Практическое занятие 2 Двойной интеграл 2.1 Определение и свойства двойного интеграла 2.2 Вычисление двойного интеграла путем сведения к повторному интегралу 2.1 Определение и свойства двойного интеграла Пусть G замкнутая область (замкнутое связное множество) пространства 2 , f x; y – произвольная функция, определенная и ограниченная на этом множестве (рисунок 2. 1). Рисунок 2. 1 – Разбиение множества G Будем предполагать, что граница области G состоит из конечного числа непрерывных кривых, y x или x y . И пусть Gi i 1 , Gi G j , разбиение области G . Обозначим S i n i j – площадь Gi , d Gi sup x; y – диаметр областей G i , x , yGi max d Gi – мелкость разбиения. В каждой части G i выбе1i n рем произвольную точку Ci i ;i . Тогда f i ;i – значение функции в этой точке. Сумма n n , Ci f i ; i S i i 1 26 (2.1) называется интегральной суммой Римана для функции f x; y на множестве G , соответствующей разбиению и выбору точек Ci i ;i . Если функция f x; y , ограничена на G , то для любого раз- биения Gi , i 1,2,..., n , определены числа: mi inf x; y Gi Суммы s n m S i i f x; y , M i sup f x; y . x ; y Gi , S i 1 n M i S i называются нижней i 1 и верхней суммами Дарбу, соответствующими разбиению . Двойным интегралом от функции f x; y по замкнутой области G называется предел (если он существует) интегральной суммы (2.1) при 0 : G n f x; y dS lim f i ;i Si , 0 (2.2) i 1 подынтегральная функция f x; y называется интегрируемой на множестве G , множество G – областью интегрирования, x , y – переменными интегрирования, dS – элементом площади. Теорема 1 (необходимое условие интегр ируе м о с т и ) Если функция z f x; y интегрируема на области G , то она ограничена на этом множестве. Теорема 2 (достаточное условие интегр ир у е м о с т и ) Если функция z f x; y непрерывна в области G , то она интегрируема в этой области. Теорема 3 (критерий интегрируемости Д а р б у ) Для того чтобы ограниченная функция была интегрируема в замкнутой области G 2 , необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 нашлось такое 0 , что для любого разбиения Gi с мелкостью выполнялось неравенство S s . Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой на множестве G функции f x; y предел интеграль- 27 ных сумм существует и не зависит от разбиения области на части. Поэтому, не ограничивая общности, можно разбивать область интегрирования G на части прямыми, параллельными координатным осям (рисунок 2. 2). Тогда S i xi yi . Учитывая, что dS dxdy , можно записать: f x; y dS f x; y dxdy . G G Рисунок 2. 2 – Разбиение области G на части прямыми, параллельными координатным осям Основные с в о й с т в а двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла: – dS dxdy S , где S G – площадь области G ; G – (линейность) если и – произвольные постоянные числа, функции f x; y и g x; y интегрируемые в области G , то функция f x; y g x; y тоже интегрируема в G и справедливо равенство: f x; y g x; y dxdy f x; y dxdy g x; y dxdy ; G G G – (аддитивность) если область G является объединением областей G1 и G 2 , не имеющих общих внутренних точек, на каждом из которых f x; y интегрируема, то функция f x; y также интегрируема в области G и справедлива формула: f x; y dxdy f x; y dxdy f x; y dxdy ; G G1 G2 28 – если в области G имеет место неравенство f x; y 0 , то справедливо неравенство f x; y dxdy 0 ; G – (монотонность) если f x; y и g x; y интегрируемы в области G и f x; y g x; y в любой точке x; y G , то f x; y dxdy g x; y dxdy ; G G – если функция f x; y непрерывна в замкнутой области G , площадь которой S , то mS f x; y dxdy M S , G где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции на множестве G ; – (теорема о среднем) если функция f x; y непрерывна в области G , площадь которой S , то существует такая точка P0 x0 ; y0 G , что выполняется неравенство: f x; y dxdy f x ; y S ; 0 0 G – произведение интегрируемых в области G функций есть интегрируемая функция; – если функция f x; y интегрируема в области G , то функция f x; y интегрируема в G и справедливо неравенство: f x; y dxdy f x; y dxdy . G G 2.2 Вычисление двойного интеграла путем сведения к повторному интегралу Рассмотрим двойной интеграл по прямоугольнику D x; y a x b, c y d со сторонами, параллельными осям координат. 29 Т е о р е м а 1 Пусть 1) для функции f x; y в прямоугольнике D существует двойной интеграл f x; y dxdy ; D 2) для каждого x из отрезка a; b существует определенный интеграл I x d f x; y dy . c Тогда существует повторный интеграл d I x dx f x; y dy dx и справедливо равенство: a ac b d (2.3) f x; y dxdy f x; y dy dx . D ac b d Повторный интеграл f x; y dy dx можно записывать в ac b b виде b d a c dx f x; y dy . Если в теореме 1 поменять ролями x и y , то существует повторный интеграл d b c a dy f x; y dx и справедлива формула d b c a f x; y dxdy dy f x; y dx . D (2.4) Пусть x , x непрерывные на отрезке a; b функции и x x x a; b . Область G x; y a x b, x y x элементарной относительно оси Oy . 30 называется Область G x; y y x y , c y d называется элементарной относительно оси Ox . Здесь функции y и y непрерывны на отрезке c; d и y y . Т е о р е м а 2 Пусть z f x; y 1) функция определена в области G x; y a x b, y x y y 1 прерывные функции, a; b ; x , где y1 x и y1 x y2 x для любого x 2 2) существует двойной интеграл y 2 x – не- из отрезка f x; y dxdy ; G a; b 3) для каждого x из отрезка ный интеграл I x существует определен- y2 x f x; y dy . y1 x Тогда существует b b y2 x a a y1 x повторный интеграл I xdx dx f x; y dy и справедливо равенство b y2 x a y1 x f x; y dxdy dx f x; y dy . G (2.5) Если в теореме 2 поменять ролями x и y , то существует повторный интеграл d x2 x c x1 x dy f x; y dx и справедлива формула d f x; y dxdy dy x2 x f x; y dx . G c (2.6) x1 x Если область интегрирования не удовлетворяет условиям теоремы 2 (прямые (вертикальные или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках), то необходимо данную область разбить на части, каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы 2, и сводить к повторному каждый из соответствующих интегралов. 31 Вопросы для самоконтроля 1 Что называется интегральной суммой функции f x; y ? 2 Какие суммы называются верхней и нижней суммой Дарбу? 3 Дайте определение двойного интеграла. 4 Сформулируйте необходимое и достаточное условия интегрируемости функции двух переменных. 5 В чем суть критерия интегрируемости? 6 Перечислите свойства двойного интеграла. 7 Сформулируйте теорему о вычислении двойного интеграла в случае прямоугольной области. 8 Сформулируйте теорему о вычислении двойного интеграла в случае произвольной области. 9 Как вычислить двойной интеграл по области, не являющейся элементарной? Решение типовых примеров 1 Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если область G (рисунок 2. 3) ограничена линиями y x 2 , x a , a 0 , y 0. Р е ш е н и е . Областью интегрирования является криволинейная трапеция, ограниченная сверху параболой y x 2 , снизу – осью Ox , справа – прямой x a , a 0 . Если внутренний интеграл взять по y , то y изменяется от 0 до y x 2 , а x изменяется в пределах от 0 до a : G a x2 0 0 f x, y ds dx f x, y dy . Если внутренний интеграл взять по x , то x изменяется от 0 до x y , а y изменяется в пределах от 0 до a 2 : G a2 a f x, y ds dy f x, y dx . 0 32 y f x, y dxdy в 2 Представить двойной интеграл виде по- G вторного интеграла при разных порядках интегрирования по x и по y , если область G ограничена линиями y 2 x , x 0 , y x 3 (рисунок 2. 4). Р е ш е н и е . Областью интегрирования является треугольник с вершинами O 0;0 ; A0;3 ; B 1;2 . Рисунок 2. 3 – Область интегрирования для типового примера 1 Рисунок 2. 4 – Область интегрирования для типового примера 2 Если внутренний интеграл взять по y , то область G рассмотрим как криволинейную трапецию, ограниченную слева прямой x 0 , справа – прямой x 1 ; снизу – прямой y 2 x , сверху – прямой y x 3 . Отсюда 0 x 1 , 2 x y 3 x . Поэтому пределы расставятся следующим образом: 1 3 x 0 2x f x, y dxdy dx G f x, y dy Если внутренний интеграл будем брать по x , то область G разбивается прямой y 2 на две непересекающиеся области: y G1 x; y 0 x , 0 y 2 x , 2 G2 x; y 0 x 3 x, 2 y 3 . Используя свойство аддитивности интеграла, получим: f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxdy G G1 G2 2 y 2 3 3 y 0 0 2 0 dy f x, y dx dy f x, y dx . 33 3 Вычислить двойной интеграл x 2 ydxdy по области, огра- G ниченной линиями y 0 , y 2x 3 , x y 3 . Р е ш е н и е . Область интегрирования G состоит из двух непересекающихся областей G1 и G2 (рисунок 2. 5). Рисунок 2. 5 – Область интегрирования для типового примера 3 Рассмотрим различный порядок интегрирования. Сначала вычислим внешний интеграл по переменной x . В этом случае исходный интеграл сводится к вычислению двух интегралов по областям G1 x; y 0 x 1, 0 y 2x , 3 G2 x; y 1 x 3, 0 y 3 x . Тогда 1 2 x3 3 3 x 0 1 x ydxdy dx x 2 ydy dx x 2 ydy 2 G 0 0 Изменив порядок интегрирования, получим: 1 G x; y 0 y 2, 3 y x 3 y . 2 Тогда 3 y 3 y x3 x ydxdy dy x ydx ydy G 0 3 0 3 3 y/2 y/2 2 2 2 2 34 2 1 30 2 y 1 y 3 y 3 y dy y 27 27 y 9 y 2 y 3 dy 2 30 2 2 1 27 2 1 5 9 4 275 3 154 y y y y . 3 2 5 4 30 0 45 dxdy 4 Вычислить , если G – прямоугольник 2 G x y 1 G x 1 x 2,0 y 1 . Р е ш е н и е . Относительно переменных y x и y интегралы dx dy и табличные, поэтому двойной инте2 x y 1 x y 12 грал сведем к следующему повторному: 2 dxdy 1 dy 2 1 1 0 d x y 1 x y 1 dx x y 1 dx x y 1 2 D 2 1 0 2 1 2 1 1 1 1 x y 1 dx 1 x 2 x 1 dx 0 2 ln x 2 ln x 1 5 Вычислить 2 1 ln 4 ln 3 ln 3 ln 2 ln 3 3 9 ln . 42 8 xdxdy , где G – область, ограниченная пара2 y2 x G 1 болой y x 2 и прямой y x . 2 Р е ш е н и е . Найдем точки пересечения параболы и прямой: 1 2 1 2 x 2 2 x 0 x1 0 ; x2 2 y x x x 2 2 y x y x y x y x Получаем точки: O 0;0 и A2;2 1 Итак, снизу область G ограничена параболой y x 2 , сверху 2 – прямой y x : 35 1 G x 0 x 2, x 2 y x . 2 Отсюда получаем: 2 x 2 x xdxdy xdy dy dx xdx G x 2 y 2 0 1 x 2 y 2 0 1 x 2 y 2 2 2 2 x y arctg x x 0 x 2 x 1 2 x 2 2 dx 2 arctg y x 0 x x 1 2 x 2 dx x x x arctg arctg dx arctg dx x 2 4 2 0 0 2 2 4 x 2dx u arctg , du 2 , x arctg dx 2 x 4 2 0 vx dv dx 2 x 2 0 x x arctg 4 2 2 2 2 2 xdx d x2 4 2 2 arctg1 x 4 2 x2 4 0 0 2 2 0 ln x 2 4 2 0 ln 8 ln 4 ln 8 ln 2 . 4 Задания для аудиторной работы 1 Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику: xdxdy а) , G x; y 1 x 2,4 y 6 ; y2 G б) x 2 y 2 dxdy , G x; y 0 x 1,0 y 1 . G 2 Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, к которому сводится двойной интеграл f x; y dxdy G функции f x; y , непрерывной в указанной области: а) G ограничена линиями y x 2 , y 4 ; 36 от б) G определена неравенствами x 2 y 2 9 , x y 3 . 3 Вычислить интегралы: x y dxdy , G ограничена линиями y 2 x 2 , а) G y 2x 1 ; cos 2 x sin y dxdy , б) ограничена линиями G x0, G y 0 , 4x 4 y 0 ; в) x 2 2 y dxdy , G ограничена линиями y x2 , y 4 ; G г) G д) 1 x2 dxdy , G ограничена линиями y , y x , x 2 ; 2 y x 6 x 2 y 8 xy3 dxdy , G ограничена линиями x2 y 2 , G y3 x2 ; е) xdxdy 1 x 3 y2 2 , G ограничена линиями x2 y 2 1 , x 0 , y 0 (первая четверть). 4 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, предварительно изобразив на рисунке область интегрирования: G а) б) 4 2 x 3 0 x2 2 1 x2 dx f x, y dy ; dx 2 в) 2 f x, y dy ; г) 2 x 1 1 x dx f x, y dy ; 4 д) x2 6 7 x 1 6 x dx f x, y dy ; 2 x 0 1 е) dx 0 Задания для домашней работы 37 f x, y dy ; dx 4x x2 1 x 2 f x, y dy . 1 1 x 2 2 1 Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику: ydxdy а) , G x; y 2 x 4,6 y 8 ; x2 D б) 3xy 2 4 y 3 dxdy , G x; y 0 x 1,1 y 2 . D 2 Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, к которому сводится двойной интеграл f x; y dxdy от G функции f x; y , непрерывной в указанной области: а) G ограничена линиями y x 2 2 , y 3 x 2 , G ограничена линиями x 2 y 2 4 , y 2 x x 2 , x 0 ( x 0 , y 0 ); б) G определена неравенствами x 2 y 2 1 , x 2 4 y 2 1 . 3 Вычислить интегралы: 3x y dxdy , G ограничена неравенствами x 2 y 2 9 , а) G 2 y x 3; 3 б) sin x y dxdy , G ограничена линиями x 0 , y G 2 , y x; x 2 y dxdy , G ограничена линиями x 5 , y г) x y dxdy , G ограничена линиями y x , y в) 2 x 4; 2 x; G 2 2 G д) 3x 2 y2 G 50 4 4 x y dxdy , G ограничена линиями x 1 , 3 y x , y x3 ; 3 38 е) y 2 sin G xy dxdy , G ограничена линиями x 0 , y , 2 yx; x 2 y 2 dxdy , где G – треугольник ABC : A0;0 , ж) D B 1;1 , C 1;1 . 4 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, предварительно изобразив на рисунке область интегрирования: а) 2 2 x 6 x2 1 4 dx f x, y dy ; 1 б) 0 в) 1 1 y 2 dy e ln x 1 0 dx f x, y dy ; 1 f x, y dy ; г) 2 y 0 39 x dx f x, y dy . 0 Практическое занятие 3 Замена переменных в двойном интеграле 3.1 Криволинейные координаты 3.2 Замена переменных в двойном интеграле 3.3 Полярные координаты 3.4 Геометрические и физические приложения двойных интегралов 3.1 Криволинейные координаты Взаимно однозначное отображение u u x; y , v v x; y , открытого множества G на множество G 2 xy * (3.1) 2 uv ставит в соответствие каждой точке x; y G пару чисел u; v G* . Поэтому данное отображение можно рассматривать как переход к новым координатам u и v точки x; y одной и той же плоскости G . В этом случае множество G * представляет собой множество пар новых координат точек множества G . Обратный переход от координат u и v к координатам x и y осуществляется с помощью отображения (рисунок 3. 1) x xu; v , y y u; v , (3.2) обратного отображению (3.1). * Рисунок 3. 1 – Отображение области G в область G при замене переменных x xu; v , y y u; v Множество точек плоскости 2 xy , для которых одна из коор- динат u или v постоянна, называется координатной линией. При u u 0 имеем координатную линию 40 x xu0 ; v , y y u 0 ; v ; при v v0 имеем координатную линию x xu;v0 , y y u;v0 . В двух случаях получаются уравнения, являющиеся параметрическими уравнениями некоторых кривых. Координаты u и v называются криволинейными координатами. 3.2 Замена переменных в двойном интеграле Замена переменных в двойном интеграле состоит в переходе от переменных x и y к новым переменным по формулам (3.2). Функции (3.2) осуществляют отображение области G* область G 2 xy 2 uv на . Область G называется образом области, а об- ласть G * – прообразом области G при отображении (3.2). Т е о р е м а 1 Пусть 1) отображение x xu; v , y y u; v переводит замкнутую ограниченную область G * в замкнутую ограниченную область G и является взаимно однозначным; 2) функции xu; v и y u; v имеют в области G * непрерывные частные производные первого порядка; x x Dx; y u v 3) якобиан отображения J 0 во всех Du; v y y u v области G * ; 4) функция f x; y непрерывна в области G . Тогда справедлива формула замены переменных в двойном интеграле f x; y dxdy f xu; v; yu; v J dudv. G (3.3) G* Если условие 1) или условие 3) нарушается в отдельных точках или на отдельных кривых, то формула (3.2) остается в силе. 41 3.3 Полярные координаты Если область G ограничена дугами окружности, то удобно переходить к полярным координатам x r cos , y r sin , (3.4) где 0 r , 0 2 . Якобиан перехода к полярным координатам равен: x x Dx; y cos r sin J r . sin r cos D ; y y Поэтому формула замены переменных запишется в виде: f x; y dxdy f r cos; r sin r drd . G G (3.5) * x2 y 2 1 , то a 2 b2 удобно переходить к обобщенным полярным координатам x ar cos , y br sin , 0 r где , 0 2 . При этом якобиан отображения равен J abr . Если область G ограничена дугами эллипса 3.4 Геометрические и физические приложения двойных интегралов Двойные интегралы используются для вычисления: – площади S плоской фигуры G S dxdy ; (3.6) G – площади S поверхности, заданной уравнением z f x; y S 1 f x' f y' dxdy , 2 2 (3.7) G где G – проекция поверхности на плоскость Oxy ; – объема тела, ограниченного сверху поверхностью z f x; y 0 , снизу – плоскостью z 0 , с боковых сторон – 42 цилиндрической поверхностью, у которой образующая параллельна оси Oz , а направляющей служит контур области G (3.8) V f x; y dxdy ; G – массы плоской пластины G с плотностью x; y m x; y dxdy ; (3.9) G – статических моментов S x , S y относительно осей Ox , Oy соответственно и координат xc ; yc центра тяжести плоской пластины G (3.10) S x y x; y dxdy , S y x x; y dxdy , G G Sy Sx ; (3.11) m m – моментов инерции плоской пластины G относительно осей Ox и Oy xc yc , I x y 2 x; y dxdy , I y x 2 x; y dxdy ; G (3.12) G – момента инерции плоской пластины G относительно начала координат O 0;0 I 0 I x I y x 2 y 2 x; y dxdy . (3.13) G Вопросы для самоконтроля 1 Какие координаты называются криволинейными? 2 Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интеграле. 3 Чему равен якобиан при переходе от декартовых координат к полярным? 4 Какие геометрические приложения имеет двойной интеграл? 5 Перечислите, при вычислении каких физических величин используется двойной интеграл. 43 Решение типовых примеров 1 Вычислить интеграл y dxdy по области 3 G G x; y y x 2 , y 2 x 2 , xy 1, xy 2 . Р е ш е н и е . Область G представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную графиками функций y x2 , y 2 x2 , 1 2 y , y (рисунок 3. 2, а). x x Рассмотрим непрерывно дифференцируемое при x 0 отображение вида: y (3.14) u 2 , v xy . x Образом области G * является квадрат (рисунок 3. 2, б) G* u; v 1 u 2, 1 v 2 . Данное отображение является взаимно однозначным, поскольку уравнения (3.14) разрешимы относительно x и y : xu 1 1 3v 3 , y 1 2 u 3v 3 . Рисунок 3. 2 – Области G (а) и G * (б) для типового примера 1 Найдем якобиан отображения6 44 x Dx; y J u y Du; v u x 1 u 3v3 v 3 1 2 y 1 3 3 u v v 3 4 1 2 2 1 3 3 u v 1 3 . 1 1 3u 1 3 3 u v 3 Тогда 1 1 1 2 3 3 3 3 x u v , y u v , 3 2 1 dudv uv G y dxdy J 1 3u G* 3u 2 2 1 1 1 2 v3 v 2 dudv du v 2 dv u 1 3 G* 31 1 3 3 2 Вычислить интеграл e x2 y2 G G x; y x 2 2 1 1 2 1 8 1 7 . 3 3 3 9 dxdy , где y 2 1, x 0, y 0 . Р е ш е н и е . Область G представляет собой часть круга радиуса 1, расположенного в первой четверти (рисунок 3. 3, а) Преобразуем двойной интеграл к полярным координатам по формулам (3.4). При этом область G преобразуется в прямоугольник (рисунок 3. 3, б): G * r ; 0 r 1; 0 . 2 Рисунок 3. 3 – Области G (а) и G * (б) для типового примера 2 По формуле (3.5) имеем: 45 e x2 y2 dxdy e r 2 cos 2 r 2 sin G* G r drd e r r drd 2 G* 2 2 1 1 1 e r d r 2 d e10 02 e 1 e 1 . 20 2 2 2 4 0 3 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 4y y2 , x y 6 . Р е ш е н и е . Найдем координаты точек пересечения данных линий. Для этого решим систему: 2 x 4 y y 2 , x 4 y y , 2 x y 6, 4 y y y 6 0, 2 x 4, x2 3, x 4 y y , 2 1 y 5 y 6 0, y1 2, y2 3. Итак, имеем две точки пересечения A4;2 и B 3;3 . Подставляя в формулу (3.6) вычисления площади, получим: 1 3 S dxdy dy G y 2 3 2 2 4 y y2 3 x 4 y y 2 dy dx 6 y 6 y 2 1 5 y 6 dy y 3 4 Вычислить x 2 3 3 5 1 y2 6y . 2 2 6 y 2 dxdy , если область G ограничена G окружностью x 2 y 2 2ax . Р е ш е н и е . Преобразуем уравнение окружности: 2 x 2 y 2 2ax 0 ; x a y 2 a 2 . Область G представляет собой окружность с центром в точке a;0 и радиусом a (рисунок 3. 4). Переходя к полярным координатам x r cos , y r sin , / 2 / 2 , получаем уравнение окружности: x 2 y 2 2ax r 2 2ar cos r r 2a cos 0 . 46 Отсюда r1 0 ; r2 2a cos , т. е. 0 r 2a cos . Рисунок 3. 4 – Область G для типового примера 5 Тогда x G 2 y dxdy r rdrd 2 2 G* 2 d 2 a cos 0 2 2 2 4a 4 cos 4 d 4a 4 cos 4 d 4a 4 2 2 1 3 a 4 sin 2 sin 4 8 2 2 2 0 d 1 cos 2 d 2 2 2 a cos 2 2 r4 r dr 4 2 3 2 3 3 3 a 4 a 4 . 4 2 4 5 Найти площадь части конуса z x 2 y 2 , заключенной внутри цилиндра x 2 y 2 2 x . Р е ш е н и е . Из уравнения конуса имеем x y , f y' . f x' x2 y 2 x2 y 2 Проекцией поверхности на плоскость Oxy является круг, ограниченный окружностью x 1 y 2 1 (рисунок 3. 5). Тогда по формуле (3.7) площадь поверхности равна 2 S G x 1 x2 y2 2 y x2 y2 47 2 dxdy 2 dxdy G x r cos , y r sin , J r , 2cos 2 2 2 r 2 d rdr 2 2 2 0 , 0 2 2 2 0 r 2cos 2cos 0 d = 1 cos 2 sin 2 2 d 2 2 4 2 cos d 4 2 2. 2 2 0 0 0 2 2 2 Рисунок 3. 5 – Рисунок для типового примера 6 Рисунок 3. 6 – Рисунок для типового примера 7 6 Найти объем тела, ограниченного поверхностями y x2 , x y z 4 , y 1, z 0 . Р е ш е н и е . Данное тело представляет собой вертикальный цилиндр, который сверху ограничен частью плоскости z 4 x y , снизу – частью плоскости, заключенной между параболой y x 2 и прямой y 1 (рисунок 3. 6). Тогда по формуле (3.8) получим: 1 V 4 x y dxdy dy G 0 y 4 x y dx y 48 1 x2 4 y x 2 0 1 1 1 2 1 dy 2 4 y y dy 0 2 3 68 . 15 0 0 7 Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до центра кольца. Р е ш е н и е . Обозначим радиусы окружностей, ограничивающих кольцо, через r1 и r2 , r1 r2 . Поместим полярный радиус системы координат в центре кольца. Тогда уравнения окружностей примут вид r r1 и r r2 . Поверхностная плотность в люk бой точке кольца равна 2 . r Масса кольца по формуле (3.9) равна x r cos , k m 2 dxdy y r sin , J r , 2 x y G 0 2 , r r r 1 2 8 y 2 dy 2 y 2 dy 2 r2 d 0 k ln r1 r1 r2 2 r 2 k 1 r dr k d dr k 2 r r 0 r 1 2 r1 d 2k ln r 0 ln r 2 r2 r1 d 0 . 2 8 Найти массу пластинки G , заданной неравенствами x2 y2 3x 1 4, x 0, y , 4 9 2 9x если поверхностная плотность x, y 3 y Р е ш е н и е . Переходим к обобщенным полярным координатам x 2r cos , y 3r sin . Якобиан отображения равен J 6r . 49 Из неравенства 1 1 r 2 . x2 y2 4 4 9 получим 1 r 2 4 , т. е. 3 x имеем 2 3r sin 3r cos tg 1 . Из уравнения прямой y Отсюда . Поскольку x 0 , то очевидно, что 4 Значит, по формуле (3.9) имеем 9x 9 2r cos m 3 dxdy 6rdrd y 27r 3 sin 3 G G* 4 G* /2 4 2 . cos dr cos d drd 4 3 3 r r sin / 4 sin 1 2 2 sin /2 ln r 2 1 2 2 4 ln 2 ln1 2ln 2 . /4 9 Найти центр масс равнобедренного прямоугольного треугольника, если в каждой его точке поверхностная плотность пропорциональна расстоянию ее до гипотенузы. Найти момент инерции данного треугольника относительно его гипотенузы. Р е ш е н и е . Пусть в прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC гипотенуза AB (рисунок 3. 7). Рисунок 3. 7 – Рисунок для типового примера 10 Тогда относительно системы координат Oxy уравнения катетов AC и BC будут y x a и y a x . Согласно условию 50 задачи в точке x; y треугольника ABC плотность имеет вид x; y ky . По формуле (3.9) для массы получим: kydxdy k ydy dx k yx y a dy m ABC a a y 0 y a a a y 0 a 0 0 a k y a y y a dy 2k ay y 2 dy a ay2 y 3 ka3 . 2k 3 3 2 0 По формулам (3.10) находим статические моменты: a Sx a y a y a 0 2 y kydxdy k y dy dx 2k y a y dy 2 ABC 0 a ay3 y 4 ka4 ; 2k 4 6 3 0 Sy a a y 0 y a x kydxdy k y dy x dx 0 . ABC Координаты центра тяжести находятся по формулам (3.11): a xc 0 , yc . 2 Момент инерции относительно гипотенузы AB представляет собой I x . Поэтому по формуле (3.12) получим: Ix y a 2 a y a y a 0 kydxdy k y dy dx 2k y 3 a y dy 3 ABC 0 a ay4 y 5 ka5 . 2k 5 10 4 0 51 Задания для аудиторной работы 1 Вычислить x 2 y 2 dxdy , где G – область, ограниченная G линией x2 y 2 4 y . 2 Вычислить 2 x 2 2 y 2 sin x y dxdy , где G – парал- G лелограмм: x y 2 , x y 4 , x y 1 , x y 2 . 3 Вычислить 4 x 2 y 2 dxdy , где G – область, ограни- G ченная линией x y 2 4 Вычислить 2 G 2 4 x2 y 2 . x2 y2 dxdy, где G – область, ограниsin 9 4 x2 y2 x2 y2 1 и 1. 4 9 16 36 dxdy 5 Вычислить , где G – трапеция ABCD : A1;3 , x y 3 G ченная линиями B2;6 , C 6;2 , D 3;1 . 6 Найти площадь области G , ограниченной линиями 3x 3 y 7 0 , y 2 2 y 3 x 0 . 7 Найти массу пластинки y x , y x 3 , x 0 , x 1 , если поверхностная плотность равна сумме координат точки. 8 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 10 x 25 , y 2 6 x 9 . 9 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y x , x 2 y , x y 1 , x 3y 1. 10 Вычислить площадь области, ограниченной кривой x 2 y 2 2 x3 . 2 11 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: 52 а) z x 2 y 2 , y 0 ); 3 x y 0, x y 0, x2 y 2 8 (x 0, б) x 2 y 2 4 x , 2 z x 2 y 2 , z 0 ; в) z x 2 y 2 , x 0 , y 0 , x 2 , y 3 ; г) x 2 y 2 4 отсекаемого плоскостями z 0 , z 3x , z 0 . 12 Найти массу плоской пластинки G с плотностью x; y и ограниченной линиями: x2 y2 3 1 , x 0 , y x , x, y xy 2 ; а) 16 9 2 б) x y 1 , x y 2 , 2 x y 0 , 4 x y 0 , x; y x y 2 ; в) x y 1 , x y 2 , 3x y 0 , 4 x y 0 , x; y x y . 4 13 Найти статические моменты относительно осей координат, центр тяжести и моменты инерции однородной пластинки, ограниченной линиями: а) x y 4 , x 3 y 0 , x 5 y 16 ; б) y x 2 1 , x y 3 0 ; в) x y 12 , x 3 y 0 , 4 x 3 y 0 , x 0 , y 0 ; г) x 2 y 2 4 , y 2 x x 2 , x 0 , x 0 , y 0 . Задания для домашней работы 1 Вычислить r drd , где 2 G – область, ограниченная ли- G ниями r 31 cos и r 3 (область, не содержащая полюса). 2 Вычислить x 2 y 2 dxdy , где G – область, ограниченная G линиями x y 9 , x 2 y 2 25 , y x , y x 3 . 2 2 3 Вычислить e x2 y2 dxdy , где G – область, ограниченная G линиями: 53 а) x 2 y 2 1 ; 4 Вычислить б) x 2 y 2 4 . xydxdy, где G – область, ограниченная лини- G ями y x , y x 3 , x2 y 2 2x , x2 y 2 3x . 5 Вычислить x 2 y dxdy , где G – трапеция ABCD : D A 2;2 , B 1;2 , C 3;4 , D 6;2 . 6 С помощью двойного интеграла найти площадь области, ограниченной линиями y 2 4 x , x 3 y 0 . 7 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , yx 3. x2 y 2 4x 0 , x2 y 2 6x 0 , y 3 8 Вычислить площадь области G : x2 y 2 2x , x2 y 2 x . 9 Найти площадь области y e x , y e x , x 1 . 10 Вычислить площадь области G , ограниченной кривой x 2 y 2 18 x 2 y 2 . 2 11 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: 3 x y 0 , x2 y 2 8 ( x 0 , а) z x 2 y 2 , x y 0 , y 0 ); б) x 2 y 2 4 x , 2 z x 2 y 2 , z 0 ; в) конуса z 2 2 xy , отсекаемого плоскостями x 0 , y 0 , x y 2; г) конуса y 2 z 2 x 2 , отсекаемого цилиндром x 2 y 2 4 . 12 Найти массу плоской пластинки G с плотностью x; y и ограниченной линиями: y 4x а) x 2 y 2 4 , x 2 y 2 9 , x 0 , y 0 , x, y 2 , x y2 б) x y 1 , x y 3 , 5 x y 0 , 10 x y 0 , x; y x y ; 3 54 в) x y 1, x y 3, 2x y 0 , 5x y 0 , x; y x y . 3 13 Найти статические моменты относительно осей координат, центр тяжести и моменты инерции однородной пластинки, ограниченной линиями: а) x 2 y 0 , x y 8 , y 8 , x 3 ; б) y 3 x 2 , y x 2 2 ; в) x y 8 , x y 9 ; г) x 2 y 2 8 , x y 0 , y 3 x , x 0 , y 0 . 55 Практическое занятие 4 Формула Грина 4.1 Формула Грина 4.2 Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования 4.1 Формула Грина Пусть в плоскости Oxy задана замкнутая элементарная относительно оси Ox или Oy область G , ограниченная замкнутым контуром . Т е о р е м а 1 ( ф о р м у л а Г р и н а ) Если функции Px; y и Qx; y непрерывны вместе со своими частными производными Q P и в области G , то имеет место формула x y Q P x y dxdy Pdx Qdy , (4.1) G где контур обходится в положительном направлении. Формула Грина справедлива для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей. Формула Грина связывает интеграл по границе области с интегралом по самой области. Площадь области G , ограниченной замкнутым контуром , с помощью формулы Грина вычисляется по формуле 1 S dxdy xdy ydx . (4.2) 2 G 4.2 Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования Плоская область G называется односвязной, если любой замкнутый контур , лежащий внутри этой области, ограничивает область G , полностью принадлежащую G . 56 Т е о р е м а 2 Пусть функции Px; y и Qx; y определены и P непрерывны вместе со своими частными производными и y Q в замкнутой односвязной области G . Тогда следующие x четыре условия эквивалентны: 1) для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой , расположенной в G , верно Pdx Qdy 0 ; 2) для любых двух точек A и B области G значение интеграла Pdx Qdy AB не зависит от выбора пути интегрирования AB , целиком лежащего в G ; 3) выражение Pdx Qdy представляет собой полный дифференциал некоторой функции, определенной в области G : Pdx Qdy dF ; 4) в области G всюду P Q . y x Вопросы для самоконтроля 1 Какая область называется односвязной? 2 Какие условия должны выполняться для того, чтобы была справедлива формула Грина? 3 Перечислите эквивалентные условия, если функции Px; y и Qx; y определены и непрерывны вместе со своими частными Q P производными и в замкнутой односвязной области. x y 57 Решение типовых примеров 1 Вычислить интеграл x y dx x y dy , где x; y x 2 y 2 4 . Р е ш е н и е . Вычислим интеграл с помощью формулы Грина. Имеем Px; y x y , Qx; y x y , Q P 1. 1 , x y Тогда 2 x y dx x y dy 1 1 dxdy 2 2 8 . x2 y 2 4 1;1 2 Вычислить интеграл x2 y 2 4 ydx xdy . 0;0 Q P 1 . Согласно теоx y реме 2, интеграл не зависит от пути интегрирования. Из выполнения условия 4) следует справедливость условия 3). Так как d xy xdy ydx , то Р е ш е н и е . Здесь P y , Q x , 1;1 1;1 ydx xdy xy 0;0 1 0 1. 0; 0 3 Вычислить площадь, ограниченную астроидой x a cos3 t , y a sin 3 t , 0 t 2 Р е ш е н и е . По формуле (4.2) находим 2 1 S = a cos3 t 3a sin 2 t cos t a sin 3 t 3a cos 2 t sin t dt 20 3a 2 2 2 0 3a 2 cos t sin t sin t cos t dt 2 4 2 4 2 58 2 sin 0 2 t cos 2 tdt 3a 2 8 2 0 sin 2 2tdt 3a 2 16 2 1 t sin 4t 16 4 3a 1 cos 4t dt 0 2 2 0 3a . 8 4 Вычислить криволинейный интеграл 2 1;1 12 xy 4 x dx 6 x 2 2 y dy , 0; 0 предварительно определив функцию U x; y , соответствующим полным дифференциалом которой является подынтегральное выражение. Р е ш е н и е . Функции Px; y 12 xy 4 x 2 , Qx; y 6 x 2 y непрерывны вместе со своими частными производными в любой односвязной области, содержащей точки 0;0 1;1 . Поскольку P Q 12 x , 12 x , y x P Q то . Следовательно, данный интеграл не зависит от пуy x ти интегрирования. По теореме 2 подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции U x; y : dU 12 xy 4 x 2 dx 6 x 2 y dy . С другой стороны U U dU dx dy . x y Сравнивая два выражения для dU , получим U U 6x2 y . 12 xy 4 x 2 , y x Из первого равенства, считая y постоянным, находим 59 U x; y 6 x 2 y 4 3 x C y . 3 Находим частную производную по переменной y U 6x2 C ' y . y Сравнивая полученное выражение с имеющимся для получим U , y 6x2 C ' y 6x2 y . Отсюда C ' y y и C y y2 . 2 Поэтому U x; y 6 x 2 y 4 3 y2 x . 3 2 Тогда данный интеграл равен 1;1 12 xy 4 x dx 6 x 2 2 y dy U 1;1 U 0;0 6 0; 0 4 1 51 . 3 2 6 Задания для аудиторной работы 1 Проверить, зависят ли следующие криволинейные интегралы от пути интегрирования: а) 2x ex 2 y2 dx 3 y 2e x 2 y2 dy ; б) 8 x sin 4 x 2 5 y 2 dx 10 y sin 4 x 2 5 y 2 dy ; в) xy 3 x 2 2 y 2 dx y 5 3x3 y 2 x 4 dy . 2 Применив формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы: а) 1 x ydx x1 y dy , x; y 2 2 60 x2 y 2 9 ; б) 2x y 2 dx x y dy , – треугольник с вершинами 2 2 A1;1 , B 2;2 , C 1;3 ; в) xy x y dx xy x y dy , x; y x 2 y 2 ax ; г) 2 xdx ydx , где – замкнутый контур, ограниченный ду гой параболы y x 2 0 x 1 и отрезком прямой y x между точками O 0;0 и B 1;1 . 3 Вычислить криволинейный интеграл, предварительно определив функцию U x; y , соответствующим полным дифференциалом которой является подынтегральное выражение: 1; 2 а) 3 y 2 4 y dx 6 xy 4 x 4 y dy ; 0;1 1;1 б) 4 x 3 3 y 2 5 y dx 5 x 6 xy 4 y dy . 1; 1 Задания для домашней работы 1 Проверить, зависят ли следующие криволинейные интегралы от пути интегрирования: а) б) x 2 y 2 1dx ln x 2 y 2 1 dy ; 4 x 3 12 x 2 y dx 5 y 4 4 x3 dy . 2 Применив формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы: x2 y 2 1 ; а) xy x y dx xy x y dy , x; y 4 9 61 б) x y dx x y dy , в) e y2 x2 x2 y 2 x; y 1 ; 4 9 cos 2 xy dx sin 2 xy dy , x; y x 2 y 2 16 ; г) x 2 y 2 dx y xy ln x x 2 y 2 dy , где – контур прямоугольника с вершинами A3;2 , B6;2 , C 6;4 , D 3;4 . 3 Вычислить криволинейный интеграл, предварительно определив функцию U x; y , соответствующим полным дифференциалом которой является подынтегральное выражение: 1;1 а) 3 x 2 1; 1 1;3 б) y 4 xy2 dx x 3 4 x 2 y 3 y 2 dy ; 4 xy 15 x y dx 2 x 2 2 5 x 3 7 dy . 0; 2 62