Математика для студентов географических направлений. Место

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Математика для студентов географических направлений.
Место и роль математики в современном мире, в том числе в
географических науках
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
“Математика” – слово греческого происхождения. То, что греки
назвали “mathema” – познание, наука было известно задолго до них. Греки
же смогли впервые понять и по достоинству оценить это знание, придать ему
системный характер и включить в исходное понятие философии – понятие
“бытие”, через которое они выражали единство мира. Математика, наряду с
астрономией, медициной, архитектурой стоит у истоков современной науки,
о чем свидетельствуют, в частном, “Начала” Евклида, книга о геометрии,
написанная им в III в. до н. э. Используя математику, Г. Галилей и И. Ньютон
создали первую научную механическую теорию.
В настоящее время принято несколько искусственно разделять
культуру на гуманитарную и естественно-научную. “Гуманитарное”
преподавание математики невозможно без изучения ее истории. Сюда входят
и краткие сведения о возникновении тех или иных математических понятий и
идей, о жизни выдающихся ученых. Другая сторона математического
образования – изучение приложений математики. В настоящее время
создается система примеров и задач, ориентированных на специальнопредметные приложения, в частном, на географические. Гуманитарный
потенциал математики раскрывается по следующим направлениям.
1. Математика изучает математические модели реальных процессов. Это
позволит человеку, владеющему математическим языком, глубже
проникнуть в суть явлений, правильно ориентироваться в окружающей
действительности.
2. Математика “ум в порядок приводит”. Известно влияние математики на
формирование мышления и личностных черт человека.
3. Человек, формирующий математическое утверждение, проводящий
математическое доказательство, оперирует не обыденной, а предметной
речью, строящейся по определенным законам (краткость, четкость,
лаконичность, минимизация и т. д.). Предметная речь оказывает
существенное влияние и на развитие литературной речи.
4. Изучая математику, человек постоянно осознает свое развитие,
“подмнение”.
Современная математика в сочетании с информатикой и ЭВМ
становится междисциплинарным инструментом, который выполняет две
основные функции: обучает специалиста-профессионала формулировать цель
того или иного процесса, определять условия достижения этой цели;
позволяет анализировать, т. е. “проигрывать” возможные ситуации и
получать оптимальные решения с помощью модели. Математическое
моделирование должно стать обязательным этапом, предшествующим
принятию любого решения.
Место и роль математики в современном мире,
в том числе в географических науках
Роль математики в общечеловеческой культуре огромна. Место
математики в жизни и науки определяется тем, что она позволяет перевести
“общежитейские”, интуитивные подходы к действительности, базирующиеся
на приблизительных описаниях, на язык точных определений и формул, из
которых возможны количественные выводы. Не случайно говорят, что
степень научности той или иной дисциплины измеряется тем, насколько в
ней применяется математика.
Математические рассуждения позволяют привлекать устанавливать
причинно-следственные связи, что, безусловно, должен уметь каждый
человек. Стиль изложения математики, ее язык влияют на речь. Каждый
культурный человек должен иметь представление об основных понятиях
математики, таких, как число, функция, математическая модель, алгоритм,
вероятность, оптимизация, величины дискретные и непрерывные, бесконечно
малые и бесконечно большие. Речь идет именно об основных понятиях и
идеях, а не о наборе конкретных формул и теорем.
Человек, знающий математику только по школьному курсу, вряд ли
сознает, сколь мизерное количество знаний, накопленных задолго до начала
XX века, сообщаются в школе. А ведь в наши дни в мире ежемесячно
выходят сотни математических журналов, публикующих тысячи новых
теорем с трудными, порой многостраничными доказательствами. И это не
считая публикаций по приложениям математики.
Критерием истинности новых научных направлений и методов
является, в конечном счете, опыт, практика, ее требования. Практика служит
и источником знаний.
Математика является одним из мощных орудий научного воображения,
применение математического метода в различных областях знания,
включающих на ряду с логикой, физикой, биологией, геологией, экономикой,
психологией, несомненно и современную географию, экологию,
картографию.
Необходимость обращения к математическому методу диктуется все
растущим потоком географической информации, охватывающей множество
стран, районов, подрайонов, все компоненты природы, производственные
силы, особенности потребления и обслуживания, население, культуру и т. д.,
и становятся колоссальной, необозримой.
Аналогичное положение имеет место и в других областях знания,
включая и математику. Математика существует как одна наука, объединяемая своим определенным объектом, а именно “Математическими структурами”. Для географии весьма важно, что понятие математической структуры,
построенной аксиоматически, не требует определения природы тех элементов, которые образуют ту или иную структуру. В работах Н. Бурбаки описываются основные типы математических структур – порождающие структуры и дается классификация математических теорий, опирающихся не на
внешнее сходство (алгебра, анализ, теория чисел, геометрия), а на концепцию
иерархии структур, идущую от простого к сложному, от общего к частному.
Если опираться на то, что предметом географии является преобразованное размещение и взаимодействие различных динамических систем, в
которых внутренне, сложным образом связаны природные и общественные
явления, то тем самым объективно выявляется строго определенный объект
географической науки как науки о географических структурах (структурах
пространственного размещения, сочетания, взаимодействия динамических
природных и общественных комплексов), методом изучения которого может
быть математический метод.
Таким образом, объект и метод математической географии характеризуется однозначно. При этом теоретической целью математической географии является систематический анализ выделяемых географических структур.
Математический метод является прежде всего и по существу особой знаковой системой, особым
(математическим,
логико-математическим)
языком,
позволяющим
вырабатывать
и
выражать
соответствующие (географические) понятия и суждения в сокращенной, компактно – обозримой, связной
форме и притом строго однозначно, т. е. четко, ясно недвусмысленно, “обходя” полисимантум обычной
речи. Этот язык дает возможность строить и такие понятия, которые обычными языковыми средствами
либо трудно выразимы, либо невыразимы. Математический язык как особая научная знаковая система,
система символов способствует образованию новых понятий и предваряет открытие новых объектов,
свойств и отношений действительности, давая широкий простор работе научного воображения и построение догадок – гипотез о структуре изучаемых образований. Математический язык, благодаря
характеру своей символики, дает возможность открывать структурное единообразие, единого ряда
общих закономерностей в таких областях деятельности, которые по природе своей глубоко различна.
Кроме того, логико-математический язык является международным языком и единственным языком
современных электронно-вычислительных машин.
Как и всякие структуры, раскрываемые математическим методом, географические структуры выражаются в соответствующих математических моделях (формулах, равенствах, неравенствах, символических соотношениях,
знаковых образованиях). В этих моделях структурное тождество множества
различных физико- и экономо-географических явлений и процессов оказывается весомым и зримым. Именно поэтому, несмотря на рост и усложнение
географической информации, позволяется охватывать “единым взглядом” в
систематической иерархии географических структур разнородные географические явления, сочетающиеся друг с другом в том или ином географическом
комплексе, размещенном на том или ином земном пространстве.
Известный американский математик, создатель теории динамического
программирования Р. Беллман подчеркивал, что главная цель построения
математических моделей космогонических, экономических, физических,
биологических и т. д. процессов и явлений состоит не столько в получении
численных результатов, которые часто сомнительны из-за недостаточности
наших знаний некоторых основных постоянных и входящих в задачи функций, сколько в определении самой структуры решение задачи, т. е. структуры
самого рассматриваемого явления. Во многих случаях более важны общие
представления, чем конкретные численные значения констант.
Научно-техническая революция вызвала к жизни ряд новых направлений научных географических исследований. Мы остановимся на трех из них,
которые нам представляемые наиболее важными.
Первое направление связано с освоением человеком космического пространства.
Исследование Земли из космоса произвели переворот в картографии.
Съемки с большого числа спутников, ежедневно облетающих и
фотографирующих нашу планету, позволили перейти к динамической
картографии, к целостному раскрытию всей совокупности природных
явлений, географии населенных мест, сельскохозяйственного освоения
территорий, путей сообщения и средств транспорта, горных разработок,
ирригационных каналов, промышленных предприятий и многого другого.
Динамика явлений улавливается с такой точностью, которая для анализа
некоторых из них не нужна. Ежедневная повторная съемка много делает для
понимания разного рода перемещений в пространстве – облаков, льдов,
транспорта (судов, поездов, автомобилей). Гигантская пространственная
информация, которая автоматически наносится на карту, дает полное
динамическое представление о всей сложности совмещения (сочетания)
различных явлений, от их пространственных системах. Географы получили в
свое распоряжение “живую карту”. Но эта “живая карта” в свою очередь
предъявила совершенно новые требования к географии как науки точной,
исследующей большие пространственные динамические системы, способной
не только расшифровать комплексы процессов развития этих систем, но и
дать прогноз дальнейшей их динамики. География становится
пространственно-временной наукой, что существенно меняет ее сущность,
методы, значение.
Второе
важнейшее
направление
научных
географических
исследований, вызванное научно-техническим прогрессом, – это
комплексное изучение географическими науками природных ресурсов,
решение больших проблем рационального использования и преобразования
природы, последствий научно-технического прогресса для окружающей
человека природной среды, прогноз дальнейших изменений этой
естественной среды, разработка научных основ охраны природы.
Третье направление географических исследований, ставшее особенно
важным в настоящее время, – рациональная территориальная организация
производственных сил, которая воплощается в создании систем взаимодействующих территориальных комплексов разного типа и масштаба.
География в настоящее время рассматривается как система наук: естественных (физическая география, геоморфология и др.), общественных
(экономическая география) и технических (инженерная география). Развитие
теоретической географии тесно связано со все ускоряющимся процессом
применения географами математических методов исследования.
Математические методы в наше время исследуются широким кругом
как естественных, так и общественных наук. Из смежных с географией наук
математические методы стали особенно важны в геологии (где уже сформировалась математическая геология), в биологии (особенно в биоценологии), в
экономике (эконометрии). Математические методы в планировании приобрели исключительно большое значение.
Воздействие могучей техники на географическую среду вызывает не
только положительные, но неожиданно сильные обратные реакции динамической природы. Чтобы разобраться в них, необходим глубокий анализ развития географической среды как большой системы и как системы систем
(региональных и отраслевых), на котором должен основываться прогноз развития окружающей среды под воздействием человеческой деятельности.
Без системного подхода, без упора на изучения геосистем различных
иерархических рангов и разной сложности, без учета взаимодействия в пространстве и во времени населения, природы и хозяйства как автономных
систем и одновременно частей единой большой геосистемы эту задачу нельзя
не только решить но даже как следует поставить. Оказалось, что одни
традиционные методы не могут обеспечить выполнение географией этих
важнейших задач. Для этого необходимы математические методы, применение современных компьютеров, новые способы теоретического пространства
– временного обобщения фактов.
Для использования математических методов в конкретных науках
большое значение имеет понимание предмета математики. В настоящее время большинство математиков и специалистов в области философии и методологии математики считают, что методы современной математики (включая
математическую логику и кибернетику) применимы для точного и однозначного описания любых объектов любой сложности, изученных как
количественно, так и качественно, а также для создания научных языков,
точных абстрактных моделей любых сложных процессов, для создания
целых теорий и научных направлений, и, наконец, для логической разработки
методов и построения самых научных теорий и их систем.
Применение современных математических методов в науке не идентично применению одних количественных подходов; это новая, более высокая ступень развития науки, в частности ее теоретических аспектов. Дело
здесь не только (и не столько) в огромном ускорении подсчетов и расчетов,
хотя и это очень важно, а в использовании в конкретных науках, в том числе
и в географии, математической логики, математического мышления огромного опыта математической интерпретации фактов и методов их генерализации. Без математического подхода к фактическим данным, новых методов их
анализа и обобщения невозможно осуществить исследования изучаемых географией сложных пространственных систем – геосистем.
География имеет дело с такими сложными системными объектами, что
существующие математические теории не в состоянии полностью раскрыть
законы развития этих систем, что подталкивает к дальнейшему развитию
специального географо-математического аппарата.
Возникающие в целях математизации новых отраслей знания разделы
математики должны использоваться результаты уже сложившихся ее направ-
лений примерно в той же мере, в какой биологические, общественные или
географические науки в состоянии воспользоваться подходами и теориями,
разработанными в физике, или их аналогиями – интерпретациями.
Необходимость в прогрессии математических теорий, соответствующих целевым требованиям географии, особенно ощущается в ее обобщающих, теоретических разделах. Не удивительно, что эта проблема была
поставлена уже в первых работах по теоретической географии и
метагеографии (Гохман В. М., Гуревич Б. Л., Саушкин Ю. Г., Минц А.А.,
Преображенский В.С.).
Она привлекла и математиков. Так, М. Л. Цетлин писал: “Мне кажется,
что стоило бы подробнее подумать о тех чертах математического подхода
(или хотя бы языка, символики), которые не позволяют использовать то, что
уже есть в математике, для географических надобностей”. (Цетлин М. Л. О
математической географии // Вести Московского университета. Серия 5. География. 1966 №6). Он высказал мысль, что во всей современной математике
очень важную роль играет понятия однородности и изоморфизма, тогда как
география имеет обычно дело с сочетаниями разнородных явлений и в применении к ней речь должна идти о математическом описании очень сложных
и разнообразных по своей природе процессов.
Современная математика имеет в качестве одной из основ теорию множеств, объектом которой являются простые совокупности элементов
(“неорганизованная сложность”). Наряду с этим аппарат математики рассчитан на изучение систем с малым числом элементов и со строго детерминированными связями между ними (“организованная простота”). Именно такова
динамика системы материальных точек. Тем не менее, за четыре столетия,
прошедшие с тех пор, как началась математизация механики систем материальных точек, она не достигла еще того уровня, которого мы хотели бы достигнуть, изучая несравнимые более сложные объекты географии, биологии
или экономики.
Геосистемы подобно объектам многих других наук являются очень
сложными (“большими” или, по другой терминологии, “диффузными”) системами, которые в отличие от механических систем характеризуются
“плохой организацией” (Налимов В.В. Теория эксперимента. – М., 1971).
Между тем до последнего времени точные науки стремились иметь дело с
“хорошо организованными” системами, в которых можно было выделить
явления одной физической природы, зависящие от малого числа переменных.
Результаты изучения таких систем обычно можно представлять хорошо
интерпретируемыми функциональными связями. В отличии от этого в “плохо
организованных” системах не удается установить непроницаемые
перегородки, разграничивающие действия переменных различного
происхождения; в них приходится учитывать действие очень многих разно
рядных факторов, создающих различные по своему генезису и характеру, но
тесно взаимодействующие между собой процессы.
Интерес к таким системам (с ними связаны, в частности, многие технологические процессы) быстро растет. Методы, разрабатываемые для их ана-
лиза, могут быть полезны и при анализе геосистем. К таким методам относится, с одной стороны, многомерная математическая статистика, в том числе факторный анализ, и с другой – кибернетический подход, связанный с логическим анализом процесса управления подобными системами и их моделированием, включая модели типа “черного ящика”.
Методы исследования сложных систем, разрабатываемые общей теорией систем, кибернетикой и в применении к своим, более узким целям, рядом конкретных наук (например, биологией), имеют большое значение для
математизации географии, и в том числе и для создания “целевых” географических направлений в математике.
Большое значение для географии может иметь теория игр, которая
“... представляет один из первых примеров сложных математических
выводов, относящихся исключительно к вопросам, возникающим в
общественных науках. Идея теории игр возникла из нефизических задач, и
для трактовки этой идеи был разработан математический аппарат” (Льюнс Р.,
Райфа X. Игры и решения. – М. с. 31. 1961). Создание теории игр означает
охват математическими моделями принципиально новых областей – важных
разделов ряда общественных, естественных и прикладных наук. Для
географии весьма важно, в частности, что как конфликт можно
рассматривать и борьбу общества с природой, считая природу одним из его
учеников.
Большие трудности связаны с математической трактовкой понятия о
географическом пространстве как собственном пространстве геосистем. В
большинстве разделов физики пространство рассматривается как простое
евклидово пространство с присущей ему метрикой, основанной на представлении об однородности пространства. Подобные представления в настоящее
время недостаточны даже в физике (например, для объяснения виртуальных
процессов). Тем более это относится к наукам, изучающим сложные системы. Еще В.И. Вернадский противопоставлял пространство более сложных,
“организованных” объектов пространству физики, представляющему их
простейший частный случай. Для понимания этих важнейших для
теоретической географии проблем большую роль может сыграть, в
частности, развитие топологии.
Важнейшим условием математизации географии является коренное
усовершенствование ее понятийного аппарата. Математику можно применять в определенной науке лишь в том случае, если постановка проблем и
системы понятий в ней сформулированы настолько ясно, что допускают математическую обработку. “Представителю конкретной науки или философу,
имеющему о том или другом предмете еще очень расплывчатое представление и самому толком не знающему, что он, в сущности, хочет сказать, не
стоит надеяться, что этот его еще не перебродившей продукт мышления может быть обработан тонким инструментом математики. И уж, конечно, ему
не следует упрекать математику в том, что она не может в данном случае ему
помочь” (Клаус Г. Кибернетика и философия. – М., 1963, с. 227). Таким
образом, внедрение математических методов в конкретную науку связано с
упорядочением ее теоретической базы и во многом ему способствует.
Содержательная сторона понятийного аппарата конкретных “частных”
наук определяется их сущностью. Поэтому применение математических
методов в них должно обязательно исходить из методологических основ этих
наук, из особенностей изучаемой данной наукой форм движения материи
(включая и информацию), из характера взаимодействия главных для нее явлений и объектов исследования.
В результате обобщения теоретических представлений о формировании, развитии, свойствах целостных географических образований, изучаемых
частными географическими дисциплинами, возникло отражающее реальную
действительность понятие – “геосистемы” (Гохман В. М., Гуревич Б.Л.,
Саушкин Ю.Г., Согава В. Б.). Оно позволило дать наиболее сжатое определение географии как науки о законах развития геосистем и об управлении ими
(Саушкин Ю.Г. Смирнов А.М.).
С представлением о системах неразрывно связано понятие о структурах. Только через изучение структур можно познать очень сложные системы,
пользуясь методом последовательных приближений, то есть разложение в
бесконечный ряд по структурам изучаемой целости (Гохман В.М., Гуревич
Б.Л., Саушкин Ю.Т.). Разработка подходов к исчислению структур – одна из
крупнейших математических проблем, стоящим перед теоретической
географией.
Теоретическая география охватывает как математически формализованные, так и неформализованные (“содержательные”) понятия, теории модели.
Для математизации любой теории необходимо, прежде всего, формализовать те понятие, на которых она основана. Эта формализация состоит в
установлении некоторой системы исходных (первичных) понятий и в последующем определении всех остальных понятий через исходные (или уже
определенные через них). За исходные при этом обычно берутся основные
понятия имеющейся содержательной теории, при чем они формулируются на
основе всего фактического материала, которым располагает данная наука. В
подобном подходе (иногда его называют аксиоматическим) находит отражение диалектическое единство индуктивного и дедуктивного методов исследования.
В этом свете математику можно рассматривать как систему моделей
определенного типа, а именно формальных, знаковых моделей, воспроизводящих в существенных чертах те или иные явление объективной действительности. В таком смысле можно сказать, что математика занимается формальным моделированием явлений в отличие от других наук, изучающих те
же явления и другими, менее формальными способами, которые можно назвать условно содержательным моделированием. Как правило, содержательное моделирование предшествует формальному. Таким образом, сущность
математизации той или иной конкретной науки состоит в формализации
рассматриваемых его содержательных моделей.
В географии задаче формализации структур, относящихся к геосисте-
мам различного ранга со своими особыми законами развития, очень сложна,
но все же осуществима. Постановка задачи систематического анализа регулярно выделяемых геоструктур исходит из того, что математический язык
“дает возможность открывать структурное единообразие, единство ряда
общих закономерностей в таких областях действительности, которые по
природе своей глубоко различны” (Гуревич Б.Л. Саушкин Ю.Г.
Математический метод в географии // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 5 Геогр 1966.
№1).
Игнорирование реальной действительности недопустимо при математизации конкретной науки, создающей широчайшие возможности для открытия структурного сходства, единообразия ряда закономерностей в различных областях действительности. Необходимы определенные границы допустимости математической абстракции (формализации), достаточно широкие, чтобы охватывать различные явления, но не такие всеобъемлющие, когда абстракция полностью отрывается от реального, превращается в пустую
игру.
Научное исследование структур разного характера показало, что существуют структурные аналогии, относящиеся к самым различным явлениям
техники, физики, биологии, экономики и т. д. Структуры, открытые в одной
области науки, могут быть проверены, и после проверки по аналогии установлены и в каких-то других областях, по не механически, а после всесторонней проверки. Аналогия отнюдь не означает тождества. Такие математические аналогии относящиеся к различным формам движения материи, в отличие от прежних попыток аналогий, например между биологическими организациями и человеческим обществом, основаны «на структурном подобии
способов деятельности систем взаимосвязанных элементов» (Ланге О.
Введение в экономическую кибернетику, М., 1968).
Все сказанное о формализации полностью относится и к использованию математических моделей в географии.
Существуют различные понимания модели.
1 тип: модель – это такой образ, который разум делает более полным,
более богатым, чем действительность.
2 тип: модель схематически характеризует оригинал, замещая его, создавая его “рабочею гипотезу”, которая после уточнения, углубления, проверки становится образом этого оригинала. Модель создается для удобства
тех или иных операций, для имитации таких процессов, которые не могут
быть непосредственно воспроизведены. В ней должны отражаться самые существенные свойства объекта, самые главные внутренние и внешние связи.
Но модель не может исчерпать сущность объекта, она всегда беднее реальной действительности, не раскрывает до конца ее сложности.
Математическая модель сложной системы дает о этой системе лишь
частичное представление. Одни и те же анкеты изучаемой системы можно
описывать различными моделями, имеющими право на совместное, одновременное существование. Эти модели могут быть разноплановыми.
Научная ценность этих моделей состоит в том, что они позволяют по-
нимать поведение системы лучше, чем если бы оно было изложено словами.
Это объясняется тем, что математический язык обладает очень высокой степенью общности, так что у ученого, владеющего этим языком, появляется
множество аналогий с уже известными ему ситуациями, описываемыми такими же уравнениями. В итоге “математическая модель сразу же ставится на
свое место в системе тех представлений, которыми располагает ученый,
мыслящий на языке математике. Но все это вызывает страшное раздражение
со стороны представителей гуманитарных наук, для которых язык математики все же остается лишь плохо выученным “иностранным языком” (Налимов В.В Теория эксперимента. – М., 1971)
Анализируя богатый опыт моделирования, накопленный в географии,
нельзя не отметить, что его общая положительная сторона состоит в том, что
эта наука стала отходить от описательности, выявлять регулярность и законы
развития различных пространственных систем и их подсистем, а в еще
большей степени структур. Математическое моделирование нанесло удар
эмпиризму в географической науке, направило географию по пути поиска
закономерностей (в том числе пространственных), по пути расчета, эксперимента, сравнения вариантов.
Широкое использование математики (в ее современном понимании)
становится необходимым условием успешной разработки содержательных
аспектов географических теорий.
Решение указанных задач требует применения математических
методов. Причем эти методы далеко выходят за рамки традиционно
изучаемых математических курсов на естественнонаучных специальностях.
На первый план выходят методы, предлагаемые математической логикой,
дискретной математикой, теорией конечно- и бесконечномерных линейных
пространств, теорией линейных операторов, теорией евклидовых
пространств, функциональным анализом, топологией. Важную роль в
решении многих задач стали играть идеи гомоморфизма и изоморфизма
систем. В связи с этим особенно усилилась роль понятийного аппарата и
методов алгебры.
Итак, математическое образование важно с различных точек зрения:
1) логической – изучение математики является источником и средством
активного интеллектуального развития человека, его умственных
способностей;
2) познавательной – с помощью математики познается окружающий мир,
его пространственные и количественные отношения;
3) прикладной – математика является той базой, которая обеспечивает
готовность человека как и овладению смежными дисциплинами, так и
многими предложениями, делать для него доступными непрерывное
образование и самообразование;
4) исторической – на примерах из истории развития математики
прослеживается развитие не только ее самой, но и человеческой культуры
в целом;
5) философский – математика помогает осмыслить мир, в котором мы
живем, сформулировать у человека развивающиеся научные
представления о реальном физическом пространстве.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Литература
(Боровиков А. Н. Математическая геология – ее методика или
методология? // Пути познания Земли, -М., 1971).
Воробьев Н. Н. Роль теории игр в математизации знаний //
Методологические проблемы кибернетики: Материалы к Всесоюзной
конференции. Т. 1. – М., 1970)
Гохман В. М., Гуревич Б. Л., Саушкин Ю. Г. Проблемы метагеографии
//Математика в экономической географии. Вопросы географии. Ст.77. –
М.: Мысль, 1968; Гохман В.М., Минц А.А., Преображенский В.С.
Системный подход в географии // Теоретическая география. Вопросы
географии. Сб.88. -М.: Мысль, 1971; Гуревич Б. М., Саушкин Ю. Г.
Математический метод в географии // Вести московского университета.
Серия 5, География. 1966 №1).
Гохман В. М.. Гуревич Б.Л., Саушкин Ю. Г. Проблемы метагеографии
// Математика в экономической географии”. Вопросы географии. Сб.
77. – М.: Мысль, 1968; Гохман В. М., Минц А.А., Преображенский
В. С. Системный подход в географии. // Теоретическая география.
Вопросы географии. Сб.88. – М.: Мысль, 1971; Согава В. Б.
Определение некоторых понятий и терминов физической географии:
Доклад института географии Сибири и Дальнего Востока. Вып. 3. –
Иркутск, 1963;
Согава В. Б. Структурно-динамическое ландшафтоведение и
географические проблемы будущего: Доклад института географии
Сибири и Дальнего Востока. Вып. 16. – Иркутск, 1967).
Саушкин Ю.Г. Смирнов А. М. Роль ленинских идей в развитии
теоретической географии // Вести Московского университета. Серия 5
География 1970. №1
Гохман В.М., Гуревич Б.Л., Саушкин Ю.Т. Проблемы метагеографии //
Математика в экономической географии. Вопросы географии сб.77-М.:
Мысль, 1968
Гуревич Б.Л. Саушкин Ю.Г. Математический метод в географии //
Вестн. Моск. ун-та. Сер. 5 Геогр 1966. №1