Математическая модель «реактивного» скольжения пленки

1
Математическая модель «реактивного» скольжения пленки
растворяющейся суспензии по водной поверхности
Игропуло Леонид,
9 «А» класс МОУ лицей № 14 г. Ставрополь,
Малая академия наук, Дворец детского творчества
ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Одним из важных направлений современного научно – технического
прогресса является использование поверхностных покрытий, получение
устойчивых пленок с различными свойствами и функциями: декоративными,
защитными и др. Среди них особое место занимают пленки на жидких
поверхностях. Экспериментально доказано, что малорастворимое вещество,
нанесенное на поверхность раздела жидкость – воздух растекается в тонкую,
и в большинстве случаев, мономолекулярную пленку. Изучению таких
пленок уделяли внимание с давних времен, еще Плиний старший и Плутарх
знали об успокаивающем действии масла на бурное море. В 1774г.
Бэнджамин Франклин дал количественную характеристику этому явлению:
он нашел, что одной чайной ложки масла достаточно, чтобы ликвидировать
волны на поверхности пруда, площадью ~ 0.2 га. В 1890 году Рэлей
установил, что хаотическое движение кусочков камфары на поверхности
воды прекращается, если на поверхность воды нанести олеиновую кислоту,
образующую пленку, толщиной около 160 нм. Современные промышленные
технологии все шире используют при создании различных устройств
наноразмерные пленки [2,8].
Растекание по поверхности жидких сред играет большую роль в ряде
процессов: при покрытии водоемов пленками, задерживающими испарение
воды, для уничтожения личинок малярийных комаров в водоемах и т.д.
Среди других технических приложений можно отметить металлургические
процессы (например, растекание шлаков по поверхности жидких металлов)
[5].
Особый интерес представляет образование пленок суспензий на
водных поверхностях, исследование их поведения в различных физических
2
условиях [1,2,7]. Ранее мы обнаружили и начали изучение некоторых
процессов в пленках суспензии, представляющей кристаллы перманганата
калия (ПК), взвешенные в растительном масле. Было установлено, что капля
такой суспензии растекается по поверхности воды, образуя пленку в виде
круга с вкраплениями ассоциаций кристаллов ПК, которые через 5-7 сек
начинают
растворяться
в
воде,
образуя
снижающиеся
струйки.
В
проведенных нами экспериментах был выявлен эффект скольжения пленки
по поверхности воды, не связанный с внешним воздействием на пленку.
Настоящая
работа
посвящена
результатам
анализа
основных
физических факторов, определяющих скольжение пленки растворяющейся
суспензии по водной поверхности, и построена относительно простая
математическая модель этого движения.
Объект
исследования:
пленка
растворяющейся
суспензии
перманганата калия в растительном масле на водной поверхности.
Предмет исследования: физические факторы и математические
закономерности, определяющие процесс скольжения пленки.
Цель:
разработка
и
исследование
математической
модели
«реактивного» скольжения пленки растворяющейся суспензии по водной
поверхности.
Задачи исследования:
1) поставить эксперименты по изучению условий возникновения и
протекания процесса скольжения пленок по водной поверхности, обобщить
их результаты;
2) определить характер наблюдаемого сложного движения;
3) построить и исследовать математическую модель процесса
скольжения пленки суспензии по поверхности жидкости;
4) выявить теоретические закономерности, определяющие характер
процесса в различных физических условиях, для пленок разных типов;
3
5) провести серию экспериментов для изучения скольжения пленки
чистого растительного масла по водной поверхности под действием слабого
управляемого воздушного потока.
Основные предположения:
1.
пятно суспензии представляет собой поверхностную тонкую
(мономолекулярную) пленку круговой формы, в которую на различных
расстояниях от ее геометрического центра вкраплены макроскопические
частицы ПК;
2.
в процессе растворения частиц возникают струйки раствора,
снижающиеся параллельно друг другу под приблизительно одинаковым
углом α к вертикали;
3.
наличие горизонтальных составляющих уносимого раствором
суммарного
механического
импульса
приводит
к
возникновению
механического импульса у пятна и к началу его движения под действием
«реактивной» силы [4,6];
4.
увеличение скорости движения пятна вызывает, в свою очередь,
возрастание
вязкого
силы
трения
пленки
о
неподвижную
водную
поверхность [7,9];
5.
сила трения скольжения линейно зависит от скорости, и при
определенной скорости движения пятна становится равной «реактивной»
силе [11];
6. форма струек, спускающихся от частиц ПК, моделируется (с
учетом поперечной диффузии [4]) в виде усеченного конуса, что позволяет
вычислить
уносимый
струйкой
импульс
и
его
горизонтальную
составляющую;
7. пятно считается однородным (исключая вкрапления ПК), не
подвергающимся различного рода деформациям;
8. для расчета силы трения скольжения и определения ее
зависимости от движения пятна, используется среднее значение скорости;
4
9. движение пятна происходит без проскальзывания, что позволяет
использовать стандартную формулу для расчета силы вязкого трения [5,8].
10. в рамках контрольного эксперимента под действием слабого
воздушного потока, направленного под небольшим углом к поверхности,
пленка чистого растительного масла скользит по поверхности подложки;
11. характер возникающего движения, его скорость будут зависеть
от направления и интенсивности воздушного потока;
12. в произвольном случае движение будет сложным, включающим
поступательное и вращательное движение.
Методика
проведения
эксперимента:
подготовка
суспензии
производилась путем перемешивания порошка перманганата калия (ПК) с
растительным маслом. Полученная суспензия наносилась на поверхность
воды и, после образования устойчивой пленки, изучался процесс ее
«реактивного» скольжения.
При помещении препарата, содержащего небольшое количество
частиц, покрытых маслом, на поверхность воды, масло растекалось, а
частицы в течение 2-3 секунд оставались на поверхности и не растворялись в
воде. Чаще всего можно было видеть отдельно каждую частицу (ассоциацию
кристаллов) в виде черной точки.
Через 5-7 секунд (в среднем) начиналось растворение (ПК) в воде.
Струйки раствора фиолетового цвета погружались в глубину воды под
небольшим углом к поверхности.
Этот процесс продолжался до полного растворения частиц. Важно
отметить также, что струйки раствора не переплетались, не обрывались и не
объединялись, несмотря на движение капли, и самих частиц.
5
Создание математической модели.
Математическая модель исследуемого процесса строилась на основе
закона изменения полной энергии пятна суспензии: E  Aр  Aт , где Е –
кинетическая энергия пятна, A р - работа
d1
«реактивной» силы, Aт - работа силы трения.
На начальном этапе движения сила Fт вязкого
трения, действующего на пятно невелика,
поэтому движение пятна будет ускоренным
под
δ
δ
действием
«реактивной»
силы
Fр ,
порождаемой горизонтальной составляющей

p
d2
механического импульса снижающейся
струйки. Форма струек, спускающихся от
Рис.1
частиц ПК, моделируется (с учетом поперечной диффузии) в виде усеченного
конуса (Рис.1), что позволяет вычислить уносимый струйкой импульс и его
горизонтальную составляющую (Рис.2).
Поскольку
p Г
pП
pВ
p
Рис.2
сила
трения
возрастает
с
увеличением скорости скольжения, наступает момент,
начиная
с
равномерным
которого
с
движение
установившейся
пятна
будет
скоростью
V.
MV 2
Кинетическая энергия установившегося движения равна E 
(где М –
2
масса пятна, V – установившаяся скорость его движения). Реактивная сила
определяется по второму закону Ньютона.
Пусть n – число вкраплений ПК в пленке, от которых исходят
снижающиеся струйки, m – масса раствора, опустившегося за время t, v –
средняя скорость снижения, α – угол между направлением импульса и
вертикалью.
Пусть за время t пятно достигло установившейся скорости,
1
2
тогда работа реактивной силы будет равна A р  n m v V sin  . За это же время
6
сила трения совершит работу
Aт 

4z
V 2 St
(где η – коэффициент
динамической вязкости масла , S – площадь пятна, Δz – его толщина).
Тогда в соответствии с законом изменения полной механической
энергии мы имеем следующие уравнения:
MV 2 1
 2
 n m v V sin  
V S t.
2
2
4z
(1)
После очевидных преобразований получаем формулу для расчета
установившейся скорости реактивного скольжения пятна по водной
поверхности:
V 
Величины n, m, v,
2 n m v z
sin  .
2 M z   S t
(2)
Δz, α M, S, t определяются по результатам
эксперимента.
Для дополнительной оценки достоверности выдвинутой гипотезы и
сделанных при построении модели предположений была проведена серия
специальных экспериментов по исследованию скольжения пленки чистого
(без ПК) растительного масла по водной поверхности. В отсутствие внешних
воздействий пятно оставалось неподвижным. Движение пленки вызывалось
слабым потоком воздуха, направленным под весьма малым углом к
поверхности через тонкую трубку (d = 3.5 мм).
Оказалось, что в определенном интервале интенсивностей воздушного
потока при его попадании в центр пятна движение пленки было (по
визуальной
оценке)
прямолинейным
и
равномерным.
(Фотографии
приведены в тексте доклада). Это, по-видимому, можно рассматривать как
подтверждение гипотезы о реактивной причине скольжения пятна суспензии
и
физической
корректности
предположений,
положенных
разработанной математической модели этого процесса.
в
основу
7
Результаты экспериментальных наблюдений показали следующее:
1) поведение всей пленки зависит от интенсивности и направления
воздушного потока:
 при слабом воздушном потоке, независимо от его направления
пленка остается неподвижной;
 если интенсивность потока достигает определенной (для каждого
типа пленки своей) величины, то пленка начинает двигаться;
 в определенном интервале интенсивностей потока движение
пленки оказывается (приближенно) равномерным;
 для каждого типа и размеров пленки характер движения зависит
от интенсивности (в некотором интервале) и «точки попадания»
потока на поверхность пленки;
 при
дальнейшем
увеличении
интенсивности
к
движению
добавляется деформация пленки, длина ее границы и площадь
могут увеличиваться (если пленка не мономолекулярная);
 если еще увеличить интенсивность потока, то пленка разрывается
на части.
2) в том случае, когда воздушный поток направлен в центр пятна, его
движение оказывается прямолинейным и поступательным, не включает
вращения.
Полученные в ходе экспериментальных наблюдений результаты могут
быть также объяснены на основе закона изменения полной механической
энергии.
Математическая модель прямолинейного движения масляной
пленки под действием слабого воздушного потока.
Кинетическая энергия потока воздуха E в расходуется на совершение
работы Aтр против силы трения пленки о водную поверхность и сообщение
пятну кинетической энергии Eп прямолинейного движения:
E в  Aтр  E п ,
(3)
8
где
Eв 
mв vср2
2
, mв   в  r 2 R . Предполагается (рис.3), что поток воздуха
плотности  в , радиус которого r (радиус трубки), пройдя вдоль поверхности
пятна расстояние x , равное радиусу пятна R, полностью теряет скорость.
Поэтому vср  vв 2 , vв - начальная скорость воздушного потока.
y
∆x

Fтр
x

vв
Рис.3. Прямолинейное движение пятна суспензии вдоль оси x.
Работа силы трения воздушного потока о поверхность пятна равна
Aт  
V S
R . Используя соотношение (3), можно получить квадратное
2 z
уравнение для расчета установившейся скорости скольжения пятна под
действием воздушного потока:
aV 2  bV  c  0 ,
где a   п R 2 z , b 
R 3
z
(4)
1
4
, c   в r 2 R vв2 . Физически приемлемое решение этого
уравнения имеет следующий вид
V 


R  2 R 3   п  в r 2 vв2 z 3  R 2
2  п Rz
2
.
(5)
Анализ полученного результата (5) позволяет утверждать:
 увеличение скорости и диаметра воздушного потока при прочих
равных условиях увеличивает скорость движения пятна;
9
 большая плотность вещества пленки, увеличение его размеров и
толщины при прочих равных условиях уменьшает скорость
пятна;
 первое
слагаемое
под
корнем
характеризует
тормозящее
воздействие сил трения, при   0 влияние трения исчезает.
Таким образом, результаты проведенной работы состоят в следующем:
1) исследовано явление снижения струек раствора ПК в воде,
сопровождающееся поперечной диффузией продуктов растворения;
2) выявлена физическая природа и разработана относительно простая
математическая модель «реактивного» скольжения пятна по поверхности
подложки и, на основе закона изменения его полной энергии, получена
формула для приближенного расчета установившейся скорости V;
3)
проведены
эксперименты,
получены
фотографии
процесса
растворения и снижения струек, измерены и рассчитаны значения величин,
необходимых для определения V;
4)
проведены
дополнительные
эксперименты
и
построена
математическая модель движения пятна, под действием слабого воздушного
потока.
В ходе экспериментов был зафиксирован ряд неожиданных, необычных
явлений: возникновение (при определенных условиях) вращения пятна,
необычное поведение струек (сближение к центру, а затем - расхождение в
разные стороны без соединения и пересечения и др.) Наблюдавшиеся
явления будут объектом дальнейших исследований.
Список литературы
1.Абрамзон А.А. Поверхностно активные вещества: Свойства и
применения. – Л.:Химия, 1981. – 304с.
2.Адамсон А. Физическая химия поверхностей. – М.: «Мир», 1979. –
568с.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся ВТУЗов. – М.: Наука, 1980. – 976с.
10
4. Джанколи Д. Физика, т.1. – М.: «Мир», 1989. – 656с.
5. Духин С.С., Рулёв Н.Н., Димитров Д.С. Коагуляция и динамика
тонких пленок. – Киев: Наук. Думка, 1986. – 232с.
6. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. Т. 1. Механика.
Теплота. Молекулярная физика. – М.: Наука, 1995. – 507с.
7. Левич В.Г. Физико – химическая гидродинамика. – М.: Физматгиз,
1959. – 699 стр.
8. Сумм Б.Д., Горюнов Ю.В. Физико-химические основы смачивания и
растекания. – М.: Химия, 1976. – 232с.
9. Таблицы физических величин. Справочник. Под редакцией акад.
И.К. Кикоина. – М.: Атомиздат, 1976. – 1008 стр.
10. Фролов Ю.Г. Курс коллоидной химии. Поверхностные явления и
дисперсные системы. – М.: Химия, 1988. – 464с.
11. Яворский Б.М. Селезнев Ю.А. Справочное руководство по физике
для поступающих в ВУЗы и для самообразования. – М.: Наука, 1989. – 576с.