Задачи на смеси и сплавы.

Задачи на смеси и сплавы.
Введение новых образовательных стандартов требует не только знаний у
учащихся, но и умение их применять. В связи с этим появилась необходимость в
усилении практической направленности обучения, включая в работу с учащимися
соответствующие задания на проценты, пропорции, графики реальных
зависимостей, текстовые задачи с построением математических моделей реальных
ситуаций. В процессе подготовки приходится искать различные пути решения
таких типов задач, как задачи «на движение», «на работу», «процентное
содержание», «смеси и сплавы»...
Хочу поделиться уже опробованными приемами решения задач на «смеси и
сплавы». По отзывам школьников, рассматриваемая модель соответствует их
представлениям о процессе сплавливания, выпаривания и др., позволяет компактно
и наглядно представить эти процессы, упрощает составление уравнения. Он
появился и нашел свое применение после знакомства с различной литературой.
В процессе поиска решения этих задач полезно применить очень удобную
модель и научить школьников пользоваться ею.
Рассмотрим задачи на смеси и на так называемый «принцип сухого
вещества», которые можно решать с
помощью «обратной
пропорциональности».
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении
(уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается
(увеличивается) во столько же раз.
Задачи на пропорциональные величины можно решать с помощью
пропорции.
2
Задачи на смеси.
1. У хозяйки имеется 50 г 9%-го уксуса. Сколько нужно добавить воды,
чтобы получить уксус 3%-й концентрации?Ответ укажите в граммах.
Решение.
Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив за х массу воды,
которую нужно добавить, а за (5о + х)г −массу полученного 3%-ного уксуса.
Запись будет иметь следующий вид:
масса
процентная концентрация
50 г
↓ 5о+х
г
9% уксуса
3% уксуса
↑
Зависимость
между массой и процентной концентрацией обратно
пропорциональная, так как если уменьшить концентрацию уксуса в несколько
раз, то масса во столько же раз увеличится. Условно обозначим такую
зависимость противоположно направленными стрелками. Запишем пропорцию:
50
50+х
=
3
9
;
50
50+х
1
50 + х = 150; х = 100.
= ;
3
Ответ: 100 граммов.
2. У хозяйки было некоторое количество 70%-ной уксусной кислоты.
После того, как она добавила в кислоту 3200 г воды, у неё получился 6%ный уксус. Сколько граммов 70%-ной уксусной кислоты было
первоначально у хозяйки?
Решение.
Пусть х граммов 70%-ной уксусной кислоты было первоначально, а
(х + 3200)г–масса полученного 6%-ного уксуса.
следующий вид:
масса
процентная концентрация
хг
↓ х+3200
г
70% уксуса
6% уксуса
Условие задачи имеет
↑
Запишем пропорцию:
х
х+3200
=
6
70
;
70х = 6х + 19200 ; 64х = 19200; х = 300.
Ответ: 300 граммов.
3. В лаборатории изготовили 1 кг 16% солевого раствора. Через неделю из
этого раствора испарилось 200 г воды. Определите процентное содержание
соли в новом растворе.
Решение.
3
Пусть х процентное содержание соли в новом растворе.
1 кг = 1000г
Узнаем массу нового раствора после испарения воды: 1000 − 200 = 800г.
Условие задачи имеет следующий вид:
масса
процентная концентрация
г
↓1000
800 г
16% солевого раствора
х % солевого раствора
↑
Запишем пропорцию:
1000
800
=
х
16
;
5
4
=
х
16
; 4х = 80 ;
х = 20.
Ответ: 20% соли в новом растворе.
4. Для консервирования 10 кг баклажан необходимо 0,5 л столового уксуса
(10% раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция
(80% раствор уксусной кислоты). Сколько миллилитров уксусной
эссенции понадобится хозяйке для консервирования 20 кг баклажан?
Решение.
Для консервирования 20кг баклажан понадобится 1л или 1000мл столового
уксуса (10% раствор уксусной кислоты).
Условие задачи имеет следующий вид:
объём
процентная концентрация
столового уксуса
↓ 1000мл
х мл уксусной эссенции
10% раствор уксусной кислоты
80% раствор уксусной кислоты
↑
Запишем пропорцию:
1000
х
=
80
10
;
1000
х
=
8
1
; 8х = 1000 ;
х = 125.
Ответ: 125 миллилитров.
5. Имеется 10 литров 60%-ного раствора соли. Сколько литров воды
нужно долить, чтобы получить 40%-ный раствор соли?
Решение.
10 л
↓ 10+х
л
10
10+х
=
60% раствора соли
40% раствор соли
40
60
;
10
10+х
Ответ: 5 литров.
=
2
3
↑
; 20 + 2х = 30 ;
2х = 10; х = 5.
4
6. Имеется 1 грамм 69%-ной уксусной кислоты. Сколько граммов воды
нужно долить, чтобы получить 3%-ный раствор уксуса?
Решение.
1г
↓ 1+х
г
1
1+х
=
69% укс.кислоты
3% раствор уксуса
3
;
69
1
1+х
=
1
23
↑
; 1 + х = 23 ;
х = 22.
Ответ: 22 грамма.
7. У хозяйки есть 5 кг сахарного сиропа 50% концентрации. Сколько
литров кипячёной воды необходимо добавить для получения сиропа 40%
концентрации?
Решение.
5 кг
↓ 5+х
кг
5
5+х
=
50%
40%
40
;
50
↑
5
5+х
=
4
5
; 20 + 4х = 25 ;
4х = 5; х = 1,25.
Ответ: 1,25 литров.
8. Кислый маринад для консервирования овощей содержит 24% столового
уксуса (10% раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная
эссенция (80% раствор уксусной кислоты). Сколько процентов уксусной
эссенции должно содержаться в аналогичном маринаде?
Решение.
столового уксуса
↓ 24%
х % уксусной эссенции
24
х
=
80
10
;
24
х
=
8
1
10% раствор уксусной кислоты
80% раствор уксусной кислоты
; 8х = 24 ;
↑
х = 3.
Ответ: 3% уксусной эссенции.
9. По рецепту засолки огурцов на каждые 10 л рассола необходимо
добавить 1 л столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты). У хозяйки
имеется уксусная эссенция (80% раствор уксусной кислоты). Сколько
миллилитров уксусной эссенции понадобится хозяйке для приготовления
5 л рассола?
Решение.
1 л = 1000 мл
мл
↓1000
х мл
10% раствор уксусной кислоты
80% раствор уксусной кислоты
↑
5
1000
=
х
80
10
;
1000
х
=
8
1
; 8х = 1000 ;
х = 125.
125 мл для 10 л рассола, то для 5 л рассола 125 ∶ 2 = 62,5 мл.
Ответ: 62,5 миллилитров.
10. Морская вода содержит 4% (по массе) соли. Сколько килограммов
чистой воды надо выпарить из 30 кг морской воды, чтобы содержание
соли в последней составляло 12%?
Решение.
х кг чистой воды нужно выпарить.
4% соли
↓12%
соли
4
12
=
30−х
30
30 кг морской воды
30−х кг морской воды
;
1
3
=
30−х
30
↑
; 90 − 3х = 30 ;
3х = 60; х = 20.
Ответ: 20 кг чистой воды нужно выпарить.
11. Морская вода содержит 5% (по массе) соли. Сколько килограммов
пресной воды надо прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание
соли в последней составляло 2%?
Решение.
х кг пресной воды нужно прибавить.
соли
↓5%
2% соли
40 кг морской воды
40+х кг морской воды
5
; ; 80 + 2х = 200 ; 2х = 120; х = 60.
2
=
40+х
40
↑
Ответ: 60 кг пресной воды.
6
Задачи на так называемый «принцип сухого вещества».
1. Свежие абрикосы содержат 80% воды по массе, а курага (сухие
абрикосы)- 12% воды. Сколько понадобится килограммов свежих
абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?
Решение.
Будем рассматривать абрикосы как смесь некого «сухого вещества» и воды.
При хранении и усушке масса «сухого вещества» не изменяется, поэтому
найдём его процентную концентрацию в свежих абрикосах и в кураге:
100 − 80 = 20% −сухого вещества в свежих абрикосах.
100 − 12 = 88% − сухого вещества в кураге.
Составим таблицу:
масса
процентная концентрация сухого вещества
абрикосов
↓х кг свежих
10 кг кураги
20% сухого вещества в свежих абр.
88% сухого вещества в кураге
↑
Запишем пропорцию:
х
10
=
88
20
;
х
10
=
22
5
х = 44.
; 5х = 220 ;
Ответ: 44 кг свежих абрикосов.
2. Абрикосы при сушке теряют 60% своей массы. Сколько процентов воды
содержат свежие абрикосы, если в сушёных абрикосах 25% воды?
Решение.
Узнаем концентрацию абрикос после сушки: 100 − 60 = 40%
Пусть х кг масса свежих абрикос, то кураги 0,4х кг.
Находим процентную концентрацию «сухого вещества»:
В свежих абрикосах «сухое вещество» возьмём за у %, а в кураге вычислим
100 − 25 = 75%
Составим таблицу:
масса
свежих абрикосов
↓х кг 0,4х
кг кураги
процентная концентрация сухого вещества
у % сухого вещества в свежих абр.
75% сухого вещества в кураге.
Запишем пропорцию и найдём у:
х
0,4х
=
75
у
; у=
75∙0,4х
х
= 30.
30% сухого вещества в свежих абрикосах, тогда воды 100-30=70%
↑
7
Ответ: 70% воды содержат свежие абрикосы.
3. В свежих яблоках 80% воды, а в сушёных – 20%. На сколько процентов
уменьшается масса яблок при сушке?
Решение.
Находим «сухое вещество» в свежих и сушёных яблоках:
100 − 80 = 20% −«сухого вещества» в свежих яблоках.
100 − 20 = 80% −«сухого вещества» в сушёных.
Пусть х кг масса свежих яблок, а у кг масса сушёных.
Составим таблицу:
свежих яблок
↓х кгу масса
кг масса сушёных
20 % сухого вещества в свежих яблоках
80% сухого вещества в сушеных
↑
Запишем пропорцию и найдём у:
х
у
=
80
20
;
х
у
4
х
1
4
= ; у = = 0,25х.
Так как масса свежих яблок была х кг, а сушёных стала 0,25х кг, то узнаем, на
сколько же килограммов уменьшилась масса при сушке:
х − 0,25х = 0,75х кг, а
0,75 ∙ 100% = 75%
Ответ: на 75%.
4. Свежесрезанные грибы содержат 90% воды. После длительного
хранения 120 кг грибов на складе содержание воды в них уменьшилось до
84%. Какой стала масса грибов после хранения?
Решение.
100 − 90 = 10% − сухого вещества в свежих грибах.
100 − 84 = 16% − сухого вещества после хранения
кг свежих грибов
↓120
х кг после хранения
120
х
=
16
10
;
10% сухого вещества в свежих грибах
16% сухого вещества после хранения
↑
16х = 1200 ; х = 75.
Ответ: 75 кг стала масса после хранения.
5. Свежая клюква состоит на 99% из воды. Заготовители собрали 500 кг
клюквы и сдали её на склад. После длительного хранения на складе
содержание воды в клюкве уменьшилось до 96%. Сколько килограммов
весит клюква после хранения?
8
Решение.
100 − 99 = 1% −сухого вещества в клюкве.
100 − 96 = 4% −сухого вещества стало в клюкве после длительного хранения.
500 кг свежей клюквы
↓х кг клюквы
стало после хранения
500
х
=
4
1
; х=
500
4
1% сух.вещ.в свежей клюкве
4% сух.вещ.после хранения
↑
= 125.
Ответ: 125 кг.
6. Зёрна свежей кукурузы содержат 40% влаги, а кукурузные хлопья – 8%
влаги. Сколько килограммов свежей кукурузы нужно переработать, чтобы
получить 15 кг кукурузных хлопьев?
Решение.
100 − 40 = 60% −сухого вещества в свежей кукурузе.
100 − 8 = 92% −сухого вещества в кукурузных хлопьях.
кг свежей кукурузы
↓15х кг
кукурузных хлопьев
х
15
=
92
60
; х=
15∙92
60
60% сух.вещ.в свежей кукурузе
92% сух.вещ.в кукурузных хлопьях
↑
= 23.
Ответ: 23 кг.
7. Свежие грибы по весу содержат 90% воды, а сухие 12% воды.
Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Ответ:2,5 кг.
9
Задачи на смеси и сплавы с помощью таблиц.
Изображаем каждую смесь (сплав) в виде прямоугольника разбитого на
фрагменты, количество которых соответствует количеству составляющих эту
смесь (этот сплав) элементов.
1. Сплавили 2 кг цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава
цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную
концентрацию меди в получившемся сплаве.
Изобразим каждый сплав в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента
(по числу составляющих элементов). На модели отобразим характер операции:
сплавление – знак «+», после двух прямоугольников поставим знак «=»,
показывая, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух.
Заполняем получившиеся прямоугольники в соответствие с условием задачи:
1) Указываем компоненты сплава, сохраняя порядок соответствующих букв.
2) Вписываем процентное содержание соответствующего компонента.
Процентное содержание
второго компонента равно разности 100% и
процентного содержания первого.
3) Перед прямоугольником записываем массу (или объём) соответствующего
сплава (или компонента).
Представим этот процесс в виде следующей схемы:
2кг
медь цинк
медь цинк
медь цинк
+
6кг
=
8кг
20%
40%
Решение.
Пусть процентная концентрация меди в получившемся сплаве х. Найдём
процентное содержание второго компонента. Дополним схему этими
выражениями:
2кг
медь цинк
медь цинк
медь цинк
+
6кг
=
8кг
80% 20%
60% 40%
х%
Так как по меди известны все компоненты, то составим уравнение:
2 ∙ 0,8 + 6 ∙ 0,6 = 0,08х
1,6 + 3,6 = 0,08х
0,08х = 5,2
х = 5,2: 0,08
х = 65
10
Ответ: 65%.
2.Смешали 300 г 60%-ного раствора серной кислоты и 200 г 80%-ного
раствора серной кислоты. Сколько процентов серной кислоты в
получившемся растворе?
Решение.
Пусть х% серной кислоты в получившемся растворе.
Составим схему:
300 г
сер. кисл.
+ 200 г
60%
сер. кисл.
= 500 г
80%
сер. кисл.
х%
Составим уравнение: 300 ∙ 0,6 + 200 ∙ 0,8 = 500 ∙ 0,01х
180 + 160 = 5х
5х = 340
х = 68%
Ответ: 68%.
3. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого
20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%,
получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были
взяты первый и второй растворы?
Решение.
х −масса первого раствора, у −масса второго раствора, а (х + у) − масса
получившегося раствора.
х
кисл.
+у
20%
кисл.
= (х + у)
50%
кисл.
30%
Составим уравнение: 0,2х + 0,5у = 0,3х + 0,3у
0,1х = 0,2у
х
у
2
= =2
1
Ответ: 2.
4. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится
70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и
второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50%
меди?
11
Решение.
х – масса первого сплава, у – масса второго сплава, (х + у) −масса нового
сплава.
х
медь
+у
70%
медь
= (х + у)
40%
медь
50%
Составим уравнение: 0,7х + 0,4у = 0,5(х + у)
0,7х + 0,4у = 0,5х + 0,5у
0,2х = 0,1у
х
у
1
= = 0,5
2
Ответ: 0,5.
5. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%.
Сколько нужно взять металла второго из этих сортов, чтобы получить 140
т стали с содержанием 30% никеля?
Решение.
х т − металла второго сорта, (140 − х) т −металла первого сорта.
(140 − х) т
никель
+хт
5%
никель
= 140 т
40%
никель
30%
Составим уравнение: 0,05 ∙ (140 − х) + 0,4х = 42
7 − 0,05х + 0,4х = 42
0,35х = 35
х = 100
Ответ: 100.
6. Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг содержит 45% меди. Какую
массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав
содержал 60% меди?
Решение.
х кг – меди нужно добавить, а (36 + х) кг масса нового сплава.
36 кг
медь цинк
медь
медь цинк
+ х кг
= (36 + х)
45%
100%
60%
Составим уравнение: 36 ∙ 0,45 + х = 0,6 ∙ (36 + х)
12
16,2 + х = 21,6 + 0,6х
0,4х = 5,4
х = 13,5
Ответ: 13,5 кг.
7. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600
г 15%-ного раствора. Сколько граммов первого раствора было взято?
Решение.
х г – было взято первого раствора, а (600 − х) г – второго раствора.
хг
сол. к − та
+ (600 − х)г
30%
сол. к − та
= 600г
10%
сол. к − та
15%
Составим уравнение: 0,3х + (600 − х) ∙ 0,1 = 0,15 ∙ 600
0,3х + 60 − 0,1х = 90
0,2х = 30
х = 150
Ответ: 150.
8. В 1 кг сплава меди и олова содержится 45% олова. Сколько граммов
меди надо добавить к этому сплаву, чтобы процентное содержание олова в
новом сплаве стало равным 15%?
Решение.
х г – меди надо добавить, а (1000 + х)г − масса нового сплава.
1000 г
медь олово
медь
медь олово
+хг
= (1000 + х)
55% 45%
100%
85% 15%
Составим уравнение по меди: 0,55 ∙ 1000 + х = (1000 + х) ∙ 0,85
550 + х = 850 + 0,85х
0,15х = 300
х = 2000
Ответ: 2000 г.
9. Бронза является сплавом меди и олова (в разных пропорциях). Кусок
бронзы, содержащий 1/12 часть олова, сплавляется с другим куском,
13
содержащим 1/10 часть олова. Полученный сплав содержит 1/11 часть
олова. Найдите вес второго куска, если вес первого равен 84 кг.
Решение.
х кг – вес второго куска.
84 кг
медь олово
медь олово
медь олово
+
х
кг
=
(84
+
х)
1/12
1/10
1/11
Составим уравнение: 84 ∙
1
12
7+
+
1
10
1
х=
10
х=
84+х
11
84+х
11
|∙ 110
770 + 11х = 840 + 10х
х = 70
Ответ: 70 кг.
10. У ювелира два одинаковых по массе слитка, в одном из которых 36%
золота, а в другом 64%. Сколько процентов золота содержится в сплаве,
полученном из этих слитков?
Решение.
х – масса слитка, а у% – золота в полученном сплаве.
х
золото
+х
36%
золото
= 2х
64%
золото
у%
Составим уравнение: 0,36х + 0,64х = 0,02ху
х = 0,02ху
у = 50
Ответ: 50%.
11. К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти
металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В
результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как
2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?
Решение.
Прежде чем составлять схему, уточним, что в первом сплаве медь
составляет
2
2
, а в полученном новом сплаве - . Обозначим массу полученного
5
3
14
сплава х кг, и, внеся указанные части в соответствующие фрагменты схемы,
получаем:
(х − 4)кг
медь цинк
медь цинк
медь
+ 4кг
= х кг
2⁄5
2⁄3
1
Нетрудно составить уравнение, подсчитав количество меди слева от знака
неравенства, и приравняв его к количеству меди, справа от него. Получаем
2
2
уравнение: x  4   4   x. Решив его, получаем искомое значение: х=9.
5
3
Замечание. Можно было составить уравнение на основе подсчета массы
цинка в обеих частях неравенства. Для этого внесем в схему необходимые
данные:
1)если в первом сплаве медь составляет часть
2) если в полученном сплаве медь составляет часть
(х − 4)кг медь
2
3
, то цинк – ;
5
5
2
1
, то цинк – .
3
3
цинк
медь
медь цинк
+
4кг
=
х
кг
3⁄5
1⁄3
Уравнение в этом случае имеет вид:
3
1
  x  4    x. Это уравнение
5
3
равносильно предыдущему.
Ответ: х=9кг.
12.Смешав 40 % и 15 % растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и
получили 20 % раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг
80 % раствора той же кислоты, то получили бы 50 %-ый раствор кислоты.
Сколько килограммов 40 % -го и 15 % растворов кислоты было смешано?
Решение.
Составим 1схему:
хкг
к − та
вода
вода к − та
вода к − та
(х + у + 3) вода
+
укг
+
3кг
=
40%
15%
20%
100%
Составим 1 уравнение по кислоте: 0,4х + 0,15у = 0,2(х + у +3).
Составим 2 схему:
хкг
к − та
к − та
вода к − та
вода к − та
(х + у + 3) вода
+
укг
+
3кг
=
40%
15%
80%
50%
15
Составим 2 уравнение по кислоте: 0,4х + 0,15у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3).
Для решения задачи получаем систему уравнений:
0,4х + 0,15у = 0,2(х + у + 3),
.
{
0,4х + 0,15у + 0,8 · 3 = 0,5(х + у + 3)
Решаем систему уравнений:
х = 3,4
{
у = 1,6.
Ответ:3,4 кг 40 % кислоты и 1,6 кг 15 % кислоты.
13. Для консервирования 10 кг баклажан необходимо 0,5 л столового
уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная
эссенция (80 % раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус,
добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции
понадобится хозяйке для консервирования 20 кг баклажан?
Решение.
Для консервирования 20кг баклажан понадобится 1л или 1000мл
столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты). Для получения его из х мл
уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты) необходимо добавить воду,
тогда схема для решения задачи имеет вид:
х мл
вода
вода укс. к − та (1000
вода укс. к − та
+
− х)мл
= 1000мл
80%
10%
100%
Составим уравнение, подсчитав количество уксусной кислоты слева от
знака равенства, и приравняем его к количеству уксусной кислоты справа от
него. Получаем уравнение
0.8 x  100 ,
x  125
Значит, для приготовления 1000мл маринада понадобится 125мл уксусной
эссенции (80% раствор уксусной кислоты).
Ответ: 125мл.
14.Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие
абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих
абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?
16
Решение.
При высыхании абрикос испаряется вода, количество сухого вещества не
меняется. Схема для решения такой задачи имеет вид:
х кг
вода сухое в − во
вода
вода сухое в − во
− (х − 10)кг
= 10 кг
20%
88%
80%
100%
12%
Составим уравнение, подсчитав количество сухого вещества в левой и
правой части схемы:
0,2х=8,8
х=44.
Ответ: 44кг.
17
Задачи для самостоятельного решения:
1. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание
воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?
Ответ.: 10 кг.
2. Сколько надо взять 5 %-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л
10 %-го раствора кислоты?
Ответ: 3 л первого и 1 л второго.
3. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся
в отношении 2 : 3, в другом - в отношении 3 : 7. Сколько кг нужно взять от
каждого сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5 : 11
?
Ответ: Первого сплава надо взять 1 кг, а второго 7 кг.
4. Морская вода содержит 5% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной
воды нужно прибавить к к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в
последней составляло 2%?
Ответ: 60 кг
5. Кусок сплава меди с оловом массой 12 кг содержит 45% меди. Сколько
чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав
имел 40% меди?
Ответ: 1,5 кг
6. Сколько чистого спирта надо прибавить к 735 г 16%-ного раствора йода в
спирте, чтобы получить 10-ный раствор?
Ответ: 441 г
7.Сколько кг воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлоизной массы, содержащей
85% воды, чтобы получитьмассу с содержанием 75% воды?
Ответ: 200 кг
8. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно
добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?
Ответ: 70 кг
18
9. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу
меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал
60% меди?
Ответ: 13,5 кг
10. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г
15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Ответ: 150 г и 450 г
11. В сосуд, содержащий 180 г 70% -го водного раствора уксуса добавили 320 г
воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.
Ответ: 25,2%.
12. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 150 г 70% -го раствора
уксусной кислоты, чтобы получить 6 % раствор уксусной кислоты?
Ответ: 1,6 кг воды.
13.Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же
количеством 20% раствора этой же кислоты. Найти концентрацию соляной
кислоты в получившейся смеси.
Ответ: 16%
14. Смешали 8кг 18% раствора некоторого вещества с 12 кг 8% раствора этого
же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Ответ: 12%
15.Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве
отношение масс золота и меди равно 8:3, а во втором - 12:5. Сколько
килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг
первого сплава и 255 кг второго сплава?
Ответ: 268 кг золота и 108 кг меди.
16. Одна смесь содержит вещества A и B в отношении 1:2, а другая смесь
содержит те же вещества, но в отношении 2:3. Сколько частей каждой смеси
надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в
отношении 17:27?
Ответ: На 9 частей первой смеси нужно взять 35 частей второй смеси.
17. Смешали 40%-ый раствор соляной кислоты с 20%-ым получили 800 г
25%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
19
Ответ: 200г и 600г
18. Бронза – сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали колокола,
если в ней содержалось 75% меди. К куску бронзы 500кг содержащему 72%
меди добавили некоторое количество бронзы, содержащей 80% меди и
получили бронзу, необходимую для изготовления колокола. Определите
сколько добавили бронзы.
Ответ:300кг.
19. В лаборатории изготовили 1кг 16% солевого раствора. Через неделю из
этого раствора испарилось 200г воды. Какова стала концентрация соли в
растворе?
Ответ:20%.
20.При выплавке стали из чугуна, выжигается углерод. Содержание углерода в
чугуне 4%. Сколько тонн углерода нужно выжечь из 245т чугуна, чтобы
получилась сталь с содержанием углерода 2%?
Ответ:5т.
21.Имеется 600г сплава золота и серебра содержащего золото и серебро в
отношении 1:5 соответственно. Сколько грамм золота необходимо добавить к
этому сплаву чтобы получить новый сплав содержащий 50% серебра.
Ответ:400г.
22.После смешивания двух растворов, один из которых содержал 48 г, а
другой — 20 г безводного йодистого калия, получилось 200 г нового
раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов,
если концентрация первого на 15% больше концентрации второго.
Ответ:40% и 25%.
23.Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке на
40% меньше, чем во втором. После того как оба слитка сплавили, получился
слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в
каждом слитке, если в первом было 6 кг меди, а во втором — 12 кг.
Ответ:20% и 60%
24. В сосуде находится 10%-ный раствор спирта. Из сосуда отлили 1/3
содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался
заполненным на 5/6 первоначального объема. Какое процентное содержание
спирта оказалось в сосуде?
Ответ:8%.
25. Имеются два слитка, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что
первый слиток массой 150 кг содержит 40% олова, а второй массой 250 кг
— 26% меди. Процентное содержание цинка в обоих слитках одинаково.
Сплавив первый и второй слитки, получили сплав, в котором оказалось 30%
20
цинка. Сколько килограммов олова содержится в полученном сплаве?
Ответ:170 кг.
27. Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что
первый сплав содержит 25% цинка, а второй — 50% меди. Процентное
содержание олова в первом сплаве в 2 раза меньше, чем во втором. Сплавив
200 кг первого сплава и 300 кг второго, получили новый сплав, в котором
оказалось 28% цинка. Определите, сколько килограммов меди содержится в
получившемся новом сплаве.
Ответ: 280 кг.
27. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем вес серебра
2
7
составляет 14 % веса меди. Сколько серебра в данном сплаве?
Ответ:0,25 кг.
28. Имелись два разных сплава меди, причем процент содержания меди в
первом сплаве был на 40% меньше, чем во втором. После того как их
сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определите
процентное содержание меди в обоих сплавах, если известно, что в первом
ее 6 кг, а во втором — вдвое больше.
Ответ:20% и 60%.
29. Два раствора, первый из которых содержал 800 г, а второй 600 г
безводной серной кислоты, смешали и получили 10 кг нового раствора
серной кислоты. Определите массу первого и второго растворов, вошедших
в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты
в первом растворе на 10% больше, чем во втором.
Ответ:4кг и 6 кг.
30. Имеется стальной лом двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%.
Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т
стали с содержанием 30% никеля?
Ответ:40т и 100т.
31. Имеется сплав серебра с медью. Вычислите вес и пробу этого сплава, если
его сплав с 3 кг чистого серебра есть сплав 900-й пробы, а его сплав с 2 кг
сплава 900-й пробы есть сплав 840 пробы. (Проба благородного металла,
равная например, 760 означает, что масса этого благородного металла в
сплаве составляет 0,760 от массы всего сплава.)
Ответ: Вес первоначального сплава 3кг его проба 0,8.
32. Имеются три слитка. Первый весит 5 кг, второй 3 кг и каждый из этих
слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то
21
получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с
третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите вес третьего
слитка и процент содержания меди в нем.
Ответ:10кг; 69%
33. Один сплав меди с оловом содержит эти металлы в отношении 2:3,
другой — в отношении 3 : 7. В каком количестве надо взять эти сплавы,
чтобы получить 12 кг нового сплава, в котором медь и олово были бы в
отношении 3:5?
Ответ: 9кг и 3кг.
34. 40% раствор серной кислоты разбавили 60% раствором, после чего
добавили 5кг воды и получили раствор 20% концентрации. Если бы вместо
5кг воды добавили 5 кг 80% раствора серной кислоты, то получился бы 70%
раствор. Сколько было 40% и 60% раствора серной кислоты?
Ответ: 1кг 40% и 2кг 60%.
22
ЛИТЕРАТУРА
1. Е.А.Семенко и др.Обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа.
Краснодар: «Просвещение-Юг», 2005.Ч.1. – 156с
2. Е.А.Семенко и др.Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ – 2008 по
математике..
Краснодар: «Просвещение-Юг», 2008.Ч.2. – 103с
3. Е.А.Семенко и др.Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ – 2008 по
математике..
Краснодар: «Просвещение-Юг», 2006.Ч 3. – 121с
4. Хоркина Н.А, Как помочь ученикам решать логарифмические уравнения и
неравенства. МПГУ
5. Д,Гущин Сборник заданий по алгебре для подготовки к ЕГЭ и конкурсным
экзаменам. Пособие для учителей./Париж, СПб: Стетоскоп, ВВМ, 2008. – 114с
6.Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ.М.: Айрис –
пресс,2004.-304с.
7.Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные
материалы для подготовки учащихся /ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010. –
96с.
8. Математика в школе №№ 4,5 1998г.
9. 2. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач.
Учебное пособие для 10 класса средней школы. Москва «Просвещение»
1989.
10. Ткачук Лариса Андреевна, учитель математики МОУ лицея №4 г.Ейска
Краснодарского края, Интернет ресурсы.
23