Формула Герона

Факультатив, 8
Формула Герона.
Герон Александрийский (около I в.), древнегреческий математик и механик; дал
систематическое изложение основных достижений античности в математике и механике.
Формула Герона: Площадь S треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой S  p p  a  p  b p  c  , где p 
1
a  b  c  - полупериметр
2
треугольника.
Дано: АВС , АВ  с , ВС  a , AС  b ,
p – полупериметр АВС .
Доказать: S  p p  a p  b p  c
 Доказательство:
1) Опустим высоту СН на сторону АВ ( CH  AB , H  AB ). Пусть CH  h ,
AH  y , BH  x .
2) Из BHС по теореме Пифагора: x 2  h 2  a 2 , a 2  x 2  h 2 .
Из AHС по теореме Пифагора: y 2  h 2  b 2 , b 2  y 2  h 2 (1)

 a2  x2  b2  y 2
y 2  x2  b2  a2 ,
 y  x  y  x   b 2  a 2 , но y  x  c (2)   y  x c  b 2  a 2
1
Разделим обе части равенства на с: y  x  b 2  a 2  (3).
c
b2  a2
3) Сложим равенства (2) и (3): y  x  y  x  c 
;
c
b2  a2  c2
2y 
.
c
b2  a2  c2
Разделим полученный результат на 2: y 
.
2c
3) Подставим полученное выражение в равенство (1):

b2  a2  c2
h 2  b 2  y 2  b  y b  y    b 
2c


b  c 2  a 2  a 2  b  c 2
2c
но p 
2c


b2  a2  c2
 b 
2c

 b 2  c 2  2bc  a 2 a 2  b 2  c 2  2bc
 


2c
2c

b  c  a b  c  a a  b  c a  b  c  ,
4c 2
1
a  b  c  , т.е. a  b  c  2 p , a  b  2 p  c , a  b  c  2 p  c  c  2 p  2c  2 p  c,
2
a  c  2 p  b , a  c  b  2 p  b  b  2 p  2b  2 p  b ,
b  c  2 p  a , b  c  a  2 p  a  a  2 p  2a  2 p  a .
2 p  a   2 p  2 p  c   2 p  b  4 p p  a  p  c  p  b 

.
4c 2
c2
2 p p  a  p  c  p  b
Следовательно, h 2 
h
.
c
1 2 p p  a  p  c  p  b
c,
2
c
S  p p  a  p  c  p  b , ч.т.д. 
1
2
Но S  hc , а значит, S  
Задача (на применение формулы Герона):
Атанасян, № 525
Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до прямой
АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки
М до прямой ВС, если АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см.
Дано: АВС ,
В
 М , АВ  6 см,
 М , АС   2 см,
L
АВ = 13 см,
N
ВС = 14 см,
АС = 15 см.
М
Найти:  М , ВС  .
Решение:
А
1) По формуле Герона: p 
К
С
1
13  14  15  42  21 (см),
2
2
S ABC  21  21  13  21  14  21  15  21  8  7  6  3 2  7 2  2 4  3  7  2 2  21  4  84 (см2).
2) Соединим точку М с вершинами АВС , S ABC  S AMB  S BMC  S AMC .
3) MN   М , АВ  MN  AB , MK   М , АC   MK  AC , ML   М , BC   ML  BC .
1
1
2
2
1
1
S AMС  MK  AC   2  15  15 (см2).
2
2
5) S BMC  S ABC  S AMB  S AMC , S BMC  84  39  15  30 (см2).
4) S AMB  MN  AB   6  13  39 (см2),
1
2
6) S BMС  ML  BC  ML 
2S BMС 2  30
30
, ML 
(см).

7
BC
14
Ответ:
30
см.
7