Задание 1 по курсу «Технологии компьютерного моделирования».

Задание 1 по курсу «Технологии компьютерного моделирования».
Использование программных пакетов на примере MVS
для моделирования динамических систем
1 Цель работы
Закрепить полученные знания по технологии моделирования в программных пакетах для
моделирования. Освоить методику вычислительных экспериментов, методику
идентификации параметров модели, построение компонентных и объектноориентированных (не все варианты) моделей, понятие гибридного (дискретнонепрерывного) моделирования (опционально).
2 Задание
Построить модель (во многих вариантах она собирается из более чем одного
компонента/объекта, т.к. даны связанные колебательные системы). Запустить модель (с
базовыми значениями параметров), при необходимости выбрать адекватный численный
метод. Использовать «план прогона» для задания нужных параметров и начальных
условий. Исследовать зависимость от нескольких параметров (в частности, с помощью
визуального редактирования их значений). Попытаться решить некорректную задачу –
идентифицировать значение какого-либо параметра, который необходим для достижения
заданного значения результата (в случае незатухающих колебательных систем –
интегрального результата). Останавливать расчет не только по достижению заданного
времени, но и в зависимости от значения параметров (необязательно; можно также в
зависимости от параметров переключать модель в другой режим). Оформить отчет по
задаче (структура выдается отдельно).
3 Варианты задания и баллы
В скобках ниже указана сложность задачи в баллах. За не полностью выполненное
задание баллов ставится меньше указанной. Баллы за все задания, выполненные в течение
года, будут просуммированы и определят итоговую оценку. За элементы дискетного
моделирования во всех вариантах полагаются дополнительные баллы, в частности, за
переключение режимов (самостоятельно придумать, в какое состояние может переходить
система – после предварительных расчетов) – 2-3 балла дополнительно.
3.1 Модель двухлампового генератора Фрюгауфа [5]
Каждая лампа описывается уравнением вида (индексы соответствуют лампе №1)
x1  ( y1  y 2 )  ( x1 )  x2 , y1  x1
Здесь функция  (u )   tg( u / 2), базовые значения параметров:
α > 0 (порядка 1), ε = 10–3, 10–6. Расчет до времени Tk = 20.
Начальные условия могут быть x1 (0)  x2 (0)  0, y1 (0)  2, y2 (0)  0 .
При указанных параметрах система получается жесткой, решение имеет характер
релаксационного цикла.
3.2 Экогенетическая модель [5]
Модель численности популяций двух видов с учетом их взаимодействия и двух медленно
меняющихся генетических признаков a. Для первой популяции и первого признака:
y1  y1 (2a1  0.5 y1  3.5a1b y2 ), a1   (2  ba1b1a2b y 2 ),
вторая популяция – аналогично: y 2  y2 (2a2  0,5 y2  3.5a2b y1 ) , a 2   (2  ba2b1a1b y1 ) .
Параметр ε ≤ 0,01, параметр b = 2 или b = 3 – это две разных модификации модели.
Начальные условия 0 ≤ y1(0), y2(0) ≤ 40. a1(0) = 0, a2(0) = 10. Расчет до времени Tk = 2000.
При указанных параметрах система получается умеренно жесткой.
3.3 Модель «хищник-жертва» [8], несколько подвариантов
Одна из самых известных нелинейных моделей в науке, впервые встретилась в
популяционной динамике в случае гипотезы «парных взаимодействий особей» (когда
одна популяция – хищник, вторая – жертва). Общий вид для двух популяций:
N 1  a  reproductionN1   b  food N1 N 2 – жертва,
N 2  c  F N1 , N 2   d  deathN 2  – хищник (якобы собственное размножение не важно).
Вид «трофической функции» foodN1  задается индивидуально или выбирается


самостоятельно, например, food N1   N1 или food N1   N1 N1*  N1 , «функция
размножения» reproduction( x)  death( x)  x , F ( N1 , N 2 )  N1  N 2 .
В задачу входит не только двухпопуляционная модель, но и распространение на случай 34 популяций (хищник, являющийся жертвой другого хищника и т.п.). Задача оценивается
выше ввиду необходимости подбора параметров «с нуля».
3.4 «Компактные» модели динамики населения Земли [4-8]
Классические модели для отдельной популяции [вариантами задания являются лишь 3-5]:
1. Модель Мальтуса: N  aN – неограниченное размножение
2. Логистическая модель: N  aN  1  N N 0  – внутривидовая конкуренция за
ресурсы
3. Модель поиска партнера с учетом смертности: N  aN 2  1  N N 0   bN (к людям
обычно не относится); имеется критическое значение коэффициента смертности
b = aN0/4, превышение которого всегда приводит к вымиранию. [4]
Другие модели дают гиперболический рост населения до середины XX века (что
описывает известные факты)
4. «Модель Хорнера-Капицы» (с переходом между состояниями): [8]
a
a
; причем за счет ограничения N max  N  (за
N  aN 2  N 
 N 
t1  t
t1  t 2
время τ прирост населения не может быть больше самого населения) получается
a
t t 
2
N  a t1  t    2  N  arcctg  1
 , а за счет ограничения N min  1  (за




a
 t  t0 
2
 tg
время τ не может рождаться меньше одного человека) N  N a  1   N 
.

 a 
Здесь τ  42 года можно интерпретировать как характерное время размножения и
смертности индивида, а a  67000. При этих значениях (соответствующих
историческим данным) N(∞)  14 млн.
5. «Модель Коротаева/Малкова» (нераспространенная): N  abP  N N , где bP –
уровень развития «жизнеобеспечивающих условий» (численность людей, при
которой наступает стабилизация), P – уровень развития технологий,
пропорциональный, в свою очередь, численности населения: P  cNP . [5]


3.5 Модель альвеолярного объема легких [9]
Данная однокомпонентная модель рассматривает альвеолярное пространство как один
резервуар с переменным объёмом Va (t ) и давлением pa (t ) , учитывает упругость легких и
грудной клетки, сопротивление дыхательных путей, сжимаемость и инерционность
воздуха в них. Давление воздуха на входе в дыхательные пути pT (t ) и на внешней
поверхности грудной клетки p g (t ) являются заданными функциями времени t (в начале
моделирования равны нулю, затем их относительное влияние подлежит исследованию).
 4
i
i
2
2
  ai d Va / dt   Va / C   (t )  pT (t )  pg (t )  A( Rdpg / dt  Id pg / dt ),
 i 1

a4  AII g , a3  A( RI g  IRg ), a2  ( A / C  1) I  I g  ARRg , a1  ( A / C  1) R  Rg .
Здесь A = 0.0246 л кПа – отношение среднего объёма легких к среднему альвеолярному
давлению, I = 0.0025 с2кПа/л – инерционность воздуха в дыхательных путях,
Ig = 0.00021 с2кПа/л – инерционность тканей аппарата дыхания, R = 0.13 скПа/л –
сопротивление дыхательных путей, Rg = 0.11 скПа/л – сопротивление тканей аппарата
дыхания, C = 0.208 л/кПа – растяжимость аппарата дыхания (легких и грудной клетки).