Множество значений функции. Наибольшее и наименьшее

Методические рекомендации для изучения темы « Множество значений
функции. Наибольшее и наименьшее значения функции».
В самой математике главные средства
достигнуть истины – индукция и аналогия.
Дано: y  f (x) - функция. Обозначим X - область определения функции.
Множеством (областью) значений функции называется множество всех тех значений,
которые может принимать функция ( y ) .Геометрически это означает проекция графика
функции на ось OY .
Если существует точка x 0  X такая, что для любого x из множества X имеет место
неравенство f ( x)  f ( x0 ) , то говорят, что функция y  f (x) на множестве X принимает в
точке x 0 свое наименьшее значение y  f ( x0 )
Если существует точка x 0  X такая, что для любого x из множества X имеет место
неравенство f ( x)  f ( x0 ) , то говорят, что функция y  f (x) на множестве X принимает
в точке x 0 свое наибольшее значение y  f ( x0 ) .
Функция y  f (x) называется ограниченной снизу на множестве X , если
существует такое число A , что для любого x из множества X справедливо неравенство
f ( x )  A . Геометрически это означает, что график функции находится не ниже прямой
y  A.
Функция y  f (x) называется ограниченной сверху на множестве X , если
существует такое число B , что для любого x из множества X справедливо неравенство
f ( x )  B . Геометрически это означает , что график функции находится не выше прямой
yB
Функция y  f (x) называется ограниченной на множестве X , если она ограничена на
этом множестве снизу и сверху. Ограниченность функции означает, что ее график
находится внутри некоторой горизонтальной полосы.
Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом (n  2) :
1
a  b  2 ab ( a > 0 , b >0)
Пример: x   2
x
Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке
(отрезок, интервал, луч)
Свойства непрерывных на отрезке функций.
1.Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего и
своего наименьшего значений.
2.Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на
концах отрезка, так и внутри него
3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в
стационарной или критической точке.
Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции
y  f (x) на отрезке a; b
'
1. Найти производную f ( x) .
2. Найти стационарные и критические точки, лежащие внутри отрезка a; b .
3.Найти значения функции y  f (x) в отобранных стационарных и критических точках и
на концах отрезка, т. е. f (a ) и f (b ) .
4.Среди найденных значений выбрать наименьшее ( это будет y наим ) и наибольшее( это
будет y наиб )
Свойства непрерывных монотонных на отрезке a; b функций:
Непрерывная возрастающая на отрезке a; b функция y  f (x) достигает своего
наибольшего значения при x  b , наименьшего – при x  a .
Непрерывная убывающая на отрезке a; b функция y  f (x) достигает своего
наибольшего значения при x  a , наименьшего – при x  b .
Если значение функции f (x) неотрицательно на некотором промежутке, то эта
функция и функция ( f ( x)) n , где n – натуральное число, принимает наибольшее
(наименьшее) значение в одной и той же точке.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на
интервале (a; b) или на луче
(задачи на оптимизацию).
Если непрерывная функция имеет на интервале или луче единственную точку
экстремума и этот экстремум максимум или минимум, то в этой точке достигается
наибольшее или наименьшее значение функции ( y наиб или y наим )
Применение свойства монотонности функций.
1.Сложная функция, составленная из двух возрастающих функций, является
возрастающей.
2.Если функция y  f (x) возрастает, а функция y  g (x) убывает, то функция f ( g ( x)) убывающая.
3. Сумма двух возрастающих (убывающих) функций, функция
возрастающая(убывающая).
4. Если в уравнении f ( x)  a левая часть - возрастающая (или убывающая) функция , то
уравнение имеет не более одного корня.
5.Если функция y  f (x) - возрастающая (убывающая), а функция y  g (x) - убывающая
( возрастающая), то уравнение f ( x)  g ( x) имеет не более одного решения.
6. Уравнение f ( x )  p имеет хотя бы один корень в том и только том случаи, когда p
принадлежит множеству значений E ( f ) функции f .
Применение свойства ограниченности функций.
1. Если левая часть уравнения (неравенства) f ( x)  g ( x) ( f ( x)  g ( x)) меньше либо равна
некоторого числа A ( f ( x )  A ), а правая часть больше либо равна этому числу ( f ( x )  A ),
 f ( x)  A
то имеет место система 
решение которой и является решением самого
 g ( x)  A
уравнения (неравенства).
Задания для самоконтроля
Найти:
150
на  1;1.
10 x  5 x
2. Наибольшее значение функции y  2  log 8 (2  x ) на  3;6 .
1. Наибольшее значение функции y 
3. Наименьшее значение функции y  2 cos x 

5 
 5 17 
.
 , если x   ;
12 
 4 12 
4. Разность между наибольшим и наименьшим значением функции
y  49  x 2 на  2 10 ;2 6 .
5. Наименьшее целое значение функции y  9  2 sin xcos 3 x sin 3 xcos x 1 .
x 2 1
6. Множество значений функции y  2
.
7. Наибольшее и наименьшее значение функции y  2 x 2  5x  7 на 3;4 .
8. Наименьшее значение функции y  log 3 (16  x 2 ) на 0; 7  .
9. Наибольшее и наименьшее значение функции y  4  23 x  27  2 2 x  24  2 x
на  2;0.
10.Множество значений функции y  16  x 
3x
, если x  0.25 .
x


 .

80
4
 13  log 5 125  x
11.Множество значений функции y  log 0.2 
12.Множество значений функции y 
8

 



arctg 0.25 3 sin x  cos x  2 .
5
13.Множество значений функции y  sin 2 x , если x  arccos( 0.8);  .
12 

14.Наибольшее значение функции y  3  x 2  5  3  x 2  x 3  6 x 2 .
Применение:
 x2  4 
  2 x  2  x
 6 
1. Решить уравнение: 2 cos 2 
2. Решить неравенство: 2 x  2  x 2  3 x
2
2 x 2
3. Найти все значения p , при которых уравнение 2 cos 2 x 
решение.
p
 12 имеет
sin x
Домашнее задание
1.Найдите наибольшее значение функции:
 

g ( x)  4 cos x   , если x   5 ; 17  .
12 

 4 12 
2. Найдите наименьшее значение функции:
f ( x)  log 1 3  x 2  .
3
3. Найдите наибольшее целое значение функции:
1
g ( x)  32,4 
3
3 cos(2 x  )
.
4. Найти произведение наибольшего и наименьшего значения функции:
y  2 sin 2 x  cos x
5. Найдите наибольшее значение функции:
f ( x) 
x
1 x2
на интервале
0;
6.Найти наибольшее значение функции:
y  2,7e 2 x
2
 x3 4
на
1;3