геометрия теория и задачки

Стереометрия
Призма - многогранник, две параллельные грани которого (основания) угольники, а остальные граней - параллелограммы. Очевидно, что все
боковые ребра призмы равны, и в основаниях - равные -угольники с
соответственно параллельными сторонами.
Имеют место формулы:
где - площадь боковой поверхности призмы, - периметр
перпендикулярного сечения, - длина бокового ребра, - объем, - площадь
основания, - высота призмы.
Параллелепипед - призма, у которой основаниями служат параллелограммы.
Прямой параллелепипед - параллелепипед, у которого боковые ребра
перпендикулярны плоскости основания.
Прямоугольный параллелепипед - это прямой параллелепипед, основаниями
которого являются прямоугольники.
Куб - прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
Пирамида - многогранник, в основании которого -угольник, а остальные
граней - треугольники с общей вершиной. Объем пирамиды вычисляется
по формуле:
где - площадь основания пирамиды, - высота пирамиды.
Правильная пирамида - пирамида, основанием которой является правильный
многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр основания.
Усеченная пирамида - это часть пирамиды, заключенная между основанием и
секущей плоскостью, параллельной основанию. Объем усеченной пирамиды
вычисляется по формуле:
где - высота усеченной пирамиды. и - площади ее оснований.
Прямой круговой цилиндр - это тело, полученное при вращении
прямоугольника вокруг одной из его сторон. Имеют место формулы:
где - объем, - площадь боковой поверхности, - площадь полной
поверхности цилиндра, - радиус основания, - высота цилиндра.
Прямой круговой конус - это тело, полученное при вращении
прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Имеют место
формулы:
где - объем конуса, - площадь боковой поверхности,
основания, - высота, - образующая конуса.
- радиус
Усеченный конус - это часть конуса, ограниченная его основанием и
сечением, параллельным плоскости основания. Имеют место формулы:
где
- объем усеченного конуса,
- площадь его боковой поверхности, -
высота усеченного конуса, и - радиусы верхнего и нижнего оснований,
- его образующая.
Шар - это тело, полученное вращением полукруга вокруг диаметра.
Поверхность шара называется сферой.
Объем шара радиуса вычисляется по формуле:
Площадь сферы радиуса
вычисляется по формуле:
Шаровой сегмент - это часть шара, ограниченная секущей плоскостью.
Имеют место формулы:
Здесь - объем шарового сегмента, - площадь его поверхности, - радиус
шара, - высота сегмента.
При решении задач на комбинацию тел вращения и многогранников
необходимо знать следующее:
1. Если шар описан около многогранника, то все его вершины лежат на
поверхности шара.
2. Если многогранник вписан в шар, то вокруг каждой из его граней можно
описать окружность.
3. Если шар вписан в многогранник (все грани касаются шара), то его центр
равноудален от всех граней. Этот центр лежит на пересечении плоскостей,
делящих двугранные углы многогранника пополам.
Пример 1. Если в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро
равно
, а угол между ним и плоскостью основания равен
пирамиды равен
, то объем
1)
2)16 3)18 4)
5)24
Решение. Основание пирамиды - квадрат, и вершина пирамиды
проектируется в центр квадрата точку (рис.1). По условию задачи
и
- равнобедренный и прямоугольный. Следовательно,
- высота пирамиды.
Из
. Из
:
:
. Тогда объем пирамиды
, и выбираем ответ 3.
Ответ: 3.
Пример 2. Шар вписан в усеченный конус, радиус меньшего основания
которого равен 4 см, а радиус большего 16 см. При этих условиях объем
шара равен
1)
2)
3)
4)
5)
Решение. Изобразим центральное сечение шара, вписанного в усеченный
конус (рис.2). По условию задачи
см,
см. По
свойству многоугольника, описанного около окружности,
и
.Следовательно, длина образующей усеченного конуса
см.
Из прямоугольного треугольника
, в котором
см,
см,
см, где
вписанного шара. Тогда объем шара
Ответ: 4.
- радиус
Пример 3. Конус вписан в шар радиуса 3 см, угол при вершине осевого
сечения конуса равен
. При этих условиях площадь боковой поверхности
конуса равна
1)
2)
3)
4)
5)
Решение. Изобразим осевое сечение конуса, вписанного в шар с центром в
точке
(рис.3).
- равносторонний. По условию задачи
см. В
, следовательно
см и
см.
Тогда площадь боковой поверхности конуса
Ответ: 1.
.
Пример 4. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с
катетами 6 см и 8 см. Объем пирамиды равен
. Все боковые ребра
наклонены к плоскости основания под одинаковым углом и этот угол равен
1)
2)
3)
4)
5)
Решение. Так как боковые ребра наклонены к плоскости основания под
одинаковым углом, то эти ребра равны, а вершина пирамиды
проектируется в точку - середину гипотенузы
(рис.4). По условию
и
см и
см.
Так как объем пирамиды
, где
- высота пирамиды и
- площадь основания, то
см.
Следовательно,
и
.
Ответ: 1.
- равнобедренный и прямоугольный (
см)
Пример 5 Прямоугольник со сторонами
и
вращается вокруг
большей стороны. Тогда площадь полной поверхности тела вращения равна
l)
2)
3)
4)
5)
Решение. Тело вращения представляет собой цилиндр с высотой
радиусом основания
и
. Площадь полной поверхности цилиндра
.
Ответ: 4.
Пример 6. Равнобедренный треугольник с основанием 4 см и высотой 3 см
вращается вокруг основания. Тогда объем тела вращения равен
1)
2)
3)
4)
5)
Решение. Тело вращения представляет собой два конуса, сложенные
основаниями, причем высоты конусов равны 2 см, а радиусы оснований 3 см.
Тогда объем тела вращения равен
Ответ: 3.
Пример 7. Пусть , и - соответственно число вершин, ребер и граней
усеченной пирамиды, основанием которой служит 12-угольник. Тогда
равно
1)68 2)66 3)70 4)76 5)74
Решение. Если основанием усеченной пирамиды является -угольник, то
число ее вершин
; число ребер складывается из числа сторон в
основаниях усеченной пирамиды и числа боковых ребер, т.е.
; число граней складывается из числа боковых граней и двух оснований,
т.е.
. Следовательно, для -угольной усеченной пирамиды
.
Ответ: 5.
Пример 8. Наибольший объем цилиндра, вписанного в конус с высотой
радиусом основания , равен
и
1)
2)
3)
4)
5)
Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса, в который вписан цилиндр
(рис. 5). По условию задачи
,
.Обозначим радиус вписанного
цилиндра
и выразим высоту цилиндра
через . Из треугольников
и
следует, что
.
Тогда объем цилиндра
. Найдем наибольшее
значение объема цилиндра на интервале изменения от 0 до . С этой целью
вычислим
. Приравнивая производную к нулю, получаем
уравнение
отрезка
и
и в точке
Очевидно, что
Ответ: 1.
. Найдем значения
на концах
и выберем из них наибольшее значение.
.