Двойной интеграл

Практическое занятие 2 Двойной интеграл
2.1 Определение и свойства двойного интеграла
2.2 Вычисление двойного интеграла путем сведения к повторному интегралу
2.1 Определение и свойства двойного интеграла
Пусть G замкнутая область (замкнутое связное множество)
пространства 2 , f  x; y  – произвольная функция, определенная и ограниченная на этом множестве (рисунок 2. 1).
Рисунок 2. 1 – Разбиение множества G
Будем предполагать, что граница области G состоит из конечного числа непрерывных кривых, y x  или x y  . И пусть
   Gi i 1 , Gi  G j   , разбиение области G . Обозначим S i
n
i j
– площадь Gi , d  Gi   sup   x; y  – диаметр областей G i ,
x , yGi
  max d Gi  – мелкость разбиения. В каждой части G i выбе1i  n
рем произвольную точку Ci  i ;i  . Тогда f  i ;i  – значение
функции в этой точке.
Сумма
n
 n  , Ci    f  i ; i   S i
i 1
26
(2.1)
называется интегральной суммой Римана для функции f  x; y 
на множестве G , соответствующей разбиению  и выбору точек Ci  i ;i  .
Если функция f  x; y  , ограничена на G , то для любого раз-
биения    Gi  , i  1,2,..., n , определены числа:
mi  inf
 x; y Gi
Суммы s 
n
 m  S
i
i
f x; y  , M i  sup f x; y  .
 x ; y Gi
, S 
i 1
n
M
i
 S i называются нижней
i 1
и верхней суммами Дарбу, соответствующими разбиению  .
Двойным интегралом от функции f  x; y  по замкнутой области G называется предел (если он существует) интегральной
суммы (2.1) при   0 :

G
n
f  x; y  dS  lim  f i ;i   Si ,
 0
(2.2)
i 1
подынтегральная функция f x; y  называется интегрируемой на
множестве G , множество G – областью интегрирования, x , y
– переменными интегрирования, dS – элементом площади.
Теорема 1 (необходимое условие интегр ируе м о с т и ) Если функция z  f x; y  интегрируема на области
G , то она ограничена на этом множестве.
Теорема 2 (достаточное условие интегр ир у е м о с т и ) Если функция z  f x; y  непрерывна в области
G , то она интегрируема в этой области.
Теорема
3
(критерий
интегрируемости
Д а р б у ) Для того чтобы ограниченная функция была интегрируема в замкнутой области G  2 , необходимо и достаточно,
чтобы для любого   0 нашлось такое   0 , что для любого
разбиения    Gi  с мелкостью      выполнялось неравенство S  s   .
Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой на множестве G функции f  x; y  предел интеграль-
27
ных сумм существует и не зависит от разбиения области на части. Поэтому, не ограничивая общности, можно разбивать область интегрирования G на части прямыми, параллельными координатным осям (рисунок 2. 2). Тогда S i  xi  yi . Учитывая,
что dS  dxdy , можно записать:
 f x; y dS   f x; y dxdy .
G
G
Рисунок 2. 2 – Разбиение области G на части прямыми,
параллельными координатным осям
Основные с в о й с т в а двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла:
–
 dS   dxdy  S , где S
G
– площадь области G ;
G
– (линейность) если  и  – произвольные постоянные числа, функции f x; y  и g x; y  интегрируемые в области G , то
функция   f x; y     g x; y  тоже интегрируема в G и справедливо равенство:
 f x; y   g x; y dxdy    f x; y dxdy    g x; y dxdy ;
G
G
G
– (аддитивность) если область G является объединением
областей G1 и G 2 , не имеющих общих внутренних точек, на
каждом из которых f x; y  интегрируема, то функция f x; y 
также интегрируема в области G и справедлива формула:
 f x; y dxdy   f x; y dxdy   f x; y dxdy ;
G
G1
G2
28
– если в области G имеет место неравенство f  x; y   0 , то
справедливо неравенство
 f x; y dxdy  0 ;
G
– (монотонность) если f x; y  и g x; y  интегрируемы в области G и f x; y   g x; y  в любой точке  x; y   G , то
 f x; y dxdy   g x; y dxdy ;
G
G
– если функция f x; y  непрерывна в замкнутой области G ,
площадь которой S , то
mS 
 f x; y dxdy  M  S ,
G
где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции на множестве G ;
– (теорема о среднем) если функция f x; y  непрерывна в
области G , площадь которой S , то существует такая точка
P0 x0 ; y0   G , что выполняется неравенство:
 f x; y dxdy  f x ; y   S ;
0
0
G
– произведение интегрируемых в области G функций есть
интегрируемая функция;
– если функция f x; y  интегрируема в области G , то функция f x; y  интегрируема в G и справедливо неравенство:
 f x; y dxdy   f x; y  dxdy .
G
G
2.2 Вычисление двойного интеграла путем сведения к повторному интегралу
Рассмотрим двойной интеграл по прямоугольнику
D    x; y  a  x  b, c  y  d 
со сторонами, параллельными осям координат.
29
Т е о р е м а 1 Пусть
1) для функции f x; y  в прямоугольнике D существует
двойной интеграл
 f x; y dxdy ;
D
2) для каждого x из отрезка a; b  существует определенный интеграл I  x  
d
 f x; y dy .
c
Тогда
существует
повторный
интеграл
d

I x dx   f x; y dy dx и справедливо равенство:


a
ac

b d


(2.3)
f x; y dxdy   f x; y dy dx .


D
ac

b d


Повторный интеграл  f x; y dy dx можно записывать в


ac

b
b





виде
b
d
a
c
 dx f x; y dy .
Если в теореме 1 поменять ролями x и y , то существует повторный интеграл
d
b
c
a
 dy f x; y dx и справедлива формула

d
b
c
a
f x; y dxdy  dy f x; y dx .
 
D
(2.4)
Пусть   x  ,   x  непрерывные на отрезке a; b  функции и
 x     x  x  a; b  .
Область
G
  x; y  a  x  b,   x   y    x  
элементарной относительно оси Oy .
30
называется
Область
G
  x; y    y   x    y  , c  y  d 
называется
элементарной относительно оси Ox . Здесь функции   y  и
  y  непрерывны на отрезке c; d  и   y     y  .
Т е о р е м а 2 Пусть
z  f  x; y 
1)
функция
определена
в
области
G
  x; y  a  x  b, y  x   y  y
1
прерывные функции,
a; b ;
 x   , где y1  x  и
y1 x   y2 x  для любого x
2
2) существует двойной интеграл
y 2  x  – не-
из отрезка
 f x; y dxdy ;
G
a; b
3) для каждого x из отрезка
ный интеграл I x  
существует определен-
y2  x 
 f x; y dy .
y1 x
Тогда
существует
b
b
y2  x 
a
a
y1 x
повторный
интеграл
 I xdx   dx  f x; y dy и справедливо равенство
b
y2  x 
a
y1 x
 f x; y dxdy   dx  f x; y dy .
G
(2.5)
Если в теореме 2 поменять ролями x и y , то существует повторный интеграл
d
x2  x 
c
x1 x
 dy  f x; y dx и справедлива формула

d
f x; y dxdy  dy
x2  x 
  f x; y dx .
G
c
(2.6)
x1 x
Если область интегрирования не удовлетворяет условиям
теоремы 2 (прямые (вертикальные или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках), то необходимо данную область разбить на части, каждая из которых удовлетворяет
условиям теоремы 2, и сводить к повторному каждый из соответствующих интегралов.
31
Вопросы для самоконтроля
1 Что называется интегральной суммой функции f  x; y  ?
2 Какие суммы называются верхней и нижней суммой Дарбу?
3 Дайте определение двойного интеграла.
4 Сформулируйте необходимое и достаточное условия интегрируемости функции двух переменных.
5 В чем суть критерия интегрируемости?
6 Перечислите свойства двойного интеграла.
7 Сформулируйте теорему о вычислении двойного интеграла
в случае прямоугольной области.
8 Сформулируйте теорему о вычислении двойного интеграла
в случае произвольной области.
9 Как вычислить двойной интеграл по области, не являющейся элементарной?
Решение типовых примеров
1 Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле,
если область G (рисунок 2. 3) ограничена линиями y  x 2 ,
x  a , a  0 , y  0.
Р е ш е н и е . Областью интегрирования является криволинейная трапеция, ограниченная сверху параболой y  x 2 , снизу –
осью Ox , справа – прямой x  a , a  0 .
Если внутренний интеграл взять по y , то y изменяется от 0
до y  x 2 , а x изменяется в пределах от 0 до a :

G
a
x2
0
0
f  x, y  ds   dx  f  x, y  dy .
Если внутренний интеграл взять по x , то x изменяется от 0
до x  y , а y изменяется в пределах от 0 до a 2 :

G
a2
a
f  x, y  ds   dy  f  x, y  dx .
0
32
y
 f  x, y  dxdy в
2 Представить двойной интеграл
виде по-
G
вторного интеграла при разных порядках интегрирования по x и
по y , если область G ограничена линиями y  2 x , x  0 ,
y  x  3 (рисунок 2. 4).
Р е ш е н и е . Областью интегрирования является треугольник
с вершинами O 0;0  ; A0;3 ; B 1;2  .
Рисунок 2. 3 – Область интегрирования для типового примера 1
Рисунок 2. 4 – Область интегрирования для типового примера 2
Если внутренний интеграл взять по y , то область G рассмотрим как криволинейную трапецию, ограниченную слева
прямой x  0 , справа – прямой x  1 ; снизу – прямой y  2 x ,
сверху – прямой y  x  3 . Отсюда 0  x  1 , 2 x  y  3  x . Поэтому пределы расставятся следующим образом:

1
3 x
0
2x
f  x, y  dxdy   dx
G
 f  x, y  dy
Если внутренний интеграл будем брать по x , то область G
разбивается прямой y  2 на две непересекающиеся области:


y
G1    x; y  0  x  , 0  y  2 x  ,
2


G2    x; y  0  x  3  x, 2  y  3 .
Используя свойство аддитивности интеграла, получим:
 f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy 
G
G1
G2
2
y
2
3
3 y
0
0
2
0
  dy  f  x, y  dx   dy
 f  x, y  dx .
33
3 Вычислить двойной интеграл
 x
2
ydxdy по области, огра-
G
ниченной линиями y  0 , y  2x 3 , x  y  3 .
Р е ш е н и е . Область интегрирования G состоит из двух непересекающихся областей G1 и G2 (рисунок 2. 5).
Рисунок 2. 5 – Область интегрирования
для типового примера 3
Рассмотрим различный порядок интегрирования. Сначала
вычислим внешний интеграл по переменной x . В этом случае
исходный интеграл сводится к вычислению двух интегралов по
областям
G1 
  x; y  0  x  1, 0  y  2x  ,
3
G2    x; y  1  x  3, 0  y  3  x .
Тогда

1
2 x3
3
3 x
 
 
0
1
x ydxdy  dx x 2 ydy  dx x 2 ydy
2
G
0
0
Изменив порядок интегрирования, получим:


1


G   x; y  0  y  2, 3 y  x  3  y  .
2




Тогда
3 y
3 y
 x3 
x
ydxdy

dy
x
ydx

ydy

G
0 3 
0  3  3 
y/2
y/2
2
2
2
2
34
2

1
30

2
y
1 
y

3
y 3  y   dy 
y 27  27 y  9 y 2  y 3  dy 
2
30 
2


2
1  27 2 1 5 9 4 275 3 
154
 
y  y  y 
y  
.
3 2
5
4
30
 0 45
dxdy
4 Вычислить 
, если G – прямоугольник
2
G  x  y  1
G   x 1  x  2,0  y  1 .
Р е ш е н и е . Относительно переменных y  x и y интегралы
dx
dy
и
табличные, поэтому двойной инте2
x  y  1
x  y  12
грал сведем к следующему повторному:


2
dxdy
1
dy
2
1
1
0
d x  y  1
 x  y  1   dx x  y  1   dx x  y  1
2
D
2
1
0
2

1
2

 
1
1 
1



1    x  y  1   dx  1   x  2  x  1  dx 
0

2
   ln  x  2   ln  x  1 
5 Вычислить
2
1
  ln 4  ln 3  ln 3  ln 2  ln
3 3
9
 ln .
42
8
xdxdy
, где G – область, ограниченная пара2
 y2
 x
G
1
болой y  x 2 и прямой y  x .
2
Р е ш е н и е . Найдем точки пересечения параболы и прямой:
1 2 
1 2

 x 2  2 x  0  x1  0 ; x2  2
y  x
x  x



2
2



y

x
y  x



y  x
y  x
Получаем точки: O 0;0  и A2;2 
1
Итак, снизу область G ограничена параболой y  x 2 , сверху
2
– прямой y  x :
35
1


G   x 0  x  2, x 2  y  x  .
2


Отсюда получаем:
2
x
2
x
xdxdy
xdy
dy

dx

xdx
G x 2  y 2 0 1 x 2  y 2 0 1 x 2  y 2 
2
2
2
x
y
  arctg
x
x
0
x
2

x
1 2
x
2
2

dx 


2
 arctg y

x
0

x
x
1 2
x
2

dx 


x
x
x


  arctg  arctg dx    arctg dx 
x
2
4
2


0
0
2
2




4
x
2dx 

u  arctg , du  2
,
x

 arctg dx 
2
x 4 


2
0
vx
dv  dx

2
x
2
0


x
   x arctg

4 
2



2


2



2
2 xdx  
d x2  4
 2
  2 arctg1 

x  4  2
x2  4
0
0
2
2
0
 ln x 2  4


2
0

 ln 8  ln 4  ln
8
 ln 2 .
4
Задания для аудиторной работы
1 Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику:
xdxdy
а) 
, G    x; y  1  x  2,4  y  6  ;
y2
G
б)
  x
2
 y 2  dxdy , G    x; y  0  x  1,0  y  1 .
G
2 Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, к которому сводится двойной интеграл
 f x; y dxdy
G
функции f x; y  , непрерывной в указанной области:
а) G ограничена линиями y  x 2 , y  4 ;
36
от
б) G определена неравенствами x 2  y 2  9 , x  y  3 .
3 Вычислить интегралы:
x  y dxdy , G ограничена линиями y  2  x 2 ,
а)

G
y  2x 1 ;
 cos 2 x  sin y dxdy ,
б)
ограничена линиями
G
x0,
G
y  0 , 4x  4 y    0 ;
в)
 x
2

 2 y dxdy , G ограничена линиями y  x2 , y  4 ;
G
г)

G
д)
1
x2
dxdy , G ограничена линиями y  , y  x , x  2 ;
2
y
x
 6 x
2

y  8 xy3 dxdy , G ограничена линиями x2  y  2 ,
G
y3  x2 ;
е)

xdxdy
1  x

3
y2 2
, G ограничена линиями x2  y 2  1 , x  0 ,

y  0 (первая четверть).
4 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле,
предварительно изобразив на рисунке область интегрирования:
G
а)
б)
4
2 x 3
0
x2
2
1
x2
 dx  f x, y dy ;
 
dx
2
в)
2
f x, y dy ;
г)
2
x
1
1
x
 dx f x, y dy ;
4
д)
x2
6
7 x
1
6
x
 dx  f x, y dy ;

2 x
0
1

е) dx
0
Задания для домашней работы
37
 f x, y dy ;
dx
4x x2
1 x 2
 f x, y dy .
1
1 x 2
2
1 Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику:
ydxdy
а)
, G    x; y  2  x  4,6  y  8  ;
x2
D

б)
 3xy
2

 4 y 3 dxdy , G    x; y  0  x  1,1  y  2  .
D
2 Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, к которому сводится двойной интеграл
 f x; y dxdy от
G
функции f x; y  , непрерывной в указанной области:
а) G ограничена линиями y   x 2  2 , y 3  x 2 , G ограничена линиями x 2  y 2  4 , y  2 x  x 2 , x  0 ( x  0 , y  0 );
б) G определена неравенствами x 2  y 2  1 , x 2  4 y 2  1 .
3 Вычислить интегралы:
3x  y dxdy , G ограничена неравенствами x 2  y 2  9 ,
а)

G
2
y  x  3;
3
б)
 sin x  y dxdy , G
ограничена линиями x  0 , y 
G

2
,
y  x;
 x  2 y dxdy , G ограничена линиями x  5 , y
г)  x  y dxdy , G ограничена линиями y  x , y
в)
2
 x  4;
2
 x;
G
2
2
G
д)

  3x
2
y2 
G
50 4 4 
x y dxdy , G ограничена линиями x  1 ,
3

y  x , y   x3 ;
3
38
е)
 y
2
sin
G
xy
dxdy , G ограничена линиями x  0 , y   ,
2
yx;
x 2  y 2 dxdy , где G – треугольник ABC : A0;0 ,

ж)
D
B 1;1 , C 1;1 .
4 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле,
предварительно изобразив на рисунке область интегрирования:
а)
2
2 x
6
x2
1
4
 dx  f x, y dy ;
1
б)

0
в)
1 1 y 2
dy

e
ln x
1
0
 dx  f x, y dy ;
1
f x, y dy ;
г)
2 y
 
0
39
x
dx f x, y dy .
0
Практическое занятие 3 Замена переменных в двойном
интеграле
3.1 Криволинейные координаты
3.2 Замена переменных в двойном интеграле
3.3 Полярные координаты
3.4 Геометрические и физические приложения двойных интегралов
3.1 Криволинейные координаты
Взаимно однозначное отображение
u  u x; y  , v  v x; y  ,
открытого множества G 
на множество G 
2
xy
*
(3.1)
2
uv
ставит в
соответствие каждой точке  x; y   G пару чисел u; v  G* . Поэтому данное отображение можно рассматривать как переход к
новым координатам u и v точки  x; y  одной и той же плоскости G . В этом случае множество G * представляет собой множество пар новых координат точек множества G .
Обратный переход от координат u и v к координатам x и y
осуществляется с помощью отображения (рисунок 3. 1)
x  xu; v  , y  y u; v  ,
(3.2)
обратного отображению (3.1).
*
Рисунок 3. 1 – Отображение области G в область G
при замене переменных x  xu; v  , y  y u; v 
Множество точек плоскости
2
xy
, для которых одна из коор-
динат u или v постоянна, называется координатной линией.
При u  u 0 имеем координатную линию
40
x  xu0 ; v  , y  y u 0 ; v  ;
при v  v0 имеем координатную линию
x  xu;v0  , y  y u;v0  .
В двух случаях получаются уравнения, являющиеся параметрическими уравнениями некоторых кривых. Координаты u и v
называются криволинейными координатами.
3.2 Замена переменных в двойном интеграле
Замена переменных в двойном интеграле состоит в переходе
от переменных x и y к новым переменным по формулам (3.2).
Функции (3.2) осуществляют отображение области G* 
область G 
2
xy
2
uv
на
. Область G называется образом области, а об-
ласть G * – прообразом области G при отображении (3.2).
Т е о р е м а 1 Пусть
1) отображение x  xu; v  , y  y u; v  переводит замкнутую
ограниченную область G * в замкнутую ограниченную область
G и является взаимно однозначным;
2) функции xu; v  и y u; v  имеют в области G * непрерывные частные производные первого порядка;
x x
Dx; y  u v
3) якобиан отображения J 

 0 во всех
Du; v  y y
u v
области G * ;
4) функция f x; y  непрерывна в области G .
Тогда справедлива формула замены переменных в двойном
интеграле
 f x; y dxdy   f xu; v; yu; v J dudv.
G
(3.3)
G*
Если условие 1) или условие 3) нарушается в отдельных точках или на отдельных кривых, то формула (3.2) остается в силе.
41
3.3 Полярные координаты
Если область G ограничена дугами окружности, то удобно
переходить к полярным координатам
x  r cos  , y  r sin  ,
(3.4)
где 0  r   , 0    2 .
Якобиан перехода к полярным координатам равен:
x x
Dx; y    cos   r sin 
J


r .
sin  r cos 
D ;  y y
 
Поэтому формула замены переменных запишется в виде:
 f x; y dxdy   f r cos; r sin  r drd .
G
G
(3.5)
*
x2 y 2

 1 , то
a 2 b2
удобно переходить к обобщенным полярным координатам
x  ar cos  , y  br sin  ,
0

r


где
, 0    2 . При этом якобиан отображения равен
J  abr .
Если область G ограничена дугами эллипса
3.4 Геометрические и физические приложения двойных
интегралов
Двойные интегралы используются для вычисления:
– площади S плоской фигуры G
S   dxdy ;
(3.6)
G
– площади S поверхности, заданной уравнением z  f  x; y 
S   1   f x'    f y'  dxdy ,
2
2
(3.7)
G
где G – проекция поверхности на плоскость Oxy ;
– объема тела, ограниченного сверху поверхностью
z  f  x; y   0 , снизу – плоскостью z  0 , с боковых сторон –
42
цилиндрической поверхностью, у которой образующая параллельна оси Oz , а направляющей служит контур области G
(3.8)
V   f  x; y  dxdy ;
G
– массы плоской пластины G с плотностью   x; y 
m     x; y  dxdy ;
(3.9)
G
– статических моментов S x , S y относительно осей Ox , Oy
соответственно и координат  xc ; yc  центра тяжести плоской
пластины G
(3.10)
S x   y    x; y  dxdy , S y   x    x; y  dxdy ,
G
G
Sy
Sx
;
(3.11)
m
m
– моментов инерции плоской пластины G относительно осей
Ox и Oy
xc 
yc 
,
I x   y 2   x; y  dxdy ,
I y   x 2   x; y  dxdy ;
G
(3.12)
G
– момента инерции плоской пластины G относительно начала координат O  0;0 
I 0  I x  I y    x 2  y 2    x; y  dxdy .
(3.13)
G
Вопросы для самоконтроля
1 Какие координаты называются криволинейными?
2 Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном
интеграле.
3 Чему равен якобиан при переходе от декартовых координат
к полярным?
4 Какие геометрические приложения имеет двойной интеграл?
5 Перечислите, при вычислении каких физических величин
используется двойной интеграл.
43
Решение типовых примеров
1 Вычислить интеграл
 y dxdy по области
3
G
G    x; y  y  x 2 , y  2 x 2 , xy  1, xy  2 .
Р е ш е н и е . Область G представляет собой криволинейную
трапецию, ограниченную графиками функций y  x2 , y  2 x2 ,
1
2
y  , y  (рисунок 3. 2, а).
x
x
Рассмотрим непрерывно дифференцируемое при x  0 отображение вида:
y
(3.14)
u  2 , v  xy .
x
Образом области G * является квадрат (рисунок 3. 2, б)
G*    u; v  1  u  2, 1  v  2 .
Данное отображение является взаимно однозначным, поскольку уравнения (3.14) разрешимы относительно x и y :
xu

1 1
3v 3
, y
1 2
 u 3v 3
.
Рисунок 3. 2 – Области G (а) и G * (б) для типового примера 1
Найдем якобиан отображения6
44
x
Dx; y 
J
 u
y
Du; v 
u
x
1 
 u 3v3
v  3
1
2
y
1 3 3
u
v
v
3
4 1
2
2
1 3 3
u v
1
3
.
1
1 
3u
1 3 3
u v
3
Тогда
1 1
1 2



3 3
3 3
x

u
v
,
y

u
v ,

3
2 1
dudv 
   uv
G y dxdy   J  1
3u
 G*
3u


2
2
1
1
1 2 v3
  v 2 dudv   du v 2 dv  u 1 
3 G*
31 1
3
3
2 Вычислить интеграл
 e
x2  y2
G
G
  x; y  x
2
2

1
1
2  1 8  1   7 .
3
 3 3 9
dxdy , где

 y 2  1, x  0, y  0 .
Р е ш е н и е . Область G представляет собой часть круга радиуса 1, расположенного в первой четверти (рисунок 3. 3, а)
Преобразуем двойной интеграл к полярным координатам по
формулам (3.4). При этом область G преобразуется в прямоугольник (рисунок 3. 3, б):


G *  r ;  0  r  1; 0     .
2

Рисунок 3. 3 – Области G (а) и G * (б) для типового примера 2
По формуле (3.5) имеем:
45
 e
x2  y2
dxdy   e r
2
cos 2   r 2 sin
G*
G
r drd   e r r drd 
2
G*


 
2
2
1
1
1
 
  e r d r 2  d  e10   02  e  1  e  1 .
20
2
2
2 4
0
3 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
x  4y  y2 , x  y  6 .
Р е ш е н и е . Найдем координаты точек пересечения данных
линий. Для этого решим систему:
2

x  4 y  y 2 ,
x  4 y  y ,



2

 x  y  6,
4 y  y  y  6  0,
2
 x  4, x2  3,
 x  4 y  y ,
  2
  1
 y  5 y  6  0,
 y1  2, y2  3.
Итак, имеем две точки пересечения A4;2  и B 3;3 .
Подставляя в формулу (3.6) вычисления площади, получим:
1
3
S   dxdy   dy
G
   y
2
3
2
2
4 y y2
3
 x 4 y  y 2 dy 
dx

   6 y 
6 y
2
 1
 5 y  6 dy    y
3
4 Вычислить
  x

2
3
3
5
1

 y2  6y   .
2
2 6
 y 2  dxdy , если область G ограничена
G
окружностью x 2  y 2  2ax .
Р е ш е н и е . Преобразуем уравнение окружности:
2
x 2  y 2  2ax  0 ; x  a   y 2  a 2 .
Область G представляет собой окружность с центром в точке
a;0  и радиусом a (рисунок 3. 4).
Переходя к полярным координатам
x  r cos  , y  r sin  ,  / 2     / 2 ,
получаем уравнение окружности:
x 2  y 2  2ax  r 2  2ar cos  r r  2a cos   0 .
46
Отсюда r1  0 ; r2  2a cos , т. е.
0  r  2a cos .
Рисунок 3. 4 – Область G для типового примера 5
Тогда

  x
G

2
 y  dxdy   r  rdrd 
2
2
G*
2


d
2 a cos 

0
2


2
2

4a 4 cos 4 d  4a 4 cos 4 d  4a 4

2
2
1
3

 a 4    sin 2  sin 4 
8
2

2


2
0

 d 


 1  cos 2 

 d 
2


2



2 a cos 
2
2

 r4
r dr   
 4

 
2
3



2
3  3
3
 a 4       a 4 .
4  2
4
5 Найти площадь части конуса z  x 2  y 2 , заключенной
внутри цилиндра x 2  y 2  2 x .
Р е ш е н и е . Из уравнения конуса имеем
x
y
, f y' 
.
f x' 
x2  y 2
x2  y 2
Проекцией поверхности на плоскость Oxy является круг,
ограниченный окружностью x  1  y 2  1 (рисунок 3. 5).
Тогда по формуле (3.7) площадь поверхности равна
2
S  
G

x
1 
 x2  y2

2
 
y
 
  x2  y2
 
47
2

 dxdy  2 dxdy 


G

 x  r cos  ,



 y  r sin  , J  r , 
2cos 
2 2
2


r
 
  2  d  rdr  2 2  

 2

0
   ,

0

2
2
2

0  r  2cos  


2cos 
0

 d =



1  cos 2
sin 2  2

d  2 2   
 4 2  cos  d  4 2 
   2.
2
2 0

0
0
2
2
2
Рисунок 3. 5 – Рисунок для типового примера 6
Рисунок 3. 6 – Рисунок для типового примера 7
6 Найти объем тела, ограниченного поверхностями
y  x2 , x  y  z  4 , y  1, z  0 .
Р е ш е н и е . Данное тело представляет собой вертикальный
цилиндр, который сверху ограничен частью плоскости
z  4  x  y , снизу – частью плоскости, заключенной между параболой y  x 2 и прямой y  1 (рисунок 3. 6).
Тогда по формуле (3.8) получим:
1
V   4  x  y dxdy   dy
G
0
y
 4  x  y dx 
 y
48
1

x2 
    4  y x  
2 
0 


1
1
1
2

1

dy

2

 4  y  y dy 

0
2

3
68
.
15
0
0
7 Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до центра кольца.
Р е ш е н и е . Обозначим радиусы окружностей, ограничивающих кольцо, через r1 и r2 , r1  r2 . Поместим полярный радиус
системы координат в центре кольца. Тогда уравнения окружностей примут вид r  r1 и r  r2 . Поверхностная плотность в люk
бой точке кольца равна   2 .
r
Масса кольца по формуле (3.9) равна
 x  r cos  ,

k


m   2
dxdy   y  r sin  , J  r ,  
2
x y
G
0    2 , r  r  r 
1
2

 8 y 2 dy  2 y 2 dy 
2
r2
 
 d
0
 k ln
r1
r1
r2
2
r
2
k
1
r
dr

k
d

dr  k
2
r
r
0
r
 
1
2
r1
 d  2k ln r
0
 ln r
2
r2
r1
d 
0
.
2
8 Найти массу пластинки G , заданной неравенствами
x2 y2
3x
1

 4, x 0, y 
,
4
9
2
9x
если поверхностная плотность  x, y   3
y
Р е ш е н и е . Переходим к обобщенным полярным координатам
x  2r cos  , y  3r sin  .
Якобиан отображения равен J  6r .
49
Из неравенства 1 
1 r  2 .
x2 y2

4
4
9
получим 1  r 2  4 , т. е.
3
x имеем
2
3r sin   3r cos  tg   1 .
Из уравнения прямой y 
Отсюда  

. Поскольку x  0 , то очевидно, что
4
Значит, по формуле (3.9) имеем
9x
9  2r cos 
m   3 dxdy  
 6rdrd 
y
27r 3 sin 3 
G
G*
 4
G*
 /2

4
 

2
.
cos 
dr
cos 
d  
drd  4 
3
3
r
r sin 
 / 4 sin 
1
2
 2
sin 
 /2
 ln r
2
1
2
  2  4    ln 2  ln1  2ln 2 .
 /4
9 Найти центр масс равнобедренного прямоугольного треугольника, если в каждой его точке поверхностная плотность
пропорциональна расстоянию ее до гипотенузы. Найти момент
инерции данного треугольника относительно его гипотенузы.
Р е ш е н и е . Пусть в прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC гипотенуза AB (рисунок 3. 7).
Рисунок 3. 7 – Рисунок для типового примера 10
Тогда относительно системы координат Oxy уравнения катетов AC и BC будут y  x  a и y  a  x . Согласно условию
50
задачи в точке  x; y  треугольника ABC плотность имеет вид
 x; y   ky .
По формуле (3.9) для массы получим:
 kydxdy  k  ydy  dx  k  yx y a dy 
m
ABC
a
a y
0
y a
a
a y
0
a


0
0

a
 k y a  y  y  a dy  2k ay  y 2 dy 
a
 ay2 y 3 
ka3
.
 2k 
  
3 
3
 2
0
По формулам (3.10) находим статические моменты:
a
Sx 
a y
a
y a
0
2
 y  kydxdy  k  y dy  dx  2k  y a  y dy 
2
ABC
0
a
 ay3 y 4 
ka4
;
 2k 
  
4 
6
 3
0
Sy 
a
a y
0
y a
 x  kydxdy  k  y dy  x dx  0 .
ABC
Координаты центра тяжести находятся по формулам (3.11):
a
xc  0 , yc  .
2
Момент инерции относительно гипотенузы AB представляет
собой I x . Поэтому по формуле (3.12) получим:
Ix 
 y
a
2
a y
a
y a
0
kydxdy  k  y dy  dx  2k  y 3 a  y dy 
3
ABC
0
a
 ay4 y 5 
ka5
.
 2k 
  
5 
10
 4
0
51
Задания для аудиторной работы
1 Вычислить
 x
2

 y 2 dxdy , где G – область, ограниченная
G
линией x2  y 2  4 y .
2 Вычислить
 2 x
2

2
 y 2 sin  x  y  dxdy , где G – парал-
G
лелограмм: x  y  2 , x  y  4 , x  y  1 , x  y  2 .
3 Вычислить


4  x 2  y 2 dxdy , где G – область, ограни-
G
ченная линией x  y 2
4 Вычислить
2

G

2
 4  x2  y 2  .
 x2 y2 
dxdy, где G – область, ограниsin   
9 
 4
x2 y2
x2 y2

1 и

1.
4
9
16 36
dxdy
5 Вычислить
, где G – трапеция ABCD : A1;3 ,
x  y 3
G
ченная линиями

B2;6 , C 6;2  , D 3;1 .
6 Найти площадь области G , ограниченной линиями
3x  3 y  7  0 , y 2  2 y  3 x  0 .
7 Найти массу пластинки y  x , y  x  3 , x  0 , x  1 , если
поверхностная плотность равна сумме координат точки.
8 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y 2  10 x  25 , y 2  6 x  9 .
9 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x , x  2 y , x  y  1 , x  3y  1.
10 Вычислить площадь области, ограниченной кривой
x
2
 y 2   2 x3 .
2
11 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
52
а) z  x 2  y 2 ,
y  0 );
3 x  y  0,
x y 0,
x2  y 2  8
(x 0,
б) x 2  y 2  4 x , 2 z  x 2  y 2 , z  0 ;
в) z  x 2  y 2 , x  0 , y  0 , x  2 , y  3 ;
г) x 2  y 2  4 отсекаемого плоскостями z  0 , z  3x , z  0 .
12 Найти массу плоской пластинки G с плотностью  x; y  и
ограниченной линиями:
x2 y2
3

 1 , x  0 , y   x ,  x, y   xy 2 ;
а)
16 9
2
б) x  y  1 , x  y  2 , 2 x  y  0 , 4 x  y  0 ,  x; y   x  y 2 ;
в) x  y  1 , x  y  2 , 3x  y  0 , 4 x  y  0 ,
  x; y    x  y  .
4
13 Найти статические моменты относительно осей координат,
центр тяжести и моменты инерции однородной пластинки, ограниченной линиями:
а) x  y  4 , x  3 y  0 , x  5 y  16 ;
б) y  x 2  1 , x  y  3  0 ;
в) x y  12 , x  3 y  0 , 4 x  3 y  0 , x  0 , y  0 ;
г) x 2  y 2  4 , y  2 x  x 2 , x  0 , x  0 , y  0 .
Задания для домашней работы
1 Вычислить
 r drd , где
2
G – область, ограниченная ли-
G
ниями r  31  cos   и r  3 (область, не содержащая полюса).
2 Вычислить
 x
2

 y 2 dxdy , где G – область, ограниченная
G
линиями x  y  9 , x 2  y 2  25 , y  x , y  x 3 .
2
2
3 Вычислить
 e
x2  y2
dxdy , где G – область, ограниченная
G
линиями:
53
а) x 2  y 2  1 ;
4 Вычислить
б) x 2  y 2  4 .
 xydxdy, где G
– область, ограниченная лини-
G
ями y   x , y  x 3 , x2  y 2  2x , x2  y 2  3x .
5 Вычислить
 x  2 y dxdy ,
где G – трапеция ABCD :
D
A 2;2 , B 1;2 , C 3;4 , D 6;2  .
6 С помощью двойного интеграла найти площадь области,
ограниченной линиями y 2  4  x , x  3 y  0 .
7 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
x
, yx 3.
x2  y 2  4x  0 , x2  y 2  6x  0 , y 
3
8 Вычислить площадь области G : x2  y 2  2x , x2  y 2  x .
9 Найти площадь области y  e x , y  e x , x  1 .
10 Вычислить площадь области G , ограниченной кривой
x
2
 y 2   18  x 2  y 2  .
2
11 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
3 x  y  0 , x2  y 2  8 ( x  0 ,
а) z  x 2  y 2 , x  y  0 ,
y  0 );
б) x 2  y 2  4 x , 2 z  x 2  y 2 , z  0 ;
в) конуса z 2  2 xy , отсекаемого плоскостями x  0 , y  0 ,
x y  2;
г) конуса y 2  z 2  x 2 , отсекаемого цилиндром x 2  y 2  4 .
12 Найти массу плоской пластинки G с плотностью  x; y  и
ограниченной линиями:
y  4x
а) x 2  y 2  4 , x 2  y 2  9 , x  0 , y  0 ,  x, y   2
,
x  y2
б) x  y  1 , x  y  3 , 5 x  y  0 , 10 x  y  0 ,  x; y   x  y  ;
3
54
в)
x  y 1,
x  y  3,
2x  y  0 ,
5x  y  0 ,
  x; y    x  y  .
3
13 Найти статические моменты относительно осей координат,
центр тяжести и моменты инерции однородной пластинки, ограниченной линиями:
а) x  2 y  0 , x  y  8 , y  8 , x  3 ;
б) y 3  x 2 , y   x 2  2 ;
в) x y  8 , x  y  9 ;
г) x 2  y 2  8 , x  y  0 , y  3 x , x  0 , y  0 .
55
Практическое занятие 4 Формула Грина
4.1 Формула Грина
4.2 Условия независимости криволинейного интеграла 2-го
рода от пути интегрирования
4.1 Формула Грина
Пусть в плоскости Oxy задана замкнутая элементарная относительно оси Ox или Oy область G , ограниченная замкнутым
контуром  .
Т е о р е м а 1 ( ф о р м у л а Г р и н а ) Если функции Px; y  и
Qx; y  непрерывны вместе со своими частными производными
Q
P
и
в области G , то имеет место формула
x
y
 Q
P 
  x  y dxdy   Pdx  Qdy ,
(4.1)

G
где контур  обходится в положительном направлении.
Формула Грина справедлива для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей.
Формула Грина связывает интеграл по границе области с интегралом по самой области.
Площадь области G , ограниченной замкнутым контуром  ,
с помощью формулы Грина вычисляется по формуле
1
S  dxdy 
xdy  ydx .
(4.2)
2
G


4.2 Условия независимости криволинейного интеграла
2-го рода от пути интегрирования
Плоская область G называется односвязной, если любой замкнутый контур  , лежащий внутри этой области, ограничивает
область G , полностью принадлежащую G .
56
Т е о р е м а 2 Пусть функции Px; y  и Qx; y  определены и
P
непрерывны вместе со своими частными производными
и
y
Q
в замкнутой односвязной области G . Тогда следующие
x
четыре условия эквивалентны:
1) для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой  , расположенной в G , верно
 Pdx  Qdy  0 ;

2) для любых двух точек A и B области G значение интеграла
 Pdx  Qdy
AB
не зависит от выбора пути интегрирования AB , целиком лежащего в G ;
3) выражение Pdx  Qdy представляет собой полный дифференциал некоторой функции, определенной в области G :
Pdx  Qdy  dF ;
4) в области G всюду
P Q
.

y x
Вопросы для самоконтроля
1 Какая область называется односвязной?
2 Какие условия должны выполняться для того, чтобы была
справедлива формула Грина?
3 Перечислите эквивалентные условия, если функции Px; y 
и Qx; y  определены и непрерывны вместе со своими частными
Q
P
производными
и
в замкнутой односвязной области.
x
y
57
Решение типовых примеров
1 Вычислить интеграл
 x  y dx  x  y dy , где



  x; y  x 2  y 2  4 .
Р е ш е н и е . Вычислим интеграл с помощью формулы Грина.
Имеем
Px; y   x  y ,
Qx; y   x  y ,
Q
P
 1.
 1 ,
x
y
Тогда
2
  x  y  dx   x  y  dy   1  1 dxdy  2  2  8 .
x2  y 2  4
1;1
2 Вычислить интеграл
x2  y 2  4
 ydx  xdy .
0;0 
Q P

 1 . Согласно теоx y
реме 2, интеграл не зависит от пути интегрирования. Из выполнения условия 4) следует справедливость условия 3). Так как
d xy   xdy  ydx , то
Р е ш е н и е . Здесь P  y , Q  x ,
1;1
1;1
 ydx  xdy  xy 0;0  1  0  1.
 0; 0 
3 Вычислить площадь, ограниченную астроидой
x  a cos3 t , y  a sin 3 t , 0  t  2
Р е ш е н и е . По формуле (4.2) находим
2
1
S =   a cos3 t  3a sin 2 t cos t  a sin 3 t  3a cos 2 t sin t  dt 
20
3a 2

2
2

0

3a 2
cos t sin t  sin t cos t dt 
2
4
2
4
2
58
2
 sin
0
2
t cos 2 tdt 

3a 2
8
2

0
sin 2 2tdt 
3a 2
16
2
 1

 t  sin 4t 
16  4

3a
 1  cos 4t dt 
0
2
2
0

3a 
.
8
4 Вычислить криволинейный интеграл

2
1;1
 12 xy  4 x dx  6 x
 
2
2

 y dy ,
0; 0
предварительно определив функцию U  x; y  , соответствующим
полным дифференциалом которой является подынтегральное
выражение.
Р е ш е н и е . Функции
Px; y   12 xy  4 x 2 , Qx; y   6 x 2  y
непрерывны вместе со своими частными производными в любой
односвязной области, содержащей точки 0;0  1;1 .
Поскольку
P
Q
 12 x ,
 12 x ,
y
x
P Q

то
. Следовательно, данный интеграл не зависит от пуy x
ти интегрирования. По теореме 2 подынтегральное выражение
представляет собой полный дифференциал некоторой функции U  x; y  :




dU  12 xy  4 x 2 dx  6 x 2  y dy .
С другой стороны
U
U
dU 
dx 
dy .
x
y
Сравнивая два выражения для dU , получим
U
U
 6x2  y .
 12 xy  4 x 2 ,

y
x
Из первого равенства, считая y постоянным, находим
59
U x; y   6 x 2 y 
4 3
x  C y  .
3
Находим частную производную по переменной y
U
 6x2  C ' y .
y
Сравнивая полученное выражение с имеющимся для
получим
U
,
y
6x2  C ' y  6x2  y .
Отсюда C '  y   y и C  y  
y2
.
2
Поэтому
U  x; y   6 x 2 y 
4 3 y2
x 
.
3
2
Тогда данный интеграл равен
1;1
 12 xy  4 x dx  6 x
 
2
2

 y dy  U 1;1  U 0;0  6 
0; 0
4 1 51
.
 
3 2 6
Задания для аудиторной работы
1 Проверить, зависят ли следующие криволинейные интегралы от пути интегрирования:
а)

2x ex
2

 y2
dx  3 y 2e x


2
 y2
dy ;



б) 8 x sin 4 x 2  5 y 2 dx  10 y sin 4 x 2  5 y 2 dy ;

в)
 xy
3



 x 2  2 y 2 dx  y 5  3x3 y 2  x 4 dy .

2 Применив формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:
а)
 1  x ydx  x1  y dy ,     x; y 
2
2

60
x2  y 2  9  ;
б)
 2x

 y 2 dx  x  y  dy ,  – треугольник с вершинами
2
2

A1;1 , B 2;2  , C 1;3 ;
в)
 xy  x  y dx  xy  x  y dy ,     x; y 
x 2  y 2  ax  ;

г)
 2 xdx  ydx , где  – замкнутый контур, ограниченный ду
гой параболы y  x 2 0  x  1 и отрезком прямой y  x между
точками O 0;0  и B 1;1 .
3 Вычислить криволинейный интеграл, предварительно определив функцию U  x; y  , соответствующим полным дифференциалом которой является подынтегральное выражение:
1; 2 
а)
 3 y
 
2

 4 y dx  6 xy  4 x  4 y dy ;
0;1
1;1
б)
 4 x

3

 3 y 2  5 y dx  5 x  6 xy  4 y dy .
1; 1
Задания для домашней работы
1 Проверить, зависят ли следующие криволинейные интегралы от пути интегрирования:
а)



б)

x 2  y 2  1dx  ln x 2  y 2  1 dy ;
 4 x
3



 12 x 2 y dx  5 y 4  4 x3 dy .

2 Применив формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:


x2 y 2

 1 ;
а) xy  x  y dx  xy  x  y dy ,    x; y 
4
9




61
б)
 x  y dx  x  y dy ,

в)
e
y2 x2


x2 y 2
   x; y 

 1 ;
4
9


cos 2 xy dx  sin 2 xy dy ,   x; y 

x 2  y 2  16 ;

г)
x 2  y 2 dx  y xy  ln  x  x 2  y 2  dy , где  – контур





прямоугольника с вершинами A3;2 , B6;2 , C 6;4  , D 3;4  .
3 Вычислить криволинейный интеграл, предварительно определив функцию U  x; y  , соответствующим полным дифференциалом которой является подынтегральное выражение:
1;1
а)
 3 x
2

1; 1
1;3
б)


y  4 xy2 dx  x 3  4 x 2 y  3 y 2 dy ;
 4 xy  15 x y dx  2 x
 
2
2

 5 x 3  7 dy .
0; 2
62