2 заочный тур_все_классыx

2 заочный тур, 5-7 классы, 2015-16
1. Дано 6 натуральных чисел. Докажите, что среди них найдутся такие два, разность которых
делится на 5. (2)
2. Школьник сказал своему приятелю Вите Иванову: -- У нас в классе тридцать пять человек.
И представь, каждый из них дружит ровно с одиннадцатью одноклассниками... -- Не может
этого быть, — сразу ответил Витя Иванов, победитель математической олимпиады. Почему он
так решил? (2)
3. На столе лежат в ряд пять монет: средняя — вверх орлом, а остальные — вверх решкой.
Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи
нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом? (1)
4. Три друга — Пётр, Роман и Сергей — учатся на математическом, физическом и химическом
факультетах. Если Пётр математик, то Сергей не физик. Если Роман не физик, то Пётр
математик. Если Сергей не математик, то Роман — химик. Сможете ли вы определить
специальности каждого? (2)
5. На столе стоят восемь стаканов с водой. Разрешается взять любые два стакана и уравнять в них
количества воды, перелив часть воды из одного стакана в другой. Докажите, что с помощью
таких операций можно добиться того, чтобы во всех стаканах было поровну воды. (3)
6. В строчку написано 37 чисел так, что сумма любых шести подряд идущих чисел равна 29.
Первое число 5. Каким может быть последнее число? (3)
7. Сборная России по пляжному футболу выиграла у сборной Туниса со счетом 9:5. Докажите, что
по ходу матча был момент, когда сборной России оставалось забить столько голов, сколько уже
забила сборная Туниса. (3)
8. Придумайте число, в записи которого нет нулей, такое что при прибавлении к нему
произведения его цифр получается число с таким же произведением цифр. (4)
9. 100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну
фишку. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке? (3)
10. Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек
разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у
кого-то из братьев, он начинает громко барабанить. Какое наибольшее число зайчат сможет
начать барабанить? (2)
2 заочный тур, 8-9 классы, 2015-16
1. По кругу записано 20 чисел, каждое из которых равно сумме двух своих соседей.
Докажите, что сумма всех этих чисел равна 0. (4)
2. Доказать, что (𝑛3 + 3𝑛2 − 𝑛 − 3) ⋮ 48 при любом нечетном 𝑛. (3)
3. Разложить на множители 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 + 𝑥 2 𝑧 + 𝑥𝑧 2 + 𝑦 2 𝑧 + 𝑦𝑧 2 + 2𝑥𝑦𝑧. (4)
4. Среди 99 внешне одинаковых монет есть несколько фальшивых. Каждая
фальшивая монета отличается по весу от настоящей на нечетное число граммов.
Сумма весов 99 данных монет равна сумме весов 99 настоящих монет. Имеются
двухчашечные весы, показывающие разницу в граммах между весами, лежащими
на чашках. Доказать, что за одно взвешивание можно определить про любую
монету, является ли она фальшивой. (4)
5. Доказать, что число 3333...31 не делится на 7 (троек в исходном числе – 2011). (4)
6. Решить уравнение: |𝑥 + 1| − |𝑥| + 3|𝑥 − 1| − 2|𝑥 − 2| = 𝑥 + 2. (3)
7. Внутри треугольника АВС взята точка М. Доказать, что угол АМС больше угла
АВС. (3)
8. Пусть 𝑚, 𝑛, 𝑘 – различные натуральные числа.
а) Найти хотя бы одно решение уравнения 𝑚! = 𝑛! ⋅ 𝑘! (как обычно, 𝑛! = 1 ⋅ 2 ⋅
… ⋅ 𝑛). (2) б) Можно ли найти 2011 решений уравнения из п. а)? (4)
9. Дан треугольник АВС, угол ВАС равен 60о. Точка Р находится внутри
треугольника АВС, углы АРВ, АРС и ВРС равны по 120о. АВ = 𝑎. Найти площадь
треугольника ВРС. (4)
10. Изобразить на координатной плоскости все точки М(𝑥, 𝑦), координаты которых
удовлетворяют условию: |𝑥 − 𝑦| + |𝑥 − 1| + |𝑦| = 1. (4)
II заочный тур 10-11 класс 2015-2016
1. Построить график 𝑦 = √𝑡𝑔𝑥 ⋅ √𝑐𝑡𝑔 𝑥 . (2 очка.)
2.
Решить
3
уравнение:
3
6 √𝑥 − 3 + √𝑥 − 2 =
6
5 √(𝑥 − 3)(𝑥 − 2). (3очка)
3. Два круга радиусов 3 и 6 расположены один вне другого.
Найти расстояние от точки пересечения их внутренних
общих касательных до их внешней общей касательной. (3
очка)
4. Равнобедренная трапеция разбивается диагональю на два
равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции. (3)
5.
Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через точку О — центр диагоналей куба, точку
N  B1C1 , B1N : NC1  1: 3. и точку N  B1C1 , B1N : NC1  1: 4.
6. Решить уравнение: 4𝑥 + 1 = 2𝑥+1 sin 𝑦. (3)
7. Решить систему:
𝑥 + [𝑦] + {𝑧} = 3,9
{𝑦 + [𝑧] + {𝑥 } = 3,5
( [𝑥 ] − целая часть числа 𝑥, {𝑥 } −
𝑧 + [𝑥 ] + {𝑦 } = 2
дробная часть числа 𝑥) (4 очка)
8. Решить уравнение: 𝑥 5 + 𝑥 3 − √1 − 3𝑥 + 4 = 0. (4 очка)
𝑦 2 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥
9. Решить систему: { 2
(4 очка)
𝑥 = 𝑦 3 − 3𝑦 2 + 2𝑦
10. 𝐴 =
1⋅3⋅5⋅…⋅99
.
2⋅4⋅6⋅…⋅100
1
1
Доказать, что а) 𝐴 < 10, б) 𝐴 > 15. (5 очков)