СБОРНИК ЗАДАЧ НА ВНЕВПИСАННУЮ ОКРУЖНОСТЬ

СБОРНИК ЗАДАЧ
НА
ВНЕВПИСАННУЮ
ОКРУЖНОСТЬ
(С решениями)
Автор: Будко Л.Ф.
МБОУ СОШ № 1х. Маяк. 2013г.
Оглавление
1. Вписанная и описанная окружности………………3
2. Определение вневписанной окружности и примеры
решения задач………………………………………….5-10
3. Свойства вневписанной окружности………………11-17
4. Задачи на вневписанную окружность……………..18-27
5.Литература…………………………………………….28
2
1.Соотношения сторон треугольника и радиуса вписанной
окружности
№п/ Вид треугольника
Информация
п
1.
Произвольный
Центр окружности лежит в точке
пересечения
биссектрис
треугольника
(внутри треугольника).
2.
Остроугольный
S
или тупоугольный r = p (p- полупериметр треугольника).
3.
Прямоугольный
abc
 p  c (p-полупериметр
r=
2
треугольника, a, b - катеты, с - гипотенуза).
4.
Равносторонний
r= а .
2 3
1. Соотношения сторон треугольника и радиуса описанной
окружности
№п Вид треугольника Информация
/п
1.
Произвольный
2.
Произвольный
3.
Прямоугольный
4.
Равносторонний
5.
Равносторонний
Центр окружности лежит в
точке
пересечения серединных перпендикуляров к
сторонам треугольника:
- в остроугольном - внутри треугольника;
-в прямоугольном - в середине гипотенузы;
- в тупоугольном – вне треугольника.
a
b
c
abc


 2R .
R=
;
4 S sin A sin B sin C
с
R = (с – гипотенуза).
2
а
R=
r=
3
R
2
3
2.Определение: вневписанная – это такая
окружность,
которая
касается
одной
стороны
треугольника и продолжений двух других его сторон.
(Рис.1).
У
любого
треугольника вневписанных
окружностей три – каждая его сторона касается
«собственной» вневписанной окружности (Рис.2).
В
А
С
Н
М
О
Рис.1
Рис.2
Центр вневписанной окружности лежит в точке
пересечения биссектрис внешних углов при стороне
касания
и
биссектрисы
внутреннего
угла,
противоположного стороне касания.
Радиус - отрезок перпендикуляра, проведённого из
центра окружности в точку касания (Рис.3):
4
-АО и ОС- биссектрисы внешних углов треугольника
АВС.
-ВО – биссектриса внутреннего угла АВС.
-ON, OK, OM –радиусы вневписанной окружности.
В
С
N
М
А
К
О
Рис.3
Задача 1.
В прямоугольный треугольник АВС с углом
А, равным 300, вписана окружность радиусом r . Вторая
окружность, лежащая вне треугольника, касается стороны
ВС и продолжения двух других сторон. Найдите
расстояние между центрами этих окружностей.(Рис.4).
Дано: Треугольник АВС,
окружности. О1О2-?
<А=300, r = OH -радиус
5
В
О2
О1
А
Н
С
M
Рис.4
Решение:
Пусть О1 и О2 – центры данных
окружностей . По свойству вневписанной окружности,
центр вневписанной окружности лежит на пересечении
биссектрис внешних углов, поэтому <МСО2=<О2СВ. O1лежит в точке пересечения биссектрис треугольника
АВС  <АСО1=<О1СВ => треугольник О1СО2 –
прямоугольный.
Так как АО1 биссектриса, то <О1АС=150. Из ∆АО1H ,
<АО1Н= 900-150= 750.
Из ∆О1НС <НО1С= 900:2=450, <О2О1С=1800-(450+750)=600.
Следовательно,
<О1О2С=750-450=300.
В ∆ О2О1С катет О1С лежит против угла в 300, значит
О1О2=2О1С=2r.
Ответ: 2r.
6
Задача 2: (Демонстрационный вариант ГИА 2013г.)
Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно
12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого
треугольника касается продолжений боковых сторон
треугольника и касается основания АС. Найдите радиус
окружности, вписанной в треугольник АВС.
Дано: Равнобедренный треугольник АВС, АС=12,
Вневписанная окружность радиусом 8. Вписанная в
треугольник окружность.(Рис.5).
Найти: Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник АВС.
Решение:
Пусть О центр, ОМ радиус вневписанной окружности.О2
– центр, О2Н- радиус вписанной окружности.(Рис.5).
ОМ=8.
По
свойству
вневписанной
окружности,
центр
окружности лежит на пересечении биссектрис внешних
углов, поэтому <МАО=<ОАС. Центр вписанной
окружности лежит в точке пересечения биссектрис
внутренних углов треугольника АВС => <ВАО2=<О2АС
=> треугольник ОАО2 – прямоугольный. ВТ –
перпендикуляр к АС, т.к. биссектриса в равнобедренном
треугольнике является высотой => АТ - высота
прямоугольного треугольника ОАО2.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из
вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное
для отрезков, на которые делится гипотенуза этой
АТ2
высотой => АТ2=ТО2∙ТО, ТО2=
ТО
=
36
8
= 4,5=> Т О2 = 4,5
7
С
О
О2
В
Н
Т
А
M
Рис.5
Ответ: 4,5
Задача 3 (Пробный ЕГЭ от 18.12 2013г.)[6]
Радиусы
двух
вневписанных
окружностей
прямоугольного треугольника 7 и 17. Найти расстояние
между их центрами.
Случай1: одна из окружностей касается гипотенузы, а
другая –катета.
Дано: Треугольник АВС- прямоугольный, <В=900.
Вневписанные окружности (О1;r) и (О2;R), где r-7см, R17.(Рис.6).
Найти: О1О2
Решение:
МС=ВМ+ВС=7+17=24. О1К=МС=24, О2К= 17-7=10. Из
прямоугольного
∆О1КО2 по теореме Пифагора: О1О2=√242 + 102 =
𝟐𝟔см.
8
О2
А
К
О1
М
В
С
Рис.6
Случай 2: обе окружности касаются катетов (Рис.7).
Решение:
Найдём диагонали квадратов:
О2В= 17 2  17 2  17 2 см.
О1О2=7 2 +17 2 =24 2 см.
О1В= 49  49  7 2 см,
9
А
О
С
1
М
Рис. 7
В
К
О
2
Ответ. 26см и 24 2 см.
10
3. Свойства вневписанной окружности
B
M
А
K
С
O
N
a
Рис.8
1.Каждый
из отрезков касательных, проведённых
из вершины треугольника, противоположной стороне
касания вневписанной окружности, равен полупериметру
треугольника.
Дано: Треугольник АВС (Рис.8). Вневписанная
окружность с центром в точке О касается стороны ВС.
Доказать:
1. МВ=ВК, КС=СN. 2. AM=AN=p, где р - полупериметр
треугольника АВС.
Доказательство.
11
Понадобится теорема о касательных: «Отрезки
касательных, проведённых из одной точки к одной
окружности, равны».
Из точки А проведены к одной окружности две
касательные, значит, АМ=АN. Аналогично МВ=ВК,
СN=КС, как отрезки касательных к этой же окружности
соответственно из точек В и С. Получим: АМ=АВ+МВ,
АN=АС+СN,
АМ+АN=АВ+МВ+АС+СN=(АВ+АС)+(МВ+СN)=
(АВ+АС)+(ВК+КС)=АВ+АС+ВС=Р. Получим:
АМ=
АN=р.
Итак, каждый из отрезков касательных, проведённых из
вершины треугольника, противоположной стороне
касания вневписанной окружности, равен полупериметру
треугольника.
Следствие:BK=BM=AM–AB=p-c;
CN=CK=AN–CN=pb. (Рис.9).
p-a
p-a
b
c
r
r
p-b
p-c
r
p-b
a
p-c
Рис.9
12
A
O
L
O1
M
Рис.10
2.
Длины сторон треугольника,
и радиусы
вписанной и вневписанной окружностей,
связаны
соотношением:
𝒓
𝒑−𝒂
=
𝑹
𝒑
Доказательство. На рисунке 10 вписанная
вневписанная окружности с центрами О и О1.
и
Точки О и О1 лежат на биссектрисе угла А. ОL и O1Mрадиусы окружностей, проведённые в точку касания,
значит ОL и O1M перпендикулярны одной прямой АМ 
ОL и O1M параллельны, а треугольники АОL и АО1М
подобны. Получим:
OL
AL

.
O1 M AM
𝑟
𝑝−𝑎
𝑅
𝑝
Т.к. OL=r, O1M=R, AM=p, р-а=AL то =
, где а –
длина стороны касания вневписанной окружности, R –
13
радиус вневписанной окружности, r – радиус вписанной
окружности, p- полупериметр треугольника.
3.Радиус
вневписанной окружности, касающейся
данной стороны треугольника, равен отношению
площади треугольника к разности полупериметра и этой
стороны: ra = S
pa
,
rb= S
pb
,
rc= S
pc
.
Дано: ▲АВС. Вневписанная окружность(Оа ; ra). Рисунок
11. Доказать ra = S
pa
Решение:
S=SABC=SAOaC+SBOaC–SBOaC = ra
a)=ra×(p–a), ra= S
pa
×(b+c–
2
.
В
p
В
c
А
а
b
p
1
ra
ra
О
ra а
С
С1
Рис.1
Что и требовалось доказать.
1111
14
4.
Сумма радиусов вневписанных окружностей
равна сумме радиуса вписанной окружности и
удвоенного диаметра описанной окружности, т. е.
ra + rb + rc = r + 4R
Доказательство:
Выразим все радиусы через стороны, площадь и
полупериметр треугольника:
r=
S
abc
, R=
, ra= S , rb= S , rc= S . Значит,
4s
p
pa
pb
pc
ra + rb + rc – r =
S
S
S
+ S + S - =
pa pb
pc p
p( p  b)( p  c)  p( p  a)( p  c)  p( p  a)( p  b)  ( p  a)( p  b)( p  c)
p( p  a)( p  b)( p  c)
=4R.
5.
Сумма
величин,
обратных
радиусам
вневписанных окружностей, равна величине, обратной
радиусу вписанной окружности:
1
1
1
1


 .
ra
rb
rc
r
Доказательство:
Используем выражения радиусов через стороны и
площадь треугольника:
15
r=
S
abc
, R=
,
4s
p
ra= S , rb= S , rc= S
pa
pb
pc
Значит,
1 1 1
p  a p b p  c 3p  2p
p 1
  



 
ra rb rc
S
S
S
S
S r
6.
Сумма всех попарных произведений радиусов
вневписанных
окружностей
равна
квадрату
2
полупериметра треугольника: rarb+rbrc+rcra=p
Доказательство:
Воспользуемся формулами:
r=
S
,
p
R=
abc
,
4s
ra =
S
,
pa
rb =
S
, rc = S ,
pb
pc
тогда :
ra rb  rb rc  rc ra 
S2
S2
S2



( p  a )( p  b) ( p  b)( p  c) ( p  c)( p  a )
( p  c )  ( p  a )  ( p  b)
3p  2p
 S2

( p  a)( p  b)( p  c)
( p  a)( p  b)( p  c)
p
S2
( p  a)( p  b)( p  c)
Из формулы Герона S= p( p  a)( p  b)( p  c) получим
(p – a)(p – b)(p – c) = S .2
p
2

. S
ra rb  rb rc  rc ra  S
2
p2
 p2
2
S
16
Связь между радиусами вписанной и вневписанной
окружностями,
между
радиусами
вневписанной
окружностью и площадью треугольника, между
радиусами вневписанных окружностей и периметром
треугольника отражена в таблице 2.
Таблица 2.
Соотношения элементов треугольника, вписанной и
вневписанной окружностей
№п
Вид
Информация
/п
треугольника
1.
Произвольный
Центр вневписанной окружности
лежит в точке пересечения
биссектрис внешних углов при
стороне касания и биссектрисы
внутреннего
угла,
противоположного
стороне
касания.
2.
Произвольный
S
; r
r= S
a =
,
pa
; ,
b
pb
rc= S
pc
ra +
rb + rc = r + 4R ;
rarb+rbrc+rcra=p2
1
1
1
1



ra
rb
rc
r
3.
Прямоугольный
r=p (p- полупериметр)
4.
Равносторонний
r=h ( h- высота треугольника)
17
4.Применение свойств вневписанной окружности.
Задача4. Доказать что, если радиус вневписанной
окружности равен полупериметру треугольника, то
треугольник будет прямоугольным. (Рис.12).
1
Дано: 𝑟 = 𝑝. Доказать: треугольник прямоугольный
2
L
O
A
K
C
B
M
Рис.12
Доказательство:
Пусть вневписанная окружность (с центром О)
треугольника АВС касается стороны АВ в точке К, а
продолжений сторон СА и СВ – в точках L и M
соответственно. Обозначим через р полупериметр
треугольника.
18
Тогда
P=АВ+ВС+АС=(АК+КВ)+ВС+АС=(АL+ВM)+ВС+АС=(А
L+АС)+(ВM+ВС)=
=СL+СM.
Итак, СL+СМ=Р и ОL+ОМ= Р  четырёхугольник
ОLСМ – ромб, а т.к. ОL
СL, то это квадрат.
0
Следовательно,<АСВ=90 .
Что
и
требовалось
доказать.
Задача5. Обратная. Доказать, что полупериметр
прямоугольного
треугольника
равен
радиусу
вневписанной окружности.(Рис.13).
Дано: треугольник прямоугольный. Доказать:
𝟏
𝟐
Р=𝒓
Доказательство:
пусть вневписанная окружность (с
центром О) треугольника АВС касается стороны АВ в
точке К, а продолжений сторон СА и СВ – в точках L и M
соответственно. Обозначим через р полупериметр
треугольника. СМОL- квадрат, так как <C=900
по
условию (∆АВС – прямоугольный), <L=<M=900
(OL┴CL).
19
Тогда по свойству вневписанной окружности : CL+CM=Р
L
O
A
K
Рис.13
C
B
M
и OM ┴CM), ОL=ОM-радиус вневписанной окружности.
 ОL +CM=Р,
𝟏
СМ=ОL=r= Р. Что и требовалось
𝟐
доказать.
Задача6. Высота равностороннего треугольника
равна радиусу вневписанной окружности.(Рис.14).
Дано: ▲АВС равносторонний, сторона которого равна
а, высота треугольника h. Радиус вневписанной
окружности обозначим r. Докажем, что h=r.
Решение:
1.Т.к. ▲ АВС равносторонний, то высота АН
а
2
является и медианой. СН=НВ= . Из треугольника АНВ
по
теореме
АВ 2  ВН 2  а 2 
Пифагора
получим:
h=АН=
а
3а
а 3


(1).
4
4
2
2
2
20
a2 3
2. SABC=
4
площадь равностороннего треугольника
со стороной а.
T
t
t
p
A
O
:
H
/
/
w
C
Mw
t w
t .
Рис. 14
p p
: r
/ o
S
3. По свойствам вневписанной
окружности: r =
,
/ b
pa
wl
здесь р- полупериметр треугольника АВС. Получим ra=
we 2
S
a 2 3 3а
a2 3 w
а a 3 а 3

=
:( -а)=
: =m
(2).
2
4
4
2
pa
.2 s 2а
p .
4. Из равенств (1) и (2)  h=r.
r r
o u
Ответ: h=r.
b /
l v
e i
me
s w
. _
21
r b
u y
/ _
v s
B
Задача 7.
Дано: Точка О – центр вписанной окружности
треугольника АВС, а точка О1 – центр окружности,
касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.
Найдите расстояние между точками О и О1, если радиус
описанной окружности треугольника АВС=6, а sin< ВОС
А
O
B
C
L
Рис15
√5
= . (Рис. 15)
3
Решение:
1) Так как О – центр вписанной окружности ∆АВС, то
АО, ВО, СО –биссектрисы углов этого треугольника.
Прежде чем приступить к решению задачи, докажем
следующее
вспомогательное
утверждение
1
<ВОС=900+ <А.
2
В самом деле, <ВОС= <ВОL+<СОL, см. рис.7
1
1
<ВОL=<ВАО+<АВО= <А+ <В( как внешний угол
2
2
1
1
∆АВО при вершине О), <СОL=<САО+<АСО= <А+ <С
2
2
(как внешний угол ∆АСО при вершине О)
22
Отсюда
получаем:
1
1
1
1
1
1
<ВОС=( <А+ <В)+( <А+ <В)= (<А+<В+<С)+ <А=9
1
2
2
2
2
2
2
0 + <А, что и требовалось доказать.
0
2
По
условию,
1
1
√5
,
3
2
sin<BOC=
√5
1
следовательно
sin(900+ <А)=cos( <А)= → sin( <А)= .
2
2
3
2
3
2) (Рис.16)Так как точка О1 равноудалена от лучей АВ и
АС, то она лежит на биссектрисе угла ВАС, а поскольку
О1 равноудалена от стороны ВС и продолжения стороны
АВ за точку В, то О1 лежит на биссектрисе внешнего угла
∆АВС при вершине В. Опишем вокруг треугольника АВС
окружность, и пусть К – точка пересечения биссектрисы
угла ВАС с этой окружностью, см. рис. 16
А
O
B
C
L
М
К
Рис.16
О
1
Покажем,
что
<ОВО1=900:
1
<СВО1= <СВМ,
1
1
1
2
2
2
2
<ОВО1=<СВО+<СВО1= <АВС+ <СВМ= ∙180 =900.
0
23
Следовательно,
ОО1
является
гипотенузой
прямоугольного треугольника ОВО1.
Заметим, что
поскольку <СВК=<KАС (как вписанные углы,
опирающиеся
на
одну
дугу),
то
1
1
<ОВК=<СВК+<СВО= <А+ <В.
А
поскольку
1
2
1
2
<ВОК= <А+ <В
(см.
пункт
1
решения),
то
2
2
<ОВК=<ВОК, и, значит, ∆ВОК равнобедренный, ВК=ОК.
Из равенства <ОВК=<ВОК следует, что <О1ВК=<ВО1К
(<О1ВК=900-<ОВК, <ВО1К=900-<ВОК). Поэтому ∆ВО1К
также равнобедренный, ВК=О1К.
3)Из равенств ВК=ОК и ВК=О1К получаем, что ОО1=
2ВК. Длину отрезка ВК найдём из треугольника АВК по
теореме
синусов:
ВК=2R∙sin<ВAК.
Так
как
1
2
sin<ВAК=sin( <А)= (см. пункт 1 решения), а R=6 (по
2
3
2
условию), то ВК= 2∙6∙ =8, ОО1=2ВК=16.
3
Ответ:16
24
Задача 8.
Точка О – центр вписанной окружности треугольника
АВС, а точка О1 – центр окружности, касающейся
стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Найдите
1
длину ВС, если ОО1=12, а sin< ВО1С = .
3
Решение:
1.Так как О – центр вписанной окружности ∆АВС, то АО,
А
O
B
C
L
Рис.17
ВО, СО биссектрисы углов этого треугольника. Прежде
чем приступить к решению задачи, докажем следующее
1
вспомогательное утверждение <ВОС=900+ <А.
2
В самом деле, <ВОС= <ВОL+<СОL ( рис17).
1
1
<ВОL=<ВАО+<АВО= <А+ <В( как внешний угол ∆АВО
2
2
1
1
при вершине О), <СОL=<САО+<АСО= <А+ <С (как
2
2
внешний угол ∆АСО при вершине О)
Отсюда
получаем:
1
1
1
1
1
1
<ВОС=( <А+ <В)+( <А+ <В)= (<А+<В+<С)+ <А=9
1
2
2
2
2
2
2
0 + <А, что и требовалось доказать.
0
2
25
2). (Рис 18).Так как точка О1 равноудалена от лучей АВ
и АС, то она лежит на биссектрисе угла ВАС, а поскольку
О1 равноудалена от стороны ВС и продолжения стороны
АВ за точку В, то О1 лежит на биссектрисе внешнего угла
∆АВС при вершине В. Опишем вокруг треугольника АВС
окружность, и пусть К – точка пересечения биссектрисы
угла ВАС с этой окружностью, см. рис.9
1
Покажем,
что
<ОВО1=900
:
<СВО1= <СВМ,
1
1
1
2
<ОВО1=<СВО+<СВО1= <АВС+ <СВМ= ∙180 =900.
2
2
2
Следовательно,
ОО1
является
гипотенузой
прямоугольного треугольника ОВО1.
Заметим, что
поскольку <СВК=<KАС (как вписанные углы,
опирающиеся
на
одну
дугу),
то
1
1
<ОВК=<СВК+<СВО= <А+ <В.
А
поскольку
1
1
2
0
2
<ВОК= <А+ <В
(см.
пункт
1
решения),
то
2
2
<ОВК=<ВОК, и, значит, ∆ВОК равнобедренный, ВК=ОК.
Из равенства <ОВК=<ВОК следует, что <О1ВК=<ВО1К
(<О1ВК=900-<ОВК, <ВО1К=900-<ВОК). Поэтому ∆ВО1К
также равнобедренный, ВК=О1К и <ВО1К=<КВО1.
2)Из равенств ВК=ОК и ВК=О1К и ОО1=12 получаем,
что ВК=6, а также т.к.
<ВО1К= <КО1С
и
<ВО1К=<КВО1, а <ВКL=<ВО1К+<КВО1(как внешний
А
угол ∆ КВО1 при вершине К).
O
B
L
М
К
О
C
Рис.126
8
Следовательно
прямоугольный.
1
Рассмотрим
sin<ВКL= .
В𝐿
𝐵𝐾
1
= ,
3
3
В𝐿
6
1
= ,
3
3∙ВL=6,
𝐵𝐾
∆ВКL
–
ВL=2.
1
ВК=2R∙sin<ВAК. Так как sin<ВAК= , sin<ВAК= ,
2𝑅
2
<ВAК=300 , <ВAС=600 , ∆АВС- равносторонний, АLбиссектриса, медиана. ВС=2∙ВL=2∙2=4.
Ответ: 4.
27
Литература
1.Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. – М.: Наука,
1996. – 648 с
2.Научно-практический
журнал
Математика
для
школьников №1 2011г.
3.http://www.problems.ru/view_by_subject_new.
4.Энциклопедия.Математика.-М:Мир
Аванта+,2007,с.281.
энциклопедий
5.Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного
математика. - М.: «Педагогика», 1989.
6.Гохидзе М. Г. Вневписанная окружность. Математика в
школе №3, 1989.
7.
Д.А. Мальцев, А.А. Мальцев, Л.И. Мальцева.
Математика. Всё для ЕГЭ 2011.─М.НИИшкольных
технологий,2011.
8. Демонстрационный вариант ГИА,2013г.
9. Пробный экзамен ЕГЭ от 18.12.2012г.
28