и меньше, чем четверок. Кроме того, число четверок делится на 10, а число пятерок четное. Определить, сколько
каких оценок получила группа школьников?
9. Произведение двух двузначных чисел является трехзначным или
четырехзначным числом. Каких чисел больше (трехзначных или четырехзначных) среди таких произведений?
10. Пусть
АВСД
—
выпуклый
четырехугольник
и
S ABД  S BCД  S ABC  S ACД . Доказать, что АВСД — трапеция или параллелограмм.
Решение
1. По условию зашифрованные цифры не равны цифрам 1, 5 и 6.
Разделим данное равенство на 3. Получим, что 5·ДВА = 2·ПЯТЬ.
Ясно, что Ь делится на 5, и поскольку Ь ≠ 5, то Ь = 0. Кроме того,
2·ПЯТЬ < 5000, так что ПЯТЬ < 2500, ПЯ < 25. Так как П ≠ 1, то П = 2, а
Я ≤ 4.
Итак, ПЯТЬ = 2ЯТ0, причем Я равно 3 или 4, Т равно 3, 4, 7, 8 или 9.
Поэтому для проверки остаются следующие числа ЯТ : 34, 37, 38, 39, 43,
47, 48, 49.
97
Так как ДВА = 2·ПЯТЬ : 5, то возможные значения числа
ДВА : 936 (2340 · 2 : 5=936), 948, 952, 956, 972, 988, 992, 996.
Из этих чисел условиям задачи удовлетворяет только число 948, и
поэтому задача имеет единственное решение: 15  948  6  2370 .
2. Дискриминант этих трехчленов D = p2 – 400. При |p| >20 имеем
D > 0, при р = ±20 получаем D = 0. Таким образом, при |p| >20 трехчлены имеют по два действительных корня, а при р = ± 20 — по одному
корню. Заметим, что по теореме Виета сумма действительных корней
трехчлена х 2  рх  100 равна –р. Тогда, с учетом наличия корней при
соответствующих р, сумма действительных корней всех написанных
трехчленов равна
100 + 99 + 98 +…+ 22 + 21 + 20 +( –20) + (–21) + (–22) +…+ (–98) + (–
99) + (–100) = 0.
3. По условию окружность проС
В
ходит через точки А, В и С, а ее
центр принадлежит АС (рис. 38).
Значит, АС — диаметр окружности, а

Д
. АВСЕ — пря2
А
Е
моугольник, ВС = 8.
По свойству касательной и секущей СД2 = АД·ЕД = (АЕ + ЕД) · ЕД,
Рис. 38
т. е. ЕД2 + 8ЕД – 36 · 13 = 0, ЕД = 18.
По свойству перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на
гипотенузу, СЕ2 = АЕ· ЕД, т. е. СЕ2 = 8 · 18, СЕ = 12.
Искомая площадь SABCД = 1/2(BC+AД)CE = 1/2 (8 + 26) 12 = 204.
Ответ: 204.
4. На основании свойства четности функции y  cos x имеем, что
косинусы чисел на   ;   равны в двух случаях: когда числа равны и
когда они противоположны. Поэтому корни данного уравнения являются объединением корней двух уравнений:
1.  sin x   cos x,
2.  sin x   cosx,
tgx  1,
tgx  1,
АВС  АЕС 


 n, n  Z .
x    m, m  Z .
4
4
Отмечая найденные решения на тригонометрической окружности,
обнаруживаем, что возможна более компактная запись ответа:
x
x

4
 k , k  Z .
98
Замечание. Возможны другие способы решения уравнения и другие
формы записи ответа.
y
B
F
5.
M
R
L
K
N
C O
х
A
E
G
D
Рис. 39
Искомая фигура ABEFGD
изображена на рисунке 39, причем
M 9; 0, A6;  3, R3; 0, B2; 1, C1; 0, D0;  9, E1;  2, F 4; 1,
K 5, 0, G7,  2, N 9, 0 . Ее площадь можно вычислить следующим образом:
18  9
S  S MDN  S MAR  S CEL  S KGN   S RBC  S LFK 

2
 6  3 4  2 4  2   2 1 2 1





  66 кв. ед..
2
2   2
2 
 2
6. Пусть q — знаменатель геометрической прогрессии, тогда ее члены: k, n = kq, m = kq2, причем k, q Z.
По условию m – q = 39, k(q2 – 1) = 39, где k и (q2 – 1) — целые числа.
Так как q2 > 0, то q2 – 1 > –1. Из равенства k(q2 – 1) = 39 следует, что
всевозможными значениями для множителей являются 1, 3, 13, 39.
Только один из этих вариантов приводит к целочисленному значению q:
q 2 - 1  3,

k  13;

 q  2,


k  13.
При q = 2 прогрессия является возрастающей. Таким образом, q = –
2, k = 13, n = -26, m = 52. Сумма k + n + m = 39.
7. Пусть АВСД — правильный тетраэдр. Проведем в треугольниках
АВС и АВД средние линии КР и МН, как показано на рисунке 40. Обе
они параллельны ребру АВ, а значит, и друг другу и, стало быть, лежат в
одной плоскости, которая пересекает тетраэдр по четырехугольнику
КРМН. Покажем, что он и есть искомый квадрат. Сначала заметим, что
все четыре его стороны суть средние линии равных правильных тре99
угольников — граней тетраэдра. Поэтому они равны между собой, т. е.
КРМН — ромб. Стороны его параллельны ребрам АВ и СД тетраэдра.
Поэтому
для
А
завершения доказательства
H
K
достаточно показать, что пряE
мые АВ и СД
перпендикулярС
Д
ны. Для этого
обозначим сеР
редину
ребра
М
АВ через Е и
В
заметим,
что
Рис. 40
прямая АВ перпендикулярна плоскости СДЕ, ибо она перпендикулярна лежащим в
ней пересекающимся прямым СЕ и ДЕ. Поэтому она перпендикулярна и
лежащей в плоскости СДЕ прямой СД.
8. Пусть х — число двоек, у — троек, z — четверок, t — пятерок.
Тогда t  y  z, z 10, t  2 .
2 x  3 y  4  5t  93;
Cоставим систему 
 x  y  z  t  30 .
z10  z  10 или z  20 (так как всего школьников 30).
1)
x  y  t  20;
13  y
z  10  
 y  3t  13  t 
.
3
2x  3y  5t  53,
t  Z  и t  2  13  y  2 и 13  y  3  13  y  6.
Если 13  y  6 , то у = 7, t = 2, a x = 11.
Если 13  y  12 , то у = 1. В этом случае не будет выполняться усло-
13  1
 4 ).
3
x  y  t  20,
z  20  
 y  3t  7  Z  .
2)
2x  3y  5t  13.
Ответ: 11; 7; 10; 2.
9. Двузначных чисел имеется 90, из них можно составить 90 · 90 =
= 8100 произведений. Произведения чисел от 32 до 99 друг на друга все
больше 32 · 32 = 1024, т. е. являются четырехзначными, а таких произведений 68 · 68 = 4624, т. е. больше половины от числа произведений.
Следовательно, четырехзначных произведений больше.
вие t  y (так как t 
100
10. Пусть О — точка пересечения диагоналей четырехугольника
(рис. 41). Обозначим площади треугольников ОАВ, ВОС, СОД, ДОА
через S1, S2, S3, S4 соответА
Д
ственно.
Условие задачи примет
S4
S3
вид:
(S1+ S4)(S2+ S3) = (S1+
S1
О
+S
2)(S3+ S4).
S2
После преобразований
В
B
С
получим:
Рис. 41
(S1 – S3)(S2 – S4) = 0,
откуда S1 = S3 или S2 = S4.
Пусть, например, S1 = S3. Тогда SАВС = S1 + S2 = S3 + S2 = SДВС.
Так как у треугольников АВС и ДВС равные площади и общее основание, то высоты, опущенные из точек А и Д на прямую ВС, равны. Поскольку, точки А и Д лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС, отсюда следует параллельность прямых АД и ВС. Таким образом, четырехугольник АВСД — трапеция или параллелограмм.
10 класс
1. Ленту длиной 25 метров и толщиной 0,1 мм намотали плотно на
картонную трубку — получился валик диаметром 1 дм. Каков диаметр
трубки?
2. На квадратном участке со стороной 100 растут (цилиндрические)
деревья радиуса 1. Доказать, что если на этом участке нельзя проложить
(сколь угодно узкую!) прямолинейную тропинку длины 10, не задевающую ни одного дерева, то число деревьев на участке не менее 400.
3. Вычислить a1  a 2  ...  a9999 , где


1
ak  k  1  k  k  k  1 .
4. Имеются два слитка сплава золота и серебра с процентным содержанием золота 70 % и 10 % соответственно. В каком соотношении
нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив их, получить сплав, содержащий 55 % золота?
5. Решить уравнение в целых числах: xy  x  2 y  3 .
6. При вычислении на калькуляторе суммы ста слагаемых
20 ,04  20 ,04  ...  20 ,04 Петя несколько раз ошибался, сдвигая в слагаемом запятую на один разряд: иногда — вправо, иногда — влево. Мог
ли результат оказаться ровно в два раза больше правильного?
7. Количество медалистов в школе каждый год увеличивается на
одну и ту же величину. В прошлом году было 10 медалистов, а всего с
1997 года по 2003 год школу закончили с медалью 49 человек. Сколько
медалистов ожидается в следующем 2005 году?
101
y  6  x ,

8. Изобразить фигуру, заданную системой уравнений 
и
x
 y   3,
2

найти ее площадь.
9. На стороне ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС)
взяли точки М и N (N ближе к В, чем М) такие, что NМ = АМ и углы
МАС и BAN равны. Найдите угол CAN.
10. Дано число 123456789101112131415…9596979899100. Вычеркнуть сто цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим. Какое
число получится?
Решение
1. Площадь поперечного сечения валика равна 25 см2, лента заполняет площадь 25 10 2  0,1 10 1  25 (см2), значит, сердцевина имеет
площадь 25  25  25  1 (см2). Обозначим через d диаметр трубки
(без
ленты),
тогда
из
уравнения

d2
 25  1
4
получим
 1
 8,26 (см).

Ответ: 8,26 см.
d  10
2.
Разобьем
наш участок на 50
полос П1, П2, …
П50 ширины 2
(рис. 42а) и рассмотрим какуюлибо одну из этих
полос, например,
Рис. 42
полосу П1 (рис.
42б). Ясно, что
если центр дерева расположен вне полосы П 1 (в этом случае мы будем
говорить, что дерево растет вне полосы), то дерево не задевает центральной линии l1 полосы. А так как внутри участка нельзя проложить
тропинки длины 10, не задевающей ни одного дерева, то вдоль линии l1
нельзя указать свободного от деревьев отрезка длины 10, что было бы
невозможно, если бы эта линия была разбита деревьями меньше, чем на
9 частей: ведь даже восемь отрезков длины 10 плюс семь отрезков дли102
ны 2 (последнее слагаемое указывает максимум длины участков линии
l1 , проходящих внутри семи деревьев, разбивающих l1 на 8 частей) не
составят в сумме длину 100 линии l1 . Поэтому внутри полосы П1 растут
минимум 8 деревьев (разбивающих линию l1 на 9 частей). Аналогично
этому внутри каждой из полос П2, П3,…П50 также растут не меньше 8
деревьев, в силу чего общее число деревьев на участке не может быть
меньше, чем 50  8  400 .
3. a k 
=
k  1
k 1  k

1
1
k  k  k 1



1

k  k 1 k  k 1

=
1
;
k  k 1
k
k 1
1
1
1
1
1
a1  1 


; a2 
; ... ; a 9999 
.
2
9999
10000
2
3
1
1
 1
 0,99 .
Тогда a1  a 2  ...  a 9999  1 
100
10000
Ответ: 0,99.
4. Пусть нужно взять x кг первого сплава и y кг второго сплава.
Тогда в первом сплаве содержится 0,7 x кг золота и 0,3 x кг серебра, а
во втором — 0,1y кг золота и 0,9 y кг серебра. После переплавки полу-
чилось x  y  кг сплава, в котором 0,7 x  0,1y  кг золота. Концентра-
0,7 x  0,1y
 0,55;
ция золота в этом сплаве
x y
0,7 
x
 0,1
y
 0,55 
x 3
 .
y 1
x
1
y
Ответ: сплавы нужно взять в соотношении 3:1.
5. Уравнение можно решить графически, построив график функции
x3
y
, и аналитически. Приведем аналитическое решение. Прибаx2
вим к обеим частям уравнения число 2, получим xy  x  2 y  2  3  2;
yx  2  x  2  5; x  2 y  1  5. Так как по условию значения x и
y должны быть целыми, то возможны следующие случаи:
103
 x  2  5,  x  2  1,  x  2  5,  x  2  1,




 y  1  1;  y  1  5;  y  1  1;  y  1  5.
Таким образом, решениями данного уравнения являются пары целых
чисел: 3; 0, 1;  4, 3; 6, 7; 2.
Ответ: 3; 0, 1;  4, 3; 6, 7; 2.
6. Пусть Петя x раз ошибался в большую сторону и y раз — в
Тогда
200 ,4 x  2,004 y  20,04  100  x  y   2  2004 ;
100 x  y  10  100  x  y   2000 ; 90x  9 y  100; 9  10 x  y   100 . Так
как x, y  Z  , то левая часть делится на 9, а правая — нет, следовательно, полученное равенство неверное.
Ответ: результат не мог оказаться в два раза больше правильного.
7. Примем за d число, на которое ежегодно увеличивается количество медалистов, а за a1 — количество медалистов в 1997 году. Тогда
a1 — первый член арифметической прогрессии, сумма которой равна
49, а разность d . Из условия задачи следует, что n  7, a 7  10.
меньшую.
a1  a 7
 7  2  49  7a1  10   a1  4.
2
a  a1 10  4
a 7  a1  6d  d  7

 1.
6
6
Найти нужно девятый член прогрессии: a9  a1  8d  4  8  12 .
Ответ: 12.
8.
у
В
S7 
С
А
О
х
Рис. 43
104
Искомая фигура — прямоугольный треугольник АВС (рис. 43), где
AB  6 2 .
Абсциссу
точки
С
xC
6  xC 
 3  xC  2, y C  6  2  4.
2
Таким образом, A6; 0, B0; 6, C2; 4 .
BC 
6  y C 2  xC 2
найдем
из
уравнения
 2 2.
1
1
 AB  BC ; S ABC   6 2  2 2  12
(кв. ед).
2
2
Ответ: 12 кв. ед.
9. На рисунке 44 MAC  BAN   (по условию). Тогда искомый
угол CAN равен    .
В
ABC — равнобедренный, поэтому BAC  BAC  2   ;
S ABC 
ABC  1800  2BAC  1800  22   .
ANC внешний — угол треугольника
ABN , следовательно,
ANC  BAN  ABN ,
N
β
α
β
М
α
A
Рис. 44
С
    180 0  22   ; 3  180 0  3 ;
3     180 0      60 0 ,
то есть CAN  60 0.
Ответ: CAN  60 0.
10. Заметим, во-первых, что при вычеркивании из данного числа 100
цифр, мы всегда будем получать числа с одним и тем же числом знаков.
Во-вторых, ясно, что из двух чисел с одинаковым числом знаков больше
то, у которого больше первая цифра; при совпадении же первых нескольких цифр больше то число, у которого больше первая несовпадающая цифра.
Теперь понятно, что все первые цифры искомого числа должны
быть, по возможности, девятками. Значит, для получения требуемого
числа мы должны вычеркивать слева подряд все цифры, кроме девяток,
пока это будет возможно. После того как мы вычеркнем 84 цифры (и
последнюю из них — четверку у числа 49), у нас останется число
999995051…5758596061…99100, из которого мы можем вычеркнуть
еще 16 цифр (проверьте).
105
Ясно, что сделать следующую цифру девяткой мы уже не сможем,
так как для этого пришлось бы вычеркнуть 19 цифр. Ясно также, что
следующую цифру нельзя сделать восьмеркой (потребовалось бы вычеркивание 17 цифр). Но вот сделать следующую цифру семеркой мы
уже можем, вычеркивая 15 цифр: 5, 0, 5, 1,…,5, 6,5.
После этого мы имеем право вычеркнуть еще одну цифру; очевидно,
это должна быть цифра 5 из числа 58.
Итак, искомое число равно 9999978596061…99100.
106
Заключение
В представленном пособии авторы не стремились охватить все аспекты организации внеурочной работы по математике. Основная цель
состояла в том, чтобы рассмотреть специфику подготовки и проведения
факультативов и кружков по математике, других внеклассных мероприятий в условиях профильной дифференциации.
В пособии обобщен многолетний опыт работы методического объединения учителей математики Гуманитарно-педагогического лицеяинтерната г. Балашова, который показал эффективность выбранных
форм реализации внеклассной и внешкольной работы по математике с
учетом интересов и способностей учащихся классов разных профилей.
Вниманию учителей математики и студентов математических специальностей педагогических вузов предлагаются конкретные авторские
программы факультативов и математических кружков, конспекты нестандартных уроков, сценарии внеклассных мероприятий. Считаем, что
будут представлять интерес для читателей варианты заданий районной
математической олимпиады памяти М. Я. Суслина, многие из которых
приведены с решениями.
Мы надеемся, что предложенные материалы будут полезны при подготовке и проведении как систематических, так и эпизодических форм
внеклассной работы по математике в старших классах средней школы.
107
Приложения
Приложение 1
Технологическая карта № 1
Пересекающиеся кубики 4, с. 29—32
Для работы потребуется: бумага размером 2020 см для сборки кубика — 6 шт., для сборки пересекающихся кубиков — 9 шт.
Описание работы: куб будет собран из шести модулей. Изготовим
вначале один модуль.
Рис. 1. Перегните левую
и правую стороны
квадрата к центру
Рис. 2. Наметьте две
диагонали, совмещая
указанные точки
Рис. 3. Согните первый верхний и левый нижний уголки
к намеченным линиям
Рис. 4. Согните правую
нижнюю часть фигурки
по указанным линиям
Рис. 5. Теперь согните
по указанным линиям
левую верхнюю часть
Рис. 6. Заправьте
указанную часть внутрь
фигурки
108
Рис. 7. Проверьте результат
и переверните фигурку
Рис. 8. Перегните верхний
и нижний треугольники
и переверните модуль
Рис. 9. Готовый модуль.
Показаны две вставки
и два кармана. Для кубика
потребуется 6 модулей
Рис. 10. Соединение первых
трех модулей. Заправьте
вставки в кармашки
109
Рис. 12. Готовый кубик
Рис. 11. Согните по указанным
линиям, и у вас получится
половина кубика.
Присоедините еще три модуля
Рис. 13. Для того чтобы получить
сплетенные кубики, вам потребуются еще три модуля. Расплетите
один из углов кубика, раскрывая и
сгибая модули по указанным линиям.
110
Рис. 15. Присоедините седьмой
модуль, заправляя вставки
в кармашки
Рис. 14. Проверьте результат
Рис. 16. Присоедините
восьмой модуль
111
Рис. 17. Теперь последний
девятый модуль
Рис.18. У вас получились два пересекающихся кубика.
Попробуйте присоединить еще три модуля, расплетая
какой-либо другой угол. Если вы освоите этот прием,
то используя его, сможете получать самые разные
конструкции
112
Технологическая карта № 2
Развертка правильной треугольной
пирамиды
Для работы потребуется: плотная бумага
или
картон
размером
2020 см — 3 листа, цветная бумага, ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль, толстые нитки.
Общий вид правильной треугольной пирамиды — на рис. 19.
Описание работы:
1. На картоне выполнить чертеж развертки
пирамиды согласно эскизу (рис. 20). Сторона
Рис. 19
равностороннего треугольника 6 см, боковые
стороны равнобедренного треугольника 10 см.
2. Вырезать и согнуть развертку.
3. Оклеить каждый срез полосой цветной бумаги шириной 1 см (по
0,5 см на каждую сторону).
4. В вершинах равнобедренных треугольников проделать аккуратные
отверстия.
5. В отверстия продеть нитку и стянуть развертку.
Рис. 20
113
Технологическая карта № 3
Развертка правильной четырехугольной пирамиды
Рис.21
Для работы потребуется: плотная бумага или картон размером
2020 см, цветная бумага, ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль,
толстые нитки.
Общий вид правильной четырехугольной пирамиды на рис. 21.
Описание работы:
1. На картоне выполнить чертеж развертки пирамиды согласно эскизу. Сторона квадрата 4 см, боковые стороны равнобедренных треугольников 8
см (рис. 22).
2. Вырезать и согнуть развертку.
3. Оклеить каждый срез полосой
цветной бумаги шириной 1 см (по 0,5 см
на каждую сторону).
4. В вершинах равнобедренных треугольников сделать аккуратные отверстия.
Рис.22
5. В отверстия продеть нитку и стянуть развертку.
114
Технологическая карта № 4
Развертка правильной пятиугольной
призмы
Для работы потребуется: плотная бумага или
картон
размером
2030 см, цветная бумага, ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль, толстые нитки.
Общий вид правильной пятиугольной призмы
— на рис. 23.
Описание работы:
Рис. 23
1. На картоне выполнить чертеж развертки пирамиды согласно эскизу. Сторона правильного пятиугольника 3 см, основание прямоугольника 3 см, высота прямоугольника 10 см (рис. 24).
2. Вырезать и согнуть развертку.
3. Оклеить каждый срез полосой цветной бумаги шириной 1 см (по
0,5 см на каждую сторону).
4. У вершин прямоугольников и пятиугольников сделать аккуратные
отверстия.
5. В отверстия продеть нитку и стянуть развертку.
Рис. 24
115
Технологическая карта № 5
Развертка наклонной треугольной
призмы
Для работы потребуется: плотная
бумага
или
картон
размером
2020 см, цветная бумага, ножницы,
клей, карандаш, угольник, циркуль,
толстые нитки.
Общий вид наклонной треугольной
призмы — на рис. 25.
Описание работы:
1. На картоне выполнить чертеж
Рис.25
развертки пирамиды согласно эскизу
(рис. 26).
2. Вырезать и согнуть развертку.
3. Оклеить каждый срез полосой цветной бумаги шириной 1 см (по
0,5 см на каждую сторону).
4. В отмеченных местах сделать аккуратные отверстия.
5. В отверстия продеть нитку и стянуть развертку.
Рис. 26
116
Технологическая карта № 6
Тетраэдр, гексаэдр
Рис. 27
Рис. 28
Для работы потребуется: плотная бумага или картон размером
3513 см — 1 лист, 5035 см — 1 лист, цветная бумага, ножницы, клей,
карандаш, угольник, циркуль
Общий вид тетраэдра — на рис. 27, гексаэдра — на рис. 28.
Описание работы:
1. На картоне размером 3513 см выполнить чертеж развертки тетраэдра согласно эскизу (рис. 29).
2. На картоне размером 5035 см выполнить чертеж развертки гексаэдра согласно эскизу (рис. 30).
3. Вырезать и согнуть развертки.
4. Склеить развертки с помощью клапанов.
5. Оклеить каждое ребро полосой цветной бумаги шириной 1 см (по
0,5 см на каждую сторону).
Рис. 29
Рис. 30
117
Технологическая карта № 7
Октаэдр
Рис. 31
Для работы потребуется: плотная бумага или картон размером
23 x 20 см — 2 листа, цветная бумага, ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль.
Общий вид октаэдра на рис. 31.
Описание работы:
1. На картоне выполнить чертеж развертки октаэдра согласно эскизу
(рис. 32).
2. Вырезать и согнуть развертку.
3. Аккуратно склеить развертку с помощью клапанов.
4. Оклеить каждое ребро полосой цветной бумаги шириной 1 см (по
0,5 см на каждую сторону).
Рис. 32
118
Технологическая карта № 8
Додекаэдр
Рис. 33
Для работы потребуется: плотная бумага или картон размером
2424 см — 2 листа, цветная бумага, ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль, транспортир.
Общий вид додекаэдра — на рис. 33.
Описание работы:
1. На картоне выполнить чертеж развертки додекаэдра согласно прилагаемому эскизу (угол пятиугольника равен 1080) — 2 детали (рис. 34).
2. Вырезать и согнуть развертку.
3. Склеить развертку с помощью клапанов (можно оклеить грани
цветной бумагой).
4. Оклеить каждое ребро полосой цветной бумаги шириной 1 см (по
0,5 см на каждую сторону).
Рис. 34
119
Технологическая карта № 9
Икосаэдр
Для работы потребуется:
плотная бумага или картон размером
2030 см — 2 листа, цветная бумага,
ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль.
Общий вид икосаэдра — на рис. 35.
Описание работы:
1. На картоне выполнить чертеж развертки икосаэдра согласно эскизу (длина
стороны треугольника равна 8 см) (рис.
36).
2. Вырезать и согнуть развертку.
Рис.35
3. Склеить развертку с помощью клапанов.
4. Оклеить каждое ребро икосаэдра полосой цветной бумаги шириной 1 см (по 0,5 см на каждую сторону).
Рис. 36
120
Технологическая карта № 10
Сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью,
проходящей через параллельные стороны верхнего и нижнего
оснований, не принадлежащих одной грани
Рис. 37
Для работы потребуется: картон размером 1812 см — 2 листа,
2020 см — 1 лист, цветная бумага, ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль, скотч.
Общий вид модели — на рис. 37.
Описание работы:
1. На картоне 1912 см выполнить чертеж боковой поверхности
призмы согласно эскизу (2 шт.) (рис. 38).
2. На картоне 2020 см выполнить чертеж плоскости сечения согласно эскизу (рис. 39).
3. Склеить боковую поверхность.
4. По линиям касания сечения приклеить снаружи полосы цветной
бумаги шириной 0,5 см.
5. Вклеить плоскость сечения внутрь призмы скотчем.
Рис. 38
Рис. 39
121
Технологическая карта № 11
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось,
и плоскостью, проходящей через диаметр и середину образующей
Для работы потребуется: картон размером
1022 см — 1 лист, 1010 см — 1 лист, пластиковая бутылка, цветная бумага, ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль, скотч.
Общий вид модели — на рис. 40.
Описание работы:
1. Из бутылки вырезать цилиндр высотой 12
см.
Рис.40
2. На картоне 1022 см выполнить чертеж сечения согласно эскизу, высота прямоугольника равна диаметру цилиндра (рис. 41).
3. Прямоугольную часть сечения оклеить по периметру полосами
цветной бумаги шириной 1 см (по 0,5 см на каждую сторону).
4. Из картона 1010 см вырезать круг диаметром, равным диаметру
бутылки.
5. Наметить на круге диаметр и приклеить выкройку сечения сгибом
к намеченной линии.
6. Вставить сечение в цилиндр и приклеить скотчем круг к его нижнему основанию.
7. Приклеить скотчем верхнюю точку полуовала к стенке цилиндра.
8. Верхнюю часть прямоугольника приклеить скотчем к стенкам цилиндра.
Рис. 41
122
Технологическая карта № 12
Сечение куба плоскостью, проходящей через диагональ нижнего
основания и середины двух смежных сторон верхнего основания
Рис. 42
Для работы потребуется: картон размером 2030 см — 2 листа,
2525 см — 1 лист, цветная бумага, ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль.
Общий вид модели — на рис. 42.
Описание работы:
1. На картоне размером 2030 см выполнить чертеж выкройки боковой поверхности куба согласно эскизу (рис. 43).
2. На картоне размером 2525 см — чертеж выкройки сечения (рис. 44).
3. Склеить боковую поверхность куба.
4. Оклеить ребра куба полосами цветной бумаги.
5. Оклеить плоскость сечения цветной бумагой.
6. Вклеить плоскость сечения внутрь куба скотчем согласно эскизу.
7. Там, где плоскость сечения касается боковых граней куба, снаружи приклеить полосы цветной бумаги шириной 0,5 см.
Рис. 43
Рис. 44
123
Технологическая карта № 13
Правильная четырехугольная призма, вписанная в цилиндр
Рис. 45
Для работы потребуется: пластиковая бутылка, картон размером
2424 см, цветная бумага, ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль,
скотч.
Общий вид модели — на рис. 45.
Описание работы:
1. Из пластиковой бутылки вырезать цилиндр высотой 12 см.
2. На картоне выполнить чертеж выкройки параллелепипеда согласно эскизу (рис. 46).
3. Склеить параллелепипед с помощью клапанов.
4. Оклеить ребра параллелепипеда полосами цветной бумаги.
5. Вставить параллелепипед в цилиндр и аккуратно приклеить скотчем.
Рис. 46
124
Технологическая карта № 14
Правильная треугольная пирамида, вписанная в цилиндр
Рис. 47
Для работы потребуется: пластиковая бутылка, картон размером
2222 см — 1 лист, картон размером 1010 см — 2 листа, цветная бумага, ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль, скотч.
Общий вид модели — на рис. 47.
Описание работы:
1. Из пластиковой бутылки вырезать цилиндр высотой 12 см.
2. На картоне выполнить чертеж развертки пирамиды согласно эскизу (рис. 48).
3. Склеить пирамиду с помощью клапанов.
4. Оклеить ребра пирамиды полосами цветной бумаги.
5. Вырезать из картона 2 круга диаметром, равным диаметру основания цилиндра. Наклеить основание пирамиды на круг.
6. Вставить пирамиду в цилиндр и аккуратно приклеить скотчем.
7. Приклеить скотчем верхнее основание цилиндра.
Рис. 48
125
Технологическая карта № 15
Конус, вписанный в цилиндр
Рис. 49
Для работы потребуется: пластиковая бутылка, картон размером
2020 см —1 лист, картон размером 1010 см — 1 лист, цветная бумага,
ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль, скотч.
Общий вид модели — на рис. 49.
Описание работы:
1. Из пластиковой бутылки вырезать цилиндр высотой 12 см.
2. На картоне выполнить чертеж развертки конуса согласно эскизу
(рис. 50).
3. Склеить конус с помощью клапанов. Вставить конус в цилиндр
и аккуратно приклеить основание скотчем к нижнему краю цилиндра.
4. Вырезать из картона круг диаметром, равным диаметру основания цилиндра. Приклеить скотчем вернее основание цилиндра.
Рис.51
126
Технологическая карта № 16
Правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр
Рис. 51
Для работы потребуется:
пластиковая бутылка, картон размером 2715 см — 1 лист, картон
1010 см — 2 листа, цветная бумага, ножницы, клей, карандаш, угольник, циркуль, скотч.
Общий вид модели — на рис. 51.
Описание работы:
1. Из пластиковой бутылки вырезать цилиндр высотой 12 см.
2. На картоне выполнить чертеж развертки призмы согласно эскизу (рис. 52).
3. Склеить призму с помощью клапанов.
4. Оклеить ребра призмы цветной бумагой.
5. Вставить призму в цилиндр, аккуратно приклеить основание
скотчем к нижнему краю цилиндра.
6. Вырезать из картона 2 круга диаметром, равным диаметру основания цилиндра. Приклеить скотчем основания цилиндра.
Рис. 52
127
Технологическая карта № 17
Сечение куба плоскостью, проходящей через диагональ нижнего
основания и середины двух смежных сторон верхнего основания
Рис. 53
Для работы потребуется: пленка размером 1313 см — 6 листов,
картон 2015 см — 1 лист, цветная бумага, ножницы, клей, чертежные
принадлежности: карандаш, угольник, циркуль.
Общий вид модели на рис. 53.
Описание работы:
1. Из 4-х листов пленки размером 1313 см при помощи скотча
склеить боковую поверхность куба (рис. 54).
2. На картоне размером 2513 см выполнить чертеж выкройки сечения (рис. 55).
3. Оклеить плоскость сечения цветной бумагой.
4. Вклеить плоскость сечения внутрь куба скотчем согласно эскизу.
5. Приклеить скотчем два оставшихся листа пленки в качестве оснований куба.
9,2
3
15,6
14,5
3
18,4
Рис.54
Рис.55
128
Технологическая карта № 18
Сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью,
проходящей через середину высоты, параллельно основанию
Рис. 56
Для работы потребуется: картон размером 1010 см — 1 лист; пленка 1515 см — 5 листов; цветная бумага; ножницы, клей, скотч; чертежные
принадлежности: карандаш, угольник, циркуль.
Общий вид модели — на рис. 56.
Описание работы:
1. На 4 листах пленки размером 1515 см выполнить чертеж детали
1 (рис. 57), на оставшемся листе пленки чертеж детали 2 (рис. 58).
2. Вырезать полученные детали и склеить боковую поверхность
пирамиды.
3. На картоне размером 1010 см выполнить чертеж детали 3
(рис. 59), вырезать. Оклеить плоскость сечения цветной бумагой.
4. Вклеить плоскость сечения внутрь куба скотчем согласно эскизу.
5. Деталь 2 приклеить скотчем в качестве основания пирамиды.
7
7
15,7
Деталь 2
14
Деталь 3
Деталь 1
14
14
Рис. 57
Рис. 58
129
Рис. 59
7
Приложение 2
Устный журнал
«Разве математики не имеют своих тайн…»
Цели:
Образовательные: повторить формулу Ньютона — Лейбница, определение первообразной функции, таблицу первообразных; ознакомить
учащихся с фактами из биографии Ньютона и Лейбница, их вкладом в
науку.
Воспитательные: воспитывать активность, чувство ответственности
и коллективизма, эстетический вкус.
Развивающие: развивать зрительную и слуховую память, гибкость
мышления, приемы мышления: анализ, синтез, аналогию.
Участники: 11 ОПК, 11 ФК, 11 МК.
Оборудование: в зале на стене плакат с названием журнала, портреты Ньютона и Лейбница, плакаты с заданиями для конкурсов, аудиозапись, фломастеры.
Рис. 1. Исаак Ньютон
Рис. 2. Готфрид Вильгельм Лейбниц
Часть I.
Звучит музыка. (В центре зала за старинным столиком сидят двое
ведущих; справа и слева от них столики для Ньютона и Лейбница; на
столах — свечи, чернильница с перьями.)
Ведущий 1. Усильным напряженным постоянством
Я наконец в искусстве безграничном
Достигнул степени высокой. Слава
Мне улыбнулась; я в сердцах людей
Нашел созвучия своим созданьям.
Я счастлив был: я наслаждался мирно
130
Своим трудом, успехом, славой; также
Трудами и успехами друзей,
Товарищей моих в искусстве дивном.
Снова звучит музыка.
Ведущий 2. Узнали? Великое произведение Пушкина «Моцарт и Сальери». Гений поэта сделал историю двух музыкантов знаменитой. А мы
решили рассказать вам сегодня историю двух гениев математики —
современников Моцарта и Сальери — Исаака Ньютона и Готфрида
Лейбница.
Звучит музыка. Выходит Ньютон и садится за столик слева, работает.
Ведущий 1. Исаак Ньютон родился 25 декабря 1642 года — в год
смерти Галилея, в семье мелкого фермера в Вулсторпе, в восьми милях
к югу от Грэнтхэма, в графстве Линкольн, в Англии. Его отец умер в 37
лет, еще до рождения сына. Но вряд ли отец оказал бы на сына сильное
влияние. Его многие считали «диким, чудным и слабым человеком».
Ведущий 2. Другое дело мать. Анна Эйскоу — экономная, умелая,
способная хозяйка вызывала восхищение своих соседей, а потому долго
не вдовствовала. Мальчику не исполнилось еще и 3-х лет, как мать,
оставив сына на попечение бабушки, вышла замуж во второй раз. О
сыне мать заботилась постоянно, поэтому необходимости бороться с
нищетой у Ньютона не было.
Ведущий 1. Мальчик родился слабым и тщедушным. В детстве он
избегал играть со своими сверстниками и часами просиживал в одиночестве, мастерил себе игрушки и зачитывался книгами, главное из которых выписывал в тетрадь при помощи им же изобретенной системы
сокращений.
Ведущий 2. Дядя по материнской линии Вильям Эйскоу первый заметил необычные способности мальчика и посоветовал племяннику
поступить в Грэнтхэмскую среднюю школу.
Ведущий 1. Именно здесь, во 2-м классе, впервые проявился сильный
характер Исаака. Одноклассник ударил его ногой в живот, причинив
страшную боль. Исаак вызвал обидчика на поединок и победил его.
А после этого решил доказать, что его голова столь же хороша, как и
кулаки и скоро стал первым учеником в школе.
Ведущий 2. И по настоянию дяди, вместо того чтобы оставить Исаака дома как помощника по управлению фермой, его отправляют в Кембридж.
Ведущий 1. Кембридж в годы обучения Ньютона переживает не
лучшие свои дни. Да и вся Англия в обстановке гражданской войны не
была местом, хорошо влияющим на развитие талантов.
(На сцену выходит И. Барроу, оглядывается.)
131
Ведущий 2 (шепотом). Это Исаак Барроу — учитель Ньютона.
Барроу: Мой юный друг! Вы где?
Ньютон: Сэр! Слушаю Вас ( встает).
Барроу: Я хотел бы обсудить с Вами одну часть Вашей работы. Скажите, как выглядит ряд в биномиальной теореме, когда n >0?
Ньютон: В этом случае разложение автоматически обрывается на
(n+1)-м члене, сэр. Это доказывается методом математической индукции (и Барроу уходит.)
Ведущий 2. Барроу раньше всех сумел понять талант Ньютона, и
позже, в 1669 году откажется от Люкасовской кафедры в пользу своего
талантливого ученика.
Ведущий 1. Учеба прервалась во время «великой» чумы. Университет был закрыт и два года у Ньютона был вынужденный досуг. Как проводил его великий гений?
Ньютон (говорит вслух и одновременно пишет в дневнике). В течение почти двух лет я прожил в Вулсторпе. За это время я изобрел метод
флюксий, открыл закон всемирного тяготения; много времени отняло
экспериментальное доказательство того, что солнечный свет — смесь
компонентов разных цветов.
Ведущий 1. Рукопись, датированная 20 мая 1665 года, показывает,
что Ньютон в возрасте 23 лет уже достаточно глубоко развил принцип
анализа так, что мы можем находить касательную и кривизну в любой
точке любой непрерывной кривой. Он установил биномиальную формулу, и это было существенным вкладом и огромным шагом в направлении к полной разработке анализа. В 1668 году Ньютон собственными
руками построил отражательный телескоп — рефлектор — и использовал его для наблюдений за спутниками Юпитера.
Звучит музыка. Выходит Лейбниц и садится за столик справа.
Ведущий 1. Но параллельно мы бы хотели рассказать о другом человеке — Готфриде Лейбнице.
Ведущий 2. Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Лейпциге на четыре года позже Ньютона. Три поколения семьи Лейбница служили
саксонскому правительству. Отец — профессор моральной философии.
Вся жизнь дома пронизана философией, наукой, политикой.
Ведущий 1. Лейбниц также рано лишился отца, но любовь к книгам,
истории отец успел передать своему наследнику. Восьми лет Лейбниц
выучил латынь, затем греческий язык. К 15 годам он уже предпринял
попытки реформировать логику.
Ведущий 2. В 15 лет Лейбниц уже студент-юрист Лейпцигского университета. Но его интересовал мир, созданный Кеплером, Галилеем,
Декартом. Постигнуть этот мир можно было только изучив математику.
132
Ведущий 1. И вот он уже слушает лекции по математике. В 20 лет он
готов к соисканию докторской степени, в 17 лет, заметим, он уже стал
бакалавром. Но факультетские власти отказали в присвоении степени.
Ведущий 2. Причиной была, как объяснили, молодость соискателя?
Ведущий 1. Да, но сведущие люди утверждают, что «отцы факультета» не полагались на свои знания юриспруденции.
Ведущий 2. Лейбниц покидает родной город и переезжает в Нюрнберг. Он становится доктором в Нюрнбергском университете, однако
своим поприщем избирает дипломатию.
Лейбниц (пишет в дневнике и говорит вслух). Я поставил себе цель
создать общий метод, с помощью которого все истины могут быть сведены к некоторому виду вычислений. В то же время, это должен быть
род универсального языка или записей, однако коренным образом отличный от всех предложенных до сих пор. В нем символы и даже слова
будут направлять мысль и ошибки, исключая ошибки в данных, могут
быть только ошибками вычислений. Очень трудно будет изобрести этот
язык, но его будет очень легко понимать без всяких словарей.
Ведущий 2. Вплоть до 1672 года Лейбниц мало знает о современной
ему математике. В промежутке между дипломатическими делами он
получает уроки у известного физика Христиана Гюйгенса.
Ведущий 1. Гюйгенс отмечает способности своего ученика и занимается с ним с удовольствием.
Ведущий 2. Хочу напомнить, как на собраниях Королевского общества в Лондоне Лейбниц демонстрировал свою вычислительную машину. Впечатление было ошеломляющим.
Ведущий 1. Да! Но при этом и Ньютон, и Лейбниц примерно в одно и
то же время стали первыми иностранными членами Французской академии наук. Они — в сердечных отношениях, уважаемы друг другом.
Ведущий 2. Но одновременно Лейбниц и Ньютон пришли к одному
открытию, которое известно сейчас как формула Ньютона-Лейбница,
впоследствии ставшая причиной их конфликта.
Ведущий 1. Вернемся на минуту к Ньютону. Он уже не молод, хранитель Монетного двора, а затем его главный смотритель. К делу он
относился серьезно, и считалось, что Монетный двор не имел лучшего
смотрителя за всю историю своего существования.
Ведущий 2. Он уже представляет Кембриджский университет в парламенте, президент Королевского общества, пожалован королевой дворянским титулом.
Ведущий 1. Интересно, такая честь была оказана за признание его заслуг в деле перечеканки монет или превосходства в храме мудрости?
133
Ведущий 2. Кто знает, мы можем утверждать лишь одно — математический гений Ньютона не умер. Однажды, уставший после долгого
рабочего дня в Монетном дворе, он возвратился домой…
Слуга: Сэр! Прикажете подавать обед?
Ньютон (кивает и садится за стол).
Слуга: Сэр! Вам письма, счета, приглашения.
Ньютон: Потом, потом, Вильям, сначала отдых. Неси перо и чернила (начинает работать).
Ведущий 2. Так во время послеобеденного отдыха была решена важнейшая задача. Вот ее история: в 1696 году Бернулли и Лейбниц бросили две дьявольские загадки — два вызова математикам Европы. Представьте себе, что на вертикальной плоскости выбраны наугад две точки.
Каков вид кривой, соединяющей эти точки, вдоль которой частица
скользит (без трения) под действием силы тяжести так, что проходит
путь от верхней точки к нижней за наименьшее время? Это задача о
кривой кратчайшего времени. Увидев решение, посланное Ньютоном
инкогнито, Лейбниц воскликнул: «Узнаю льва по когтям!»
Звучит музыка. Ньютон уходит.
Ведущий 1. Ньютон получил все, что может получить смертный. Он
был одним из самых удачливых людей истории. Его физическое здоровье было прекрасным до самого конца. Ньютон тихо скончался во сне
между одним и двумя часами ночи 20 марта 1727 года в возрасте 85 лет.
Он похоронен в Вестминстерском аббатстве.
Музыка. На стол ставится портрет И. Ньютона.
Ведущий 1. А Лейбниц? Последние 40 лет жизни Лейбница прошли в
обычной службе у Брауншвейгов. При этом он был одним в трех лицах:
и библиотекарем, и историком, и главным советником династии. Его
исторические изыскания вынудили его объездить в 1687 — 1690 гг. всю
Германию, а затем Австрию и Италию.
Ведущий 1. Он оставил нам завещание.
Лейбниц (читает). У меня так много идей, что, возможно, некоторые
из них окажутся со временем полезными, если люди, более целеустремленные, чем я, продумают их когда-нибудь глубже меня и добавят совершенство своей мысли к моему труду.
Музыка. Лейбниц уходит.
Ведущий 2. Лейбниц умер в 1716 году в возрасте семидесяти лет. Как
дипломат и государственный деятель он несомненно относился к элите
людей своего времени и своей страны.
Ведущий 1. На этом история двух гениев математики нами закончена.
Не было злодейства, не было детективной истории, а был рассказ о двух
талантах, которые в жизни шли навстречу друг другу и не сумели друг друга понять.
Музыка.
Часть II
134
Викторина «Первообразная и интеграл»
Музыка.
Ведущий. Ньютон и Лейбниц — два гениальных математика со
сложными судьбами, открытиями которых пользуются и в наше время.
Яркое тому подтверждение — формула, носящая их имена — формула
Ньютона — Лейбница, без которой на нашей викторине, посвященной
теме «Первообразная и интеграл», просто не обойтись. А теперь об
участниках викторины:
1. Команда 11 ОПК — «Интеграл».
2. Команда 11 математического класса — «Первообразная».
3. Команда 11 филологического класса — «Функция».
Для того чтобы восторжествовала справедливость, мы пригласили
компетентное жюри.
А теперь немного о самой викторине. Она состоит из пяти конкурсов. Побеждает та команда, которая в сумме наберет большее количество баллов.
При начислении баллов учитывается:
 качество ответов;
 активность;
 соблюдение дисциплины (за каждый случай ее нарушения снимается по 1 баллу);
 доброжелательное отношение участников разных команд друг к
другу.
Надеюсь, что команды уже приготовились идти по этому нелегкому
пути к победе, и пусть вашим девизом станут слова:
Чтобы спорилось нужное дело,
Чтобы в жизни не знать неудач,
Мы в поход отправляемся смело —
В мир загадок и сложных задач.
Не беда, что путь будет труден.
Достижения крупные людям
Никогда не давались легко.
Музыка. Звучит гонг.
1. Первый конкурс викторины — «Реши кроссворд»
Здесь вы должны показать свои теоретические знания. Перед вами
кроссворд из двенадцати слов. Командам поочередно задаются вопросы.
Время на обдумывание — 10 с. Поднятая рука — сигнал о том, что ответ готов. В случае неправильного ответа или его отсутствия право ответа передается команде, представитель которой первым поднял руку.
За каждое правильно отгаданное слово — 1 балл. В конце конкурса жюри объявляет результаты, которые заносятся в ведомость.
135
Для составления кроссворда могут быть использованы следующие
вопросы:
1. Как называется функция F(x) для функции f (x) на заданном промежутке, если F′(x) = f (x)? (Первообразная)
2. Что является графиком функции y = ax + b? (Прямая)
3. Кто из математиков ввел название новой ветви математики —
интегрального исчисления? (1696 г.) (Бернулли)
4. «Примитивная функция» — так в 18 веке называли первообразную функции. Кто придумал это название? (Лагранж, 1797 г.)
5. Есть в каждом слове, у растения и может быть у уравнения (Корень).
6. Какую геометрическую величину можно вычислить при помощи
интеграла? (Площадь)
7. График функции y = k/x. (Гипербола)
8. График функции y = ax2 + bx + c. (Парабола)
9. Одно из важнейших понятий математического анализа. (Интеграл)
10. Немецкий ученый, в честь которого названа формула, связывающая площадь криволинейной трапеции и интеграл. (Лейбниц)
11. Множество всех точек (x, y) координатной плоскости, где y =f (x),
а x «пробегает» всю область определения функции y =f (x). (График)
12. Соответствие между множествами X и Y, при котором каждому
значению из X поставлено в соответствие единственное значение из Y.
(Функция)
II. Попрошу ко мне выйти тех ребят, которые при входе получили
синюю карточку (всего три человека, по одному из каждой команды).
Поздравляю, вы стали участниками второго конкурса — «Математический аукцион». (Удар гонга)
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
В связи с нестабильной экономической ситуацией в стране люди
предпочитают вкладывать деньги в недвижимость, в частности, в землю, поэтому сегодня на аукционе мы решили выставить на продажу
земельные участки. Дамам из филологического класса предлагается са136
мый большой участок (рис. 3). Чтобы определить, на какой из участков
смогут претендовать две другие команды (рис. 4 и рис. 5), проведем
жеребьевку (с помощью волчка). Чтобы стать владельцем участка,
необходимо правильно определить его площадь. Участники конкурса
приглашаются за первые парты.
Заслушиваются ответы. Если ответ верный — +1 балл. Жюри подводит итог конкурса, результаты заносятся в ведомость.
Ребята, поднимите руку те, кто получили при входе красные квадраты. Вы становитесь участниками следующего конкурса — «Составь
фразу» (по 7 человек из команды). (Удар гонга)
Каждой команде предлагается вычислить по семь интегралов. В результате решения получаются конкретные числа, каждому из которых
соответствует своя буква. Соедините полученные буквы и получите
слово, имеющее прямое отношение к теме викторины. (Участники конкурса из каждой команды поочередно выполняют задания, в конце
называют слово полностью.) За каждую правильно найденную букву — +
1 балл. Время ограничено (≈ 30 с на 1 интеграл, а всего 3—4 мин.).
В конце конкурса жюри объявляет результат и заносит его в ведомость.
IV. Вот мы уже подошли к 4 конкурсу викторины — «Конкурсу капитанов».
137
Прошу капитанов пройти за первые парты (Каждому капитану предлагается своя карточка с заданием, рис. 6.) Время решения — ≈ 5 мин.
За правильное решение — +1 балл. В треугольниках записаны ответы.
В конце конкурса подводятся итоги и заносятся в ведомость.
V. А теперь решающий конкурс викторины — «Угадай, чьи слова».
Я буду поочередно читать высказывания знаменитых людей — философов, математиков, писателей, поэтов. Если у команды есть ответ (в
течение 10 с), то прибавляется 1 балл, иначе отвечает другая команда,
представитель которой быстрее поднял руку.
1. Математика — царица наук. (Гаусс)
2. Природа говорит языком математики. (Галилей)
3. Наука достигает совершенства, когда ей удается пользоваться
математикой. (Маркс)
4. В каждом знании столько истины, сколько математики. (Кант)
5. В математике есть своя красота, как в живописи и в поэзии.
(Жуковский)
6. Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.
(Лобачевский)
7. Математик должен быть поэтом в душе. (Ковалевская)
8. Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.
(Пушкин)
9. Математика является самой древней из всех наук, вместе с тем
остается вечно молодой. (Герцен)
Замечание: при подготовке к викторине школьникам предлагалась дополнительная литература с высказываниями известных людей о математике [6; 56; 57].
Жюри подводит итоги, объявляется команда-победительница. Происходит награждение.
А от себя хочу добавить, что математику уже затем учить нужно, что
она ум в порядок приводит (Ломоносов).
Устный журнал
«Какие числа правят миром»
Цели:
 расширять знания учащихся о числе, системах счисления, числе π;
 воспитывать интерес к изучению математики, внимательность,
чувство товарищества, терпение, ответственность;
 развивать у учащихся логическое мышление, познавательный интерес, память, сообразительность.
138
Рис. 6
139
Оборудование: спички, плакат с названием устного журнала и плакаты с высказываниями, иллюстрирующие конкурсы:
«…Сильно возлюбив искусство числительное, помыслил я, что без
числа никакое рассуждение философское не слагается, всей мудрости
матерью его почитания…»
Алания Жиранец
«...Будь благословенно божественное число, породившее богов и
людей...»
Л. Кронекер
Ведущий: Здравствуйте, ребята, мы рады вас приветствовать на
страницах нашего устного журнала, посвященного числам. Начнем путешествие.
Первая страница «Как определили форму чисел?»
Ведущий: Люди каждый день на протяжении долгих лет сталкиваются с числами. «Число» — понятие абстрактное. Каждое число записывается с помощью цифр.
Ученик: Слово «цифра» происходит от арабского слова «цифр», что
означает «пустое» место. Всем знакомы цифры. Если одни составлены
из палочек и букв, то другие имеют своей основой девять (если не считать нуля) определенных цифр, сочетающихся между собой. Арабские
обозначения более просты, удобны и распространены. Возникает вопрос: кто же определил форму цифр?
Ведущий: Высказывались разные формы и гипотезы об оформлении
формы цифр. Вот одна из них.
Существует предположение, что форма арабских цифр составлена из
следующей фигуры (рис. 7).
Рис. 7
АD соответствует 1; АВDС соответствует 2;
АВЕСD соответствует 3; АВD + АЕ соответствует 4.
140
Римские цифры составлены по тому же образцу.
В самом деле, если посмотреть на схему, это заявление кажется не
лишенным глубокого смысла.
Рис. 8
Так, единица создает лишь один угол, тройка — три, пятерка — пять
и т. д. Нуль не образует никакого угла, поэтому он не имеет реального
содержания.
Об этой гипотезе в свое время упоминал А. С. Пушкин.
Вторая страница «Число  «
Ведущий: Эта страничка рассказывает нам о числе «пи».
Как вам уже известно, существует много различных чисел, которые
имеют свое название:

натуральные;

целые;

рациональные;

иррациональные;

действительные;

комплексные.
Q R C
Число  открыли еще в древности, им обозначали постоянную величину, отношения длины окружности к ее диаметру. Число, выражающее это отношение, принято обозначать буквой  («пи») — первой
буквой слова «периферия» (греч. «окружность»). Общеупотребительно
такое обозначение стало с середины XVIII в.
В глубокой древности считалось, что окружность ровно в три раза
длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках
Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии:
«И сделал литое из меди море, — от края его до края его десять локтей, —
совсем круглое… и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом»
(3 Цар. 7. 23). В папирусе Райнда, который датируется приблизительно
1650 г. до н. э., для числа π приводится значение (16/9)2, в десятичном
приближении это 3,16. Архимед (287—212 до н. э.) дал метод вычисления числа π (отношение длины окружности к ее диаметру) и установил,
1
10
что это число заключено между 3 и 3 . Шотландский математик
71
7
141
Джейм Грегори (1638—1675) доказал, что число π может быть записано
в виде ряда, продолжение которого не ограничено:
1 1 1 1 1
π
 1       ...
4
3 5 7 9 11
Это доказательство не дало практического способа вычисления значения π, но показало простоту связи между числом π и всеми нечетными
числами. Математик Джемшид Ал-Каши (умер около 1430) получил
значение числа π, верное до семнадцатого знака:
π = 3, 14159265358979325.
Три первых цифры числа π запомнить совсем не сложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и
стихи:
Нужно только постараться
И запомнить все как есть,
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Или:
Что я знаю о круге?
3
1 4 1 5
9
2
6
5
3
5
8
Это я знаю и помню прекрасно, пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Третья страница «Системы счисления»
Ведущий: У первобытных людей, рисовавших палочки на стенах
пещер или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев,
существовала единичная система счисления, которая не забыта и в наши
дни. Как узнать, на каком курсе учится курсант? Сосчитать, сколько
полосок нашито на рукаве мундира.
Поштучно считать предметы удобно тогда, когда их не очень много.
Пересчитывать таким образом большие совокупности очень скучно и
утомительно, поэтому возникла идея объединить единицы в группы.
Появился счет пятерками, десятками, двадцатками — по количеству
пальцев рук и ног «счетовода».
Около 3––2,5 тысяч лет до н. э. древние египтяне придумали свою
числовую систему. В ней ключевые числа: 1, 10, 100… и т. д. изображались иероглифами.
Кроме египетской существовали также римская, финикийская, критская, сирийская, греческая и другие системы счисления.
В Вавилоне, например, существовала 60-тиричная система, которая
широко применялась в астрономических расчетах вплоть до эпохи Возрождения. Именно ею пользовался во II веке греческий математик и
142
астроном Клавдий Птолемей при составлении таблицы синусов, древнейшей из дошедших до нас.
В наше время принято пользоваться десятичной системой счисления.
Покупатель, приходя в магазин, видит товары самой разной стоимости:
есть очень дешевые, есть непомерно дорогие. Чтобы упростить расчеты
при покупке, центральный банк выпускает денежные знаки различного
достоинства. Когда фотограф или аптекарь для приготовления нужного
ему раствора взвешивает порошки, он использует специальные аптекарские весы и набор гирек разной массы. Точно так же из базовых элементов или ключевых чисел строится любая числовая система.
В десятичной системе всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Говорят также, что эти цифры представляют собой коэффициенты разложения заданного числа по степеням основания 10, а само число 10
называют основанием системы счисления. «Вес» цифры в десятичной
записи числа определяется ее позицией: чем дальше отстоит данная позиция от крайнего правого разряда единиц, тем большую «солидность»
и «вес» она имеет. Поэтому принятая система записи чисел называется
десятичной позиционной системой счисления.
1 ∙ 26 + 1 ∙ 25 + 0 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 11010112.
10710 = 7 ∙ 100 + 0 ∙ 101 + 1 ∙ 102 = 107.
10710 = 1 ∙ 26 + 1 ∙ 25 = 0 ∙ 24 + 1 ∙ 23.
Как мы уже видим, число 107 можно записать в любой системе
счисления, в том числе и в двоичной.
Четвертая страница «Двоичная система счисления»
Стихотворение-загадка
Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по 100 книг носила —
Все это правда, а не бред.
Когда десятком ног
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно.
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ.
143
Ведущий: Разгадать загадку поэта нам поможет следующее наблюдение. Выпишем упомянутые в стихотворении числа:
1, 10, 100, 1100.
Легко заметить, что все они записываются с помощью лишь двух
цифр: 0 и 1. Возникает вопрос: может быть здесь зашифровано разложение чисел по степени 2?
Переведем числа из двоичной системы в десятичную.
1100 лет — (1100)2 = 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = (12)10.
Значит, ей было 12 лет.
101 класс — (101)2 = 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = (5)10.
Значит, она ходила в 5 класс.
100 книг — (100)2 = 0 ∙ 20 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 22 = (4)10.
(10)2 = 0 ∙ 20 + 1 ∙ 21 = (2)10.
(1)2 = (1)10.
Отгадать загадку нам помогла двоичная система счисления, в которой в качестве базового числа выбираются степени числа 2.
Чтобы различать числа, записанные в разных системах счисления, их
заключают в скобки, а внизу справа указывается основание системы
счисления.
(1100)2 = (12)10.
123 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 12.
1 ∙ 101 + 2 ∙ 100 = 12.
Чтобы понять стихотворение о необыкновенной девочке, пришлось
перевести числа из двоичной системы в десятичную. Несложно произвести и обратную операцию. Пусть требуется перевести в двоичную систему число 100. Для этого мы поступим следующим образом (рис. 9):
Рис. 9
Выпишем все остатки справа налево: 100 = (1100100)2
Двоичная система счисления стала одним из истоков произошедшей
в ХХ веке грандиозной компьютерной революции.
Технически две цифры воспроизвести просто:
1 — проводит ток в полупроводниковом элементе;
0 — ток не проводит.
Операции простейшие, и компьютер выполняет их безупречно.
144
Ученик: «…Натуральные числа сотворил Господь Бог, а все прочее —
дело рук людских...»
Л. Кронекер
Пятая страница «Викторина»
Класс делится на две команды с помощью жеребьевки.
Конкурс первый: «Разминка»
1. Какое целое число делится без остатка на любое целое, отличное
от нуля, число? (0)
2. Какой знак нужно поставить между цифрами 5 и 6, чтобы получилось число, большее 5, но меньшее 6? (Запятую)
3. К заданному числу прибавили 3, результат разделили на 4, получили 4. Какое число задумали? (12)
4. Сумма каких двух натуральных чисел равна их произведению? (2 и 2)
5. На какое число нужно разделить два, чтобы получилось 4? (на 0,5)
6. Назовите наименьшее четырехзначное число? (1000)
7. Сколько в метре дециметров? (10)
8. 22 = 4, 32 = 9. Чему равен угол в квадрате? (900)
Второй конкурс
Не меняя порядка цифр, расставьте между ними плюсы и минусы
(всего три знака) таким образом, чтобы в результате получилось 100.
123456789
Ответ: 123 – 45 – 67 + 89 = 100.
Третий конкурс
В квадратном зале поставить вдоль стен 10 кресел так, чтобы у любой стены стояло кресел поровну.
Ответ: смотри рис. 10.
● ● ●
●
●
●
●
● ● ●
Рис. 10
Четвертый конкурс
Из спичек составлены три равенства:
V = II + VIII,
VI = II + VIII,
VII = II + VIII.
Переставьте в каждом ряду по одной спичке так, чтобы все равенства стали верными.
145
Ответ: X = II + VIII,
–VI = II – VIII,
VI = –II + VIII.
Пятый конкурс «Поиск закономерностей»
Необходимо проследить закономерность в таблице 1 и записать два
числа.
Таблица 1
1
21
12
6
1
15
2
18
14
12
4
16
4
16
13
15
9
14
8
13
15
11
16
17
16
11
14
14
25
13
32
8
16
10
36
18
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
(64; 128)
(6; 3)
(15; 17)
(13; 9)
(49; 64)
(12; 19)
Шестой конкурс
Пользуясь тремя пятерками и знаками математических действий,
написать числовое выражение, равное:
а) единице; б) пяти; в) нулю.
5
5
5
5
Ответ: а)1 =    5
б) 5 = 5 + 5 – 5 = 5∙ .
 555.
5
5
5
55 5
в) 0 = 5∙(5 – 5) =
 5  5  (5  5)5 .
5
Седьмой конкурс «Кто быстрее?»
Внимательно слушайте стихотворение и быстрее ответьте на вопрос,
который в нем сформулирован.
1. Расставил Андрюшка
В два ряда игрушки:
Рядом с мартышкой
Плюшевый мишка,
Рядом с лисой
Зайка косой.
Следом за ним —
Еж и лягушка.
Сколько игрушек
Расставил Андрюшка?
Ответ: шесть.
2. Посадила Маша в печь
Пироги с капустой печь.
Для Наташи, Коли, Вовы
Пироги уже готовы.
146
Да еще один пирог
Кот под лавку уволок.
Да еще из печки пять
Маше нужно вынимать.
Если можешь — помоги,
Сосчитай-ка пироги.
Ответ: Девять.
Подарил утятам ежик
10 кожаных сапожек.
Кто ответит из ребят
Сколько было всех утят?
Ответ: пять.
Подведение итогов викторины.
За каждый правильный ответ команда получает по одному баллу.
В конце баллы складываются и та команда, которая набирает большее
число очков, становится победителем.
Устный журнал
«Что мы знаем о тригонометрии?»
Цели:
 знать историю развития тригонометрии, биографию Леонарда
Эйлера, основные формулы тригонометрии; уметь использовать тригонометрические формулы на практике;
 способствовать воспитанию чувства коллективизма, творческого
отношения к заданию, смекалки;
 способствовать развитию самостоятельности мышления, развитию познавательного интереса, устной речи, произвольного внимания,
воображения.
Оборудование: карточки для участников викторины (11 желтых и 11
красных), два плаката с заданиями, перекидной плакат с названиями
страниц журнала, плакат с высказыванием Лапласа, доска с заданиями.
Перед началом мероприятия всем учащимся раздаются желтые и
красные карточки.
Ведущий: Здравствуйте, дорогие друзья! Мы приветствуем всех собравшихся в этом зале и предлагаем вашему вниманию устный журнал
«Что мы знаем о тригонометрии?».
На его страницах вы можете узнать об истории тригонометрии, о великих математиках, которые содействовали развитию этой науки, принять участие в викторине и разгадывании математических шарад и просто весело провести время.
Первая страница «Из истории тригонометрии»
147
1-й ученик: Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в
заглавии книги немецкого математика и теолога Питискуса. Происхождение этого слова греческое:  — треугольник,  —
мера. Тригонометрия — наука об измерении треугольников. Хотя
название возникло недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии
понятия и факты были известны уже 2000 лет назад.
2-й ученик: Длительную историю имеет понятие синуса. Различные
отношения отрезков треугольника и окружности, а по существу и тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н. э. в работах
великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже систематично
исследовались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не приобрели специального
названия. Современный синус угла  , например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной  , или как
хорда удвоенной дуги (см. рис. 11).
Рис. 11
В последующий период математика долгое время наиболее активно
развивалась индийскими учеными. В IV—V вв. появился, в частности,
уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского
ученого Ариабхаты (476—550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 11) он назвал «ардхаджива»
(ардха — половина, джива — тетива лука, которую напоминает хорда).
Позднее привилось более короткое название — джива. Арабскими математиками в IX в. это слово было заменено латинским «синус» (sinus —
изгиб, кривизна).
1-й ученик: Слово «косинус» немного моложе. Косинус — это сокращение латинского выражения complementy sinus, т. е. «дополнительный синус».
148
Имея дело с тригонометрическими функциями, мы существенно выходим за рамки задачи «измерения треугольников». Поэтому известный
математик Ф. Клейн (1849—1925) предлагал учение о «тригонометрических» функциях назвать иначе — гониометрией (лат. gonio — угол).
Однако это название не привилось.
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в Х в.
арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия
долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а позже немецким математиком, астрономом Региомонтаном
(1467 г.). Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), переводится как «касающийся».
2-й ученик: Длительное время тригонометрия развивалась как часть
геометрии, т. е. те факты, которые мы сейчас формулируем в терминах
тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений.
Наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи
с решением задач астрономии, что представляло большой практический
интерес. Принципиальное значение имело составление К. Птолемеем
первой таблицы синусов: появилось практическое средство решения
ряда практических задач, и в первую очередь задач астрономии.
Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик
XVIII столетия Леонард Эйлер (1707—1883).
Вторая страница журнала «Леонард Эйлер»
«Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит
или как орел парит над землей»
Доминик Араго
Афоризм Араго не преувеличивает несравненных математических
способностей Леонарда Эйлера, самого продуктивного математика в
истории, человека, которого современники называли «воплощенным
анализом». Давайте поближе познакомимся с его биографией.
3-й ученик: Леонард Эйлер родился в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца, затем поступил (1720)
в Базельский университет. С конца 1723 года Эйлер по настоянию отца
стал изучать богословие, но вскоре целиком отдался изучению любимой
математики. В Базельском университете Эйлер слушал лекции по математике И. Бернулли.
149
В конце 1726 года по рекомендации братьев Бернулли его пригласили на одно из свободных мест в Петербургской академии наук. Он оставил Швейцарию и в мае 1727 года переехал в Петербург. В Петербурге
Эйлер нашел весьма благоприятные условия для научной деятельности.
Он сразу приступил к занятиям математикой. За 14 лет первого петербургского периода жизни Эйлер подготовил к печати около 80 трудов и
опубликовал свыше 50. Он первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного
угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления. Эйлер участвовал во многих направлениях
деятельности академии. Он читал лекции студентам академического
университета, написал общедоступное «Руководство к арифметике»,
участвовал в различных технических экспериментах.
В Петербурге Эйлер изучал русский язык. В 1733 году он женился на
Е. Целль — дочери академического живописца. В Петербурге же родились два его сына: математик, физик и астроном Иоганн Альбрехт и
врач Карл. Третий сын Кристоф, участник астрономической экспедиции
академии 1769 года, служа в армии, достиг чина генерал-лейтенанта и
был директором оружейного завода в Сестрорецке.
В 1741 году Эйлер переехал в Берлин, где предстояла реорганизация
почти бездействующего Общества наук в большую новую академию. В
Берлинской Академии наук Эйлер занял пост директора класса математики и члена правления, а позже фактически руководил академией. За
25 лет жизни в Берлине он полностью подготовил 300 работ.
Живя в Берлине, Эйлер не переставал интенсивно работать в Петербургской академии наук, сохраняя звание ее почетного члена и получая
пенсию. В бытность Эйлера в Берлине несколько раз вставал вопрос о
его возвращении в Россию. Трения Эйлера с королем Фридрихом II побудили Эйлера ускорить отъезд. В 1766 году вместе с семьей Эйлер переехал в Петербург. Несмотря на преклонный возраст и постигшую его
почти полную слепоту, работоспособность его не снизилась. За 17 лет
вторичного пребывания в Петербурге им было подготовлено около 400
работ, среди них несколько больших книг. Эйлер скончался в Петербурге от кровоизлияния в мозг и был похоронен на Смоленском кладбище.
Третья страница журнала «Викторина»
I гейм «Торопись не спеша»
Гейм начинают обе команды одновременно. Время на работу —
6 минут. На доске члены команд цепочкой по очереди решают задания.
Всего участвуют 5 человек. Каждый последующий участник имеет право на исправление ошибки решавшего перед ним члена команды.
150
За правильно решенный пример команда получает 2 балла, за решение заданий раньше отведенного времени — 2 балла, максимальное количество баллов — 12.
Задание первой команды:
Вычислить: А + Б – В – Г + Д.
sin 37 0 cos 8 0  cos 37 0 sin 8 0
А=
;
sin 30 0 cos15 0  sin 15 0 cos 30
3
 8tg ;
2
2
В = 2cos 1800 – sin 00 + ctg 900 + 3sin 900 – cos 2700;
sin   cos 2 .
Г=
1  sin 2

3
Д = sin(   ) + cos(–) + tg(–) – ctg(
  );
2
2
Ответ: 1 + 5 – 1 – 1 + 0 = 4.
Б = 2 cos

 5 sin
Задание второй команды:
Вычислить: А + Б – В – Г + Д.
cos 20 0 cos 65 0  sin 20 0 sin 65 0
А=
;
sin 75 0 cos 30 0  sin 30 0 cos 75 0
3
+3cos;
2
2
В = 2sin 2700 – 5tg 1800 + 3cos 3600 + ctg 900;
2 sin 2   сtg
;
Г=
sin 2
Б = 4sin

 6ctg
Д = sin(180° – α) + cos(90° + α) – tg(360° – α) – ctg(270° – α).
Ответ: –1 + 1 – 1 – 1 + 0 = –2.
Ведущий: Пока жюри подводит итоги первого гейма, командам
предоставляется возможность заработать дополнительные баллы. Послушайте математическую шараду:
Угадайте слово
Привычное слово кудлатой наседки
Поставьте на первое место.
На месте втором посмотрите-ка — нота,
Важна для любого оркестра.
На третьем — одна одинокая буква,
Пятнадцатая в алфавите.
Один из волос на мордашке котенка
151
На месте четвертом прочтите.
Ответ: косинус.
II гейм «Спешите видеть…»
Из каждой команды вызывается 6 человек. Они должны найти
ошибки в формулах, решениях примеров, в чертежах, которые ведущий
показывает на плакате, если такие существуют. Команды отвечают по
очереди. За верный ответ — 2 балла, за неверный снимается 2 балла.
Первая команда:
a
b
c


а) tgα (рис. 12 ),
б)
(рис. 13)
sin  sin  sin 
Рис. 12
Рис. 13
в) cos 2α = 2sin2 α – 1;
г) sin     = sin α∙cos β – cos α∙sin β;
д) 1 – 2sin2 α + cos 2α = cos 2α + cos 2α = 2cos 2α;

  ) = –tgα.
2
Вторая команда:
е) ctg(
а) sinα (рис. 14),
б) a 2  b 2  c 2  2bc  cos  (рис. 15).
152
Рис. 14
Рис. 15
в) sin2α = 2sinαcosα;
г) cos(α+β) = cosαcos β – sinαsinβ;
д) cos2 α – cos2α = cos2 α – cos2 α + sin2 α = sin2 α;
е) tg(1800+α) = tgα.
III гейм «Дальше, дальше, дальше…»
Каждая команда должна за 3 минуты ответить на наибольшее количество вопросов. За каждый верный ответ команда получает один балл,
если команда успевает ответить на вопросы досрочно, то она получает
дополнительно 5 баллов.
Вопросы первой команде:

(–900).
2
0 2
1.
Выразить в градусной мере –
2.
Выразить в радианной мере 120 (
3.
sin(

4.
5.
  ). (cos)
2
tgctg. (1)
cos(+). (coscos – sinsin)
6.
tg

. (Не существует)
2
7.
8.
9.
10.
sin2. (2sincos)
cos(–). (–cos)
sin(–). (sincos – cossin )
Знак синуса во II четверти. (+)
1

11. sin . ( )
6
2
12. sin(2+). (sin)
153
3
).
13. Теорема синусов. (
14. sin
a
b
c


 2R )
sin  sin  sin 

. (1)
2
15. Знак косинуса в IV четверти. (+)
16. Определение синуса угла .
17. Теорема Пифагора. (В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)
18. Чему равен период синуса? (2n)
19. Определение котангенса угла .
 1  cos 
20. сos2 . (
).
2
2
Вопросы второй команде:
1. Выразить в градусной мере –. (–1800)
5
2. Выразить в радианной мере 1500. (
)
6

. (0)
2
3.
cos
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
sin2  + cos2 . (1)
sin(+). (sincos + cossin)
ctg. (Не существует)
cos2. (cos2  – sin2 )
sin(+). (–sin )
cos(–). (coscos + sinsin)
Знак косинуса в III четверти. (–)
1

cos . ( )
3
2
cos(2–). (cos )
Теорема косинусов. (c2 = a2 + b2 – 2ab cos )
sin . (0)
Знак синуса в IV четверти. (–)
Определение косинуса угла .
Чему равен 1 радиан? (1 рад57017’)
Чему равен период тангенса? (n)
Определение тангенса угла .
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20. Формула синуса половинного угла. (sin2
154
 1  cos 
=
)
2
2
Ведущий: Закончился третий гейм викторины. Пока жюри подводит
итоги, мы прослушаем еще одну шараду.
Что кружится, что ложится
И на землю, и на крыши,
И о чем поэт зимою
По ночам поэмы пишет?
Это первое словечко,
А второе просто «на».
Ну, а третье? Угадайте,
Что бежит по проводам?
Напиши, что получилось
И прочти наоборот.
Не запутайся, читая
Слово задом наперед!
Ответ: Снег–на–ток=котангенс.
Жюри объявляет итоги викторины, награждает победителей. Учитель может поставить оценки в журнал тем учащимся, которые правильно выполнили наибольшее количество заданий.
Урок-экскурсия
«Путешествие в музей многогранников»
Цели:

сформировать понятие правильных многогранников, рассмотреть понятия полуправильных и звездчатых многогранников, установить свойства правильных многогранников;

применить полученные знания при решении задач;

воспитывать эстетический вкус, пространственное воображение,
настойчивость и др. качества личности;

развивать познавательный интерес, пространственное и логическое мышление.
Оборудование: модели правильных, полуправильных и звездчатых
многогранников; портреты Платона и Архимеда; копии картин С. Дали
«Тайная вечеря» (рис. 19) и Рафаэля «Школа Платона» (рис. 20); Владимирский Г .А. Стереоскопические чертежи по геометрии. — М.: Просвещение, 1963. — 176 с.; стереоочки.
155
Да не войдет сюда не знающий геометрии
Архимед
(ок. 287—212 гг. до н. э.)
Платон
(ок. 427—327 гг. до н. э.)
Рис.17 Оформление доски в классе
Сегодня мы проведем экскурсию по музею правильных многогранников. И сейчас познакомимся с интереснейшими экспонатами музея,
узнаем их историю. Многогранники выделяются своими свойствами,
красивыми формами. Теория многогранников имеет большую историю,
связанную с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Платона.
В то же время это современный раздел математики. Знание свойств
многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других
разделах математики. А также теория многогранников может использоваться в химии, физике, так как многие природные кристаллы имеют
форму того или иного многогранника. Например, кристаллы поваренной соли и некоторые алмазы имеют форму куба. Свойства правильных
и производных от них многогранников используют также архитекторы
и строители, сооружающие различные архитектурные формы.
Первая экспозиция «Правильные многогранники»
Некоторые из них вам уже знакомы. Назовите их: куб, тетраэдр —
это частные виды призм и пирамид соответственно. Введем определение правильных многогранников.
Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если
его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же
числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то
же число ребер.
Правильные многогранники с древнейших времен привлекали внимание ученых. Им посвящена последняя XIII книга знаменитых
«Начал» Евклида. Существует пять типов правильных выпуклых много156
гранников. На основе анализа моделей правильных многогранников
вместе с учащимися заполняется таблица 2. Ниже приведены изображения правильных многогранников (рис. 18), а также указаны вопросы,
которые обсуждаются в процессе рассмотрения экспонатов первой экспозиции.
Термин
Правильный
тетраэдр
Куб (гексаэдр)
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Число
граней
Число
вершин
Число ребер
4
4
6
6
8
12
20
8
6
20
12
12
12
30
30
Таблица 2
Число
ребер в
каждой
вершине
3
3
4
3
5
На данном рисунке первое число в скобках указывает, сколько сторон у каждой грани, второе — число граней, примыкающих к каждой
вершине.
1. Чем являются грани правильного тетраэдра? (Правильными треугольниками)
2. Сколько граней, вершин, ребер имеет тетраэдр? (4, 4, 6)
3. Сколько ребер сходится в каждой вершине тетраэдра? (Три ребра)
4. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой
все ребра равны.
5. Чем являются грани куба? (Квадратами)
6. Сколько граней, вершин, ребер в кубе? (6, 8, 12)
157
Рис. 18
7. В каждой вершине сходятся по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
8. У октаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от
тетраэдра, в каждой его вершине сходятся по четыре ребра.
9. У додекаэдра — все грани правильные пятиугольники. В каждой
вершине сходятся по три ребра.
10. Грани икосаэдра — правильные треугольники, но в отличие от
тетраэдра и октаэдра, в каждой вершине сходится по пять ребер.
11. Для выпуклых правильных многогранников выполняется соотношение, называемое теоремой Эйлера.
Теорема Эйлера: В + Г = Р + 2, где В — количество вершин, Г — количество граней, Р — количество ребер.
Правильность теоремы можно проверить по нашей таблице.
Некоторыми сведениями о многогранниках обладали еще древние
египтяне. Древнегреческий математик Прокл (V в.) приписывал построение пяти правильных многогранников Пифагору, однако, как было
установлено позже, Пифагор мог знать самое большее — это гексаэдр
(куб), тетраэдр и додекаэдр, в то время как октаэдр и икосаэдр были
открыты лишь Теэтетом Афинским в IV в. до н. э.
Пифагорейцы, которые утверждали, что «все есть число», уделяли в
своих космологических теориях особенно важное место правильным
многогранникам, неоценимое превосходство которых над всеми другими телами они усмотрели в том, что их только пять, причем каждый из
158
них имеет свое индивидуальное специфическое число граней, вершин и
ребер. В античной философии первоосновой бытия считались четыре
элемента (стихии) природы: земля, вода, воздух и огонь. Древнегреческий философ-идеалист Платон, ничего не добавивший к математической теории многогранников, придавал атомам этих «стихий» форму
правильных многогранников, а именно: атому огня — форму тетраэдра,
земли — гексаэдра, воздуха — октаэдра, воды — икосаэдра. Всей вселенной присваивалась форма додекаэдра. Испанский живописец Сальвадор Дали использовал этот символ в своей картине «Тайная вечеря»,
на которой Христос и его ученики изображены сидящими на фоне
огромного прозрачного додекаэдра (демонстрация копии картины, рис.
19).
Рис. 19. Сальвадор Дали «Тайная вечеря»
Гранями додекаэдра являются правильные пятиугольники. Если стороны правильного пятиугольника продолжить до взаимного пересечения, то получится правильный звездчатый пятиугольник. Эта фигура,
называемая также пентаграммой, была эмблемой школы Пифагора.
Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых
духов. Эти правильные многогранники также называли «Платоновыми
телами».
Развитию математики того периода (IVв. до н. э.) способствовали
существующие в то время философские и особенно естественнонаучные
школы. Как раз одну из таких школ возглавлял Платон (427—347 гг. до
н. э.). Он являлся основателем школы, названной «Академией» по имени местности вблизи Афин, где он постоянно собирался со своими уче159
никами (демонстрация копии картины «Школа Платона», рис. 20). Сам
Платон не был математиком, но он придавал исключительно большое
значение математике. При входе в основанную им Академию была
надпись следующего содержания: «Пусть сюда не входит тот, кто не
знает геометрии». Одному из желающих поступить в его школу для
изучения философии без знаний геометрии Платон сказал: «Уйди
прочь!
У тебя нет орудия для изучения философии».
Рис. 20. Рафаэль «Школа Платона»
Платон ценил математику как науку, необходимую для успешных
занятий философией, которую Платон считал привилегией аристократии, но не простого народа.
Умер Платон в 348 или 347 г., вероятно, в своем загородном доме, по
соседству с Академией. О его домашней жизни ничего не известно. Существует лишь версия, что при его рождении ему дали имя Аристокл в
честь деда, а Платон — это прозвище, означающее «широкий», которое
он получил за широкую сильную грудь. Подтверждение тому служат
сведения о том, что Платон принимал участие в Истлийских и Пифийских играх и награждался лавровыми венками. Без крепкого телосложения спортивные успехи были бы невозможными.
Вторая экспозиция «Полуправильные многогранники»
У правильных многогранников все грани правильные и равные многоугольники и все многогранные углы равны. Если нарушить первое
условие, т. е. взять правильные многоугольники, но разных типов, а
160
второе условие оставить без изменения, то получим равноугольно полуправильные многогранники, или тела Архимеда. Архимеду принадлежит открытие тринадцати так называемых полуправильных многогранников («архимедовых тел»).
Судьба Архимеда интересна. Архимед жил с 287 по 212 гг. до н. э.
Архимед — величайший ум древности, современен до мозга костей. Из
всех античных мыслителей только Архимед обычно думал с такой полной свободой, какую позволяют себе математики теперь, получая в готовом виде все, что было приобретено в течение 25 столетий. Только он
был достаточно велик и силен, чтобы смело перешагнуть через все препятствия, воздвигнутые на пути математического прогресса напуганными геометрами, которые слушались философов.
Как вам известно, Архимед добился многого и в физике, сделав свое
знаменитое открытие о том, что тело, погруженное в жидкость, теряет в
весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Он выскочил из
ванной, в которой наблюдал за собственным погруженным в воду телом
пришел к открытию и побежал по улицам совершенно голым, крича
«Эврика, эврика!» (нашел, нашел!). То, что он нашел, стало первым законом гидростатики.
Жизнь Архимеда была спокойной, какой и должна быть жизнь математика, если он хочет полностью проявить все, что в нем есть. Драматические события его жизни сконцентрировались в самом ее конце.
В 212 г. до н. э. разгорелась вторая Пуническая война. Рим и Карфаген
схватились не на жизнь, а на смерть. Сиракузы, родной город Архимеда,
лежал на пути римского флота. Он был осажден.
Архимед, презиравший, казалось, прикладную математику, тем не
менее показал, что математика может в случае необходимости практически использоваться для разрушений. Архимед применил открытые им
законы рычага и блока для защиты своего города. Град каменных ядер,
каждое из которых весило около четверти тонны, извергся из катапульт
Архимеда. Орудия Архимеда причинили огромные разрушения врагу,
но это не спасло город. Первым знаком того, что город пал, была для
Архимеда тень римского солдата, упавшая на его чертеж, сделанный им
на пыльной земле. По одной версии солдат наступил на чертеж и, рассердившись, Архимед воскликнул: «Не тронь мои окружности!» Солдат
был разъярен, выхватил свой меч и убил безоружного семидесятилетнего ветерана геометрии. Так погиб Архимед. Однако имя его осталось в
названиях законов и полуправильных многогранников, которые мы с
вами рассмотрим.
Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, воз161
можно, и с разным числом сторон, причем в каждой вершине сходится
одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке.
Рис. 21
Рис. 22
Рис. 23
Рис. 24
162
Рис. 25
Рис. 26
Число граней этих тел содержится между 8 и 82. Каждое из этих тел
может быть вписано в сферу, простейшие получаются из правильных
отсечением углов. Рассмотрим те из них, которые имеют очень интересные конфигурации и названия (демонстрация моделей или показ рисунков):

скошенный ромбокубоикосаэдр (рис. 21);

плосконосый куб (рис. 22);

слабо усеченный додекаэдр (рис. 23);

усеченный икосододекаэдр (рис. 24);

сильно усеченный куб (рис. 25);

ромбоикосододекаэдр (рис. 26);

ромбододекаэдр ( рис. 27).
Третья экспозиция «Звездчатые многогранники»
В настоящее время известен 51 полуправильный звездчатый многогранник, но не доказано, исчерпывается ли все множество таких многогранников.
Рассмотрим некоторые из них (демонстрация рисунков и моделей):

пять кубов в додекаэдре (рис. 28);

малый звездчатый додекаэдр (рис. 29);

большой звездчатый икосоэдрический додекаэдр (рис. 30);

большой звездчатый додекаэдр (рис. 31);

большой звездчатый икосаэдр (рис. 32).
При изготовлении моделей и рисунков использовано учебнометодическое пособие М. И. Каченовского «Математический практикум
по моделированию».
163
Рис. 27
Рис. 28
Рис. 29
Рис. 30
Рис. 31
Рис. 32
Экспозиция нашего музея пополняется моделями, сделанными студентами, а модели, которые приведены на иллюстрациях, можно также
изготовить, пользуясь различными пособиями по технике оригами и
моделированию. Оригами — это способ создания поделок из бумаги.
Зародился более 1000 лет назад, в Японии. (Демонстрация моделей,
сделанных в технике оригами.)
164
А теперь проверим, каковы результаты нашей экскурсии. Ответим на
вопросы:
1. Является ли правильная пирамида правильным многогранником?
(Нет)
2. Существует ли пирамида (призма), являющаяся правильным многогранником? (Только правильный тетраэдр и куб)
3. Шестигранником является объединение двух правильных тетраэдров, имеющих общее основание. Является ли он правильным многогранником? (Нет)
4. Из каких двух пирамид можно составить правильный октаэдр?
Как относятся высота и сторона основания такой пирамиды? (Из двух
правильных четырехугольных пирамид, все ребра которых равны;
2 :2)
5. Ученик рассуждает: «Каждая призма — многогранник, каждая
правильная призма — правильный многогранник». Прав ли он? (Нет)
В конце урока формулируется домашнее задание, так как тема «Правильные многогранники» входит в программу школьного курса геометрии 11 класса, требующую усвоения обязательного минимума. В оставшееся время можно обменяться мнениями, ответить на вопросы учеников. Урок-экскурсия рассчитан на 2 академических часа.
Предполагается, что в качестве экскурсовода выступает учитель, но
рассказать о жизни Платона и Архимеда могут сами учащиеся.
Математический «Брейн-ринг»
Цели: способствовать развитию у учащихся умений и навыков решения задач нестандартного вида; воспитывать посредством игровых
форм любовь к математике, культуру поведения, чувство коллективизма
и уважения к товарищам; развивать устойчивость внимания, зрительную и слуховую память.
Оборудование: плакат с названием игры, карточки с заданиями для
команд, дипломы для победителей игры.
В игре участвуют две команды по 6 человек в каждой. Каждая команда выбирает капитана, название и готовит приветствие.
Приветствие команд:
Команда «Интегралочки».
Девиз: Давайте восстановим хорошее настроение.
Песня: 1. Трудно было человеку
10 тысяч лет назад.
Не ходил совсем он в школу —
Нам ученые говорят.
Математику не знал он —
И, конечно, вот беда!
165
Не умел он сосчитать,
Сколько будет дважды два!
Припев: Дважды два четыре, (2 раза)
А не 6, а не 7.
Это ясно всем!
Дважды два четыре, (2 раза)
А не 6, а не 5.
Это надо знать!
2. Цифры — в тетради,
Ну а ветер — в голове.
Все, что мы знаем
Он разносит по земле.
Формулы, функции
Летят под небеса.
Вот калькулятор –
Это просто чудеса.
Припев тот же.
3. А теперь на белом свете
Все подсчитано у нас:
Сколько светит звезд на небе,
Сколько будет через час.
Мы считаем в магазине,
Мы считаем в казино,
Мы считаем и в лицее,
Что в задаче нам дано.
Припев тот же.
Команда «Гении»:
Наша команда носит название «Гении».
Наш девиз: «Все гениальное просто».
Наша команда, безусловно, гениальна,
Наша победа сегодня реальна.
Пускай мы филологи — это неважно.
С вами мы будем сражаться отважно.
Ведущий представляет жюри и объясняет правила игры:
 все задания оцениваются по одному баллу;
 игра идет до 9 очков;
 на обдумывание каждого вопроса дается 2 минуты, отсчет времени начинают после сигнала;
 если команда знает ответ, то поднимает сигнальную карточку;
 в процессе игры болельщики могут заработать дополнительные
очки, при правильном ответе на вопрос ведущего;
166
 если обе команды не отвечают на вопрос, то следующая задача
оценивается в 2 балла.
Задания командам
Первая задача: Фигуру лунного серпа требуется разделить на 6 частей, проведя только две прямые. Как это сделать?
Вторая задача: Если разделить кубометр на кубические миллиметры и поставить их один на другой, то какой высоты получится столб?
Ответ: 1000 км.
Игра со зрителями: Из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Через час из пункта В в пункт А вышел скорый поезд со
скоростью 100 км/ч. Через какое время они встретились? Какой из поездов будет ближе к пункту В в момент встречи, если расстояние между
пунктами 300 км?
Ответ: одинаково.
Третья задача: В 1917 году в Москве действующих храмов было в
1,91 раза больше, чем в XVI веке. В конце XVII века храмов, в которых
проходили службы, было на 179 больше, чем в 1917 году. Сколько действующих храмов было в Москве в каждый из указанных периодов, если известно, что в конце XVII века их было на 543 больше, чем в XVI
веке?
Ответ: В 1917 — 764, 16 в. — 400, 17 в. — 943.
Четвертая задача: Три лягушки находятся на дне колодца глубиной
30 м. За день они поднимаются на 13 м каждая, а потом опускаются:
первая — на 12 м, вторая — на 16 м, третья — на 17 м и остаются на
своих местах до следующего дня. На следующий день каждая лягушка
проделывает такой же путь и т. д. Через сколько дней лягушки вылезут
из колодца?
Ответ: 3; 7; 13 дней.
Конкурс капитанов: капитанам предлагается ответить на вопросы, за
каждый правильный ответ команда получает 1 балл.
1. Полтора судака стоят полторы копейки. Сколько стоят 10 таких
судаков? (10 копеек)
2. У 1 палки 2 конца, у двух — 4 конца. Сколько концов у пяти с
половиной палок? (12)
3. Сколько нулей в триллионе? (12)
4. Сколько будет 4099+1? (4100)
5. Сколько пальцев на десяти руках? (50)
6. Сколько требуется цифр, чтобы пронумеровать книгу в 40 страниц? (10: от 0 до 9)
7. Полторы трети километра — это сколько? (1/2 км)
8. Два одинаковых мяча стоят 50 копеек. Сколько стоят пять таких
мячей? (1 руб. 25 коп.)
167
9. У линейки 4 угла. Если один из углов срезать, то сколько углов
останется? (Пять, частный случай — три)
Шестое задание: Необходимо равнобедренный треугольник превратить в квадрат, сделав один разрез ножницами по прямой.
Седьмое задание: В течение двух минут участники команд должны
назвать как можно больше литературных произведений, в названии которых есть какое-то число. Выигрывает команда назвавшая большее
количество произведений.
Восьмое задание: В нем проверяется умение проводить арифметические действия.
Как можно написать число 100:
а) пятью единицами;
б) пятью тройками;
в) пятью пятерками,
используя четыре арифметических действия и скобки.
Ответ: а) 111 – 11 = 100; б) 33 · 3 + 3 : 3 = 100; в) 5 · 5 · 5 – 5 · 5 = 100.
Подведение итогов. Награждение победителей.
«Счастливый случай»
Цели: уметь применять стандартные знания в нестандартных ситуациях для решения математических задач; развивать умение правильно говорить, аргументировать, логическое и абстрактное мышление,
память, воображение; воспитывать дисциплинированность, сообразительность, ответственность, интерес к математике, культуру общения.
Оборудование: секундомер, магнитофон, бочонки с цифрами,
тексты заданий, табло.
Здравствуйте. Мы рады приветствовать вас на математической игре
«Счастливый случай». В нашей игре принимают участие две команды:
10 класс — «Кубики» и 11 класс — «Ромбики».
Ну что же мы наделали?
Жюри мы не представили!
Уже не благосклонно
Глядит оно на нас.
Ошибку исправляем,
И вас мы представляем.
Ведущие представляют жюри.
Ну что же, команды готовы,
Пора поединок нам начинать.
Пусть каждый готовит смекалку и юмор,
И курс на победу держать!
168
I гейм Разминка «Отгадай кроссворд»
Каждой команде предлагается отгадать кроссворд в течение 2-х минут. По истечении этого времени капитаны команд на плакатах вписывают ответы в кроссворд после того, как ведущий зачитает вопрос. За
каждый правильный ответ команда получает 1 очко.
Кроссворд команды «Кубики» (рис. 33):
По горизонтали:
2. Название а в равенстве а/в = с.
5. Фамилия ученого, в честь которого названа следующая теорема:
«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
7. Утверждение, принимаемое без доказательства.
8. Прямоугольник, у которого все стороны равны.
10. Знак, используемый в записи тождества.
12. Равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
15. Название второй координаты точки.
По вертикали:
1. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно
параллельны.
3. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
4. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем
рассуждений.
6. Хорда, проходящая через центр окружности.
9. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны.
11. Действие, обозначаемое знаком «–».
13. Два угла, у которых стороны одного являются продолжениями другого.
14. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Кроссворд команды «Ромбики» (рис. 34):
По вертикали:
1. 13 = 6  2 + 1. Как называется число 1?
2. Отрезок, соединяющий две точки окружности.
4. Результат вычитания.
5. Как называется выражение в2 – 4ас?
7. Фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и
трех последовательно соединяющих их отрезков.
8. Первая координата точки.
12. Утверждение, которое принимается без доказательства.
169
Рис. 33
По горизонтали:
3. Название а в равенстве а + в = с.
170
4. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой
окружности.
6. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого
угла.
9. Параллелограмм, у которого все стороны равны.
10. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на
одной прямой.
11. Результат сложения.
13. Теорема: «Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки».
Ответы команды «Ромбики»:
По горизонтали:
По вертикали:
3. Слагаемое.
1. Остаток.
4. Радиус.
2. Хорда.
6. Гипотенуза.
4. Разность.
9. Ромб.
5. Дискриминант.
10. Смежные.
7. Треугольник.
11. Сумма.
8. Абсцисса.
12. Фалес.
13. Аксиома.
Ответы команды «Кубики»:
По горизонтали:
По вертикали:
2. Делимое.
1. Параллелограмм
5. Пифагор.
3. Медиана.
7. Аксиома.
4. Теорема.
8. Квадрат.
6. Диаметр.
10. Равенство.
9. Трапеция.
12. Уравнение.
11. Вычитание.
14. Высота.
13. Вертикальные.
15. Ордината.
II гейм «Заморочки из бочки»
Команды по очереди достают из мешка бочонки с номером вопроса.
Ведущий зачитывает вопрос, и по истечении 30 с команда должна дать
вариант ответа. За каждый правильный ответ команда получает 1 очко.
Начинает отстающая команда.
1. Бегут по ступеням эскалатора метро два человека. Один бежит
быстрее другого. Кто из бегущих насчитает больше ступеней? (Больше
насчитает тот, кто бежит быстрее)
171
2. Мотоциклист ехал в поселок. По дороге он встретил 3 легковые
машины и грузовик. Сколько всего машин ехало в поселок? (Нисколько)
3. Кто из русских писателей занимался составлением арифметических задач? (Л. Н. Толстой)
4. Кто сказал: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»? (М. В. Ломоносов)
5. У Мальчика-с-пальчика было 6 братьев. Автор сказки почему-то
не пожелал нам сообщить, что в действительности в этой семье у каждого из братьев было по 7 сестер. Сколько всего братьев и сестер в этой
семье? (14)
6. Из книги выпала ее часть. Первая страница части имеет номер
387, а номер последней страницы состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Какой был номер последней страницы? (738)
7. Не можете ли сообщить нам, когда начинается ХХI век? (1 января
2001 года)
172
Рис. 34
6. Ребята пилили бревно на метровые куски. Отпиливание одного
куска занимает 1 минуту. За сколько минут они распилят бревно длиной
5 метров? (4 минуты)
7. Как в старину называли расстояние между концами расставленных большого и указательного пальцев (Пядь).
8. Счастливый случай + 1 очко.
III гейм «Ты мне — я тебе»
Вопросы команды «Ромбики»:
1. Как, имея два сосуда емкостью 3 л и 5 л, набрать из водоема ровно 4 л воды?
Ответ: из 5-литрового сосуда переливаем воду в 3-литровый сосуд,
в 5-литровом останется 2 л, 2 л переливаем в 3-литровый сосуд, и из
5-литрового сосуда переливаем в 3-литровый сосуд 1 л. В пятилитровом
сосуде останется 4 л.
2. Мужчина зашел на мельницу, там было 4 стены, у каждой стены
сидели по 4 кошки, а у каждой кошки по 4 котенка. Сколько ног на
мельнице?
Ответ: две.
3. Половина от половины числа равна половине. Какое это число?
Ответ: 2.
4. Когда произведение двух чисел равно их частному?
Ответ: когда один из множителей и делитель равны соответственно
1 или –1.
Вопросы команды «Кубики»:
1. Сумма каких двух натуральных чисел равна их произведению?
Ответ: 2 + 2 = 2 · 2.
2. Сколько получится острых углов, если внутри данного острого угла из его вершины провести 3 луча?
Ответ: 10 углов.
3. В классе 36 учащихся. Мальчиков из них на 3 больше, чем девочек. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
Ответ: задача не имеет решения.
4. В семье 5 сыновей и у каждого есть сестра. Сколько детей в этой
семье?
Ответ: 6.
IV гейм «Темная лошадка»
Командам предлагается отгадать человека, который является «темной лошадкой». «Темная лошадка» задает вопросы командам и та команда, которая первая даст правильный ответ, получает 1 очко. Если
ответ не верен, то у команды соперников есть шанс дать свой вариант
173
ответа. Если команды не ответят правильно на предложенный вопрос,
то на него могут ответить болельщики команд.
Вопросы:
1. Какой известный русский писатель окончил физикоматематический факультет университета? (Грибоедов)
2. Кто первый построил математическую теорию музыки? (Пифагор)
3. Какая геометрическая теорема в старину называлась «бегством
несчастной»? (Теорема о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника)
4. Какая геометрическая теорема в старину называлась «теоремой
невест»? (Теорема Пифагора)
5. Нас трое в треугольнике любом.
Предпочитая золотые середины,
Мы центр тяжести встречаем на пути,
Ведущим прямо из вершины. (Медианы)
6. Что на математическом языке означает данное предложение: «Это
я знаю и помну прекрасно». (Число  )
V гейм «Гонка за лидером»
Каждая команда в течение 1 минуты отвечает на вопросы ведущего.
За каждый правильный ответ — 1 очко. Начинает отстающая команда.
Если команда не знает ответ на вопрос, она говорит: «Дальше».
Вопросы команде «Ромбики»:
1. Чему равен sin 2 ? ( 2 sin cos )
1

2. Чему равен cos ? ( )
3
2
3. Сколько цифр в четырехзначном числе? (4)
4. 144 . (12)
5. Результат вычитания из одного числа другого? (Разность)
6. Первая женщина-математик в России. (С. Ковалевская)
7. Как называется зависимость переменной Y от переменной Х, при
которой каждому значению Х соответствует единственное значение
переменной Y? (Функция)
8. 2 + 2 · 2 = . (6)
9. Фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от
данной точки. (Окружность)
10. Математическое утверждение, истинность которого нужно доказать? (Теорема)
11. Прямоугольник, у которого все стороны равны? (Квадрат)
12. Бывают внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние? (Углы)
174
13. Чертежная принадлежность, с помощью которой проводят прямую линию? (Линейка)
14. Фигура, состоящая из точек и соединяющих их отрезков? (Ломаная)
15. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго,
равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом? (Арифметическая прогрессия)
16. Сотая часть любой величины? (Процент)
17. Чему равна разность квадратов двух чисел? (Произведению суммы этих чисел на их разность)
18. Автор учебника «Геометрия 10—11»? (Погорелов или Атанасян).
3 2
а ).
4
20. У равнобедренного треугольника равны две…? (Стороны)
Вопросы команды «Кубики»:
1. Сформулируйте основное тригонометрическое тождество.
(sin2x + cos2x = 1)
19. Формула площади правильного треугольника ( S 
2. Чему равен sin

3
?(
)
3
2
3. Бывают перпендикулярные и параллельные. (Прямые)
4. Сколько цифр в трехзначном числе? (3)
5. Французский ученый, который создал прямоугольную систему
координат? (Декарт)
6. 23 . (8).
7. По какой формуле вычисляется дискриминант квадратного уравнения? (D = b2 – 4ac)
8. Параллелограмм, у которого все стороны равны? (Ромб)
9. Результат деления двух чисел? (Частное)
10. Фигура с прямыми углами и равными сторонами. (Квадрат)
11. Сколько будет 8 + 5 – 4. (9)
12. Сколько составляет 1 % от числа 100? (1)
13. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.
(Равны)
14. Инструмент, с помощью которого измеряется градусная мера угла. (Транспортир)
15. Имя ученого, который доказал, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов? (Пифагор)
16. Чему равна сумма углов треугольника? (1800)
17. Чему равен arccos
2

?( )
4
2
175
18. Чему равен квадрат суммы двух чисел? (Сумме квадрата первого
числа, удвоенного произведения первого и второго и квадрата второго
числа)
19. Как называется изложение требования, когда по данным условиям находятся неизвестные? (Задача)
20. Чему равна площадь прямоугольника? (Произведению его длины
и ширины)
Жюри подводит итоги, называется победитель, проводится награждение.
Звучит фонограмма со словами:
Еще солнышко светит,
Еще за окнами светло,
Вопросов больше нет, друзья, у нас.
Мы расстаемся, но потом
Мы снова в гости к вам придем
В урочный этот час.
И кому-то повезет,
А кому-то нет,
И не нравится вопрос,
И не сходится ответ,
Но все же
В урочный день,
В урочный час
Мы снова рады видеть вас.
До встречи, друзья!
Интеллект-шоу «Черный ящик»
Цели: развитие познавательного интереса к математике, познакомить
с историей возникновения предметов, предложенных для отгадывания в
игре, научить школьников мыслить логически, быстро думать, принимать правильные решения, вызвать желание расширять свой кругозор.
Оборудование: карточки с вопросами-подсказками, черный ящик,
шахматы, кубик-рубик, циркуль, календарь, часы.
Ведущий: Здравствуйте, дорогие гости! Мы рады приветствовать вас
в интеллект-шоу «Черный ящик», которое будет проходить в виде игры.
В ней принимают участие две команды: «Синокосницы» и «Векторы».
Условия нашей игры следующие: в черном ящике находится предмет,
связанный с математикой (это может быть также математический термин или фамилия ученого-математика). Я буду задавать участникам
игры девять наводящих вопросов-подсказок относительно того, что
находится в ящике. Цена подсказки за каждый вопрос постепенно пада176
ет на 10 очков: первый вопрос — 80 очков, второй — 70 и т. д. до 0 очков за последний вопрос. В конце игры подсчитываются очки. Выигрывает команда, набравшая наибольшее число очков.
Право первого хода будет разыграно между капитанами команд.
Я буду читать вам стихотворение, а вы должны догадаться, о чем в нем
идет речь. Право первого хода получит та команда, чей капитан догадается первым.
Вопрос: Когда-то многие считали,
Что он не значит ничего.
И, как ни странно, полагали,
Что он совсем не есть число.
Но на оси средь прочих чисел
Он все же место получил
И все действительные числа
На два разряда поделил.
Хоть ни в один из них не входит,
Он сам составил чисел класс,
Все ж об его особых свойствах
Мы поведем свой нынче сказ.
Коль его к числу прибавишь
Иль отнимешь ты его,
В ответе тотчас получаешь
Опять то самое число.
Попав, как множитель, средь чисел,
Он мигом сводит все на нет,
И потому в произведеньи
Один за всех несет ответ.
А относительно деленья
Нам твердо помнить нужно то,
Что уж давно в научном мире
Делить на него запрещено.
Ответ: нуль.
Ведущий: Начинаем игру с командами.
Вопрос 1: 1. Существует легенда о греческом изобретателе Дедале
(мастер, сделавший крылья Икару) и его племяннике, очень талантливом юноше, который придумал гончарный круг, первую в мире пилу и
177
то, что лежит в этом ящике. За это он поплатился своей жизнью, так как
завистливый дядя столкнул его с высокого городского вала. (80 очков)
2. Самый древний этот предмет пролежал в земле 2000 лет. (70 очков)
3. Под пеплом Помпеи археологи обнаружили много таких предметов, изготовленных из бронзы. В нашей стране впервые это было обнаружено при раскопках в Нижнем Новгороде. (60 очков)
4. За многие сотни лет конструкция этого предмета практически не
изменилась, настолько была совершенна. (50 очков)
5. В Древней Греции умение пользоваться этим инструментом считалось верхом совершенства, а умение решать задачи с его помощью —
признаком положения в обществе и большого ума. (40 очков)
6. Этот предмет незаменим в архитектуре и строительстве. (30 очков)
7. Известный писатель Ю. Олеша, автор «Три толстяка», писал:
«В бархатном ложе лежит, плотно сжав ноги, холодный и сверкающий.
У него тяжелая голова. Я намереваюсь поднять его, он неожиданно раскрывается и производит укол в руку». (20 очков)
8. Необходим, для перенесения размеров, с одного чертежа на другой и для построения равных углов. (10 очков)
9. Загадка: Сговорились две ноги
Делать дуги и круги.
Ответ: циркуль.
Вопрос 2: 1. Мало чему в математике, в естественных науках, в инженерном деле и в повседневной жизни уделяется внимания, сколько
ему. (80 очков)
2. Оно появляется в формулах, используемых во многих сферах,
например, в таких, как физика, электротехника, теория вероятности,
строительство и навигация. (70 очков)
3. Некоторые считают его одним из пяти важнейших чисел в математике. (60 очков)
4. Греческой буквой его впервые обозначил в 1706 году английский
математик Уильям Джонс, а после того, как в 1737 году это обозначение
позаимствовал швейцарский математик Леонард Эйлер, оно стало общепринятым. (50 очков)
5. Его можно зашифровать словами: «Это я знаю и помню прекрасно…» (40 очков)
6. Многие математики пытались найти его точное значение, но не
смогли. (30 очков)
7. Оно иррационально. (20 очков)
8. Оно выражает отношение длины окружности к ее диаметру. (120
очков)
178
9. Для многих практических целей вполне достаточно использовать
6 знаков этого числа 3, 14159. (0 очков)
Ответ: число  .
Вопрос 3: 1. Год рождения игры — 1974. (80 очков)
2. Изобретатель-архитектор, преподаватель вуза. (70 очков)
3. Если играть без системы, то для достижения целей потребуются
миллионы лет. (60 очков)
4. Используя определенную систему, можно достичь цели за 23 секунды. (50 очков)
5. Эта игра — наглядное пособие по алгебре, комбинаторике, программированию. (40 очков)
6. Игру называют «игрой столетия». Она полезный спутник в дальней дороге. (30 очков)
7. Внешний вид — правильный многогранник. (20 очков)
8. Состоит из 27 разноцветных одинаковых кубиков шести цветов.
(10 очков)
9. Игра носит имя автора. (0 очков)
Жюри подводит предварительные итоги игры. Ведущий знакомит
участников игры со сведениями из истории:
преподаватель архитектуры Эрне Рубик придумал эту игру для развития пространственного воображения студентов. Он читал лекции в
венгерской академии искусства по теме внутреннего дизайна. Однажды
он решил создать головоломку — трехмерный объект, но все составляющие были соединены воедино вместе. Как-то в жару Эрне присел на
набережной Дуная. Прямо напротив его на реке стояли бакены. Волны
захлестывали их, но бакены все равно всплывали, переворачивались и
принимали исходное положение. Именно тогда им был придуман внутренний механизм куба, который он сделал цилиндрическим. В 1982 году проводили чемпионат мира по собиранию кубика Рубика. Лучшее
время скоростной сборки кубика 22,95 с. Теоретически собрать кубик из
любого положения можно не более чем за 23 хода. Изобретатель этой
игры прославился на весь мир.
Вопрос 4: 1. Этот термин впервые встречается в 1505 году в заглавии
книги немецкого теолога и математика Питискуса. (80 очков)
2. Хотя термин возник сравнительно недавно, многие относимые
сейчас к этой науке понятия и факты были известны уже 2000 лет назад.
(70 очков)
3. Аналогичное название имеет ряд функций. (60 очков)
4. Длительное время эта наука развивалась как часть геометрии. (50
очков)
179
5. Эта наука возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии. (40 очков)
6.Современный вид этой науке придал швейцарский математик Эйлер. (30 очков)
7. Наука об измерении треугольников. (20 очков)
8. Происхождение этого слова греческое:  — треугольник,
 — мера. (10 очков)
10. Такими функциями являются: sin x, cos x. (10 очков)
Ответ: тригонометрия.
Вопрос 5: 1. Историк ХХ века Роуз сказал: «Это задушевная беседа
без слов, лихорадочность, триумф и трагедия, надежда и отчаяние,
жизнь и смерть, поэзия и наука, Древний Восток и современная Европа»
(80 очков)
2. Источник множества интересных математических задач. (70 очков)
3. Когда в каждой семье можно будет найти эту игру, появится
надежда на то, что со временем исчезнет скудость истинных государственных умов. (60 очков)
4. Родина — Индия. Возраст — 15 столетий. Имя изобретателя неизвестно. Древнее старинное название — чатуранга. (50 очков)
5. Уроженец Праги по имени Стейниц первым прославил свое имя в
связи с этой игрой. (40 очков)
6. Это постоянный спор «двух К». (30 очков)
7. Это дворцовая жизнь в миниатюре. (20 очков)
8. Эта игра связана с населенным пунктом. (10 очков)
9. На квадратиках доски
Короли свели полки.
Нет для боя у полков
Ни патронов, ни штыков. (0 очков)
Ответ: шахматы.
Ведущий: Прослушайте интересные факты из истории:
16 декабря 1776 года произошло крупное сражение при Тристоне
между британской армией во главе с генералом Ролем и восставшими
североамериканских колоний. Генерал Роль забыл прочесть донесение
от своих разведчиков, так как был занят игрой, и битва была проиграна.
Он играл в шахматы!
Также многие известные люди любили играть в шахматы. Это Лев
Толстой, Илья Репин, Тургенев. Менделеев, куда бы ни шел, или ни
ехал, всегда брал с собой шахматы.
Шахматы — это символ мудрости и справедливости. Все до сих пор
спорят, что такое шахматы — искусство, спорт или игра? Для кого-то
это труд, для кого-то – отдых. Однако, очевидно, что для игры в шахма180
ты нужны воля, хорошая память, логическое мышление, математические способности и, несомненно, талант.
Вопрос 6: 1. Древнейшее изобретение человечества. Его придумали
римляне, правда, «размеры» данного изобретения были «несколько короче», нежели сейчас. (80 очков)
2. То, что лежит в этом ящике, много раз на протяжении тысячелетий претерпевало изменения. Но лишь в двух случаях человечество
приняло это во внимание и запомнило. (70 очков)
3. Даты этих изменений известны: в первый раз — 46 г. до н. э.; во
второй раз — в 1582 году. (60 очков)
4. Эти даты связаны с именами великих людей: великого императора
и Папы Римского. (50 очков)
5. Это изобретение связано с системой счета больших промежутков
времени, основанной на периодичности видимых движений небесных
тел. (40 очков)
6. Изобретение это строго дискретно. В переводе с латинского языка —
это «долговая книга». (30 очков)
7. Имена тех, с кем связывают данное изобретение, Юлий Цезарь и
Папа Римский Григорий XIII. (20 очков)
8. Загадка: Худеет с каждым днем толстяк
И не поправится никак. (10 очков)
9. Загадка: Что ни день, по одежке
Отдает нам сережки,
А с последней расстался —
Сам куда-то девался. (0 очков)
Ответ: календарь.
Ведущий: Речь идет о календаре. Его изобрели давным-давно астрономы, наблюдая за движением Солнца и Луны. В древности год длился
10 месяцев, он был короче, начинался с марта, что приводило к всевозможным несоответствиям и путаницам. Юлий Цезарь (в его честь
назван месяц июль) в 45 г. до н. э. и в 1522 году Папа Римский Григорий
XIII начинали новое тысячелетие. Юлий Цезарь воспользовался советом
египетского астронома Созигена, а Папа Римский — советом итальянского врача и астронома Лилио. Существуют юлианский календарь и
григорианский. В России до революции был юлианский календарь, с
14.02.1918 года — григорианский. Счет времени по старому и новому
стилю отличается на 13 суток.
Петр I своим указом повелел 1 января 1700 года в Москве все дома
украсить елкой и поздравлять друг друга с Новым годом и столетием.
Вопрос 7: 1. Этим ученым были заложены основы новой теории открытых им аналитических множеств, или А-множеств, им была постав181
лена одна из знаменитых математических проблем ХХ века, носящая
теперь его имя. (80 очков)
2. Будучи «зеленым» студентом, сумел обнаружить ошибку в рассуждениях маститого, всемирно признанного ученого. (70 очков)
3. Сумел построить множество, которое впоследствии стало носить
его имя. (60 очков)
4. Им при жизни, когда он был еще студентом, была опубликована
единственная научная работа. К сожалению, судьба многих его рукописей до сих пор неизвестна. (50 очков)
5. Его фамилию носят многие математические термины, рассматриваемые в алгебре: множества, критерии, свойства, числа, коэффициент и
т. д. (40 очков)
6. Окончив гимназию с золотой медалью, летом 1913 года стал студентом Императорского Московского университета физико-математического факультета. (30 очков)
7. Он прожил короткую жизнь, не дожив до 25 лет. (20 очков)
8. 19. 11. 1991 года состоялось открытие памятной доски на здании
физико-математического факультета БГПИ. (10 очков)
9. Наш земляк, родившийся 15 ноября 1894 года в селе Красавка Балашовского уезда Саратовской губернии. (0 очков)
Ответ: М. Я. Суслин.
Вопрос 8: 1. Крупнейший математик XVIII столетия. (80 очков)
2. Родился в 1707 году в Швейцарии. (70 очков)
3. Сделал открытия в математическом анализе, геометрии, теории
чисел и других приложениях математики. (60 очков)
4. Написал свыше 800 работ, доказал многие, ставшие классическими теоремы. (50 очков)
5. Придал современный вид тригонометрии. (40 очков)
6. Первым ввел известные определения тригонометрических функций. (30 очков)
7. Ввел принятые сейчас обозначения для функций. (20 очков)
8. Долгие годы жил и работал в России. (10 очков)
9. Был членом Петербургской Академии наук. (0 очков)
Ответ: Леонард Эйлер.
Вопрос 9: 1. История их изобретения насчитывает тысячи лет. Вряд
ли кто-то возьмет на себя смелость назвать имя изобретателя. В древности их называли клепсидрами. (80 очков)
2. Почти у каждого из вас есть эта замечательная вещь. (70 очков)
3. Эта вещь на протяжении веков постоянно совершенствовалась и
претерпевала изменения, уменьшаясь в своих размерах. В разное время
182
в это внесли свою лепту Галилео Галилей, Папа Римский и инженер
Кулибин. (60 очков)
4. В начале ХХ века поставщиком двора его величества этой важной
вещи был владелец знаменитой фамилии. Спустя годы его внук, знаменитый спортсмен, играющий в НХЛ, занялся наследственным бизнесом.
(50 очков)
5. Эта вещь не имеет единственного числа. (40 очков)
6. Частично об этом поется в песне:
Призрачно все в этом мире бушующем,
Есть только миг, за него и держись,
Есть только миг между прошлым и будущим,
Именно он называется жизнь. (30 очков)
7. В математике без этого предмета трудно обойтись, особенно при
решении задач на движение. (20 очков)
8. Этой вещи свойственны эпитеты: солнечные, водяные, механические, песочные, электронные, водонепроницаемые, противоударные. (10
очков)
9. Загадка: Весь день усами шевелят
И время узнавать велят. (0 очков)
Ответ: часы.
Ведущий: Павел Буре, знаменитый хоккеист, занялся производством
часов, и один из первых экземпляров своей продукции подарил
Б. Н. Ельцину. Именно о скоротечности времени поется в песне «Есть
только миг». Самыми первыми часами на земле были солнечные. Греческий ученый Платон изобрел первый будильник и школьный звонок
одновременно, чтобы в нужный момент можно было собрать своих учеников. Водяные часы, или клепсидры, состояли из двух сосудов. В первый сосуд наливали воду; вытекая, она вытесняла воздух из второго
сосуда; воздух по трубке устремлялся к флейте, она начинала звучать, и
дети бежали на урок, услышав звуковой сигнал.
Жюри объявляет итоги игры. Проводится награждение команд.
Примечание: идея игры и некоторые вопросы заимствованы из статьи в библиографическом списке литературы [50].
Игра «Проще простого»
Цели: развивать интерес к предмету, творческое мышление, культуру математической речи и др.; формировать умение обобщать известные математические факты, правильно использовать определения и
терминологию математических понятий.
Оборудование: карточки с вопросами, костюмы для конкурсов, плакат для конкурса «буриме».
183
Участвуют две команды. Командам представляется жюри, которое
оценивает каждый гейм викторины, объявляет результаты в баллах и
дает соответствующие рецензии.
I гейм
Ведущий: Первый гейм состоит из 8 мини-геймов, для участия в которых приглашается по одному человеку от каждой команды. Вопрос
зачитывается вслух для всей аудитории, и участвующим предлагается
письменный вариант. На обдумывание вопроса отводится 30 с, после
чего игроки должны сообщить правильный ответ и обосновать его. За
каждый правильный ответ жюри выставляет одно очко. (Верный ответ
отмечен *)
Вопросы:
1. Биллион — это…
а) 109 (*); б) 1012; в) 1015.
2. Кто из перечисленных персонажей является математиком?
а) Крылов Николай Митрофанович (*);
б) Нельсон Манделла;
в) Ян Амос Каменский.
3. Как переводится с греческого слово «конус»?
а) вышка; б) шишка (*); в) фишка.
4. Каким видом спорта увлекался Пифагор?
а) бобслей; б) дискометание; в) борьба (*).
5. Какое из деяний принадлежит древнегреческому математику Эратосфену?
а) когда римляне штурмовали, его родной город, он построил
огромные зеркала и попалил римские корабли;
б) первым измерил высоту одной из самых высоких пирамид
Египта;
в) вычислил радиус Земли (*).
6. Почему математикам не присуждают Нобелевскую премию?
а) в аттестате у Нобеля стоял «неуд»;
б) один из виднейших математиков увел у Нобеля жену (*);
в) Нобеля не приняли в шведское математическое общество.
7. Давным-давно на Востоке жил математик по фамилии…
а) Ал-Каши (*); б) Бух-Ари; в) Эль-Пьяни.
8. Что в Испании во времена Дон-Кихота означало слово «алгебраист»?
а) акушер; б) костоправ (*); в) аптекарь.
9. Как называется метод определения простых чисел?
а) решето Эратосфена (*); б) штаны Пифагора; в) сетка Архимеда.
184
10. На могиле кого из великих ученых изображен куб, вписанный в
цилиндр?
а) Герон; б) Архимед (*); в) Пифагор.
11. Что является центром вписанной в треугольник окружности?
а) точка пересечения серединных перпендикуляров;
б) точка пересечения биссектрис (*);
в) точка пересечения медиан.
12. Чему равны 20 в радианах?
а)  ; б)  (*); в)  .
180
360
90
13. Сколько равных углов в ромбе?
а) две пары (*); б) все равны; в) нисколько.
14. Где проживал известный математик Брадис?
а) в древней Греции;
б) в средневековой Европе;
в) на территории бывшего СССР (*).
15. Чему равно произведение корней уравнения х2 + рх + q = 0?
а) q (*); б) р; в) –р.
16. Чему равен ctg
а)

?
3
3
(*); б ) 3; в )  3.
3
Жюри подводит итоги первого гейма.
II гейм (командный)
Ведущие в роли математиков Архимеда и Фалеса разыгрывают ситуацию, связанную с историческими фактами из жизни этих ученых.
Командам предлагается определить, что это за ученые. За правильный
ответ — 5 баллов.
Жюри подводит итоги второго гейма.
III гейм
Каждой команде предлагается задача со спичками, на обдумывание
которой отводится 5 мин.
Задача первой команде:
VI
– IV = IX
Переложив одну спичку, составить верное равенство.
Ответ:
1) VI
+ IV = X ; 2)
V + IV = IX
185
.
Задача второй команде:
Переложив одну спичку, получить дробь
1
.
3
I
––
VII
Ответ:
II
–– ––
VI
За правильное решение команды получают 5 баллов.
Жюри подводит итоги третьего гейма.
IV гейм
Командам предлагается 10 рифм. За 10 минут нужно составить стихотворения с использованием не менее пяти рифм. В этом конкурсе могут принимать участие болельщики.
Гаусс — страус;
Пифагор — забор;
Математик — флегматик;
Директриса — биссектриса;
Доска — тоска;
Прямая — немая;
Круг — друг;
Задача — сдача;
Множество — художество;
Схема — теорема;
Отметка — соседка;
Высота — красота;
Аргумент — оппонент;
Вектор — сектор;
Школьник — треугольник.
Наивысшая оценка этого конкурса 5 баллов.
Составленные стихотворения:
Великий математик Гаусс
Нес в дневнике своем отметку.
Преподаватель, старый страус,
Который жил с его соседкой,
186
Сказал ему: «Реши задачу:
Найдешь у куба высоту,
Найдешь, получишь 5 на сдаче,
Фигур позная красоту».
И он — великий математик,
Всем неученым — оппонент,
Хоть по характеру флегматик,
Привел свой веский аргумент.
И обомлела директриса,
Как он, простой немецкий школьник,
Измерив в кубе биссектрису,
Внутри построил треугольник.
И даже мудрый Пифагор,
Что основал науки круг,
К нему перелез через забор,
Сказал: «Ну, здравствуй, милый друг!»
***
Размышление вслух
Школьник стоит,
Рядом доска,
В руках треугольник, а в глазах тоска.
Ах, как начертить этот круг?
Подскажи, милый друг.
Как вычислить сдачу?
Вот это задача!
А на доске это множество —
Сплошное художество.
Не могу построить биссектрису,
А урок ведет директриса.
Она — великий математик,
А по характеру — флегматик.
Она просит сказать аргумент.
Ах я, несчастный оппонент!
Если поставят плохую отметку,
Заниматься пойду я к соседке.
***
Черчу на доске биссектрису,
Вдруг входит в класс директриса.
И, увидев мои художества,
Поставила мне пустое множество.
И моя отметка порадовала соседку,
187
Ведь она, как Пифагор,
Знала, как строить забор.
А мой лучший друг
Был как толстый, жирный круг.
Он, как я, такой же школьник,
Также чертит треугольник.
Вновь предо мной висит доска,
И в душе моей тоска.
Нет, я вовсе не флегматик,
Я — заядлый математик.
Решаю я, как Гаусс,
Но как только страх берет,
Сразу прячу я в песок
Голову, как страус.
Минус — линия немая.
Это краткая прямая,
Вот и решена задача,
Сосчитал я в магазине сдачу!
***
Ты стоишь у доски, как стрела прямая.
Почему-то молчишь, словно ты немая.
Я никак не решу сложную задачу,
Где ребенку в магазине не отдали сдачу.
Предо мной висит доска,
А в душе — печаль-тоска.
Чем решать задачи Пифагора,
Лучше красить доски у забора.
Не дается в руки биссектриса —
Я пойду поплачусь директрисе.
Я тоскую, я, друзья, флегматик,
А она у нас ведь — математик.
Приведет весомый аргумент,
Пифагору будет оппонент.
На меня со стены смотрит строго Гаусс,
И не спрячусь я в песок, так как я не страус.
Сочинила строчек я пребольшое множество,
Получилось, к сожаленью, страшное художество.
Жюри подводит итоги четвертого гейма.
V гейм
188
Это гейм для капитанов команд. Им предлагается прослушать «объяснение в любви» и назвать как можно больше математических терминов, которые здесь содержатся.
С тех пор как на плоскость моего сердца
Спустился перпендикуляр этой любви,
Я не нахожу радиуса для описания
Окружности своих чувств.
Никакая таблица логарифмов и углов
Не может изложить корень моих чувств.
Не могу существовать без тебя,
Как пропорция без отношения.
А если в скором времени ты не решишь эту задачу,
То я взаимно уничтожусь.
За каждый правильно названный термин капитаны получают по одному баллу.
Жюри подводит итоги пятого гейма.
VI гейм «Темная лошадка»
Ведущий читает задание командам. Та команда, которая быстрее и
правильно ответит, получает одно очко.
1. «Он — ничто и нечто. Нечто существенное и значительное. В счете он не нужен, но без него не обойдется никакое исчисление. Его не
считают своим ни множество натуральных чисел, ни множество целых
отрицательных чисел. Но, утвердившись на их «стыке», он вошел во
множество всех целых чисел и во множество чисел рациональных, четных… Он «Фигаро — здесь, Фигаро — там».
Ответ: нуль.
2. Их трое в треугольнике любом.
Предпочитая золотые середины,
Мы центр тяжести встречаем на пути,
Ведущем прямо из вершины.
Мы, словно малые тараны,
И все зовут нас… (медианы).
3. В нем четыре стороны
И все стороны равны.
Чертим каждую чертой.
Каждый должен здесь быть рад,
А зовется он… (квадрат).
Жюри подводит итоги шестого гейма.
VII гейм «Гонка за лидером»
189
Каждой команде предлагаются вопросы. Задача команд заключается
в том, чтобы правильно ответить на максимальное количество вопросов
за 2 мин.; на каждый вопрос нужно дать ответ или произнести слово
«дальше», если ответа нет. В последнем случае ведущий говорит ответ и
зачитывает следующий вопрос. Начинает проигрывающая команда.
За каждый правильный ответ команда получает 1 балл.
Вопросы первой команде:
1. Есть у любого слова, у растения и, может быть, у уравнения. (Корень)
2. Другое название независимой переменной в функции. (Аргумент)
3. Половина диаметра. (Радиус)
4. Направленный отрезок. (Вектор)
5. Производная функции y = cos x. (–sin x)
6. Точка пересечения диаметров. (Центр)
7. Одно яйцо варят 4 минуты, сколько нужно варить 5 яиц? (4 минуты)
8. На какое число надо разделить 2, чтобы получилось 4? (0,5)
9. Сумма каких двух натуральных чисел равна их произведению?
(2 + 2 = 2 · 2)
10. Шел Кондрат в Ленинград, а навстречу ему 100 ребят. У всех ребят по лукошку, в каждом лукошке — кошка. Сколько человек шли в
Ленинград? (1)
11. Какие это числа: 3, 5, 7, 11? (простые, нечетные, натуральные)
12. Какие делимое и частное равны между собой? (1)
13. Что первоначально означало слово «математика»? (Знание, наука)
14. Что за цифра-акробатка!
Если на голову встанет,
Ровно на 3 меньше станет? (цифра 9)
15. Наименьшее четырехзначное число (1000)
16. Полтора лимона стоят полтора рубля. Сколько стоят 10 лимонов?
(10 рублей)
17. Назовите автора учебника по геометрии, по которому вы учитесь? (Погорелов)
18. Сколько в метре сантиметров? (100)
19. Квадрат — это ромб, у которого… (Все углы прямые)
20. В одной семье 2 отца и 2 сына. Сколько это человек? (Трое: дед,
сын, внук)
Вопросы второй команде:
1. Часть прямой, ограниченная с обеих сторон. (Отрезок)
2. Хорда, проходящая через центр окружности. (Диаметр)
3. Производная функции y = sin x (cos x).
190
4. На двух руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? (50)
5. Число  в градусах. (1800)
6. Плоский угол с вершиной в центре окружности? (Центральный)
7. Кого называют королем математики? (Гаусса)
8. Пойманная рыбина весит 1 кг и еще столько, сколько весит половина рыбины. Сколько весит вся рыбина? (2 кг)
2
)
2
10. Многоугольник с наименьшим числом сторон. (Треугольник)
11. Какое целое число делится без остатка на любое целое число? (0)
12. Если в 12 часов ночи будет идти дождь, то можно ли через 72 часа ожидать солнечную погоду? (Нет, будет ночь)
13. Отрезок, соединяющий 2 точки окружности. (Хорда)
14. Квадрат — это прямоугольник, у которого… (Все стороны равны)
15. В каком числе столько же букв, сколько цифр в его названии? (100)
16. Что в переводе с греческого означает слово «геометрия»? (Землемерие)
17. Пара лошадей пробежала 40 км. Сколько километров пробежала
каждая лошадь? (40 км)
18. Многоугольники, имеющие равные площади. (Равновеликие)
19. Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости?
(Планиметрия)
20. Что больше: sin 600 или cos 300? (Они равны)
9. сos 450. (
Игра «Математическое кафе»
Цели: расширение кругозора и развитие логического мышления
учащихся в области математики, умения быстро ориентироваться в обстановке, укрепление интереса к математике.
Оборудование: меню, книга жалоб и предложений, почетная грамота.
В математическое кафе пришли отведать математическую кухню две
команды. Для того чтобы разогреть команды, наш повар приготовил для
них следующее задание: команды должны ответить на вопрос: что описано в предложенной задаче?
Две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то
две ноги, схватив три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну.
Ответ: Повар сидел на стуле, имеющем три ножки, пришла собака
и утащила куриную ногу. Повар бросил стул в собаку, чтобы она оставила куриную ногу.
Корней Иванович Чуковский данную ситуацию описал в стихах:
Две ноги на трех ногах,
А четвертая в зубах,
191
Вдруг четыре прибежали,
И с одною убежали.
Подскочили две ноги,
Ухватили три ноги,
Закричали на весь дом ,
Да тремя – по четырем!
Но четыре завизжали
И с одною убежали.
Если вы имеете какие-либо предложения или пожелания о работе
нашего математического кафе, то в вашем распоряжении «Книга жалоб
и предложений». В нашем кафе вы можете не беспокоиться об оплате.
Для того чтобы вас не обсчитали, за всеми вашими заказами следят
«самые главные». (Представление жюри.)
Сегодня в меню нашего кафе следующие блюда.
МЕНЮ
Салаты:
1. Математические обгонялки.
2. Математический ералаш.
Первые блюда:
1. Математическая уха.
2. Суп-харчо (не едал никто).
Вторые блюда:
1. Японское суше.
2. Математическая каша.
Выпечка:
Венская булка.
Напитки:
1. Бочка рома.
2. Квас.
3. Математический коктейль.
Десерт.
Итак, каждому столику предлагаются салаты на выбор.
Конкурс: «Математические обгонялки». Каждая команда в течение
одной минуты отвечает на вопросы. За каждый правильный ответ команда получает один рубль (балл), который выставляется в счет каждому столику.
Вопросы первому столику:
1. Сотая часть числа. (Процент)
2. Направленный отрезок. (Вектор)
192
3. Изобретатель математического «решета». (Эратосфен)
4. Угол, на который поворачивается солдат по команде «кругом».
(Развернутый, 1800)
5. В каком треугольнике все высоты пересекаются в вершине?
(В прямоугольном)
6. Математическое предложение, не требующее доказательства.
(Аксиома)
7. В каком числе столько же цифр, сколько букв в его названии?
(Сто)
8. Наибольший общий делитель взаимно простых чисел. (Единица)
9. Сумма противоположных чисел. (Нуль)
10. Какой угол опишет минутная стрелка за 5 минут? (30 0)
11. Автор книги «Начала». (Евклид)
12. Какой русский математик нашел способ, как лучше всего кроить
одежду? (Чебышев)
13. Сколько останется у ромба углов, если один из них отрезать?
(5 или 3)
14. Какую часть числа составляют его 25 %? (Четвертую)
15. Число, которое делится на все числа без остатка. (Нуль)
16. Луч, делящий угол пополам. (Биссектриса)
17. Счетный прибор, которым пользовались греки? (Абак)
18. Бревно распилили на 8 частей. Сколько сделали распилов? (7)
19. Автор школьных математических таблиц? (Брадис)
20. Сколько вершин у куба? (8)
21. Число, из которого вычитают? (Уменьшаемое)
Вопросы второму столику:
1. Часть окружности. (Дуга)
2. Числа со знаком минус. (Отрицательные)
3. Сын с отцом, да дедушка с внуком. Много ли их? (3)
4. Какой угол опишет часовая стрелка за два часа? (600)
5. Отрезок, соединяющий две вершины многоугольника, не прилежащие к одной его стороне. (Диагональ)
6. Сколько килограммов в половине тонны? (500 кг)
7. Кратчайшее расстояние от точки до прямой. (Перпендикуляр)
8. Количество делителей простого числа. (Два)
9. Деление числителя и знаменателя на одно и тоже число. (Сокращение)
10. Автор учебника «Алгебра и начала анализа», по которому вы занимаетесь. (Колмогоров)
193
11. Два числа, произведение которых равно единице. (Взаимно обратные)
12. Какая цифра в переводе с латинского языка означает «никакая»?
(Нуль)
13. Угол в 10 рассматривают в лупу, дающую трехкратное увеличение. Какой величины окажется угол? (10)
14. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками. (Противоположные)
15. Инструмент для измерения углов на плоскости. (Транспортир)
16. Трое играли в шахматы. Всего было сыграно три партии. Сколько
партий сыграл каждый? (По две)
17. Сколько градусов содержит угол, если он составляет половину
развернутого угла? (900)
18. В обыкновенной дроби число, записанное над чертой. (Числитель)
19. Автор первого учебника по математике в России. (Магницкий)
20. Результат деления. (Частное)
21. Найдите число, если половина — треть его. (1,5)
Конкурс: «Математический ералаш»
Каждой команде необходимо назвать как можно больше пословиц, в
которых встречаются натуральные числа. На подготовку каждой команде дается одна минута. Команды по очереди называют пословицы; та
команда, которая выбывает первой, получает один рубль (балл), оставшаяся команда — три.
Первые блюда
Математическая уха
Отведать предложенное блюдо может тот столик, который быстрее
даст правильный ответ.
1. В харчевню пришли 11 человек и потребовали подать им рыбы.
К сожалению, у хозяина оказалось три рыбы. Тем не менее хозяин не
желал упустить случая поживиться. Имея в своем распоряжении три
рыбы, он пообещал гостям подать на стол одиннадцать. Гости заинтересовались этим и даже согласились уплатить деньги вперед. Как хозяин
харчевни исполнил обещание?
Ответ: На тарелки хозяин харчевни сложил рыбы в виде римской
цифры одиннадцать.
2. Рыбак ловил рыбу. На вопрос «сколько ты поймал» рыбак ответил: «Половину восьми, шесть без головы и девять без хвоста». Сколько
рыбы поймал рыбак?
Ответ: Нисколько.
194
3. На вопрос, сколько весит рыба, рыбак ответил: «Хвост весит 150 г,
голова — столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище,
сколько голова и хвост вместе». Сколько весит рыба?
Ответ: 1200 г.
4. Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый
день, второй — через день, третий — через два дня и т. д., седьмой —
через шесть дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все
7 рыбаков снова соберутся на озере?
Ответ: через 420 дней.
Суп-харчо (не едал никто)
Задача Гаусса
Участникам предлагается самостоятельно решить задачу Гаусса. За
правильный ответ 5 баллов.
Истории известны интересные факты из жизни знаменитых математиков. Я расскажу о Карле Гауссе, у которого очень рано раскрылись
математические дарования, и позднее он стал одним из крупнейших
математиков XIX века. Его даже называли «царем математиков». Рассказывают, что в возрасте трех лет он заметил ошибку, сделанную его
отцом в расчетах. А в семь лет мальчик пошел в школу. В это время в
одной классной комнате занимались ученики разных классов. Чтобы
занять первоклассников, пока он будет заниматься с третьим классом,
учитель велел сложить все числа от 1 до 100. Но не успел он закончить
чтение условия задачи, как Карл уже написал ответ и положил на стол
учителя. Учитель очень удивился, ясно было, что за такой короткий
срок он не мог сделать 99 сложений. Остальные ученики терпеливо
складывали. Когда учитель посмотрел результат, он был поражен. Только у одного Карла Гаусса стоял правильный ответ, причем никаких вычислений не было. Изумленный учитель понял, что встретил самого
способного ученика в своей жизни.
Как проводил вычисления юный Гаусс, какой ответ он получил?
Вторые блюда
Японское суше (Вместо палочек при употреблении этого блюда рекомендуется использовать спички.)
Каждая команда за две минуты должна решить предложенную задачу.
1. Переложить 6 спичек так, чтобы из двух рюмок (рис. 35) получился дом, какой изображен на рисунке 36.
195
Рис. 35
Рис. 36
2. Приложить к четырем спичкам пять спичек так, чтобы получилось сто.
I I I I
Ответ:
3. У меня три спички. Если к ним прибавлю еще две, то получу восемь. Как это может случиться?
I I I
Ответ: VIII
4. Спичками изобразите «утку в клетке».
Ответ:
Математическая каша
Каждому столику предлагается выполнить в течение трех минут
следующее задание:
Столик 1: В пакете 9 кг манной крупы. Попробуйте при помощи трех
взвешиваний разделить крупу по двум пакетам: в одном — 2 кг, а в другом — 7 кг, располагая одной гирей в 250 г и одной в 50 г.
Столик 2: В мешке 9 кг пшеницы. Как при помощи трех взвешиваний на чашечных весах, используя только одну гирю в 200 г и одну в
250 г, разложить пшеницу по двум мешкам так, чтобы в одном было
2 кг, а в другом 7 кг?
Пока участники обдумывают решение задачи, мы проведем игру со
зрителями. За правильный ответ 1 балл.
Игра со зрителями
1. Коле и Толе купили по 5 пирожных. Коля съел свои два пирожных
за 6 минут и стал сходить с ума от зависти, глядя, как Толя ест каждое
пирожное за 4 минуты. Долго ли будет сходить с ума от зависти Коля?
Ответ: 14 минут.
2. У старшего брата 2 конфеты, а у младшего — 12 конфет. Сколько
конфет должен отнять старший у младшего, чтобы справедливость восторжествовала, и между братьями наступило равенство?
Ответ: 5 конфет.
196
3. Петр Петрович сел за стол, поставил перед собой круглый торт весом 3 кг и стал его есть, как суп, ложкой. Через несколько минут от торта остались одни кремовые розочки, которые все вместе весят 60 граммов. Во сколько раз съеденная часть торта больше оставшейся?
Ответ: в 40 раз.
4. Длина одной трети сосиски равна 5 см, узнай длину всей сосиски.
Сколько сантиметров сосиски останется, если быстро откусить от этой
сосиски две пятых ее части?
Ответ: 15 см, 9 см.
Выпечка «Венская булка»
На рисунке изображена витая венская булка, известная как претцел
(рис. 37а). На какое наибольшее число частей можно разрезать эту булку, сделав только один разрез? Как следует поставить нож?
Рис. 37
Ответ: 10 частей (рис. 37б)
Напитки
1. Бочка рома (только для пиратов)
Время решения — 5 минут. За правильный ответ — 5 рублей (баллов).
За 10 дней пират Ерема,
Способен выпить бочку рома.
А у пирата, у Емели,
Ушло б на это три недели.
За сколько дней прикончат ром
Пираты, действуя вдвоем?
Ответ: 6 дней.
2. Квас
197
Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой
выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько
дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.
Ответ: муж за 140 дней — 10 бочонков,
с женой за 140 дней — 14 бочонков,
жена за 140 дней — 14 – 10 = 4 бочонка.
140 : 4 = 35 дней.
3. Математический коктейль
Каждая команда поет математические частушки, за каждую частушку получает 1 балл. Один балл каждая команда может получить за артистичность, также учитываются выдумка, находчивость.
Десерт
На десерт команды получают почетные грамоты от дирекции математического кафе и обслуживающего персонала — шеф-повара, бухгалтера, главной посудомойщицы — за мужество, проявленное во время
поедания математической пищи, выпивания бочки рома и использования спичек, которые все же не являются игрушкой для детей, и всякой
другой ерунды. Каждая команда также получает чеки, которые показывают, сколько очков набрала та или иная команда в течение игры.
СПАСИБО ЗА ПОКУПКУ
1. Салаты ……………
2. Первые блюда …...
3. Вторые блюда……
4. Выпечка………….
5. Напитки ………….
______________________
ИТОГО:
198
Список рекомендуемой литературы
1. Алгебра и начала анализа : учеб. для 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дуницын и др. ; под ред. А.
Н. Колмогорова. — 6-е изд., доп. — М. : Просвещение, 1998. — 365 с.
2. Аменицкий, Н. Н. Забавная арифметика / Н. Н. Аменицкий, И. П. Сахаров.
— М. : Наука ; Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. — 128 с.
3. Афонькин, С. Ю. Волшебные шары — кусудамы / С. Ю. Афонькин, Е.
Ю. Афонькина. — СПб. : Издательский Дом «Кристалл», 2001. — 160 с.
4. Афонькин, С. Ю Универсальный бумажный конструктор — оригами / С.
Ю. Афонькин., Е. Ю. Афонькина. — М. : «Аким», 1997. — 64 с.
5. Балк, М. Б. Организация и содержание внеклассных занятий по математике: пособие для учителей / М. Б. Балк. — М., 1956. — 248 с.
6. Бэлл, Э. Т. Творцы математики: предшественники современной математики: пособие для учителя / Э. Т. Бэлл ; под ред. С. Н. Киро. — М.: Просвещение, 1979.
7. Внеклассная работа по математике в средней школе : учеб.-метод. пособие для студентов физ.-мат. факультетов и начинающих учителей математики ;
под ред. В. И. Сухорукова — Балашов : Изд-во БГПИ, 1994. — 96 с.
8. Ганчев, И. Математический фольклор / И. Ганчев, К. Числев, Й. Стоянов. —
М. : Знание, 1987. — 208 с.
9. Гарднер, М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и
головоломки / М. Гарднер ; под ред. Г. Е. Шилов ; сокр. пер. с анг. В. С. Бермана. —
3-е изд. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. — 128 с.
10. Гарднер, М. Математические досуги / М. Гарднер ; пер. с англ. Ю. А.
Данилова; под ред. И. А. Смородинского. — М.: Мир, 1972. — 496 с.
11. Гастева, С. А. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / С. А. Гастева, Б. И. Крельштейн, С. Е. Ляпин, М. М Шидровская. — М. :
1965. — 746 с.
12. Гельфонд, М. Б. Внеклассная работа по математике в восьмилетней
школе / М. Б. Гельфонд, С. П. Витольд. — М. : Просвещение, 1965. — 208 с.
13. Гермонович, П. Ю. Математические викторины / П. Ю. Гермонович. —
М. : Учпедгиз, 1959. — 76 с.
14. Гусев, В. А. Внеклассная работа по математике в 6—8 классах: книга для
учителя / В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь. — 2-е изд. перераб. — М. :
Просвещение, 1984. — 286 с.
15. Доморяд, А. П. Математические игры и развлечения / А. П. Доморяд. —
М. : Гос. изд-во физ.-мат лит., 1961. — 268 с.
16. Игошин, В. И. Михаил Яковлевич Суслин : 1894—1919 / В. И. Игошин.
— М. : Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1996. — 160 с.
17. Избранные задачи: сборник / пер. с англ. Ю. А. Данилова ; под ред. и с
предисл. В. М. Алексеева. — М. : Мир, 1977. — 598 с.
18. Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки / Е. И. Игнатьев ; под ред. М. К. Потапова. — М. : Наука, Гл. ред.физ-мат. лит., 1978. — 192 с.
19. Кадыров, И. Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике : кн. для учителя / И. Кадыров. — М. : Просвещение, 1983. — 64 с.
199
20. Карп, А. П. Даю уроки математики : кн. для учителя / А. П. Карп. — М. :
Просвещение, 1992. — 191 с.
21. Кожабаев, К. Г. О воспитательной направленности обучения математике
в школе : кн. для учителя / К. Г. Кожабаев. — М. : Просвещение, 1988. — 80 с.
22. Концепция развития математического образования // Математика в школе. — №1. — 1990. — С.2 — 13.
23. Кордемский, Б. А. Математическая смекалка / Б. А. Кордемский. — 7-е
изд., перераб. — М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. —568 с.
24. Кордемский, Б. А. Удивительный мир чисел: матем. головоломки и задачи для любознательных : кн. для учащихся / Б. А. Кордемский, А. А. Ахадов. —
М. : Просвещение, 1986. — 144 с.
25. Линьков, Г. И. Внеклассная работа по математике / Г. И. Линьков. — М.
: Учпедгиз, 1954. — 64 с.
26. Мартынова, Г. О. Применение нетрадиционных уроков в обучении математике // «Математика» приложение к газете «Первое сентября». — 2001. —
№ 25. — С. 30—32.
27. Математический КВН // «Математика» приложение к газете «Первое
сентября». — № 26, № 45. — 1999; № 45. — 2000; № 23. — 2001.
28. Минковский, В. Л. За страницами математики: Пособие для учащихся VI
класса / В. Л. Минковский. — М. : Просвещение, 1966. — 120 с.
29. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика :
учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 2105
«Физика» / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др. ; сост. Р. С. Черкасов, А.
А. Столяр. — М. : Просвещение, 1985. — 336 с.
30. Мочалов, Л. П. Головоломки / Л. П.Мочалов. — М. : Наука, Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1980. — 128 с.
31. Нагибин, Ф. Ф. Математическая шкатулка : пособие для учащихся 4—8
классов сред. школы / Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин. — 5-е изд. — М. : Просвещение, 1988. — 160 с.
32. Олехин, С. Н. Старинные занимательные задачи / С. Н. Олехин, Ю. В.
Нестеренко, М. К. Поташов. — 2-е изд., испр. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1988. — 160 с.
33. Перельман, Я. И. Живая математика / Я. И. Перельман. — М. : Наука, Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1974. — 160 с.
34. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра / Я. И. Перельман. — М. : АО
«Столетие», 1994. — 208 с.
35. Перельман, Я. И. Занимательная арифметика / Я. И. Перельман. — М. :
АО «Столетие», 1994. — 176 с.
36. Перельман, Я. И. Занимательная геометрия / Я. И. Перельман ; под ред. и
с дополн. Б. А. Кордемского. — М., 1951. — 296 с.
37. Петраков, И. С. Математические кружки в 8—10 классах : кн. для учителя / И. С. Петраков. — М. : Просвещение, 1987. — 224 с.
38. Пичурин, Л. Ф. За страницами учебника алгебры : кн. для учащихся 7—9
кл. сред. шк. / Л. Ф. Пичурин. — М. : Просвещение, 1990. — 224 с.
39. Подашов, А. П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе
(V—XI классы) / А. П. Подашов. — М. : Учпедгиз, 1962. — 192 с.
200
40. Саранцев, Г. И. Общая методика преподавания математики : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов / Г. И. Саранцев. —
Саранск: типография «Красный. Октябрь», 1999. — 208 с.
41. Сергеев, И. Н. Примени математику / И. Н. Сергеев, С. Н. Олехин, С.
Б. Гашков. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 240с.
42. Сефибеков, С. Р. Внеклассная работа по математике : кн. для учителя / С.
Р. Сефибеков. — М. : Просвещение, 1988. — 79 с.
43. Сивашинский, И. Х. Задачи по математике для внеклассных занятий (9—
10 классы) / И. Х. Сивашский. — М. : Просвещение, 1968. — 311 с.
44. Симаков, Л. И. Внеклассная работа по математике в 4—10 классах средней школы / Л. И.Симаков. — Хабаровск, 1970. — 130 с.
45. Смирнова, М. И. Геометрия : учеб. пособие для 10—11 кл. гуманит.
профиля / М. И. Смирнова. — М. : Просвещение, 1997. — 159 с.
46. Степанов, В. Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе : кн. для учителя / В. Д. Степанов. — М. : Просвещение, 1991. — 80
с.
47. Стерликова, Л. Л. Урок-КВН / Л. Л. Стерликова // Математика в школе.
— № 4. — 1990. — С. 41—44.
48. Трутнев, В. П. Считай, смекай, отгадывай / В. П. Трутнев. — М., 1960. —
72 с.
49. Чистяков, В. Д. Математические вечера в средней школе / В. Д. Чистяков. —
М., 1958. — 176 с.
50. Халилова, Т. Интеллект-шоу «Шерлок Холмс и черный ящик» / Т. Халилова // «Математика» приложение к газете «Первое сентября. — № 4. — 1999.
— С. 19—20.
51. Шатилова, А. В. Развивающий потенциал внеурочной работы по математике в условиях профильной дифференциации / А. В. Шатилова, Е. Ю. Павлова,
О. А. Задкова // Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении : сб. науч. и метод. работ, представленных на региональную науч.-практич.
конф. ; под ред. М. И. Зайкина. — Арзамас: Изд-во АГПИ, 2002. — С. 143—146
52. Шатилова, А. В. Специфика внеурочной работы по математике в условиях профильной дифференциации / А. В. Шатилова, Е. Ю. Павлова, О. А. Задкова // Цивилизация на пороге тысячелетия : сб. науч. ст. Вып. 2. — Т. 3. — Балашов, 2001. — С. 45—48.
53. Шибасов, Л. П. За страницами учебника математики. Мат. анализ. Теория вероятностей. Старин. и занимат. задачи : кн. для учащихся 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова. — М. : Просвещение,
1997. — 269 с.
54. Школьный интеллектуальный марафон // «Математика» приложение к
газете «Первое сентября». — № 33. — 1995; № 40. — 1997; № 35. — 1998; № 13,
48. — 2000.
55. Шустеф, Ф. М. Материал для внеклассной работы по математике: кн. для
учителя / Ф. М. Шустеф. — Мн. : Нар. .Асвета, 1984. —2-е изд., перераб. —224
с.
56. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / гл. ред. М. Д. Аксенова. —
М. : «Аванта+», Изд. дом, 1998. — 688 с.
201
Шатилова А.В., Сухорукова Е.В., Павлова Е.Ю., Задкова О.А.
ВНЕУРОЧНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
В УСЛОВИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ ОБУЧЕНИЯ
Учебное пособие
202
А. В. Шатилова, 203
Е. В. Сухорукова,
Е. Ю. Павлова, О. А. Задкова