Брошюра элект. и учеб.курсовx

МОУ «Большеелховская СОШ»
Милаева Надежда Васильевна
СБОРНИК
учебных и элективных курсов
по математике
для учащихся 5-11 классов
2014 г.
МОУ «Большеелховская СОШ»
Н.В. МИЛАЕВА
СБОРНИК
учебных и элективных курсов
по математике
для учащихся 5-11 классов
Саранск 2014
2
Сборник содержит актуальные учебные и элективные курсы по
математике для 5-11 классов (программы и конспекты занятий). В
каждой программе обозначены цели, задачи и прогнозируемые
результаты,
подробно
раскрыто
содержание.
Реализация
предлагаемых программ направлена на формировании интереса к
решению задач разного типа: логические, прикладного характера и др.
Данный сборник адресован преподавателям математики, его
материалы могут быть использованы не только в рамках учебного и
элективного курсов, но и во внеклассной работе, во время проведения
предметной недели, в урочной деятельности.
3
Учебный курс по математике
«Искусство вычислять»
для учащихся 5 кл. на 17 часов
Пояснительная записка
В настоящее время учебные курсы играют значительную роль в
развитии способностей детей, в повышении результатов их
деятельности.
Учебный курс «Искусство вычислять» рассчитан на 17 часов для
учащихся 5 класса. Содержание тесно связано с программой. Но оно
не дублирует учебники, а несколько углубляет их. В данный курс
включен такой материал, который будет занятным и доступным как
для детей среднего развития, так и для одаренных и увлекающихся
математикой (присутствуют элементы более сложного содержания).
Искусство вычислять быстро, без микрокалькулятора – мечта
каждого ученика, учителя и родителя.
Высказываю надежду, что все способы вычислений
заинтересуют учеников, и они будут применены на практике.
Кроме обычных занятий в форме лекций, семинаров,
практикумов, самостоятельных, здесь будут игры, викторины, ребусы,
кроссворды, сказки, что будет способствовать расширению кругозора
учащихся в области математики, пробуждению желания к
саморазвитию, самообразованию.
Учебный курс «Искусство вычислять» призван научить
учащихся считать быстро, находить иррациональные способы
вычислений, повысить математическую подготовку и интерес к
предмету.
-
Цели курса:
Ознакомить учащихся с приемами, облегчающими
вычисления;
Развивать вычислительные навыки, интерес к математике;
Создавать условия для расширения математического
кругозора.
Задачи курса:
4
-
-
Научить вычислять в различных вариациях, используя
занимательные элементы;
Умножать при помощи таблиц; умножать на 9, 11, 15, 7, 37;
умножать на 5, 25, 50; находить квадрат двузначного числа,
оканчивающегося на «5», квадрат двузначных чисел;
Обеспечить
групповую
форму
математической
деятельности;
Предоставить учащимся возможность проанализировать
свои способности к математической деятельности,
принимать участие в любой виде математической игры.
Место курса в системе предпрофильной подготовки
Курс ориентирован на предпрофильную подготовку учащихся по
математике. Он углубляет базовый курс по математике, является
предметно-ориентированным и дает учащимся возможность
познакомиться с разными приемами, облегчающими вычисления.
Способы вычисления, рассматриваемые в курсе, выходят за
рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают
к основному курсу математики. Поэтому данный учебный курс будет
способствовать развитию математических знаний и умений учащихся,
поможет осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.
Требования к уровню усвоения курса
Учащиеся должны:
Описывать и объяснять приемы, облегчающие вычисления;
Выполнять действия, используя рассматриваемые приемы
вычисления;
Сравнивать новые приемы с традиционными способами
вычисления;
Решать занимательные задачи;
Составлять и разгадывать кроссворды, ребусы;
Сочинять математические сказки;
Делать физкультминутки.
В результате изучения учебного курса учащиеся выпустят
математическую газету и сделают презентацию о некоторых приемах
вычисления.
5
Учебная программа
№
Наименование раздела
1
2
3
4
5
Итого:
Приемы, облегчающие сложение
Приемы, облегчающие вычитание
Умножение на 7, 9, 11, 15, 37
Умножение и деление на 5, 25, 50
Занимательная математика
Кол-во
часов
4
2
6
2
3
17
Учебно-тематический план
п/п
1.1
1.2
1.3
1.4
2.1
2.2
Виды занятий
Семина
Практику
Лекция
р
м
1. Приемы, облегчающие сложение
Развитие
1
вычислительных
навыков
Необычный
1
способ сложения
столбцами
Сложение с
1
применением
его свойств.
Задачи-шутки.
Сложение
0,5
многозначных
числе.
Самостоятельная
работа
2. Приемы, облегчающие вычисления
Вычитание с
1
помощью
дополнения
Вычитание
Выступлени
1
Наименование
раздела, темы
Контрол
ь
0,5
6
многозначных
чисел
3.1
3.2
3.3
.
3.4
3.5
3.6
4.1
4.2
5.1
5.2
е
«Старинные
истории»
3. Умножение на 7, 9, 11, 15, 37
Умножение на 9,
1
11, 15
Умножение на 7,
1
37
Умножение при
1
помощи таблицы
Умножение
1
двузначных
чисел,
оканчивающихс
я на 5
Умножение двух
1
одинаковых
двузначных
чисел.
Умножение
0,5
многозначных
чисел.
Самостоятельная
работа
4. Умножение и деление на 5, 25, 50
Умножение и
1
деление на 5, 25,
50
Деление
0,5
многозначных
чисел.
Самостоятельная
работа
5. Занимательная математика
Разгадывание и
1
составление
кроссвордов,
ребусов, загадок.
Выпуск
математической
0,5
0,5
2
7
газеты.
Презентация
«Приемы
вычисления»
Итого:
17
Содержание программы
Тема 1. Приемы, облегчающие сложение
(1 ч – лекция, 2 ч – семинар, 0,5 ч – практикум, 0,5 ч – контроль)
В данной теме рассматривается сложение с применением его
свойств и необычный способ сложения сразу нескольких
многозначных чисел столбцами, решаются задачи-смекалки,
проводится самостоятельная работа.
Например:
1. 4556
+ 7349
5478
3764
27
+ 22
19
19 ____
21147
2. 11636
+ 21474
33110
36+74=110
116 сот+214 сот=330 сот
3. С применением переместительного свойства:
475+268+525+132=1400
8
Тема 2. Приемы, облегчающие вычисления.
(1 ч - семинар, 1 ч - практикум)
При изучении этой темы учащиеся знакомятся с новым приемом
вычитания, вычитанием с помощью дополнения, старинными
историями.
Например.
1. 338-297=341-300=41 или 338-297=338-300+3=41
2. 5243-2995=5248-3000=2248
или
5243-2995=52433000+5=2248
Тема 3. Умножение на 7, 9, 11, 15, 37
(4 ч - семинар, 1,5 ч – практикум, 0,5 - контроль)
В этой теме учащиеся знакомятся с приемами умножения на 7, 9,
11, 15, 37; способом умножения двузначного числа на такое же
двузначное число; двузначных чисел, оканчивающихся на 5. Усвоение
материала проверяется тестированием.
Например:
24  9  240  24  216
24 11  240  24  264 или 2(2  4)4
24 15  40  120  360
35  35  (3  4)(5  5)  1225
18 18  1  (8  8)  (8  8)  324
Тема 4. Умножение и деление на 5, 25, 50
(1 ч - семинар, 0,5 ч – практикум, 0,5 - контроль)
В данной теме учащиеся знакомятся с приемом умножения и
деления на 5, 25, 50; проводится самостоятельная работа.
Например:
36  5  36 : 2 10  180
240 : 5  2  24(т.е. число 2 уножаем на число десятков )
48  25  48 : 4 100  120
35  25  35 : 4 100  8(ост.3) 100  3  25  875
800 : 25  4  8  32 (4 умножаем на число сотен)
825 : 25  4  8  25 : 25  32  1  33
Тема 5. Занимательная математика
(1ч – практикум, 2 ч – контроль)
Учащиеся
решают
ребусы,
кроссворды,
выпускают
математическую газету и составляют презентацию «Приемы
вычисления»
9
Занятие 1. Лекция «Развитие вычислительных навыков»
Цель. Показать важность знания вычислительных приемов для
развития математических способностей учащихся.
Тип занятия – изучение нового материала.
Ход занятия.
I.
Знакомство учащихся с учебным планом всего курса.
II.
Лекция.
1. Вычислительные навыки.
- Правильность;
- Осознанность;
- Рациональность;
- Обобщенность;
- Автоматизм;
- Прочность.
2. Приемы вычисления на сложение, вычитание, умножение и
деление.
3. Занимательная математика:
- Кроссворды;
- Ребусы;
- Задачи-шутки;
- Задачи на смекалку.
III.
Домашнее задание. Составить кроссворд.
Занятие 2. Необычный способ сложения
Цель. Формирование умений находить сумму нескольких
многозначных чисел необычным способом.
Тип занятия – комплексное применения знаний.
Ход занятия
I.
Проверка домашнего задания
II.
Работа с приемами сложения.
1. Сложение столбцами.
1) 4556
+ 7349
5478
3764
27
10
+
19
22
19 ____
21147
Проверка:
19
19
+ 22
27
21147
2) 4078+5870+95566+2405
3)7899+3973+3977
III Сложение по частям
1) 11636
+ 21474
33110
2) 5533+1847
3) 13463+55290
4) 306208+314315
IV Физкультминутка
V Тренировочные примеры (работа с парами)
Составить примеры друг для друга
VI Домашнее задание. Повторить свойства сложения. Найдите
сумму двумя способами.
1) 4275+3044+8141;
2) 1888+2005+3448
Занятие 3. Сложение с применением его свойств
Цель. Формирование умений применять свойства сложения при
нахождении суммы.
Тип занятия – комплексное применение знаний.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания
- Какими способами сложения вы знакомы?
- Какова сумма «данных» слагаемых?
II Работа с новыми приемами сложения.
11
1. Сложение с использованием его свойств
1) 475+268+525+132=1400
2) (262+48)+738
3) 25+1250+975+750
4) 333+(508+667)
2. Сложение в строчку
1) 1012+1012+1012+1012+1012+1008+1008+1008+1008+1008=100
0·10+12·5+8·5=1000·10+(12+8) ·5=10100
2) 10125+10125+10115+10115+10250+1025
3. Прибавление к числу суммы двух чисел.
1) 35+47+76+93+55=35+7+40+6+70+3+90+5+50=306
2) 19+29+38+47+36
III Физкультминутка
IV Игра «Проверка волшебного числа 1089»
Указание. Запишите разными цифрами любое трехзначное число
(625). Вычтите из него то же, но перевернутое (526). Полученную
разность (099) сложите с этой перевернутой разностью (990). Всегда
получается число 1089.
V Найдите сумму, используя удобные приемы сложения
1) 375+224+625+776
2) 29+795+971+205
3) 824+645+176+655+255+245
VI Домашнее задание. Поиграйте в игру «Проверка волшебного
числа 1089» с родителями.
Занятие 4. Сложение многозначных чисел.
Самостоятельная работа
Цель. Проверить выработанные навыки сложения в ходе
самостоятельной работы.
Тип занятия – проверка знаний.
Ход занятия.
I Повторение (приведите примеры)
Сложение по частям;
Сложение в строчку;
Сложение столбцами;
Сложение и использованием его свойств.
II Задача-смекалка
12
Как набрать из водопровода 6 л воды, пользуясь двухлитровой
банкой и чайником, в который входит 5 л?
III Физкультминутка.
IV Самостоятельная работа.
Выполните сложение:
1. По частям, столбцами
1) 4275+9424+3888+1212
2) 3245+1023+2004+2222
3) 1276+3493+4044+3001
2. Примените свойства сложения.
1) 275+394+825+600
2) 176+355+255+245+824+645
3) (123+6034)+877
V Домашнее задание. Повторить приемы сложения.
Занятие 5. Вычитание с помощью дополнения
Цель. Формирование умений выполнять вычитание с помощью
дополнения.
Тип занятия – комплексное применение знаний.
Ход занятия
I Анализ самостоятельной работы
II Работа с приемами вычитания
1) 338-297=341-300=41
2) 5243-2995=5248-3000=2248
3) 2127-1997=2130-2000=130
4) 50640-40980=50660-41000=9660
III Выполните вычитание
1) 452-194
2) 1728-693
3) 8207-6995
4) 2115-1991
IV Физкультминутка
V Разминка ума.
Задача. Для своих двух книг Вася купил 3 разные обложки.
Сколькими различными способами он сможет обернуть книги
купленными обложками. ( 6 способов)
VI Найдите разность с помощью дополнения.
13
1) 338-297
2) 5243-2995
3) 3137-1997
4) 50640-40980
VII Домашнее задание. Повторить таблицу умножения. Доклад
«Старинные истории» (стр. 24 «В царстве смекалки»)
Занятие 6. Вычитание многозначных чисел.
Доклад «Старинные истории»
Цель. Выработать навыки вычитания многозначных чисел с
применением приемов и свойств вычитания.
Тип занятия – закрепление знаний.
Ход занятия
I Доклад»Старинные истории»
II Вычитание многозначных чисел.
Выполните (в строчку), используя прием-дополнение.
1) 586-126
2) 4385-2409
3) 5677-3991
4) 6486-4593
5) 823-697
6) 53427-40595
Проверьте столбиком (вычитанием и сложением)
III Физкультминутка.
IV Разминка ума. Как нужно разрезать циферблат часов на 6 частей
так, чтобы во всех частях сумма чисел была одинакова?
V Вычислите х, пользуясь зависимостью между компонентами и
результатами действий:
1) (64-10х):4+11=22
2) (12+34х)·56-789=18923
VII Домашнее задание. Составить ребус.
Занятие 7. Умножение на 9, 11, 15
Цель. Формирование умений и навыков умножения на 9,11,15.
Тип занятия – комплексное применение знаний.
14
Ход занятия
I Игра «Лучший счетчик» (проверка таблицы умножения)
II Умножение с использованием свойств умножения
a·b=b·a
(a·b) ·c=a·(b·c)
(a+b) ·c=ac=bc
1)
25·48·4
2)
125·18·4
3)
125·23·8
4)
75·16·4
5)
8·38·125
6)
8·125·25·4
III Работа с приемами умножения на 9, 11, 15
1) 44·9=440-44=396
2) 44·11=440+44=484
3) 44·15=440+220=660
IV Выполните умножение
1) 38·9
2) 38·11
3) 38·15
4) 84·9
5) 84·11
6) 84·15
7) 126·9
8) 126·11
9) 126·15
V Разминка ума. В Велосипедном колесе 32 спицы. А сколько
промежутков между спицами? (32)
VI Найдите произведение.
1) 334·9
2) 334·11
3) 334·15
4) 444·9
5) 444·11
6) 444·15
VII Домашнее задание. Сочините кроссворд «Умножение»
15
Занятие 8. Умножение на 7 и 37
Цель. Формирование умений и навыков умножения на 7 и 37.
Тип занятия – комплексное применение знаний.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания. Кроссворд «Умножение»
II Работа с приемами умножения на 7 и 37
1) 15873·7=111111
2) 15873·28=15873·7·4=444444
3) 15873·35=15873·7·5=555555
4) 15873·42
5) 15873·49
6) 15873·56
7) 15873·63
37 умножим на 3, 9, 12, 15, 18…
1) 37·3=111
2) 37·9=333
3) 37·12=444
4) 37·15=555
5) 37·18=666
III Физкультминутка.
IV Разминка ума. (шутка)
Володя и Миша зашли в книжный магазин. Миша хотел купить
книгу, но оказалось. Что для покупки выбранной книги ему не достает
1 коп. Он обратился к Володе с просьбой добавить несколько копеек.
На это Володя ответил: «У меня не достает на покупку этой книги 32
коп. Но если мы сложим все твои деньги и мои, то у нас на покупку
этой книги денег не хватит». Сколько стоила книга? Сколько денег
было у Миши и у Володи?
Ответ. 32 коп, 31 коп, 0 коп.
V Выполните умножение.
1) 37·21
2) 37·24
3) 37·27
4) 37·30
5) 37·60
VI Домашнее задание. Повторите интересные случаи умножения
на 7 и 37.
16
Занятие 9. Умножение при помощи таблиц
Цель. Формирование умений и навыков умножения с помощью
таблиц.
Тип занятия – комплексное применение знаний.
Ход занятия
I Проверка домашнего задания.
Интересные случаи умножения на 7 и 37.
II Работа над умножением при помощи таблиц.
1) Составляем таблицу умножения от 11 до 19 или таблицу
Пифагора.
11·1
…
19·1
11·2
19·2
11·3
19·3
11·4
19·4
11·5
19·5
….
….
11·11
19·19
2) Выполните умножение при помощи таблицы.
a) 26·12
b) 32·18
c) 47·11
d) 56·13
e) 27·14
f)
52·18
g) 13·16
h) 17·51
i)
16·82
III Физкультминутка
IV Разминка ума.
Если 1000000000 человек станут плечом к плечу, то на сколько
км протянется этот ряд? Сначала скажите приблизите, без
вычислений, а затем проверьте свое предположение расчетом
(считать, что каждые два человека займут 1 м)
Ответ. 500000 км.
V Умножьте столбиком.
1) 2867·23
17
2) 2867·203
3) 2867·2003
VI Домашнее задание. Составьте математическую сказку.
Занятие 10. Умножение двузначных чисел,
оканчивающихся на 5.
Цель. Формирование умений умножать двузначное число,
оканчивающиеся цифрой 5.
Тип занятия – комплексное применение знаний.
Ход занятия
I Проверка домашнего задания. Математическая сказка.
II Работа с приемом умножения.
25·25=(2·3)(5·5)=625
95·95=9025
75·75=5625
III Физкультминутка.
IV Разминка ума. Встретились 6 товарищей и решили сыграть
друг с другом в шашки по одному разу. Сколько всего партий они
должны сыграть?
(15 партий)
V Умножение на пальцах (на 6,7,8,9)
VI Домашнее задание. Повторить и выучить прием умножения
Занятие 11. Умножение двух одинаковых чисел.
Цель. Формирование умений находить произведение двух
одинаковых двузначных чисел.
Тип занятия – комплексное применение знаний.
Ход занятия
I Повторение
- Умножение на 11 (двумя способами)
- Квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5.
II Игра «Кто быстрее?» (умножение и деление)
1) 46·5
2) 88·5
3) 360:5
18
4) 720:5
5) 96·5
6) 42·5
7) 200:5
8) 400:5
III Прием умножения
11·11
12·12=1+(2+2)(2·2)=144
13·13=1+(3+3)(3·3)=169
………………
19·19=1+(9+9)(9·9)=361
IV Игра «Я быстрее!» (квадрат двузначного числа и чисел,
оканчивающихся цифрой 5)
IV.
Домашнее задание. Выучить прием умножения.
Занятие 12. Умножение многозначных чисел.
Самостоятельная работа
Цель. Выработать навыки умножения с использованием
разных приемов вычисления.
Тип занятия – проверка знаний.
Ход занятия.
I Повторение.
- Умножение на 9, 11, 15
- Квадрат двузначного числа.
- Умножение на пальцах.
II Самостоятельная работа.
Выполните умножение
1) 144·8·2·125
37·15
2) 36·25·3·4
37·24
3) 205·9, 206·11, 206·15
37·30
4) 68·9, 68·11, 68·15
7) 13·13
5) 15873·7=111111
16·16
15873·49
19·19
15873·56
8) 45·45
15873·63
65·65
6) 37·3=111
95·95
19
9) 45·45
65·65
95·95
Занятие 13. Умножение и деление на 5, 25, 50
Цель. Формирование умений производить умножение и деление на 5,
25, 50.
Тип занятия – комплексное применение знаний.
Ход занятия
I Анализ самостоятельной работы.
II Работа с приемами умножения и деления
1. Умножение и деление на 5
1) 36·5=(36:2) ·10=180
2) 43·5=(43:2) ·10=21·10+5(ост.1)
3) 84·5=(84:2) ·10=420
4) 87·5=(87:2) ·10=430+5=435
5) 240:5=24·2=48
6) 245:5=2·24+5:5=49
7) 395:5=39·2+5·5=79
2. Умножение и деление на 25
1) 48·25=(48:4) ·100
2) 49·25=(49:4) ·100=12·100+25=1225
3) 35·35=(35:4)=8·100+25·3=875
4) 800:25=4·8=32
5) 825:25=4·8+25:25=32+1=33
6) 850:25=4·8+50:25=32=2=34
7) 875:25=4·8+75:25=35
3. Умножение и деление на 50.
1) 48·50=(48:2) ·100=2400
2) 38·50=(38:3) ·100=1900
3) 79·50=(79:2) ·100=3900+50=3950
III Физкультминутка.
IV Выполните действия.
1) (728+563+272+237):25
2) (24·5+24·25):(12·25+12·5)
20
3) (725-275):25
4) 725·275:25
V Домашнее задание. Выучить рассмотренные приемы.
Занятие 14. Деление многозначных чисел
Цель. Выработать навыки деления многозначных чисел с
разными приемами.
Тип занятия – закрепление знаний.
Ход занятия.
I Повторение приемов умножения и деления на 5, 25 и 50.
II Выполните умножение.
1)
86·5
2)
126·5
3)
24·5
4)
86·25
5)
126·25
6)
24·25
7)
86·50
8)
126·50
9)
24·50
III Выполните деление.
1)
340:5
2)
345:5
3)
495:5
4)
625:25
5)
650:25
6)
675:25
7)
1625:50
8)
2650:50
9)
1495:50
IV Физкультминутка.
V Разминка ума.
Дан ряд цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. не переставляя их, поставить
между ними знаки сложения так, чтобы получить сумму 100.
VI Самостоятельная работа.
21
Выполните действия
1)
36·25
2)
39·25
3)
45·25
4)
640:5
5)
36·15
6)
39·15
7)
45·15
8)
640:25
9)
36·11
10)
39·11
11)
45·11
12)
875:5
13)
36·5
14)
39·5
15)
45·5
16)
875:25
VII Домашнее задание. Составьте кроссворд или ребус
Занятие 15. Составление и разгадывание
кроссвордов, ребусов, сказок.
Цель. Развитие творческих способностей учащихся, интереса к
предмету.
Тип занятия – обобщение и систематизация знаний.
Ход занятия.
I Анализ самостоятельной работы.
II Проверка домашнего задания
III Составление сказок, кроссвордов и ребусов (работа в парах)
IV Оценивание работ друзей.
V Домашнее задание. Принести материал для математической газеты.
Занятие 16. Выпуск математической газеты.
Цель. Приучать учащихся находить важный и интересный
материал и уметь его размещать в газете, не забывая об ярком
оформлении.
22
Тип занятия – информационный.
Ход занятия
I Для чего выпускаются газеты?
II какая информация размещается в ней?
III Каков порядок размещения данных в газете?
IV Работа над газетой.
Занятие 17. Презентация «Искусство вычислять»
Цель. Повторить и обобщить приемы вычисления.
Тип занятия – обобщение и систематизация знаний.
Ход занятия.
I Повторение проемов вычисления с помощью презентации.
II Оценка выпущенной газеты.
III Подведение итогов.
Терминологический словарь
1. Квадрат числа – это произведение двух одинаковых чисел.
2. Искусство вычислять – приемы или способы, облегчающие
вычисления.
3. Сложение столбцами – прием, при котором сумма цифр
каждого столбика записывается отдельно.
23
4. Сложение в строчку – сложение с прибавлением к числу
суммы двух чисел.
5. Сложение по частям – способ, при котором складываются
десятки, сотни.
6. Вычитание с помощью дополнения – способ, при котором
вычитаемое дополняется до круглого числа, а уменьшаемое
увеличивается на это же число.
Литература.
А.А.Свечников, П.И.Сорокин. Числа, фигуры, задачи. Пособие
для учителя. - М: Просвещение, 1997 г.
2.
Ф.Ф.Нагибин. Математическая шкатулка. – М.: просвещение,
1988
3.
Е.И.Игнатьев. В царстве смекалки. – М.: наука. Главная редакция
физико-математической литературы, 1979 г.
4.
Интернет - ресурсы
1.
24
Программаучебного курса для учащихся 6 класса
«Задачи логического характера»на 17 часов
1.Пояснительная записка
Возрастающая потребность общества в людях, способных
творчески подходить к любым изменениям, нетрадиционно и
качественно решать существующие проблемы, обусловлена
ускорением темпов развития общества и, как следствие,
необходимостью подготовки людей к жизни в быстроменяющихся
условиях. Стратегия современного образования заключается в
предоставлении возможности всем учащимся проявить свои таланты
и творческий потенциал, подразумевающий возможность реализации
личных планов. Выдвижение на первый план цели развития личности,
рассмотрение предметных знаний и умений как средства их
достижения находят отражение в государственных документах. В
«Концепции модернизации Российского образования на период до
2010 года» делается акцент на развитие творческих способностей
учащихся, индивидуализацию их образования с учетом интересов и
склонностей к творческой деятельности.
Особое внимание специалистов, занимающихся вопросами
школьного
математического
образования,
направлено
на
модернизацию задачного материала, так как представленные в
современных учебных пособиях задачи, как правило, предполагают
алгоритмический способ решения, чем значительно сужают
операционное и информационное поле деятельности учащихся.
Учащихся привлекают задачи определенного жанра, в
специальной литературе обозначенные различными синонимичными
терминами: проблемные, творческие, поисковые, эвристические,
занимательные, т.е. задачи, способ решения которых не находится в
распоряжении решающего, - задачи нестандартные объективно или
субъективно. Педагогический опыт свидетельствует, что эффективно
организованная учебная деятельность учащихся в процессе решения
нестандартных задач является важнейшим средством формирования
математической культуры, таких качеств математического мышления,
как гибкость, критичность, рациональность, логичность; их
25
органическое сочетание проявляется в особых способностях человека,
дающих ему возможность успешно осуществлять творческую
деятельность.
В различных исследованиях содержится психологическая
характеристика процесса решения задачи, в том числе и
нестандартной
(Л.Л.Гурова,
3.И.Калмыкова,
В.А.Крутецкий,
Я.А.Пономарев и др.), рассмотрены фазы мыслительного процесса
при решении задач (Н.А.Менчинская), выделены обобщенные приемы
умственной
деятельности
(З.И.Калмыкова,
Г.Н.Кулюткин,
А.Ф.Эсаулов и др.), рассмотрены возможности педагогического
управления мыслительной деятельностью учащихся (З.И.Калмыкова,
В.А.Крутецкий, З.И.Слепкань и др.)
В методике преподавания математики довольно полно
разработаны вопросы обучения учащихся решению задач. В
методических исследованиях выявлены роль и место задач в процессе
обучения математике, охарактеризованы этапы решения задачи
систематизированы
приемы
поиска
решения
задачи,
проанализированы внешняя и внутренняя структура задачи. В
последние годы выполнен ряд методических исследований, в которых
рассматриваются вопросы, связанные с обучением учащихся решению
нестандартных задач. Как показывают различные психологопедагогические и методические исследования, учащиеся теряются,
столкнувшись с нестандартными задачами, что нередко приводит к
отказу от попыток решать задачу. Учащиеся недостаточно владеют
умениями, определяющими тактику и стратегию действий при
решении различных задач, в частности, умением самостоятельно
разрабатывать некоторую программу действий, соотносить ее с
полученными результатами, осуществлять контроль и оценку
выполнения исходной программы действий, обобщать полученные
результаты.
Перечисленные выше причины обусловили выбор темы
элективного курса «Задачи логического характера»
Задачи логического характера большей частью связаны с
теорией множеств: одни – непосредственно (задачи на логические
таблицы, на графы, операции над множествами, выделение элемента
26
множества, комбинаторные задачи, правило крайнего ), другие –
косвенно.
Учебный курс «Задачи логического характера» рассчитан на
17 часов для учащихся 6 класса, одаренных и увлекающихся
математикой.
В программе приводится тематическое планирование, включая
планы занятий. Основная форма занятий – практикум.
Предполагается, что данная программа будет способствовать
развитию математической интуиции, нестандартного мышления
учащихся, что станет отправной точкой для побед в олимпиадах по
математике.
2. Цели и задачи курса
Цели:
1.Развивать у учащихся логическое мышление, интерес к
математике;
2.Ознакомить учащихся с задачами логического характера и
способами их решения;
3.Создавать условия для расширения математического
кругозора.
Задачи:
1. Отработать способы решения задач логического характера
(логические переливания, таблицы, графы);
2. Научить выявлять нестандартный характер задачи;
3. Предоставить учащимся возможность проанализировать
свои способности.
3. Требования к уровню усвоения курса
Учащиеся должны:
1.Использовать полученные методы и приемы при решении
нестандартных задач;
2.Находить нестандартный подход к решению задач;
27
3.Применять полученные знания на школьных,
муниципальных и межрегиональных олимпиадах;
4.Математически грамотно записывать ход решения задач.
Изучение элективного курса заканчивается показом
презентацией, выполненных учениками, о некоторых методах
решения задач логического характера.
4.Учебно-тематический план
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Наименование раздела
Введение в курс «Задачи логического характера»
Задачи на переливание
Задачи на логические таблицы
Задачи на операции над множествами
Задачи на взвешивание
Задачи на расположение элементов по кругу
Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера
Задачи, решаемые методом перебора
Олимпиада
Итоговое занятие. Презентация
Итого:
Количество часов
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
17
5. Планы занятий
Тип
занятия
№
Тема занятия
1
Различные подходы к
определению понятий
«задача» и
«нестандартная
задача». Основные
этапы решения
нестандартных задач.
Лекция
2
Задачи на переливание
Практикум
Цель занятия
Определить понятие
«нестандартная
задача», познакомить с
основными этапами
решения
нестандартных задач.
Уметь с помощью двух
сосудов налить
определенное
Колво
часов
1
2
28
3
Задачи на логические
таблицы
4
Задачи на операции
над множествами
5
Задачи на взвешивание
6
Задачи на
расположение
элементов по кругу
7
Задачи, решаемые с
помощью кругов
Эйлера
8
Задачи, решаемые
методом перебора
9
Олимпиада
10
Итоговое занятие.
Презентация
количество жидкости,
познакомить с задачей
Пуассона.
Уметь решать задачи с
Практикум помощью таблиц,
кругов
Познакомить
учащихся с задачами
Практикум на соответствие между
двумя множествами и
способом их решения
Показать, что с
помощью взвешивания
Практикум
можно решить
нестандартные задачи
Развивать логическое
мышление,
Практикум
математическую
интуицию
Уметь с помощью
Практикум кругов Эйлера решать
задачи
Уметь применять
метод перебора при
решении задач на
Практикум
восстановление записи
числа и числового
ребуса
Проверить усвоение
методов и приемов
Контроль
решения задач
логического характера
Обобщить приемы
Презентация решения задач
логического характера
2
2
2
2
2
2
2
1
6. Терминологический словарь
29
Задача - вопрос, требующий решения на основании
определённых знаний и размышления.
Нестандартная задача - задача, для решения которой в курсе
математики не содержится правила, определяющего программу его
решения.
Логические задачи – составная часть алгебры высказываний,
объектами
алгебры высказываний
являются высказывания.
Высказывание - это истинное или ложное повествовательное
предложение.
Круги́ Э́йлера— геометрическая схема, с помощью которой
можно изобразить отношения между подмножествами, для
наглядного представления.
7. Рекомендуемая литература
1. Е.В. Галкин. Нестандартные задачи по математике: Кн. для
уч-ся 5-11 кл. М.: просвещение: Учебная литература, 1996 г.
2. Г. Штейнгауз. Сто задач: М.: Наука, 1998 г.
3. И. Л. Бабинсная. Задачи математических олимпиад. М.:
Наука, 1985 г.
4. М. Беррондо. Занимательные задачи, М.: Мир, 1985 г.
5. Журнал «Математика в школе», 2002-2009 гг. Раздел
«Задачи».
6. Интернет-ресурсы
30
Учебный курс по математике
«Задачи прикладной направленности»
для учащихся 7 класса на 17 ч.
1. Пояснительная записка
Тот, кто не знает математики, не может
узнать никакой другой науки и даже
не может обнаружить своего невежества.
Роджер Бэконния
Развитие математики во все времена определялось двумя
движущими силами. Одна – «внешняя сила» - связана с
потребностями человеческой практики, понимаемой не в узко
утилитарном смысле, но широко – как совокупности умственной и
физической деятельности людей. Другая – «внутренняя сила» вытекает из необходимости систематизации и обобщения
накопленного материала, приведение его в порядок в соответствии с
канонами математики. Эти силы и проецируют два направления в
математике, которые условно можно назвать «прикладным» и
«теоретическим».
Пренебрежение прикладной стороной математики может
привести к отрыву теории от практики, к возникновению
псевдотеорий, единственной положительной чертой которых является
их логическая непротиворечивость. Не менее опасно пренебрежение
теоретической стороной математики, утилитарный подход к науке,
ведущий к забвению фундаментальных исследований и в конечном
итоге вредящий практике. Единство математики проявляется во
взаимопроникновении прикладного и теоретического направлений, в
их взаимном обогащении и влиянии.
Математическое образование всегда создает в умах учащихся
некоторую картину состояния и развития математики. Важно, чтобы
эта картина соответствовала реальности, отражала на доступном для
учащихся уровне действительные взаимосвязи математики с
окружающим миром.
Человечество ценит математику за ее прикладное значение, за
общность и мощь ее методов исследования, за действенные прогнозы
при изучении природы и общества.
Понятие практической задачи имеет основанием деление
человеческой
деятельности
на
теорию
и
практику,
противопоставление теории практике (практическая, т.е. не
теоретическая, не абстрактная)
Наибольшее значение для решения практических задач из
различных сфер человеческой деятельности имеет именно
теоретическое математическое значение, выступающее в качестве
метода научного познания действительности.
Современная педагогика видит три цели математического
образования. Первая – общеобразовательная. Без математики
невозможно понять ряд других предметов, нельзя продолжить
образование в вузе по многим специальностям. Кроме того, ядро
математического знания давно стало общечеловеческой культурной
ценностью.
Вторая цель – прикладная. Школьник, как правило, еще не
знает, чем он будет заниматься, поэтому у учителя остается одна
реальная возможность – научить детей принципам математического
моделирования каких-либо (не так уж важно каких) реальных
процессов.
Третья цель – воспитательная. Математика развивает
логическое, пространственное и алгоритмическое мышление;
формирует такие качества, как трудолюбие, настойчивость,
усидчивость; учит ценить красоту мысли и т.д. но еще важнее другое:
математика
–
это
мировоззрение.
Человек,
владеющий
математическими методами исследования, иначе подходит к
жизненным проблемам, иначе смотрит на мир.
Прикладная направленность преподавания математики связана
со всеми тремя названными целями: с общеобразовательной (легче
учить другие предметы), с прикладной (будущий специалист еще в
школе получает необходимые навыки прикладного математического
исследования), с воспитательной (мир един, и именно в содружестве с
другими науками математика формирует у ребенка основы научной
картины мира).
Цель курса: научить решать задачи практического характера
по алгебре и геометрии.
Задачи курса:
32
1) обосновать актуальность решения задач практической
направленности;
2) создать необходимые условия для самостоятельной работы
учащихся;
3) научить анализировать решенную задачу, формулировать
вывод по ней.
4) развитие логического мышления и вычислительных
навыков.
Гипотеза: решение задач прикладного характера будет
способствовать успешной сдачи ЕГЭ, поможет в определении
будущей профессии.
Данный курс рассчитан на 17 часов для учащихся в возрасте
13-14 лет. Занятия основываются на формировании интереса к
решению математических задач, предусматривающему использование
уравнений, системы уравнений, графика зависимости, интерпретации
с помощью объемов и площадей.
Для усвоения содержания курса следует использовать
следующие возможности компьютера:
1. Презентация «Пожары и их последствия» (тема «Площадь
участка»)
2. Презентация «Природа и геометрия» (тема «Геометрия в
природе»)
3. Презентация «Математика и эстетика» (тема «Задачи на
нахождение объемов тел»)
4. Презентация «Роль и место прикладных задач по
математике».
Программа
учебного
курса
«Задачи
прикладной
направленности» разработана учителем математики первой
квалификационной
категории
Милаевой
Н.В.
МОУ
«Большеелховская СОШ».
Актуальность курса. В настоящее время существует
объективная необходимость практической ориентации школьного
курса алгебры и геометрии. Вместе с тем базовый уровень является
недостаточным для реализации данного положения, что и определяет
актуальность решения прикладных задач в дополнительном учебном
курсе.
33
Новизна данного курса состоит в интеграции работы над
выработкой определенного стиля математического мышления над
развитием интуиции, воображением, сообразительности и других
качеств, лежащих в основе творческого процесса, над внедрением
информационных технологий в развитие математической грамотности
над пониманием красоты и изящества математических рассуждений.
Оригинальность программы состоит в том, что на основе
развития интереса к математике, создаются условия для творческой
мыслительной активности детей.
Степень интегрированности с другими образовательными
программами, уровень междисциплинарных связей программы.
Наряду с принципами научности, непрерывности, интегрированности
и дифференцированности, российское образование в настоящий
момент акцентируется на развитии обучающихся, упирающемся на
личностно-ориентированном обучении, гармонизацию и гуманизацию
образовательного процесса. Наша задача не только дать учащимся
математические
знания,
но
и
сформулировать
у
них
коммуникативные,
интеллектуальные,
творческие
умения,
способствующие становлению и самореализации личности.
Использование межпредметных связей является одним их условий
реализации
прикладной
направленности
обучения.
Объект
математики – весь мир, и его изучают все остальные науки.
Межпредметная связь повышает научность обучения, доступность, в
данной программе показана связь математики с химией, географией.
Реализация принципа преемственности. Преемственность
реализации задач прикладной направленности позволяет выполнять
заказ общества на подготовку личности, на личности не только
владеющей знаниями, представлениями о применении этих знаний, но
и умеющей эти знания применять в различных областях деятельности,
при решении практических задач, как учебных, так и жизненных
проблем.
Таким образом, преемственность реализации курса «Задачи
прикладной направленности» является одним из путей осуществления
компетентного подхода в обучении.
Исследуя умения семиклассников использовать полученные
знания и умения в практических ситуациях, было обнаружено, что не
34
все учащиеся могут это сделать. Так, например, некоторые ученики
при решении задач допускают следующие ошибки: неправильно
интерпретируют исходные данные или на их основе составляют
неверную математическую модель, записывают неправильно ответ в
связи с тем, что не соотносят полученные результаты решения данной
задачи и ее реальность.
Практическая направленность содержания программы.
Практическая направленность курса связана с раскрытием
значимости математики, ее методов в деятельности человека для
познания им окружающего мира, для применения полученных знаний,
умения на практике. Кроме того, осуществление этой направленности
позволяет решать проблему мотивации, целеполагания, так как показ
значимости изучаемого материала привлекает внимание учеников к
содержанию занятия, помогает понять не только социальную
ценность материала, но и ценность «для себя». Однако,
перенасыщенность содержания школьных учебников теоретическими
заданиями и недостаточное количество часов, мизерное количество
часов прикладного характера, показывающие связь с теорией и ее
практического применения в жизни, в будущих профессиях, далеко не
способствуют их реализации. Поэтому был осуществлен выбор в
пользу данного курса «Задачи прикладной направленности», где
демонстрируется связь математики с другими науками, с жизнью.
Используемые методы: наглядный, словесный, проблемный,
практический.
2. Содержательная часть
Модуль 1. Алгебраические задачи (9 часов)
Равномерное движение, расход материалов и денежных
средств, перевоз грузов, грузоподъемность, смеси растворов.
Модуль 2. Геометрические задачи. (8часов)
Нахождение площадей, объемов фигур, вместимость сосудов,
помещений.
Также курс предусматривает решение на каждом занятии
математических головоломок, задач на логику, игры-фокусы.
35
В течение курса предполагаются выступления-доклады,
подготовленные учащимися в форме компьютерных презентаций.
Тематика выступлений также приведена в содержании курса.
3. Требования к уровню подготовки
В результате изучения курса «Задачи прикладной
направленности» учащиеся должны
знать:
1) значение прикладных задач, возникающих в теории и
практике; широту и ограниченность применения математических
методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и
обществе;
2) характер законов логики математических рассуждений;
3) возможности геометрического языка как средства
описания свойств реальных предметов.
уметь:
1) решать текстовые задачи алгебраическим методом, с
помощью уравнений, системы уравнений;
2) находить решение с помощью графика зависимости;
3) решать геометрические задачи, опираясь на изученные
формулы, свойства.
4. Тематическое планирование
п/п
Модули
1
Алгебраичес
кие задачи
Геометричес
кие задачи
2
Итог
о
17
Максималь
ная
нагрузка
Теоретичес
кое
обучение
Практичес
кие работы
Презентац
ии
9
6
2
1
8
3
1
4
9
3
5
36
5. Календарно-тематическое планирование
п/
п
Название
темы
1
Задачи на
равномерн
ое
движение
2
3
4
5
Основные
понятия
Цели и задачи
обучения
Пр/сам
работы
Презента
ции
Сро
ки
Модуль 1. Алгебраические задачи (9 часов)
Равно
Выработать
мерное
навык решения
движение
задач на
равномерное
движение
Задачи на
Познакомить
расход
учащихся с
материалов
алгоритмом и
и
логикой
денежных
решения задач
средств
на расход
материалов и
денежных
средств
Урав
Решение
Научить
нение
задач с
использовать
помощью
составление
уравнений
уравнений как
метод решения
задачи
Самосто
Текстовые
Сформировать
ятельная
задачи
умение решать
работа
текстовые
задачи, контроль
полученных
знаний на
основе
самостоятельной
работы
Старинные
Использовать
задачи
логическое
мышление при
решении
37
6
Задачи с
числовыми
великанам
и
7
Решение
задач с
помощью
системы
уравнений
8
Решение
задач.
9
Классическ
ие задачи
1
0
Простейши
е
геометриче
ские
задачи
Задачи на
нахождени
е объемов
и
площадей
многогран
ников
1
1
старинных задач
Ознакомить
учащихся с
задачами,
содержащие
реальные
величины
(задачи о
Солнечной
системе,
планетах)
Система
Научить
уравнений
использовать
систему
уравнений как
метод решения
задачи
Контроль знаний Самосто
учащихся в ходе ятельная
самостоятельной работа
работы
Ознакомить
учащихся с
классическим
типом задач.
Модуль 2. Геометрические задачи
Научить
применять
формулы при
решении задач
Объем
многогранн
ик,
площадь
многогранн
ика
Выработать
навык решения
задач на
нахождение
объемов и
площадей
многогранников
Презентация
«Числовые
великаны
»
Практич
еская
работа
38
1
2
График
зависимост
и.
График
зависимост
и
1
3
Площадь
участка
Площадь
1
4
Задачи
«Геометри
яв
природе»
Задачи на
нахождени
е объемов
тел
(цилиндр,
конус,
шар)
Конкурс на
составлени
е задач
1
5
1
6
1
7
Итоговое
занятие.
Сформировать
умение решать
задачи,
используя
построение
графика
зависимости
Выработать
навык
нахождения
площади участка
Показать связь
природы с
геометрией
Цилиндр,
конус, шар
Сформировать
навык решения
задач на
нахождение
объемов тел
Развивать
творческую
направленность,
логическое
мышление
Подведение
итогов курса
Презентац
ия
«Пожары
и ущерб
от них»
Презентац
ия
Презентац
ия
«Математ
ика и
эстетика»
Презентац
ия «Роль
и место
прикладн
ых задач
по
математи
ке»
6. Прогнозируемые результаты
39
Любая работа ценится результатом, который можно получить
при решении той или иной практически и теоретически значимой
задачи (проблемы) этот результат можно увидеть, осмыслить,
применить в реальной практической деятельности. Чтобы добиться
такого результата, необходимо научить детей самостоятельно
мыслить, находить и решать проблемы, привлекая для этой цели
знания из разных областей, умения прогнозировать результаты и
возможные последствия разных вариантов решения, умения
устанавливать причинно-следственные связи.
Результаты усвоения курса следуют из проведенных
самостоятельных и практических работ, выступлений, презентаций.
1 уровень – репродуктивный (с помощью учителя) – 15%.
2 уровень – репродуктивный (без помощи учителя) – 15 %;
3 уровень – продуктивный – 35%.
4 уровень – творческий – 35%.
7. Терминологический словарь
Равномерное движение – движение, при котором тело за
любые равные отрезки времени проходит равные расстояния.
Расход материалов – учет материалов, отпущенных на
общепроизводственные нужды.
Расход денежных средств – движения денежных средств для
обеспечения успешной хозяйственной деятельности.
Старинные задачи - тип задач, позволяющий проследить за
развитием математической мысли с древнейших времен.
Объем тела – величина тела в длину, ширину, высоту,
измеряемая в кубических единицах.
Площадь многогранника – сумма площадей его граней.
График зависимости – наглядное представление зависимости
одной переменной от другой.
40
8. Список литературы
1. Фоминых, Ю.Ф. Прикладные задачи по алгебре для 7-9
классов: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1999. – 112 с.
2. Анатасян, Л.С и др. Геометрия.7-9 классы : учеб. для
общеобразоват. учреждений / [ Л.С. Анатасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев и др.]. – 20-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 384 с.
3. Нагибин, Ф.Ф. Канин, Е Математическая шкатулка :
Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Просвещение,
1988.
4. Колягин Ю.М., Пикан В.В. О прикладной и практической
направленности обучения математике// Математика в школе. – 1985 №6.
5. Тихонов А.Н. , Костюмаров Д.П. Рассказы о прикладной
математике. – М.: Наука, 1974.
6. Шапиро И.М. Использование задач с практическим
содержанием в обучении математики. М.: Просвещение, 1980.
9. Приложение
(Почасовое планирование)
Занятие 1
Задачи на равномерное движение
Цель.Решение
прикладных
задач,
поставляющих
содержательные моменты для составления алгебраических задач.
Ход занятия
I. Организационный момент
II. Знакомство с планом курса, требованиями и результатами
обучения
III. Решение задач на составление выражения при
равномерном движении.
Задача 1. Две свечи длиной 24 см зажжены одновременно.
Одна свеча сгорела полностью за 6 ч, другая – за 8 ч. Составьте
41
выражение для вычисления разности длин свечей, обозначая через t
время горения (ч). Какой длины была вторая свеча, когда первая
полностью сгорела.
Задача 2. Из Екатеринбурга и Перми одновременно в разные
стороны вышли два поезда со скоростью 50 км/ч. Как будет
изменяться расстояние между поездами? Каким оно будет через 5 ч?
Обозначьте через t время (ч). Расстояние от Екатеринбурга до Перми
считать равным 400 км.
Задача 3. Из Екатеринбурга и Перми одновременно навстречу
друг другу вышли два поезда со скоростью 50 км/ч. Как будет
меняться расстояние между поездами до момента их встречи? Когда
они встретятся?
Задача 4. Из Екатеринбурга в восточном направлении вышел
почтово-багажный поезд со средней скоростью 20 км/ч.
Одновременно в том же направлении из Перми вышел пассажирский
поезд со скоростью 60 км/ч. Найдите выражение для вычисления
расстояния между поездами до момента встречи. Когда она
произойдет?
IV. Физкультминутка.
V. Числовые головоломки.
Запишите, пользуясь тремя пятерками и знаками действий:
1) 1;
2) 0;
3) 2
4) 5.
VI . Задача Наполеона. Одно из 7 древних чудес света –
египетские пирамиды. Самая знаменитая из них – пирамида Хеопса
высотой 147 м, в основании которой квадрат со стороной 233. если из
каменных блоков пирамиды возвести стену толщиной 20 см вокруг
Франции, то какова будет высота этой стены? Считать, что общая
длина морских и сухопутных границ Франции 5000 км.
VII Подведение итогов.
Занятие 2
Задачи на расход материалов и денежных средств.
42
Цель.Посредством решения задач продемонстрировать
экономный расход материалов и денежных средств.
Ход занятия
I. Организационный момент
II. Беседа «Экономное распределение времени, денежных
средств, материала»
III. Решение задач.
Задача 1. Сколько кирпича и раствора требуется для постройки
стены длиной 20 м, толщиной 50 см и высотой 2,5 м, если на 1
м3кладки расходуется 400 кирпичей, а расход раствора составляет
20% объема кладки?
Задача 2. В комнате, размер которой 3х4х2,5 м решили
покрасить пол. Расход масляной краски 150 г на 1 м2. Сколько нужно
купить банок краски массой 1 кг?
Задача 3. Рулон обоев имеет ширину 60 см и длину 10 м.
Необходимо оклеить стены в комнате, размер которой 3х4х2,5 м.
Общая площадь окна и двери 4 м2. Сколько рулонов нужно купить?
Задача 4. Ширина захвата сеялки 2 м, она движется со
скоростью 6 км/ч. Норма высева семян 150 кг на 1 га. Запишите
формулу зависимости расхода семян от времени t (ч). На какое время
работы хватит 270 кг зерна?
IV. Физкультминутка
V. Задачи на смекалку.
Задача 1.Пользуясь пятью двойками и знаками действий,
запишите число 28.
Задача 2. Пользуясь четырьмя двойками и знаками действий,
запишите число 111.
VI. Тренировочные задачи.
Задача 1. При разрубании проволоки на заготовки длиной 50
мм отходы составляют 2%. Сколько заготовок можно вырубить из 150
см проволоки?
Задача 2. Масса металлической болванки 14 кг. Сколько
болванок потребуется, чтобы отлить 66 деталей массой 4 кг каждая,
если потери чугуна при отливке составляют 10%
43
Задача 3. У строительной организации есть 3 пятитонных и 5
трехтонных машин. Какое наименьшее число машин потребуется для
перевозки (одним рейсов) 25 железобетонных плит массой по 800 кг?
VII Подведение итогов
Занятие 3
Решение текстовых задач с помощью уравнений
Цель. Умение решать текстовые задачи с математическим
моделированием.
Ход занятия
I. Организационный момент
II. Повторение .Линейные уравнения
- уравнение;
- корень уравнения;
- решение уравнения;
математическое
моделирование
(формализация,
исследование, интерпретация)
III. Решение задач.
Задача 1. Директор дал срочную работу двум машинисткам.
Первая печатает страницу за 6 мин, вторая – за 10 мин. В каком
отношении они должны распределить работу между собой, чтобы
выполнить ее как можно быстрее?
Задача 2. В цехе поставили автоматический станок,
производительность которого выше производительности рабочего на
95 деталей в час. За 18 мин автомат выполнил 6-часовую норму
рабочего. Какова производительность автомата?
Задача 3. Ученик 7-го класса пишет заголовок стенной газеты
«Веселая пора». Длина листа 80 см. По 7 см он оставил слева и справа
на поля, через х обозначил ширину буквы и просвета между словами,
х
а через
- ширину просвета между буквами. Какой ширины
2
получились буквы?
IV. Физкультминутка
V. Задачи на смекалку.
44
Задача 1. Запишите число 100, пользуясь знаком «+» и :
1) четырьмя девятками;
2) шестью девятками.
Допускается использование дробной черты.
Задача 2. Запишите число 31, пользуясь знаками действий и:
1) пятью тройками,
2) шестью тройками,
3) пятью пятерками.
Задача 3. Запишите 100, пользуясь знаками действий и:
1) пятью тройками,
2) шестью тройками,
3) пятью пятерками.
V.I Тренировочные задачи.
Задача 1. Ученик 7-го класса ездил на автобусную экскурсию в
другой город. Туда автобус шел 2 ч, а обратно (другим путем) – 1 ч 20
мин. Школьник заметил, что показания спидометра увеличились на
200 км. Какова длина первого и второго пути?
Задача 2. В каких пропорциях нужно смешать 50%й и 70%й
растворы кислоты, чтобы получить 65%й раствор?
VI.I Подведение итогов.
Занятие 4
Текстовые задачи. Самостоятельная работа.
Цель.Сформировать умение решать текстовые задачи,
контроль полученных знаний на основе самостоятельной работы.
Ход занятия
I. Организационный момент.
II. Решение задач.
Задача 1. Фермер планировал засевать в день по 9 га поля.
Применив новую технику, он каждый день засевал на 3 га больше, и
за 3 дня до намеченного срока осталось засеять 9 га. Какова площадь
поля?
III. Физкультминутка
IV. Самостоятельная работа
Вариант I
45
1. Заработную плату рабочего составляет оклад х рублей и
премия за производство сверхплановой продукции (1 р. за
сверхплановую продукцию стоимостью у рублей). Рабочий произвел
сверхплановой продукции на z рублей. Каков его заработок?
2. Теплоход имеет собственную скорость 20 км/ч. Путь вниз
по реке занял на 2 ч меньше, чем обратный. С какой средней
скоростью передвигался теплоход, если скорость течения реки 4 км/ч?
Вариант II
1. Заработная плата служащего составляет х рублей, к
которым начисляется 15%й «уральский коэффициент». Из общей
суммы взимается 1% в пенсионный фонд и 1% составляет
профсоюзный взнос. Заработная плата облагается также 13%м
подоходным налогов (кроме у рублей, равных минимальной
заработной плате). Составьте формулу для вычисления суммы,
которую получит служащий.
2. Моторная лодка развивает скорость в стоячей воде 15 км/ч.
Рыбак проплыл на ней против течения реки 30 ч, а затем вернулся на
прежнее место за 20 ч. Какова скорость течения реки? Какое время
рыбак потратил бы на обратный путь в лодке с выключенным
моторов?
V. Подведение итогов.
Занятие 5
Старинные задачи
Цель.Использовать логическое мышление при решении
старинных задач
Ход занятия
I. Анализ самостоятельной работы.
II. Решение старинных задач.
Задача 1. Летели галки и сели на палки: на каждую палку по
галке и одна галка осталась без палки. А кабы на каждую палку село
по две галки, то бы одна палка осталась без галки. Сколько было
галок? Сколько было палок?
Задача 2. Летела стая гусей, а навстречу им один гусь:
- Здравствуйте, сто гусей!
46
- нас не сто гусей. Вот если бы нас было еще столько,
полстолько, да четверть столько, да ты, гусь, с нами, то было бы сто.
Сколько нас?
III. Физкультминутка.
IV. Игра-фокус.
- Какая цифра тебе больше нравится?
- Пять.
- Хорошо, задумай трехзначное число. Припиши к нему это же
число. Рездели на 11 раздели на 13, раздели на задуманной число,
вычти 2. вот и получилась цифра, которая тебе нравится.
В чем разгадка фокуса?
V. Задача.
Купец имел шестипроцентные облигации, с
которых получал ежегодно по 1500 р. процентных денег. Продав
облигации по курсу 120 (т.е. 120% от их номинальной стоимости),
часть вырученных денег купец употребил на покупку дома, 1/3
остатка положил в банк под 4%, а остальные деньги в другой банк по
5%. Из обоих банков вместе купец получает в год 980 р. дохода.
Сколько было заплачено за дом?
VI. Подведение итогов
Занятие 6
Задачи с числовыми великанами
Цель.Ознакомить учащихся с задачами, содержащие
реальные величины (задачи о Солнечной системе, планетах)
Ход занятия
I. Организационный момент
II. Знакомство с таблицей чисел великанов.
103 – тысяча
106 – миллион
109 – биллион (миллиард)
1012 – триллион
1015 – квадриллион
1018 – квинтиллион
47
1021 – секстиллион
1024 – септиллион
1027 – октиллион
1030 – нониллион
1033 – дециллион
1036 – андециллион
1039 – дуодециллион
1042 – тредециллион
1045 – кваттордециллион
1048 – квиндециллион
1051 - сексдециллион
1054 – септендециллион
1057 – октодециллион
1060 – новемдециллион
1063 – вигинтиллион
10100 – гугол
III. Решение задач
Задача 1. По легенде, изобретатель шахмат попросил у царя в
награду 1 зерно пшеницы за первую клетку шахматной доски, 2 – за
вторую, 4 – за третью и т.д., 263- за 64-ю. может ли царь выполнить эту
просьбу?
Задача 2. Ежегодно прирост древесины на опытном участке
составляет 10%. Какое количество древесины будет на участке через
10 лет, если сейчас ее 105 м3?
Задача 3. Корабль идет со скоростью 11 узлов. Велосипедист
проезжает 100 м за 18 с. Сравните скорость корабля и велосипедиста.
Иметь ввиду, что 1 узел=1 морская миля/ч, 1 морская миля=1,852 км.
IV. Физкультминутка
V. Игра-фокус.
- А сейчас я буду угадывать число, которое ты загадал. Загадай
число.
- любое?
- любое. Но не очень большое, иначе вычисления будут
громоздкими. Умножь задуманное число на 3, прибавь 5, прибавь
задуманное число, умножь на 5, прибавь 5, умножь на 5. что
получилось?
48
-…
- Ты загадал…
Как угадал фокусник?
VI. Составление задач с числами великанами.
VII. Подведение итогов.
Занятие 7.
Решение задач с помощью систем уравнений
Цель.Научить использовать систему уравнений как метод
решения задачи
Ход занятия
I. Организационный момент.
II. Повторение (система уравнений, решение системы)
III. Решение задач.
Задача 1. 5 бычков могут прокормиться на лугу 4 дня, 4 бычка
– 6 дней. Сколько дней могут прокормиться на лугу 3 бычка?
Задача 2. Теплоход идет из Перми в Астрахань 5 суток, а
обратно – на день больше. Сколько дней от Перми до Астрахани
будет плыть плот?
Задача 3. В сельской школе два класса. В первом полугодии
успеваемость по класса составляла 90% и 50%, а в целом по школе –
70%. Во втором полугодии из первого класса 10 человек перешли в
другую школу. Каждый класс повысил успеваемость на 1%, а в целом
по школе успеваемость упала на 3%. Сколько учащихся стало в
школе?
IV.Физкультминутка
V. Игра-фокус (М.Ю.Лермонтова)
- Задумайте какое угодно число, и я с помощью простых
арифметических действий определю его, - предложил Михаил
Юрьевич.
- Хорошо, я задумал, - сказал один из стоявших вокруг него
офицеров…
- Благоволите прибавить к нему еще 25. теперь не угодно ли
прибавить еще 125? Засим вычтите 37. Еще вычтите число, которое
вы задумали сначала. Теперь остаток умножьте на 5. Засим
49
полученное число разделите на 2. Теперь посмотрим, что у вас
1
должно получиться. Если не ошибаюсь, число 282 ?
2
Офицер даже привскочил, так поразила его точность
вычисления:
- Да, совершенно верно.
На чем основан фокус?
VI Подведение итогов.
Занятие 8.
Решение задач. Самостоятельная работа.
Цель.Проверить знания учащихся в ходе самостоятельной
работы.
Ход занятия
I Организационный момент
II Решение задач
Задача 1. Три ковша у Ивана-дурака. И стал он их мерить:
налил в большой ковш средним, а меньшим отчерпнул, а когда еще
раз налил средним – большой ковш и полон. Тогда стал он воду
вычерпывать: малым, средним, малым, средним, опять малым – глядь,
а ковш-то пустой. Сколько же малых ковшей входит в большой и
средний?
Задача 2. В сосуд с водой температуры 30º долили горячей
воды, температура смели стала 42º. Долили еще столько же горячей
воды, температура повысилась еще на 8º. Какова температура горячей
воды?
III. Физкультминутка.
IV. Самостоятельная работа.
Вариант I
Задача 1. Известны законы движения тел: S  t  6, S  t  6 (t-мин,
3
S – км.) скорость второго в 3 раза больше, чем первого. Когда
произойдет их встреча? Когда следует дать старт третьему телу,
имеющему скорость 2 км/мин, чтобы все три тела встретились
одновременно? Решите графическим способом.
50
Задача 2. При бороновании 1 га пахоты трактор расходует 1,3
кг горючего. Составьте формулу для вычисления зависимости расхода
горючего М (кг) от площади поля S (га). Постройте график
зависимости М от S.
Вариант II
Задача 1. Катер идет навстречу морскому лайнеру и проходит
мимо него от кормы до носа за 12 с. Затем катер поворачивает назад,
идет с той же скоростью и, перегоняя лайнер, проходит мимо него за
60 с. Тут катер останавливается. За какое время весь лайнер пройдет
мимо стоящего катера?
Задача 2. Норма высева пшеницы 170 кг/га. Найдите
зависимость расхода семеня m от засеянной площади S. Постройте
график полученной зависимости. Сколько семян потребуется для
посева на площади 10 м2; 100 м2; 0,5 га?
V. Подведение итогов.
Занятие 9
Классические задачи
Цель.Ознакомить учащихся с классическим типом задач.
Ход занятия
I. Организационный момент. Анализ самостоятельной
работы.
II. Классические задачи.
Задача 1. Три рыбака вечером наловили рыбы и легли спать.
Первый, проснувшись утром, решил не будить остальных. Он
разделил рыбу из садка поровну, но одна рыба осталась лишней; он
выбросил ее в воду, забрал третью часть улова и уехал домой. Через
час встал второй. Думая, что он проснулся первым, и не желая будить
остальных, проделал то же самое, что и первый: выкинул в воду
лишнюю рыбу, взял третью часть от оставшегося улова и уехал. Еще
через час все это повторил третий рыбак, тоже считая, что он встал
первым. Каков был улов?
51
Решение. Пусть поймано х рыб.
(х-1):3 – доля первого рыбака,
2(х-1):3=(2х-2):3 – остаток после первого дележа,
2 х  5 - доля второго рыбака,
 2х  1 
 1 : 3 


3

9
2 х  5 4 х  19
2

 у9
27
доля третьего рыбака.
Мы получили одно уравнение 4х-27 у=19 с двумя
неизвестными. Понятно, что у него бесконечно много решений, но по
условию задачи х,у должны быть натуральными числами. Выразим с
последнего уравнения х:
27 у  19
х
 7 у  5   у  1) : 4 
4
Последний одночлен в правой части уравнения обозначим
новой переменной:
k  ( y  1) : 4
Подставим:
х  7 у  k  5 , у  4k  1 .
Тогда х  27k  2
Мы получили формулу для всех решений задачи при k=1, 2, 3,
…
Задача 2. Часы идут точно. В 12 ч минутная и часовая стрелки
совпали. Когда они совпадут в следующий раз?
III Физкультминутка
IV Игра-фокус
Купец ежегодно расходует 100 фунтов стерлингов на
содержание семьи и приумножает остальной капитал на одну треть.
Через три года он стал вдвое богаче. Как велик стал его капитал?
V Подведение итогов.
Занятие 10
Простейшие геометрические задачи
Цель. Научить применять формулы при решении задач.
Ход занятия
I Организационный момент
II Решение задач
52
Задача 1. У хозяйки есть две банки для крупы. У одной
квадратное дно 10х10 см и высота 19 см, а у другой круглое дно с
радиусом 6 см и высота 18 см. В какую банку войдет больше крупы?
Задача 2.
Радиус земного шара равен 6370 км. Вычислите объем Земли,
площадь поверхности, площадь суши (примерно 29% площади
поверхности)
Задача 3. В астрономии одной из единиц длины является
световой год, то есть расстояние, которое проходит за год луч света.
Скорость света с=300000 км/с. Вычислите:
1) за какое время луч света проходит от Земли до Луны, от
Солнца до Земли,
2) величину светового года в километрах,
3) расстояние от Земли до звезды Сириус в световых годах.
Иметь ввиду, что среднее расстояние от Земли до Луны 384000
км, от земли до звезды Сириус 8,2.1013 км.
III Физкультминутка
IV Задача на смекалку
Задача 1. Какие знаки арифметических действий нужно
поставить вместо знаков вопроса в записи 5 ? 5 ? 5 ? 5 , чтобы получить 8?
5
Чтобы получить 20?
Задача 2.
1) как нужно расставить знаки «+» в записи 1 2 3 4 5 6 7, чтобы
получилась сумма, равная 100?
2) как нужно расставить знаки «+» в записи 9 8 7 6 5 4 3 2 1,
чтобы получилась сумма, равная 100?
V Подведение итогов.
Занятие 11
Задачи на нахождение объемов и площадей
многогранников.
Практическая работа
Цель:выработать навык решения задач на нахождение
объемов и площадей многогранников.
Ход занятия
53
I Знакомство с целями и задачами практической работы
II Практическая работа
- измерение,
- применение формул для вычисления.
III Анализ выполненной работы
IV Подведение итогов
Занятие 12
График зависимости
Цель.Сформировать умение решать задачи, используя
построение графика зависимости
Ход занятия
I Организационный момент
II Повторение
- функция,
- линейная функция,
- параметры линейной функции,
- график функции.
III Решение задач
Задача 1. При бороновании 1 га пахоты трактор расходует 1,3
кг горючего. Составьте формулу для вычисления зависимости расхода
горючего М (кг) от площади S (га). Постройте график зависимости М
от S/
Задача 2. В 11 ч вечера слуга зажег хозяину две свечи и ушел
спать, а утром в 7 ч обнаружил его убитым. Одна свеча лежала
потухшая на полу, а другая догорала. В какое время произошло
убийство, если длина целой свечи 21 см, опрокинутой по время
убийства 16 см, а непотухшего огарка 1 см? Постройте график
зависимости длины горящей свечи от времени.
IV Физкультминутка.
V Задачи на смекалку
Задача 1. Какое целое число делится (без остатка) на любое
целое число, отличное от 0?
Задача 2. 1)Сумма каких двух натуральных чисел равна их
произведению?
54
2) Сумма каких двух натуральных чисел больше, чем их
произведение?
VI Подведение итогов
Занятие 13
Площадь участка
Цель.Выработать навык нахождения площади участка.
Ход занятия
I Беседа «Пожары и их последствия»
II Решение задач.
Задача 1. Обхват дерева (длина окружности) – 88 см.
Вычислите с точностью до 1 см2) площадь поперечного сечения этого
дерева. Составьте таблицу для нахождения по ней площади
поперечного сечения дерева по обхвату его. Сделайте это, например,
для таких обхватов: 20, 30, 40, 50, 60, 70 см, 1 м.
Задача 2. Диаметр опаленной площади тайги от взрыва
Большого Тунгусского метеорита равен приблизительно 38 км. Какая
площадь тайги была опалена?
Задача 3. Две водопроводные трубы одного и того же диаметра
нужно заменить одной трубой с той же пропускной способностью.
Каким должен быть диаметр этой трубы по сравнению с диаметром
каждой из заменяемых труб?
III Физкультминутка
IV Гимнастика ума
Все высоты данного треугольника пересекаются в одной из его
вершин. Какой это треугольник?
V Подведение итогов.
Занятие 14
Задачи «Геометрия в природе»
Цель:показать связь природы с геометрией.
Ход занятия
I Беседа «Природа и геометрия» (презентация)
II Решение задач.
55
Задача 1. Измерьте длину минутной стрелки ваших часов.
Какой путь опишет конец ее за сутки, за месяц (30 дней), за год (365
дней)?
Задача 2. Диаметр вала колодезного ворота равен 0,24м. чтобы
вытянуть ведро со дна колодца, приходится делать 10 оборотов.
Какова глубина колодца?
Задача 3. Эйфелева башня в Париже, высота которой около 300
м, сделана из железа и имеет массу около 8000 т. Какую высоту будет
иметь железная модель ее массой 1 кг?
III Геометрические головоломки
Задача 1. Сложите три равных квадрата:
1)
из 11 спичек;
2)
из 10 спичек.
Задача 2. Из 6 спичек сложите 4 равносторонних треугольника.
IV Физкультминутка
V Решение задач
Задача 1.Две чугунные отливки массой 26,2 и 29,7 кг имеют
наружные объемы 3,77 и 4,24 дм3. Какая из этих отливок имеет
внутри раковины (пустоты) и каков общий объем этих раковин, если
плотность чугуна равна 7,8 г/см3?
Задача 2. На никелирование чайника с поверхностью 7,5дм2
израсходовано 13,2 г никеля. Какова толщина слоя никеля,
покрывающего чайник? (плотность никеля 8,8 г/см3)
V Подведение итогов
Занятие 15
Задачи на нахождение объемов тел (цилиндр, конус, шар)
Цель. Сформировать навык решения задач на нахождение
объемов тел.
Ход занятия
I Презентация «Математика и эстетика»
II Решение задач.
Задача 1. Пусть V, r и h – соответственно объем, радиус и
высота цилиндра. Найдите V, если r=2 2 , h=3 см.
56
Задача 2. Пусть h, r и V – соответственно высота, радиус
основания и объем конуса. Найдите V, если h=3 см, r=1,5 см.
Задача 3. Пусть V – объем шара радиуса R, S – площадь его
поверхности. Найдите S и V, если R=4 См.
III. Физкультминутка
IV. Задачи на логику.
Как записать в общем виде натуральное число, при делении
которого на 5 получается остаток 7?
V Подведение итогов.
Занятие 16.
Конкурс на составление задач
Цель.Развивать творческую направленность, логическое
мышление.
Ход занятия
I Повторение
- задача;
- способы ее решения;
- анализ;
- задача и жизнь.
II Конкурс на составление задач.
III Подведение итогов.
57
Занятие 17.
Итоговое занятие
Цель. Подведение итогов курса.
Презентация «Роль и место прикладных задач по математике».
58
Учебный курс по математике«Региональные задачи с
прикладной направленностью»
для учащихся 8 класса на 17 ч.
1.Пояснительная записка
Я видел разные края, но сердцу здесь тепло,
Когда смотрю я на поля, что снегом замело.
Когда весеннею порой с холмов бегут ручьи,
Когда над Мокшей и Сурой заплачут соловьи.
Живи, Мордовия моя, храни небесный свет!
Твои прекрасные поля насыпал лунный свет.
Живи, Мордовия моя, не зная горьких бед,
Мне без тебя в чужих краях другого счастья нет.
1000-летие
единения мордовского
народа с народами
Российского государства
имеет историческое
значение
для
мордовского народа и
всего финно-угорского
сообщества России.
По своему глубинному
смыслу этот юбилей
станет
знаковым
событием и в жизни
страны,
вызовет
международный
интерес, и прежде всего
в странах финноугорского мира.
Символичным является проведение главных юбилейных
мероприятий в 2012 году, когда исполняется 400 лет окончания
Смуты. И празднование 1000-летия может стать одной из главных
составляющих общероссийских торжеств, посвященных дате
возрождения российской государственности.
Фактически подготовку к празднованию 1000-летия единения
мордовского народа с народами Российского государства в
республике начали еще несколько лет назад. В августе 2006 года, в
пятую годовщину канонизации адмирала Федора Ушакова, в Саранске
Его Святейшеством, Святейшим Патриархом Московским и всея Руси
Алексием II был освящен Свято-Феодоровский кафедральный собор –
символ возрождения веры и дань потомков прославленному сыну
России. В том же году во время рабочей поездки в Мордовию
Президент страны В. В. Путин открыл в Саранске памятник
выдающемуся флотоводцу.
В
2007
году на мордовской
земле проходил I
международный
фестиваль
национальных
культур финноугорских народов, в
котором приняли
участие делегации
из 50 регионов
России
и
ряда
зарубежных
стран. В рамках
фестиваля
состоялся саммит
глав
трех
государств
–
России, Финляндии и Венгрии.
Столь же масштабные мероприятия планируется провести в
Мордовии и в ближайшие два года. Республика примет у себя Форум
народов России, III Всероссийский спортивный форум «Россия –
спортивная держава», II международный фестиваль национальных
культур финно-угорских народов «Шумбрат, Финно-Угрия!»,
фестиваль «Молодежь Финно-Угрии», целый ряд всероссийских и
международных фестивалей, выставок, фольклорно-этнографических
праздников и конференций. К четырехсотой годовщине победы над
польскими интервентами народного ополчения под руководством К.
Минина и Д. Пожарского и окончания Смутного времени будет
приурочен
Всероссийский праздник
«Славься, Отечество»,
площадкой для проведения которого также станет Саранск.
В настоящее время в рамках предстоящего юбилея проходят
Дни Республики Мордовия в российских регионах с компактным
проживанием мордвы. Всего подобные мероприятия состоятся в 32
регионах страны, а также в ряде зарубежных государств.
В Мордовии завершено строительство Национального театра
оперы и балета им. И. М. Яушева, главного корпуса Национальной
библиотеки им. А.С.Пушкина, которая является
филиалом
Президентской библиотеки им. Б. Н. Ельцина.
Развитие математики во все времена определялось двумя
движущими силами. Одна – «внешняя сила» - связана с
потребностями человеческой практики, понимаемой не в узко
60
утилитарном смысле, но широко – как совокупности умственной и
физической деятельности людей. Другая – «внутренняя сила» вытекает из необходимости систематизации и обобщения
накопленного материала, приведение его в порядок в соответствии с
канонами математики. Эти силы и проецируют два направления в
математике, которые условно можно назвать «прикладным» и
«теоретическим».
Пренебрежение прикладной стороной математики может
привести к отрыву теории от практики, к возникновению
псевдотеорий, единственной положительной чертой которых является
их логическая непротиворечивость. Не менее опасно пренебрежение
теоретической стороной математики, утилитарный подход к науке,
ведущий к забвению фундаментальных исследований и в конечном
итоге вредящий практике. Единство математики проявляется во
взаимопроникновении прикладного и теоретического направлений, в
их взаимном обогащении и влиянии.
Математическое образование всегда создает в умах учащихся
некоторую картину состояния и развития математики. Важно, чтобы
эта картина соответствовала реальности, отражала на доступном для
учащихся уровне действительные взаимосвязи математики с
окружающим миром.
Человечество ценит математику за ее прикладное значение, за
общность и мощь ее методов исследования, за действенные прогнозы
при изучении природы и общества.
Понятие практической задачи имеет основанием деление
человеческой
деятельности
на
теорию
и
практику,
противопоставление теории практике (практическая, т.е. не
теоретическая, не абстрактная)
Наибольшее значение для решения практических задач из
различных сфер человеческой деятельности имеет именно
теоретическое математическое значение, выступающее в качестве
метода научного познания действительности.
Современная педагогика видит три цели математического
образования. Первая – общеобразовательная. Без математики
невозможно понять ряд других предметов, нельзя продолжить
образование в вузе по многим специальностям. Кроме того, ядро
61
математического знания давно стало общечеловеческой культурной
ценностью.
Вторая цель – прикладная. Школьник, как правило, еще не
знает, чем он будет заниматься, поэтому у учителя остается одна
реальная возможность – научить детей принципам математического
моделирования каких-либо (не так уж важно каких) реальных
процессов.
Третья цель – воспитательная. Математика развивает
логическое, пространственное и алгоритмическое мышление;
формирует такие качества, как трудолюбие, настойчивость,
усидчивость; учит ценить красоту мысли и т.д. но еще важнее другое:
математика
–
это
мировоззрение.
Человек,
владеющий
математическими методами исследования, иначе подходит к
жизненным проблемам, иначе смотрит на мир.
Прикладная направленность преподавания математики связана
со всеми тремя названными целями: с общеобразовательной (легче
учить другие предметы), с прикладной (будущий специалист еще в
школе получает необходимые навыки прикладного математического
исследования), с воспитательной (мир един, и именно в содружестве с
другими науками математика формирует у ребенка основы научной
картины мира).
Цель курса: научить решать региональные задачи
практического характера по алгебре и геометрии.
Задачи курса:
5) обосновать актуальность решения задач практической
направленности;
6) создать необходимые условия для самостоятельной работы
учащихся;
7) научить анализировать решенную задачу, формулировать
вывод по ней;
8) развитие логического мышления и вычислительных
навыков;
9) формирование патриотических чувств и настроений.
62
Гипотеза: решение задач прикладного характера будет
способствовать успешной сдачи ГИА, поможет в определении
будущей профессии.
Данный курс рассчитан на 17 часов для учащихся в возрасте
13-14 лет. Занятия основываются на формировании интереса к
решению математических задач, предусматривающему использование
уравнений, системы уравнений, интерпретации с помощью объемов и
площадей.
Для усвоения содержания курса следует использовать
следующие возможности компьютера:
5. Презентация «Пожары и их последствия» (тема «Площадь
участка»)
6. Презентация «Природа и геометрия» (тема «Геометрия в
природе»)
7. Презентация «Математика и эстетика» (тема «Задачи на
нахождение объемов тел»)
8. Презентация «Роль и место прикладных задач по
математике регионального характера».
Программа учебного курса «Региональные задачи с
прикладной
направленностью»
разработана
учителем
математики первой квалификационной категории Милаевой Н.В.
МОУ «Большеелховская СОШ».
Актуальность курса. В настоящее время существует
объективная необходимость практической ориентации школьного
курса алгебры и геометрии, обусловленная в частности
строительством в Республике Мордовия технопарка. Вместе с тем
базовый уровень является недостаточным для реализации данного
положения, что и определяет актуальность решения прикладных задач
в дополнительном учебном курсе.
Новизна данного курса состоит в интеграции математики и
национальных особенностей родного края, которая проявляется в
выработке определенного стиля математического мышления с
развитием интуиции, воображения, сообразительности и других
качеств, лежащих в основе творческого процесса, во внедрении
информационных
технологий
в
развитие
математической
63
грамотности, в понимании красоты и изящества математических
рассуждений.
Оригинальность программы состоит в том, что на основе
развития интереса к математике создаются условия для творческой
мыслительной активности детей, а использование регионального
направления в подборке задач способствует развитию патриотических
чувств и настроений.
Степень интегрированности с другими образовательными
программами, уровень междисциплинарных связей программы.
Наряду с принципами научности, непрерывности, интегрированности
и дифференцированности, российское образование в настоящий
момент акцентируется на развитии обучающихся, упирающемся на
личностно-ориентированном обучении, гармонизацию и гуманизацию
образовательного процесса. Наша задача состоит не только в том,
чтобы дать учащимся математические знания, но и сформировать у
них коммуникативные, интеллектуальные, творческие умения,
способствующие становлению и самореализации личности.
Использование межпредметных связей является одним их условий
реализации
прикладной
направленности
обучения.
Объект
математики – весь мир, и его изучают все остальные науки.
Межпредметная связь повышает научность обучения, доступность, в
данной программе показана связь математики с химией, географией.
Реализация принципа преемственности. Преемственность
реализации задач прикладной направленности позволяет выполнять
заказ общества на подготовку личности, на личности не только
владеющей знаниями, представлениями о применении этих знаний, но
и умеющей эти знания применять в различных областях деятельности,
при решении практических задач, как учебных, так и жизненных
проблем.
Таким образом, преемственность реализации курса «
Региональные задачи с прикладной направленностью» является одним
из путей осуществления компетентного подхода в обучении.
Исследуя умения семиклассников использовать полученные
знания и умения в практических ситуациях, было обнаружено, что не
все учащиеся могут это сделать. Так, например, некоторые ученики
при решении задач допускают следующие ошибки: неправильно
64
интерпретируют исходные данные или на их основе составляют
неверную математическую модель, записывают неправильно ответ в
связи с тем, что не соотносят полученные результаты решения данной
задачи и ее реальность.
Практическая направленность содержания программы.
Практическая направленность курса связана с раскрытием
значимости математики, ее методов в деятельности человека для
познания им окружающего мира, для применения полученных знаний,
умения на практике. Кроме того, осуществление этой направленности
позволяет решать проблему мотивации, целеполагания, так как показ
значимости изучаемого материала привлекает внимание учеников к
содержанию занятия, помогает понять не только социальную
ценность материала, но и ценность «для себя». Однако,
перенасыщенность содержания школьных учебников теоретическими
заданиями и недостаточное количество часов для задач прикладного
характера, показывающих связь с теорией и ее практическим
применением в жизни, в будущих профессиях, далеко не
способствуют их реализации. Поэтому был осуществлен выбор в
пользу данного курса «Региональные задачи с прикладной
направленностью», где демонстрируется связь математики с другими
науками, с жизнью в родной Республике Мордовия.
Используемые методы: наглядный, словесный, проблемный,
практический.
2. Содержательная часть
Модуль 1. Задачи на проценты (9 часов)
Расход материалов и денежных средств, инфляция.
Модуль 2. Задачи, решаемые с помощью формул. (8часов)
Нахождение площадей, объемов фигур, вместимость сосудов,
помещений.
Также курс предусматривает решение на каждом занятии
математических головоломок, задач на логику, игры-фокусы.
В течение курса предполагаются беседы, выступлениядоклады, подготовленные учащимися в форме компьютерных
65
презентаций. Тематика выступлений также приведена в содержании
курса.
3. Требования к уровню подготовки
В результате изучения курса «Региональные задачи с прикладной
направленностью» учащиеся должны
знать:
4) значение прикладных задач, возникающих в теории и
практике; широту и ограниченность применения математических
методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и
обществе;
5) характер законов логики математических рассуждений;
6) возможности геометрического языка как средства
описания свойств реальных предметов.
уметь:
4) решать текстовые задачи алгебраическим методом, с
помощью уравнений, системы уравнений;
5) решать задачи на проценты;
6) решать геометрические задачи, опираясь на изученные
формулы, свойства.
4. Тематическое планирование
п/
п
1
Модули
Задачи
на
процент
ы
2
Задачи,
решаемы
ес
помощь
ю
формул
Итого
Максимальна
я нагрузка
Теоретическо Практически Презентаци
е обучение
е работы
и
9
6
2
1
8
3
1
4
17
9
3
5
5. Календарно-тематическое планирование
66
п/
п
1
2
3
4
Название
темы
Основные
понятия
Цели и
задачи
обучения
Практичес Презентаци Сро
кие и
и, беседы,
ки
самостоят выступлени
ельные
я
работы
Модуль 1. Задачи на проценты (9 часов)
Задачи на
Потребите Выработат
Беседа
стоимость льская
ь навык
«Республик
корзина
решения
а Мордовия.
задач на
Согласие,
стоимость
порядок,
созидание»
Задачи на
Познаком
Выступлен
расход
ить
ие ученика
материало
учащихся
«Развитие
ви
с
сельского
денежных
алгоритмо
хозяйства в
средств в
ми
Республике
сельском
логикой
Мордовия»
хозяйстве
решения
задач на
расход
материало
ви
денежных
средств
Решение
Демограф Научить
Беседа
демографи ия,
использов
«Демограф
ческих
уравнение ать
ическая
задач
составлен
ситуация в
ие
Республике
уравнений
Мордовия»
как метод
решения
задачи
Текстовые
Сформиро Самостояте Беседа
задачи
вать
льная
«Забота о
67
5
Инфляция
Инфляция,
доллар,
евро
6
Задачи,
связанные
с
основными
показателя
ми
деятельнос
ти
предприят
ий
Рентабель
ность,
выручка,
прибыль
7
Решение
задач с
помощью
уравнений
умение
работа
решать
текстовые
задачи,
контроль
полученн
ых знаний
на основе
самостоят
ельной
работы
Сформиро
вать навык
решения
задач на
проценты,
связанных
с
инфляцие
й
Ознакомит
ь
учащихся
с задачами
связанным
ис
основным
и
показателя
ми
деятельно
сти
предприят
ий
Научить
использов
ать
составлен
ие
пенсионера
х
Республики
Мордовия»
Беседа
«Основные
показатели
деятельнос
ти
предприяти
й: выручка,
прибыль,
рентабельн
ость»
68
8
9
1
0
1
1
1
2
1
уравнений
как метод
решения
задачи
Решение
Контроль
Самостояте
задач.
знаний
льная
учащихся
работа
Задачи с
Сформиро
практическ
вать
им
умение
применени
решать
ем
задачи
Модуль 2. Задачи, решаемые с помощью формул
Простейш
Научить
ие
применять
геометриче
формулы
ские
при
задачи
решении
задач
Задачи на
Объем
Выработат Практическ
нахождени многогран ь навык
ая работа
е объемов
ник,
решения
и
площадь
задач на
площадей
многогран нахождени
многогран ника
е объемов
ников
и
площадей
многогран
ников
Модель
Куб,
Сформиро Практическ
куба и
параллеле вать
ая работа
параллелеп пипед
умение
ипеда
моделиров
ать
геометрич
еские
фигуры
Площадь
Площадь
Выработат
Презентац
69
3
участка
1
4
Задачи
«Геометри
яв
природе»
1
5
Задачи на
Цилиндр,
нахождени конус, шар
е объемов
тел
(цилиндр,
конус,
шар)
Конкурс на
составлени
е задач
1
6
1
7
Итоговое
занятие.
ь навык
нахождени
я площади
участка
Показать
связь
природы с
геометрие
й
Сформиро
вать навык
решения
задач на
нахождени
е объемов
тел
Развивать
творческу
ю
направлен
ность,
логическо
е
мышление
Подведени
е итогов
курса
ия
«Пожары и
ущерб от
них»
Презентац
ия
Презентац
ия
«Математик
аи
эстетика»
Презентац
ия «Роль и
место
прикладных
задач по
математике
региональн
ого
характера»
6. Прогнозируемые и итоговые результаты
70
Любая работа ценится результатом, который можно получить
при решении той или иной практически и теоретически значимой
задачи (проблемы) этот результат можно увидеть, осмыслить,
применить в реальной практической деятельности. Чтобы добиться
такого результата, необходимо научить детей самостоятельно
мыслить, находить и решать проблемы, привлекая для этой цели
знания из разных областей, умения прогнозировать результаты и
возможные последствия разных вариантов решения, умения
устанавливать причинно-следственные связи.
Результаты усвоения курса следуют из проведенных
самостоятельных и практических работ, выступлений, презентаций.
Целевой установкой является следующее распределение
учащихся по уровням усвоения материала:
1 уровень – репродуктивный (с помощью учителя) – 15%.
2 уровень – репродуктивный (без помощи учителя) – 15 %;
3 уровень – продуктивный – 35%.
4 уровень – творческий – 35%.
Апробация курса «Региональные задачи с прикладной
направленностью» в 2010-2011 уч.г. позволила установить следующие
результативные параметры.
1. Результаты математического конкурса-игры «Кенгуру2011» (опубликованы на сайте www.mathkang.ru)
Фамилия и имя
Спасова Карина
Фелалеева
Виктория
Балл Место
школе
63
1
55
2
в Место
районе
2
4
в Место
регионе
139
243
в Процент
97,07%
92,92%
71
Семенова
Екатерина
Кузнецова
Мария
Бочкарева
Валерия
Шаяхметов
Дамир
Лавров Николай
Марков
Николай
Бойко Ирина
Школкин
Александр
Невлютов Али
50
3
8
361
87,82%
43
7
21
606
76,47%
39
9
29
785
67,15%
37
12
35
7
61,92%
33
31
15
18
44
51
1071
1169
50,3%
44,12%
31
28
18
22
51
60
1169
1333
44,12%
34,91%
26
23
66
1437
28,98%
Следует отметить, что активность участия среди учеников 7
класса составила 73% (всего учеников 15, число участников 11)
2. Результаты Молодежного математического чемпионата,
проводимого Центром развития одаренности г. Пермь.
(talant.perm.ru)
Фамилия и имя
Балл
Школкин Александр 39
Шаяхметов Дамир
83
Фелалеева Виктория
83
Спасова Карина
80
Рябцев Никита
24
Невлютов Али
80
Марков Николай
41
Кузнецова Мария
23
Бочкарева Валерия
83
Бойко Ирина
43
3. Результаты XVII Межрегиональной заочной физикоматематической олимпиады Всероссийской школы математики и
физики «Авангард»
72
Диплом победителя – Семенова Екатерина
Диплом призера – Шаяхметов Дамир
Диплом призера – Кузнецова Мария
Диплом призера – Фелалеева Виктория
Результаты школьной олимпиады по математике
Призеры: Кузнецова Мария, Фелалеева Виктория.
4. Участие в Межрегиональной олимпиаде школьников по
математике
(www.sammat.ru) – Шаяхметов Дамир, Кузнецова
Мария, Фелалеева Виктория
6. Участие в олимпиаде им. М.В. Ломоносова - Шаяхметов
Дамир, Кузнецова Мария, Фелалеева Виктория
7.
Результаты научно-исследовательской конференции
(школьный этап) –
Призер - Фелалеева Виктория
7. Терминологический словарь
Расход материалов – учет материалов, отпущенных на
общепроизводственные нужды.
Расход денежных средств – движения денежных средств для
обеспечения успешной хозяйственной деятельности.
Объем тела – величина тела в длину, ширину, высоту,
измеряемая в кубических единицах.
Площадь многогранника – сумма площадей его граней.
73
График зависимости – наглядное представление зависимости
одной переменной от друго
Инфляция — повышение общего уровня цен на товары и
услуги. При инфляции за одну и ту же сумму денег по прошествии
некоторого времени можно будет купить меньше товаров и услуг, чем
прежде
Прибыль — превышение в денежном выражении доходов
(выручки от реализации товаров и услуг) над затратами на
производство или приобретение и сбыт этих товаров и услуг
Рентабельность – эффективность, прибыльность, доходность
предприятия или предпринимательской деятельности. Количественно
рентабельность исчисляется как частное от деления прибыли на
затраты, расход ресурсов
8. Список литературы
1. Фоминых, Ю.Ф. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов:
Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1999. – 112 с.
2. Анатасян, Л.С и др. Геометрия.7-9 классы : учеб. для
общеобразоват. учреждений / [ Л.С. Анатасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев и др.]. – 20-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 384 с.
3. Гнеденко Б.В., Журбенко И.Г. Теория вероятностей и
комбинаторика // Математика в школе. – 2007. - №7. – С.53-64.
4. Нагибин, Ф.Ф. Канин, Е Математическая шкатулка : Пособие для
учащихся 4-8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988.
5. Когаловский С.Р. Роль комбинаторных задач в обучении
математике // Математика в школе. – 2004. - №7. – С.18-24.
6. Колягин Ю.М., Пикан В.В. О прикладной и практической
направленности обучения математике// Математика в школе. – 1985 №6.
7. Петров В.А. Задачи на проценты с газетной полосы // Математика в
школе. – 2009. - №6. – С.13-20.
8. Тихонов А.Н. , Костюмаров Д.П. Рассказы о прикладной
математике. – М.: Наука, 1974.
74
9. Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в
обучении математики. М.: Просвещение, 1980.
9. Приложение
(Почасовое планирование)
Занятие 1
I. Организационный момент
II. Знакомство с планом курса, требованиями и результатами
обучения
III. Беседа «Республика Мордовия. Согласие, порядок,
созидание»
IV. Решение задач
Задача 1. Стоимость минимального набора продуктов питания
в ноябре текущего года составила в среднем по Республике 2153,2
руб. и повысилась за период с начала года на 7,4%. Какова была цена
набора в начале года? (Ответ. 2004,9руб.)
Задача 2. Приведена круговая диаграмма распределения
численности работников по размерам начисленной зарплаты в
тысячах рублей за апрель текущего года. Каково процентное
распределение работников каждой категории?
Ответ. (16%, 16%, 34%, 34%)
V. Физкультминутка.
VI. Комбинаторная задача. Найти количество трехзначных
чисел. (Ответ: 900).
VII. Числовые головоломки.
75
Запишите, пользуясь тремя пятерками и знаками действий:
5) 1;
6) 0;
7) 2
8) 5.
VIII. Подведение итогов.
Занятие 2
I. Организационный момент
II. Выступление ученика «Развитие сельского хозяйства в
Республике Мордовия»
III. Решение задач.
Задача 1. По сведения республиканского управления сельского
хозяйства за год произведено 15052 тонны молока в зачетном весе.
Средняя жирность составляла 3,66%. При расчетах за базисное
содержание жира принималось 3,40%. Какими были фактические
надои молока? (Ответ. 13 983 т.)
Задача 2. Цену картофеля повысили на 20%. Через некоторое
время цену снизили на 20%. Когда картофель стоил дешевле: до
повышения или после снижения? (Ответ. После снижения цены
картофель стал на 4% дешевле, чем до повышения)
IV. Физкультминутка
V. Задачи на смекалку.
Задача 1.Пользуясь пятью двойками и знаками действий,
запишите число 28.
Задача 2. Пользуясь четырьмя двойками и знаками действий,
запишите число 111.
VI. Логическая задача. Встретились три друга: Белов, Чернов и
Рыжов. «Волосы одного из нас белые, другого – черные, третьего –
рыжие, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», - заметил
черноволосый. « Ты прав», - подтвердил Белов. Какие у кого волосы?
(Ответ: Рыжие у Белова, белые у Чернова и черные у Рыжова)
VII Подведение итогов
76
Занятие 3
I. Организационный момент
II. Беседа «Демографическая ситуация в Республике
Мордовия»
III. Решение задач.
Задача 1. За 10 месяцев текущего года в Республике родилось
6932детей, что на 476 детей или на … процентов, больше, чем в
январе-октябре 2010.». Что написано вместо многоточия? (Ответ: 7%)
Задача 2. За последнюю неделю столичный квадратный метр
жилья одновременно и подешевел, и подорожал. В долларах – в
среднем подешевел на 1,6%. А в рублях - на 2,8% подорожал». Как
изменился за это время курс доллара? (Ответ: 4,5%)
IV. Физкультминутка
V. Задачи на смекалку.
Задача 1. Запишите число 100, пользуясь знаком «+» и :
3) четырьмя девятками;
4) шестью девятками.
Допускается использование дробной черты.
Задача 2. Запишите число 31, пользуясь знаками действий и:
4) пятью тройками,
5) шестью тройками,
6) пятью пятерками.
Задача 3. Запишите 100, пользуясь знаками действий и:
4) пятью тройками,
5) шестью тройками,
6) пятью пятерками.
VI.Задача на растворы.
Задача . В каких пропорциях нужно смешать 50%й и 70%й
растворы кислоты, чтобы получить 65%й раствор?(Ответ.3:1)
VI.I Подведение итогов.
77
Занятие 4
I. Организационный момент.
II. Беседа «Забота о пенсионерах Республики Мордовия»
III.Решение задач
Задача 1. Средний размер назначенных пенсий в Республике
составил 7427 руб. и увеличился за год на 10%, составив 125% к
величине прожиточного минимума пенсионера (на конец прошлого
года – 109%). В какую сторону и на сколько процентов изменился за
год прожиточный минимум пенсионера? (Ответ. Вырос на 566руб, что
составляет 10%).
Задача 2. Средний размер пенсий увеличился за год на 17%, а
цены поднялись на 12%. В результате реальный размер пенсий вырос
всего лишь на … процента». Что написано вместо многоточия?
(Ответ. 4%)
III. Физкультминутка
IV. Самостоятельная работа
Вариант I
1. Заработную плату рабочего составляет оклад х рублей и
премия за производство сверхплановой продукции (1 р. за
сверхплановую продукцию стоимостью у рублей). Рабочий произвел
сверхплановой продукции на z рублей. Каков его заработок?
(Ответ.(х+z/у)руб.)
2. Теплоход имеет собственную скорость 20 км/ч. Путь вниз
по реке занял на 2 ч меньше, чем обратный. С какой средней
скоростью передвигался теплоход, если скорость течения реки 4 км/ч?
(Ответ.19,2км/ч)
Вариант II
3. Заработная плата служащего составляет х рублей, к
которым начисляется 15%й «уральский коэффициент». Из общей
суммы взимается 1% в пенсионный фонд и 1% составляет
профсоюзный взнос. Заработная плата облагается также 13%
подоходным налогов (кроме у рублей, равных минимальной
78
заработной плате). Составьте формулу для вычисления суммы,
которую получит служащий.(Ответ.1,15х-0,01х-0,01х-0,13(1,15х-у))
4. Моторная лодка развивает скорость в стоячей воде 15 км/ч.
Рыбак проплыл на ней против течения реки 30 ч, а затем вернулся на
прежнее место за 20 ч. Какова скорость течения реки? Какое время
рыбак потратил бы на обратный путь в лодке с выключенным
моторов?(Ответ. 3км/ч,120часов.)
V. Подведение итогов.
Занятие 5
I. Анализ самостоятельной работы.
II. Решение задач.
Задача 1. Инфляция в Мордовии за последние годы: 2010- 10%,
2009 – 8,5%, 2008 –6%. На сколько процентов выросли цены за
последние три года. (Ответ: 26,5%).
Задача 2. Инфляция в ноябре составила 0,8%. Курс доллара по
отношению к рублю вырос на 4%. В результате за месяц годовые
вклады в американской валюте принесли своим вкладчикам 3,76%
реальной рублевой доходности (т.е. с учетом разницы обменных
курсов и инфляции). Каков был договорной годовой процент
доходности долларового депозита? (Ответ. 7%)
Задача 3. С ноября 2010 г. по нынешний ноябрь инфляция
составила
13,8%.
Поэтому
реальная
доходность
вкладов
в
отечественной валюте оказалась отрицательной – минус 4,86%. Какой
была номинальная доходность рассматриваемых вкладов?
III. Физкультминутка.
IV. Комбинаторные задачи
Задача 1. Сколькими способами можно поставить на
шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг
друга?(Ответ.3136 способов)
79
Задача 2. Сколькими способами можно поставить на доску
белого и черного короля, чтобы получилась допустимая правилами
игры позиция?(Ответ.3612 способов.)
V. Подведение итогов.
Занятие 6
I. Организационный момент
II. Беседа «Основные показатели деятельности предприятий:
выручка, прибыль, рентабельность»
III. Решение задач
Задача 1. Предприятие получило задание за два года снизить
на 51% объем выпускаемой продукции. Каждый год требуют снижать
на одно и то же число процентов. На сколько? (Ответ. На 30%).
Задача 2. Налог на прибыль предприятий снизился на 4%, с
нынешних 24% до 20%. Правильная ли это информация?
Задача 3.Четверо товарищей покупают лодку. Первый носит
половину суммы, вносимой остальными; второй - треть суммы,
вносимой остальными; третий – четверть суммы, вносимой
остальными; четвертый – 130 рублей. Сколько стоит лодка? (Ответ:
600 руб.)
Задача 4. Из 22 килограммов свежих грибов получается 2,5
килограмма сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент
воды в свежих грибах?(Ответ.90%)
IV. Физкультминутка
V. Игра-фокус.
- А сейчас я буду угадывать число, которое ты загадал. Загадай число.
- любое?
- любое. Но не очень большое, иначе вычисления будут
громоздкими. Умножь задуманное число на 3, прибавь 5, прибавь
задуманное число, умножь на 5, прибавь 5, умножь на 5. что
получилось?
-…
- Ты загадал…
Как угадал фокусник?
V.
Подведение итогов.
80
Занятие 7.
I. Организационный момент.
II. Решение задач.
Задача 1. Мировой финансовый кризис может крепко ударить
по российским туристам. Если, например, прошлой зимой перелет в
Таиланд стоил 700 долларов, то в этом году уже 1000. На сколько
процентов подорожал перелет до Таиланда? На сколько процентов в
прошлом году он был дешевле? (Ответ. На 43%, на30%)
Задача 2. Цены на путевки уже подросли: например, туры во
Францию на 20%. Можно ли сказать, на сколько процентов раньше
тур во Францию был дешевле? (Ответ. На 17%)
III.Физкультминутка
IV. Игра-фокус (М.Ю.Лермонтова)
- Задумайте какое угодно число, и я с помощью простых
арифметических действий определю его, - предложил Михаил
Юрьевич.
- Хорошо, я задумал, - сказал один из стоявших вокруг него
офицеров…
- Благоволите прибавить к нему еще 25. теперь не угодно ли
прибавить еще 125? Засим вычтите 37. Еще вычтите число, которое
вы задумали сначала. Теперь остаток умножьте на 5. Засим
полученное число разделите на 2. Теперь посмотрим, что у вас
1
должно получиться. Если не ошибаюсь, число 282 ?
2
Офицер даже привскочил, так поразила его точность
вычисления:
- Да, совершенно верно.
На чем основан фокус?
V. Подведение итогов.
81
Занятие 8.
I Организационный момент
II Решение задач
Задача 1. Ключевые министерства сумели добиться
увеличения приема в подведомственные вузы на 14 и более
процентов, в то время как Минобразование – всего лишь в 2,7 раза».
Верны ли акценты в этом тексте?»
III. Физкультминутка.
IV. Самостоятельная работа.
Вариант I
Задача 1. Мы хотим опубликовать в газете 2 рекламных
объявления размером 0,25 полосы на хорошем месте. Из
опубликованной в той же газете таблицы находим, что стоимость
такой газетной площади 12 900 руб., наценка за выбор места 15%,
скидка на две публикации 10%. Сколько нам придется заплатить?
(Ответ: 27 090 руб).
Задача 2. Из горячего крана ванна заполняется за 23мин, из
холодного – за 17мин.
Пьер открыл сначала горячий кран. Через сколько мин он
должен открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны
горячей воды налилось в 1.5разабольше, чем холодной? ( Ответ. Через
7 минут).
Задача 3. На доске написано: 645*7235. Замените звездочку
цифрой так, чтобы полученное число делилось на 3. ( Ответ.
Звездочку можно заменить одной из цифр 1, 4, 7)
Вариант II
Задача 1. С 12 ноября Центробанк России поднял ставку
рефинансирования до 12% годовых. Если ставка по депозиту выше
ставки рефинансирования, то с разницы вкладчику необходимо
заплатить подоходный налог в размере 35%. Реальный доход
вкладчика при ставке по депозиту в 15% составит … %». Что
написано вместо многоточия? (Ответ.13,95%).
Задача 2. Из горячего крана ванна заполняется за 23мин, из
холодного – за 17мин.
82
Пьер открыл сначала горячий кран. Через сколько мин он
должен открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны
горячей воды налилось в 1.5разабольше, чем холодной? ( Ответ. Через
7 минут).
Задача 3. Замените звездочки в записи числа 72*3*цифрами
так, чтобы число делилось без остатка на 45.( Ответ. 72135 или
72630).
V Подведение итогов.
Занятие 9
момент. Анализ
I. Организационный
самостоятельной
работы.
II. Решение задач.
Задача 1. Турист, идущий из деревни на железнодорожную
станцию, пройдя за первый час 3 километра, рассчитал, что опоздает к
поезду на 40 минут. Поэтому остальной путь он шел со скоростью 4
км/ч и пришел на станцию за 45 минут до отправления поезда. Каково
расстояние от деревни до станции? (Ответ: 20 км).
Задача 2. Газовая составляющая коммунальных платежей с 1
января изменилась в сторону повышения (плюс 5%). Отныне платят
по 25,86 руб. (в месяц) с человека. Газ в течение года будет дорожать
еще трижды: во втором квартале – на 10%, в третьем – на 8%, в
четвертом – на 1%. На сколько процентов подорожает газ в течение
года по сравнению с предыдущим годом? Какова будет его цена к
концу года? (Ответ: 31,03 руб.)
III Физкультминутка
IV Задача 3. Партия деталей содержит 20%деталей,
изготовленных заводом №1, 30% - заводом №2, 50% - заводом №3.
Для завода №1 вероятность выпуска бракованной детали равна 0,05,
для завода №2 – 0,01 и для завода №3 – 0,06. Чему равна вероятность
того, что наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной?
(Ответ. Р=0,2*0,05+0,3*0,01+0.5*0.06=0,043)
V Подведение итогов.
83
Занятие 10
Простейшие геометрические задачи
Цель. Научить применять формулы при решении задач.
Ход занятия
I Организационный момент
II Решение задач
Задача 1. У хозяйки есть две банки для крупы. У одной
квадратное дно 10х10 см и высота 19 см, а у другой круглое дно с
радиусом 6 см и высота 18 см. В какую банку войдет больше крупы?
(Ответ. В банку с круглым дном.)
Задача 2.
Радиус земного шара равен 6370 км. Вычислите объем Земли,
площадь поверхности, площадь суши (примерно 29% площади
поверхности). ( Ответ.10338994км3, 486922800км2, 141207612км2.)
III Физкультминутка
IV Задача на смекалку
Задача 1. Какие знаки арифметических действий нужно
поставить вместо знаков вопроса в записи 5 ? 5 ? 5 ? 5 , чтобы получить 8?
5
Чтобы получить 20?
Задача 2.
1) как нужно расставить знаки «+» в записи 1 2 3 4 5 6 7, чтобы
получилась сумма, равная 100?
2) как нужно расставить знаки «+» в записи 9 8 7 6 5 4 3 2 1,
чтобы получилась сумма, равная 100?
V Подведение итогов.
84
Занятие 11
Задачи на нахождение объемов и площадей
многогранников.
Практическая работа
Цель:выработать навык решения задач на нахождение
объемов и площадей многогранников.
Ход занятия
I Решение задач.
1. Ребро куба равна2,6см. Найдите его Объем.
2.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Высота
параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности
параллелепипеда.
3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24.
Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани
параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.
II Практическая работа
- измерение,
- применение формул для вычисления.
III Анализ выполненной работы
IV Подведение итогов
85
Занятие 12
Модель куба , модель параллелепипеда.
Цель.Сформировать умение делать модели геометрических
фигур.
Ход занятия
I Организационный момент
II Повторение
- фигуры на плоскости;
- фигуры в пространстве;
- объем куба, объем параллелепипеда;
- площадь поверхности куба (параллелепипеда)
III Практическая работа.
IV Анализ практической работы.
V Задачи на смекалку
Задача 1. Какое целое число делится (без остатка) на любое
целое число, отличное от 0?
Задача 2. 1)Сумма каких двух натуральных чисел равна их
произведению?
2) Сумма каких двух натуральных чисел больше, чем их
произведение?
VI Подведение итогов
Занятие 13
Площадь участка
Цель.Выработать навык нахождения площади участка.
Ход занятия
I Беседа «Пожары и их последствия»
II Решение задач.
Задача 1. Обхват дерева (длина окружности) – 88 см.
Вычислите с точностью до 1 см2 площадь поперечного сечения этого
дерева. Составьте таблицу для нахождения по ней площади
поперечного сечения дерева по обхвату его. Сделайте это, например,
для таких обхватов: 20, 30, 40, 50, 60, 70 см, 1 м.
86
Задача 2. Диаметр опаленной площади Мордовии от засухи
2010 года равен приблизительно 12 км. Какая площадь Мордовии
была опалена?( Ответ. 10,5 тыс км2.)
Задача 3. Две водопроводные трубы одного и того же диаметра
нужно заменить одной трубой с той же пропускной способностью.
Каким должен быть диаметр этой трубы по сравнению с диаметром
каждой из заменяемых труб?
III Физкультминутка
IV Гимнастика ума
Все высоты данного треугольника пересекаются в одной из его
вершин. Какой это треугольник?
V Подведение итогов.
Занятие 14
Задачи «Геометрия в природе»
Цель:показать связь природы с геометрией.
Ход занятия
I Беседа «Природа и геометрия» (презентация)
II Решение задач.
Задача 1. Измерьте длину минутной стрелки ваших часов.
Какой путь опишет конец ее за сутки, за месяц (30 дней), за год (365
дней)?
Задача 2. Диаметр вала колодезного ворота равен 0,24м. чтобы
вытянуть ведро со дна колодца, приходится делать 10 оборотов.
Какова глубина колодца?
III Геометрические головоломки
Задача 1. Сложите три равных квадрата:
3)
из 11 спичек;
4)
из 10 спичек.
Задача 2. Из 6 спичек сложите 4 равносторонних треугольника.
IV Физкультминутка
V Решение задач
Задача .Две чугунные отливки массой 26,2 и 29,7 кг имеют
наружные объемы 3,77 и 4,24 дм3. Какая из этих отливок имеет
87
внутри раковины (пустоты) и каков общий объем этих раковин, если
плотность чугуна равна 7,8 г/см3?
V Подведение итогов
Занятие 15
Задачи на нахождение объемов тел (цилиндр, конус, шар)
Цель. Сформировать навык решения задач на нахождение
объемов тел.
Ход занятия
I Презентация «Математика и эстетика»
II Решение задач.
Задача 1. Пусть V, r и h – соответственно объем, радиус и
высота цилиндра. Найдите V, если r=4,5, h=3 см.
Задача 2. Пусть h, r и V – соответственно высота, радиус
основания и объем конуса. Найдите V, если h=3 см, r=1,5 см.
Задача 3. Пусть V – объем шара радиуса R, S – площадь его
поверхности. Найдите S и V, если R=4 См.
III. Физкультминутка
IV. Задачи на логику.
Как записать в общем виде натуральное число, при делении
которого на 5 получается остаток 7?
V Подведение итогов.
Занятие 16.
Конкурс на составление задач
Цель.Развивать творческую направленность, логическое
мышление.
Ход занятия
I Повторение
- задача;
- способы ее решения;
- анализ;
88
- задача и жизнь.
II Конкурс на составление задач.
III Подведение итогов.
Занятие 17.
Итоговое занятие
Цель. Подведение итогов курса.
Презентация «Роль и место прикладных задач по математике
регионального характера ».
89
90
ПРОГРАММА
ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ДЛЯ9 КЛАССА
«Решение неравенств методом интервалов»
Пояснительная записка.
Элективный курс «Решение неравенств методом интервалов»
рассчитан на 15 часов для учащихся 9 класса. Он ориентирован на
предпрофильную подготовку учащихся по математике. Расширяет
базовый курс по алгебре, дает учащимся подробно познакомиться с
одним из наиболее эффективных методов решения неравенств,
особенно неравенств, содержащих разные функции, - методом
интервалов. Суть этого метода состоит в том, что числовая ось или
иное множество, на котором рассматриваются та или иная «сложная»
задача, разбиваются по некоторому определенному правилу на «более
мелкие» промежутки(интервалы, лучи) так, что на этих промежутках
«сложная» задача упрощается или обладает каким-нибудь
определенным свойством(например, свойством сохранения знака).
Так, при решении методом интервалов рациональных неравенств
числовая ось разбивается корнями числителя и знаменателя дроби на
промежутки, на каждом из которых рациональная функция сохраняет
знак.
При решении методом интервалов уравнений с модулями
область определения уравнения разбивается на промежутки, на
каждом из которых исходные уравнение сводится к уравнению без
модулей. Аналогичным свойством обладают и все непрерывные
функции, в частности элементарные функции.
Все вопросы, входящие в элективный курс не вызовут
трудностей у учащихся, а наоборот, заинтересуют их, повысится
интерес к математике, что способствует развитию логического
мышления, вычислительных навыков, пробудит способность к
самообразованию, саморазвитию, самореализацию в процессе
изучения курса.
Традиционные формы организации занятий, как лекция,
семинар, практикум, контроль, безусловно будут применяться, но на
первое место выйдут содоклады, рефераты, дополняющие
выступление учителя.
Учебный план
№
1
Решение однотипных уравнений
5
2
Решение смешанных неравенств
4
3
Решение неравенств с параметрами
2
.
.
.
.
Количество
часов
Наименование разделов
4
Решение неравенств с двумя
неизвестными
4
Итого:
15
Учебно-тематический план
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2.1
2.2
2.3
№
Наименование разделов,
Лекция Семи- Практи- Конттем
нар
кум
роль
1. Решение однотипных неравенств
Решение однотипных
1
неравенств
Дробно-рациональные
1
неравенства
Неравенства, содержащие
неизвестную величину под
1
знаком модуля
Показательные
1
неравенства
Решение задач с помощью
0,5
0,5
неравенств. Тест №1
2. Решение неравенств смешанного типа
Решение неравенств
1
смешанного типа
Неравенства, содержащие
арифметический квадратный
1
корень и модуль
Неравенства, содержащий
1
арифметический квадратный
92
2.4
3.1
4.1
корень и показательную
функцию
Решение задач с помощью
0
неравенств. Тест №2
,5
3. Решение неравенств с параметрами
Неравенства с
0
0
параметрами. Подготовка к ЕГЭ
,5
,5
4. Решение неравенств с двумя неизвестными
Неравенства с двумя
0
0
неизвестными. Подготовка к
,5
,5
ЕГЭ
Контрольная работа
Итоговое занятие
0,5
1
1
1
1
Содержание программы
Тема 1. Решение однотипных неравенств
( 1ч – лекция, 0,5ч – семинар, 3ч – практикум, 0,5ч – контроль)
В данной теме доказывается, что практически любое неравенство
можно решать методом интервалов, хотя не всегда это выгодно.
Например, при решении линейного неравенства 2х<3 → х<1,5.
В то же время немало однотипных неравенств(иррациональных,
степенных, с модулями), которые выгодно и удобно решать методом
интервалов.
Например. Решить неравенство:
а) х  2 - 3  х >1
б) |х2 - х - 2|≥|х2 + х -12|
в) 9х – 2.3х - 3≤0
Тема завершается проведением теста №1
Тема 2. Решение неравенств смешанного типа
(1ч – лекция, 0,5ч – семинар, 2ч – практикум, 0,5ч – контроль)
93
Метод интервалов ярко проявляется при решении неравенств,
содержащих разные функции. Решаются задания типа х  3  х  1 >0
2х  5  х  6
или 4
х4
 17 2  4 ≤0.
.
х
х2 4 х
В конце темы проводится тест №2
Тема 3. Решение неравенств с параметрами
(0,5ч – лекция, 0,5ч – семинар, 1ч – практикум)
В последние годы чаще стали встречаться задачи с параметрами
на ЕГЭ, которые у многих вызывают немалые трудности, поэтому
нужно подробно изучить данную тему, выполняя задания подобного
типа:
а) для всех значений параметра р решить неравенство
(х – 3 + р)2(х-1+2р)≥0
б) при каких значениях параметра а квадратный трехчлен (1-а)х2
+ 3х – (а+1) всегда положителен.
Тема 4. Решение неравенств с двумя неизвестными
(0,5ч – лекция, 0,5ч – семинар, 1ч – практикум)
Схема исследования неравенств с двумя неизвестными методом
областей аналогичная схеме решения неравенств с одной неизвестной
методом интервалов.
Рекомендуемая литература.
1. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др. Алгебра 9 класс – М.:
Просвещение 2002 г.
94
2. А.К.Окунев. Квадратные функции. Уравнения и
неравенства. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1972 г.
3. В.В.Мочалов, В.В. Сильвестров. Уравнения и
неравенствами с параметрами. Учебное пособие. – Издательство
Чувашского университета, 1997г.
4. Ю.Ф.Фоминых. Прикладные задачи по алгебре для 7-9
классов. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1999 г.
5. А.А.Мочалин. Сборник задач по математике. Учебное
пособие. 9-11 класс – Саратов: «Лицей», 1998г.
6. В.В.Сильвестров. Обобщенный метод интервалов.
Учебное пособие. – Чебоксары: Издательство Чувашского
университета, 1998г.
7. Журнал «Математика в школе» №6, 2005 г.
8. Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике.
2004-2006 гг.
Приложение
(Почасовое планирование)
95
Занятие 1. Лекция. Решение однотипных неравенств.
Цели занятия. Познакомить учащихся с понятием «однотипные
неравенства», решением дробно-рациональных неравенств,
неравенств, содержащих неизвестную величину под знаком модуля,
неравенств, содержащие степень, методом интервалов.
Ход занятия.
I. Оргмомент.
II.Знакомство с учебным планом всего курса.
III. Лекция.
1. Однотипные неравенства:
- иррациональные
- с модулем
- степенные
- логарифмические
- показательные
2. Решение неравенств:
а) х  2  3  х >1
б) |х2-х-2|≥|х2+х-12|
в) 9х-2.3х-3≤0
3. Вывод: общая схема решения неравенства такова:
ОДЗ→ Корни→ Ось→ Знаки→ Концы→ Ответ.
Домашнее задание. №709(2;4)
№710(2)
Алимов Ш.А..
Алгебра 8кл.
№712(2;4;6)
Занятие 2. Практикум. Дробно-рациональные неравенства
Цель занятия: умение решать рациональные неравенства
методом интервалов.
Ход занятия.
I. Оргмомент.
96
II.Проверка домашнего задания
III. Решение неравенств вида:
2
2
а) ( х  1)( х  4)( х  х  6)  0
х 2 ( х 2  1)
Ответ:  2   (-1;0)  (0;1)  0;1  1;2  3;
2
б) х  2х     0
х
2


 х _ 2 х2 1
Ответ.  ;2   2;    (1;1)  (1;  )
в) 14 х  13 ≥1
(3 х  1)( х  1)
1
Ответ. (-1; )  2 
3
Вывод. Алгоритм решения:
ОДЗ→ Корни→ Ось→ Знаки→ Концы→ Ответ.
IV. Самостоятельная работа
а) (3-х2)(х2+2х+4)(4х2+х-5)>0
Ответ:   3; 5   1; 3 

4
б) х -х>2х -2
Ответ: (-1;1)  2 : 
х5
в)
>3х
х 1
Ответ:   ;1 2    1;1
2
2

3
V. Анализ самостоятельной работы
VI. Домашняя работа. Алимов Ш.А.. Алгебра 8 кл. №140.
Занятие 3. Практикум. Неравенства, содержащие
неизвестную величину под знаком модуля.
Цели. Напомнить определение абсолютной величины и
необходимое условие для решения неравенства с модулем.
Ход занятия.
I. Оргмомент.
97
II.Проверка домашнего задания
III. Повторение.
а)
|х|=
х, если х≥0
-х, если х<0
б) для решения неравенств, содержащих величину х под знаком
модуля необходимо:
- найти значение х, при которых выражение, содержащие под
знаком модуля, обращаются в нуль;
- решить неравенства для каждого из промежутков,
образованных такими х.
IV. Решить неравенство:
а) х 2  5х  6 >0
Ответ:  ;3   2;1  6;
б) х  1  х  1 <4
Ответ.  2;2
в) х 3  1 >1-х
Ответ.  ;1  0;1  1;
V. Самостоятельная работа.
а) 2 х  1 > 1
х2  х  2
2
Ответ.  4;1  2;5
б) 2 >  3
х2
2х  1
Ответ.  ;4  1 1 ;2   2; 
 7

Домашнее задание. Реферат «Логарифмические функции»
Занятие 4.Практикум. Показательные неравенства.
Цели. Познакомить учащихся с логарифмической функцией,
научить решать показательные неравенства.
Ход занятия.
I. Реферат «Логарифмическая функция»
II.Повторение
98
- показательная функция
- свойства
- график.
III. Решение неравенств
а) 9х-2.3х-3≤0
Ответ.  ;1
б) 4.9х+2х<18х+4
Ответ.  ;0  2;
1
х
1
х
1
х
г) 9 4 + 5 6 ≤4 9
1
Ответ. (0; ]
2
Домашнее задание.
Решить неравенство:
2
а) х-3≤
х2
2
б) (х -1)( 2  х -х)<0
.
.
.
Занятие 5.Решение задач с помощью неравенств. Тест.
Цели. Развивать у учащихся логическое мышление,
вычислительные навыки, воспитывать к ответственности.
Ход занятия.
I. Проверка домашнего задания.
II. Решение задач
Задача. Растительная масса ковыльной степи составляет 24-25т
гектар, при этом надземная часть в 3,5-4 раза меньше зеленой.
Оцените массу корней и массу надземной части.
Решение:
х – масса надземной части
у – масса подземной части.
Тогда 3,5 х  у  4 х
24  х  у  25
99
1)
24≤х+у≤х+4х=5х, х≥ 24 =4,8
2)
25≤х+у≤х+3,5х=4,5х, х≤ 25 =5,6
5
4,8≤х≤5,6
4,5
Аналогично, 18,7≤у≤20
Задача. Из 1ц молока получается 8-9 кг сыра. Сколько сыра
можно получить из молока, полученного от 106 коров за месяц, если
дневной удой коровы 15-20 кг.
Ответ. 3, 4 – 5,5 т.
Задача. Мама с дочкой 55 мин лепили пельмени. Пока дочь
лепила 3 пельмени, мама успевала сделать не меньше 4 штук, но через
каждые 15 мин она отвлекалась на 5 мин, чтобы раскатать тесто. Кто
слепил больше пельменей?
Ответ. Мама.
Тест.
1.
Решить неравенство:
а) х  2  3  х >1
А 2;3;
В 2;3 ;
С
 ;2  3; 
б) х 2  2 х  3 ≥0
х  3  х 1
А (0;3);
В (-3;3);
С3
в) х  2  х  4  0
А  1; ;
С  1;1
г)
С 0;1
3
1
 х
2  2 2 1
В  ;1 ;
х
А(0;1);
В  ;1  (0;1) ;
Домашнее задание. Выступления «Графики
(степенной, показательной, квадратичной)».
функций
100
Занятие 6.Лекция. Решение неравенств смешанного типа.
Цели. Показать учащимся, что метод интервалов при решении
неравенств, содержащих разные функции, проявляется ярче.
Ход занятия.
I. Анализ и результаты тестирования.
II.
Лекция
- неравенства смешанного типа
- арифметический квадратный корень и модуль
х  3  х  1 >0
2х  5  х  6
Ответ.  3;2  1;
- показательная функция, арифметический квадратный корень
4 х 1  17 . 2 х  4 ≤0
х2 4 х
Ответ. х=-2
- квадратичная и логарифмическая функции
х 2 4 х  3 <0
lg х  2
Ответ.  ;1  1;2  2;3  3;
Выступления. Графики функций (линейной, квадратичной, степенной,
показательной, логарифмической)
III.
Домашнее задание. Решить неравенство:
4
2х


 5. 4 х  4 х 2  9 2 х  1  0
Ответ.
 1

 2
  0;1  3;
Занятие 7.Практикум. Неравенства, содержащие
арифметический квадратный корень и модуль.
Цели. Умение решать неравенства, содержащие
арифметический квадратный корень и модуль
Ход занятия.
I.
Проверка домашнего задания.
II. Решение неравенств
101
а)
3  4  х2  х 1
х2  х
0
Ответ.  2    1;0  0;2
б) х  5  1 <|х-2|
Ответ.  ; 5 

в)
 

5 ;3
2х  7  х  2
0
х  3 1
Ответ.  3,5;2  1;
III. Самостоятельная работа.
1.
Решить неравенство
2
а) х  2 х  4  х  1  1
Ответ.  ;2
б) 5  х  1  2  х
Ответ. 0;4
2.
Решить уравнение
а) 5.55 х 1  4.5 х 1  0,2
Ответ. 0
б) 4 х  2 17 . 2 х  4  1  0
Ответ. х=0, х=4
Домашнее задание. Алимов Ш.А. Алгебра 9 кл. №222
Занятие 8.Практикум. Неравенства, содержащие
арифметический квадратный корень и показательную функцию.
Цели. Научить решать неравенства, содержащие арифметический
квадратный корень и показательную функцию.
Ход занятия.
I.
Проверка домашнего задания.
II. Решение неравенств
а) 3  2  2 2 х х 2  х  6 4  х  0
102
Ответ.  ;3  0;2  4 
б) 2  4 . 5 х 5  х х 2  2 х  8 5  х  0
Ответ.  2;4  5 
в)
6х х
0
9 х 2.3 х  3
Ответ.  ;1  2;6
г) 2 х  1  х  2  0
2х
2
2
2
х
Ответ.  2;1  1;2
III. Самостоятельная работа.
Решить неравенства:
а) 4  х  х  1  1
Ответ. 0;4
б) |х-3|>|х2-3|
Ответ.  3;0  1;2
в) 4 х  2 х 1  3
Ответ. log 2 3;
IV. Домашнее задание. Алимов Ш.А. Алгебра 9 кл.
№220, №221.
Занятие 9. Решение задач с помощью неравенств. Тест.
Цели. Развитие логического мышления учащихся, воспитание
ответственного отношения к учебе.
Ход занятия.
I. Проверка домашнего задания.
На рисунке изображен проект теплицы. На ее покрытие
II. Решение задач
имеется 89 м2полиэтиленовой пленки. Заданы размеры
теплицы: высота h=2м, длина l=5м, наклон крыши Задача
45°. Найдите такую ширину х теплицы, чтобы
оптимально использовать пленку
45°
h
103
l
х2
х2
)=4х+
, площадь боковых
4
2
стен: 2lh=20, площадь крыши: l 2 х  5 2 х . Откуда
х2
.
 4  5 2 х  20  89 2
2
х 2  2 4  5 2 х  40  178 х=
Решение. Площадь торцов: 2(hх+

45 2 


4  5 2 
2

 138  4  5 2 
2  10 2 
2
 5 2  2  5,07
Следовательно, ширина х=5.
Задача. Требуется построить склад объемом 144 м3с отношением
сторон основания 1:3 и при этом так выбрать его высоту, чтобы
расход материала на стены и потолок был минимальным.
Решение.
х – сторона, тогда 2х – другая сторона, (3х2 ) – площадь пола,
V
48
V=3x2H, H= 2  2 , S – общая площадь стен и потолка
3x
x
384
S= 3x  8 x . H  3x 2 
x
при х=3, S=155
x=4, S=144
x=5, S=172
Smin достигается при х=4. При этом H(x)=4 м S(x)=144 м2
III. Тесты.
Решить неравенство:
а) х 2  5  1 < х  2
104
А
 5;3,
б) 3 
4х
В
2
 х 1
х х
2
 ; 5   
,
5 ;3
С  ;3
0
А  1;2,
В  1;0  0;2 ,
 2    1;0  0;2
в) 4 2 х  5. 4 х  4х 2  9 2 х  1  0
А 0;1  3; ,
В  1   0;1,
С
С
 2
 1

 2
  0;1  3;
г) 0,25 х  0,5 х  2 <0
А  1; ,
В  ;1 ,
С (-1;0)
Домашнее задание.
Решите уравнение:
4
х
1
2х
5 2
.
х
1
2х
40
Занятие 10. Неравенства с параметрами.
Цели. Отметить важность умения решать неравенства с
параметрами; научить решать неравенства с параметрами методом
интервалов.
Ход занятия.
I.
Проверка домашнего задания.
II. Лекция.
Неравенства вида Ах>В, Ах<В, Ах ≤ В, Ах ≥ В, где А, В –
выражения, зависящие от параметров, а х-неизвестное,
называются линейными неравенствами с параметрами.
Решить неравенство с параметрами – значит для всех
значений параметров найти множество решений заданного
неравенства.
Неравенства вида Ах>В решается по следующей схеме:
В
1)
если А>0, то х>
А
105
В
А
3)
если А=0, то неравенство имеет вид 0. х>В
При В≥0 неравенство имеет  ; при В<0 – R
2)
если А<0, то х<
а) Для всех значений параметра р решить неравенство
(р-1)х>р2-1
р2 1
1) р-1>0, р>1, х>
, х>р+1
р 1
2) р-1=0, р=1, х  
р2 1
р2 1
3) р-1<0, р<1, х<
, х<
, х<р+1
р 1
р 1
Ответ. Если р>1, то х>р+1,
если р<1, то х<р+1,
если р=1, то х  
б) Для всех значений параметра a и b решить неравенство
(а+2)х<b-а
ba
1)
а+2>0, а>-2, х<
ab
ba
2)
а+2<0, а<-2, х>
ab
3)
а+2=0, а=-2, b≤-2, то х  
4)
а+2=0, а=-2, b>2, то х  R
ba
Ответ. Если а>-2, b – любое, х<
;
ab
ba
если а<-2, b – любое, х>
;
ab
если а=-2, b≤-2, то х   ;
если а=-2, b>2, то х  R
Неравенства вида Aх 2  Вх  С >0 (≥0 ),
Aх 2  Вх  С <0(≤0), где А, В, С – выражения, зависящие от
106
параметров, А  0, а х – неизвестное - называются квадратными
неравенствами с параметрами.
Неравенство Aх 2  Вх  С >0 решается по следующей схеме:
1)
А=0, то Вх+С>0
2)
А  0, Д>0, то А(х-х1 )(х-х2 ) >0
2
3)
А  0, Д=0, А  х  х1  >0
4)
А  0, Д<0, то при А>0 - R
при А<0 - 
Для всех значений параметра р решить неравенство:
х 2  2 р  1х  р 2 >0
Д= 4 р  12  4 р 2  8 р  4  4(2 р  1)
1)
Д<0, то 2р+1<0, р<-0, 5, т.к. А=1, то х  R
2)
Д>0, то 2р+1>0, р>-0,5
х1   р  1  2 р  1, х2   р  1  2 р  1 , причем х1 <х2
3)
Д=0, 2р+1=0, р=-0, 5,
х2  х 

1
1 >0, 
х  
4
2

2
>0, х    ; 1     1 ; 

Ответ. Если р<-0, 5, то х  R;
если р≥-0, 5, то
 
2
 2


х   ; р  1  2 р  1   р  1  2 р  1;
Домашняя задание. Принести сборники заданий по математике
для 9 кл. под редакцией Кузнецовой Л.В.
Задание 11. Практикум. Неравенства с параметрами.
Подготовка к ЕГЭ.
Цели. Расширить знания и умения учащихся по теме
«Неравенства с параметрами»
Ход занятия.
I.
Решение неравенств.
Для всех значений параметра а решить неравенства:
а) х  а  2  0
х2  х  6
107
Ответ. Если а<0, то х   ; а  2   2;3 ;
если а=0, то х   ;2   2;3 ;
если а=5, то х   ;2
если а>5, то х   ;2  3; а  2
если 0<а<5, то х   ;2  а  2;3
б) х  2ах  а  3 ≤0
Ответ. Если а<1, то х  2а;3  а
если а=1, то х=2
если а>1, то х  3  а;2а
в)
х  1  2х  1
х  а 1
Ответ. Если а>2, то
х   1;0
если 1<а≤2, то х  1  а;0
если а=1, то х   ;
если а<1, то х  0;1  а 
II. Работа со сборникам (с.108-118)
а) При каких значениях параметра а число корней уравнения
х 2  2 х  7  а в четыре раза больше а?
х
2
б) При каких значениях а число корней уравнения
 8 х  7  а равно а?
Домашнее задание. Алимов Ш.А. Алгебра 9 кл. №34*, №35*,
№36*
Занятие 12. Лекция. Неравенства с двумя неизвестными.
Цели. Познакомить учащихся с решением неравенств с двумя
неизвестными.
Ход занятия.
I.
Проверка домашнего задания.
II. Лекция.
108
Метод интервалов без существенных изменений переносится с
числовой очи на координатную плоскость, а также на пространство
трех и более измерений. При этом роль критических точек на
координатной плоскости играют критические линии, а роль
промежутков – области, эти линии делят область определения
функции двух переменных на «более мелкие» области, в каждой из
которых непрерывная функция сохраняет знак. Для нахождения этого
знака достаточно взять в рассматриваемой области какую-нибудь
отдельную «удобную» точку и найти знак функции в выбранной
точке, который сохраняется во всей области. При переходе через
критические линии знак функции, как правило, меняется. Случаи,
когда знак не меняется, аналогичны случаям
критических точек
четной кратности.
Схема исследования неравенств с двумя неизвестными методом
областей аналогична схеме решения неравенств с одной неизвестной
методом интервалов.
Пример 1. На координатной плоскости изобразить множество
точек (х;у), координаты которых удовлетворяют неравенству
|2х+у|<|х-2у|
Решение:
1

2 х  у  х  2 у  у  

|2х+у|<|х-2у|  
3
2 х  у  2 у  х  у  3 х

При х=1, у=0 |2х+у|-|х-2у|<0…
Пример 2. На координатной плоскости изобразить множество
точек (х;у), координаты которых удовлетворяют неравенству
у  х  2  х 1  3  0
Решение.
109
6 при х  2
у=- х  2  х  1  3  у  2  2 х при  2  х  1

0 при х  1

Ответ. х  1 , у=0, заштрихованная область.
Пример 3. у  х  1  0
2  ху
Решение. ОДЗ: у≥0 и ху  2
у  х  1  0  у  х  1 , х  1
2
2  ху  0,  у 
2
х
Ответ. Заштрихованная область.
Подведение итогов.
Занятие 13.Подготовка к ЕГЭ.
Работа с КИМом
Занятие 14.Контрольная работа.
110
Цели. Проверить знания учащихся по теме «Решения неравенств
методом интервалов»
1.
Решить неравенство
2
а) х  3( х  1) >0
х  3х  2
б) 2х  13  9  4х
в)
6х х
0
9 х  2.3 х  3
2. Для всех значений параметра а решить неравенство
х3
г)
0
( х  1)( х  2а  1)
3. На координатной плоскости изобразить множество точек (х;у),
координаты которых удовлетворяют неравенству:
у х
ху 2  1
0
Занятие 15.Итоговое занятие. Презентация «Графики
функции(логарифмической, показательной, степенной)»
Цели. Обобщить и систематизировать знания учащихся по всему
пройденному материалу.
Ход занятия.
I.
Анализ контрольной работы.
II. Повторение
- однотипные неравенства
- смешанные неравенства
- неравенства с параметрами
- неравенства с двумя неизвестными
- графики
- квадратичной
- степенной
- показательной
111
- логарифмической
III. Подведение итогов.
Элективный курс профильного обученияпо алгебре
«Уравнения и неравенства с модулями»
для учащихся 10 кл. на 17 ч.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Элективный курс «Уравнения и неравенства с модулями»
рассчитан на 17 часов для учащихся 10 класса. Он ориентирован
на профильную подготовку учащихся по математике, углубляет
базовый курс по алгебре, дает учащимся познакомиться со
свойствами модулей, геометрическим местом точек модуля,
решением уравнений и неравенств, содержащих несколько
модулей.
Выпускник, научившийся решать уравнения и неравенства,
быстро справится с заданиями при сдаче ЕГЭ. Поэтому думаю как
можно раньше и подробнее изучить эту тему с учащимися для
112
того, чтобы они успешно смогли сдать экзамен за курс средней
школы.
Также думаю, что вопросы, входящие в элективный курс, не
вызовут трудностей у учащихся, а наоборот, заинтересуют их,
повысится интерес к предмету, потому как, кроме обычных
занятий (семинар, лекция, практикум, контроль) здесь будут
проектные работы, содоклады, презентации, дополняющие
выступления учителя, а это будет способствовать их
самообразованию, саморазвитию, самореализации в процессе
изучения курса, а самое главное – самоопределению в выборе
профиля обучения.
ЦЕЛИ КУРСА:
– научить решать уравнения и неравенства с
модулями;
– создавать
условия
для
саморазвития,
самореализации
учащихся
в
процессе
учебной
деятельности;
– развивать математические, интеллектуальные
способности учащихся;
– воспитывать волевые и нравственные качества
характера личности, приобщать к миру вечного,
разумного и прекрасного.
ЗАДАЧИ КУРСА:
– научить решать неравенства разными способами
(методом
интервалов,
графическим
способом,
совокупностью систем); строить графики функции с
модулями; решать уравнения с модулями, систему
уравнений с модулями;
– приобщать
к
работе
с
математической
литературой, компьютером;
– выделить логически обобщенные приемы
мышления,
формировать
аналитико-синтетическую
деятельность;
113
– обеспечить групповую форму математической
деятельности;
– предоставить
учащимся
возможность
проанализировать свои способности к математической
деятельности.
Курс призван помочь ученику оценить свои возможности и
способности с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в
классах математического и естественно-научного профиля.
МЕСТО КУРСА В СИСТЕМЕ ПРОФИЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ
Курс ориентирован на профильную подготовку учащихся по
математике. Он углубляет базовый курс по алгебре, является
предметно-ориентированным и дает учащимся возможность
познакомиться с нестандартными уравнениями и неравенствами с
модулем, проверить способности к математике.
Примеры, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки
обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к
основному курсу. Поэтому данный элективный курс будет
способствовать совершенствованию и развитию важнейших
математических знаний и умений, предусмотренных школьной
программой, может оценить свои возможности по математике и более
осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ УСВОЕНИЯ КУРСА
Учащиеся должны:
 знать способы решения неравенств и уравнений и уметь их
применять;
 уметь решать уравнения и неравенства, содержащие
неизвестную величину под знаком модуля;
 строить графики функции с модулями.
В результате изучения элективного курса учащийся выполнит
проектную работу на одну из тем: «Уравнения и неравенства с одним
модулем», «Уравнения и неравенства с двумя модулями», «Уравнения
114
и неравенства с тремя модулями», «Графики функций с модулями» и
защитит в форме презентации.
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
№ Наименование разделов
.
.
1 Уравнения, содержащие переменную под знаком
модуля.
2
Функция с модулем
3
.
Количес
тво часов
Неравенства с модулями
Итого:
5
3
9
17
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
№ Наименование
разделов, лекция семинар практикум
тем
1. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
1 Модуль числа. Свойства
1
.1 модулей
Уравнения
с
одним
1
модулем и уравнения с
0,5
0,5
.2
двумя модулями
1 Уравнения
с
тремя
0,5
.3 модулями. Тест №1
1 Решение систем уравнений
1
.4 с модулем. Задания из ЕГЭ
1 Самостоятельная
работа
.5 «Уравнения с модулями»
2. Функция с модулем
Анализ самостоятельной
2
работы.
Функция
с 0,5
0,5
.1
модулем
2 Построение
графиков
0,5
.2 функций. Тест №2
значения
2 Нахождение
1
контроль
0,5
1
0,5
115
.3
3.1
3.2
3.3
3.4
функции. Задания из ЕГЭ
3. Неравенства с модулями
Разные способы решения
1
неравенств
Неравенства, содержащие
переменную под знаком 0,5
0,5
модуля. Тест №3
Самостоятельная
работа
«Неравенства
с
модулями».
Анализ самостоятельной
работы.
Решение
неравенств. Задание из
ЕГЭ.
Контрольная
работа
«Уравнения и неравенства
с модулями»
Анализ
контрольной
работы. Защита проектов.
Итоговое занятие
Итого
17
1,5
0,5
1
1
1
1
1
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ.
Тема 1. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
( 1 ч - лекция, 0,5 ч – семинар, 2 ч – практикум, 1,5 – контроль)
В данной теме рассматриваются свойства модулей, методы
решения уравнений с модулями, знакомятся с решением уравнений,
содержащих несколько модулей, проводится тестирование, решаются
уравнения из ЕГЭ.
Например, решить уравнения:
1. 2х  3  х  5
2. 2 х  1  3  х  х  4
3. 3х  2 х  1  2 х
4.
ха  х2
116
Тема завершается проведением самостоятельной работы.
Тема 2. Функция с модулем (0,5 ч – лекция, 0,5 ч – семинар, 1,5 ч
– практикум, 0,5 ч - контроль)
В этой теме большое внимание уделяется области определения
функции, умению строить графики функций и выделить нужные
промежутки функции. Решаются задания типа:
Найти область определения функции:
у
2 х 5 2


у  log 5 х 2  4 х  3
Построить график функции у  х  1  х
Проводится тест №2.
Тема 3. Неравенства с модулями.
При решении неравенств, содержащих разные функции с
модулем, ярко проявляется метод интервалов, выполняются задания
из ЕГЭ. Например, Найдите сумму целых значений параметра а, при
которых множество решений неравенства хх  6  а  3 х  3  3
содержит все члены некоторой геометрической прогрессии с первым
членом, равным 4, и знаменателем -3<q<-1. Здесь же проводится тест
№3, а в конце темы самостоятельная работа.
В конце курса знания учащихся проверяются проведением
контрольной работы и защитой проектных работ в форме
презентации.
Занятие 1. Лекция. Модуль числа. Свойства модулей
Цели. Познакомить учащихся со свойствами модулей, с
теоремами, с методами решений уравнений с модулями, решением
уравнений, содержащих несколько модулей.
Ход занятия.
I Знакомство учащихся с учебным планом всего курса.
II Лекция.
а, если а  0
а 
 а , если a  0
  3    3,
т.к.
  3,14.., а   5  5   ,
т.к.   5  0
117
Геометрически a означает расстояние на координатной прямой
от точки, изображающей число а, до начала отсчета.
Свойства модулей:
10. а  0
20. а   а
30. аb  a  b для любых чисел a и b
40.
a
a
 ,b  0
b
b
50. a  a 2
2
Теорема: ab  0  a  b  a  b
Теорема: ab  0  a  b  a  b
Теорема: ab  0  a  b  a  b
Теорема: ab  0  a  b  a  b
Методы решения уравнений с модулями.
Теорема:
Теорема:
g  0

f  g   f  g
 f   g

f  g
f  g 
 f  g
Теорема: f  g  f 2  g 2
IV Решение уравнений
1) 2х  3  х  5
Ответ:
2)
2х  1  3  х  х  4
Ответ:
3)
2
х1   ; х2  8
3
х
3
2
3  2х 1  2 х
Ответ: х  1
2
118
Вывод: при решении уравнений, содержащих переменную под
знаком модуля, часто удобно пользоваться следующими переходами:
 f  g и f  g  f 2  g2 .
f  g 
 f  g
Домашнее задание.
Решите уравнение:
1) 3х  2  13
Ответ:
2)
х  5, х  
11
3
х2  2х  2х  х2
Ответ: х   ; 0 2;  
Занятие 2.Решение уравнений с одним модулем и
уравнений
с двумя модулями.
Цели. Уметь решать уравнения с одним модулем и двумя
модулями.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания.
II Решение уравнений.
1) х 2  9 х  8  9 х  8
Ответ: х1=4, х2=18.
2) 3х 2  а  1  а  1
Ответ: Если а  1, то х  
Если а  1, то х  0;

2а  1 
Если а  1, то х  0; 

3)
3


х2  х  х  3  1
Ответ: х1=2, х2=-2
IV Самостоятельная работа
1) 5х  4  8  х
Ответ: х1=2, х2=-1
119
2)
х2  х  3
 2х 1
3
Ответ: х1=0, х2=6
3) х  а  х  2
Ответ.
Если а  2, то х 
Если а  2, то х  2
Если а  2, то х  
а2
2
V Анализ самостоятельной работы.
Домашнее задание.
Алимов Ш.А. Алгебра 9. №162 (2;4)
Занятие 3.Уравнение с тремя модулями. Тест
Цели. Уметь решать уравнения, содержащие неизвестную
величину под знаком модуля, проверить освоение материала в ходе
тестирования.
Ход занятия
I Проверка домашнего задания
II Решение уравнений
1) 2 х  1  3  х  х  4
Ответ: х 
2)
3
2
3  2х 1  2 х
Ответ: х 
1
2
Тест.
Решить уравнения:
1) 3 х 2  7 х  3  10 х  3
1
1
В: -1 и 
3
3
2) 2 х  8  3х  1
А: 1 и
А: 5 и 7
В:
5
7
С: -1 и
С:
1
3
7
5
120
3) х 2  3х  2  1  1
А: 0 и 3
В: 0 и -3
С:
1
и0
3
Домашнее задание.
Выступление «Уравнения с несколькими модулями».
Занятие 4. Решение систем уравнений с модулями.
Задания из ЕГЭ
Цели. Уметь решать системы уравнений с модулями.
Ход занятия.
I Выступление «Уравнения с несколькими модулями».
II Решение систем уравнений.
1)  х  1  2 у  2  1

 у  х 1  3
Ответ. (-1;2); (1;2)
2)  2 х  7  3 у  2  1
 у  3  2 х  7
Ответ. (-3;2); (-4;2).
3)  х  2 у  3
5 у  7 х  2
Ответ.
 11 19 
 ; 
 9 9
IV Задания из ЕГЭ.
1.
Найдите сумму всех значений переменных,
являющихся решением (или решениями, если их несколько)
системы.
 х  5  9   у  22


 х  5  49   у  22
Ответ. 8
2.
Найдите число решений системы уравнений.
 х 2  4ху  32 2 у 2  у  cos х  0


2
2
 4  х  4  1  у  4  х  4  1  у
Ответ. 13
Домашнее задание.
121
Найдите корень (или сумму корней, если их несколько)
уравнения
8  2 log
х
0,5
5x  1
 2x  8
2x  4
Ответ. 1
Занятие 5. Самостоятельная работа «Уравнения
модулями»
Цели. Проверить знания учащихся по пройденным темам.
Ход занятия.
I Повторение.
–
Свойства модулей
–
Методы решения уравнений
II Знакомство учащихся с работой.
III Некоторые замечания по работе.
IV Выполнение работы.
Решить уравнение:
1) х2 13 х  42  0
2)
х3  2 х  1  х3  1
3)
х 2  3х
1
х2  2х  3
с
4) 2 х  10  х  4  1
5) х 2  х  х  3  1
6) 7 2  3х  2 3х 1  4  3х
7) 2х  3  3х  4  5х  7
Домашнее задание.
3  х  2 х 1  х  х  2
Занятие 6. Анализ самостоятельной работы. Функция с
модулем.
122
Цели. Знать понятие функции, область определения функции,
график функции с модулем, уметь находить область определения
функции, строить график функции с модулями.
Ход занятия.
I Анализ самостоятельной работы
II Функция, область определения функции, график функции.
III Нахождение области определения функции.
1) ух   2 х 2  3х  5
2) ух   х  1  2
х 1
3) ух   4 3 х1  27
4) ух   х  1х  1х  4  3
5) ух  
2 х 5 2
6) у х   log 5 х 2  4 х  3
IV Построение графиков функций.
1) у  2 х  1
2) у  х  1  х
3) у  х х  2 х
Домашнее задание.
Алимов Ш.А. Алгебра 9., №163(2,4)
Занятие 7. Построение графиков функций.
Цели. Уметь строить графики функций с модулями, проверить
усвоение материала в ходе тестирования.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания.
II Выполнение упражнений на построение.
1) у  log 3 x
2)
y  1 log 2 x
3)
y  3x  2
123
4) y  2 x
5)
1
y 
 3
x
6) y  x  x  2
Домашнее задание.
Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10 кл., №106**(2,4),
№107**(2,4)
Занятие 8. Нахождение значения функции. Решение
заданий из ЕГЭ.
Цели. Уметь находить значения функции, содержащей
независимую переменную под знаком модуля.
Ход занятия
I Проверка домашнего задания.
II Выполнение упражнений.
Задания из ЕГЭ-2007 (стр.154)
1)
Найдите значение функции
 6 х  19 , если х  2
g ( x)  
log 3 х , если х  1
Ответ. 37
2)
Укажите
определения функции
наименьшее
целое
сумму
целых
число
из
области
чисел
из
области
у  lg 28  2 x  3 
3)
Укажите
определения функции.
всех
y  6 8  5x  14
Ответ. 9
Домашнее задание.
Найдите нули функции
2 x  1, если х  3
f x   
sin х  3, если х  3
Ответ. 0
124
Занятие 9. Разные способы решения неравенств.
Цели. Познакомить учащихся с разными способами решения
неравенств.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания.
II Лекция.
При решении неравенств, содержащих переменную под знаком
модуля, используется определение модуля:
 f ( x), если f ( x)  0
f x   
 f ( x), если f ( x)  0
Иногда
полезно
воспользоваться
геометрической
интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой
a означает расстояние точки а координатной прямой от начала
отсчета 0, а a  b означает расстояние между точками a и b на
координатной прямой.
Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат
обеих частей неравенства:
f  x   g  x   f 2 ( x )  g 2 ( x)
Пример:
x 1  2
1 способ: х  1 можно рассматривать как расстояние на
координатной прямой между точками х и 1. Значит, нужно указать все
точки х, которые удалены от точки 1 меньше, чем на 2 единицы. С
помощью координатной прямой устанавливаем, что множество
решений есть интервал (-1;3)
2 способ: возведем обе части неравенства в квадрат.
x 1  2 ,
125
х  12  4,
x2  2x  1  4  0
x2  2x  3  0
1  x  3
3 способ. По определению модуля.
 х  1, если х  1  0
х 1  
 х  1, если х  1  0
Ответ. (-1;3)
III Решение неравенств.
1) 2 x  5  7
Ответ. x  6, x  1
2) 2x 1  3x  1
Ответ. x  2, x  0
3) 2x  4  3x  2
Ответ. x  2
Домашнее задание
Выступление «Решение неравенств методом интервалов»
Занятие 10. Неравенства, содержащие неизвестную
величину под знаком модуля.
Цели. Напомнить самый рациональный способ решения
неравенств
- метод интервалов, уметь его применять при решении
неравенств с модулями.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания.
II Выступление «Решение неравенств методом интервалов»
ОДЗ  Корни  Ось  Знаки  Концы  Ответ
III Решение неравенств.
Для решения неравенств, содержащих величину х под знаком
модуля необходимо:
126
1)
найти значение х, при которых выражения,
стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль.
2)
решить неравенства для каждого из промежутков,
образованных такими х (на каждом промежутке это будет
обычное алгебраическое неравенство)
Решение
исходного
неравенства
представляет
собой
объединение множества решений на интервалах.
Пример.
х 2  5х  6  0 , х   6
5
1)
6

  ; 
5

2)
 6

  ; 
 5

2
х  5х  6  0 , х  5 х  6  0, x  3, x  2
2
х 2  5х  6  0 , х 2  5 х  6  0,  6  x  1, x  6
5
Ответ.  3  x,  2  x  1, x  6
Решить неравенство:
1) 5  8х  11
Ответ.

3
x2
4
2) x 1  x  2  3
Ответ.  2  x  1
3) x  a  a
а
Ответ. Если а  0, то х  2
Если а  0, то х  
Занятие 11. Решение неравенств.
Цели. Уметь решать неравенства с модулями.
Ход занятия.
I Повторение
–
неравенство
–
метод интервалов
–
совокупность систем
–
графический
II Решение неравенств.
1) 4 х1  16
127
Ответ. х  3, x  1
2) 5 x4  25 x
Ответ. x  1 1 , x  4
3
3) x 1  x  2  3
Ответ.  2  x  1
4) x  3  x  1  0
2x  5  x  6
Ответ.  3  x  2 , х>1
5) На координатной плоскости изобразить множество точек (х;у),
координаты которых удовлетворяют неравенству 2х  у  x  2 y .
Домашнее задание.
Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10 кл. №797(2,4),
№798(2,4)
Занятие 12. Неравенства с модулями.
Цели. Уметь решать неравенства с модулями, проверить знания
учащихся в ходе тестирования.
Ход занятия.
I Проверка домашнего задания
II Решение неравенств.
1)
3  4  х2  х 1
х2  х
0
Ответ.  2 1;0  0;2
2)
2x  7  x  2
0
x  3 1
Ответ.  3,5;2  1;
3) 5  x  1  2  x
Ответ. 0  x  4
Тест.
Решить неравенство:
1. x 1  x  1  4
128
А: (2;-2)
2.
В: (-2;2)
С:  2;2
2х 1
1

х2  х  2 2
А: 4;1   2;5
В:  4;1  2;5
С: 4;1   2;5
3. x 2  2 x  4  x  1  1
А: x<2
В: x  2
С: x  2
Домашнее задание.
Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10 кл., №833(4,6,8)
Занятие 13. Самостоятельная работа «Неравенство с
модулями»
Цели. Проверить знания учащихся в ходе самостоятельной
работы.
Ход занятия.
I Знакомство учащихся с заданиями.
II Некоторые замечания по работе.
III Выполнение работы.
Решить неравенство
1) 2 х  3  x
2)
x2  4x  3
0
lg x  2
Ответ. x   ;1  1;2  2;3  3;
3)
3  4  x2  x 1
x2  x
0
Ответ. x  2 1;0  0;2
4) x 3  1  1  x
Ответ. x   ;1  0;1  1;
5) x  2  x  4  0
Ответ. x  1;
Домашнее задание.
Выполнение проектной работы.
129
Занятие 14. Анализ самостоятельной работы. Решение
неравенств из сборника для ЕГЭ
Цели. Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме
«Решение неравенств с модулями».
Ход занятия.
I Анализ самостоятельной работы.
II Решение неравенств
1) х 2  х  2  х 2  х  12
Ответ. х   ; 7  
2) х2  5 1  x  2

7 ;5
Ответ. x   ; 5   5;3
3) Найдите сумму целых значений параметра а, при которых
множество решений неравенства xx  6  a  3 x  3  3 содержит все
члены некоторой геометрической прогрессии с первым членом,
равным 4, и знаменателем -3<q<-1.
Ответ. 105.
4)
Найдите
число
целых
решений
неравенства
х 3  48 х  2
1

х  22 х  7 х 2  9 х  14
Ответ. 2
Домашнее задание.
Работа над проектом.
Занятие 15. Контрольная работа «Уравнения и
неравенства с модулями».
Цель. Проверить знания учащихся в ходе контрольной работы.
Ход занятия.
I Знакомство учащихся с работой.
II Некоторые замечания по работе.
III Выполнение контрольной работы.
1.
Решить уравнение.
1) 2 х  1  3  х  х  4
130
Ответ. х  3
2
2)
3  2х 1  2 х
Ответ. х  1
2
3) х  3х  2  1  1
2
Ответ. х1=0, х2=3.
2.
Решить неравенство.
х 2
1) 3  9
Ответ. 0<x<4
x2
x1
2) 2
4
Ответ. -4<x<0
3) х 1  х  2  3
Ответ.  2  х  1
3.
Построить график функции.
1) у  3 х  3
2) у  х  х  2
Домашнее задание.
Работа над проектом.
Занятие 16-17. Анализ контрольной работы. Защита
проектов.
Цели. Обобщить и систематизировать знания учащихся по всему
пройденному материалу.
Ход занятия.
I Анализ контрольной работы
II Защита проектов.
Уравнения и неравенства с одним модулем
Уравнения и неравенства с двумя модулями
Уравнения и неравенства с несколькими модулями.
Графики функций с модулями.
III Оценка за проекты.
131
IV Подведение итогов.
ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ
Модуль числа есть само это число, если оно не отрицательно, и
противоположное число, если число отрицательное.
Неравенство – два числовых или алгебраических выражения,
соединенных знаком > или <. Строгие неравенства – неравенства со
знаками > (больше) и < (меньше). Нестрогие неравенства –
неравенства со знаками  (больше или равно) и  (меньше или равно).
Уравнние с одним неизвестным – равенство, содержащее
неизвестное число, обозначенное буквой. Корень уравнения –
значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное
равенство. Решить уравнение – это значит найти все его корни или
установить, что их нет.
Функция. Если каждому значению х из некоторого множества
чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом
множестве задана функция у(х). При этом х называют независимой
переменной, а у – зависимой переменной. Область определения
функции – множество всех значений, которые может принимать ее
независимая переменная. Если функция задана формулой, то считают,
что ее область определения – множество значений независимой
переменной, при которых эта формула имеет смысл. График функции
у(х)- множество всех точек координатной плоскости с координатами
(х; у(х))
132
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1.
Ш.А.Алимов., Ю.М.Колягин и др. Алгебра 9 кл. М.: Просвещение, 2002 г.
2.
Ш.А.Алимов., Ю.М.Колягин и др. Алгебра и
начала анализа 10 кл. - М.: Просвещение, 2002 г.
3.
Экзаменационные материалы для подготовки к
ЕГЭ по математике, 2004-2008 г.
4.
В.В.Мочалов., В.В.Сильвестров. Уравнения и
неравенства с параметрами. Учебное пособие. - Издательство
Чувашского университета, 1997 г.
5.
В.В.Сильвестров.
Обобщенный
метод
интервалов. Учебное пособие. Чебоксары: Издательство
Чувашского университета, 1998 г.
6.
В.А.Гусев.,
А.Т.Мордкович.
Математика.
Справочный материал. М.: Просвещение, 1988.
133
Программаэлективного курса для учащихся 11 класса
«Решение заданий ЕГЭ части В и С»
1.Пояснительная записка
Возрастающая потребность общества в людях, способных
творчески подходить к любым изменениям, нетрадиционно и
качественно решать существующие проблемы, обусловлена
ускорением темпов развития общества и, как следствие,
необходимостью подготовки людей к жизни в быстроменяющихся
условиях.
Стратегия
современного
образования заключается
в
предоставлении возможности всем учащимся проявить свои таланты
и творческий потенциал, подразумевающий возможность реализации
личных планов. Выдвижение на первый план цели развития личности,
рассмотрение предметных знаний и умений как средства их
достижения находят отражение в государственных документах. В
«Концепции модернизации Российского образования на период до
2010 года» делается акцент на развитие творческих способностей
учащихся, индивидуализацию их образования с учетом интересов и
склонностей к творческой деятельности. В связи с этим остро встал
вопрос об организации активной познавательной и созидательной
деятельности учащихся, способствующей накоплению творческого
опыта учащихся как основы, без которой самореализация личности на
последующих этапах непрерывного образования становится
малоэффективной.
На сегодняшний день актуальна проблема поиска средств
развития мыслительных способностей, связанных с творческой
деятельностью учащихся как в коллективной, так и в индивидуальной
форме обучения.
Математика уже давно стала основным аппаратом
современных технологий. В последние годы математические методы
исследований широко используются не только в точных, но и в таких
науках, как химия, экономика, биология, геология, медицины,
археология и др. Поэтому не удивительно, что во всех технических
вузах и на многих, в том числе и на гуманитарных, факультетах сдача
экзамена по математике является обязательным условием для
поступления.
Выполнение заданий из части В и С нередко вызывает
определенные трудности у учащихся: «шаблонные» методы решения,
которые приводят к громоздким преобразованиям и вычислениям,
зачастую сбивают будущих абитуриентов с рационального решения.
Неумение выстраивать четкие логические рассуждения,
отсутствие
пространственного
мышления,
геометрического
воображения приводит к неграмотной записи собственного решения,
к потери акцентов на его ключевых моментах.
Цель обучения хорошо успевающих учеников состоит не
только в усвоении базовой составляющей курса алгебры и начал
анализа, но, прежде всего, в развитии математического мышления.
Умение учащегося найти правильный подход к решению
сложной задачи, используя при этом рациональные приемы и методы,
- необходимое условие сдачи экзамена.
Данный курс, рассчитанный на 34 часа для учащихся 11 класса,
поможет выпускникам овладеть не только методами решения всех
математических задач повышенного уровня сложности, но и умением
математически грамотно записывать собственное решение в
экзаменационных листах при их выполнении.
В программе имеется тематическое планирование. Основными
формами занятий являются лекция, семинар, практикум, контроль.
Также планируется использовать проектные работы, содоклады,
презентации, которые будут дополнять выступления учителя. Тем
самым будет обеспечена успешная сдача ЕГЭ. Кроме того
способность к саморазвитию, самоорганизации, самообразованию
поможет в выборе дальнейшего профиля обучения.
2. Цели и задачи курса
Цели:
 Подготовка учащихся к ЕГЭ;
 Создание условий для саморазвития, самореализации
учащихся в процессе учебной деятельности;
135
 Развитие математических, интеллектуальных способностей
учащихся.
Задачи:
 Отработать и совершенствовать способы решения заданий
различного типа;
 Развивать у учащихся пространственное воображение,
логическое мышление, практическое понимание;
 Приобщать к работе с математической литературой,
компьютером;
 Обеспечить
групповую
форму
математической
деятельности;
 Предоставить учащихся возможность проанализировать
свои способности к математической деятельности.
Курс призван помочь ученику оценить свои способности при
сдаче ЕГЭ.
3. Результаты усвоения курса
Результатами усвоения учащимися 11 класса данного курса
могут стать следующие умения:
 Использование полученных знаний при сдаче ЕГЭ и
применение их в будущей профессиональной деятельности;
 Нахождение рациональных способов решения задач,
уравнений и неравенств;
 Умение грамотно и обоснованно записывать решение
задания в развернутом виде;
 Умение ясно и точно выражать свои мысли при защите
проектной работы;
 Умение
находить
необходимую
информацию
в
разнообразных источниках.
136
4. Учебная программа
№
Наименование разделов
1
Уравнения и неравенства
2
Производная, применение производной
3
Прогрессии
4
Текстовые задачи
Итого
5.
№
1.
1
1.
2
1.
3
1.
4
1.
5
1.
6
2.
1
2.
2
Количество часов
13
5
5
11
34
Учебно-тематический план
Наименование
Лекци Семина Практику
Контроль
разделов, тем
я
р
м
1. Уравнения и неравенства (13 часов)
Рациональные
1
0,5
1
0,5
уравнения
и
(самостоят.работ
неравенства
а)
Иррациональные
0,5
1
0,5
уравнения
и
(Тест №1)
неравенства
Тригонометрическ
0,5
1
0,5
ие уравнения и
(Тест №2)
неравенства
Логарифмические
2
уравнения
и
неравенства.
Презентация
Показательные
1,5
0,5
уравнения
и
неравенства
Системы
1,5
0,5
уравнений
и
неравенств
2. Производная. Применение производной (5 часов)
Производная
0,5
0,5
1
функций
Уравнение
1
касательной.
137
2.
3
2.
4
3.
1
3.
2
3.
3
4.
1
4.
2
4.
3
Презентация
Применение
производной
Самостоятельная
работа
«Производная»
Арифметическая
прогрессия
Геометрическая
прогрессия
Тест «Прогрессии»
1
1
3. Прогрессии (5 часов)
0,5
1,5
0,5
1,5
1
4. Текстовые задачи (11 часов)
на
1
Задачи
движение
Задачи на работу
Задачи
на
процентные
соотношения
4. Разные текстовые
4
задачи
4. Геометрические
5
задачи
4. Контрольная
6
работа «Текстовые
задачи»
4. Анализ
7
контрольной
работы.
Олимпиада
Пробный экзамен
Итоговое занятие.
Защита проектов.
Итого:
34
1
1
1
2
1
1
2
1
138
6.Содержание программы
Тема 1. Уравнения и неравенства.
(1ч – лекция, 2,5ч – семинар, 7ч – практикум, 2,5ч – контроль)
В данной теме рассматриваются все виды уравнений
(рациональное, иррациональное, тригонометрическое, показательное,
логарифмическое), мтеоды решения уравнений, системы уравнений,
проводится тестирование, решаются задачи из учебно-тренировочного
материала для подготовки учащихся к ЕГЭ за 2006-2009 уч.год
Например, решить уравнения:
1. х  2 х  1  х  2 х  1  2. Ответ : ( х  2)
2. sin 2 x  sin 2 5 x  1. Ответ : (    ;    ;   )
12
6
8
4
3. 5х  26  х . Ответ : 1
Решить неравенство:
1. 2х 3х  8  2х  0. Ответ : ;3  1;
2
2. log 1 x  log x 3  5 . Ответ :1; 3  9;
2
3
Тема
2.
Производная,
применение
производной.
(0,5ч – лекция, 0,5ч – семинар, 3ч – практикум, 1ч – контроль)
В этой теме уделяется внимание на нахождение экстремумы
функции, промежутки возрастания, убывания, написанию уравнения
касательной, применению производной при решении задач.
Например.
1.
Найдите значение х, при которых функция имеет
экстремумы:
9
у  4 х  . Ответ :  1,5;1,5
х
2.
Найти промежутки убывания, а также точки минимума.
х2
у
.
ln x
Ответ. 0,1  1; е , х  е  точка минимума


139
3.
Задача. В шар радиуса R вписать цилиндр, имеющий
наибольшую боковую поверхность.
Ответ. Высота R 2
Тема завершается проведением самостоятельной работы.
Тема 3. Прогрессии
(1ч – семинар, 3ч – практикум, 1ч – контроль)
При решении задач на прогрессии важно помнить определение
арифметической и геометрической прогрессии, которые помогут
записать п-ый член и вывести сумму п-х членов любой прогрессии.
ап  а1  d n  1,
bn  b1  q n1 ,
Sn 
a1  an   n ,
2
b q 1
Sn  1
.
q 1

n

Задача 1. найти сумму первых двадцати членов
арифметической прогрессии, если известно, что сумма третьего,
седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членной этой прогрессии
равна 10. Ответ. 1 .
3
Задача 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии,
если произведение первого и девятого членов этой прогрессии равны
2304, а сумма четвертого и шестого членов равна 96
Ответ. (-1;1)
Тема 4. Текстовые задачи.
(6ч – практикум, 1ч – контроль)
Решение задач – важнейшие умения, связанные с применением
теоретических знаний на практике, более глубоким их пониманием и
усвоением. Возникают трудности при решении задач, содержащиеся в
отсутствии пространственного представления, практических навыков.
Решение данной проблемы представляется в системности, с целью
которой данный раздел был включен в подготовку к ЕГЭ.
140
В конце курса знания учащихся проверяются проведением
пробного экзамена, защитой проектных работ в форме презентации.
7.Планы занятий
№
Тема занятия
Кол-во
заняти
й
Тип занятия
Цель
Лекция
1
Уравнения и
неравенства
1
2
Рациональные
уравнения и
неравенства
2
3
Иррациональные
уравнения и
неравенства
2
4
Тригонометрическ
ие уравнения и
неравенства
2
5
Логарифмические
уравнения и
неравенства
2
6
Показательные
уравнения и
2
Показать
значимость
уравнений
и
неравенств
в
изучении
математики
Семинар,
Совершенствовать
практикум, сам. умение
решать
работа
рациональные
уравнения
и
неравенства
Практикум, тест
Обобщить
и
систематизировать
знания
об
иррациональных
уравнениях
и
неравенствах
Практикум, сам. Расширить
и
работа
углубить знания и
умения
при
решении
тригонометрически
х уравнений
Практикум,
Совершенствовать
презентация
умение
решать
«Логарифмически логарифмические
е функции»
уравнения
и
неравенства
практикум
Выработать
навыки
решения
141
неравенства
Практикум, тест
7
Системы
уравнений и
неравенств
2
Лекция, семинар
8
Производная
функции
9
Уравнение
касательной
1
1
0
Применение
производной
1
1
1
Самостоятельная
работа
«Производная»
2
Практикум,
презентация
практикум
контроль
1
Семинар,
практикум
1
2
Арифметическая
прогрессия
2
Семинар,
практикум
1
3
Геометрическая
прогрессия
2
1
Тест «Прогрессии»
1
Контроль
показательных
уравнений
и
неравенств
Расширить
и
углубить знания,
Умения учащихся
по
решению
систем уравнений
и неравенств
Выработать
навыки
нахождения
производной
функции
Уметь составлять
уравнение
касательной
к
графику функции
Уметь применять
производную при
решении задач
Проверить
усвоение
учащимися темы
«Производная»
Систематизировать
знания и умения
учащихся
при
решении задач на
арифметическую
прогрессию
Систематизировать
знания и умения
учащихся
при
решении задач на
геометрическую
прогрессию
Контроль знаний
142
4
практикум
1
5
Текстовые задачи
на движение
1
Практикум
1
6
Задачи на работу
1
Практикум
1
7
Задачи на
процентное
соотношение
1
практикум
1
8
Разные текстовые
задачи
1
9
Геометрические
задачи
2
0
Контрольная
работа по теме
«Текстовые
задачи»
1
2
Практикум,
презентация
контроль
1
Контроль
2
1
Олимпиада
1
учащихся
Развивать
логическое
мышление, уметь
грамотно
и
обоснованно
записывать
решение задачи
Развивать
смекалку,
сообразительность,
логическое
мышление
Упорядочить
и
систематизировать
ранее полученные
умения
при
решении задач на
процентное
соотношение
Развивать
математическое
мышление, уметь
грамотно
и
обоснованно
записывать
решение задачи
Развивать
геометрическое
воображение
Проверить
подготовленность
учащихся
к
решению задач
Проверить
подготовленность
учащихся
к
выполнению
143
Контроль
2
2
Пробный экзамен
2
3
Итоговое занятие.
Защита проектов
«Решение
тригонометрически
х уравнений»,
«Решение
текстовых задач»,
«Решение
показательных
уравнений»
2
Контроль
заданий высокого
уровня сложности
Проверить
подготовленность
учащихся к сдаче
ЕГЭ
Провести
анализ
результатов
проведения
элективного курса
1
8. Терминологический словарь
Уравнение - аналитическая запись задачи о разыскании
значений аргументов, при которых значения двух данных функций
равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются
обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения
функций равны, – решениями (корнями); о таких значениях
неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.
Линейное уравнение - это уравнение, обе части которого могут
быть выражены многочленами (от неизвестных) первой степени.
Иррациональное уравнение - уравнение, содержащее
неизвестное под знаком радикала
Неравенство - соотношение между числами (или любыми
математическими выражениями, способными принимать численное
значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого.
Иррациональное неравенство - неравенство, в котором
неизвестная величина входит в выражения, стоящие под знаком
радикала.
Тригонометрическое уравнение - алгебраическое уравнение
относительно тригонометрической функций неизвестного аргумента.
144
Логарифмическое уравнение - уравнение, в котором
переменная находится под знаком логарифма.
Показательными называются уравнения, в которых
неизвестное содержится в показателе степени.
Произво́дная - основное понятие дифференциального
исчисления, характеризующее скорость изменения функции.
Определяется как предел отношения приращения функции к
приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к
нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую
конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс
вычисления производной называется дифференци́рованием.
Арифметическая прогрессия - арифметический ряд первого
порядка - последовательность чисел, в которой каждый член (начиная
со второго) получается из предыдущего путем прибавления к нему
одного и того же числа, называемого разностью этой арифметической
прогрессии.
Геометрическая прогрессия – это последовательность,
каждый член которой, начиная со второго, равен произведению
предыдущего на константу.
Система уравнений - несколько уравнений, для которых
требуется
найти
значения
неизвестных,
удовлетворяющие
одновременно всем этим уравнениям.
9. Рекомендуемая литература
1.
А.В.Борзенков.
Математика:
практикум
для
старшеклассников и абитуриентов / Волгоград: Учитель, 2009.
2.
Е.В.Мирошкина. Математика. 10-11 классы. Уравнения
и неравенства. Приемы, методы, решения. Волгоград: Учитель, 2009.
3.
Т.В.Белоненко. Сборник конкурсных задач по
математике. – СПб.: Специальная литература, 1997.
4.
Л.О.Денищева. Единый государственныйэкзамен. 20062009. Математика: учеб.-трениров. Материалы для подготовки
учащихся. М.: - Интеллект-центр, 2006.
145
СОДЕРЖАНИЕ
Учебный курс «Искусство вычислять» для 5 кл.
4
Учебный курс «Задачи логического характера» для 6 кл
Учебный курс «Задачи прикладной направленности» для 7
кл.
Учебный курс «Региональные задачи с прикладной
направленностью» для 8 кл.
Элективный курс «Решение неравенств методом
интервалов» для 9 кл.
Элективный курс «Уравнения и неравенства с модулями»
для 10 кл
Элективный курс «Решение заданий ЕГЭ части В и С» для
11 кл.
25
32
60
93
115
137
146