Задача 1. К рычагу, закреплённому па дне водоёма

Задача 1.
К рычагу, закреплённому па дне водоёма,
прикреплены на нитях два сферических
поплавка радиусом R (см. рисунок). В случае,
если рычаг удерживать в горизонтальном
положении, центры поплавков расположены
на глубине h > R. На каких глубинах будут
расположены центры поплавков, если отпустить рычаг и дождаться
установления равновесия? Массами поплавков и рычага пренебречь. Концы
рычага в положении равновесия не касаются дна, АВ : АС = 2:1. Считать, что
АС > h.
При решении будем учитывать только выталкивающие силы, так как
поплавки и рычаг очень легкие.
Так как поплавки одинаковые, то если они оба полностью погружены в
жидкость, действующие на них выталкивающие силы также одинаковы.
Рычаг несимметричен – одно плечо у него больше другого, поэтому после
того, как поплавки отпустят, длинное плечо пойдет вверх. Так как АС=АВ/2,
то для того, чтобы рычаг мог находиться в равновесии, необходимо, чтобы
сила, приложенная к точке С, была вдвое больше, чем сила, приложенная к
точке В. Так как поплавок, привязанный к точке С, остается погруженным в
жидкость, то действующая на него выталкивающая сила не изменится. Из
этого следует, что равновесие будет возможно только в том случае, если
поплавок, привязанный к точке В, достигнет поверхности и частично
всплывет, оставаясь погруженным на половину своего объема. При этом
действующая на него выталкивающая сила уменьшится ровно вдвое. Такое
положение поплавков возможно, поскольку по условию задачи АС>h, то угол
поворота рычага не превышает 30 градусов.
Итак, в положении равновесия центр поплавка, привязанного к точке В,
будет находиться на поверхности жидкости, то есть на глубине HB=0.
Очевидно, что центр этого поплавка при всплытии поднимется на высоту h.
В соответствии с золотым правилом механики центр второго поплавка
опустится на глубину h/2 (он привязан к плечу, длина которого вдвое
меньше). Значит, в положении равновесия центр поплавка, привязанного к
точке С, будет находиться на глубине
HC=h+h/2=3h/2.
Задача 2.
В горизонтальном дне сосуда имеется
прямоугольное отверстие с размерами а × b.
Его закрыли прямоугольным
параллелепипедом со сторонами b × с × с так,
что одна из диагоналей грани с × с вертикальна
(вид сбоку показан на рисунке). В сосуд
медленно наливают жидкость плотностью ρ.
Какова должна быть масса параллелепипеда M, чтобы он не всплывал при
любом уровне воды?
Силами трения и поверхностного натяжения пренебречь. Исследуем вопрос о
том, при каком уровне жидкости сила гидростатического давления,
действующая на параллелепипед, будет максимальна. Разобьём
параллелепипед вертикальными плоскостями на много маленьких элементов.
Рассмотрим силы давления, действующие на каждый из элементов, в
следующих случаях.
1) Жидкость и сверху, и снизу элемента отсутствует. В этом тривиальном
случае, очевидно, сила давления равна нулю.
2) Жидкость есть над элементом, но её нет под элементом (см. рис..1). В этом
случае проекция силы давления на вертикальную ось отрицательна, то есть
жидкость стремится прижать рассматриваемый элемент к дну.
Рис..1.
Рис..2.
Рис..3.
Рис..4.
3) Жидкость есть под элементом, но её нет над элементом (см. рис..2). В этом
случае проекция силы давления на вертикальную ось положительна и равна
, где и
рассматриваемого элемента.
— высота и объём заштрихованной части
4) Жидкость есть и под элементом, и над ним (см. рис..3). В этом случае
проекция на вертикаль силы давления равна
, где
и
— расстояния от поверхности жидкости до верхней и нижней граней
рассматриваемого элемента соответственно.
Таким образом, из рассмотрения случаев 1 и 2 следует, что если под
некоторым элементом пробки нет жидкости, то жидкость может только
прижимать пробку к дну сосуда, и минимальное значение вертикальной
проекции этой прижимающей силы давления, равное нулю, достигается
тогда, когда жидкости нет и над этим элементом. Если же под некоторым
элементом пробки жидкость есть (случаи 3 и 4), то максимальное значение
проекции силы на вертикальную ось положительно и равно
, где
—
объём рассматриваемого элемента (случай 4). Значит, сила давления будет
иметь максимально возможное положительное значение тогда, когда
жидкость налита в сосуд до уровня, показанного на рисунке.4. При этом
интересующий нас объём
(заштрихован на рисунке.4) равен
, а максимальная величина выталкивающей силы равна
Если пробка не будет всплывать при уровне воды, показанном на рисунке.4,
то она не всплывёт и при любом другом уровне. Следовательно, массу
пробки можно найти из условия
, откуда
Ответ.
Задача 3.
Электрическая цепь, изображённая на левом рисунке, состоит из источника
постоянного напряжения U = 3 В. миллиамперметра с очень маленьким
внутренним сопротивлением, четырёх постоянных резисторов и одного
переменного. На правом рисунке приведён график зависимости показаний
миллиамперметра от величины сопротивления переменного резистора R.
Найдите величины сопротивлений постоянных резисторов R1 и R2.
Пусть сопротивление переменного резистора R=0. Тогда схему можно
перерисовать в виде, показанном на рисунке 1. Полное сопротивление такой
цепи равно r1=2R1R2/( R1+R2), а текущий через миллиампер ток равен
I1 
U U ( R1  R2 )

r1
2R1 R2
Если сопротивление переменного резистора, напротив, очень велико, то
схему можно перерисовать так, как показано на рисунке 2. Сопротивление
этой цепи равно r1 
I2 
R1  R2
, а ток, текущий чрез миллиамперметр, равен
2
U
2U

r2 R1  R2
Исключая из полученной системы уравнений, например, величину R2,
приходим к квадратному уравнению, позволяющему определить R1
I 1 I 2 R1  2UI1 R1  U 2  0
2
Отсюда
U
( I1  I1 ( I1  I 2 ) )
I1 I 2
2U
U
R2 
 R1 
( I1  I1 ( I1  I 2 ) )
I2
I1 I 2
R1 
Заметим, что формулы получились симметричными – выражения для R1 и R2
переходят друг в друга при замене знака перед квадратным корнем. Это
связано с тем, что исходная схема включения резисторов также симметрична.
Из графика, приведенного в условии на правом рисунке, видно, что I1=1*10-3
A, I2=0.75*10-3 А. Подставляя эти значения в полученные формулы и выбирая
в первой перед корнем знак «+», а во второй – знак «-», найдем R1= 6 кОм,
R2=2 кОм. При противоположном выборе знаков получится R1= 2 кОм, R2=6
кОм.
Задача 4.
Не дождавшись автобуса, пешеход пошёл пешком к следующей автобусной
остановке, павильон которой был виден вдали. Через некоторое время он
обнаружил, что кажущаяся высота этого павильона в k = 1.5 раза меньше
кажущейся высоты павильона, от которого он отошёл. Пройдя ещё L = 100
метров, пешеход заметил, что, наоборот, павильон впереди кажется ему в k =
1.5 раза выше павильона позади. Найдите расстояние между остановками.
Считайте, что кажущийся размер предмета обратно пропорционален
расстоянию до него. Остановочные павильоны одинаковы, пешеход идёт по
соединяющей их прямой.
Для решения задачи сделаем чертеж, обозначим на нем буквами А и В
начальную и конечную автобусные остановки, буквой С – точку, откуда
остановочной павильон В казался пешеходу в k=1.5 раза ниже павильона А,
буквой D – точку, откуда остановочный павильон А казался пешеходу в
k=1.5 раза ниже павильона В. Поскольку видимый размер павильона обратно
пропорционален расстоянию до него, то справедливы следующие пропорции
AC
1

CD  DB k
DB
1

AC  CD k
Из них получаем
AC
1


AC  CD  DB k  1
DB
1


AC  CD  DB k  1
AC
AB
DB
AB
С другой стороны, CD=AB-AC-DB, откуда
CD
AC DB
1
1
k 1
 1

 1


AB
AB AB
k 1 k 1 k 1
Отсюда, учитывая, что CD=L, получаем
AB 
k 1
L  500 м
k 1
Ответ. 500 м.
Задача 5.
В кастрюлю поместили воду и лед при температуре t0 = 0 °С и закрыли ее
крышкой. Массы воды и льда одинаковы. Через время τ = 2 ч 40 мин весь лед
растаял.
1. Через какое время температура воды повысится на 1 °С?
2. Какое время потребуется, чтобы вода нагрелась от 20 °С до 21 °С?
Температура воздуха в комнате tk = 25 °С. Удельная теплоемкость воды c =
4200 Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда λ = 3,2·105 Дж/кг.
Теплообмен между кастрюлей и окружающей средой пропорционален
разности температур tk-t, где t – температура кастрюли. При плавлении льда
t=t0=0°С
m  A(t k  t 0 )
A
m
(t k  t 0 )
Здесь m – масса льда, А – коэффициент пропорциональности. При
нагревании воды массой 2m от 0°С до 1°С ( t  1°С ) теплообмен остался
таким же, как и при плавлении льда. Поэтому можно записать:
ct * 2m  A(t k  t 0 ) 1  m
Отсюда
 
сt * 2

 1

 4.2 мин
При нагревании воды от t=20°С до 21°С( t  1°С ) потребуется время  2 :
 2   1
t k  t0
 21мин
tk  t
Задача 6.
Резистор, сопротивление которого постоянно, и реостат подсоединены к
источнику постоянного напряжения U (рис.). При силе тока в цепи I1 = 2 А на
реостате выделяется мощность Р1 = 48 Вт, а при силе тока I2 = 5 А на нем
выделяется мощность Р2 = 30 Вт.
1. Определите напряжение источника и сопротивление резистора.
2. Найдите силу тока в цепи, когда сопротивление реостата равно нулю.
3. Найдите максимальную мощность, которая может выделиться на реостате.
Чему равно сопротивление Rm реостата в этом случае?
1) пусть в первом случае сопротивление реостата равно R1, во втором – равно
R2. По закону Ома имеем:
I 1 (r  R1 )  U

I 2 (r  R2 )  U
Где R1=P1/I12=12 Ом, R2=P2/I22=6/5 Ом.
Решая систему, получим
P I  P2 I 1
U 1 2
 36 В
I1 I 2 ( I 2  I1 )
2
r
2
P1 I 2  P2 I 1
 6Ом
I1 I 2 ( I 2  I1 )
2) Если сопротивление реостата равно нулю, то
I0 
U
 6А
r
3) В общем случае мощность, которая выделяется на переменном
сопротивлении R, можно представить в виде:
PR  I 2 R 
U 2R
или PR  IU  I 2 r
2
(R  r)
Где, IU – мощность, развиваемая источником. На рисунке представлена
зависимость PR(I). Это парабола, вершина которой Pмакс соответствует силе
U
. Следовательно,
2r
U 2 RМ
U2


, откуда Rм=r. Итак,
4r ( R М  r ) 2
тока I 
Pм акс
Pм акс 
U2
 54 Вт , Rм=6 Ом.
4r
Задача 7.
Птица летит горизонтально на высоте Н с постоянной
скоростью U (рис.). Плохой мальчик из 9 класса замечает
птицу в момент, когда она находится в точности над его
головой, и сразу же стреляет из рогатки. Какой должна
быть скорость U птицы, чтобы мальчик никак не смог
попасть в нее? Максимальная скорость вылета камня равна
υ0. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Рассмотрим два случая.
1. Если v0  2 gH , то скорость u – любая.
2. Пусть v0  2 gH . Рассмотрим ситуацию, когда траектория камня
касается прямой, вдоль которой летит птица. Горизонтальная проекция
vr скорости камня в течение всего его полета сохраняется. Ясно, что
при vr≥u мальчик может попасть в птицу, а при vr<u – нет. Из закона
сохранения энергии следует, что vr= vr  v0 2  2 gH . Таким образом,
мальчик не сможет попасть в птицу, если u> v0 2  2 gH .
Задача 8.
В цепи, которая изображена на рисунке, амперметр A2
показывает силу тока 2А. Найдите показание амперметра
А1, если известно, что резисторы имеют сопротивления 1
Ом, 2 Ом, 3 Ом и 4 Ом, а вольтметр V показывает
напряжение 10 В. Все приборы считать идеальными.
Введем обозначения резистров и покажем направления
токов на схеме. Идеальный амперметр А1 «закорачивает»
точки А и В, поэтому сопротивление всей цепи (между
точками С и D) равно
RCD 
RR
R1 R2
 3 4
R1  R2 R3  R4
Тогда сила тока, текущего через амперметр А1, равна
I0 
U ( R1  R2 )( R2  R4 )
(1)
R1 R2 R3  R2 R3 R4  R3 R4 R1  R4 R1 R2
Значение выражения  П R R1 R2 R3  R2 R3 R4  R3 R4 R1  R4 R1 R2 не зависит от
порядка резисторов в цепь и всегда равна 50 Ом3. Теперь определим силу
тока I0, используя показания амперметра А2. Из приведенной схемы следует
I1 R1  I 2 R2 ,

R1 ( R3  R4 )
,
  I1  i
( I1  i) R3  ( I 2  i) R4 
R2 R3  R1 R4
( R  R )( R  R )
Тогда I 0  I1  I 2  i 1 2 3 4 (2)
R2 R3  R1 R4
Приравнивая (1) и (2), получаем
R2 R3  R1 R4  i
i П R
U
 10Ом 2 (3)
Последнее условие будет выполнено, если:
1) R2=3 Ом, R3=4 Ом, R1=1 Ом, R4=2 Ом. Тогда сопротивление цепи
RCD=25/12 Ом и показания амперметра A1: I01=4.8 A
2) R2=4 Ом, R3=3 Ом, R1=1 Ом, R4=2 Ом. Тогда сопротивление цепи
RCD=2 Ом и показания амперметра A1: I02=5 A
Другие перестановки сопротивлений, удовлетворяющие условию (3),
приводят к тем же результатам.
Итак, в зависимости от порядка включения резисторов в цепь
показания амперметра А1:
I01=4.8 A или I02=5 A.
Задача 9.
На открытой площадке находятся три одинаковые банки со льдом, в которые
помешены одинаковые электрические нагревательные элементы. В
некоторый момент эти элементы включают в три разные розетки с
напряжениями U1 = 380 В, U2 = 220 В и U3 = 127 В. В первой банке весь лед
растаял за t1 = 2 мин, а во второй - за t2 = 10 мин. За какое время t3 растает
весь лед в третьей банке? Начальная температура льда во всех банках 0 °С.
Сопротивление нагревательного элемента не зависит от силы протекающего
тока. Считайте, что в любой момент времени температура внутри каждой
банки одинакова по всему объему.
Количество теплоты, подводимое ко льду, складывается из количества
теплоты, втекающего из окружающей среды через стенки банки, и
количества теплоты, преобразованного нагревательным элементом из
электроэнергии. Во время плавания льда его температура остается
постоянной (0°С), поэтому и количество теплоты, ежесекундно подводимое
ко льду через стенки банки, тоже постоянно. Обозначим его P1. Мощность
тока нагревательного элемента равна
U2
, где U – напряжение, подаваемое на
R
нагревательный элемент, R – его сопротивление. Пусть для плавления всего
льда, находящегося в банке, необходима энергия W. Тогда время плавления
льда в банке найдем по формуле t1 
W
2
U
P1  1
R
; t2 
W
U
P1  2
R
2
, где t1, t2, U1, U2 –
время и напряжение в случае с первой и второй банкой. Решая систему двух
приведенных уравнений, найдем неизвестную величину P1, точнее
произведение
U t  U 1 t1
P1 R1  2 1
 2.44 * 10 4 В 2 .
t1  t 2
2
2
Таким образом, оказывается, что P1<0, т. е. теплота отводится ото льда в
окружающую среду. Минимальное напряжение, достаточное для плавления
льда (т. е. такое, что P1+P2>0), определяется выражениемUmin=  P1 R  156В.
Значит, нагревательный элемент, питаемый напряжением U3=127 В, никогда
не расплавит лед, находящейся в третьей банке.
Задача 10.
Два плоских зеркала З1, и З2, каждое из которых имеет форму квадрата со
стороной а, сложены под прямым углом. Точечный источник света S
располагается на расстоянии а от каждого из зеркал (схема опыта приведена
на рис.). Заштрихуйте области, находясь в которых наблюдатель сможет
увидеть ровно n изображений источника S; принять n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ к задаче представлен на рисунке. Цифры 0, 1, 2,
3 показывают количество изображений, наблюдаемых
в каждой из областей.