Задача оптимального управления

Основные определения и термины
Оптимальное управление с давних времен интересует людей.
И интерес этот понятен - каждому человеку хочется добиться в
жизни как можно большего при имеющихся у него ограничениях
и возможностях: полученного образования, физических
возможностей, географического положения, способностей,
экономического
(материального)
состояния,
социальной
обстановки и т.д. Понятно, что наилучший результат достигается
при действиях, которые можно назвать оптимальными. Многие
достижения в технике, освоении космоса и других областях были
бы невозможными без развития теории оптимального
управления. Значительный вклад в развитие теории
оптимального
управления
внесли
Эйлер,
Лагранж,
Гамильтон, Ляпунов, Леонтович, Беллман, Леонтьев, Бьюси,
Винер, Калман, Понтрягин, Кротов, Моисеев и многие другие
ученые.
Теория оптимального управления предполагает четкую
постановку задачи - что считать оптимальным управлением,
каков должен быть результат, в каких пределах могут
изменяться управляющие воздействия. Кроме того, должно
быть математически строго описано поведение системы
(объекта) в начале и в процессе управления.
В реальных ситуациях оптимальное управление не всегда
может быть найдено. Но теория оптимального управления
дает некую потенциальную границу достижимого результата,
она позволяет определить теоретическую траекторию
оптимального управления и поведение системы при таком
управлении при некоторых допущениях, упрощениях и
ограничениях.
Зная эти теоретические результаты, можно оценить насколько реальный результат отличается от идеального и по
возможности скорректировать управление системой для
улучшения ее показателей.
Теория оптимального управления первоначально развивалась
применительно к объектам технического характера как более
простым с точки зрения их математического описания. Затем
положения и результаты теории оптимального управления стали
1
применяться и для объектов экономического характера. Однако в
силу того, что объекты экономического характера в реальных
условиях имеют множество случайных факторов, поиск
оптимального управления этими объектами (системами)
существенно усложняется. Тем не менее, и в стохастических
моделях можно отыскать оптимальное управление с
определенными допущениями на риск, что поставленная цель
может быть не достигнута.
Объектами исследования и применения для них теории
оптимального управления являются управляемые системы,
описываемые
дифференциальными
или
разностными
уравнениями. В данном курсе вначале приводятся понятия и
определения, классификация моделей, разновидности схем
управления системами, а затем излагаются теоретические
сведения об оптимизационных задачах и методах их решения,
приводятся примеры для разного типа задач.
Задача оптимального управления - это получение в
определенном смысле наилучшего результата управления.
Критерий оптимального управления - это словесная и (или)
математическая
формулировка
наилучшего
результата.
Последнюю называют также критерием качества или целевой
функцией.
Целевая функция - это математическая зависимость
результата от состояния системы, от внешних возмущений и от
управления.
Экономическая система - это система производства и (или)
реализации продукции или услуг на рынке по установленным
законами и внешними факторами правилам.
Хозяйствующий субъект - юридическое лицо (предприятие,
акционерное общество, товарищество, кооператив, банк, фирма,
компания, биржа, ассоциация и т.д.) имеющее свое имущество
(собственность) и права владеть, пользоваться и распоряжаться
своей собственностью, независимость существования от
2
входящих в него физических лиц, действующее на рынке и
несущее ответственность за свои действия.
Математическая модель системы - это совокупность
математических формул, таблиц, графиков, устанавливающих
зависимость
между
состоянием
системы,
внешними
воздействиями, управлением системой и временем. Иными
словами математическая модель описывает эволюцию системы в
зависимости от перечисленных факторов.
Конкуренция - это состязательность (соперничество)
хозяйствующих субъектов в условиях, когда их самостоятельные
действия ограничивают возможности других субъектов
воздействовать на условия обращения товаров на рынке.
Товар - предмет, который благодаря его свойствам
удовлетворяет каким-либо человеческим потребностям.
Услуга - действие, которое благодаря ее свойствам вызывает
спрос на рынке услуг.
Емкость рынка - возможный объем продажи (обычно за
месяц или год) определенного товара или услуги на рынке при
сложившихся условиях реализации.
3