Олимпиадные задания по математике 6 класс.

Олимпиада по математике(6 класс)
Задача 1.
Матери 47 лет, троим ее сыновьям соответственно 10,12, и 15 лет. Как скоро сумма возрастов
сыновей сравняется с возрастом матери ?
Сегодня мать опережает сыновей по возрасту на величину 47 - (10 +12 +
15 ) = 10 лет.
Ежегодно мать становится старше на один год,
а сыновья "стареют" совместными усилиями на 3 года,
сокращая на 2 года прошлогодний разрыв в возрастах.
Для того, чтобы "догнать" мать, сыновьям потребуется 10 : 2 = 5 лет
Задача 2.
Полученное число делится на 27?
Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось на
27?
Удвоенная неизвестная цифра дополняет сумму известных цифр числа до
величины, кратной 9-ти.
Сумма известных чисел - четная (16). Удвоенная неизвестная цифра (a) - также
четная величина.
Следовательно, сумма цифр искомого числа - четная и равна 18-ти. (2a меньше
или равна 18 и сумма цифр искомого числа не больше 34-х).
Итак, a = 1, искомое число - 1971
Задача 3.
Сколько процентов составляет возраст сестры?
Возраст брата составляет 40% от возраста сестры.
Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата?
Примем возраст сестры за 100%.
Возраст брата составит 40%.
Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата равно: (100/40)
· 100% = 250%.
Задача 4.
Делим квадрат на три части
MNPQ - квадрат со стороной 6 см, А и В - две точки на его средней линии. Ломанные МАР и МВР
делят квадрат на 3 части одинаковой площади. Чему равна длина АВ ?
(A)3,6см;
(B) 3,8см;
(C)4см;
(D) 4,2см; (E)4,4см
Восстановим перпендикуляры из точек А и В. Рассмотрим образовавшийся
зеленый прямоугольник.
Видно, что его площадь равна площади MBPA и следовательно, равна одной трети
плошади большого квадрата и равна (6 · 6) : 3 = 12 кв.см.
Высота зеленого прямоугольника равна 6 : 2 = 3 (см). Длина его второй стороны
АВ равна 12 кв.см : 3 см = 4 см.
Верен ответ (C
Задача 5.
Считаем варианты
Сколькими способами можно расположить 4 шашки на нарисованной доске так, чтобы никакие
две из них не находились в одном ряду или одной колонке?
(A)64;
(B) 28;
(C) 16;
(D) 8;
(E)4.
Начнем перебирать варианты по столбцам слева направо:
1. Располагаем первую шашку в первом столбце – 2 варианта (шашка
может лежать или в верхней или в нижней клеточке) .
2. Располагаем вторую шашку во втором столбце – 3-1=2, (2 варианта)
где 3 – высота столбца, а 1- количество уже занятых строк.
3. В третьем – 4-2=2 (аналогично).
4. В четвертом – 5-3=2 (аналогично). Итого 2*2*2*2=16. Верный ответ - (С).
Задача 6.
Сколько было рукопожатий?
На совещание явилось 10 человек, и все они обменялись рукопожатиями.
Сколько было рукопожатий?
Способ 1.
Каждый из 10 человек пожал руки своим коллегам. Однако произведение 10 · 9
= 10 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что
первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было
одно рукопожатие).
Итак, число рукопожатий равно:
(10 · 9) : 2 = 45.
Способ 2.
Первый участник совещания пожал руки 9-ти коллегам, второй - 8-ми (плюс рукопожатие с
первым, которое уже учтено), третий - 7-ми и т.д.
Девятый ограничился одним рукопожатием, а на долю десятого выпала пассивная роль принимать приветствия.
Таким образом, общее число рукопожатий выражается суммой:
N = 9+8+7+6+5+4+3+2+1 или
N = 1+2+3+4+5+6+7+8+9.
Сложив почленно обе суммы получаем:
2N = (9+1) + (8+2) + (7+3) + (6+4) + (5+5) + (4+6) + (3+7) + (2+8) + (1+9) = 10 · 9;
N = (10 · 9) : 2 = 45
Задача7.
Ищем след от плоскости
Куб пересечен плоскостью. На развертке пунктиром показана часть
следа этого сечения на поверхности куба.
Какая фигура была в сечении?
(A) правильный треугольник;
(B) прямоугольник, но не квадрат;
(C) прямоугольный треугольник;
(D) квадрат;
(E) шестиугольник.
.
Задача 8.
Каков рост нового игрока команды?
Средний рост пяти игроков баскетбольной команды - 2,04 м.После замены игрока, рост
которого равен среднему, средний рост команды увеличился до до 2,08 м.
Каков рост нового игрока?
Способ 1.
Суммарный рост 4-х игроков, оставшихся в команде, равен 2,04 · 4 = 8,16
м.
Суммарный рост 5-ти игроков после замены игрока равен 2,08 · 5 = 10,4
м.
Рост игрока, вошедшего в команду при замене, равен 10,4 - 8,16 = 2,24 м.
Способ 2.
Войдя в команду, новый игрок увеличил средний рост игроков команды на 0,04 м, в результате
чего "добавка " к суммарному росту 4-х оставшихся игроков составила 0,04 · 4 = 0,16 м.
Рост нового игрока равен 2,08 + 0,16 = 2.24 м.
Задача9.
Ищем след от плоскости
Куб пересечен плоскостью. На развертке пунктиром показана часть следа этого
сечения на поверхности куба. Какая фигура была в сечении?
(A) правильный треугольник; (B) прямоугольник, но не квадрат; (C)
прямоугольный треугольник; (D) квадрат; (E) шестиугольник.
Пронумеруем грани куба
и попробуем развертку снова свернуть в куб.
В качестве донышка возьмем грань 1.
Тогда, 2 - задняя стенка, 3 - крышка, 4 - левая боковая стенка, 5 передняя стенка, 6 - правая боковая стенка.
Куб будет иметь вид, указанный на рисунке.
Очевидно, в сечении куба плоскостью получается правильный треугольник. Стороны этого
треугольника - диагонали квадратов - боковых граней.
Верный ответ - (А).