Федеральное агентство по сельскому хозяйству РФ ФГОУ ВПО “Орловский государственный аграрный университет” Кафедра математики Лабораторная работа «Приближённые вычисления с помощью рядов» Методические указания и набор заданий для выполнения типового расчета, лабораторной работы и самостоятельной работы предназначены для студентов дневного отделения инженерных специальностей. Составитель: старший преподаватель Волынкина Т.И. 2 Содержание: 1. Цель…………………………………. 4стр. 2. Краткие теоретические сведения…. 5стр. 3. Примеры вычислений……………… 9стр. 4. Набор заданий…………… ……….. 13стр. 5. Литература…………………………. 17стр. 3 Цель: Отработка навыков приближенных вычислений различных функций при заданных значениях аргумента, приближенных вычислений определенных интегралов и интегрировании дифференциальных уравнений с использованием известных разложений функций в степенные ряды. Порядок выполнения работы: из набора заданий каждый студент выбирает задания своего варианта и проводит приближенные вычисления с точностью до 0,0001 путем разложения в ряд соответствующих функций. 4 Краткие теоретические сведения. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов. В инженерной практике, а также при выполнении различных расчетно-графических и курсовых работ, часто приходится вычислять значения тригонометрических, показательных, иррациональных и других функций. Приближенно такие вычисления можно производить, представив заданную функцию в виде степенного ряда: f ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) 2 ... an ( x x0 ) n ... (1) или f ( x) a0 a1 x a2 x 2 ... an x n ... (2) Коэффициенты a0 , a1, a2 ,..., an ,... находятся вычислением значений функции f (x) и ее производных при x x0 .Подставляя их в (1) и (2) получим: f ( x0 ) x x0 f ( x0 ) x x0 2 ... 1! 2! (3) n f ( x0 ) n x x0 ... n! f ( x) f ( x0 ) или f (0) f (0) 2 f n (0) n f ( x) f (0) x x ... x ... 1! 2! n! (4) Ряд (3) называется рядом Тейлора, а ряд (4) - рядом Маклорена. Очевидно, что найти коэффициенты рядов (3) или (4) можно, если f (x) - дифференцируемая бесконечное число раз функция, и если все ее производные существуют при x x0 или, соответственно, при x 0 . 5 Легко получить разложение в ряд Маклорена следующих функций: x3 x5 x 7 x 2 n 1 n (5) ... 1 ... 2n 1! 3! 5! 7! 2n x 2 x 4 x6 n x (6) cos x 1 ... 1 ... 2n! 2! 4! 6! x x 2 x3 xn (7) e x 1 ... ... 1! 2! 3! n! 1 x m 1 m x mm 1 x 2 1! 2! (8) mm 1m 2 3 mm 1...m n 1 n x ... x ... 3! n! 1 1 x x 2 x 3 ... x n ... (9) 1 x n 1 x 2 x3 x 4 n x ln 1 x x ... 1 ... (10) 2 3 4 n 1 2 n 1 x3 x5 x 7 n x arctgx x ... 1 ... (11) 3 5 7 2n 1 1 x3 1 3 x5 1 3 5 x7 arcsin x x ... 2 3 24 5 246 7 (12) 1 3 5...2n 1 x 2 n 1 ... 2 4 6...2n 2n 1 sin x x Радиусы сходимости (соответственно сходимости) определяются по формуле: R nlim области an , an 1 где an и an 1 - коэффициенты n-ого и (n+1)-го членов ряда. 6 Ряды, соответствующие функциям (5) - (7), имеют область сходимости: -∞< х < +∞, а ряды, соответствующие функциям (8) - (12), имеют область сходимости: -1 <х < 1 . Используя формулы (5) - (12) можно приближенно вычислять значения функций f (x) при любых значениях x из области сходимости. Для этого достаточно вычислить сумму первых n членов ряда. Так, 2 4 2n 0,25 0,25 n 0,25 cos 0,25 1 ... 1 2n! 2! 4! Результат получится тем точнее, чем больше слагаемых будет использовано. Ошибка вычислений будет равна сумме остатка ряда, начинающегося с (n+l) члена. Если полученный ряд знакочередующийся, то, на основании теоремы Лейбница, для обеспечения погрешности, можно не учитывать слагаемое, значение которого меньше, чем . Для рядов с положительными членами погрешность оценивается с учетом скорости сходимости ряда. Иногда (в том числе и в наших заданиях) для вычисления с точностью следует остановить подсчет на том слагаемом, которое окажется меньше . Вычисление определенных интегралов с помощью рядов. Существуют определенные интегралы, которые как функции верхнего предела не выражаются в конечном виде через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно. Такие интегралы иногда бывает удобно вычислять с помощью рядов. 7 Пусть требуется вычислить b f x dx с точностью до a 0 . Если подынтегральную функцию можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости (-R;R) включит в себя отрезок a; b , то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функции. f (x ) Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то прибегают к приближенным методам интегрирования уравнения. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равняться искомому частному решению. Пусть, например, требуется решить уравнение (13), y f x; y; y , удовлетворяющее начальным условиям y x x y0 , y x x y0 . (14). 0 0 Решение y y (x) уравнения (13) ищем в виде ряда Тейлора (3), при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (14). Подставив в уравнение (13) значения x x0 , y y0 , y y0 , находим третий коэффициент: 8 yx0 f x0 ; y0 ; y0 . Значения yx0 , y IV x0 ,... находим путем последовательного дифференцирования уравнения (13) по x и вычисления производных при x x0 . Найденные значения производных подставляем в равенство (3). Ряд (3) представляет искомое частное решение уравнения (13) для тех значений x, при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения(13). Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения (13), если y0 и y0 рассматривать как произвольные постоянные. Рассмотренный способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка. Примеры вычислений: Вариант 30. №1. Вычислить 1 2 1 cos x dx с точностью до 0,0001. x2 0 Решение: Заменив в подынтегральном выражении cos x его разложением в степенной ряд cos x 1 2n x 2 x 4 x6 n x ... 1 ... , 2n! 2! 4! 6! получим 9 1 2 1 2 1 cos x dx 2 x 0 0 11 1 x 2 x 4 x6 ... 2 1 x2 x4 2! 4! 6! dx ... 2 0 2! 4! 6! dx x 1 1 2 x3 x5 1 1 1 x ... ... 3 5 4!3 6!5 2! 0 2!2 4!3 2 6!5 2 0,25 0,0017 0,00000868 ... 0,25 0,0017 0,2483 Полученный ряд знакочередующийся и третий член ряда (подчеркнутый) меньше 0,0001, то его можно не учитывать. №2. Вычислить e0,3 . Решение: Записываем разложение в ряд функции e x : ex 1 x x 2 x3 xn ... ... 1! 2! 3! n! Вычисляем последовательно каждое слагаемое при х=-0,3 до тех пор, пока не получим значение меньшее 0,0001. Это и последующие слагаемые можно не учитывать. e-0.3 =1-0,3+0,045-0,0045+0,0003375 - 0,00002 +... Т.к. полученный ряд знакочередующийся и шестой член ряда (подчеркнутый) равен 0,00002, т.е. меньше чем =0,0001, то его уже можно не учитывать. Сумма оставшихся членов ряда равна 0,740838. Следовательно, e-0.3 = 0,7408 с точностью = 0,0001. №3. Вычислить 5 24 . Решение: Т.к. близким к числу 24 числом, из которого легко извлекается корень 5-й степени, является число 32, 10 то преобразуем 5 24 5 32 8 5 321 1 4 25 1 1 4 21 1 4 15 1 1 5 Вычисление 24 сводится к вычислению бинома 1 . 4 m Записываем разложение в ряд бинома 1 x : 1 x m 1 m x mm 1 x 2 mm 1m 2 x3 ... 1! 2! 3! mm 1...m n 1 n x ... n! 1 1 Вычисляем каждое слагаемое при m и x до тех 5 4 5 пор, пока достигнем значения 0,0001: 1 4 2 1 1 5 5 1 1 1 1 5 4 2 4 4 1 4 9 1 4 9 14 3 4 5 5 5 1 5 5 5 5 1 6 24 4 4 1 5 1 4 9 14 19 5 5 5 5 5 5 1 ... 120 4 1 1 5 1 1 0,05 0,005 0,00075 0,000131 0,000025 ... 4 Т.к. шестое слагаемое (подчёркнутое) получилось меньше, чем =0,0001, и видно, что в дальнейшем слагаемые будут уменьшаться быстро из-за увеличения n и, соответственно 11 n!, то требуемая точность обеспечивается, если найти сумму этих шести слагаемых. Следовательно, с точностью до 0,0001 1 1 5 1 0,944094, а 4 1 5 1 5 24 21 1,8882 . 4 №4. Вычислить cos18o с точностью до 0,0001. Решение: Воспользуемся разложением cos x в ряд, полагая x 18o . Имеем 1 1 cos18 cos 1 ...; 10 2! 10 4! 10 o 2 4 0,31416, 0,09870, 0,00974. 10 10 10 2 Достаточно взять 4 три члена ряда, так как 1 0,0001. Тогда 6! 10 0,09870 0,00974 cos18o 1 ; cos18o 0,9511. 2 24 4 №5. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение y x 2 y 2 , y(0) 1, взяв первые шесть членов разложения, отличных от нуля. Решение: Из уравнения и начальных условий находим y(0) 02 12 1 . Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем y 2 x 2 yy, y 2 2 y2 2 yy, y IV 6 yy 2 yy, yV 6 y2 8 yy 2 yy IV . 12 Полагая x 0 и используя значения y (0) 1, y(0) 1 , последовательно находим y(0) 2, y(0) 8, y IV ( 0) 28, yV (0) 144 . Искомое решение имеет y 1 2 3 4 вид 5 x 2 x 8x 28 x 144 x ... 1! 2! 3! 4! 5! Набор заданий. Задания 1-4. Вычислить с точностью до =0,0001. Задание 5. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение, взяв шесть первых членов разложения, отличных от нуля. Ва ри ант 1 1 Номер задания 2 3 4 x e0,15 3 28 sin 0,5 y xy2 y, y0 1 sin x e0, 2 4 90 sin 0,6 y y xy2 , y0 2 e 0,3 5 34 sin 0,7 y 2 y x2 , y0 1 e0, 4 6 60 cos 0,1 y 3 y x3 , y0 8 1 e 2 dx 0 2 1 x 0 3 1 2 3 dx 1 x 2 dx 0 4 1 2 5 1 x 3 dx 0 13 5 7 130 cos 0,2 y xy 2 y, y 0 0, y 0 1 3 218 cos 0,3 y x 2 y 2 , y 0 y0 1 e 4 626 cos 0,4 y x cos x y, y0 1 3 e 4 620 cos 0,5 y x sin x y, y0 1 4 e 4 78 1 e 0 , 5 1 2 3 1 x3 dx 0 6 1 arctg 0 7 8 x2 dx 2 e 0,1 1 2 1 0 1 x 2 dx 1 3 x cos xdx 0 cos 0,6 y yx 1 y 2 , y0 1 9 10 x2 ln 0 1 2 dx 5 e 3 135 cos 0,7 y x 2 y 2 , y0 1 11 1 e 0 ,1 3 56 cos 0,8 y e x y 2 , y0 1 e 0 , 2 3 31 cos 0,9 y e x xy, y0 1 3 24 cos 0,75 y y 2 x 2 , y0 1 4 18 cos 1 x sin xdx 0 x arctgxdx 0 12 sin x 2 0 x dx 13 1 2 1 0 14 2 e sin x dx x2 1 x ln 1 x dx 2 3 0 14 1 6 e 0 , 4 2 3 y y x3 , y0 1 15 1 x 0 16 4 14 sin 0,2 y x3 y , y0 1 e 0 , 6 4 12 sin 0,3 y x3 y y 2 , y0 1 e 0 , 7 3 222 sin 0,4 1 4 e e 2 dx 1 x sin x dx 2 0 17 1 2 1 x xe dx e 0,8 3 210 sin 0,1 y e x y x2 , y0 1 , e 0 , 9 3 145 sin 0,8 y y cos x x 2 , y0 1 1 5 e 3 126 sin 0,9 y x 2 y cos x, y0 1 1 3 4 627 sin 2 3 4 630 sin 1 4 5 40 cos 0,15 y ye x 2 x, y0 1 5 20 cos 0 19 1 2 y x, y0 y0 1 x cos xdx 0 18 y arctgx dx 2 0 20 1 2 1 x 2 dx 0 21 1 cos 3 xdx e 0 22 2 1 2 ln 1 x dx e3 0 23 1 2 3 1 x3 dx e 2 3 0 24 1 2 0 2 1 1 x3 dx e5 1 4 y y sin x e x , y0 1 y 2 x ye x , y0 1 y x 2 уe x , y0 1 15 25 1 2 3 4 e5 1 x 4 dx 0 26 1 2 1 1 x4 0 27 1 4 dx e 3 5 e 0,15 3 7 82 sin 0,35 y ye x x 2 , y0 1 120 sin 0,45 y 2 x 1 y 1, y0 1, y 0 0 2 x 144 sin 0,55 y y e , y0 1 x ln 1 x 2 dx 0 28 x 0 1 x4 dx 29 1 3 1 x 3 sin xdx e 1 6 1,07 sin 2 5 5 1,5 cos 5 24 cos 0,25 y x 2 ye x , y0 1 0 30 1 3 e 0 16 e 0,3 x dx y xe x y 2 , y0 1 4 e4 2 5 y y 2 x sin x, y0 1 Литература 1. Н.С.Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», Москва, «Наука»,1985. 2. В.П.Минорский «Сборник задач математике», Москва, «Наука»,1987. по высшей 3. П.Е.Данко, А.Г.Попов и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах», часть 2, Москва, «Высшая школа», 1986. 4. Д.Т.Письменный «Конспект лекций по высшей математике», часть 2,Москва, «Айрис-пресс», 2006. 17