Разбор заданий из демонстрационных тестов

Разбор заданий из демонстрационных тестов
1. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25,
запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?
Решение
1) общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:
k 16  5
где k – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)
2) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят
25»); их всего два: 5 (при k  0 ) и 21 (при k  1 )
3) таким образом, верный ответ – 5, 21 .
2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых
запись числа 23 оканчивается на 2.
Решение:
1) итак, нужно найти все целые числа N  3 , такие что остаток от деления 23 на N равен
2, или (что то же самое)
23  k  N  2
(*)
где k – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2) сложность в том, что и k , и N неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что
это натуральные числа
3) из формулы (*) получаем k  N  21 , так что задача сводится к тому, чтобы найти все
делители числа 21, которые больше 2
4) в этой задаче есть только три таких делителя: N  3, 7 и 21
5) таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 .
3. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых
запись числа 31 оканчивается на 11.
Решение:
1) итак, нужно найти все целые числа N  2 , такие что
31  k  N 2  N  1
(**)
где k – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
2) сложность в том, что и k , и N неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что
это натуральные числа
3) из формулы (**) получаем (k  N  1) N  30 , так что задача сводится к тому, чтобы
найти все делители N числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение
(**) разрешимо при целом k , то есть, k 
30  N
– целое число
N2
4) выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
5) из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение k 
30  N
– целое число (оно
N2
равно соответственно 7, 3, 1 и 0)
6) таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.
4. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе
счисления с основанием 5.
Решение
1) запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с
основанием 5:
10 = 205, 17 = 325 .
2) заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли
3) между 205 и 325 есть еще числа
215, 225, 235, 245, 305, 315.
4) в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз
5) таким образом, верный ответ – 7.
5. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.
Решение:
1) обозначим через N неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30
в этой системе имеет вид
x y z N  30
2) вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием N в
десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру
на основание в степени, равной разряду:
2 1 0
x y z N  x  N 2  y  N  z  30
3) поскольку запись трехзначная, x  0 , поэтому 30  N
4) с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому
2
30  N 3
5) объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание N
удовлетворяет двойному неравенству
N 2  30  N 3
6) учитывая, что N – целое число, методом подбора находим целые решения этого
неравенства; их два – 4 и 5:
4 2  16  30  43  64
52  25  30  53  125
7) минимальное из этих значений – 4
8) таким образом, верный ответ – 4 .
Домашнее задание:
1) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых
запись числа 22 оканчивается на 4.
2) В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите
это основание.
3) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых
запись числа 39 оканчивается на 3.
4) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых
запись числа 29 оканчивается на 5.
5) В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 129 записывается как 1004.
Укажите это основание.
6) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых
запись числа 40 оканчивается на 4.
7) В системе счисления с некоторым основанием число десятичное 25 записывается как 100.
Найдите это основание.
8) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых
запись числа 27 оканчивается на 3.
9) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26,
запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?
10) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30,
запись которых в четверичной системе счисления оканчивается на 31?
Системы счисления и двоичное представление информации в
памяти компьютера.
1. Дано: a  D716 и b  3318 . Какое из чисел с, записанных в двоичной системе
счисления, удовлетворяет неравенству a < c < b?
1) 110110012
2) 110111002
3) 110101112
4) 110110002
Решение:
1) a  D716  13  16  7  215
2) b  3318  3  82  3  8  1  217
3) переводим в десятичную систему все ответы:
110110012 = 217, 11011100 2= 220,
110101112 = 215,
110110002=216
4) очевидно, что между числами 215 и 217 может быть только 216
5) таким образом, верный ответ – 4 .
2. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц
содержит внутреннее представление числа (-78)?
1) 3
2) 4
3) 5
4) 6
Решение:
1) переводим число 78 в двоичную систему счисления:
78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 21 = 10011102
2) по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с
помощью 8 разрядов
3) чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:
78 = 010011102
4) делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):
010011102 → 101100012
5) добавляем к результату единицу
101100012 + 1 = 101100102
это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде
6) в записи этого числа 4 единицы
7) таким образом, верный ответ – 2 .
Домашнее задание:
1. Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления?
1) 10010112
2) 11001012
3) 10100112
4) 1010012
2. Сколько единиц в двоичной записи числа 195?
1) 5
2) 2
3) 3
4) 4
3. Сколько единиц в двоичной записи числа 173?
1) 7
2) 5
3) 6
4) 4
4. Как представлено число 25 в двоичной системе счисления?
1) 10012
2) 110012
3) 100112
4) 110102
5. Как записывается число A8716 в восьмеричной системе счисления?
1) 4358
2) 15778
3) 52078
4) 64008
6. Как записывается число 7548 в шестнадцатеричной системе счисления?
1) 73816
2) 1A416
3) 1EC16
4) A5616
7. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц
содержит внутреннее представление числа (-128)?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
8. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц
содержит внутреннее представление числа (-35)?
1) 3
2) 4
3) 5
4) 6
9. Дано: a  9D16 , b  2378 . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления,
удовлетворяет неравенству a  C  b ?
1) 100110102
2) 100111102
3) 100111112
4) 110111102
10. Дано: a  F 716 , b  3718 . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе
счисления, удовлетворяет неравенству a  C  b ?
1) 111110012
2) 110110002
3) 111101112
4) 111110002
Выполнение арифметических операций в двоичной,
восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
1. Чему равна сумма чисел x  438 и y  5616 ?
1) 1218
2) 1718
3)6916
4) 10000012
Решение x  438  4  8  3  35
1.
y  5616  5 16  6  86
2.
3.
4.
5.
6.
7.
сложение: 35 + 86 = 121
переводим результат во все системы, в которых даны ответы (пока не найдем нужный):
121 = 11110012 = 1718 = 7916
или переводим все ответы в десятичную систему
1218 = 81,
1718 = 121,
6916 = 105,
10000012 = 65
таким образом, верный ответ – 2 .
2. Чему равна разность чисел x  11011102 и y  1111112 ?
1) 1001112
2) 1101112
Решение
1) просто выполняем вычитание:
-
11011102
1111112
1011112
2) таким образом, ответ – 3.
3)1011112
4) 1011012
Домашнее задание:
1. Вычислите сумму чисел x и y, при x = A616, y = 758. Результат представьте в двоичной
системе счисления.
a.
1) 110110112
2) 111100012
3) 111000112
4) 100100112
2. Значение выражения 1016 + 108 • 102 в двоичной системе счисления равно
a.
1) 10102
2) 110102
3) 1000002
4) 1100002
3. Вычислите сумму двоичных чисел x и y, если x = 10101012 и y = 10100112
a.
1) 101000102
2) 101010002
3) 101001002
4) 101110002
4. Вычислите значение суммы 102 + 108 +1016 в двоичной системе счисления.
a.
1) 101000102
2) 111102
3) 110102
4) 101002
5. Вычислите сумму чисел x и y, при x = 2718, y = 111101002. Результат представьте в
шестнадцатеричной системе счисления.
a.
1) 15116
2) 1AD16
3) 41216 4) 10B16
6. Вычислите сумму чисел x и y, при x = A116, y = 11012. Результат представьте в
десятичной системе счисления.
a.
1) 204
2) 152
3) 183 4) 174
7. Вычислите сумму чисел x и y, при x = 568, y = 11010012. Результат представьте в
двоичной системе счисления.
a.
1) 111101112
2) 100101112
3) 10001112
4) 110011002
8. Вычислите сумму чисел x и y, при x = 5A16, y = 10101112. Результат представьте в
восьмеричной системе счисления.
a.
1) 1518
2) 2618
3) 4338 4) 7028
9. Вычислите сумму чисел x и y, при x = 1278, y = 100101112. Результат представьте в
десятичной системе счисления.
a.
1) 214
2) 238
3) 183 4) 313
10. Вычислите A8116 + 37716. Результат представьте в той же системе счисления.
1) 21B16
2) DF816
3) C9216 4) F4616
a.
Домашнее задание по теме «Измерение информации»
Задание 1.
В классе 32 ученика. Какое количество информации содержится в
сообщении о том, что к доске пойдёт Коля Сидоров.
Задание 2.
Сообщение о том, что из корзины с разноцветными шарами (все шары
разного цвета) достали зелёный шар, содержит 4 бита информации. Сколько
шаров было в корзине?
Задание 3.
Из папки NEW одновременно было удалено 10 файлов и сообщение о
названиях удалённых файлов содержит 80 бит информации. Сколько файлов
было всего в папке?
Задание 4.
В гимназический класс школы было отобрано несколько учеников из
128 претендентов. Какое количество учеников было отобрано, если
сообщение о том, кто был отобран, содержит 140 битов информации?
Задание 5.
В доме 4 подъезда, в каждом из которых по 16 этажей. Какое
количество информации содержится в сообщении о том, что Иван живёт на 5
этаже в третьем подъезде?
Задание 6.
Алфавит племени Мульти состоит из 32 букв. Какое количество
информации несёт одна буква этого алфавита?
Задание 7.
Сообщение,
записанное
буквами
из
16-символьного
алфавита,
содержит 50 символов. Какой объём информации оно несёт?
Задание 8.
Сколько символов содержит сообщение, записанное с помощью 16-ти
символьного алфавита, если его объём составил 1/16 часть Мегабайта?
Задание 9.
Сколько килобайтов составит сообщение из 384 символов 16-ти
символьного алфавита?
Задание 10.
Два сообщения содержат одинаковое количество символов. Количество
информации в первом тексте в 1,5 раза больше, чем во втором. Сколько
символов содержат алфавиты, с помощью которых записаны сообщения,
если известно, что число символов в каждом алфавите не превышает 10 и на
каждый символ приходится целое число битов?
Задание 11.
Сколько бит информации несет сообщение о том, что из колоды в 32
карты достали «даму пик»
Задание 12.
Проводят две лотереи: «4 из 32» и «5 из 64» Сообщение о результатах
какой из лотерей несет больше информации?
Задание 13.
Сообщение, записано буквами 64-х символьного алфавита, содержит 20
символов. Какой объем информации оно несет
Задание 14.
Информационное сообщение объемом 1.5 Кбайта содержит 3072
символа. Сколько символов содержит алфавит, при помощи которого было
записано это сообщение?
Задание 15.
Подсчитать в килобайтах количество информации в тексте, если текст
состоит из 600 символов, а мощность используемого алфавита – 128
символов.
Задание 16.
Скорость информационного потока – 20 бит/сек. Сколько времени
потребуется для передачи информации объемом в 10 килобайт.
Задание 17.
Для ремонта школы использовали белую, синюю и коричневую краски.
Израсходовали одинаковое количество банок белой и синей краски.
Сообщение о том, что закончилась банка белой краски, несет 2 бита
информации. Синей краски израсходовали 8 банок. Сколько банок
коричневой краски израсходовали на ремонт школы?
Задание 18.
Вероятность первого события составляет 0,5, а второго и третьего –
0,25. Какое количество информации мы получим после реализации одного из
них?
Задание 19.
В мешке находятся 20 шаров. Из них 15 белых и 5 красных. Какое
количество информации несет сообщение о том, что достали: а) белый шар;
б) красный шар. Сравните ответы.
Задание 20.
В коробке лежат кубики: 10 красных, 8 зеленых, 5 желтых, 12 синих.
Вычислите вероятность доставания кубика каждого цвета и количество
информации, которое при этом будет получено.