2.4 Уравнения гравитационного поля

ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе излагается теория космического полета с
двигателем особого типа - солнечным парусом, создающим малую, но
непрерывно действующую тягу благодаря давлению на него солнечного света.
Солнечный парус представляет собой зеркало размещенное в космосе.
Фотоны, испущенные солнцем, ударяясь об зеркало, отскакивает, словно
теннисные мячики, передавая свой импульс. Зеркало в свою очередь передает
это силовое воздействие космическому аппарату. А также рассматриваются
полеты с солнечным парусом как в околоземном пространстве, так и в направлении планет Солнечной системы, например к Марсу, а также - ближе к
Солнцу - к Венере и Меркурию.
Принцип движения в космосе под солнечным парусом проста космический корабль разворачивает большое полотно (сотни квадратных
метров или даже несколько километров (речь-то идет о космосе, вот и
масштабы соответствующие) - парус - отражающий, либо поглощающий
фотоны света. Использовать этот эффект для космических перелетов была
выдвинута Фридрихом Артуровичем Цандером. На орбите Земли парус
массой 0,8 г/м2 испытывает воздействие солнечного света порядка одного
грамма. Давление обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца.
Даже при большей массе, парус еще возможно использовать. Проблемы могут
возникнуть только при его развертывании - придется использовать
дополнительные механические устройства .Главным неудобством солнечного
паруса является то, что он может двигать корабль лишь в сторону от Солнца,
а не к нему. Иногда высказывается мнение, что полет в направлении Солнца
возможен, если идти галсами (здесь очевидна аналогия с зигзагообразным
движением морского парусника против ветра). Изменяя угол наклона
солнечного паруса относительно падающего на него света, можно легко
управлять космическим кораблем, сколь угодно часто меняя его траекторию
(удовольствие, недоступное для ракетных двигателей).Основное и самое
главное достоинство “парусного” способа перемещения в космическом
пространстве - полное отсутствие топливных затрат. Когда речь заходит о
межпланетных путешествиях, преимущества такого движителя очевидны.
Реактивные двигатели не способны обеспечить кораблю постоянное
ускорение из-за ограниченности их объема. По самым скромным расчетам,
для путешествия на Марс понадобится 900 тонн топлива - и это при том, что
масса полезной нагрузки будет примерно в 10 раз меньше. Про ракеты еще
говорят - “топливо везет само себя”.На первый взгляд, космический парус
очень медлителен. Да, действительно, начальные этапы его разгона будут
напоминать гонки черепах. Однако не следует забывать, что ускорение
действует постоянно (для паруса массой 0,8 г/м2 начальное ускорение будет
равно 1,2 мм/с2). В условиях безвоздушного пространства это позволит
достичь огромных скоростей за весьма короткие сроки. Теоретически, корабль
с космическим парусом способен достичь скорости в 100000 км/с и даже
выше. Если в 2010 году запустить в космос такой зонд, то (в идеальных
условиях) в 2018 он догонит “Вояджер-1”, которому для этого путешествия
потребовался 41 год. В настоящее время “Вояджер-1” (запущенный в 1997)
находится от нас на расстоянии в 12 световых часов и является самым
удаленным от Земли космическим кораблем.
1 Гравитационное поле Земли
Гравитационное поле Земли - силовое поле, условленное притяжением
масс Земли и центробежной силой, которая возникает вследствие суточного
вращения Земли; незначительно зависит также от притяжения Луны и Солнца
и других небесных тел и масс земной атмосферы. Гравитационное поле Земли
характеризуется силой тяжести, потенциалом силы тяжести и различными его
производными. Потенциал имеет размерностьм2∙с-2, за единицу измерения
первых производных потенциала (в т.ч. силы тяжести) в гравиметрии принят
миллигал (мГал), равный 10-5 м∙с-2, а для вторых производных - этвеш (Э, Е),
равный 10-9∙с-2.
Значения основных характеристик гравитационного поля Земли:
потенциал силы тяжести на уровне моря 62636830 м2∙ с-2; средняя сила
тяжести на Земле 979,8 Гал; уменьшение средней силы тяжести от полюса к
экватору 5200 мГал (в т.ч. за счёт суточного вращения Земли 3400 мГал);
максимальная аномалия силы тяжести на Земле 660 мГал; нормальный
вертикальный градиент силы тяжести 0,3086 мГал/м; максимальное
уклонение отвеса на Земле 120"; диапазон периодических лунно-солнечных
вариаций силы тяжести 0,4 мГал; возможная величина векового изменения
силы тяжести <0,01 мГал/год.
Часть потенциала силы тяжести, обусловленная только притяжением
Земли, называют геопотенциалом. Для решения многих глобальных задач
(изучение фигуры Земли, расчёт траекторий ИСЗ и др.) геопотенциал
представляется в виде разложения по сферическим функциям. Вторые
производные потенциала силы тяжести измеряются гравитационными
градиентометрами и вариометрами. Существует несколько разложений
геопотенциала, различающихся исходными наблюдательными данными и
степенями разложений.
Обычно гравитационное поле Земли представляют состоящим из 2
частей: нормальной и аномальной. Основная - нормальная часть поля
соответствует схематизированной модели Земли в виде эллипсоида вращения
(нормальная Земля). Она согласуется с реальной Землёй (совпадают центры
масс, величины масс, угловые скорости и оси суточного вращения).
Поверхность нормальной Земли считают уровненной, т.е. потенциал силы
тяжести во всех её точках имеет одинаковое значение (см. геоид); сила
тяжести направлена к ней по нормали и изменяется по простому закону. В
гравиметрии широко используется международная формула нормальной силы
тяжести:
𝑔(𝑝) = 978049(1 + 0,0052884 sin2 p − 0,0000059 sin2 2p), мГал. (1)
В CCCP и других социалистических странах в основном применяется
формула Ф. Р. Гельмерта:
𝑔(𝑝) = 978030(1 + 0,005302 sin2 p − 0,000007 sin2 2p), мГал.
(2)
Из правых частей формул (1) и (2) вычитают 14 мГал для учёта ошибки
в абсолютной силе тяжести, которая была установлена в результате
многократных измерений абсолютной силы тяжести в разных местах.
Выведены другие аналогичные формулы, в которых учитываются изменения
нормальной силы тяжести вследствие трёхсносности Земли, асимметричности
её северного и южного полушарий и пр. Разность измеренной силы тяжести и
нормальной называют аномалией силы тяжести (см. геофизическая аномалия).
Аномальная часть гравитационного поля Земли по величине меньше, чем
нормальная, и изменяется сложным образом. Поскольку положения Луны и
Солнца относительно Земли изменяются, то происходит периодическая
вариация гравитационного поля Земли. Это вызывает приливные деформации
Земли, в т.ч. морские приливы. Существуют также неприливные изменения
гравитационного поля Земли во времени, которые возникают из-за
перераспределения масс в земных недрах, тектонических движений,
землетрясений, извержения вулканов, перемещения водных и атмосферных
масс, изменения угловой скорости и мгновенной оси суточного вращения
Земли. Многие величины неприливных изменений гравитационного поля
Земли не наблюдаются и оценены только теоретически.
На основании гравитационного поля Земли определяется геоид,
характеризующий гравиметрическую фигуру Земли, относительно которой
задаются высоты физической поверхности Земли. Гравитационное поле Земли
в совокупности с другими геофизическими данными используется для
изучения модели радиального распределения плотности Земли. По нему
делаются выводы о гидростатическом равновесном состоянии Земли и о
связанных с этим напряжениях в её недрах. По наблюдениям приливных
вариаций силы тяжести изучают упругие свойства Земли.
Гравитационное поле Земли используется при расчёте орбит
искусственных спутников Земли и траекторий движения ракет. По аномалиям
гравитационного поля Земли изучают распределение плотностных
неоднородностей в земной коре и верхней мантии, проводят тектоническое
районирование, поиски месторождений полезных ископаемых.
Гравитационное поле Земли используется для вывода ряда
фундаментальных постоянных геодезии, астрономии и геофизики.
2Гравитационный потенциал
2.1Движение в гравитационном поле
Исследование задачи динамики в общем случае, когда тяготеющие
массы нельзя считать материальными точками, можно разделить на два этапа:
вначале рассчитать гравитационное поле, создаваемое этими массами, а затем
определить его действие на массивные тела в изучаемой системе. Для
упрощения расчёта поля следует воспользоваться тем фактом, что
гравитационное
поле потенциально.Функция гравитационного
потенциала для материальной точки с массой 𝑀определяется формулой:
𝜑(𝑟) = −𝐺
𝑀
(4)
𝑟
Отметим, что сферически симметричное тело создаёт за своими
пределами такое же поле, как материальная точка той же массы,
расположенная в центре тела. В общем случае, когда плотность вещества ρ
распределена произвольно, φ определяется как решение уравнения Пуассона:
∆𝜑 = −4𝜋𝐺𝜌
(5)
Решение этого уравнения записывается в виде:
𝜑 = −𝐺 ∫
𝜌(𝑟)𝑑𝑉
𝑟
+ 𝐶,
(6)
где r - расстояние между элементом объёма dV и точкой, в которой
определяется потенциал φ;
С - произвольная постоянная.
Пусть источником поля является тело массы M. Если распределение
массы в этом теле симметрично, то хорошее приближение для потенциала
даёт формула:
𝑀
𝐴+𝐵+𝐶−3𝐼
𝑟
2𝑟 3
𝜑(𝑟) = −𝐺( +
),
(7)
гдеr - расстояние до центра масс тела;
A,B,C - главные моменты инерции тела;
I - момент инерции относительно r.
Формула (6) несколько упрощается для астрономических объектов,
представляющих собой сплюснутые сфероиды вращения с концентрически
однородным распределением масс. У таких тел:
A=B и 𝐼 = 𝐴 + (𝐶 − 𝐴)𝑠𝑖𝑛2 𝛼,
(8)
где 𝛼- угол между r и плоскостью главных осей A и B. В итоге получаем:
𝑀
𝐶−𝐴
𝑟
2𝑟 3
𝜑(𝑟) = −𝐺( +
(1 − 3𝑠𝑖𝑛2 𝛼)).
(9)
Если потенциал поля определён, то сила притяжения, действующая в
гравитационном поле на материальную точку с массой m, находится по
формуле:
𝐹(𝑟) = −𝑚∇𝜑(𝑟).
(10)
Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом
много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера.
В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся
по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту
картину, можно учесть с помощью теории возмущений.
Если исследуемое тело нельзя рассматривать как материальную точку,
то его движение в гравитационном поле включает также вращение вокруг оси,
проходящей через центр масс:
𝑑𝐻
𝑑𝑡
= 𝐾,
(11)
где Н - угловой момент относительно центра масс;
К - равнодействующая моментов действующих сил относительно
центра масс.
Более общий случай, когда масса исследуемого тела сравнима с массой
источника поля, известен как задача двух тел, и её формулировка сводится к
системе двух независимых движений. Исследование движения более чем двух
тел («задача трёх тел») разрешимо только в нескольких специальных случаях.
2.2Гравитационное взаимодействие и гравитационное поле
Во ІІ в.н.э. древнегреческим ученым Клавдием Птолемеем была
разработана геоцентрическая система мира, согласно которой все
наблюдаемые перемещения небесных светил объяснялись их движением
вокруг неподвижной Земли. «Что я смертен, я знаю, и что дни мои сочтены,
но когда я в мыслях неустанно и жадно выслеживаю орбиты созвездий,- писал
Птолемей,- тогда я больше не касаюсь ногами Земли: за столом Зевса
наслаждаюсь я пищей богов». В XVI в. польский астроном Николай
Коперник «изгнал» Землю из центра мироздания, «поместил» на ее место
Солнце, а все планеты «заставил» обращаться вокруг него. Геоцентрическая
система мира была заменена гелиоцентрической. Система мира,
предложенная Коперником, была прекрасна. «В середине всех этих орбит, писал восхищенный Коперник,- находится Солнце; ибо может ли прекрасный
этот светоч быть помещен в столь великолепной храмине в другом, лучшем
месте, откуда он мог бы все освещать собой?»
Что же удерживает планеты, в частности Землю, в их движении вокруг
Солнца?
Если придерживаться воззрений Аристотеля и связывать силу со
скоростью, а не с ускорением, то причину этого приходится искать именно в
направлении скорости. Однако смотреть в направлении скорости Земли
бесполезно. Ничего, кроме какой-нибудь одинокой незначительной звезды,
там не увидишь.
Ньютон связал силу с ускорением. Если же посмотреть в
сторону ускорения Земли, то там окажется само Солнце. И именно Солнце
поэтому естественно считать причиной обращения вокруг него Земли и
планет.
Но не только планеты притягиваются к Солнцу. Солнце также
притягивается планетами. Да и сами планеты взаимодействуют между собой.
Одним из первых, кто это понял, был английский ученый Роберт Гук. Так, в
1674 г. он писал: «Все небесные тела имеют притяжение, или силу тяготения
к своему центру, вследствие чего они не только притягивают собственные
части и препятствуют им разлетаться, как наблюдаем на Земле, но
притягивают также все другие небесные тела, находящиеся в сфере их
действия. Поэтому не только Солнце и Луна имеют влияние на движение
Земли, но и Меркурий, и Венера, и Марс, и Юпитер, и Сатурн также своим
притяжением имеют значительное влияние на ее движение. Подобным
образом и Земля соответственным притяжением влияет на движение каждого
из этих тел».
Окончательное завершение эти идеи получили в работах Ньютона. В
своих знаменитых «Математических началах», в которых были
сформулированы три его закона, вопрос о тяготении Ньютон излагает
последовательно и доказательно. Все тела Вселенной, как небесные, так и
находящиеся на Земле, утверждает Ньютон, подвержены взаимному
тяготению, причем силы, с которыми притягиваются все эти тела, имеют
одинаковую природу и подчиняются одному и тому же закону.
Итак, все тела Вселенной, как небесные, так и находящиеся на Земле,
подвержены взаимному притяжению. Если же мы и не наблюдаем его между
обычными предметами, окружающими нас в повседневной жизни (например,
между книгами, тетрадями, мебелью и т.д.), то лишь потому, что оно в этих
случаях слишком слабое.
Взаимодействие, свойственное всем телам Вселенной и проявляющееся
в их взаимном притяжении друг к другу, называют гравитационным, а само
явление всемирного тяготения - гравитацией (от лат. gravitas - тяжесть).
Гравитационное взаимодействие осуществляется посредством особого
вида материи, называемого гравитационным полем. Такое поле существует
вокруг любого тела, будь то планета, камень, человек или лист бумаги. При
этом тело, создающее гравитационное поле, действует им на любое другое
тело так, что у того появляется ускорение, всегда направленное к источнику
поля. Появление такого ускорения и означает, что между телами возникает
притяжение.
Гравитационное поле не следует путать с электромагнитными полями,
которые существуют вокруг наэлектризованных тел, проводников с током и
магнитов.
Интересной особенностью гравитационного поля, которой не обладают
электромагнитные поля, является его всепроникающая способность. Если от
электрических и магнитных полей можно защититься с помощью
специальных металлических экранов, то от гравитационного поля защититься
ничем нельзя: оно проникает сквозь любые материалы.
Для обнаружения гравитационного экранирования проводились
специальные эксперименты, но они дали отрицательный результат: если
между двумя телами поместить в виде экрана третье тело, то притяжение
между двумя первыми телами нисколько не ослабляется. Во всяком случае,
если экранирование гравитации и существует, то оно настолько слабое, что
лежит за пределами той точности, которая достигнута в современных
экспериментах. Поэтому с большой уверенностью можно сказать, что
никакого «кейворита», который, по словам одного из героев романа Г. Уэллса
«Первые люди на Луне», «не подчиняется силе тяготения и преграждает
взаимное притяжение между телами», в природе не существует.
Взаимодействие тел с гравитационным полем характеризуют особой
физической величиной, называемой гравитационным зарядом. Поскольку
всемирному тяготению подвержены все тела Вселенной, то, значит, и все они
обладают тем или иным гравитационным зарядом. При этом, чем больше
гравитационный заряд тела, тем сильнее на него действует гравитационное
поле окружающих тел и тем более сильное поле создает вокруг себя само это
тело.
2.3Гравитационное взаимодействие
Важнейшим свойством гравитации является то, что вызываемое ею
ускорение малых пробных тел почти не зависит от массы этих тел. Это связано
с тем, что гравитация как сила в природе прямо пропорциональна массе
взаимодействующих тел. При размерах тел, достигающих размеров планет и
звёзд, гравитационная сила становится определяющей и формирует
шарообразную форму этих объектов. При дальнейшем увеличении размеров
до уровня скоплений галактик и сверхскоплений проявляется эффект
ограниченной скорости гравитационного взаимодействия. Это приводит к
тому, что сверхскопления имеют уже не округлую форму, а напоминают
вытянутые сигарообразные волокна, примыкающие к узлам с самыми
массивными скоплениями галактик. Гравитационное взаимодействие — одно
из четырёх фундаментальных взаимодействий в нашем мире. В
рамках классической
механики,
гравитационное
взаимодействие
описывается законом всемирного тяготения Ньютона, согласно которому
сила гравитационного притяжения между двумя телами массы 𝑚1 и 𝑚2 ,
разделённых расстоянием R есть
𝐹=𝐺
𝑚 1 𝑚2
𝑅2
,
(2.3.1)
Здесь G - гравитационная
постоянная,
равная 6,673(10)*1011 3
м /(кг*с2). Знак минус означает, что сила, действующая на пробное тело,
всегда направлена по радиус-вектору от пробного тела к источнику
гравитационного поля, т. е. гравитационное взаимодействие приводит всегда
к притяжению тел.
Поле тяжести потенциально. Это значит, что можно ввести
потенциальную энергию гравитационного притяжения пары тел, и эта энергия
не изменится после перемещения тел по замкнутому контуру.
Потенциальность поля тяжести влечёт за собой закон сохранения суммы
кинетической и потенциальной энергии, что при изучении движения тел в
поле тяжести часто существенно упрощает решение.
В рамках ньютоновской механики гравитационное взаимодействие
является дальнодействующим. Это означает, что как бы массивное тело ни
двигалось, в любой точке пространства гравитационный потенциал и сила
зависят только от положения тела в данный момент времени. Однако учёт
лоренц-инвариантности
гравитационной
силы
и
запаздывания
распространения гравитационного воздействия с помощью решения для
потенциалов Льенара и Вихерта приводит к тому, что в движущихся с
постоянной
скоростью системах
отсчёта возникает
дополнительная
компонента силы за счёт гравитационного поля кручения. Ситуация
полностью эквивалентна ситуации с электрической силой, когда при
движении наблюдателя он обнаруживает ещё магнитное поле и магнитную
силу, пропорциональную скорости своего движения. Это делает необходимым
учёт ограниченности скорости распространения гравитации, приводящей к
свойству близкодействия и запаздывания гравитационного взаимодействия. В
конце 19 и в начале 20 века усилиями ряда физиков - О. Хевисайда, А.
Пуанкаре, Г. Минковского, А. Зоммерфельда, Х. Лоренца и др. - были
заложены
основы лоренц-инвариантной
теории
гравитации (ЛИТГ),
описывающей гравитацию в инерциальных системах отсчёта при
релятивистских скоростях.
В результате закон всеобщего тяготения Исаака Ньютона (1687) был
включён в лоренц-инвариантную теорию гравитации, которая достаточно
хорошо предсказывала общее поведение гравитации. В 1915 году Альбертом
Эйнштейном была
создана общая
теория
относительности (ОТО),
описывающая явления в гравитационном поле в терминах геометрии
пространства-времени и с учётом влияния гравитации на результаты
пространственно-временных измерений.
2.4 Уравнения гравитационного поля
Уравнение гравитационного поля в ньютоновской механике хорошо
известно. Гравитационная сила, действующая со стороны точечной
массы M на пробную частицу массы m, расположенную на расстоянии R от
этого тела, представляется как:
𝐺𝑚𝑀
𝐹⃗ = − 3 𝑅⃗⃗
𝑅
(2.4.1)
Гравитационную силу от произвольного распределения масс можно
получить взяв интеграл по плотности. Однако, чаще в теоретической физике
вводят понятие гравитационного потенциала 𝜑, с помощью которого уже
вычисляют гравитационную силу действующую на пробную частицу:
𝜕
𝐹 𝑖 = −𝑚𝑔𝑟𝑎𝑣 𝑖 .
𝜕𝑥
(2.4.2)
Гравитационный потенциал создается распределением масс и уравнение
для потенциала имеет вид уравнения типа скалярного поля. В отличие от
современных уравнений скалярного поля, уравнения ньютоновского
гравитационного поля не являются релятивистским инвариантными,
поскольку гравитационная теория Ньютона существенно нерелятивистская
теория. Поэтому уравнения поля есть уравнение типа Пуассона:
∆𝜑 = 4𝜋𝐺𝜌
(2.4.3)
Естественно, что ньютоновские уравнения гравитационного поля не
могли быть согласованы с принципами релятивистской физики.
Потребовалось создание новой теории гравитации - общей теории
относительности.
3 Открытие светового давления
Догадки о возможности существования светового давления закрадывались
в головы ученых уже несколько столетий назад, а дискуссия по