А.А. Быков, Численное моделирование цунами в рамках

УДК 519.6
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦУНАМИ В РАМКАХ
АППРОКСИМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ
А.А. Быков
научный руководитель д-р техн. наук, проф. К.В. Симонов
Сибирский федеральный университет
Данная работа направлена на рассмотрение проблемы оценки опасности
цунами в рамках гидрофизического мониторинга. В работе представлена
математическая постановка задачи моделирования распространения волн цунами в
океане. Рассмотрены численные методы для получения численного решения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведено сравнение эффективности
рассмотренных численных методов и предложен наилучший вариант в рамках
поставленной задачи.
Одним из инструментов для оперативной оценки опасности цунами является
возможность проведения численного моделирования генерации и распространения
цунами в режиме реального времени. Традиционное численное моделирование
распространения волн цунами в открытом океане осуществляется путем решения
линейных гидродинамических уравнений в двумерном длинноволновом приближении
на основе поршневой модели, которая предполагает, что источник цунами возникает
мгновенно с некоторым вертикально направленным вектором скорости в некоторой
области дна океана, создающим колебания поверхности океана. Наиболее важным
условием для проведения численного моделирования является создание эффективного
алгоритма, способного быстро и точно получать решение поставленной задачи.
Создание такого алгоритма предполагает анализ поставленной задачи с целью найти
компромисс между точностью вычислений и затратами вычислительных ресурсов.
На основе исследований в [1–2], в работе предлагается новый вычислительный
инструмент для повышения своевременности и надежности предупреждения об угрозах
цунами, путем решения обратной задачи и повышения точности оценок параметров
источника цунами.
Следуя указанным исследованиям, при математическом моделировании
распространения волн цунами в океане возникает следующая задача:
u

 div (C 2u )  0,
   0, C( x)  g  D( x) ,
t
t
x
 t 0   0  ,
(1)
t t 0  0
x  ( x1 , x2 )  R 2 ,

Система (1) называется системой уравнений мелкой воды. Здесь  ( x, t ) –
возвышение свободной поверхности жидкости, D(x) – глубина бассейна, g – ускорение
свободного падения, 0 ( y ) –заданная функция, убывающая на бесконечности быстрее,
1
чем  ,   1 и локализованная в области характеристического размера  .
y
В работе [1] получены формулы для асимптотических решений
линеаризованной системы уравнений мелкой воды (1). В частности, построенные в [1]
асимптотические формулы являются основой для быстрого аналитико-численного
алгоритма решения задачи (1).
В этих работах показано, что с течением времени решение распадается на две
части – вихревую (описывает движение уединенного вихря, здесь данная часть
решения рассматриваться не будет) и волновую – описывает распространение волны,
локализованной в окрестности замкнутой кривой (фронта волны) на плоскости R 2 .
В работе [1] показано, что при t  0 в некоторой окрестности волнового
фронта t , не зависящей от  , и вне некоторой окрестности фокальных точек,
асимптотическая формула для возвышения свободной поверхности жидкости 
представляется формулой:
3
  i2m  S t , x 


C0
 ( x, t ) 
 Re e
 F 
, n 
 O  2  . (3)


 

X  , t  C  X  , t , t 

  t , x 

здесь  (t , x) – возвышение свободной поверхности жидкости, X   , t  – точка
фронта, для которой считаем возвышение, Cx, t  – скорость распространения волны, C0
– скорость распространения волны в начальный момент времени,  – малый
параметр, m – индекс Морса, n   cos  , sin   ,   0,2 .
Таким образом, описанные выше асимптотические формулы характеризуют
поведение длинных волн при их распространении в определенных расчетных областях,
что означает возможность численного моделирования поведения длинных волн типа
цунами. Зависимость этих формул от глубины бассейна позволяет моделировать
поведение длинных волн типа цунами, основываясь на реальных данных (используя
реальную батиметрию дна), что означает возможность получения результата,
отвечающего физической природе реального процесса цунами в актуальной задаче –
оценке цунамиопасности для защищаемой береговой зоны.
Для
получения
численного
решения
системы
обыкновенных
дифференциальных уравнений необходимо воспользоваться численными методами.
Существуют несколько различных численных методов [2-3]:
1. Метод Эйлера: наиболее простой численный метод решения ОДУ и их
систем. Метод Эйлера является одношаговым методом первого порядка точности,
основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так
называемой ломаной Эйлера.
2. Метод Рунге-Кутты: важное семейство численных алгоритмов решения ОДУ
и их систем. Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и
исправленный метод Эйлера, представляющий собой схему второго порядка точности.
Для получения точных результатов в рамках нашей задачи, необходимо
использовать такой метод, который позволит производить вычисления с суммарной
ошибкой интегрирования, не превышающей порядка 10 3 . Поэтому мы сразу
исключаем метод Рунге-Кутты четвертого и более высоких порядков, так как они
предоставляют нам излишнюю точность. Классический метод Эйлера также не
подходит для решения нашей задачи в связи с тем, что он имеет малый порядок
точности: в этом случае для достижения необходимой точности придется увеличивать
величину шага по времени, что негативно скажется на производительности. Таким
образом, было решено использовать две следующие вычислительные схемы:
исправленный метод Эйлера с пересчетом и метод Рунге-Кутты третьего порядка.
Данные методы имеют второй и третий порядки точности соответственно.
Для численного моделирования распространения длинных волн типа цунами
использовалась программа, написанная на языке программирования C++. В качестве
входных данных задаются реальная батиметрия, координаты источника землетрясения,
координаты регистрирующей DART-станции, время окончания счета, шаг по времени.
Моделирование поведения цунами происходит следующим образом: из модельного
очага выпускаются лучи к точке наблюдения, затем формируются линии фронта волн,
T
и для каждой точки фронта строится соответствующее ей возвышение свободной
поверхности жидкости.
В ходе работы проведен ряд численных экспериментов по моделированию
поведения длинных волн типа цунами, целью которых являлся поиск оптимальной
численной схемы. Первым был протестирован метод Эйлера с пересчетом. Основные
результаты проведенных численных экспериментов представлены в таблице 1.
Таблица 1
Сравнительная таблица
Минимальное
время расчета
(мс)
Максимальное
время расчета (мс)
Ошибка
Максимальный
выигрыш во времени
Метод Эйлера с
пересчетом
581
559031
10 6
-2,19
Метод Рунге-Кутты
третьего порядка
271
255196
10 6
2,19
Исходя из результатов, представленных в таблице 1, можно утверждать, что
при равной суммарной ошибке интегрирования, метод Эйлера в 2,19 раз проигрывает
методу Рунге-Кутты третьего порядка во времени, затраченном на выполнение расчета.
Такая разница во времени объясняется выбором шага интегрирования: шаг, выбранный
для метода Рунге-Кутты, на порядок меньше шага, выбранного для метода Эйлера.
Поэтому, для минимизации времени расчета следует варьировать значением шага
интегрирования.
В ходе работы проведен ряд численных экспериментов по моделированию
поведения длинных волн типа цунами на основе реальных данных. В качестве
реальных цунами было выбрано событие вблизи Японии (землетрясение вблизи
восточного побережья Хонсю с магнитудой 6,7 баллов, произошедшее 16 февраля 2015
года). Исходные расчетные параметры представлены в таблице 2.
Таблица 2
Исходные параметры для численного эксперимента (Япония)
Число точек фронта
Границы интервала
Время окончания счета
Шаг по времени
Число точек по широте
Число точек по долготе
Положение источника по широте
Положение источника по долготе
Координата DART по широте
Координата DART по долготе
1000
2.199114857512855
3.141592653589793
12.1
0.001
21
62
0.695164641069341
2.493900968174697
0.703402595138755
2.726064665274983
В результате выполнения численных экспериментов получена мареограмма,
представленная на рисунке 2.
Рис. 2. Мареограмма, полученная в результате обработки расчетных данных
посредством пакета Mathcad (Япония)
Проведенные исследования реальных цунами в рамках разрабатываемой
вычислительной технологии показали новые возможности при моделировании цунами.
В частности, существуют возможности моделирования распространения цунами в
режиме реального времени от предполагаемого источника до ближайших
глубоководных гидрофизических станций. При этом сравнительный анализ расчетных
и натурных мареограмм позволяет скорректировать местоположение и форму
первоначального варианта источника цунами. Таким образом, предлагаемый подход
предполагает предварительную вычислительную процедуру быстрой коррекции
параметров источника цунами с целью повышения точности и надежности оценки
опасности цунами на основе существующих вычислительных комплексов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dobrokhotov, S.Yu. Explicit asymptotics for tsunami waves in framework of the piston
model / S. Yu. Dobrokhotov, S.Ya. Sekerzh-Zenkovich, B. Tirozzi, B. Volkov // Russ.
Journ. Earth Sciences. – Moscow, 2006. – №8. – pp. 1-12.
2. Самарский А.А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. / А. А.
Самарский – СПб: издательство «Лань», 2005 - №3, 288 с.
3. Амосов А.Л. Вычислительные методы для инженеров: учеб. Пособие. / А.Л.
Амосов, Ю.Л. Дубинский, Н.А. Копченова – М.: высш. Шк, 1994, 544 с.
4. Pelinovski, E.N. Hydrodynamics of Tsunami Waves. / E.N. Pelinovski. – Nizhnii
Novgorod, 1996. – 275 с.