Вопросы к экзамену по ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (математический анализ)

Вопросы к экзамену по
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (математический анализ)
2012г. 1 курс. 2 семестр. Дневной факультет.
1. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие возрастания
функции. Достаточное условие строгого возрастания функции.
2. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие убывания
функции. Достаточное условие строгого убывания функции.
3. Определение локального экстремума функции одной переменной. Необходимое
условие локального экстремума функции одной переменной.
4. Определение локального экстремума функции одной переменной. Первое достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
5. Определение локального экстремума функции одной переменной. Второе достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
6. Определение выпуклости и вогнутости функции одной переменной (выпуклость
вверх и выпуклость вниз). Достаточное условие выпуклости функции одной переменной.
7. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Необходимое
условие перегиба.
8. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Достаточное
условие перегиба.
9. Определение вертикальной и наклонной асимптоты. Теорема о наклонной асимптоте.
10. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной на замкнутом
промежутке.
11. Формула Тейлора и формула Маклорена.
12. Разложение по формуле Маклорена функций ex , sin x, cos x.
13. Функции многих переменных (ФМП), основные определения. Предел ФМП.
14. Непрерывность ФМП. Признак непрерывности.
15. Теорема Вейерштрасса для ФМП.
16. Частные производные (определение, геометрический смысл, правила вычисления).
17. Частные производные старших порядков. Теорема о независимости смешанных
производных от порядка дифференцирования.
18. Определение дифференцируемости ФМП. Необходимое условие дифференцируемости (теорема о связи дифференцируемости ФМП и существования частных производных).
19. Полный дифференциал функции двух переменных. Геометрический смысл полного
дифференциала.
20. Дифференциалы старших порядков функции двух переменных.
21. Определение производной по направлению. Связь производной по направлению с
частными производными.
22. Определение градиента функции, поверхность уровня, свойства градиента.
23. Графическое решение линейных неравенств ax + by + c ≥ 0 и ax + by + c ≤ 0.
1
24. Определение локального экстремума ФМП.
Необходимое условие экстремума
ФМП.
25. Определение локального экстремума ФНП. Достаточное условие экстремума
ФМП.
26. Условный экстремум функции двух переменных (определение, метод подстановки
и метод неопределенных множителей Лагранжа).
27. Наибольшее и наименьшее значение ФМП в замкнутой и ограниченной области.
28. Производная от функции заданной неявно. Примеры.
29. Метод наименьших квадратов. Случай линейной зависимости.
30. Однородные функции. Примеры однородных функций. Теоремы об однородных
функциях. Производственная функция и ее свойства.
31. Определение первообразной функции. Теоремы о свойствах первообразных функций.
32. Определение неопределенного интеграла. Теорема о существовании неопределенного
интеграла (достаточное условие).
33. Таблица интегралов.
34. Свойства неопределенного интеграла.
35. Метод замены переменной (метод подстановки) в неопределенных интегралах.
36. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
37. Определенный интеграл (определение, геометрический смысл).
38. Свойства определенного интеграла.
39. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
40. Формула Ньютона-Лейбница.
41. Метод замены переменной (метод подстановки) в определенных интегралах.
42. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
43. Определение несобственного интеграла первого рода (по бесконечному промежутку).
44. Определение несобственного интеграла второго рода (от функций, имеющих разрыв).
45. Двойной интеграл (определение, геометрический смысл).
46. Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной
области.
47. Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному в случае криволинейной
области.
48. Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решения. Начальные
условия. Задача Коши.
49. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и метод их решения.
50. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
51. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Однородные и неоднородные уравнения. Характеристическое уравнение. Решение однородных уравнений.
2