Правила оформления - Институт механики сплошных сред

ВИНТОВОЕ МГД-ДИНАМО В РЕАЛЬНЫХ ПОТОКАХ В ТРУБАХ
Р.А.СТЕПАНОВ*, П.Г.ФРИК *
*
Институт механики сплошных сред,
ул. Королева, 1.
614061, Пермь,
В свете проекта по экспериментальной реализации винтового МГД-динамо исследованы условия возбуждения
магнитного поля при винтовом течении проводящей жидкости в трубе. Рассмотрены различные профили скорости,
найдены оптимальные значения толщины и проводимости стенки канала. Получены значения инкрементов нарастания
магнитного поля для всего ожидаемого диапазона параметров экспериментальной установки.
1. ВВЕДЕНИЕ
Винтовое динамо остается одним из основных кандидатов на возможную реализацию МГД-динамо в лабораторных
условиях. Это связано с относительно простой структурой потока и низким критическим значением магнитного числа
Рейнольдса, при достижении которого ожидается возбуждение магнитного поля. Прототипом винтового магнитогидродинамического динамо служит задача Пономаренко о возбуждении магнитного поля при спиральном движении без трения
твердого проводящего стержня бесконечной длины в проводящей неподвижной среде[1]. Критическое значение магнитного числа Рейнольдса Rm  UR / m , определенного в этом случае через скорость движения стержня U и его радиус
R (  m -магнитная вязкость среды) равно 17,7 [2].
Вопрос о возбуждении магнитного поля в винтовых потоках с реальными (по крайней мере, не твердотельными) профилями скорости обсуждался рядом авторов [3-5]. В [3] рассматривалось течение проводящей жидкости в зазоре между
двумя коаксиальными цилиндрами, один из которых, внутренний, совершает поступательное и вращательное движение.
Были исследованы случаи идеально проводящих и абсолютно непроводящих цилиндров. Для обоих случаев критические
значения Rm , определенного по толщине зазора и скорости внутреннего цилиндра, оказались близкими (129 и 125, соответственно). В работе [4] исследовался винтовой поток жидкости в идеально проводящей трубе. Профиль скорости описывался гладкими функциями (функциями Бесселя), и критическое число оказалось порядка 40. Различные профили потока изучались в работе [5] в связи с подготавливаемым в Риге динамо-экспериментом. В этом эксперименте винтовое движение жидкого натрия должно создаваться в цилиндре, окруженном каналом, по которому реализуется обратное течение
натрия. Расчет условий возбуждения поля в таком потоке при различных профилях потока и с учетом конечной длины
цилиндров дал значения Rm* от 15 до 30.
Мы обратились к задаче о винтовом динамо в трубе в связи с недавно предложенной схемой лабораторного динамоэксперимента [6], предполагающей реализацию динамо в нестационарном винтовом потоке жидкого натрия, возникающем в быстро вращающемся тороидальном канале после его торможения. При такой постановке задачи возникает ряд
вопросов, ответы на которые предыдущие исследования не дают. Во-первых, чрезвычайно важным становится вопрос о
необходимой толщине проводящей стенки, поскольку он напрямую связан с моментом инерции оболочки, которую нужно
затормозить за минимальное время (доли секунды). Во-вторых, способ формирования винтового потока существенно отличается от рассматривавшихся ранее, и это требует соответствующих расчетов. В-третьих, ситуацию серьезно осложняет
нестационарность течения, на фоне которого развивается динамо процесс. В начальный момент движения магнитное число Рейнольдса может превышать критическое значение почти на порядок. Время вырождения течения до порога генерации ожидается в пределах 0,5-1с и нужно учесть как изменение профиля течения, так и изменение инкрементов роста генерируемого поля. Последний вопрос связан с учетом тороидальной геометрии канала. В первом приближении можно
рассматривать движение в цилиндрическом канале (справедливом при малом отношении радиуса поперечного сечения к
радиусу тора), ограничиваясь рассмотрением дискретного спектра волновых чисел.
Ответы на поставленные вопросы и составляют содержание этой статьи.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ


Эволюция магнитного поля H в движущейся проводящей среде с полем скорости V описывается уравнением индукции

H
 

 1
 rot (V  H )  rot 
rotH  ,
t
 

(1)
где  ,  - коэффициенты электрической и магнитной проницаемости соответственно. Поле скорости считается заданным,
что представляет собой кинематическое приближение. Оно справедливо, если кинетическая энергия много больше маг Р. С. Степанов, П. Г. Фрик, 1999
нитной энергии. Рассмотрим осесимметричное винтовое поле скорости, которое в цилиндрической системе координат

{r ,  , z} имеет составляющие V (r )  {0, r (r ), v(r )} . Для такого поля скорости собственные решения уравнения (1) имеют
вид


H (r ,  , z , t )  h (r ) exp( t  i (m  kz)) ,
(2)
где  - инкремент роста; m, k - азимутальное и продольное волновые числа, соответственно. Из уравнения (1) для

радиальной и азимутальной составляющих вектора h (r ) получаем систему уравнений
hr  i(m  kv)hr 
Rm 1  d 2 hr 1 dhr  m 2  1 2 
2 im 
  2  k hr  2 h 
 2 
  dr
r dr  r
r


dh 1 
d
Rm 1  1 d  im
hr 
 h  

 hr 
dr
  dr  r
dr r 
 d 2 h 1 dh  m 2  1

2 im  
 2 
  2  k 2 h  2 hr  .
r dr  r
r
 dr
 

h  i(m  kv)h  r
(3)
Третья, продольная, составляющая поля выражается через две предыдущие из условия соленоидальности магнитного

поля   H = 0 и позволяет найти hz после решения системы (3) по формуле
hz 
mh
i hr dhr
( 
)
.
k r
dr
kr
(4)
Система (3) записана в безразмерном виде с одним безразмерным параметром Rm , определяемым через максимальную
скорость потока U , внутренний радиус трубы R и магнитную вязкость жидкости  m  (  0 ) 1 , где  0 - электрическая
проводимость жидкости.
Систему уравнений (3) необходимо дополнить граничными условиями. Пусть R1 - внешний радиус трубы (толщина

стенки d  R1  R ) и труба окружена диэлектриком (воздухом). Тогда во внешней среде rotH  0 и для безвихревого поля
можно ввести скалярный потенциал P(r , , z, t ) такой, что при r  R1

H  P .
(5)
Из условия соленоидальности получаем, что P(r,  , z, t ) должен удовлетворять уравнению
1 P  2 P 1  2 P  2 P



0
r r r 2 r 2  2 z 2
и будем искать P(r , , z, t ) в виде
P(r,  , z, t )  p(r ) exp( t  i(m  kz)) .
(6)
(7)
Из уравнений (6), (7) получаем
p 
1
m2
p  ( 2  k 2 ) p  0 .
r
r
(8)
Ограниченное при r   решение уравнения (8) имеет вид
p(r )  C H m(1) (i k r ) ,
(9)
где H m(1) ( w) - функция Ганкеля I рода порядка m , а C - произвольная постоянная.

Из условия непрерывности компонент вектора h на границе между проводящей средой и диэлектриком с учетом (2),
(5), (7), (9) получаем
k R1 dH m(1) ( w)
hr ( R1 )
,

h ( R1 ) mH m(1) ( w)
dw wi k R
(10)
hz ( R1 ) k R1
.

h ( R1 )
m
(11)
1
Выражая hz ( R1 ) из (4) и подставляя в (11) имеем
 k 2 R12


hr ( R1 )  R1hr ( R1 )  i
 m h ( R1 ) .
 m

(12)

Из условия осевой симметрии для компонент вектора h в центре цилиндра должны выполняться условия


hr (0)  h (0)  0,
при m  1,
hr (0)  h (0)  0,
при m  1.
(13)
Система (3) с граничными условиями (10), (12) и (13) представляет собой задачу на собственные значения и собственные функции линейного дифференциального функционала, которая сводится к поиску собственных значений матрицы
путем замены уравнений их конечно-разностными аналогами второго порядка точности. Существование собственных значений с Re( )  0 означает генерацию соответствующих магнитных мод. Поставленная задача решалась численно с применением QR-алгоритма[8]. Число узлов менялось от 200 до 800 в зависимости от требуемой точности вычислений.
В общем случае, электрическая проводимость стенки не равна  0 . Таким образом, функция  (r ) является ступенчатой
Рис.2.
семейства
гартмановских
функцией с разрывом при r  R , что приводит к нарушению уравнения
(1)Нейтральные
на границе.кривые
Чтобыдля
избежать
введения
дополпрофилей
скорости
при
различной
толщине
стенки:
нительных уравнений и сохранить однородность численной схемы, мы использовали гладкую аппроксимацию ступенчаd  0 (треугольники), d  0.1 (ромбы),
d  0.3 (звезды),
той функции в виде гиперболического тангенса.
d

1
k  1 , m ре(квадраты).
Все
кривые
даны
при
1,
Отправной точкой исследований явилось тестирование методики вычислений путем сопоставления с известными


1
зультатами других авторов. Конкретно, были рассчитаны случаи, приближающиеся
к случаям идеально проводящей и
1
идеально изолирующей бесконечно толстой стенки (на практике, d  0.3 , а   0.01 и   100 , соответственно). При использовании профилей скорости, рассматривавшихся в работах [3] и [4], критические значения магнитного числа Рейнольдса были воспроизведены с точностью 10%.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
В численных расчетах использовались профили скорости двух типов. Во-первых, был рассмотрен профиль вида
 cosh( )  cosh(r )
, при r  1

v(r )   cosh( )  cosh(0)

0
, при r  1
(14)
 ( r )   v(r ) ,
(15)
где  - параметр, характеризующий закрученность потока (шаг винта при твердотельном вращении),   1 . Профиль
скорости (14) есть известное решение Гартмана, возникающее при течении слоя проводящей жидкости в поперечном
магнитном поле. В нашем случае речь, конечно же, не идет о формировании профиля скорости под действием магнитного
поля, но решение (14) удобно тем, что при   1 оно практически совпадает с решением Пуазейля, а в пределе больших
 описывает столбообразное движение жидкости, давая тем самым возможность моделировать профиль потока от параболического до твердотельного. Реально при   100 , d  5 и  1  1 критическое магнитное число Рейнольдса отличается от решения Пономаренко менее, чем на 7%.
Во-вторых, для продольной скорости рассматривался логарифмический профиль, использующийся для описания поля
средней скорости в турбулентных течениях в трубах при больших числах Рейнольдса [7]
k

 1  5.75 k1 ln ( 2 ), при r  1
v(r )  
,
k2  r

0
, при r  1
(16)
где k1 и k 2 находятся из уравнений k1 (2.5 ln (k1 Re)  5.5)  1 и v(1)  0 , соответственно. Для угловой скорости попрежнему принималась гипотеза “локально твердотельного вращения” (15).
Считается [7], что логарифмический профиль (16) правильно описывает структуру осредненного поля скорости при
гидродинамических числах Рейнольдса Re  105 . В проекте динамо эксперимента предполагается, что в начальный мо-
мент после торможения поток в кольцевом канале будет характеризоваться значениями Re  107 . В пользу логарифмического профиля говорят результаты экспериментов с уменьшенной моделью (рабочая жидкость – вода, число Рейнольдса
Re  106 ) [6], в которых интегральные характеристики вырождения течения в кольцевом канале хорошо совпали с оценками, полученными на основе логарифмического профиля скорости. В то же время, на сегодня нет экспериментальных
данных, позволяющих количественно оценить связь между продольной и азимутальной компонентами скорости в реальном потоке, а также искажения профиля скорости при введении в канал дивертора для винтового закручивания потока.
Поэтому основное внимание в расчетах было уделено профилям вида (14-15), описывающим более широкий класс течений. Следует также отметить, что логарифмический профиль хорошо описывает поток всюду, за исключением области
непосредственного прилегания к стенке трубы. В расчетах это требует корректировки формулы (16) путем искусственного
зануления скорости на границе. Примеры профилей продольной скорости, использовавшихся в расчетах, приведены на
рис. 1.
Рис.1. Используемые профили скорости. Толстыми линиями показаны гартмановские профили (14) при трех значения параметра  :   1 (пунктирная),   18 (прерывистая),   100 (сплошная); тонкими линиями показаны
логарифмические профили скорости (16): Re  10 6 (сплошная), Re  10 7 (прерывистая)
С точки зрения экспериментальной реализации нестационарного динамо во вращающемся кольцевом канале особенно
важным является вопрос о необходимой толщине проводящей стенки. Рисунок 2 показывает результаты расчета критического магнитного числа Рейнольдса для трех толщин проводящей стенки трубы и профиля скорости вида (14-15) в зависимости от параметра потока  . Напомним, что толщина стенки выражена во внутренних радиусах трубы, то есть значение d  1 соответствует трубе, у которой толщина стенки равна внутреннему радиусу. Все кривые на рис. 2 соответствуют
случаю, когда проводимость стенки равна проводимости жидкости (  1  1 ). Рисунок указывает на качественное отличие в
зависимости порога возбуждения от вида профиля скорости при различной толщине проводящей стенки. При отсутствии
проводящего слоя ( d  0 ) или наличии тонкой стенки ( d  0.1 ) рост параметра  сопровождается монотонным ростом
критического значения Rm* . При достаточно толстой проводящей стенке (на рисунке показан случай d  1 ) тенденция
меняется на противоположную – теперь по мере приближения профиля скорости к твердотельному порог генерации монотонно снижается. На промежуточных значениях толщины стенки возникают кривые с минимумом. Так, для приведенного на графике случая d  0.3 минимальное значение Rm* наблюдается при   5 .
На рис. 3 показана зависимость порога генерации от электрической проводимости стенки. Все кривые вычислены для
одинакового профиля скорости (   18 , сплошные линии). Для фиксированных значений толщины стенки рассчитывалась
зависимость критического магнитного числа Рейнольдса от проводимости. Известно [2], что динамо Пономаренко становится невозможным при идеальной проводимости окружающей среды, а график зависимости Rm * ( 1 ) имеет вытянутый
минимум с выраженным ростом порога при  1  1000 . Наши вычисления показывают, что при гладком профиле скорости
минимум сдвигается в область умеренной проводимости. Так, при d  0.3 минимум нейтральной кривой приходится на
значение  1  3.5 . Уменьшение толщины стенки приводит к смещению минимума в сторону большей проводимости и
незначительному повышению самого уровня минимума. С точки зрения эксперимента желательно обеспечить низкое критическое число Рейнольдса при минимальной толщине стенки. Приемлемой представляется стенка толщиной d  0.15 . В
этом случае минимум нейтральной кривой приходится на  1  5.5 , что соответствует проводимости медной стенки при
использовании в качестве рабочей жидкости натрия.
Аналогичные вычисления были выполнены для логарифмического профиля. Первый результат состоит в том, что в интересующем нас диапазоне чисел Рейнольдса 106  Re  107 нейтральные кривые практически не зависят от точного значения Re . Это позволяет ограничиться рассмотрением одного профиля (для определенности использовалось значение
Рис.3. Зависимости порога генерации магнитного поля от
проводимости стенки при различной её толщине:
d  0.3 (треугольники), d  0.15 (звезды), d  0.05 (квадраты). Нейтральные кривые показаны для двух типов профилей скорости: гартмоновского при   18 (сплошная), лога-
Рис.4 Зависимости скорости роста магнитного поля от продольного волнового числа при различных степенях надкретичности: Rm  20 (квадраты), Rm  40 (ромбы), Rm  60
(звезды), Rm  80 (кресты), Rm  120 (треугольники).
рифмического при Re  510 (прерывистая)
6
Re  5106 ). Исследование зависимости критического значения магнитного числа Рейнольдса от толщины и проводимости стенки показало, что характер зависимости Rm * ( 1 ) не меняется. Однако в случае хорошо проводящей стенки
(  1  1 ) достигаемые минимальные критические значения магнитного числа Рейнольдса больше, чем для близких по
структуре гартмановстких профилей (см. рис.3).
Существенным для проекта нестационарного МГД-динамо является вопрос о зависимости характеристик генерируемого поля от степени надкритичности потока. В частности, вопрос о том, насколько будет меняться продольное волновое
число, соответствующее волне с наибольшим инкрементом нарастания поля. Ситуацию иллюстрирует рис. 4, на котором
показаны графики зависимости действительной части инкремента  от волнового числа для различных значений магнитного числа Рейнольдса. Расчеты выполнены для гартмановского профиля с   18 и стенки толщиной 0.15 с проводимостью  1  5.7 . Нижняя кривая соответствует подкритическому режиму. В этом случае максимум кривой (волна с самым
медленным затуханием) приходится на k  0.8 . При пороговом значении числа Рейнольдса начинается генерация волны
с k  0.88 . По мере роста степени надкритичности происходит незначительное смещение положения максимума, которое стремится к точке k  1 . Величина самого инкремента изменяется при этом от 0,02 до 0,04.
4. ВЫВОДЫ
Исследование порога генерации в винтовом потоке с различными профилями скорости показало, что влияние стенки
существенно возрастает по мере уплощения профиля (утоньшения пограничного слоя). Это означает, что при рассмотрении турбулентных режимов течения вопрос о толщине и проводимости стенки становится особенно важным.
В проектах стационарных винтовых динамо-экспериментов низкий порог генерации обеспечивается созданием толстых
буферных слоев натрия[2,5] (бесконечно толстые стенки). Обсуждаемый проект исключает такую возможность и требует
тщательной оптимизации параметров стенки трубы. Изучение влияния стенки на порог генерации позволило предложить
в качестве оптимума для натриевого эксперимента медную стенку толщиной 15% внутреннего радиуса трубы.
Получены значения инкрементов роста магнитного поля в винтовом потоке. Для предполагаемых параметров течения
в экспериментальной установке по мере эволюции нестационарного винтового течения инкремент нарастания поля
уменьшается от 50 до 10 c -1 . Это означает, что характерное время роста поля увеличивается с 0.02 до 0.1 c . Этот результат подтверждает оценки работы [6] и позволяет надеяться на то, что время эволюции винтового потока (0.5 c ) должно
быть достаточным для регистрации эффекта динамо.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ-01-00362а.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пономаренко Ю.Б. К теории гидродинамического динамо// ПМТФ. 1973. N 6. С. 47 - 51.
2. Гайлитис А.Фрейберг Я.Ж. К теории винтового МГД-динамо// Магнит. гидродинамика. 1976. N 2. С. 3 - 6.
3. Соловьев А.А. Существование магнитного динамо для динамически возможного движения проводящей жидкости//
ДАН СССР. 1985. Т. 282. С. 44 - 48.
4. Лупян Е., Шукуров А. Винтовое динамо в реальных потоках// Магнит. гидродинамика. 1992. N. 3. С. 29 - 36.
5. Stefani F., Gerbert G., Gailitis A. Velocity profile optimization for the Riga dynamo experiment// In “Transfer Phenomena in
MHD Flows”, Aussois, France, 1997. Vo1. P. 27 - 32.
6. Денисов С.А., Носков В.И., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Хрипченко С.Ю. О возможной лабораторной реализации
нестационарного МГД-динамо// Докл. РАН. 1999. (в печати).
7. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. С. 742.
8. Крылов В., Бобков В., Монастырский П. Начало теории вычислительных методов. Линейная алгебра и нелинейные
уравнения. Мн.: Наука и техника, 1985. С 280.
MHD SCREW-DYNAMO IN REAL FLOWS IN A TUBE
R.A.Stepanov, P.G.FRICK
The kinematic dynamo problem for the screw flow of conductive fluid in a tube is considered in the frame of experimental dynamo project, which implies the realization of dynamo in a nonstationary screw flow in a toroidal channel. Different velocity profiles are studied. The optimal thickness and conductivity of the tube wall are found. The rate of magnetic field generation is evaluated for the whole range of possible parameters of future experimental apparatus.