Электрическое поле в диэлектриках

ТЕМА 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
2.1. Поляризация диэлектриков
Диэлектриками называются вещества, практически не проводящие
электрический ток. Если удельное сопротивление металлов (хороших
проводников) находится в пределах 10-8…10-6 Ом∙м, то эта же физическая
величина для диэлектриков имеет значение в промежутке 106…108 Ом∙м.
Диэлектрики встречаются среди веществ в любом агрегатном состоянии.
Хотя молекулы диэлектрика электрически нейтральны, они обладают
электрическими свойствами, т.е. реагируют на внешнее электрическое поле.
Выше уже отмечалось, что поле, создаваемое любой электронейтральной
совокупностью зарядов, можно представить как поле соответствующего
диполя. Его заряды равны суммарному положительному и отрицательному
зарядам этой совокупности и расположены в их центрах; координаты
центров находятся по аналогии с определением центра масс тела, состоящего
из заданного количества частиц (точечных масс).
В зависимости от взаимного расположения заряженных частиц внутри
молекул различают полярные и неполярные диэлектрики. Диэлектрик
называется неполярным, если в отсутствие внешнего электрического поля
центры положительных и отрицательных зарядов его молекул совпадают.
Рассматривая молекулы диэлектрика как электрические диполи, можно
сказать, что в отсутствие электрического поля плечо диполя неполярной
молекулы и, соответственно, его дипольный момент равны нулю. При
включении внешнего поля электронные оболочки молекул деформируются,
центры положительных и отрицательных зарядов взаимно смещаются,
молекулы приобретают индуцированный дипольный момент и становятся
источником собственного электрического поля. Этот процесс (явление)
называется электронной поляризацией. Опыт показывает, что взаимное
смещение центров положительных и отрицательных зарядов
пропорционально напряженности внешнего поля. В этом отношении
молекулы неполярного диэлектрика сходны с пружиной, удлинение которой
пропорционально приложенной силе. Поэтому неполярные молекулы
называются упругими диполями; к их числу относятся молекулы водорода,
азота, кислорода и т.п.
Диэлектрик называется полярным, если его молекулы имеют
ненулевой дипольный момент даже в отсутствие внешнего электрического
поля. В молекулах полярного диэлектрика центры положительных и
отрицательных зарядов не совпадают; внешнее поле вызывает их
дополнительное взаимное смещение, а также оказывает ориентирующее
действие, стремясь повернуть молекулы так, чтобы их дипольные моменты
установились вдоль линий напряженности поля. Этому препятствует
тепловое движение; в результате устанавливается некоторая
преимущественная ориентация дипольных моментов относительно
1
направления внешнего поля. Это явление называется ориентационной
поляризацией диэлектриков. Расчеты показывают, что в полях с
напряженностью вплоть до 108 В/м (когда происходит пробой диэлектриков)
взаимным смещением положительных и отрицательных зарядов можно
пренебречь. Именно поэтому полярные молекулы называют жесткими
диполями; таковы молекулы воды, спиртов и т.п.
В ионных кристаллах типа KCI, NaCl молекулы вещества утрачивают
свою обособленность. Поэтому решетку ионного кристалла можно
рассматривать как две совмещенные структуры, одна из которых образована
положительными, другая – отрицательными ионами. Под действием
внешнего поля обе решетки смещаются в противоположные стороны, что
приводит к т.н. ионной поляризации.
В качестве количественной характеристики поляризации диэлектрика
используется вектор поляризованности P . Если диэлектрик поляризован
однородно, т.е. одинаково в каждой его точке, то вектор поляризованности
представляет собой сумму дипольных моментов молекул, содержащихся в
единице объема вещества:
P
1
V
p
i
i
(здесь pi – дипольный момент отдельной молекулы, V – объем). В случае
неоднородной поляризации имеет смысл вектор поляризованности в
определенной точке диэлектрика:
P  lim
V 0
1
V
p
i
.
i
Из определения следует, что единица измерения модуля вектора P – 1Кл/м2.
Опыт показывает, что для большинства диэлектриков вектор
поляризованности пропорционален напряженности внешнего электрического
поля:
P  0E .
Здесь  – безразмерная скалярная величина, характеризующая конкретный
диэлектрик; она называется диэлектрической восприимчивостью.
Существует особая группа диэлектриков – сегнетоэлектрики, для которых
характерна нелинейная зависимость поляризованности от напряженности
внешнего поля (они будет рассматриваться позже).
2.2. Связанные заряды
Электрическое поле в диэлектрической среде представляет собой
суперпозицию внешнего поля, создаваемого зарядами, не входящими в
состав молекул диэлектрика (сторонние заряды), и внутреннего поля,
обусловленными зарядами молекул – т.н. связанными зарядами. При этом
первичная роль принадлежит сторонним зарядам, поскольку поле связанных
2
зарядов создается в результате поляризации диэлектрика под действием
внешнего поля.
Рассмотрим вначале однородно поляризованный диэлектрик, у
которого вектор поляризованности одинаков в любой его точке. Суммарный
электрический заряд любого малого объема внутри такого диэлектрика
всегда равен нулю. Иначе говоря, внутри однородно поляризованного
диэлектрика нет связанных поляризационных зарядов. Иначе обстоит дело в
его тонком приповерхностном слое. В самом деле, если нормальная
составляющая внешнего поля в какой-то точке поверхности диэлектрика
отлична от нуля, то под действием внешнего поля заряды молекул одного
знака выходят на поверхность, заряды противоположного знака уходят
внутрь (рис. 2.1, а). В результате этого на поверхности поляризованного
а)
E
















б)
 '
S
 '
E

n
l
Рис. 2.1
диэлектрика образуется тонкий слой связанных зарядов (т.н. поверхностных
поляризационных зарядов). Понятно, что их поверхностная плотность
 '  dq ' / ds зависит от поляризованности диэлектрика (здесь dq ' – величина
связанного заряда на элементарной поверхности площадью ds ). Для того
чтобы найти эту зависимость, рассмотрим плоскопараллельную пластинку из
диэлектрика, однородно поляризованного во внешнем электрическом поле;
линии напряженности поля образуют с нормалью к внешней поверхности
пластинки угол  (рис. 2.1, б). Выделим мысленно в пластинке косой
цилиндр с образующими длиной l , параллельными линиям напряженности,
и основаниями площадью S (понятно, что вектор поляризованности
диэлектрика и линии напряженности сонаправлены). Объем такого
цилиндра V  lS cos  , его дипольный момент равен
(2.1)
PV  PlS cos 
(здесь P – модуль вектора поляризованности). Поскольку диэлектрик
поляризован однородно, суммарный электрический заряд любого малого
объема внутри него равен нулю. Поэтому выделенный цилиндр в отношении
электрических свойств эквивалентен диполю с зарядами   ' S ,
сосредоточенными на основаниях этого цилиндра; его дипольный момент
равен  ' Sl . С учетом равенства (2.1) имеем:
 ' Sl  PlS cos    '  P cos   Pn ,
3
где Pn – проекция вектора поляризованности на внешнюю нормаль. Так как
P   0  E ,  '   0 E n . Можно показать, что этот результат справедлив и для
неоднородно поляризованного диэлектрика во внешнем неоднородном поле.
Если диэлектрик поляризован неоднородно, суммарный электрический
заряд внутри его малого объема, вообще говоря, не равен нулю. Поэтому в
результате поляризации в диэлектрике могут возникать объемные связанные
(поляризационные) заряды. Для того чтобы найти соотношение между их
плотностью  ' и поляризованностью, выделим мысленно в неполярном
диэлектрике элементарную поверхность площадью ds . Для упрощения
дальнейших рассуждений будем полагать, что под действием внешнего поля
смещаются только положительные заряды, отрицательные же заряды
остаются на месте. При этом через выделенную элементарную поверхность
пройдут положительные заряды молекул, заключенных в косом цилиндре
объемом dV  l cosds , где l – величина смещения положительных зарядов
(рис. 2.2). Если n – количество молекул в единице объема



 ds

l
E
n
Рис. 2.2
диэлектрика, а q – положительный связанный заряд одной молекулы, то
через выделенную поверхность в результате поляризации пройдет
суммарный заряд dq '  qndV  qnl cos ds . Поскольку величина ql
представляет собой модуль индуцированного дипольного момента молекулы,
а произведение nql – модуль вектора поляризованности, имеем:
dq '  P cos ds  ( P, ds) (здесь ds – вектор выделенной поверхности). Иначе
говоря, суммарный положительный связанный заряд, прошедший через
выделенную поверхность в результате поляризации диэлектрика, численно
равен потоку вектора поляризованности через эту поверхность.
Далее выделим внутри диэлектрика замкнутую поверхность S .
Связанный положительный заряд, прошедший сквозь нее в результате
поляризации, можно представить как поток вектора поляризованности:
q '    P ds .
S
Согласно теореме Остроградского-Гаусса
 P ds   div PdV .
S
V
Следовательно, внутри поверхности остается отрицательный связанный
заряд
q '     div PdV .
V
4
Если выразить этот заряд через его объемную плотность, придем к
следующему равенству:

'

dV    div PdV .
V
V
Отсюда следует искомое соотношение между объемной плотностью
связанных зарядов и поляризованностью диэлектрика:
(2.1А)
 '  div P .
Это равенство получено в предположении, что из объема внутри диэлектрика
выходят положительные связанные заряды. В действительности же оно
имеет более общий смысл: из него следует, что объемные связанные заряды
образуются всякий раз, когда электронейтральность выделенного объема
диэлектрика нарушается в результате поляризации. Этот результат
справедлив и в случае полярного диэлектрика.
2.3. Вектор электрического смещения
Согласно теореме Гаусса, поток вектора напряженности
электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален
суммарному заряду внутри этой поверхности:
q
 E ds  
.
0
Эта же теорема в дифференциальной форме имеет вид:
div E 

,
0
(2.2)
где  – плотность зарядов. При вычислении напряженности поля в
диэлектриках необходимо учитывать как сторонние заряды, создающие
внешнее поле, так и связанные заряды, образующиеся в результате
поляризации. Поэтому уравнение (2.2) в случае диэлектрической среды
нужно писать так:
div E 
1
(   ' )
0
(2.3)
(здесь  ' – плотность связанных зарядов). Расчет электрического поля в
диэлектрике с использованием последнего уравнения затруднителен,
поскольку напряженность зависит от  ' , а величина  ' определяется
напряженностью поля. В связи с этим в электродинамике используется еще
одна характеристика электрического поля – вектор электрической индукции
(электрического смещения), который даже при наличии связанных зарядов
определяется только плотностью сторонних зарядов.
Перепишем уравнение (2.3), сделав замену (2.1А):
div E 
1
(  div P)  div ( 0 E  P)   .
0
(2.3А)
5
Вектор  0 E  P  D и есть вектор электрического смещения; он
действительно определяется только плотностью сторонних зарядов.
Поскольку P   0  E , имеем:
(2.4)
D   0 E   0  E   0 (1  ) E .
Величина 1   называется диэлектрической проницаемостью вещества, она
находится опытным путем. Понятно, что в случае вакуума (   0 )   1.
Используя диэлектрическую проницаемость, выражение для вектора D
можно переписать:
(2.5)
D  0E .
Легко видеть, что размерность электрического смещения совпадает с
размерностью поверхностной плотности электрических зарядов. Поскольку
 0 E  P  D , из (2.3А) получается равенство div D   , которое можно
рассматривать как теорема Гаусса в дифференциальной форме,
сформулированную для вектора D . Применив к нему теорему
Остроградского-Гаусса, придем к равенству
 Dds   dv.
S
Поскольку
 dV  q ,
V
V
имеем:  D ds  q . Последнее равенство представляет
S
собой теорему Гаусса для вектора электрической индукции в интегральной
форме.
Поле вектора D можно изображать графически с помощью линий,
аналогичных линиям напряженности. Поскольку электрическое поле в
диэлектрике создается как сторонними, так и связанными зарядами, линии
вектора E могут начинаться и оканчиваться на зарядах обоих типов.
Напротив, линии электрического смещения начинаются и оканчиваются
только на сторонних зарядах; связанные заряды они «не замечают», т.е.
проходят сквозь них, не прерываясь.
2.4. Электрическое поле на границе раздела диэлектриков
Пусть в каждом из двух диэлектриков с проницаемостью 1 и  2
создано однородное электрическое поле напряженностью E1 и E 2 . Найдем
условия, которым должны удовлетворять векторы напряженности и
электрического смещения на плоской границе раздела диэлектриков. Для
упрощения рассуждений будем считать, что векторы E1 , D1 , E2 , D2
расположены в плоскости, перпендикулярной границе раздела, и на границе
нет сторонних зарядов.
Выше уже отмечалось, что линии электрического смещения
начинаются и оканчиваются только на сторонних зарядах. Если же таковых
на границе раздела нет, то количество линий при переходе из первого
6
диэлектрика во второй не изменяется. Как известно, количество линий,
пересекающих некоторую поверхность, пропорционально потоку
соответствующего вектора через эту поверхность. Одинаковое количество
линий электрического смещения в обоих диэлектриках означает, что поток
вектора D не изменяется при переходе из первой среды во вторую. Поток
этого вектора определяется интегралом
 Dds  Dn ds ,
S
где D n – проекция вектора D на направление нормали к поверхности.
Неизменность потока означает, что D1n  D2n , т.е. нормальные составляющие
вектора электрической индукции в первом и во втором диэлектрике
одинаковы. Учитывая, что D   0  E , имеем:
 0 1 E1n   0  2 E2 n 
E1n  2
.

E 2 n 1
Если полагать, что первая среда – вакуум (   1), то
E1n
 2 .
E2n
Отсюда следует физический смысл диэлектрической проницаемости среды:
она показывает, во сколько раз нормальная составляющая напряженности
электрического поля в данной среде меньше, чем в вакууме.
Для того чтобы сформулировать граничные условия для
тангенциальных составляющих векторов E и D , воспользуемся теоремой о
циркуляции:  E dl  0 . В качестве контура интегрирования выберем вдоль
L
границы раздела диэлектриков прямоугольник, такой, что b  a (рис. 2.2).
E
1
1
a
2
En
b
4
3
2
Рис. 2.2
Учитывая это условие и выбранное направление обхода контура, имеем:
 E dl  aE
1
 aE 2   0  E1  E 2  ;
L
D1   0 1 E1  E1 
D1
 0 1
D
D1
, D2   0  2 E2   E2  2 ,
 0 1
02
D
D

 2   1  1 .
02
D2   2
7
Итак, нормальная составляющая вектора D и тангенциальная
составляющая вектора E не изменяются при переходе из одного
диэлектрика в другой. Тангенциальная составляющая вектора D и
нормальная составляющая вектора E изменяются скачком, т.е.
претерпевают разрыв. Из этих закономерностей следует, что линии
напряженности и линии электрического смещения на границе раздела
диэлектриков преломляются.
2.5. Электрострикция и пьезоэлектричество
Явление электрострикции заключается в изменении геометрических
размеров диэлектрических кристаллов во внешнем электрическом поле.
Опыт показывает, что величина относительного изменения линейных
размеров зависит по линейному закону от напряженности электрического
поля:
l
~E
l0
(здесь l – абсолютное изменение длины, l 0 – первоначальная длина). Если
изменить направление поля, эффект «меняет знак», т.е. вместо удлинения
кристалла наблюдается его сжатие, либо наоборот. Величина относительного
изменения размеров очень мала. Например, в случае кварца при
напряженности 104 В/м она составляет 22,5∙10-9. Это означает, что кристалл
кварца длиной 1 м удлинился бы в таком поле на 25 нм.
Как уже отмечалось, диэлектрики во внешнем электрическом поле
поляризуются. Неполярным диэлектрикам свойственна электронная
поляризация, т.е. деформация электронной оболочки атомов и молекул.
Ориентационная поляризация характерна для полярных молекул и сводится к
переориентации их дипольных моментов вдоль направления линий
напряженности. Ионная поляризация имеет место в случае ионных
кристаллов и обусловлена смещением катионной и анионной подрешеток под
действием поля в противоположных направлениях. Понятно, что в результате
поляризации любого типа происходит изменение линейных размеров
кристалла.
Несмотря на столь малую величину l / l0 , явление электрострикции
имеет ряд важных практических применений. В частности, оно используется
для получения ультразвуковых колебаний. В самом деле, если к кварцевой
пластинке с помощью металлических обкладок подключить переменное
напряжение, то пластинка начнет деформироваться, сжимаясь и разжимаясь,
с частотой изменения напряжения. В случае, когда эта частота больше 20
кГц, кварцевая пластинка будет источником ультразвука. Если же размеры
пластинки подобрать такими, что частота изменения напряжения совпадет с
частотой ее собственных колебаний, наступит резонанс, и интенсивность
8
ультразвуковой волны резко увеличится. Помимо кварца, явление
электрострикции наблюдается и на других кристаллах (сегнетова соль,
фосфат аммония, турмалин и др.).
Явление, обратное электрострикции, называется пьезоэлектрическим
эффектом. Он наблюдается при механической деформации кристалла и
заключается в возникновении связанных зарядов на его противолежащих
гранях и, соответственно, разности потенциалов между ними. Например, при
сжатии кристалла кварца силой 10 Н разность потенциалов составляет
несколько сотых вольта. Оба явления – и пьезоэффект, и электрострикция
обусловлены одним и тем же – поляризацией кристалла. Разница лишь в ее
причинах: в случае электрострикции поляризация вызвана внешним
электрическим полем, в случае пьезоэффекта – механическим воздействием,
которое также приводит к изменению ориентации дипольных моментов
атомов либо к смещению подрешеток. На основе пьезоэлектрических
кристаллов изготавливаются т.н. тензодатчики – устройства, позволяющие по
разности потенциалов между противолежащими гранями найти величину
механического напряжения. Пьезокристаллы используются также для
преобразования механических колебаний в электрические, т.е. работают
подобно микрофону.
2.6. Сегнетоэлектрики
До сих пор мы рассматривали «обычные» диэлектрики,
поляризованность которых в отсутствие внешнего электрического поля
всегда равна нулю. Вместе с тем существуют т.н. сегнетоэлектрические
кристаллы (сегнетоэлектрики), которым свойственна спонтанная, т.е.
самопроизвольная поляризованность. Причина этого заключается в том, что
дипольные моменты атомов, находящихся в соседних узлах кристаллической
решетки, вследствие взаимодействия стремятся ориентироваться в
определенном направлении. Такая тенденция к упорядочению передается от
атома к атому; в результате этого целые макроскопические области
кристалла, называемые доменами, могут обладать спонтанной
поляризованностью.
Другая особенность сегнетоэлектриков, отличающая их от обычных
диэлектриков, заключается в рекордно высоких значениях диэлектрической
проницаемости. Например, для слюды, которая считается очень хорошим
диэлектриком,   7 , в то время как у сегнетоэлектриков диэлектрическая
проницаемость может достигать десятков тысяч. Третья особенность состоит
в том, что зависимость модуля вектора поляризованности от напряженности
внешнего электрического поля существенно нелинейна (рис. 2.5,а). Кривая 1
называется основной кривой поляризации, поскольку ее начало находится в
точке O , где E  0 и P  0 (нулевой поляризованности можно добиться,
воздействуя на кристалл полями разной напряженности и направления). При
увеличении E кривая 1 показывает возрастание поляризованности вплоть
до насыщения ( PH ). Если теперь напряженность поля уменьшать, то при
9
E  0 имеется остаточная поляризованность ( PO на кривой 2). Для того чтобы
поляризованность стала равной нулю, необходимо изменить направление
поля и увеличивать напряженность до значения E K , которое называется
коэрцитивной силой сегнетоэлектрика. При дальнейшем увеличении
а)
б)
P
PH
2
PO
1
EK
O
E
E'
Рис. 2.5
напряженности значение поляризованности вновь достигает насыщения, при
уменьшении E до нуля вновь имеет место остаточная поляризованность, и
т.д. и т.п. Замкнутая кривая на рис. 2.5,а называется петлей гистерезиса;
легко видеть, что при некоторых значениях напряженности (например, E ' )
модуль вектора поляризованности может иметь три различные значения.
Сегнетоэлектрики иногда называют ферроэлектриками, поскольку их
свойства во многом аналогичны свойствам ферромагнетиков –
кристаллических веществ, обладающих спонтанной намагниченностью.
Перечисленные выше особенности сегнетоэлектриков, отличающие их
от обычных диэлектриков, обусловлены доменной структурой кристаллов.
Впервые сегнетоэлектрические домены были обнаружены в кристаллах
титаната бария ( BaTiO3 ); их схематическое изображение приведено на рис.
2.5,б. Легко видеть, что домены представляют слои, из которых состоит весь
кристалл. Стрелки на каждом из доменов указывают направление спонтанной
поляризации, совпадающее с одним из кристаллографических направлений.
Суммарная поляризованность кристалла представляет собой векторную
сумму поляризованности всех доменов, из которых он состоит. Если
кристалл поместить во внешнее электрическое поле, имеют место следующие
процессы:
- поляризованность доменов может изменяться только по величине
либо только по направлению;
- поляризованность доменов может изменяться как по величине, так и
по направлению;
10
- домены, вектор поляризованности которых образует острый угол с
линиями напряженности, могут увеличиваться в размерах за счет
поглощения доменов с энергетически менее выгодной ориентацией (иначе
говоря, происходит смещение границ доменов).
Понятно, что каждый из перечисленных факторов приводит к изменению
поляризованности всего кристалла.
Природа спонтанной поляризации сегнетоэлектриков изучена пока
недостаточно; основная причина этого заключается в сложности строения
сегнетоэлектрических кристаллов. Исключением является уже
упоминавшийся титанат бария; его структура достаточно проста для того,
чтобы сделать вполне определенные заключения о природе спонтанной
поляризации. В элементарной ячейке кристалла BaTiO3 ионы бария
находятся в вершинах куба, ион титана – в его центре, ионы кислорода – в
центрах граней. Вследствие высокой симметрии расположения заряженных
частиц элементарная ячейка идеального кристалла не обладает дипольным
моментом. Если же ионы Ti либо кислорода смещаются относительно бария,
образуются диполи с определенной ориентацией. Например, если ион титана
смещается в сторону кислорода, расположенного на одной из граней куба,
элементарная ячейка приобретает дипольный момент в этом же направлении.
Если такое смещение происходит во всех элементарных ячейках кристалла,
имеет место поляризованность насыщения. Расчеты показывают: для того
чтобы обеспечить наблюдаемую на опыте поляризованность насыщения,
смещение иона титана должно быть порядка 0,1 Å, что соответствует
примерно одной сотой межатомного расстояния.
Спонтанная поляризация доменов сохраняется отнюдь не до точки
плавления кристаллов; у каждого сегнетоэлектрика она существует при
низких температурах вплоть до некоторой максимальной, называемой
сегнетоэлектрической точкой Кюри. Например, для кристалла титаната бария
эта температура составляет 1200 С. Понятно, что при более высоких в
сравнении с точкой Кюри температурах домены разрушаются под влиянием
теплового движения. Если же понижать температуру, то при температуре
Кюри домены образуются вновь, и обычный диэлектрик превращается в
сегнетоэлектрик.
11