Вступительное задание. 7 класс.

Детская летняя математическая школа «Дилемма»
2012 год. 7 класс
Вступительное задание. 7 класс.
Уважаемые семиклассники!
В этом году, чтобы попасть к нам в школу, вы должны решить несколько задач. У вас
будет две возможности написать вступительную работу: в марте и в мае. Задания делаются
самостоятельно, без помощи других людей.
Здесь представлены задания первой волны. Решения можно отправлять почтой по
адресу 420126, г. Казань, а/я 303 или в электронном виде (отсканированными или
сфотографированными в хорошем качестве) на olymp@kazan-math.info до 25 апреля.
Перед решениями необходимо указать свои ФИО, адрес (город, улица, дом, квартира),
школа, класс, телефон для связи, e-mail (если имеется).
Не огорчайтесь, если вы не сможете решить все задачи. Однако, в решенных задачах
необходимо привести не только ответы, но и подробные объяснения. Даже правильный
ответ без объяснения, как он был получен, оценивается намного ниже!
Желаем удачи!
1. Замените звездочки различными цифрами так, чтобы получилось верное равенство:
* * + * * * = * * * *.
Достаточно привести один пример.
2. Балда договорился с попом отработать на него ровно год и расплатиться щелчками по
лбу. Он предложил, чтобы за каждый отработанный день добавлялся один щелчок, а за
каждый прогул вычиталось 10 щелчков. Поп же настаивал на более хитром (по его
мнению) варианте: за отработанный день начисляется 12 щелчков, а за прогул
вычитается аж 121 щелчок. По окончании срока выяснилось, что в обоих случаях поп
должен получить от Балды одно и то же число щелчков. Какое же?
3. Можно ли, взяв квадрат клетчатой бумаги размерами 5 × 5 клеток, вырезать из него одну
клетку так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на пластинки 1 × 3 клетки?
Если да, приведите пример. Если нет — объясните, почему.
4. В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше Васи
(самого младшего ребенка), причем возраст каждого ребенка — простое число. Сколько
может быть лет Васе?
5. Одно натуральное число поделили с остатком на другое. Делимое оканчивается на 7, а
остаток — на 6. На какие цифры оканчиваются делитель и частное (перечислите все
возможности).
6. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7
ног, всегда лгут, а те, у кого 6 или 8 ног — всегда говорят правду. Встретились четыре
осьминога. Синий сказал: «Вместе у нас 28 ног», зеленый: «Вместе у нас 27 ног»,
желтый: «Вместе у нас 26 ног», красный: «Вместе у нас 25 ног». У кого из них сколько
ног?
7. Девять теннисистов провели турнир, сыграв по разу каждый с каждым. В итоге
оказалось, что три теннисиста, разделившие первое-третье места, набрали поровну очков,
три теннисиста, разделившие три последних места, также набрали поровну очков, а
теннисисты, занявшие четвертое, пятое и шестое места, набрали разное число очков,
причем отстали от трех лидеров, но обогнали трех аутсайдеров. Сколько очков набрал
теннисист, занявший пятое место?
8. В клетчатом квадрате 4×4 все 8 клеток левой половины покрашены в чёрный цвет, а
остальные 8 — в белый. За одну операцию разрешается перекрасить в противоположный
цвет все клетки внутри любого прямоугольника. Как за три операции из первоначальной
раскраски получить шахматную? Достаточно привести одно решение.
Детская летняя математическая школа «Дилемма»
2012 год. 7 класс
9. На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD произвольным образом взяты
соответственно точки K, L, M, N. Докажите, что KL + LM + MN + NK ≥ 2∙AC.
10. Имеется набор гирь со следующими свойствами:
1) В нем есть 5 гирь, попарно различных по весу;
2) Для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса.
Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе? Приведите пример такого
набора.