Компьютерная модель вынужденных колебаний пружинного

М.Л. Москвитин, m-mos@yandex.ru, ГБОУ лицей №1550, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Компьютерная модель вынужденных колебаний пружинного маятника.
Ключ. слова: методика преподавания физики, компьютерные модели, вынужденные колебания, резонансные кривые
Аннотация
В работе рассмотрена компьютерная модель вынужденных колебаний груза на пружине при наличии
силы сопротивления, реализованная в программной среде «Живая физика». Модель позволяет наблюдать за ходом колебаний и контролировать его регулируемыми параметрами. Описана методика построения резонансных и фазовых кривых, дан анализ наблюдаемой картины колебаний на основе уравнений
модели. Материал может быть полезен при изучении темы механический резонанс в классах с углубленным изучением предмета, а в упрощенном виде - и в обычных классах. Возможно также его использование в проектных работах соответствующей тематики.
Введение
Тема «Колебания и волны» в школьном курсе физики представлена достаточно широко. Это вполне
оправдано в связи с огромным числом примеров периодических процессов, встречающихся как в природе, так и в работе разнообразных технических устройств. В 9-м и 11-м классах школьники на примерах простых (и не очень) маятниковых систем учатся способам описания и анализа колебаний, выполняют лабораторные работы, решают задачи. Кстати сказать, в этой теме в школьном курсе, на наш
взгляд, наиболее широко реализуется межпредметная связь физики и математики. Не лишне напомнить
и то, что, задания по колебаниям составляют заметную долю в билетах ЕГЭ.
Большая часть времени отводится на изучение свободных колебаний. Вынужденным колебаниям уделяется заметно меньше внимания, за исключением, пожалуй, темы «Переменный ток». В случае механических колебаний ощущается нехватка в первую очередь соответствующего лабораторного и демонстрационного материала. Скажем, было бы очень хорошо иметь в распоряжении демонстрационный
эксперимент, или лабораторную работу, позволяющие изучать основные особенности вынужденных
колебаний в простой маятниковой системе, в том числе явление резонанса.
В данной работе как вариант частичного решения указанной проблемы предлагается использование
компьютерной модели колебаний пружинного маятника под действием периодической внешней силы.
Модель реализуется в известной программной среде «Живая физика»[1]. Предлагаемую методику можно рассматривать как существенное дополнение и расширение к имеющейся в [1]. В частности мы доводим работу до конечного результата – построения резонансных и фазовых кривых и соответствующего анализа. При наличии мультимедийной доски в ходе изучения темы механический резонанс соответствующий демонстрационный эксперимент учитель может провести со всем классом. Полученные данные учащиеся используют для построения амплитудочастотных, фазочастотных характеристик маятника и для ответов на поставленные вопросы. При отсутствии «умной» доски предлагаемый материал
можно использовать в компьютерной лабораторной работе физического практикума (здесь нужен лишь
ноутбук, или нетбук), либо в качестве материала для проектной работы по компьютерному моделированию физических процессов. Мы предполагаем знакомство читателя с базовыми возможностями «Живой
физики». Необходимые детали можно найти в руководстве пользователя [1], или через личный контакт.
Практическая часть
1. Сборка модели.
Эту часть работы для экономии времени лучше проделать заранее. На рабочем столе программы размещаем по вертикали пружину и груз (диск), гравитацию «отключаем»- она здесь не понадобиться.
Один конец пружины блокируем на столе, другой скрепляем с центром диска. Выделяя объекты, задаем
их свойства по своему усмотрению: мы использовали фиксированные значения коэффициента упругости пружины к=144Н/м и массы диска m =1кг (при желании можно создать соответствующие регуляторы значений). Далее выкладываем на стол регуляторы input[ ] амплитуды и частоты внешней вынуждающей силы. В «поле сил» задаём формулу силы вида input[7]*sin(input[8]*time), где input[7] задает
амплитуду Fm внешней силы, а input[8] – ее циклическую частоту  (номера регуляторам присваивает
сама программа). Таким образом, вынуждающая сила в нашей модели имеет вид Fmsin(t). Из меню
выводим на стол клавишу «сопротивление воздуха». Выбираем линейную зависимость силы сопротивления от скорости Fc= -bv, где v- вектор скорости диска, а b(кг/с)- коэффициент сопротивления среды.
Значения b можно изменять с помощью той же клавиши.
Движение диска в рассматриваемой модели в соответствии со вторым законом Ньютона описывается
уравнением
Fmsin(t) –bv + Fупр = ma,
(1)
где a- ускорение диска, Fупр – сила упругости пружины. Движение будет происходить по вертикали,
вдоль оси Оу; задав в свойствах диска начальную координату его центра y0 =0 при недеформированной
пружине, в ходе колебаний будем иметь равенство деформации пружины и координаты y(t) центра
диска. То есть проекция Fy силы упругости будет равна Fy = -k∙у. Для контроля и измерения величин
внешней силы F(t) и координаты у(t) на столе размещаем соответствующие датчики значений, а также
кнопки управления «старт/стоп», «сброс», «контроль паузы». Пример размещения указанных элементов
на рабочем столе показан на рисунке (1).
2. Измерения и обработка данных.
Задаем значения амплитуды силы Fm, циклической частоты , коэффициента сопротивления b. Устанавливаем время до паузы. Например, для использованных нами значений b(кг/с) =1;2;4 и m=1кг характерное время установления колебаний m/b составляет 0.25-1с, так что контроль паузы 10-15с вполне достаточен для установления режима колебаний. Для построения резонансной кривой нужно по датчику
смещения у(t) фиксировать амплитуды А установившихся колебаний для ряда значений частоты внешней силы. Диапазон частот нужно выбрать так, чтобы им охватывалась частота собственных колебаний
груза на пружине. В нашем случае 0 = (k/m)1/2 = 12рад/c и был выбран диапазон 1 до 20(рад/с). Значения величин удобно заносить в таблицу (например, таблица 1). Для построения фазовой характеристики, то есть зависимости сдвига фазы  между величинами внешней силы F(t) и смещения y(t) от циклической частоты , нужно по датчикам находить промежутки ∆t между моментами времени достижения
силой и смещением наибольших значений:  = ∆t. Значения  следует занести в соответствующую
таблицу (например, таблица 2). Далее по табличным значениям строим графики амплитудо- и фазочастотных характеристик (или резонансные и фазовые кривые) колебательной системы. С этой целью
можно использовать либо миллиметровку, либо подходящий графопостроитель: на рисунках 1,2 показаны графики, построенные на смартфоне программой mathstudio.
Анализ и обсуждение
Данные компьютерного эксперимента свидетельствуют о следующем. Во-первых, установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающей силы (см., например, рисунок 1). Во-вторых, зависимость
амплитуды А таких колебаний от частоты  вынуждающей силы имеет выраженный максимум при
совпадении  с 0 = (k/m)1/2, собственной частотой колебаний системы (см. рисунок 2). То есть имеет
место резонанс. Величина резонансной амплитуды Ар тем больше, чем меньше коэффициент сопротив-
ления b (точнее говоря, величина b/m в сравнении с 0). Из данных таблицы 1 получается Ар ̴ 1/b- обратно пропорциональная зависимость. Оттуда же вытекает, что отношение Ар к амплитуде А0 для предельно малой частоты (в нашем случае для =1рад/с) во всех случаях равно (с точностью до целых) величине 0/(b/m). В-третьих, из таблицы 2 и рис. 3 видно, что отставание по фазе смещения от внешней
силы незначительно при малых по сравнению с 0 частотах, но вблизи 0 изменяется ступенчатым образом, стремясь к величине равной примерно -3рад. Наконец отметим, что влияние величины коэффициента сопротивления на вид резонансной и фазовой кривых становиться существенным вблизи резонанса. Приведенный ниже анализ можно адресовать учащимся классов с углубленным изучением предмета.
Чтобы объяснить указанные факты, обратимся к уравнению движения груза (1) и перепишем его в
проекциях на ось Oy в виде дифференциального уравнения
y'' + (b/m)y' + 02y = (Fm/m)sin(t),
(2)
где 0 = (k/m)1/2 а, штрихи означают производные по времени: vy = y', ay= y''. С учетом изложенного выше будем искать решение уравнения (2), соответствующее установившимся колебаниям, в виде
y =Asin(t+). Оно должно удовлетворять (2) при определенных значениях фазы  и амплитуды A.
Чтобы найти их, подставим пробное решение для y в уравнение (2) и после несложных преобразований
получим
A(-2+02)sin(t+) + A(b/m)cos(0t+) = (Fm/m) sin(t)
(3).
Мы не будем точно анализировать это уравнение при произвольных соотношениях величин b/m, 0, 
ввиду громоздкости получающихся выражений. В нашем случае значения b/m(1/с)= 1;2;4, что заметно
меньше 0=12(рад/с). Поэтому при (b/m)<<|-2+02|, вдали от 0 вторым слагаемым в (3) можно пренебречь:
A(-2+02)sin(t+) = (Fm/m)sin(t)
(4).
Отсюда, полагая А>0, получим следующие выражения для амплитуды А и фазы :
A= (Fm/m)/(-2+02) , =0 при  < 0,
A= (Fm/m)/(2 - 02),  = -π при  > 0
(5).
Из формул (5) следует неограниченное возрастание величины А с приближением частоты  к собственной частоте 0 колебаний груза на пружине. При  < 0 смещение груза меняется синфазно с внешней
силой (=0), а при  > 0 отстает от нее по фазе на π ( = -π). При |-0|< b/2m, как нетрудно видеть из
выражения (3), переход от (3) к (4) незаконен и формулы (5) неприменимы. Значение резонансной амплитуды Ap ограничивается именно величиной коэффициента сопротивления b. При  = 0 в левой части выражения (3) остается лишь второе слагаемое:
Aр(b/m)cos(0t+р) = (Fm/m)sin(0t)
(6).
Это уравнение обращается в тождество при
р = -π/2 , Ap= Fm /(b0) ( = 0)
(7).
Значения А, рассчитанные по формулам (5) и (7) приведены в таблице 1. На рисунке 3 показаны соответствующие значения . Эти значения неплохо согласуются с данными измерений при |-0|>2(рад/с)
в соответствии с предыдущим анализом. При  = 0 рассчитанные по (7) резонансные значения Ap и р
практически совпадают с измеренными. Далее, как было отмечено при анализе данных таблицы 1, имеет место примерное совпадение значений величин Aр/А0 и 0/(b/m). С помощью формул (5) (при  = 0)
и (7) равенство Aр/А0 = 0/(b/m) устанавливается непосредственно. Оно может быть практически полезно: зная массу m груза, по экспериментальной резонансной кривой находим 0, Aр и А0 при →0 (фактически при << 0) и из указанного равенства определяем коэффициент сопротивления b. Теоретический же расчет величины b весьма сложен. Мы не будем далее углубляться в особенности процесса вынужденных колебаний груза на пружине. Основной целью проведенного здесь анализа было объяснение на основе уравнений (1) и (2) данных, полученных в компьютерном эксперименте. Мы не рассматривали при этом энергетических соотношений в процессе вынужденных колебаний. Очень хорошее изложение этого и других вопросов, связанных с механическим резонансом дано в [2].
Контрольные вопросы
В качестве дополнительного (домашнего) задания можно предложить учащимся ответить на следующие
вопросы.
1. Зависит ли вид установившихся колебаний от начальных условий? Станет ли больше резонансная амплитуда, если грузу в ходе колебаний придать дополнительную скорость?
2. Как нужно изменить параметры колебательной системы, чтобы снизить величину резонансной
амплитуды?
3. Как соотносятся между собой фазы внешней силы и скорости груза при  <<0, =0,  >> 0?
4. Покажите, что отношение амплитудных значений силы упругости и силы сопротивления при резонансе равно 0/(b/m). Эту величину называют добротностью Q колебательной системы.
5. Пусть циклическая частота  соответствует амплитуде А колебаний, равной половине резонансной, т.е. А() = Ар/2. С помощью формул (5) и (7) покажите, что добротность Q = 0/|-0|.
6. Используя графики резонансных кривых (рис.2), найдите величину Q для каждого случая как
0/|-0| и затем коэффициенты сопротивления b = (m0)/Q. Сравните их со значениями b, задаваемыми в компьютерной модели.
Заключение
В заключение отметим следующее. Компьютерный эксперимент, разумеется, не способен в полной мере заменить эксперимент натурный. В последнем всегда имеются реальные обстоятельства, не учитываемые конкретной моделью. Тем не менее, предложенная методика, на наш взгляд, может быть полезной.
Учащиеся в рамках выбранной конкретной модели получают соответствующую наглядную картину колебаний, имеют возможность детально проследить роль каждого параметра, приобретают навыки исследовательской работы, в том числе анализа результатов с использованием математических средств.
Литература:
1. Живая Физика: Руководство пользователя.- М.: ИНТ.- 428с.(УМК «Живая Физика»)
2. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика. Колебания и волны. 11 класс.- М.: 2010.- 288с.
Рисунок 1. Вариант расположения элементов на рабочем столе. На датчиках численно и графически показаны данные процесса колебаний.
,
рад/с
1
4
8
10
11
12
13
15
20
A,м;
b/m=0
0.069
0.078
0.125
0.227
0.435
0.400
0.123
0.039
A,м;
A,м;
A,м;
b/m=1(1/с)
b/m=2(1/с) b/m=4(1/с)
0.070
0.070
0.070
0.079
0.078
0.078
0.125
0.123
0.116
0.223
0.207
0.168
0.392
0.314
0.201
0.832(0.833) 0.416(0.417) 0.208(0.208)
0.357
0.277
0.173
0.122
0.116
0.099
0.039
0.039
0.037
Таблица 1. Амплитуды
А установившихся колебаний для ряда значений коэффициента
сопротивления b. Амплитуда силы Fm= 10Н .
Столбец для b=0 рассчитан по формулам (5).
В скобках указаны значения Ар, рассчитанные
по формуле (7)
,рад/с
1
2
4
8
10
11
12
13
15
20
,рад;
,рад;
,рад;
b/m=1(1/с) b/m=2(1/с) b/m=4(1/с)
-0.08
-0.20
-0.20
-0.40
-0.60
-0.44
-0.715
-1.10
-1.56
-1.56
-1.44
-2.60
-2.275
-1.885
-2.85
-2.625
-2.40
-3.00
-2.70
-2.70
Таблица 2. Частотная зависимость сдвигов фазы 
между вынуждающей силой и смещением для ряда
значений коэффициента
сопротивления b. Минусы
означают отставание по
фазе смещения y(t) от силы
F(t), прочерки указывают
на нерегистрируемые значения  (точнее говоря ∆t<
0.005с). Амплитуда силы
Fm= 10Н .
,рад
А,м
, 1/c
1
1
2
2
3
3
, 1/c
Рисунок 2. Резонансные кривые для
значений b/m(1/с) = 1(1), 2(2), 4(3)
Рисунок 3. Фазовые кривые для
значений b/m(1/с) = 0(1), 1(2),
4(3). Кривая 1 построена по формулам (5) и (7 ).