РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ РАВНОВЕСИЙ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ
УСЛОВИЯХ ИДЕАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ
Зароченцев В.М., Рутковский А.Л., Болотаева И.И.
Целью работы является развитие методов математического моделирования
термодинамических равновесий в нестационарных условиях идеального смешения.
Скорость реакции можно описать кинетическим уравнением [1]
 E  n g
 E  m q


rAi  k1 exp   1  [ A] gg  k 2 exp   2  [ B]q q
 RT  g 1  i
 RT  q 1  i
где rAi 
(1)
d [ A]i
– скорость реакции по веществу Ai,k – константы уравнения Аррениуса
d
[2], E– энергии активации, R – универсальная газовая постоянная, T – температура, [A],
[B] – концентрации соответствующих веществ, , – порядки реакции по
соответствующим веществам.
Допустим, что химическая реакция протекает в реакторе объемом Vв режиме
идеального перемешивания и ограниченном стенками с высокой теплопроводностью и
малой
теплоемкостью
при
определенной
температуре
окружающей
средыTS.
Необходимо найти динамическую модель, связывающую показатели процесса и
условия его проведения.
Уравнение материального баланса реакторадля одного моля ведущего вещества
A*можно представить в следующем виде [1]:
 d [ A* ]  vOut * vIn *
[ A ]  [ A ]In  rA*


V
 d  V
(2)
 d [ A* ] 
*
где  – время, 
 – полная скорость накопления вещества A в реакторе,
d



vIn и vOut – объемные скорости потоков вещества на входе и выходе из реактора,
Уравнение теплового баланса реактора, включающее потоки тепла на границах и
внутри реактора, имеет вид [1] :
qV  qIn  qOut  qs  qr  0
(3)
Слагаемые в уравнении (3) можно выразить известными соотношениями:
 теплота, накапливаемая в реакторе
1
qV  VCV V
dT
d
(4)
где CV – теплоемкость смеси внутри реактора, V – плотность смеси внутри реактора,
 тепло поступающее в реактор
qIn  C In  InTIn
dvIn
d
(5)
где CIn – теплоемкость смеси внутри реактора, In – плотность смеси внутри реактора,
TIn – температура смеси на входе в реактор
 тепло уходящее из реактора с продуктами реакции
qOut  CV V T
dvOut
d
(6)
 тепло выделяемое в процессе реакции для одного моля ведущего вещества A*
qr  H MA* rA*
(7)
где H MA* – количество тепла выделяемое на один моль вещества A* при нормальных
условиях
 тепло теряемое при теплопередаче через стенки в окружающую среду
qS  SK s
d T  TS 
d
(8)
где S – площадь поверхности на границах реактора, KS – коэффициент теплопередачи в
окружающую среду.
Константа равновесия этой реакции в общем видеописывается уравнением [1]
m
K p    j [ B] j
j 1
n
 [ A]
i
i
(9)
i 1
Константа равновесия связана с температурой и тепловым эффектом реакции по
известному соотношению [2]
G  RT ln( K p )  H  TS
(10)
где G,H,S – энергия Гиббса, энтальпия и энтропия реакции.
Возьмем производные от энтальпии и энтропии по времени с учетом скорости
превращения вещества A* :
dH A*
 H MA* rA*
d
(11)
dS A*
 S MA* rA*
d
(12)
где S MA* – энтропия на один моль вещества A* при нормальных условиях.
2
Из уравнений (9-12) получим
RT
d ln K p 
d
 rA* H MA*  TS MA* 
(13)
В свою очередь производную от логарифма константы равновесия можно выразить как
производную сложной функции [3] уравнением:
d ln K p 
d
Производная

1 dK p d [ A* ]
K p d [ A * ] d
dK p
d [ A* ]
(14)
определяется стехиометрическими соотношениями (11) и зависит
от выбора ведущего элемента A*, в общем случае представим ее в виде функции:
dK p
*
d[ A ]
 f ([ A* ])
(15)
Таким образом, получены уравнения, позволяющие рассчитать материальные и
тепловые потоки, возникающие при проведении процессов, сопровождающихся
химической реакцией.
Список литературы
1. Дудников Е.Г., Балакирев В.С., Кривосунов В.Н., Цирлин А.М. Построение
математических моделей химико-технологических объектов. Л:«Химия»,1970,
312 с.
2. Жуховицкий А.А., Шварцман Л.А. Физическая химия. М: «Металлургия», 1968,
520 с.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М: «Наука», 1980,
976 с.
3