УДК 511 V.A. Meschkoff

УДК 511
В.А. Мешков, канд. техн. наук (ОИР Украины, г. Евпатория)
V.A. Meschkoff
УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ:
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ СВОЙСТВА И АЦИКЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
THE PELLIAN EQUATION:
MULTIPLICATIVE PROPERTIES AND ACYCLICAL METHOD OF DECISION
Предложен новый метод решения уравнения Пелля, позволяющий значительно
упростить и сократить вычисления по сравнению с циклическим методом. Метод применим
для диофантовых уравнений y  Ax   . Для частных значений   1;  2;  4
найдены формулы. Приведены примеры применения метода и сравнение по эффективности с
циклическим методом.
It is the new method of decision for the Pellian equation, allowing simplifying and reducing the
2
2
computations. The method is generalized for Diophantine equations y  Ax   . Giving the
examples of method’s working and efficiency comparison with the cyclical method.
2
2
1
УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ: МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ СВОЙСТВА И
АЦИКЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ.
Хотя решению уравнения Пелля и связанных с ним диофантовых уравнений,
2
2
приводимых к виду y  Ax   ,   1 , посвящено много работ, интерес к этим
задачам теории чисел актуален и в настоящее время. Наиболее известен циклический метод,
применяемый еще с древних времен 1. Имеются некоторые разновидности и варианты
этого метода (английский метод, метод непрерывных дробей, композиции форм и т.д.), но все
они являются той или иной интерпретацией циклического метода (ЦМ). Оказывается, что,
при некоторых значениях A нахождение начального решения уравнения Пелля
y 2  Ax 2  1 требует значительных вычислительных усилий. Большинство современных
работ 2-4 также используют в качестве основы ЦМ и во многом опираются на анализ,
проведенный, в том числе и в историческом плане, в работе 1.
Предлагаемый в данной работе ациклический метод решения (АЦМ) включает элементы
ЦМ, однако не имеет жесткой привязки к фиксированному алгоритму вычислений, и является
гибким методом, позволяющим искать и находить оптимальный алгоритм решения для
конкретных значений A, ω, используя мультипликативные свойства.
В качестве наводящего примера рассмотрим уравнение Пелля с A  67. На пятом шаге
2
2
ЦМ (см. 1, 1.9, стр.45) приходим к равенству 221  67  27  2. Индийское древнее
решение, позволяющее сократить вычисления, применяет возведение в квадрат этого
2
равенства и сокращение на 2 , т.е.
(2212  67  27 2 ) 2  67  (2  27  221) 2  2  (2)  48842 2  67  5967 2  1.
Таким образом, в этом случае имеется способ получения решения, не используя полный
цикл, содержащий 9 шагов.
При этом под шагом циклического метода (ШЦМ) в соответствии с 1, стр.46 понимаем
переход от уравнения ri  Aqi  ki , полученного в результате предыдущего i  го шага, к
2
2
уравнению ri 1  Aqi 1  ki 1 .
Это уравнение определяется по результатам операции циклического метода (ОЦМ).
2
2
Каждая такая операция состоит из умножения уравнения
ri2  Aqi2  ki на уравнение
hi2  A  si , что в результате дает уравнение hi ri  qi A2  Ahi  qi r 2  ki si . При этом
hi  0,
выбирается
такое
значение
для
которого
h r  qi A
r  qi hi
s
ri 1  i i
, qi  1  i
, ki 1  i при наименьшем si . В общем случае такое
ki
ki
ki
значение ri выбирается из ряда решений сравнения ri  qi hi  0mod ki .
В ациклическом методе будем рассматривать операции композиции (ОК) и декомпозиции
(ОД). Для их определения удобно использовать матричные уравнения, отражающие
мультипликативные свойства решений
2
A q
y
z


r  x
v
r
q
1
(1)
1  2
2
ОК позволяет, если известны решения уравнений r  A  q  1 ,
2
2
y 2  Ax 2   2 , с
помощью (1) получить решение уравнения z  A  v  1   2 .
2
2
Соответственно ОД означает, что если известны решения уравнений
y2

Ax 2   2 ,
z 2  A  v 2  1   2 , то из решения системы (1) может быть получено решение уравнения
r 2  A  q 2  1.
В дальнейшем будем использовать эквивалентные обозначения
r
A q
q
r

1
r
q
1
r 1

q
(2)
опуская индексы в очевидных случаях и соотношениях.
В силу квадратичности рассматриваемых уравнений, для любого натурального решения
q, r  0 имеем эквивалентные решения в кольце целых чисел, т.е.
r
q

r
q

r
q

r
q
(3)
Достаточно часто можно ограничиться полукольцом решений
r
r

q
q
(4)
Нетрудно видеть, что ОК является составной частью ОЦМ, что может быть записано, как
ri
1
p
A
p
p r  Aqi
 i  ii
 i 1
qi  1
ri s qi k
pi  ri qi k  s
k i 1
i
i
i
i
Возведение в квадрат, использованное выше, также является ОК и представимо в виде
матричного уравнения
221 67  27
221
2  48842
48842



.
27
221  2 27  2 2  5967 4
5967 1
3
Этот пример показывает, что и при использовании фиксированного алгоритма ЦМ
имеются возможности прервать цикл, перепрыгнуть несколько шагов и сократить
вычисления. Различные такие частные случаи рассмотрены в качестве примеров и
упражнений в 1, разд.1.9.
Ациклический метод, используя все эти приемы, а также ОЦМ и ОК, существенно
отличается систематическим использованием ОД, что в ЦМ отсутствует.
На этой основе удается еще более сократить вычисления, необходимые для решения
уравнения Пелля.
Действительно, рассмотрим снова уравнение Пелля с A  67. На втором и третьем шаге
2
2
2
2
ЦМ (см. 1, стр.45) имеем уравнения 8  67  1  3, 41  67  5  6. Применяем к
этим уравнениям ОД, и в этом случае из (1) следует матричное уравнение
r 67  q
8
41


q
r  2 1 3  5 6
(5)
Это матричное уравнение соответствует системе линейных уравнений первого порядка
8r  67q  41; 8q  r  5
Нетрудно видеть, что эта система не имеет решения при q, r  0 , поэтому будем искать
решения   2
в полукольце (4), тогда, подставляя в первое уравнение,
r  5  8q  3q  81, q  27  r  221. Применяя теперь к этому решению ОК
(возведение в квадрат и сокращение), получим искомое решение   1.
Из этого примера видно, что применив АЦМ, мы используем два шага ЦМ, затем с
помощью ОД переходим с третьего на пятый шаг, и с помощью ОК с пятого шага на
последний девятый шаг ЦМ. Таким образом, число шагов в АЦМ равно 4. Поскольку в ЦМ
первый шаг — это тривиальное равенство 1  A  0  1 , то число шагов решения в ЦМ
равно 8. Применение АЦМ уже в этом простом случае вдвое уменьшило число шагов, без
учета того, что в ЦМ порядок чисел и сложность вычислений возрастают с каждым шагом.
В сложных случаях этот эффект гораздо значительнее, и во многом зависит от
правильного отбора пробных уравнений. Выше эти пробные уравнения были получены с
помощью ОЦМ, однако в АЦМ эти возможности значительно шире и не ограничиваются
рамками ЦМ.
Поэтому для «трудных случаев» объем вычислений менее зависит от значений A , в
отличие от циклического метода,
трудоемкость которого существенно и весьма
неравномерно возрастает с ростом A , как за счет увеличения числа шагов цикла, так и за
счет возрастания с каждым шагом порядка чисел.
В наиболее простом варианте, примененном выше, АЦМ состоит из:
2
1) выбора начального уравнения h  A  s или r  Aq  k ;
2
2
2
2) получение с помощью ОЦМ следующего уравнения R  AQ  K ;
3) анализ всего полученного к этому шагу подмножества уравнений ЦМ и принятие
решения, переходить к следующему ШЦМ, или найти алгоритм АЦМ и с его помощью
решение.
2
2
4
4) если на этапе 3 решение не удается найти, возвращаемся в п.2.
Первым существенным отличием АЦМ от ЦМ является получение и использование
некоторого подмножества пробных уравнений из множества уравнений ЦМ. Вторым
отличием является применение ОД, что требует «памяти». В ЦМ «памяти» нет, т.к.
предыдущие уравнения больше не используются. Третьим отличием является отсутствие
фиксированного алгоритма вычислений: для конкретного значения A алгоритм надо найти
на основании анализа полученного на данный момент подмножества уравнений. Это может
вносить, на первый взгляд, субъективный момент в найденный алгоритм АЦМ. Однако этот
момент присутствует всегда, когда одна и та же задача может быть решена различными
способами. В данном случае нетрудно определить критерий: наилучший алгоритм АЦМ
использует наименьшее подмножество пробных уравнений (или ОЦМ) и содержит
наименьшее число ОК+ОД (суммарное число операций композиции и декомпозиции). Этот
критерий является объективным.
Для дальнейшего докажем ряд вспомогательных лемм и теорем, дающих теоретическое
обоснование метода.
Лемма
1.
Если
имеется
y 2  Ax 2   p, и начальное решение
решение
r 2  Aq 2  1, то существуют такие решения, что y 
Предположим, что имеем решение y1 
pq . Применим ОК в виде
y
ry  Aqx1
A q
 1
 1
qy1  rx1  p
r 1  x1  p
r
q
Будем считать, что
Отсюда следует, что
pr , x1 
pr , x  pq.
r , q  1 , и с достаточной точностью y1  x1 A , r  q A.


y  ry1  Aqx1  r y1  x1 A 


x  qy1  rx1  q y1  x1 A 
pr
 rp
 rp

 y
,
2
y1  A x1 2 y1
pq
 qp
x
.
2 x1 A
2 A
Лемма доказана.
Лемма 2. Существуют необходимые и достаточные условия, при которых уравнение (А)
y 2  Ax 2   имеет решение.
1)
Данное уравнение эквивалентно квадратичному вычету y   mod A и имеет
решение, если вычет существует.
2
2)
Из циклического метода следует, что должно существовать уравнение y  A    k ,
2
что эквивалентно квадратичному вычету y  Amod  .
Эти условия являются необходимыми для существования решения уравнения (А). Если
хотя бы одно из условий не выполняется, решения не существует.
Прямого определения достаточных условий, по-видимому, не существует. Однако
доказано, что если решение существует, то оно будет найдено с помощью циклического
метода за период повторения [1, стр. 376-377]. В противном случае решения нет.
2
5
В АЦМ достаточные условия
мультипликативных свойств.
определяются
косвенным
путем
с
помощью
z 2  Av 2    1 , r 2  Aq 2  1 . Тогда это
Пусть имеются решения уравнений
y  Ax   имеет
является достаточным условием, при котором уравнение (А)
решения.
Доказательство. Поскольку имеем решения обобщенных уравнений Пелля, то к ним
2
2
применимы ОК и ОД. Следовательно, уравнение r  Aq  1 может быть получено с
2
2
z 2  Av 2    1 . Но в этом случае должно существовать
помощью ОД из уравнения
r  Aq  1 также не
решение y  Ax   . В противном случае решения
существует, что противоречит начальным условиям. Лемма доказана.
Теорема о решениях обобщенного уравнения Пелля. Существует две
непересекающиеся последовательности решений уравнения (А), если    p, p  простое
число.
Известно (см. 1, стр.404), что если A  положительное целое, не являющееся
2
2
2
2
2
2
квадратом, то уравнение y  Ax   ,   1 либо вообще не имеет решения, либо
имеет конечное число бесконечных последовательностей решений вида


y  x A  V W A  X Y A
где X  Y
n
(6)
A  основная единица, т.е. начальное решение с   1, n  0, 1, 2,... ,
V  W A  одно из конечных квадратичных целых, соответствующих  .
В полукольце (4) существует соотношение, аналогичное (6), но с заменой всех знаков
при A   A . Соответственно имеем инвариант ( или норму)




n
y 2  Ax 2    y  x A y  x A  
и сопряженное с (6) соотношение

y  x A  V W A  X Y A
(7)
Из свойств основной единицы следует
a  X  Y A, a  X  Y A, an an   1n 
(8)
an  an
an  an
n
2
2
rn 
, qn 
 rn  qn   1
2
2 A
Для уравнений, не имеющих решений   1, в (8) используются только четные n.
Из соотношений (6-8) теперь находим
y  Vrn  AWq n ,
x  Wr n  Vq n
Соответственно имеем матричное представление для первой последовательности
натуральных решений, определяемых квадратичным целым V  W
y0 V

x0 W
;
p
y n rn

xn q n
A  qn V

rn 1 W
A
, n 1
(9)
p
Другая последовательность определяется сопряженным квадратичным целым V  W A
6
yn
xn
A  qn
V

rn 1  W
rn
qn

p
, n 1
(10)
p
Пусть V  W A соответствует решению с наименьшими натуральными V , W , тогда
r1  y1  V , q1  x1  W . Для рассматриваемого
для решений внутри первого цикла
случая имеем в (6) только эти два квадратичных целых [1, стр.299, упр.7.1], что и доказывает
теорему.
Определение. Простыми обобщенными уравнениями Пелля будем называть уравнения,
имеющие только две непересекающиеся последовательности решений.
Следствие 1. Пусть известны два последовательных решения уравнения (А),
   p, p  простое число. Тогда с помощью ОД можем найти решение уравнения Пелля
r1 , q1 , если оно неизвестно.
Для случая, когда эти решения относятся к непересекающимся последовательностям и
r1  y1  V , q1  x1  W , решение уравнения Пелля можно найти с помощью ОК и
сокращения.
Имеем
A  q1
V

r1 1  W
y1
r
 1
x1  p q1

p
Vr1  WA  q1
.
Vq1  Wr1  p
Теперь находим композицию
V
A W
W
V

p
Vr1  WA  q1
Vq1  Wr1

p

q V
r1 V 2  AW 2
1
2
 AW 2


 p
p2
r1
q1
Отсюда получаем полезную формулу для практического решения уравнения Пелля
A W
V
r1
V
 p 1 
q1 1
W
p
y1
p 1  V  y1  WA  q1 
 1
x1  p
p  V  x1  W  y1  1
(11)
Следствие 2. Пусть известны решения уравнений
y  Ax 2   p,
2
z 2  Av 2   pp1 ,
p, p1  простые числа. Тогда с помощью ОД можем
найти решение уравнения m  An   p1 , если оно неизвестно.
2
Пусть теперь
y
x

2
V
;
W
p
z
v

m
A n
n
m

p1
V
W

Vm  WA  n
p
Vn  Wm
.
 pp1
Для этого случая решение можно найти с помощью ОК и сокращения.
.
V
A W
W
V

p
Vm  WA  n
Vn  Wm

 pp1

n  V
m  V 2  AW 2
2
 AW 2


 p
 p 2 p1
m
n
 p1
Аналогично имеем формулу для практического решения обобщенного уравнения Пелля
m
n
 p 1 
 p1
Следствие
3.
z 2  Av 2   p,
V
A W
z
W
V
v
 p  pp
Пусть
p

7
 V  z  WA  v 
p 1  V  v  W  z 
1
известны
1
решения
(12)
 p1
y 2  Ax 2  p,
уравнений
p  простое число. Аналогичная формула, позволяющая найти решение
уравнения m  An  1, имеет вид
2
2
m
V
 p 1 
n 1
W
A W
V
p
z
p 1  V  z  WA  v 
 1
v p
p  V  v  W  z  1
(13)
Следствие 4. Полученные соотношения (9-13) остаются справедливыми и в тех случаях,
когда p, p1 не являются простыми числами, но соответствуют простым обобщенным
уравнениям Пелля.
Следствие 5. Для простых обобщенных уравнений Пелля ОД соответствует ОК с
сокращением в кольце целых чисел (4).
Действительно, в соответствии с (1) ОД определяется соотношением
r
A q
q
r

1
y
x

2
y
A x
x
y

2
r
 q

1
y
 x A
x
y

2
r
q

1
z
v
1  2
Умножим теперь последнее равенство на сопряженную матрицу и получим
y  x A
y  x A
r
y  x A
z




x
y  x
y  q
x
y  v
2


r y 2  Ax 2
q y 2  Ax 2


2
2
1  2
yz  xvA

yv  xv 
1
2
1  2
2

1  2
r
 21  yz  xvA 

 1
q
 2  yv  xv  
1
1
В дальнейшем ОД= ОК с сокращением будем записывать в виде
y  2
z 1  2
r 1


,
x
v
q
y
x
 2

z
v
1  2

r
q
1
,
r
 21  yz  xvA 
 1
q
 2  yv  xv  
1
r

q
1




1
 21 yz  xvA
 21 yv  xv 
1
(14)
8
Теорема. Пусть m - число ШЦМ, необходимое для нахождения решения уравнения
Пелля с помощью ЦМ. Тогда в худшем случае алгоритм АЦМ содержит 1  m / 2
последовательных ШЦМ и одну ОД.
Доказательство.Начальное уравнение ЦМ имеет вид 1  A  0  1 , и после каждого j -го
2
ШЦМ имеем уравнение p j  A  q j   j , j  1,...,m. Из основного свойства ЦМ следует,
что  m  1,  m 1  1 , ...,  m  j   j , .... Если m - четное число, то  m 2 не имеет пары,
2
2
а после 1  m / 2 последовательных ШЦМ
имеем первую пару уравнений с
 m 2 1   m 2 1 . Если m - нечетное число, то все уравнения имеют пару, и первая
соответствует значениям
 m1 2   m1 2 . Таким образом, необходимая пара уравнений
получается за 1  m / 2 шагов, x  целая часть числа.
Используя теперь свойства кольца (4) и применяя ОД в виде
ym / 21  ym / 21 
r 1


xm / 21
xm / 21
q
найдем решение уравнения Пелля. Теорема доказана.
На практике такой худший алгоритм АЦМ может реализоваться для ЦМ с малым числом
шагов. В «трудных» случаях эффективность АЦМ резко возрастает.
Рассмотрим теперь, как в конкретных случаях можно находить алгоритм решения АЦМ.
При использовании некоторого числа последовательных операций ЦМ нет
необходимости вычислять ri , qi . Как показано в [1, стр.50, упр.1.9.4-5], для того, чтобы
определить необходимое число шагов в ЦМ, не надо вычислять решение. Таким же образом
находим минимальное множество начальных шагов ЦМ, необходимых для построения
алгоритма АЦМ. На каждом шаге достаточно вычислять значения hi , k i , используя
рекуррентные формулы
соответствуют
hi2  A
hi 1  hi  0mod ki , ki 1 
.
ki
Начальные значения
h0  1, k0  1, h1  min h 2  A . Для рассмотренного выше примера
A  67 полная таблица всех значений hi , k i за цикл имеет вид
i
hi
0
1
1
8
2
7
3
5
4
9
5
9
6
5
7
7
8
8
ki
1
-3
6
-7
-2
-7
6
-3
1
Из таблицы следует, что для алгоритма АЦМ достаточно два первых шага ЦМ
(закрашены серым). Далее ход решения соответствует уже полученному выше и кратко
записывается в виде
1
8  3 h2  7 41 23 8  3
221  2 221  2
2212  1
48842 1
A  67 :






1
5
1
27
27
221  27
5967
9
Здесь знаком  обозначаем ОК с сокращением общих множителей и для случаев,
рассмотренных в Следствиях 1-5, совпадающих с ОД. Соответственно ОД в кольце целых
чисел (3) или (4), соответствующий второй строчке (14) будем обозначать  . ОЦМ, после
того, как найдено значение hi , si  ki  ki 1 , соответствует ОД= ОК с сокращением.
Например,
8  3 h2  7 41 23
A  67 :

1
5
8  3 7 18
31 8  7  67  41 23




1
1
5
31 8  7 
Ясно, что при АЦМ всю таблицу, приведенную выше, строить не надо. Она может
использоваться для нахождения числа ШЦМ, например, для сравнения числа шагов в ЦМ с
числом шагов в АЦМ. Для конкретных значений A обычно достаточно получить лишь
небольшую начальную таблицу и на ее основе найти алгоритм АЦМ.
Так, для A  139 после трех ШЦМ имеем таблицу
i
hi
0
1
1
12
2
13
3
11
ki
1
5
6
-3
Алгоритм АЦМ аналогичен предыдущему, и содержит 3 ШЦМ. Получаем решение
12 5 h2 13 59 23 h3 11 224 3 59 23
A  139 :




1
5
19
5
1
8807  2 8807  2
8807 2  1
77563250 1



747
747
8807  747
6578829
Рассмотрим вспомогательные приемы, позволяющие упростить вычисления в АЦМ. В
зависимости от конкретного A , строить алгоритм решения и выбирать пробные уравнения
следует так, чтобы кратчайшим путем получить уравнения, где правая часть имеет значения
из ряда   1;  2;  4. Для первых двух случаев решение уравнения Пелля получаем
возведением в квадрат, как это было сделано выше для A  67 . Фактически в этих случаях
решение вычисляется по формулам
1
1
r 1 r 1
2r 2  1


;
q
q
2rq
r  2 r  2
r2 1


;
q
q
rq
В последнем случае решение получаем в два этапа
r  4 r  4
r2  2


q
q
rq
4




1




1
r 2 r 2
r2 1


q
q
rq



1
(15)
1
r  4
r r2  3 / 2
r r2  3 / 2
(16)



q
q r2 1 / 2
q Aq 2  3 / 2
Аналогично для значений A , когда решений   1;4 не существует, но есть решение
  4 находим
r 4 r 4
r2  2


q
q
rq
4



r 4
r r2  3 / 2
r r2  3 / 2



q
q r2 1 / 2
q Aq 2  3 / 2


1
(17)
10
Заметим, что (15-17) можно рассматривать, как соотношения между рациональными
числами, у которых числитель и знаменатель натуральные взаимно простые числа.
Соответственно для правой части (16-17) свойства A, r , q должны обеспечивать это
условие.
Нетрудно найти условия, когда решения   1 существуют. В этом случае имеем
2
2
2
уравнение y  1  Ax , что является частным случаем сравнения y  1(mod A).
Таким образом, необходимым условием является существование квадратичного вычета
 1 по модулю A .
2
2
С другой стороны, из существования решения y  1  Ax , и теории, изложенной в 1,
(раздел 1.7) следует, что в этом случае A является суммой двух квадратов, и также суммой
двух квадратов будут решения x.
Пробные уравнения в общем случае можно искать не только с помощью операций,
образующих циклический метод. Часто необходимые уравнения можно найти
непосредственно методом проб или с помощью метода приближений. В последнем случае
удобно рассматривать пару
 y, x 
y 2  Ax 2   ,   1 как
решений уравнения
у
 A. Тогда
x
2
2
у у
 у  у  x A  у  у  Ax
A     A   
 x x у  x A
x x
x
 x 


некоторое рациональное приближение


 у 
 
 x 2 xy

(18)
Понятно, что значения  характеризуют точность рационального приближения, а
наилучшие приближения соответствуют значениям   1.
В качестве конкретных примеров рассмотрим частные случаи уравнения Пелля,
предложенные в свое время Ферма (см. 1, стр.46-48). Для значений A  150 это случаи
A  61; 109; 149 . При этом отмечается, что первый случай трудный, а два следующих 
очень трудные.
3
1 39 4
8 
В первом случае имеем 61  8 
, где последнее выражение в
28
5 5
2
2
правой части означает, что 39  61  5  4.
С помощью формулы (16)получаем первое решение для   1
39  39 2  3
y( 1) 
 39  762,
2
5  5 2  61  3
x( 1) 
 5  761
2
12


Далее применяем первую формулу (15)
первое решение для   1


и получаем решение уравнения Пелля, т.е.
y(1)  2 y(21)  1  239  762 2  1,
x(1)  2 x( 1) y( 1)  2  5  761  39  762  226153980 .
11
Во многих случаях необходимое рациональное приближение, и тем самым начальное
пробное уравнение можно найти с помощью десятичного представления
два случая относятся к их числу:
109
12
A . Последние
1044 261 4
122 61 4
12
 10,44030 ... 

, 149  12,2065 ... 

.
100
25
10
5
Теперь нетрудно получить решение тем же способом, что и (11-12). Вычисления удобно
свести в таблицу
A
p
q
y(1)
x(1)
y(1)
x(1)
109
261
25
26134062
2534061
2261  34062 2  1
2253406126134062
149
61
5
611862
51861
261 1862 2  1
251861611862
Из этих примеров следует, что АЦМ основан на целенаправленном поиске пробных
уравнений для значений   1;  2;  4, т.к. решение для   1 далее можно
вычислить просто по формулам.
С ростом значений A находить нужные пробные уравнения методом проб или с
помощью рациональных приближений может оказаться затруднительным, и тогда следует
применять ОЦМ. Рассмотрим случаи A  421; 433, которые считаются самыми трудными
из предложенных Ферма.
Для первого из них с помощью ОЦМ получим ряд пробных уравнений ЦМ,
записываемых в виде
12
421
21 20 h 19 41 3 h  23 595 36



.
1
2
29
Этих данных уже достаточно для использования алгоритма АЦМ:
41 3 41 3
3365 9 595 36
444939 4




.
2
2
164
29
21685
Имея это решение, далее с помощью формул находим решение для   1 и затем
решения   1.
y ( 1)
x( 1)


444939  444939 2  3

 444939  9898535686 2,
2
21685  21685 2  421  3

 21685  9898535686 1.
2

Аналогично (12) вычисляем решение для

  1.
y (1) 
2 y (21)
12
 1  2444939  9898535686 2  1,
2
x(1)  2 x( 1) y ( 1)  2  21685  9898535686 1  444939  9898535686 2 
1890739959 5183902088 0499780706 260 .
Однако для уравнения с A  433 такой способ вычислений не подходит по причинам,
которые будут понятны ниже. В данном случае, варьируем с помощью ОЦМ, но полученное
подмножество пробных уравнений не принадлежит ЦМ.
4331 2
 h 19 104  9
 
5

21 8 h  h  21 437 16


 
1
21

 h  23 229 48
 
11

(14)
Этих уравнений оказывается достаточно, чтобы найти решение с помощью АЦМ.
229 316 437 16
12506 3 104 9
867263 3 12506 3
7230660684 1






.
11
21
601
5
41678
601
347483377
И теперь по формулам нетрудно получить решение для
y(1) 
2 y(21)
 1  27230660684   1,
  1.
2
x(1)  2 x( 1) y( 1)  2  347483377  7230660684  5025068784 834899736 .
Оказывается, что в случае A  433 решений   4 с взаимно простыми x, y нет, как
и решений   2 .
Это общее свойство уравнений с A  8n  1. В этом случае имеем


y 2  8n  1x 2  2  y 2  x 2  2 4nx 2  1 .
Но разность двух квадратов не может быть равна нечетному числу, умноженному на 2.
Далее рассмотрим


y 2  8n  1x 2  4  y 2  x 2  4 2nx 2  1 .
Если x, y нечетны, то
y 2  x 2   y  x  y  x   2k  1  2l  12k  1  2l  1  4k  l k  l  1  8m .
Поэтому предыдущее равенство невозможно, что и доказывает указанные выше свойства
уравнений с A  8n  1.
Аналогичное рассмотрение для уравнений с A  4n  1, n  нечетное, показывает, что
решений с   2 и в этом случае не существует, но для   4 решения с нечетными x, y
существуют.
13
Далее для уравнений с A  2n  1, n  нечетное, приходим к выводу, что решений с
  1;4 не существует, но могут быть решения либо   2 , либо   2 , либо   4.
Такая предварительная информация о свойствах решения может быть полезна при
построении алгоритма АЦМ.
С современной точки зрения и современных вычислительных возможностей
предложенные Ферма уравнения не являются слишком трудными. В приложении
рассмотрены более сложные задачи и проведено сравнение эффективности современных
компьютерных алгоритмов, основанных на ЦМ, с эффективностью алгоритмов АЦМ. Для
этого
использовались
результаты
5,
где
найдено,
что
значения
A  1201; 1549; 3061; 56149; 92821 являются рекордными по числу шагов ЦМ, в том
смысле, что уравнения Пелля с меньшими A , решаются за меньшее число шагов. Кроме
этих значений сравнение зффективности проведено для всех значений, рассмотренных в
статье. Дополнительно рассмотрен случай A  991 , для которого приведено решение АЦМ.
Для случая A  9221 такого решения не приводим, чтобы читатель мог использовать его для
самоконтроля.
Для достаточно больших A задача нахождения алгоритма АЦМ становится все более
нетривиальной, и интересным представляется вопрос о существовании наиболее короткого и
тем самым наиболее эффективного алгоритма. В рассмотренных примерах эффективность
увеличивалась с ростом A , и для последних рассмотренных значений выигрыш только за
счет уменьшения шагов вычисления составил более чем в 30 раз. При этом реализуется
принцип: больше анализируем, меньше вычисляем.
Представляет интерес, что хотя отдельные приемы прерывания цикла известны с
древних времен, сформулировать АЦМ в общем случае удалось только в настоящей работе.
Приложение 1. Сравнение зффективности циклического и ациклического методов.
На сайтах Интернета существуют компьютерные программы решения уравнения Пелля и
обобщенного уравнения Пелля, например, использованная в 5. Эффективность алгоритма
будем оценивать по числу шагов ЦМ или АЦМ, необходимых для получения решения. Далее
представлены результаты, полученные для некоторых «трудных» случаев, компьютерное
исследование которых проведено в 5 на основе ЦМ, и для ряда более простых случаев.
Поскольку в АЦМ для решения уравнения Пелля достаточно найти решения обобщенных
уравнений Пелля для   1;  2;  4 , то число шагов АЦМ соответствует получению
этих значений. Далее решение уравнения Пелля мы не приводим, т.к. оно вычисляется по
формулам (15-17).
Табл. П1. Число шагов для получения решений в ЦМ и АЦМ.
Значения А
ЦМ 
ЦМ 
ЦМ 
ЦМ 
АЦМ
 4
 2
 1
1
61
2
7
14
2
67
4
8
4
109
4
11
22
1
139
6
12
5
149
2
7
14
1
421
8
25
50
5
433
15
30
7
991
22
44
14
1201
33
66
11
14
Значения А
ЦМ 
ЦМ 
ЦМ 
ЦМ 
АЦМ
1549
15
51
102
8
 4
 2
 1
1
3061
23
74
148
9
9221
24
48
10
56149
121
349
698
24
92821
169
503
1006
31
Приложение 2. АЦМ алгоритмы для некоторых уравнений Пелля.
A  991
i
hi
0
1
1
31
2
29
3
31
4
29
5
35
6
43
7
23
8
40
ki
1
-30
5
-6
25
-39
-22
21
29
i
hi
9
18
10
28
11
26
ki
-23
9
-35
5
25
39 h  43 22 h  23 21
 29
 31 6
 29
 35
9911 2   30 h
 h
 h
 h



 40
r

29
18
h

 23
9
 28
 26
h
 h

 35
5  7 21  3  6 2 .
A  1201
i
hi
0
1
1
35
2
37
3
33
4
31
5
29
6
19
ki
1
24
7
-16
15
-24
35
7
24
 37
 33 16
 31 15
 29
12011 2  24 r
 r

r
 r


19
r

35
7 5 15 3 24 8  24 - 3 3 -1 .
A  1549
i
hi
0
1
1
39
2
45
3
40
4
38
5
32
ki
1
-28
-17
-3
35
-15
 45
15491 2   28 h

 32
h

15
17
 40
h

3
 38
h

15
35
 3  5 35  7  28  4 .
A  3061
i
0
1
1
hi
ki
1
55
-36
2
53
7
3
52
-51
4
50
11
5
60
49
6
38
-33
51 h  50 11 h  60 49
 53 7
 52
30611 2   36 h
 h

 
 38
h

 33
9

11  3 
 36  4 .
A  56149
i
hi
0
1
1
237
2
243
3
192
4
207
5
193
6
185
7
279
8
282
ki
1
20
145
-133
100
-189
116
187
125
4·5
5·29
-7·19
4·5·5
3·3·3·7
4·29
17·11
hi
9
218
10
265
11
143
12
207
13
249
14
213
15
207
16
268
17
227
ki
-69
-204
175
-76
-77
140
-95
-165
28
-3·23
-4·3·17
-4·19
7·11
5·4·7
5·19
5·11·3
i
145 h 192 133 h  207 100 h 193 189 h 185 116
 243
56149 1 2  20 h


 



 279
h

 207
h

187
 76
 282
h

125
 218
h

 249
133  28 h

 248
  68  20   85 h

 63
 69
209
 265
h

 204
143
h

175
 76   44 187 
 256
h

149
;
149 3 149
 340
133 h


 3  63   21 3   7  28   4 .
A  92821
i
hi
1
305
2
307
3
302
7
302
8
292
9
395
ki
204
7
-231
-33
229
276

4·3·17
-3·7·11
-3·11
3·4·23
16
i
hi
10
157
11
337
12
335
13
358
14
254
15
301
16
299
17
271
18
273
ki
-247
-84
-231
-153
185
-12
285
-68
269
-13·19
-4·3·7
-3·7·11
-3·3·17
5·37
-3·4
3·5·19
-4·17
hi
18+
341
19
265
20
323
21
362
22
196
23
194
24
372
ki
-345
-84
-137
-279
195
-283
-161
-3·5·23
-3·4·7
-3·3·31
3·5·13
i
-7·23
7
231 7 33 h292 229 h395 276
307
302
928211 2  204 h
 h

 



157
h

247
299
h

362
h

285
337
h

271
h

279
84
68
196
h

195
335
h

273
h

231
269
194
h

358
h

265
h

283
153
84
372
h

301
h

323
h

723
12
137


 7  23 ;
143 h248 219
341 1523 23
324
68 h


 15  12  20  68  85 h



737 7 37
190
h

  ; 20  185  437  37  4
Приложение 3. Последовательность вычислений в АЦМ.
12
991
31 30 h  29 63 5 h  31 787 6 h  29 7933 25 h  35 8720 39





1
2
25
252
277
16653  22 h  23 41239 21 h  40 140370 29 h 18 239501  23




529
1310
4459
7608
h  43
619372 9 h  26 3955733  35 63 5
99653067  7 41239 21






14675
125658
2
3165584
1310
h  28
1174169376 379  3 787  6
6160490247 59241 2


.
3729871947 8
25
1956944221 2887
17
12
1201
35 24 h  37 104 7 h  33 1005 16 h  31 4124 15 h  29 17501 24






1
3
29
119
505
36126 35 104 7 1162413 5 4124 15 1917516062 3 35 24







1129
3
33542
119
55330871
1
h 19
4452181274 7 8 17501  24
1947940650 37249 - 3 1917516062 3




1284698849
505
5620878749 198
55330871
2490138323 2746505714 4832 -1
.
7185416856 0944230773 85
1549
12
39 28 h  45 118 17 h  40 551 3 h  38 14208 35 h  32





1
3
14
361
28967 15 551  3 10640571 5 14208 35
6047249048 6 7 39  28






736
14
270358
361
1536498519
1
6769233335 55  4
.
1719941896 1
12
3061
55 36 h  53 166 7 h  52 2545 51 h  50 5256 11 r  60 55105 49





1
3
46
95
996
104954  33 5256 11 100297849  3 




1897
95
1812842
r  38
2011931702 8053605 9 55  36
2466322113 65741439  4


.
3636483063 53716
1
4457774875 278665
18
56149
12
237 20 h  243 5687 145 h 192 16824 133 h  207 56159 100

 

 
1
24
71
237
241460 189 h 185 539079 116 h  279 2397776 187 h  282


 
 
1019
2275
10119
h 193
6654249 125 h  218 24219220  69 h  265 176188789  204 h 143
 
 

28082
102209
743545
328158358 175 h  207 832505505  76 16824 133
1474323606 467 28
 


1384881
3513307
71
6221882517
 249
h

2558782355 2047 209  76
2242316207 1629244318 65  44 187




1079847269 00
9462934694 754903891
9775585428 9137624154 7967051  68 20
 
4125454127 3574787961 98941
1158303746 1556281154 3660632324 85
4888227927 6877467906 1779017
 248
h

6608569870 0980596138 1972551081  63 h  256
 
2788922673 2025756700 11550924
5171025521 4628848795 1211977632 4 149

;
2182255859 2851830681 030628375
16824 133  340 72983 149 3 149



71
308
5065731054 3716594561 1720250634 1208 3  63


2137819902 2769622157 6066526295 33
2231815841 0627082729 6686716884 6701527991 3633004114 1753279691 1052  21
9418621462 5890071254 9184922201 0457378525 4830669684 7787445045 5
 21 3  7537185875 8066434142 3606050613 4615457365 9320 
3180813548 8272368243 1939842729 0604302972 8648 
 0235874999 3894073378 6317110362 9074461793 5582501303 517  7 28
 
 8486506306 5255694698 3610441599 4141372063 9381004945 2
1022460176 6865013354 0262993806 6290109552 8249596576 80141 
4314946236 8707360682 5242924165 2588404911 5363957017 2790 
 6143492667 3434290835 6196890978 9  4
.
 5685902720 6423785934 017727685
12
92821
305 204 h  307 914 7 h  302 79213 231 914 7
20685866 33

 
 


1
3
263
3
67897
 292
h

374016373 229 h  395 1142734985 276 h 157
 

1227630
3750787
1911453597  247 h  337 4965642179  84 h  335 3781368383 5  231 h  358
 
 
 
6273944
16298675
124115456
1084754093 26 153 h  301 1296739269 733 12 h  299 6523305144 0119 285

 
356047693
4256273641
2141137573 66
 271
h

1317628421 49971  68 h  273 1119335788 639887 269 h  265
 
 
4324837883 73
3673984064 350
2370434419 429745  84 h  323 1771237672 4648102 137 h  362
 
 
1180451917 073
5813714748 3861
8619144920 3810765  279 h 196 1546705216 82973428 195 h 194


2829052855 02232
5076734235 20603
3955324925 69757621  283 h  372 9457355068 22488670  7  23 914 7
 


1298252132 543438
3104177688 607479
3
2469715549 9120843845 1 23
8106321325 50671688
1317628421 49971  68 h  341 1251098630 789858 15  23  23



4324837883 73
4106467852 723
2686832819 9438521554 1505510369 61394 15 12


8818963053 1165915599 0257285387 99
2322747752 5524319480 5056186177 0373796947 6494447  20  68


7623930472 8671446860 6274269986 4150347789 5407
1530259227 3688299534 2389581292 2232961864 8600902356 3512358271 7 85
5022753737 2937367460 3591662573 0030673753 9412202911 00936982
 324
h

1131789428 6080504040 1546124765 1400772720 8579379352 7771777930 18 143
3714860515 5905890107 5239152901 0309294307 2200536587 668554881
 248
h

4374131791 6953186207 1945540931 3379794696 9457427175 4735875893 55  219
1435716668 8632982368 4059744534 6823410985 3486092605 9573282542
190
h

20
r 190

9880053011 9986876454 5437206627 8160362114 7494233703 7243529717 28 7 37
3242919389 2856553747 5643404359 4677751401 4192238870 6815119965
7 37  7 
2580099867 4219021477 3618642848 4755153979 6878551961 6671310524 24741 37
8468634607 7238504373 7670333675 5690819164 7457109198 4574397947 42
 20  185 
3680049614 9328479656 8787500675 7935016029 9086110576 40805219  437
1207898807 3551571085 7248800794 7395609816 2637902124 117427
 4 37  37 
5132375958 6996016683 8832501008 7124786345 2482955129 0664806636 71 
1684594352 8195213938 7194581283 8380304355 7859445536 8641035848 1 
 4
 7776924913 6435630315 6448744476 4759919316 9775789836 426861189
 5205720657 6140810134 0549272522 1502741294 9635584942 14227565
[1] Эдвардс Г. Последняя Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую
теорию чисел. М., Мир, 1980.
[2] Lenstra Jr. H.W. Solving the Pell Equation. Notices of AMS, v.49, p.182-192.
[3] Barbeau E.J. Pell’s equation. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, N.Y., 2003.
[4] Williams H.C. Solving the Pell Equation. Number Theory for the millennium, III (Urbana,
IL, 2000), A.K. Peters, Natick, MA, 2002, p. 397-435.
[5] Oliveira e Silva T. Large fundamental solutions of Pell equation. Web site.
http://www.iee ta. pt/~tos/.