Решение заданий КИМов_профильный уровень

Критерии профильный уровень.
вариант 1
1
6
2
3
3
1840
4
1
5
0,48
6
6
7
60
8
0,5
9
1500
10
1
11
6
12
4
13
9
14
4
15. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Запишем исходное уравнение в виде:
Значит,
да
либо
откуда
либо
или
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
отку-
По-
лучим числа
Ответ: a)
б)
16. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ―
середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
Решение.
а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой PB до пересечения ее с прямой AB в точке L, а в плоскости ABC через точку L прове-
дем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с прямой СD в точке M. По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM параллельна прямым PB и BC. Прямая LM параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KLM пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM. Обозначим через N точку пересечения этой прямой с ребром PD.
Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN.
б) Отрезки KL и MN равны, как средние линии равных правильных треугольников ABP и DCP,
а отрезок LM ― средняя линия квадрата ABCD, следовательно, построенное сечение ― равнобедренная трапеция, в которой LM = 4,
KL = KN = MN = 2.
Проведем
и
дим
высоту KF этой
из
трапеции.
прямоугольного
Тогда
треугольника KLF нахо-
Окончательно получаем
Ответ:
17. Решите неравенство
Решение.
Неравенство имеет смысл при
Для таких
получаем:
Значит,
Ответ:
18. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и
их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
Решение.
а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O1 — центр окружности
радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2 — центр окружности радиуса R,
касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка АВ —
в
точке Е.
Точки О, O2 и С лежат
на
одной
прямой,
поэтому
Аналогично
и
Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен
б) Пусть OA = 6, r = 2 .
Тогда
моугольных треугольников
Из пряи
находим, что
а так как
то
Из этого уравнения находим, что R = 3
(это значит, что диаметр искомой окружности равен радиусу наибольшей из трёх окружностей, то
есть точка Е совпадает с О).
О т в е т : 3.
19. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на
оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит
в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение.
Заметим, что за 4 месяца Александр Сергеевич выплатит 1,1 млн рублей. Таким образом, он не
покроет долг с процентами. Каждый месяц долг увеличивается не более, чем на 1 100 000 · 0,01 =
11 000 рублей. Значит, за пять месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более 1
100 000 + 5 · 11 000 = 1 155 000 рублей, что менее чем 5 · 275 000 = 1 375 000 рублей. Таким образом, Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев.
О т в е т : 5.
20. Найдите все значения параметра
при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение.
Преобразуем систему:
Неравенство
задаёт на плоскости полосу, граница которой — пара параллельных прямых:
и
Если
то система не имеет решений, поскольку правая часть уравнения становится отрицательной. Если
ственную
точку
ству:
то уравнение принимает вид:
и задаёт единкоординаты
которой
удовлетворяют
неравенСледовательно, при
система имеет единственное решение.
Рассмотрим случай
Тогда уравнение
определяет окруж-
ность радиусом
Центр
окружности лежит на прямой y=2x, которая перпендикулярна граничным прямым полосы и пересекает их в точках
и
Система
имеет единственное решение, если только окружность внешним образом касается полосы в
точке или в точке Если точка касания — то
что невозможно. Окружность касается полосы в точке B, только если
и
Получаем:
Условию
удовлетворяет только корень
О т в е т : −2; 3.
21. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел
равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое
всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора
чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
Вопрос а) Заметим, что в левой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится
на 4, поэтому
— количество целых чисел — делится на 4. По условию
поэтому
Таким образом, написано 44 числа.
Вопрос б)
Приведем
равенство
к
виду
Так
как
получаем, что
откуда
Следовательно, отрицательных чисел больше, чем
положительных.
Вопрос в)
Подставим
в
правую
часть
равенства
откуда
Так как
получаем:
то есть положительных чисел не более 17.
Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано
число
4,
25
раз
написано
число
−8
и
два
раза
написан
0.
Тогда
указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
О т в е т : а) 44; б) отрицательных; в) 17.
вариант 2.
1
90
2
3
3
2,5
4
2,5
5
0,1
6
4
7
45
8
7
9
4
10
0,6
11
4000
12
243
13
100
14
-3
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) В силу нечетности и периодичности синуса имеем:
Далее имеем:
б) При помощи числовой прямой или тригонометрической окружности (см. рис.) для каждой
из задающих решения серий отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку
Находим три решения:
Ответ6 а)
16. В основании прямой призмы
сота призмы равна Точка лежит на диагонали
б)
лежит квадрат
причём
со стороной
а вы-
а) Постройте сечение призмы плоскостью
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью
Решение.
а) Прямые
и
лежат в одной плоскоАналогично,
и
лежат в одной плоскости
и пе— искомое сечение.
сти
и пересекаются в точке
ресекаются в точке
Трапеция
б)
ков
а
и
Аналогично,
дикулярах
Поэтому
Из
подобия
треугольни-
находим, что
откуда
Следовательно,
Опустим перпендикуляр
на прямую
По теореме о трёх перпени, значит,
— искомый угол.
Из треугольника
находим, что
Тогда
О т в е т : б)
17. Решите неравенство
Решение.
Значения , при которых определены обе части неравенства:
Для таких
получаем:
Тогда исходное неравенство примет вид:
делено на множестве
имеем:
Учитывая, что неравенство опре-
Ответ:
18. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй
раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через
точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в
точке C.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение CP:PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.
Решение.
а)
скольку
Обозначим
и
Значит,
четырёхугольника
. По-
— вписанные четырёхугольники:
,
и
поэтому
.
Противоположные
попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.
стороны
б) Пусть — радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности
равен
По теореме синусов:
Следовательно,
.
Ответ:
19. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых.
Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит
в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение.
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01а. После первой выплаты сумма долга
составит S1 = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит
По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит полностью, поэтому
откуда
При S = 4 290 000 и а = 14,5, получаем: b = 1,145 и
(рублей).
О т в е т : 2 622 050.
20. Найдите
ма
все
положительные
значения
при
каждом
из
которых
систе-
имеет единственное решение.
Решение.
Если
точке
точке
то уравнение
радиуса а
если
то
того же радиуса (см. рис.).
оно
задает окружность
задаёт
окружность
с
с
центром
центром
в
в