А - точка объекта

Глава 1.Основные принципы аналитической фотограмметрии.
1.1
Системы координат снимка. Элементы внутреннего ориентирования снимка.
z
z
y
.
x
S
y
f
r
.
.
o'
.
Р
o
y0
x0
x
m
M
Рис. 1.1.1
На каждом снимке имеются изображения координатных меток, которые определяют правую прямоугольную систему координат
снимка o’xyz.
Ось х этой системы проходит через координатные метки 1-2 и направлена приблизительно по направлению полета. Началом
системы координат является точка о’, получаемая в результате пересечения оси х с линией проведенной через координатные метки 3 и 4.
Ось y лежит в плоскости снимка Р и перпендикулярна оси х. Ось z дополняет систему до правой.
Любая точка снимка, например m, имеет в этой системе координат координаты m(х,у,z =0). Центр проекции S имеет в этой
системе координаты S ( x=x0, y=y0, z=f ).
f-фокусное расстояние снимка, а х0 и у0 – координаты главной точки снимка-О.
Для восстановления связки проектирующих лучей, сформировавших снимок в системе координат снимка o’xyz, необходимо для
каждой точки снимка определить координаты вектора
m.


Sm  r
в этой системе координат по измеренным на снимке координатам точки
 xm   xs   x  x0   x  x0 

         
r   y m    ys    y    y0    y  y0 
 z   z  0  f    f 
 m  s     

(1.1.1).
Из выражения ( 1.1.1) следует , что для восстановления связки проектирующих лучей, необходимо измерить координаты точки и
знать значения координат центра проекции S в системе координат снимка снимка f , х0 , y0, которые являются постоянными для данного
снимка и называются элементами внутреннего ориентирования снимка.
Более широко в фотограмметрии используют систему координат снимка Sxyz , началом которой является центр проекции S , а
оси координат параллельны соответствующим осям системы координат o’xyz.
Так как система координат Sxyz параллельна системе координат o’xyz ,то, как известно из аналитической геометрии, координаты

векторов в обеих системах координат равны , то есть координаты вектора r в системе координат Sxyz определяется выражением (1.1.1).
1.2Системы координат объекта. Элементы внешнего ориентирования снимка.
Положение точек объекта (местности) по снимкам определяют в прямоугольной пространственной системе координат OXYZ . В
зависимости от решаемой задачи в качестве этой системы координат используют:
- государственную картографическую систему координат ( в России – Гаусса – Крюгера);
- геоцентрическую систему координат;
- произвольную систему координат, связанную с характерными точками объекта (местности).
Положение и ориентацию системы координат снимка (или, что то же самое – снимка) в системе координат объекта OXYZ
определяют элементы внешнего ориентирования снимка .
Положение центра проекции S в системе координат объекта определяют его координаты Xs,Ys,Zs.
Угловая ориентация системы координат снимка относительно системы координат объекта определяется ортогональной
матрицей:
 a 11

A   a 21
a
 31
a 12
a 22
a 32
a 13   cos Xx cos Xy cos Xz 
 

a 23    cos Yx cos Yy cos Yz 
a 33   cos Zx cos Zy cos Zz 
(1.2.1).
В матрице А элементы (направляющие косинусы) аij являются косинусами пространственных углов между осями координат
системы координат объекта OXYZ и снимка Sxyz.
Направляющие косинусы являются координатами единичных векторов (ортов), совпадающих с осями координат снимка в
системе координат объекта.
Вследствие особых характеристик ортогональной матрицы:
А-1=Ат ;
а
1 0 0


ААт =Е=  0 1 0 
0 0 1


.
В ортогональной матрице независимы только 3 элемента, следовательно элементы матрицы являются функцией 3 параметров.
В качестве этих параметров в фотограмметрии используют 3 угла -, и , которые называют угловыми элементами внешнего
ориентирования снимка.
Последовательно поворачивая систему координат объекта OXYZ на эти углы вокруг ее осей, можно ориентировать ее
параллельно осям системы координат снимка. При этом последовательность и направление вращений могут быть произвольными.
Поэтому в фотограмметрии используют различные системы угловых элементов ориентирования снимка.
Рассмотрим наиболее широко используемую систему, в которой система координат объекта OXYZ поворачивается
последовательно против часовой стрелки (правые углы) вокруг осей X,Yи Z соответственно на углы , и .
Геометрическая интерпретация угловых элементов внешнего ориентирования показана на рис.1.2.1.
-поперечный угол наклона. Угол в координатной плоскости YZ между осью Z и проекцией оси z на плоскость YZ;
- продольный угол наклона. Угол между проекцией оси z на плоскость YZ и осью z;
- угол разворота снимка. Угол в плоскости снимка Р между следом сечения этой плоскости плоскостью Xz и осью х снимка.
Z
z
Y
X


x
y
.
P

o
X
Y
О
Z
Рис.1.2.1
Значение элементов aij матрицы А можно получить путем последовательного перемножения матриц составленных для
последовательных поворотов системы координат объекта ОХYZ на углы , и .
В результате поворота системы координат ОХYZ или, что то же самое, системы координат SXYZ система SXYZ преобразуется в
систему координат SX’Y’Z’ (рис.1.2.2).
Z'
Z
Y'
Y



X(X')
S
Рис.1.2.2
В соответствии с выражением (1.2.1) матрица
 cos 0 o

А    cos 90 o

o
 cos 90
cos 90 o
cos 
cos 90 o  

cos 90 o
cos 90 o  
cos 


 1
0
0 
 
.
   0 cos   sin  
 

  0 sin  cos  

В результате поворота на угол  система координат SX’Y’Z’ преобразуется в систему координат SX”Y”Z” (рис.1.2.3).
Z'
Z"
Y'(Y")


X'

S
X"
Рис.1.2.3
В соответствии с выражением (1.2.1) матрица
cos 90 cos90     cos  0 sin  
 cos 

 

А    cos 90
cos 0
cos 90    0
1
0 .
 cos90    cos 90
cos     sin  0 cos  

В результате поворота системы координат SX”Y”Z” на угол  эта система преобразуется в систему координат снимка Sxyz
(рис.1.2.4).
Z"(z)
y


S
Y
"
x

X"
Рис.1.2.4
В соответствии с выражением (1.2.1) матрица
cos90   cos 90   cos  sin 0 
 cos

 

А    cos90  
cos
cos 90    sin cos 0  .
 cos 90
cos 90
cos 0   0
0
1 

В результате перемножения матриц
А  А   А   А  А   А ,
получим значения элементов aij , как функции углов , и :
а 11  cos   cos 




a 13  sin 

a 21  sin   sin   cos   cos   sin  

a 22   sin   sin   sin   cos   cos 

a 23   sin   cos 

a 31   cos   sin   cos   sin   sin 

a 32  cos   sin   sin   sin   cos  

a 33  cos   cos 
a 12   cos   sin 
(1.2.2);
Если известны значения направляющих косинусов aij, то из выражений (1.2.2) можно получить значения углов ,,.
 a 
  arctg   23 
 a 33 

  arcsin a 13  

 a 
  arctg   12  
 a 11  
(1.2.3).
1.3Формулы связи координат соответственных точек снимка и местности.
z
·
y
S
r
m
··
Rs
Z
o
x
Y
R
RM
·
O
X
·
M
Рис.1.3.1
Пусть из точки S получен снимок Р, на котором точка М местности изобразилась в точке m. Найдем зависимости между
координатами этих точек. Положение точки М местности в системе координат объекта OXYZ определяет вектор

R M  OM . Вектор

R S  OS определяет положение центра проекции S в системе координат объекта OXYZ.


Векторы r  Sm и R  SM определяют собственно положение точек m и М относительно центра проекции S.
Из рис.1.3.1 следует, что



R M  RS  R
Векторы
 
Rиr
(1.3.1).
коллинеарные, поэтому можно записать, что


R  Nr
где N-скалярная величина.
;
(1.3.2)
С учетом (1.3.2) выражение (1.3.1) имеет вид



R M  R S  Nr ;
(1.3.3)
В координатной форме выражение (1.3.3) имеет вид
 X   XS 
 X 
   
 ;
Y

Y

N
   S
 Y 
 Z  Z 
 Z 
   S
 
или
X  X S  NX 

Y  YS  NY  .
Z  ZS  NZ 

В выражении (1.3.4):
X,Y,Z-координаты точки М в системе координат объекта,
Х s, Ys, Zs 
координаты центра проекции S в системе координат объекта;
(1.3.4)

X , Y , Z  координаты вектора r в системе
координат объекта.
 X 
x  x0 
 

;
 Y   A y  y 0 
 Z 
 f 
 


( 1.3.5)
где А-матрица преобразования координат, элементы aij которой определяются по значениям угловых элементов внешнего
ориентирования снимка ,,.
Из третьей формулы выражения (1.3.4) следует, что
N
Z  ZS
Z
.
Подставив значение N в первые две формулы выражения (1.3.4) получим формулы связи координат соответственных точек
местности и снимка:
X 
Z  ;

Y
Y  YS  ( Z  Z S ) 
Z 
Х  Х S  (Z  ZS )
( 1.3.6)
которые с учетом (1.3.5) имеют вид
a 11 ( x  x 0 )  a 21 ( y  y 0 )  a 31f 
a 13 ( x  x 0 )  a 23 ( y  y 0 )  a 33f  ;

a 12 ( x  x 0 )  a 22 ( y  y 0 )  a 32 f 
Y  YS  Z  Z S 
a 13 ( x  x 0 )  a 23 ( y  y 0 )  a 33f 
X  X S  Z  Z S 
(1.3.7)
Из формул (1.3.6) следует, что координаты точки местности по снимку можно получить координатам ее изображения на снимке,
если известны элементы внутреннего и внешнего ориентирования снимков и известна высота Z этой точки.
Найдем теперь формулы связи координат соответственных точек и местности, которые позволят вычислить координаты
изображения точки на снимке в системе координат снимка по координатам соответственной точки местности, определенным в системе
координат объекта OXYZ.
Из выражения (1.3.3) следует, что

 1 
r  (R M  R S ) .
N
(1.3.8)
В координатной форме выражение (1.3.8) имеет вид
 x 
x  x0 

 1  ;
 y  y0    y 
  f  N  z 


 
или
1 * 
x 
N
;
1

y  y 0  y* 
N

1

 f  z*

N

В выражении (1.3.9) x,y –координаты изображения точки местности m в системе координат снимка Sxyz.
x  x0 
(1.3.9)
x* 
 X  XS 
 *

;
T
 y   A  Y  YS 
 *
ZZ 
S 

z 
(1.3.10)
Из третьего выражения (1.3.9) следует, что
1
f
 *.
N
z
Подставив значение
1 в первые два уравнения выражения (1.3.9), получим формулы связи координат соответственных точек
N
снимка и местности.
x*
z*
y*
y  y0  f *
z
x  x0  f



;



(1.3.11)
которые с учетом (1.3.10) имеют вид
a 11 (X  X S )  a 21 (Y  YS )  a 31 ( Z  Z S ) 
a 13 (X  X S )  a 23 (Y  YS )  a 33 ( Z  Z S ) 

;
a 12 (X  X S )  a 22 (Y  YS )  a 32 ( Z  Z S ) 
y  y0  f
a 13 (X  X S )  a 23 (Y  YS )  a 33 ( Z  Z S ) 

x  x0  f
1.3.12
Формулы (1.3.12) в фотограмметрии часто называют уравнениями коллинеарности.
1.4 Формулы связи координат соответственных точек местности и горизонтального снимка.
У горизонтального снимка угловые элементы внешнего ориентирования ===0. Будем считать, что координаты главной точки
снимка x0=y0=0.
В этом случае
1 0 0


А  А  Е   0 1 0 ;
0 0 1


1.4.1
Т
Формулы связи координат (1.3.6) и (1.3.12) при этом будут иметь вид
Z  ZS
x
f
Z  ZS
Y  YS 
y
f
f
X  X S 
x
Z  ZS
X  XS 
f
Y  YS 
y
Z  ZS


;





.


1.4.2
1.4.3
Если в качестве начала системы координат объекта OXYZ выбрать центр проекции S, то Xs=Ys=Zs=0, а формулы (1.4.2) и (1.4.3)
примут вид:
Z
H
X x x
f
f
Z
H
Y y y
f
f


;


f
X
Z
1.4.4
f
y Y
Z
x
f
X
H
f
Y
H



.



1.4.5
( H = -Z – высота фотографирования над определяемой точкой)
Из формул (1.4.4) и (1.4.5) следует, что горизонтальным снимком горизонтальной местности можно пользоваться как планом
масштаба
1
f
 .
m
H
1.5 Определение элементов внешнего ориентирования снимка по опорным точкам (обратная фотограмметрическая засечка).
Опорной точкой будем называть точку, опознанную на местности и на снимке, геодезические координаты которой на местности
известны.
Для определения элементов внешнего ориентирования снимка воспользуемся уравнениями коллинеарности (1.3.12), которые
представим в виде





x*
x 0
z*
y*
y0  f *  y  0
z
x0  f
;
(1.5.1)
где
 x* 
 X  Xs 
 


 y *   A T  Y  Ys  ;
 *
 ZZ 
z 
s 

 
или
a 11 X  X S   a 21 Y  YS   a 31 Z  Z S 

x 0 
a 13 X  X S   a 23 Y  YS   a 33 Z  Z S 
 .

a 12 X  X S   a 22 Y  YS   a 32 Z  Z S 
y0  f
y0 

a 13 X  X S   a 23 Y  YS   a 33 Z  Z S 
x0  f
(1.5.2)
Если на снимке измерены координаты изображений опорных точек, то каждая опорная точка позволяет составить 2 уравнения
(1.5.2),в которых известны значения координат х,у изображения опорной точки в системе координат снимка Sxyz, геодезические
координаты опорной точки в системе координат объекта OXYZ и элементы внутреннего ориентирования снимка f,x0,y0.
Неизвестными величинами в уравнениях (1.5.2) являются 6 элементов внешнего ориентирования снимка Xs,Ys,Zs,,,.
Следовательно, для определения 6 неизвестных элементов внешнего ориентирования снимка достаточно иметь не менее 3
опорных точек. При этом опорные точки на местности не должны располагаться на одной прямой. Если имеются 3 опорные точки,
координаты изображений которых на снимке измерены, можно составить систему из 6 уравнений (1.5.2) с 6 неизвестными. В результате
решения этой системы уравнений можно найти значения элементов внешнего ориентирования снимка.
В связи с тем, что уравнения (1.5.2) не линейны, решение системы уравнений непосредственно достаточно сложно, поэтому
систему уравнений (1.5.2) решают методом приближений.
Для этого уравнения (1.5.2) приводят к линейному виду, раскладывая их в ряд Тейлора с сохранением членов только первого
порядка малости, и переходят к уравнениям поправок.
a 1X S  a 2 YS  a 3 ZS  a 4   a 5   a 6   x  0 

b1X S  b 2 YS  b 3 ZS  b 4   b 5   b 6   y  0 
.
(1.5.3)
В уравнениях (1.5.3):
Xs, … , - поправки к приближенным значениям неизвестных элементов внешнего ориентирования снимка Xs0,…,0;
ai,bi – частные производные от уравнений (1.5.2) по соответствующим аргументам (например, коэффициент а 4 является частной
производной от первого уравнения (1.5.2) по аргументу ,то есть а 4

1
ω
);
ℓх, ℓу – свободные члены.
Значения коэффициентов уравнений (1.5.3) ai,bi вычисляются по известным значениям координат точек снимка и местности х,у и
X,Y,Z, известным значениям элементов внутреннего ориентирования снимка f,x0,y0 и приближенным значениям неизвестных Xs0,…,0.
Свободные члены ℓх, ℓу вычисляются по формулам (1.5.2) таким же образом.
В результате решения системы уравнений поправок (1.5.3) находят поправки к приближенным значениям неизвестных и
вычисляют уточненные значения неизвестных.

X S  X S0  X 



  0  
По уточненным значениям неизвестных повторно составляют уравнения поправок (1.5.3) и решают полученную систему
уравнений.
Решения повторяют до тех пор, пока величины поправок, найденные в результате решения, не станут пренебрежительно малыми.
В случае если на снимке измерено более трех изображений опорных точек, то для каждой точки составляют уравнения поправок
вида:
a 1X S  a 2 YS  a 3 Z S  a 4   a 5   a 6   x   x
b1X S  b 2 YS  b 3 Z S  b 4   b 5   b 6   y   y



;
(1.5.4)
Решение полученной системы уравнений (1.5.4) производят методом приближений, по методу наименьших квадратов (под
условием VTPV=min).
1.6 Формулы связи координат соответственных точек горизонтального и наклонного снимков, полученных из одного центра
проекции (формулы трансформирования координат точек снимка)
Пусть из точки S получен наклонный Р и горизонтальный Р 0 снимки, на которых точка М объекта изобразилась соответственно в
точках m и m0 (рис.1.6.1). Найдем зависимости между координатами этих точек.
z0
x
z
S

f

f
r
Р0
О
P
x0
o
r0

m0
m

M
Рис.1.6.1
На рис.1.6.1 Sm
снимках Р и Р0.
Векторы
 0
r иr

r
и
Sm 0  r 0
– векторы, определяющие положение точек m и m0 относительно центра проекции S на
коллинеарные, поэтому можно записать:
0
r  Nr
;
где N - скаляр.
В системе координат горизонтального снимка Sx0y0z0 выражение (1.6.1) имеет вид (полагая х0=у0=0):
где x0y0z0 –координаты вектора

r
 x 0 
 x0 
 
 0

 y   N y 0 


 f 
0 

z
 
 
;
(1.6.1)
(1.6.2)
в системе координат горизонтального снимка.
 x 0 
x  x0 



0
 y   A y  y  ;

0 
 


0
z 
 f 


Из третьего уравнения (1.6.2) следует, что
N
f

z0
(1.6.3)
.
Подставив значение N в первые два уравнения (1.6.2) получим формулы связи координат соответственных точек
горизонтального и наклонного снимков:

x 0 
x 0  f

z 0  ;

y0 
0
y  f

z 0 
(1.6.4)
которые с учетом (1.6.3) имеют вид:
a 11 x  x 0   a 12 y  y 0   a 13f 
a 31 x  x 0   a 32 y  y 0   a 33f  .

a x  x 0   a 22 y  y 0   a 23f 
y 0  f 21
a 31 x  x 0   a 32 y  y 0   a 33f 
x 0  f
(1.6.5)
Выведем формулы определения координат точек наклонного снимка по координатам соответственных точек горизонтального
снимка.
Из (1.6.1) следует, что
 1 0
r r
N
.
(1.6.6)
В системе координат наклонного снимка Sxyz (1.6.6) имеет вид:
 x* 
 x  x0 

 1  * ;
 y  y0    y 
  f  N  z * 


 
где х*,y*,z* - координаты вектора
r0
(1.6.7)
в системе координат наклонного снимка.
x* 
 x0 
 *
 
 y   AT  y0  ;
 *
 
z 
 f 
(1.6.8)
Из третьего уравнения (1.6.7) следует, что
1 f

N z*
Подставив значение 1/N в первые два уравнения (1.6.7), получим формулы связи координат точек наклонного и горизонтального
снимков.
x*
z*
y*
y  y0  f *
z
x  x0  f


;


a11 x 0  a 21 y 0  a 31f 

a13 x 0  a 23 y 0  a 33 f 
 .
a12 x 0  a 22 y 0  a 32 f 
y  y0  f
a13 x 0  a 23 y 0  a 33 f 
(1.6.9)
x  x0  f
1.7 Формулы связи координат точек местности и их изображений на стереопаре снимков (прямая фотограмметрическая
y
y
m
• 1
m
• 1
m2
•
у1
y2
x
х1
P1
x2
P2
засечка).
Рис.1.7.1
p=x1-x2 – продольный параллакс; q=y1-y2 – поперечный параллакс.
p
q
x
(1.6.10)
S1
•S2
B
•
r1
r2
P1
m2
P2
•
m1 •
R S1
R1
R2
X
Y
•M
RM
Z
O•
Рис.1.7.2
На рис.1.7.2 показана стереопара снимков Р 1 и Р2, на которых точка местности М изобразилась соответственно в точках m1 и m2.
Будем считать, что элементы внутреннего и внешнего ориентирования снимков известны.
Выведем формулы связи координат точек местности и координат их изображений на стереопаре снимков.


R M и R S1 определяют соответственно положение точки местности М и центра проекции S1

снимка Р1 относительно начала системы координат объекта OXYZ. Вектор В определяет положение центра проекции S2 снимка Р2
относительно центра проекции S1.


Векторы S1m1  r1 и S1M  R1 определяют положение точек m1 и М относительно центра проекции S1. Векторы
Из рис.1.7.2 следует, что векторы


S 2m2  r2 и S 2M  R 2 определяют положение точек m2 и М относительно центра проекции S2.
Из рис.1.7.2 следует, что


Так как векторы R 1 и r1



RM  R S1  R1
(1.7.1)
коллинеарные, то


R 1  N r1 ;
(1.7.2)
где N – скаляр.
С учетом (1.7.2) выражение (1.8.1) будет иметь вид



RM  R S1  N r1 .
(1.7.3)
В координатной форме выражение (1.7.3) будет иметь вид
 X   X S1 
 X1 

  
 
 Y    YS1   N Y1  ;
 Z  Z 
 Z 
   S1 
 1
где X1’,Y1’,Z1’ –координаты вектора

r1
в системе координат объекта OXYZ.
 X1 
 x 1  x 01 
 


 Y1   A1  y1  y 01  .
 Z 
 f 
 1


Найдем значение N, входящее в выражение (1.7.4). Из рис.1.7.2 следует, что



R 2  R1  B ;
(1.7.4)
или с учетом (1.7.2)


Так как векторы R 1 и r1


R 2  Nr1  B .
коллинеарны, то их векторное произведение


R 2  r2  0
(1.7.5)
.
(1.7.6)
.
(1.7.7)
С учетом (1.7.5) выражение (1.7.6) можно представить в виде
Nr  B r

2


 
 
 N r1  r2   B  r2  0 ;
или

 
 
N r1  r2   B  r2
Выражение (1.7.7) можно представить в виде

i
N X1
X 2
или

j
Y1
Y2


k
i
Z1  B X
Z2
X 2

j
BY
Y2

k
BZ
Z2
;





N Y1Z2  Y2 Z1 i  X1 Z2  X 2 Z1  j  X1 Y2  X 2 Y1 k 


B Y Z2  B Z Y2 i  B X Z2  B Z X 2  j  B X Y2  B Y X 2 
;
(1.7.8),
где
  
i , j, k - орты, совпадающие с осями координат X,Y,Z системы координат объекта OXYZ;
  
BX, BY, BZ, X1’, Y1’, Z1’, X1’, Y1’, Z1’ – координаты векторов В, r1 и r2 в системе координат объекта OXYZ.
 X i 
 x i  x 0i 
 


 Yi   A i  y i  y 0i  ;
 Z 
 f 
i
 i


где i – номер снимка, а
B X  X S2  X S1 
.
B Y  YS2  YS1 

B Z  Z S2  Z S1 
 


Так как векторы В  r2 и r1  r2 коллинеарные (потому что векторы
отношение их модулей, то есть
  
B, r1, r2
(1.7.9)
компланарны), значение N можно найти как
 
B  r2
N  
r1  r2
;
(1.7.10)
В координатной форме выражение (1.7.10) с учетом (1.7.8) имеет вид
N

B Y Z2  B Z Y2 2  B X Z2  B Z X2 2  B X Y2  B Y X2 2
YZ  Y Z 
2
1
2
2
1

1
2 2
 X1Z2  X2 Z1   X1Y2  X2 Y1 
2

1
2
;
(1.7.11)
У коллинеарных векторов отношение их координат равно отношению их модулей, поэтому можно записать, что:
BY Z2  BZ Y2
;
Y1Z2  Y2Z1
B Z  BZ X2
N X 2
;
X1 Z2  X2 Z1
N
N
BX Y2  BY X2
.
X1Y2  X2 Y1
1.7.12
(1.7.13)
(1.7.14)
Таким образом, если известны элементы внутреннего и внешнего ориентирования стереопары снимков и измерены на этих
снимках координаты сооветственныхточек x1,y1 и x2,y2, то сначала надо определить по одной из формул (1.7.12)-(1.7.14) значение
скаляра N, а затем по формуле (1.7.4) вычислить координаты точки местности X,Y,Z.
1.8 Формулы связи координат точек местности и координат их изображений на стереопаре снимков идеального случая съемки.
В идеальном случае съемки угловые элементы ориентирования снимков стереопары 1=1=1=2=2=2=0, а базис
фотографирования параллелен оси Х системы координат объекта OXYZ.


В будут равны BX=B, BY=BZ=O (B-модуль В ).
 Z S1  0 , то есть начало системы координат объекта OXYZ совмещено с точкой S1), f1=f2, a
В этом случае координаты базиса
Примем, что
X S1  YS1
x0i=y0i=0.
Так как угловые элементы ориентирования снимков равны нулю, то
 1 0 0


А1  А 2  Е   0 1 0  ;
 0 0 1


 Xi   x i 
   
а  Y    y  ;
i
i
 Z    f 
 i  
где i – номер снимка.
При этом выражение (1.7.13) примет вид
N
B X Z2  B Z X 2
B f 
B
B



X1 Z2  X2 Z1
x 1  f   x 2  f  x 1  x 2 p
;
(1.8.1)
а выражение (1.8.4), которое мы представим в виде
X  X S1  NX1 

Y  YS1  NY1  ;

Z  Z S1  NZ1 
будет иметь вид
X  Nx1 

Y  Ny1  ;
Z   Nf 
(1.8.2)
B 
x1
p 
B 
Y  y1  ;
p 
B 
Z   f
p 
(1.8.3)
а с учетом (1.8.1)
X
Так как из третьего уравнения выражения (1.8.3) следует, что
Z
B
 ;
f
p
то формулы связи координат (1.8.3) можно представить в виде
Z 
x1
f 
Z 
Y   y1 
f 
B 
Z f 
p 
X
(1.8.4)
1.9 Определение координат точек местности по стереопаре снимков методом двойной обратной фотограмметрической засечки.
Для определения координат точек местности по стереопаре снимков методом прямой фотограмметрической засечки необходимо,
чтобы были известны элементы внешнего ориентирования снимков. В большинстве случаев практики их значения не известны. В этом
случае определение координат точек местности по стереопаре снимков выполняют методом двойной обратной фотограмметрической
засечки.
Решение задачи по этому методу выполняется в следующей последовательности:
1. Определяют элементы взаимного ориентирования снимков. Пять элементов взаимного ориентирования снимков определяют
взаимную угловую ориентацию стереопары снимков и базиса фотографирования. Для их определения необходимо измерить не менее пяти
соответственных точек на стереопаре снимков;
2. Строят фотограмметрическую модель объекта по измеренным на стереопаре снимков координатам изображений соответственных
точек и значениям элементов взаимного ориентирования снимков. Построенная модель подобна сфотографированному объекту, но имеет
произвольный масштаб и произвольно расположена и ориентирована относительно системы координат объекта;
3. Определяют элементы внешнего ориентирования фотограмметрической модели по опорным точкам. Эти семь элементов
определяют масштаб модели, ее положение и ориентацию относительно системы координат объекта. Для их определения достаточно трех
опорных точек, не лежащих на одной прямой. По значениям элементов внешнего ориентирования фотограмметрической модели и
элементов взаимного ориентирования можно определить элементы внешнего ориентирования стереопары снимков;
4. По координатам точек, определенных в системе координат модели, и элементам внешнего ориентирования модели определяют
координаты точек в системе координат объекта.
1.10 Условие, уравнения и элементы взаимного ориентирования снимков.
S'2
•
b
S1
•
B
S
•2
r2
r2
r1
m1
P1 •
•m'2
•m2
P2
• M'
Z
M
Y
O•
• M
M
M
X
M
Рис. 1.10.1
На рис.1.10.1 представлена стереопара снимков Р 1 и Р2 в положении, которое они занимали в момент фотографирования.
Любая пара соответственных лучей в этом случае пересекается в точке М местности и лежит в плоскости, проходящей через

В (базисной плоскости).
  
Очевидно, что в этом случае векторы В, r1 и r2 , лежащие в базисной плоскости, компланарны.
базис фотографирования
Как известно из аналитической геометрии, смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.
Таким образом
  
Вr1  r2   0
.
(1.10.1)
BZ
Z1  0 .
Z2
(1.10.2)
Условие компланарности в координатной форме имеет вид:
BX
X1
X2
BY
Y1
Y2
 

В уравнении (1.10.2) BX , BY , BZ , X1 , Y1, Z1 и X2 , Y2 , Z2 координаты векторов В, r1 и r2 в системе координат
фотограмметрической модели ОМХМYMZM, в общем случае произвольно расположенной и ориентированной.
В дальнейшем эту систему координат будем называть просто системой координат модели.
Условие (1.10.2) связывает между собой только направления векторов и выполняется при любых значениях их модулей. Поэтому
значение модуля вектора


В можно выбрать произвольно. Направление вектора В определяется двумя независимыми величинами. В
качестве этих величин можно выбрать координаты bz и bу вектора
произвольно.
В частном случае величину bx можно выбрать равной 1.
При этом направление вектора


b , коллинеарного вектору В , задав величину координаты bx

В будут определять величины:
by 
BY
BX
и
bZ 
BZ
BX
.
Выражение (1.10.2) в этом случае будет иметь вид:
1
X1
X2
bY bZ
Y1 Z1  0
Y2 Z2
(1.10.3)
В уравнении (1.10.3)
 X i 
 x i  x 0i 
 




 Y i   A i  y i  y 0i  ,
 Z 
 f 
i
 i


где i – номер снимка, а А’1 – ортогональная матрица, элементы aij которой являются функциями угловых элементов ориентирования iго снимка i’,i’,i’ относительно системы координат модели ОМХМYMZM.
В выражении (1.10.3), которое является уравнением взаимного ориентирования в общем виде, куда кроме координат
соответственных точек, измеренных на стереопаре снимков, и элементов внутреннего ориентирования входят 8 параметров by, bz, 1’, 1’,
1’, 2’, 2’, 2’, которые определяют угловую ориентацию базиса фотографирования и стереопары снимков относительно системы
координат модели ОМХМYMZM.
Причем параметры 1’ и 2’ определяют поворот снимков стерепары вокруг оси Х М, параметры bz, 1’, 2‘ – поворот базиса
фотографирования и стереопары снимков вокруг оси YM, а параметры by, 1’, 2 ‘ – поворот базиса фотографирования и стереопары
снимков вокруг оси ZM.
Однако, из этих 8 параметров только 5 определяют взаимную угловую ориентацию базиса фотографирования и стереопары
снимков.
Условие (1.10.3) выполняется при любой ориентации системы координат модели ОМХМYMZM. Следовательно, ее можно
ориентировать таким образом, чтобы 3 из 8 параметров стали равны нулю.
Очевидно, что в общем случае можно сделать равным нулю только один из параметров, входящих в три группы параметров:
–
1’, 2’;
–
bz, 1’, 2‘;
–
by, 1’, 2’.
Таким образом, в качестве элементов взаимного ориентирования можно выбрать любую комбинацию из восьми параметров by, bz,
1’, 1’, 1’, 2’, 2’, 2’, кроме комбинаций, в которые одновременно входят две тройки параметров bz, 1’, 2‘ и by, 1’, 2’, а также
пара параметров 1’ и 2’.
Рассмотрим наиболее распространенные системы элементов взаимного ориентирования:
Система 1’, 1’, 2’, 2’, 2’. Если принять при этом, что by=bz= 1’=0, то уравнение (1.10.3) имеет вид:
1
X1
X 2
0
Y1
Y2
0
Z1  Y1Z2  Y2 Z1  0 .
Z2
(1.10.4)
Система by, bz, 2’, 2’, 2’. Если при этом принять, что 1’= 1’= 1’ =0, то уравнение (1.10.3) будет иметь вид:
1
by
bz
Y2
 f1  0 ;
Z2
x 1  x 01  y1  y 01 
X2
так как
(1.10.5)
1 0 0


A1  E   0 1 0  .
0 0 1


Комментарий. 3 оставшихся из 8 параметров после выбора 5 элементов взаимного ориентирования задают ориентацию системы
координат модели ОМХМYMZM. Например, выбрав систему элементов взаимного ориентирования by, bz, 2’, 2’, 2’ и приняв, что 1’=
1’= 1’ =0, мы таким образом задаем систему координат модели ОМХМYMZM, которой параллельны осям x, y, z системы координат
первого снимка стереопары S1x1y1z1. В общем случае значения трех параметров можно задавать произвольно.
1.11 Определение элементов взаимного ориентирования.
Для определения элементов взаимного ориентирования в качестве исходного используют уравнения взаимного ориентирования
(1.10.3)
1
X1
X2
bY
Y1
Y2
bZ
Z1  0 .
Z2
Каждая точка, измеренная на стереопаре снимков, позволяет составить одно уравнение (1.10.3), в которое, помимо измеренных
координат точек на стереопаре снимков, элементов внутреннего ориентирования и трех параметров, задающих ориентацию системы
координат модели, входят 5 неизвестных элементов взаимного ориентирования.
Очевидно, что для определения элементов взаимного ориентирования необходимо измерить на стереопаре снимков не менее 5
точек.
В качестве примера рассмотрим определение элементов взаимного ориентирования by, bz, 2’, 2’, 2’.
В связи с тем,что уравнения (1.10.3) нелинейны, их предварительно приводят к линейному виду и переходят к уравнению
поправок:
a1b z  a 2 b y  a 3 2  a 4  2  a 5 2     .
(1.11.1)
В уравнении поправок коэффициенты ai частные производные от функции (1.10.3) по соответствующим аргументам, а ℓ–
свободный член.
Значения коэффициентов аi в уравнении (1.11.1) вычисляют по следующим известным значениям:
–
измеренным координатам точек на стереопаре снимков – хi, yi;
–
элементам внутреннего ориентирования снимков fi, x0i, y0i;
–
3 параметрам, задающим ориентацию системы координат модели (в нашем случае 1’, 1’, 1’) и приближенным
значениям элементов взаимного ориентирования.
Свободный член ℓ вычисляется по формуле (1.10.3) таким же образом.
Полученную систему уравнений поправок решают методом приближений, а в случае, если измерено более 5 точек по методу
наименьших квадратов (под условием VTPV=min). В результате решения находят значения элементов взаимного ориентирования.
Критерием, по которому принимается решение о завершении итерраций, могут являться величины поправок к определяемым
неизвестным или величины остаточных поперечных параллаксов, которые для каждой измеренной точки вычисляются по формулам:
1
f
q
X1
bZ1Z2
X2
где
b  1  b 2y  b 2z
bY
Y1
Y2
bZ
Z1
Z2
;
(1.11.2)
.
Величина qост представляет собой разность ординат измеренных точек на стереопаре снимков, приведенных к идеальному случаю
съемки, то есть q=y1-y2.
Необходимо отметить, что при отсутствии ошибок построения снимка и ошибок измерений величина q должна быть равна 0.
При определении элементов взаимного ориентирования оптимальным вариантом считается измерение 12-18 точек на стереопаре
снимков, расположенных парами или тройками в 6 стандартных зонах (рис.1.11.1).
Р1
Р2
Рис. 1.11.1
- главная точка снимка
- стандартно расположенная зона
В этом случае получается наиболее точное и надежное определение элементов взаимного ориентирования и появляется
возможность локализации грубых измерений.
1.12 Построение фотограмметрической модели.
Построение фотограмметрической модели заключается в определении координат точек объекта по измеренным на стереопаре
снимков координатам их изображений в системе координат модели ОМХМYMZM.
Определение координат точек модели производится по формулам прямой фотограмметрической засечки (см. раздел 2.2).
При этом координаты центра проекции S принимаются произвольными (обычно
X S1  YS1  Z S1  0). Также произвольно
(но не равной 0) выбирается величина ВХ. В большинстве случаев практики величину ВХ принимают равной:
BX  b  m;
где b – базис фотографирования в масштабе снимка,
m – знаменатель масштаба снимка.
Остальные значения элементов внешнего ориентирования определяют по 8 параметрам by, bz, 1’, 1’, 1’, 2’, 2’, 2’, 5 из
которых являются элементами взаимного ориентирования, а 3 определяют ориентацию системы координат модели.
При этом
ВY  BX  b y
1  1
2  2
BZ  BX  b y
1  1
 2  2 .
1  1
2  2
Например, если были определены элементы взаимного ориентирования 1’, 1’, 2’, 2’, 2’ и при этом величины параметров by,
bz, 1’ были приняты равными нулю (by=bz=1’=0), то BY=BZ=0, 1=0, 1=1’, 1=1’, 2=2’, 2=2’, 2=2’.
Если были определены элементы взаимного ориентирования by, bz, 2’, 2’, 2’, а величины параметров 1’, 1’, 1’ были
приняты равными нулю (1’= 1’= 1’=0), то
BY  BX  b y
1  0
 2  2
BZ  BX  b z
1  0
 2   2 .
2  2
1  0
1.13 Внешнее ориентирование модели. Элементы внешнего ориентирования модели.
ZM
YM
XM
OM•
RM
R0
AM
•
X
R
Y
R1
O•
•
A
Z
Рис.1.13.1
ОМХМYMZM - система координат фотограмметрической модели;
OXYZ
- система координат объекта;
А
- точка объекта
АМ
- соответствующая точке А объекта точка фотограмметрической модели.
Векторы


R0 иR А
определяют положение начала системы координат модели ОМХМYMZM и точки А местности относительно
начала системы координат объекта OXYZ.

Векторы RM  OM A M и
фотограмметрической модели.
Из рис.1.13.1 следует, что
Векторы

R  OM A
определяют соответственно положение точек АМ и А относительно системы координат


R M и R коллинеарные, поэтому



R A  R0  R .
 
R  RMt
;
(1.13.1)
(1.13.2)
где t – знаменатель масштаба модели.
С учетом (1.13.2) выражение (1.13.1) имеет вид:



R A  R0  RMt
;
(1.13.3)
В координатной форме выражение (1.13.3) имеет вид:
 X   X0 
 XM 
   


 Y    Y0   A M  YM t
Z Z 
Z 
   0
 M
или
;
(1.13.4)
X  X 0  a11 XM  a12 YM  a13 Z M t 

Y  Y0  a 21 XM  a 22 YM  a 23 Z M t 
Z  Z 0  a 31 XM  a 32 YM  a 33 Z M t 

.
(1.13.5)
В выражениях (1.13.4) и (1.13.5):
X, Y, Z – координаты точки объекта в системе координат объекта;
ХМ, YM, ZM - координаты соответствующей точки модели в системе координат фотограмметрической модели;
АМ – матрица преобразования координат, элементы aij которой являются функциями углов М, М, М, определяющих ориентацию
системы координат модели относительно системы координат объекта;
t – знаменатель масштаба модели.
7 параметров:
X 0 , Y0 , Z 0 , M ,  M ,M , t
- называют элементами внешнего ориентирования модели.
1.14 Определение элементов внешнего ориентирования модели по опорным точкам.
Для определения элементов внешнего ориентирования модели по опорным точкам в качестве исходных используют уравнения
(1.13.5), которые представим в виде:
X 0  a11 X M  a12 YM  a13 Z M t  X  0 
(1.14.1)
 .
Y0  a 21 X M  a 22 YM  a 23 Z M t  Y  0 
Z 0  a 31 X M  a 32 YM  a 33 Z M t  Z  0 

Каждая планово-высотная опорная точка (X,Y,Z) позволяет составить 3 уравнения (1.14.1), в которых неизвестными являются 7
элементов внешнего ориентирования модели. Каждая плановая опорная точка (X,Y) позволяет составить два первых уравнения из
выражения (1.14.1), а каждая высотная опорная точка (Z) – третье уравнение из выражения (1.14.1).
Для определения элементов внешнего ориентирования модели необходимо составить систему не менее чем из 7 уравнений.
Очевидно, что для этого необходимо иметь не менее двух планово-высотных и одной высотной опорной точки. Задачу можно также
решить, если иметь две плановые и три высотные опорные точки.
Так как уравнения (1.14.1) не линейны, их приводят к линейному виду и переходят к уравнениям поправок.
a1X 0 a 2 Y0  a 3 Z 0  a 4 M  a 5 M  a 6 M  a 7 t   X  v X 

b1X 0 b 2 Y0  b 3 Z 0  b 4 M  b 5 M  b 6 M  b 7 t   Y  v Y  . (1.14.2)
c 1X 0 c 2 Y0  c 3 Z 0  c 4 M  c 5 M  c 6 M  c 7 t   Z  v Z 

В уравнении поправок:
ai, bi, ci – частные производные от уравнений (1.14.1) по соответствующим переменным ;
ℓX, ℓY, ℓZ – свободные члены.
Значения коэффициентов уравнений поправок ai, bi, ci вычисляют по известным значениям координат ХМ, YM, ZM и X, Y, Z и
приближенным значениям неизвестных. Значения свободных членов ℓX, ℓY, ℓZ вычисляют таким же образом по формулам (1.14.1).
Полученную таким образом систему уравнений поправок решают методом последовательных приближений. Если количество
уравнений поправок в системе больше семи, то ее решают по методу наименьших квадратов (под условием VTPV=min).
1.15 Определение элементов внешнего ориентирования снимков стереопары.
По элементам внешнего ориентирования модели и элементам взаимного ориентирования можно определить элементы внешнего
ориентирования снимков стереопары.
Линейные элементы внешнего ориентирования снимков
X SMi , YSМi и Z SMi
определяют по формулам:
 XS
 X Si   X 0 
 Mi

  
 YSi    Y0   A M  YSMi

Z  Z 
 Z SM
 Si   0 
i



t



;
(1.15.1)
в которых
1.
X SMi , YSМi и Z SMi
- координаты центра проекции i-го снимка стереопары в системе координат модели.
Угловые элементы внешнего ориентирования снимков i, i, i определяют в следующей последовательности:
Сначала получают матрицу преобразования координат i-го снимка
А i  A M Ai ;
(1.15.2)
АМ – матрица, в которой элементы aij вычисляют по угловым элементам внешнего ориентирования модели М, М, М ;
Ai’ – матрица, в которой элементы aij вычисляют по угловым элементам взаимного ориентирования i-го снимка i’, i’, i’.
2. Затем по элементам aij матрицы Ai вычисляют угловые элементы внешнего ориентирования i-го снимка стереопары:
 a 
i  arctg   23 
 a 33 
 i  arcsin a 13 
.
 a 
i  arctg   12 
 a 11 
1.16 Точность определения координат точек объекта по стереопаре снимков.
Для предрасчета точности определения координат точек местности по стереопаре аэрофотоснимков, учитывая, что углы наклона
снимков не превышают 1°- 3°, а базис фотографирования практически горизонтален, воспользуемся формулами связи координат точек
местности и координат их изображений на стереопаре снимков идеального случая съемки (1.8.4):
Z
x
f
Z
Y y
f
B
Z f
p
X


 .






(1.8.4)
Сначала получим среднюю квадратическую ошибку определения высоты точки Z местности. Для этого продифференцируем
третью формулу выражения (1.8.4) по аргументу р.
Z Bf
Z
 2  .
p p
p
Заменим величину р на b – базис в масштабе снимка.
.
b
О1
.
О2
Рис.1.16.1
О1и О2 – главные точки снимка.
В результате получим
Z
Z .

p
b
Перейдя к средним квадратическим ошибкам получим формулу:
mZ 
Z
mp .
b
(1.16.1)
Для получения средних квадратических ошибок определения координат Х и Y точки местности продифференцируем первые две
формулы выражения (1.8.4) по аргументам x, y, Z и перейдем к средним квадратическим ошибкам.
В результате получим
2
.
2
x
 Z

Z
m X   mz    mx   m x
f
f
f

 

2
2
 y
 Z

Z
mY   mz    m y   m y
f
 f
  f










(1.16.2)
В качестве примера вычислим величины mX, mY и mZ точек местности, определенных по стереопаре снимков масштаба 1:5000,
полученной АФА с f =150 мм и форматом кадра 23х23 см, с продольным перекрытием 60%.
Будем считать, что на стереопаре снимков точки были измерены с ошибками
m x  m y  mp  0.01мм .
В этом случае высота фотографирования
Z  f  m  150мм  5000  750м ;
а базис фотографирования в масштабе снимка
b
230мм100%  60%
 92мм  90мм .
100%
Средние квадратические ошибки определения координат точки местности, вычисленные по формулам (1.16.1) и (1.16.2) будут
равны:
Z
750 м
mx 
 0.01мм  0.05 м
f
150 мм
Z
750 м
mY  m y 
 0.01мм  0.05 м
f
150 мм
Z
750 м
mZ  m p 
 0.01мм  0.08 м
b
90 мм
mX 
.