Document 342409

Детская летняя математическая школа «Дилемма»
2013 год. 7 класс
Дилемма-2013. Вступительное задание. 7 класс.
Уважаемые семиклассники!
В этом году, чтобы попасть к нам в школу, вы должны решить несколько задач. У вас
будет две возможности написать вступительную работу: в марте-апреле и в мае.
Здесь представлены задания первой волны. Решения можно отправлять почтой по
адресу 420126, г. Казань, а/я 303 или в электронном виде (отсканированными или
сфотографированными в хорошем качестве) на dilemma.kazan@gmail.com.
Не огорчайтесь, если вы не сможете решить все задачи. Однако, в решенных задачах
необходимо привести не только ответы, но и подробные объяснения. Даже правильный
ответ без объяснения, как он был получен, оценивается намного ниже!
При отправлении работы электронной почтой категорически необходимо
придерживаться следующих правил оформления. Работы, написанные на бумаге,
сканируются или фотографируются (сканирование предпочтительнее). Работы, набранные
на компьютере, сохраняются в виде «Документ Word 2003». Полученные файлы высылаются
в виде приложений к электронным письмам по адресу dilemma.kazan@gmail.com. На
титульном листе каждой работы указываются ФИО автора, адрес (город, улица, дом,
квартира), школа, класс, телефон для связи. Допускаются только файлы форматов .doc, .jpg,
.tif и .pdf. Нельзя сканировать работы с поворотом текста на 90 или 180 градусов. Одна
работа может пересылаться в виде одного или нескольких файлов. Объём каждого
пересылаемого файла не должен превышать 2 Мб. Каждое письмо должно содержать работу
ровно одного участника: пересылка работ одного участника несколькими письмами и работ
нескольких участников одним письмом не допускается. Крайний срок отправки работы
электронным письмом — 30 апреля, при отправке обычным письмом через почту России —
20 апреля (по штемпелю на конверте).
Поле «Тема» каждого письма оформляется в формате «Дилемма-2013, класс, ФИО,
город, волна» (например, «Дилемма-2013, 7 класс, Иванов Петр Сидорович, Казань, 1
волна»). Ничего другого в поле «Тема» быть не должно! При неудачной отправке работы
необходимо заново выслать всю работу целиком. Для каждого учащегося будет проверяться
только последнее поступившее письмо.
Желаем удачи!
1. Замените в выражении ДИЛЕММА = ЛЕТО + 2013 буквы цифрами (одинаковые буквы
— одинаковыми, разные — разными) и вставьте между каждой парой соседних букв
знаки арифметических действий (+, −, ×, ÷) так, чтобы получилось верное равенство.
Разрешается использовать скобки. Достаточно привести один пример.
2. В Сочи прошел забег с участием десяти спортсменов. На финише репортер местной
газеты спросил у каждого участника, какое место тот занял. Каждый назвал число от 1 до
10, причем все, кроме одного, сказали правду. Сумма их ответов оказалась равной 47.
Какое место занял совравший спортсмен и что он сказал? Приведите все варианты и
докажите, что других нет.
Детская летняя математическая школа «Дилемма»
2013 год. 7 класс
3. Петя написал натуральное число от 1 до 9, умножил его на 6 и от получившегося числа
оставил только последнюю цифру. Ее он разделил на 2 и прибавил к результату 6.
Получившееся число Костя умножил на 5 и вычел из результата 3. После этого он стер у
полученного результата все, кроме последней цифры. Какое наибольшее число могло у
него получиться в результате? Приведите пример.
4. Разрежьте квадрат 88 на фигурки из пяти клеток (см. рис.) и
фигурки из четырех клеток (см. рис.) так, чтобы все отмеченные
кружками клетки оказались в пятиклеточных фигурках, а все
отмеченные крестиками — в четырехклеточных. Фигурки можно
поворачивать и переворачивать.
Достаточно привести один
пример разрезания.
5. Из колоды в 36 карт одну отложили, а остальные 35 раздали
поровну Андрею, Борису, Виктору, Геннадию и Дмитрию.
Андрей, посмотрев в свои карты и карты Бориса, сказал: «Отложенная карта не
червовая». Борис посмотрел в свои карты и в карты Виктора и сказал: «Отложенная
карта не бубновая». Виктор взглянул в свои карты и в карты Геннадия и сказал:
«Отложенная карта не пиковая». Геннадий же посмотрел в свои карты и сказал:
«Отложенная карта — не дама». Каким образом Дмитрий, слышавший все эти
высказывания и видящий свои карты, может определить, какая карта была отложена?
6. На доске были написаны числа от 1 до 9. Часть из этих чисел стерли и написали все
попарные произведения a∙b из оставшихся на доске чисел (a≠b). Оказалось, что среди
этих произведений нашлись числа, оканчивающиеся на все цифры от 0 до 9. Какое
наибольшее количество чисел могло быть стерто с доски?
7. Мул и осёл несли груз весом в несколько сотен каких-то единиц. Осёл, жалуясь на свою
судьбу, сказал мулу: «Мне нужно только сто единиц твоей ноши, чтобы моя ноша стала
вдвое тяжелее твоей». На это мул ему ответил: «Да, это так, но если бы ты мне отдал сто
единиц из твоей ноши, то я был бы нагружен втрое больше тебя». Какого веса была ноша
осла и ноша мула?
8. Отрезки AC и BD пересекаются в точке M, причем AB=CD и угол ACD=90º. Докажите,
что MD≥MA.
9. В треугольнике ABC проведена биссектриса BM. Известно, что отношение углов AMB и
CMB равно 7:3. Найдите разность углов BAC и ACB.
10. Имеется 9 запечатанных коробок, в которых лежит по 1, 2, 3, …, 9 шариков
соответственно (на каждой коробке написано, сколько в ней шариков). Аня и Боря по
очереди берут по одному шарику и любой коробки, распечатывая, если это необходимо,
коробку. Первой ходит Аня. Проигрывает тот, кто последним распечатает коробку. Кто
из них может всегда выигрывать независимо от игры противника?