Численное моделирование эволюции вихревого

Численное моделирование эволюции вихревого возмущения на
последовательности вложенных сеток
К.И.Зырянов
Институт вычислительных технологий СО РАН
E-mail: k-zyryanov@ngs.ru
1. Введение.
Диссипативный эффект, возникающий в молекулярных газах в процессе термической
релаксации, известен с середины 30-х годов прошлого столетия [1, 2]. В последнее время
он привлёк внимание аэродинамиков в связи с перспективой использовать его для
затягивания ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП) и подавления турбулентности. Как
известно [3], при умеренном термическом возбуждении этот эффект описывается
коэффициентом объёмной вязкости в уравнениях Навье-Стокса.
Для рассмотрения нелинейного этапа ЛТП в [4] было предложено исследовать
модельное течение с начальными данными, составленными суперпозицией вихря Рэнкина
с линейным сдвиговым потоком. Несмотря на простоту, такая модель вполне адекватно
воспроизводит характерный момент современных сценариев перехода и генерации
развитой турбулентности, состоящей в эволюции крупных вихревых структур на фоне
несущего сдвигового течения [5]. Проведённые в [4] расчёты такого течения на основе
полных уравнений Навье-Стокса показали, что в реально достижимом диапазоне значений
объёмной вязкости диссипативный эффект, оцениваемый по скорости затухания
начального вихревого возмущения, достаточно существенен.
Вместе с тем расчёты в [4] выполнялись на относительно грубой сетке. Это
позволяло предположить, что, по крайней мере, часть диссипативного воздействия,
зафиксированного на уровне нескольких процентов, может быть связано с влиянием
схемной вязкости. С тем, чтобы разделить физический и аппроксимационный эффекты, в
данной работе модельное течение [4] рассчитывалось на последовательности вложенных
сеток. Предварительно были выполнены тестовые расчёты на точных решениях системы
Навье-Стокса, в которых при измельчении разбиения расчётной области достигалась
сходимость, соответствующая теоретическому порядку аппроксимации использованной
схемы.
2. Постановка задачи и основные уравнения.
В модельной ячейке, представляющей квадратную область в поле течения, начальнокраевая задача ставилась следующим образом. Динамика вихревого возмущения
описывалась системой полных уравнений Навье-Стокса сжимаемого теплопроводного
газа. В качестве характерных величин для обезразмеривания были выбраны начальный
2
диаметр структуры 2R0 , время  0  2 R0 / U 0 и давление p 0   0U 0 , а также модуль
 0 и температура T0 на границах расчетной области,
скорости U 0 , плотность
параллельных основному потоку. Завихренность обезразмеривалась на величину
0  2U 0 / l . В безразмерных переменных система уравнений для построения разностной
схемы записывалась в операторном виде
f
 Af  R.
t
Здесь
(1)
f  (, u x , u y ,T )
– вектор решения, компоненты которого есть плотность,
скорости в направлении координатных осей x, y и температура соответственно. Операторы
A и R в уравнении (1) имеют вид



a1



t
t

T


a1  a 2
0
 M 2 x
A T 

0
a1  a3
2
 M y

  1T    1T 
0

x
y

4  3   2 


a1  u x
 uy
, a2  
x
y
3 Re x 2



1  
M 2 x 
1  

M 2 y 

a1  a 4 

2
1 
,
 Re y 2
0
4  3 

2
1 2

2

2
a3

, a4  

,
3 Re y 2  Re x 2
 Re Pr x 2  Re Pr y 2
R  0, R x , R y , Rd ,
Rx
2

1  3   u y

,
3 Re xy
   1M 2
Rd  
 Re
Ry  
1  3   2 u x ,
3 Re xy
2
2
2
 u
u y   u x  2  u y  
2  u x u y  
x
 
     
 



 
x   x   y  
3  x
y  
 y

(2)
Предполагалось, что диссипативные коэффициенты
в системе (1) не зависят от
температуры и постоянны. Градиенты давления в уравнениях импульсов были исключены
с помощью уравнения состояния идеального газа, которое в безразмерных переменных
2
имеет вид p  T M .
Для системы (1) на границах расчетной области во все моменты времени
выполнялись условия:
при
x    2,
y    2 ,  2
u x t ,  2 , y   u x t ,  2, y , u y t ,  2 , y   u y t ,  2, y 
(3)
 t ,  2 , y    t ,  2, y , T t ,  2 , y   T t ,  2, y 
при
y    2,
x    2 ,  2
u x t , x,  2  u x t , x,  2, u y t , x,  2  u y t , x,  2
(4)
 t , x,  2   t , x,  2, T t , x,  2  T t , x,  2
Несущий поток в модельной ячейке задавался как точное стационарное решение
системы (1), (2) (течение Куэтта) с граничными условиями (3), (4):
U x y 
2y

, Ts  y   1 
  1M 2 Pr 1  4 y 2 ,


2
 s  y   Ts1  y , y    2 ,  2.

 
2
(5)
Начальные условия для поля скорости, включающие вихревое возмущение, определялись
в виде


2 y   y 2 x 2  y 2 , x 2  y 2  1 / 4,
u x 0, x, y   
2 y   2y
x 2  y 2  1 / 4,

 x 2 x 2  y 2 , x 2  y 2  1 / 4,
u y 0, x, y   
x 2  y 2  1 / 4,
  2 x   2y


(6)
а начальное распределение термодинамических величин соответствовало условиям
невозмущенного потока (5).
Параметры, входящие в уравнения (1), (2) и условия (3) – (6), определяются
следующим образом. Коэффициент  равен отношению объемной вязкости к сдвиговой
   v  и характеризует степень неравновесности внутренних степеней свободы
молекул
газа.
Параметры
M  U0
RT0
есть
число
Маха
несущего
потока,
Re  2U 0 R0  0  – число Рейнольдса, Pr  c p  – число Прандтля. Здесь R есть газовая
постоянная,
  c p cv – показатель адиабаты, c p и cv – удельные теплоемкости при
постоянных давлении и объеме соответственно,  – коэффициент теплопроводности.
   0 R0 2U 0 
Параметр
возмущения. Величина
определяет
относительную
интенсивность
вихревого
  l 2R0  характеризует коэффициент перемежаемости в
возмущенном потоке.
Все расчеты проводились при следующих значениях параметров: M=0.5; Re=100;
Pr=0.74; β=0.2; χ=3; γ=1.4; α=0...2.
3. Разностная схема и метод решения.
В расчетах использовались регулярные сетки
с одинаковым шагом h по обеим
пространственным координатам. Система (1) аппроксимировалась весовой конечноразностной схемой с расщеплением по физическим процессам и пространственным
переменным [6]. В операторной форме схема имеет вид
f hn 1  f hn



 A (h2) f hn 1  1   f hn  R nh

(7)

n
n
n
n
n
Здесь f h   h , u x,h , u y ,h , Th – сеточная вектор-функция решения на n-ом временном слое
( 2)
в узле (i, j);  – шаг по времени,  – весовой параметр. Оператор A h включает
симметричные аппроксимации со вторым порядком первых и вторых пространственных
производных на трёхточечном шаблоне по каждой пространственной координате.
n
Оператор R h в правой части равенства (7) состоит из симметричных по каждой
пространственной
координате
аппроксимаций
со
вторым
порядком
смешанных
производных из уравнений импульсов и слагаемых диссипативной функции из уравнения
энергии.
Разностная схема (7) аппроксимирует исходную дифференциальную систему (1) с


2
порядком    h и абсолютно устойчива при   0,5 .
4. Тестирование схемы.
Эффект дополнительного подавления возмущений, связанный с объемной вязкостью,
предварительно оценивался на уровне нескольких процентов. Поэтому было необходимо,
чтобы вычислительные погрешности не превышали величин третьего порядка малости. С
этой целью использованная в расчетах схема (7) тщательно тестировалась. Для
тестирования были взяты точные решения системы Навье-Стокса (1), которые являются
составными элементами рассматриваемого модельного течения.
Параметры течения в тестовых расчетах были идентичны использованным в
основной серии. Шаг по времени во всех расчетах был τ = 0.01. Рассматривалась
последовательность вложенных сеток с шагом h = 0.1; 0.05; 0.025; 0.0125. Наиболее
мелкая сетка содержала 241 241 узлов. Это позволило определить порядок практической
сходимости реализованной в работе схемы. Все расчеты выполнялись с удвоенной
точностью. Относительные погрешности оценивались в нормах пространств сеточных
функций
h
L2 , h
L2 , h
и Ch по формулам

hn  Ph
Ph
L2 , h
h
,

Ch
hn  Ph
L2 , h
Ph
Ch
,
Ch
(8)
12
где
h
L2 , h

2
   i , j  ,
 i , j 

h
Ch
 max i , j
i , j 
; оператор проектирования на сетку Ph
на точных решениях определялся как Ph x, y, t    ih, jy, n  .
Возмущения, временная эволюция которых прослеживалась в модельном течении,
определялись следующим образом:
h   h  Ph 0 ,
(9)
где  h – мгновенные значения расчетных сеточных характеристик,  0 – характеристики
стационарного несущего потока (5). В этой связи было необходимо, чтобы разностная
схема с высокой точностью сохраняла стационарные профили (5), являющиеся точным
решением задачи Куэтта для системы Навье-Стокса (1) с граничными условиями (3), (4).
Расчеты
проводились
на
вычислительных погрешностей
временах
T  800 .
для ux, h , u y , h , h
Зависимости
от
времени
и Th проявляли универсальное
поведение. Погрешности на наиболее грубой сетке 31 31 значительно превышают
погрешности на более мелких сетках. На всех сетках отклонения от точного решения
выходят на стационарные значения за времена порядка 50τ. Характерные зависимости от
времени погрешностей
отметить, что именно
u y,h
u y , h
в равномерной
Ch
норме Сh приведены на рис. 1. Следует
подвержены наибольшим флуктуациям, так как в данном
случае фиксируется отклонение от нуля.
Можно констатировать, что за исключением
u y , h
, все параметры сходятся к
точному решению приблизительно с теоретическим порядком аппроксимации данной
 
схемы  h . Одновременно результаты показывают, что на интервале времени t  800
2
относительные отклонения от точного решения (5) для всех сеток не превышают
величины порядка 10-6. Таким образом, реализованная в расчетах схема с высокой
степенью точности воспроизводит параметры несущего потока.
Рис. 1. Временные зависимости погрешностей
u y ,h
Ch
: ○ – h = 0.1; * – h = 0.05; + – h =
0.025; ● – h = 0.0125.
h
0.1
0.05
0.025
0.0125
Ux
8.769e-006
1.321e-006
3.405e-007
1.039e-007
Uy
2.166e-006
4.2e-007
2.58e-007
1.08e-007
T
4.6e-007
2e-008
3e-009
1.5e-009
Ro
6.597e-008
1.378e-008
3.11e-009
8.66e-0010
Таблица № 1. Установившиеся значения погрешностей аппроксимации точных решений
(6) при t = 8 для различных значений шага сетки h в норме Сh.
5. Расчет модельного течения на последовательности вложенных сеток.
Для оценки влияния объемной вязкости на пульсационные характеристики модельного
течения, как и в [4], рассматривалась эволюция во времени кинетической энергии
возмущения
 2
 2

1
E t    dx  dy ux2  uy2
2  2  2

(10)
и абсолютной величины рейнольдсовых напряжений
 xy t  
 2



 2
2
 dy u

2
x
dx

2
 uy2

(11)
Интегралы в (10), (11) вычислялись по квадратурным формулам трапеций с шагом h
= 0.1, 0.05, 0.025. Расчеты выполнялись на последовательности вложенных сеток с шагами
h = 0.1, 0.05, 0.025.
Рис. 2. Зависимость от времени кинетической энергии возмущений для сетки с шагом h =
0.025: 1 – α = 0.0; 2 – α = 0.5; 3 – α = 1.0; 4 – α =1.5; 5 – α = 2.0.
Как следует
из приведенных зависимостей, с ростом коэффициента объемной
вязкости кинетическая энергия возмущений затухает все более интенсивно. Для всех
использованных
сеток
эти
графики
практически
неразличимы
и
совпадают
с
аналогичными зависимостями, рассчитанными в [4] на сетке с шагом h = 0.1. Таким
образом, результаты, полученные здесь на умельчающихся сетках, подтверждают данные
работы [4] и свидетельствуют, что вклад схемной вязкости в интегральные диссипативные
характеристики незначителен.
Для количественного сравнения вкладов объемной и схемной вязкостей в
диссипацию
пульсационных
величин
вычислялись
усредненные
относительные
отклонения
 E ,h   
E  , h   E 0, h 
E 0, h 
 100%
(12)
при α = 0.1…2.0 и h = const, а также
 E ,   
E  , h   E  ,0.025
E  ,0.025
 100%
для h = 0.1; 0.05 и α = const. Здесь угловые скобки
(13)
означают усреднение по времени

  , h    1   t ,  , h dt
(14)
0
Усреднения проводилось на интервале   5 . Отметим, что осредненные в соответствии с
(14) интегральные характеристики проявляют тенденцию к сходимости по h с порядком
O(h1.5).
α = 0.5
α = 1.0
α = 1.5
α = 2.0
h = 0.1
1.2125
2.5573
5.3571
9.6120
h = 0.05
1.2120
2.5562
5.3548
9.6078
h = 0.025
1.2117
2.5556
5.3536
9.6056
Таблица № 2. Относительные отклонения
 E ,h  
,%
α = 0.0
α = 0.5
α = 1.0
α = 1.5
α = 2.0
h = 0.1
0.06609
0.06690
0.06783
0.06983
0.07312
h = 0.05
0.02203
0.02230
0.02261
0.02328
0.02437
Таблица № 3. Относительные отклонения
 E , h 
,%
Результаты расчетов по соотношению (12) сведены в таблице № 2. Как следует из этих
данных, при изменении коэффициента объемной вязкости среднее относительное
снижение кинетической энергии возмущений приближается к 10%. При этом изменения
 E ,h  
в зависимости от шага сетки h происходит лишь в четвертом знаке после запятой.
В таблице № 3 приведены результаты расчетов величин
 E , h 
по (13). Видно, что
влияние схемной вязкости на усредненные пульсационные характеристики не превышает
0.1%. Таким образом, отношение вклада объемной вязкости к вкладу схемной вязкости
лежит в пределах от одного до двух порядков.
6. Заключение.
На основе модельной задачи численно исследовано влияние объёмной вязкости на
нелинейное взаимодействие вихревого возмущения конечной амплитуды с несущим
сдвиговым потоком. Диапазон параметров модельного течения соответствовал реальным
значениям
для
молекулярных
газов.
Во
всех
расчётах,
выполненных
на
последовательности вложенных сеток с шагами h = 0.1; 0.05; 0.025; 0.0125, наблюдалась
сходимость, в частности, к тестовым точным решениям, с порядком не ниже первого.
Полученные результаты позволяли количественно выделить вклад схемной вязкости в
моделируемые физические диссипативные эффекты. Показано, что погрешности,
вносимые схемной вязкостью в расчётные пульсационные характеристики, не превышают
0.1%. Вместе с тем вклад объёмной вязкости в диссипацию возмущений составляет до
10%. Таким образом, подтверждены данные работы [4], полученные для той же
модельной задачи для более широкого диапазона чисел Маха и Рейнольдса, но на более
грубой сетке.
В совокупности, результаты [4] и настоящей работы дают основание для более
детального исследования эффекта объёмной вязкости (релаксации вращательных степеней
свободы) на основе более современных моделей.
Выражаю благодарность за внимание к работе и полезные советы д.ф.м.н,
профессору Ю.Н. Григорьеву и к.ф.м.н., доценту И.В. Ершову.
[1] Леонтович М.А. Замечание к теории поглощения звука в газах // Журнал экспер. и
теорет. физики. 1936. Т.6, вып. 6. С. 561–576.
[2] A discussion on the firth and second viscosities // Proc. Roy./ Soc. A. 1954. V. 226. P. 1–69.
[3] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть II. М.:
Физматгиз, 1963.
[4] Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Подавление вихревых возмущений релаксационным
процессом в течениях возбужденного молекулярного газа// Журнал прикл. механики и
техн. физики. 2003. №4. С. 22–34.
[5] Абрамович Г.Н., Гиршович Т.А., Крашенинников С.Ю. и др. Теория турбулентных
струй. Под ред. Г.Н. Абрамовича. М.: Наука, 1984.
[6] Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики.
Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1981.
[7] Конр Г., Корн Е. Справочник по математике для научных работников и инженеров.
Под ред. И. Г. Абрамовича. М: Наука, 1970.