Элективный курс «Тайны треугольника»

Элективный курс «Тайны треугольника»
Как показывает практика подготовки к ЕГЭ, решение планиметрических задач вызывает
трудности у многих учащихся. Учащиеся большей частью заняты изучением конкретной
темы и решением задач по этой теме. Большинство же задач требует применения
разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, справедливых лишь
при определенном расположении фигуры, применение различных формул.
В отличие от школьного курса, последовательность материала данного курса
определяется не тематикой и соответствием порядку изложения в учебнике, а уровнем
сложности задач и степенью стандартности.
Цели курса:
- расширение и углубление знаний по теме « Треугольник»;
- создание условия для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности;
- повышение уровня математической подготовки учащихся.
Задачи курса:
- сформировать навыки применения знаний по данной теме при решении задач различной
сложности;
- подготовить к сдаче ЕГЭ;
- приобщить учащихся к работе с математической литературой;
-обеспечить диалогичность процесса обучения математике
Основные требования к знаниям и умениям учащихся.
Данный курс предназначен для учащихся 10-11 классов, рассчитан на 34 часа.
В результате изучения данного курса учащиеся получат возможность
знать и понимать:
- наиболее известные и часто используемые теоремы;
- малоизвестные, но красивые факты по теме «Треугольник»;
- основные алгоритмы решения треугольников
Уметь:
-применять имеющиеся теоретические знания при решении задач.
Содержание курса.
1. Элементарные и опорные задачи. Теорема косинусов.
Классификация треугольников относительно углов, если заданы стороны.
2. Прямоугольный треугольник.
Основные соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
Прямоугольный треугольник и окружность. Высота в прямоугольном треугольнике.
Биссектриса прямого угла. Соотношение между медианами прямоугольного
треугольника. Площадь прямоугольного треугольника.
3. Описанная окружность. Теорема синусов.
4. Медианы треугольника. Точка пересечения медиан.
Теорема о точке пересечения медиан. Треугольник, составленный из медиан данного
треугольника. Экстремальное свойство центроида треугольника. Вычисление медианы
треугольника по трем его сторонам. Перпендикулярность медиан. Некоторые
неравенства, связанные с медианами.
5. Высоты треугольника. Точка пересечения высот.
Ортоцентр треугольника. Два признака равностороннего треугольника. Расстояние между
основаниями высот. Ортотреугольник остроугольного треугольника. Некоторые
неравенства, связанные с высотами. Вычисление высоты.
6. Биссектрисы треугольника. Центр вписанной окружности.
Задачи на нахождение отношений отрезков. Формулы для вычисления биссектрисы.
Треугольник с равными биссектрисами. (Теорема Штейнера-Лемуса). Некоторые
неравенства, связанные с биссектрисами. Отношение площадей треугольника и
треугольника, вершинами которого являются точки пересечения биссектрис с
противоположными сторонами.
7. Вневписанная окружность.
Центр вневписанной окружности. Касательная в вневписанной окружности. Формулы для
вычисления радиусов вневписанных окружностей. Некоторые соотношения с радиусами
вневписанных окружностей. Расстояние между центром описанной окружности и
центрами вневписанных окружностей. Свойство отрезков, соединяющих вершину
треугольника с точками касания сторон треугольника с вневписанными окружностями.
Некоторые неравенства.
8. Площадь треугольника.
Вычисление площади треугольника по стороне и углам;
по радиусу описанной окружности и углам;
по полупериметру и углам;
по углу и двум высотам, опущенным на стороны этого угла;
по трем высотам;
по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне;
по трем медианам.
Некоторые неравенства, связанные с площадью.
9. Некоторые замечательные теоремы о треугольнике.
Теорема Менелая. Теорема Чевы. Теорема Ван-Обеля. Теорема Штейнера. Теорема
Стюарта. Прямая Эйлера. Окружности Эйлера.
Тематическое планирование курса
Количество часов
№
Тема
1
2
3
4
5
6
7
всего
теории
практики
Элементарные и опорные задачи.
Теорема косинусов.
2
-
2
Прямоугольный треугольник.
4
1
3
2
-
2
3
1
2
3
1
2
4
1
3
4
1
3
Описанная окружность. Теорема
синусов.
Медианы треугольника. Точка
пересечения медиан.
Высоты треугольника. Точка
пересечения высот.
Биссектрисы треугольника. Центр
вписанной окружности.
Вневписанная окружность.
Форма
занятия
практикум
семинарпрактикум,
практикум
семинарпрактикум
семинарпрактикум
семинарпрактикум
семинар-
8
Площадь треугольника.
5
1
4
9
Некоторые замечательные теоремы о
треугольнике.
Обобщающее занятие.
6
1
5
10
1
практикум
семинар практикум
семинар практикум
зачет
Задания для самостоятельной работы учащихся
Работа с рекомендованной литературой.
Самостоятельное решение предложенных задач с последующим обсуждением вариантов
решения.
Самостоятельный подбор задач по теме элективного курса с использованием
дополнительной математической литературы.
Самостоятельное конструирование задач по изучаемому курсу и их презентация.
Учебно-методическое обеспечение курса
1. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи)
(типовые задания С4) Прокофьев А.А. Корянов А.Г.
2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб пособие для
учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б.
Кадомцев и др.-4-е изд.-М.: Вита-Пресс, 2005.
3. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Доп. главы к учебнику 9 кл.: Учеб пособие для
учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б.
Кадомцев и др.-3-е изд.-М.: Вита-Пресс, 2003.
4. И.Ф. Шарыгин. Геометрия. 9-11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учеб. пособие.М.: Дрофа, 1997
5. И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии. (Планиметрия).-2-е изд.,перераб. И доп.-М.:Наука.
Гл.ред.физ.-мат. лит.. 1986 (Б-чка «Квант». Вып.17)
6. Гусев В.А. и др. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение,
1985.
7. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Под ред. М.И.
Сканави. Учеб. пособие. – С.-Петербург, 1994.
8. Я.П. Понарин. Геометрия: Учебное пособие Ростов- на-Дону: изд-во «Феникс», 1997.
9. М.А. Иванов. Математика без репетитора : 800 задач с ответами и решениями для
абитуриентов. - М.:Вентана-Графф.2002
10. Ю.А. Глазков, И.К. Варшавский, М.Я. Гаиашвили. ЕГЭ Математика. Решение задач
группы В-2 изд. перераб. И доп.-М.: Издательство « Экзамен», 2009