«Наибольшее и наименьшее значения функции». Урок по алгебре и началам анализа

«Наибольшее и наименьшее значения
функции».
Урок по алгебре и началам анализа
в 10 классе.
МБОУ СОШ №3
Учитель математики
Солдатова Л.В.
2012-2013 учебный год.
1
Тема урока: «Наибольшее и наименьшее значения функции».
Слайд 2.
Цель урока:
 проверить усвоение учащимися исследования функций и построения
графиков;
 ввести правило нахождения наибольшее и наименьшее значения
функции;
 сформировать у учащихся умение применять алгоритм нахождения
наибольшее и наименьшее значения функции;
 рассмотреть применение метода поиска наибольших и наименьших
значений функции на примерах;
 развивать логическое мышление;
 воспитывать культуру речи учащихся, умение наблюдать, обобщать и
делать выводы.
Слайд 3.
Задачи урока:
 закрепить вычислительные навыки;
 продолжить работу над математической речью;
 развивать навыки самостоятельной работы, работы с учебником,
навыки самостоятельного добывания знаний;
 продолжить работу над развитием самостоятельности мышления,
мыслительных операций: сравнения, анализ, синтез, обобщение,
аналогия;
 развивать творческие способности учащихся.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование:
 учебник Колмогорова А.Н. алгебра и начала анализа для 10-11
классов;
 справочник для 10 класса;
 ПК учителя, мультимедийный проектор;
 Презентация по теме: наибольшее и наименьшее значения функции.
2
План урока:
I. организационный момент;
II. постановка цели;
III. проверка ранее изученного материала (самостоятельная работа);
IV. объяснение нового материала;
V. закрепление изученного материала;
VI. итог урока;
VII. домашнее задание.
Ход урока:
I.
II.
Организационный момент:
 приветствие;
 собрать домашнюю работу на проверку.
Постановка цели.
o Проверить умение исследовать функцию с помощью
производной и построения графика.
o Познакомиться с правилом нахождения наибольшее и
наименьшее значения функции научиться применять его при
решении заданий.
Слайд 4.
III.
Самостоятельная работа.
Собрать на проверку.
Вариант 1.
Вариант 2.
Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график:
8
16
У(х)=2х4 + х3
У(х)=4х4 − х3
3
3
Слайд 5.
IV.
Объяснение нового материала.
1. Решение многих практических задач часто сводится к нахождению
наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке
функции.
2. Теорема Вейерштрасса утверждает, что непрерывная на отрезке [а; в ]
3
Функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее
значения, то есть существуют точки отрезка [а; в ], в которых f
принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.
Для случая, когда функция f не только непрерывна на отрезке [а; в],
но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек,
укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений f.
Предположим сначала, что f не имеет на отрезке [а; в], критических
точек. Тогда она возрастает (рис.112) или убывает (рис.113) на этом
отрезке, и, значит наибольшее и наименьшее значения функции f на
отрезке [а; в ] - это значения в концах а и в.
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; в ] конечное число
критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; в] на конечное
число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому
наибольшее и наименьшее значения функции f на таких отрезках
принимаются в их концах, т. е. в критических точках функции или в
точках а и в.
Слайд 6.
Здесь возможны варианты – некоторые из них представлены на рис.
1-3. (Слайды). Смотрите на рис. 1 и наибольшее и наименьшее
значения достигаются внутри отрезка. На рис 2 наименьшее значение
достигается внутри отрезка, а наибольшее – в конечной точке. На рис.3
и наибольшее и наименьшее значения достигаются в концевых точках.
Рис.1
Рис. 2
Рис.3
у
у
у
У наиб.
У наиб.
У наиб.
У наим
а
Унаими
в х
а
в х
а
в
х
У наим.
м.
Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри
отрезка, то только в критической точке. В этом случае ничего
4
удивительного, поскольку в этом случае наибольшее (или
наименьшее) значение функции одновременно является экстремумом,
а экстремум достигается только в критической точке.
Таким образом, чтобы найти наибольшее или наименьшее значение
функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек,
нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на
концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и
наименьшее.
Слайд 7.
3.Применяя при решении прикладных задач по следующей схеме:
 задача переводится на язык функции. Для этого выбирают
удобный параметр х, через который интересующую нас величину
выражают как функцию f(x);
 средствами анализа ищется наибольшее и наименьшее значения
этой функции на некотором промежутке;
 выясняется, какой практический смысл (в терминах
первоначальной задачи), имеет полученный (на языке функций)
результат.
Слайд 8.
4.Подводя итог сказанному, запишем в тетрадях:
На отрезке [а; в].
Текстовые задачи (открытый
промежуток).
1) f‘(x₀);
2) f‘(x₀) = 0 критические точки;
3) Выбираем х₀ принадлежащие [а; в];
4) Определяем f(a), f(b), f(x₀);
5) выбираем наибольшее и наименьшее
значения.
6) Ответ: max f(x)=f(x₀)=? min f(x)=f(x₀)=?
1) Задаем переменную х по условию
задачи;
2) Задаем функцию по условию
задачи;
3) Определяем интервал для х;
4) f‘(x₀);
5) f‘(x₀) = 0 критические точки;
6) Выбираем х₀ принадлежащие (а; в);
7) определяем знаки производной в
отрытом промежутке.
8) Ответ: max f(x)=f(x₀) = ? min f(x)=f(x₀) = ?
[а; в]
[а; в]
[а; в]
[а; в]
5
Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений
непрерывной функции у = f(x) на отрезке [а; в ].
1) найти производную 𝑓 / (x);
2) Найти критические точки функции, т.е. в которых 𝑓 / (x)=0 или 𝑓 / (x) не
существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [а; в ].
3) Вычислить значения функции у = f(x) в точках, отобранных на втором
шаге, и в точках а и в; выбрать среди этих значений наименьшее это
будет у наим. и наибольшее у наиб , которые обозначают и так:
max y(x) и min y(x).
[а; в ].
[а; в ].
Слайд 9.
5.Проиллюстрируем данный алгоритм на примере решение на доске.
Пример 1.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у =𝑥 3 − 3𝑥 2 −
45х +1на отрезке [−4; 6 ].
D(y) =R.
1) у/ = 3𝑥 2 − 6х − 45;
2) Производная существует при всех значениях х,
критические точки найдем из условия у/ = 0;
3𝑥 2 − 6х − 45 = 0;
𝑥 2 − 2х − 15 = 0;
х1 = −3 ∈ [−4; 6 ].
х2 = 5 ∈ [−4; 6 ].
Х
-4
у
69
-3
82
5
-174
6
-161
Таким образом, унаим.=-174 (достигается в точке х=5);
Унаиб.=82 (достигается в точке х = -3).
Ответ: max y(x) = у(-3)=82 и min y(x) = у(5)=-174.
[−4; 6 ].
[−4; 6 ].
Слайд 10.
Пример 2.
№313 учебника.
6
Кусок проволоки длиной 48м сгибают так, чтобы образовался
прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы
его площадь была наибольшей? Пусть хм ширина прямоугольника, тогда
(24-х) м длина прямоугольника. х∈ (0; 24). Найти S наиб.
S (х)= х(24-х) = 24х-𝑥 2 . S / (х)=24-2х;
S / (х)=0 при х=12∈ (0; 24).
/
S (х)
S (х)
S (х)
(0; 12)
+
↗
возрастает
12
144
мах
(12;24)
↘
убывает
Ответ: наибольшее значение площади прямоугольника 144 м2 .
V.
Закрепление изученного материала.
1. №:305(а; б) на доске.
Слайд 11-12.
2. Самостоятельная работа в парах.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у =1/2𝑥 4 − 2х +3/2 на отрезке [−1; 2 ].
№ 312 (задача).
VI.
Итог урока.
Выборочно оценить самостоятельную работу.
Еще раз повторяем по таблице два различных случая отыскания
наибольшего и наименьшего значения функции.
VII.
Домашнее задание: п.25 №305(в, г), 306(а), 311.
7