Теория вероятностей, случайные процессы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2014 г.
Учебно-методический комплекс дисциплины
«Теория вероятностей, случайные процессы»
Направление подготовки
050100 Педагогическое образование
Профиль подготовки
Математика, информатика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Квалификация (степень) выпускника:
Бакалавр
Форма обучения:
очная
Тобольск 2013
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
______________________________________________________________________
Дисциплина:
Теория вероятностей, случайные процессы_________________________________
Учебный план: 01.03.01 – Математика, профиль «Вычислительная математика и информатика»
Автор:
Кушнир Таисья Ивановна_______________________________________________
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
ФИО
СОГЛАСОВАНО:
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
Кушнир Таисья Ивановна, доцент кафедры физики,
математики и методик преподавания
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
_____________
дата
2
Содержание
Рабочая программа дисциплины …………………………………...……………..................3
Руководство по организации обучения дисциплине ……………………………………13
Приложения ………………………………………………………………………………..….16
Приложение 1. Лекционные материалы …………………………………………………..….16
Приложение 2. Практические занятия ……………………………………………………..19
2.1. Планы практических занятий ……………………………………………………….…..19
2.2. Методические указания к практическим занятиям ……………………………….….. 22
Приложение 3. Самостоятельная работа студентов ……………………………….….…... 23
3.1. Задания для самостоятельной работы …………………………………………………. 23
3.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы ……………………26
Приложение 4. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине 27
4.1. Технологическая карта ………………………………………………………………..... 27
4.2. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине …………………. 28
4.3. Тестовые задания для итогового контроля знаний по дисциплине ………………….28
4.4. Вопросы к зачету ……………………………………………………………................... 30
Приложение 5. Глоссарий ……………………………………………………………..…..... 31
3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
(подпись, расшифровка подписи)
“____”______________2013 г
Рабочая программа дисциплины
«Теория вероятностей, случайные процессы»
Направление подготовки
050100 Педагогическое образование
Профиль подготовки
Математика, информатика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Квалификация (степень) выпускника:
Бакалавр
Форма обучения:
очная
Тобольск 2013
4
СОДЕРЖАНИЕ
Стр
1
2
3
4
4.1
4.2
5
6
7
7.1
7.2
7.3
8
9
Цели и задачи освоения дисциплины…………………………………
Место дисциплины в структуре ООП ВПО.......……………………..
Требования к результатам освоения содержания дисциплины..........
Содержание и структура дисциплины ……….......………………….
Структура дисциплины..........................................................................
Содержание разделов дисциплины.......................................................
Образовательные технологии................................................................
Самостоятельная работа студентов…………………………………...
Компетентностно-ориентированные оценочные средства…………
Оценочные средства диагностирующего контроля…………………
Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая
технология оценивания работы студентов…………………………..
Оценочные средства промежуточной аттестации ..…………………
Учебно-методическое
и
информационное
обеспечение
дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины……………….
4
4
5
7
7
8
10
11
12
12
12
14
18
19
5
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Цели освоения дисциплины (модуля): формирование систематизированных знаний
в области теории вероятностей и математической статистики, его месте и роли в системе
математических наук, использование в естественных науках, в школьном курсе
математики.
Задачи: развивать математическое мышление обучающихся, познакомить с
современными направлениями развития теории вероятностей и математической
статистики; научить применять методы теории вероятностей и математической
статистики для решения задач в различных сферах; показать, что основные выводы
математической статистики базируются на законах теории вероятностей.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Теория вероятностей, случайные процессы» относится к базовой
части профессионального цикла дисциплин направления (Б3.Б.10). Она характеризуется
содержательными связями с дисциплиной «Математический анализ». Изучение теории
вероятностей и математической статистики следует за изучением математического
анализа.
Для изучения теории вероятностей необходимы знания из некоторых разделов
геометрии и математического анализа, например: «Введение в математический анализ»,
«Теория пределов», «Теория функции нескольких переменных», «Дифференциальное
исчисление для функции одной и нескольких переменных», «Интегральное исчисление
для функции одной и нескольких переменных», «Ряды», «Аналитическая геометрия».
Обучающийся должен знать основные элементарные функции и их свойства, понятия
производной, неопределенного и определенного интегралов, геометрические фигуры на
плоскости, тела в пространстве, должен уметь дифференцировать, интегрировать
функции, исследовать функции с помощью производной, находить сумму числового ряда,
разлагать функцию в степенной ряд, уметь находить площади фигур, объемы тел.
3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
а) общепрофессиональных компетенций:
- готовностью использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1)
б) профессиональных компетенций:
- способностью математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание
постановок классических задач математики (ПК-2);
- способность к проведению методических и экспертных работ в области математики (ПК11)
В результате изучения обучающийся должен знать:
- основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;
- различные подходы к определению вероятности (классический, аксиоматический,
геометрический, статистический);
- прикладной характер дисциплины;
- классические методы математической статистики, используемые при планировании,
проведении и обработке результатов экспериментов в педагогике и психологии;
- прикладной характер дисциплины;
уметь:
6
- использовать математический аппарат при изучении и количественном описании
реальных случайных явлений и процессов;
- использовать точные и приближенные формулы теории вероятностей при решении
конкретных задач;
- проводить исследование основных понятий, вычислять вероятности, числовые
характеристики;
- доказывать основные свойства и теоремы теории вероятностей и случайных процессов;
- решать задачи, относящиеся к этому курсу;
- анализировать полученные результаты, формировать выводы и заключения;
- применять методы математической статистики к решению задач;
- планировать процесс математической обработки экспериментальных данных;
- проводить практические расчеты по имеющимся экспериментальным
данным при использовании статистических таблиц и компьютерной поддержки
(включая пакеты прикладных программ);
- анализировать полученные результаты, формировать выводы и заключения;
владеть:
- вероятностными методами мышления и исследования;
- вероятностными, статистическими методами мышления и исследования;
- основными технологиями статистической обработки экспериментальных данных на
основе теоретических положений классической теории вероятности;
- навыками использования современных методов статистической обработки информации
для диагностирования достижений обучающихся и воспитанников.
приобрести опыт:
- распознавания в реальной ситуации вероятностных черт;
- в обработке эмпирических данных;
- в принятии правильных решений на основе результатов этой обработки.
4. Структура и содержание дисциплины
Дисциплина «Теория вероятностей, случайные процессы» изучается в VII - VIII
семестрах 4 курса. Общая трудоёмкость 11 зачётных единиц (396 часов), из них 162
аудиторных: 66 часов лекций и 96 часов практических занятий, самостоятельная работа
студентов – 194 часа, КСР – 4 часа. Изучение предусматривает контрольную работу и
зачёт в VII семестре и экзамен в VIII семестре.
4.1. Структура дисциплины
Таблица 1
№
раздела
1
2
3
4
5
Наименование разделов
Количество часов
Семестр
Введение в теорию вероятностей.
3
Правила сложения и умножения
вероятностей. Полная вероятность
Повторение испытаний. Схема
Бернулли.
Асимптотические формулы. Нормальная
функция распределения.
Случайные величины. Примеры
распределений.
3
3
3
3
Всего
Аудиторная
работа
Л
ПЗ
СР
24
4
6
14
30
6
8
16
20
2
2
16
20
4
4
12
28
6
6
16
7
6
7
8
Числовые характеристики случайных
величин.
Многомерные случайные величины.
3
Закон больших чисел и центральная
предельная теорема.
3
3
Итого:
20
4
6
10
18
6
2
10
20
4
2
14
180
36
36
108
30
6
12
12
24
4
8
12
30
8
10
12
26
4
10
12
Основные понятия теории случайных
процессов. Простейшие случайные
процессы.
Марковские случайные процессы.
4
4
4
Основные понятия математической
статистики.
Теория оценок. Нахождение
неизвестных параметров распределения.
Элементы теории корреляции.
4
30
4
10
16
5
Проверка статистических гипотез.
4
36
4
10
22
Итого:
176
30
60
86
3,4
4
4
36
Всего:
396
66
96
194
1
2
3
КСР
Экзамен
4
4
4.2. Содержание дисциплины
Таблица 2
№
раздела
1
2
3
4
5
6
Наименование
раздела
Введение в теорию
вероятностей.
Правила сложения и
умножения вероятностей.
Полная вероятность
Повторение испытаний.
Схема Бернулли.
Асимптотические формулы.
Нормальная функция
распределения.
Случайные величины.
Примеры распределений.
Числовые характеристики
случайных величин.
Содержание раздела
Основные понятия теории вероятностей. Классическое
определение вероятности. Другие определения вероятности
(геометрическое, аксиоматическое, статистическое).
Комбинаторные формулы и их применение к подсчету
вероятности.
Правила сложения и умножения вероятностей. Условная
вероятность. Зависимые и независимые события, их
вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Повторение испытаний. Схема Бернулли. Наиболее вероятное
число успехов. Среднее число успехов. Обобщение схемы
Бернулли. Задача о безвозвратной выборке.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Нормальная функция
распределения. Теорема Пуассона. Интегральная теорема
Муавра -Лапласа.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция
распределения и плотность вероятности. Основные примеры
дискретных и непрерывных распределений.
Числовые характеристики случайных величин. Математическое
ожидание, дисперсия и их свойства. Степень неопределенности
дискретного распределения. Понятие об энтропии.
8
7
Многомерные случайные
величины.
8
9
Закон больших чисел и
центральная предельная
теорема.
Основные понятия теории
случайных процессов.
Простейшие случайные
процессы.
10
Марковские случайные
процессы.
11
Основные понятия
математической
статистики.
12
Теория оценок.
Нахождение неизвестных
параметров распределения.
13
Элементы теории
корреляции.
14
Проверка статистических
гипотез.
Двумерная случайная величина, ее функция распределения и
плотность вероятности. Нормальное распределение двумерной
случайной величины. Числовые характеристики системы двух
случайных величин. Коэффициент корреляции. Корреляционная
зависимость.
Неравенство Чебышева. Различные формы закона больших чисел.
Центральная предельная теорема теории вероятностей.
Применения центральной предельной теоремы.
Простейшие случайные процессы. Мера в пространстве
функций. Конечномерные распределения случайного процесса и
их согласованность. Теорема Колмогорова о продолжении меры.
Винеровский процесс как пример случайного процесса.
Корреляционная
теория
случайных
процессов.
Дифференцирование
и
интегрирование
в
среднем
квадратическом.
Стационарные
случайные
процессы.
Спектральное разложение стационарного случайного процесса.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с
постоянным коэффициентами, правая часть которых является
стационарным случайным процессом. Понятие об эмпирической
оценке спектральной плотности. Общая теория условных
математических ожиданий. Условное математическое ожидание
и условная вероятность относительно счётного разбиения.
Условное математическое ожидание относительно сигмаалгебры (по Колмогорову).
Марковские процессы. Конечные цепи Маркова. Матрица
переходных вероятностей. Классификация состояний (в
однородном по времени случае). Эргодическая теорема.
Центральная предельная теорема для случайных величин,
связанных в цепь Маркова. Марковские цепи с произвольным
пространством состояний. К-цепи Маркова. Марковские
процессы
с
непрерывным
временем.
Диффузионные
Марковские процессы и уравнения для их переходных
вероятностей. Переход от динамической системы со случайным
возмущением к диффузионному случайному процессу.
Основные задачи математической статистики. Эмпирический
закон распределения. Таблица частот. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики
статистического распределения.
Эмпирические оценки параметров распределения, требования,
предъявляемые к ним. Доверительные вероятности и
доверительные интервалы. Распределение Стьюдента. Оценка
неизвестной вероятности по частоте. Метод наименьших
квадратов для оценки параметров функциональной зависимости
между переменными.
Корреляционная
зависимость.
Коэффициент
корреляции.
Линейная, криволинейная корреляции. Эмпирические линии
регрессии и их построение. Метод наименьших квадратов о
сглаживании функциональной зависимости.
Общие принципы проверки статистических гипотез. Критерии
согласия Колмогорова,  Пирсона и Романовского. Нахождение
законов распределения случайных величин на основе опытных
данных и проверка согласованности эмпирического и
теоретического распределений.
2
9
5. Образовательные технологии
№
№
занятия раздела
Тема занятия
Виды образовательных
технологий
2.
1
3
1
4
1
5.
2
Тема 1. Основные понятия
теории
вероятностей.
Классическое
определение
вероятности. Другие определения
вероятности
(геометрическое,
аксиоматическое,
статистическое).
Тема 1. Основные понятия
теории вероятностей.
Классическое определение
вероятности. Другие определения
вероятности (геометрическое,
аксиоматическое,
статистическое).
Тема 2. Комбинаторные
формулы и их применение к
подсчету вероятности.
Тема 2. Комбинаторные
формулы и их применение к
подсчету вероятности.
Тема 3. Правила сложения и
умножения вероятностей.
6
2
Тема 3. Правила сложения и
умножения вероятностей.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
7
2
8
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Лекция-визуализация
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
9
2
Тема 4. Условная вероятность.
Зависимые и независимые
события, их вероятности.
Тема 4. Условная вероятность.
Зависимые и независимые
события, их вероятности.
Тема 5. Формула полной
вероятности. Формула Байеса.
10
2
Тема 5. Формула полной
вероятности. Формула Байеса.
1.
1
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Лекция-визуализация
Практическое занятие
12
3
13
4
14
4
Тема 7. Локальная
Муавра-Лапласа.
теорема
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Тема 8. Нормальная функция
распределения.
Теорема
Пуассона. Интегральная теорема
Муавра -Лапласа.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
15
3
2
(Традиционные технологии)
Тема 6. Повторение испытаний.
Схема Бернулли. Наиболее
вероятное число успехов. Среднее
число успехов. Обобщение схемы
Бернулли. Задача о безвозвратной
выборке.
Тема 6. Повторение испытаний.
Схема Бернулли. Наиболее
вероятное число успехов. Среднее
число успехов. Обобщение схемы
Бернулли. Задача о безвозвратной
выборке.
Тема 7. Локальная теорема
Муавра-Лапласа.
11.
Таблица 3
Кол-во
часов
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Лекция-визуализация
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
2
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
2
10
16
4
17
5
18
5
19
5
20
5
21
5
22
23
24
25
26
27
28
29
5
6
6
6
6
7
7
7
30
7
31
7
Тема 8. Нормальная функция
распределения.
Теорема
Пуассона. Интегральная теорема
Муавра -Лапласа.
Тема
9.
Дискретные
и
непрерывные
случайные
величины.
Тема
9.
Дискретные
и
непрерывные
случайные
величины.
Тема 10. Функция распределения
и плотность вероятности.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Тема 10. Функция распределения
и плотность вероятности.
Тема 11. Основные примеры
дискретных
и
непрерывных
распределений.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Тема 11. Основные примеры
дискретных
и
непрерывных
распределений.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Тема
12.
Числовые
характеристики
случайных
величин.
Математическое
ожидание, дисперсия и их
свойства.
Тема
12.
Числовые
характеристики
случайных
величин.
Математическое
ожидание, дисперсия и их
свойства.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Тема
13.
Степень
неопределенности
дискретного
распределения.
Понятие
об
энтропии.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Тема
13.
Степень
неопределенности
дискретного
распределения.
Понятие
об
энтропии.
Тема 14. Двумерная случайная
величина,
ее
функция
распределения
и
плотность
вероятности.
Тема 14. Двумерная случайная
величина,
ее
функция
распределения
и
плотность
вероятности.
Тема
15.
Нормальное
распределение
двумерной
случайной величины. Числовые
характеристики системы двух
случайных величин.
Тема
15.
Нормальное
распределение
двумерной
случайной величины. Числовые
характеристики системы двух
случайных величин.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Тема
16.
корреляции.
зависимость.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Лекция-визуализация
Коэффициент
Корреляционная
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
2
2
2
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Лекция-визуализация
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
2
11
Тема
16.
Коэффициент
корреляции.
Корреляционная
зависимость.
Тема 17. Неравенство Чебышева.
Различные формы закона больших
чисел.
Тема 17. Неравенство Чебышева.
Различные формы закона больших
чисел.
Тема 18. Центральная предельная
теорема теории вероятностей.
Применения предельной
центральной теоремы.
Тема 18. Центральная предельная
теорема теории вероятностей.
Применения предельной
центральной теоремы.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
9
Тема 19. Простейшие случайные
процессы. Мера в пространстве
функций.
Конечномерные
распределения
случайного
процесса и их согласованность.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
9
Тема 19. Простейшие случайные
процессы. Мера в пространстве
функций.
Конечномерные
распределения
случайного
процесса и их согласованность.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
9
Тема 20. Теорема Колмогорова о
продолжении меры. Винеровский
процесс как пример случайного
процесса. Корреляционная теория
случайных
процессов.
Стационарные
случайные
процессы.
Спектральное
разложение
стационарного
случайного процесса.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
9
Тема 20. Теорема Колмогорова о
продолжении меры. Винеровский
процесс как пример случайного
процесса. Корреляционная теория
случайных
процессов.
Стационарные
случайные
процессы.
Спектральное
разложение
стационарного
случайного процесса.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
9
Тема 21. Общая теория условных
математических
ожиданий.
Условное
математическое
ожидание и условная вероятность
относительно счётного разбиения.
Условное
математическое
ожидание относительно сигмаалгебры (по Колмогорову).
32
7
33
8
34
8
35
36
1
2
3
4
5
8
8
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
2
2
4
2
4
2
12
Тема 21. Общая теория условных
математических
ожиданий.
Условное
математическое
ожидание и условная вероятность
относительно счётного разбиения.
Условное
математическое
ожидание относительно сигмаалгебры (по Колмогорову).
Тема 22. Марковские процессы.
Конечные
цепи
Маркова.
Матрица
переходных
вероятностей.
Классификация
состояний (в однородном по
времени случае). Эргодическая
теорема. Центральная предельная
теорема для случайных величин,
связанных в цепь Маркова.
Марковские цепи с произвольным
пространством состояний. К-цепи
Маркова.
Тема 22. Марковские процессы.
Конечные
цепи
Маркова.
Матрица
переходных
вероятностей.
Классификация
состояний (в однородном по
времени случае). Эргодическая
теорема. Центральная предельная
теорема для случайных величин,
связанных в цепь Маркова.
Марковские цепи с произвольным
пространством состояний. К-цепи
Маркова.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
10
Тема 23. Марковские процессы с
непрерывным
временем.
Диффузионные
Марковские
процессы и уравнения для их
переходных
вероятностей.
Переход
от
динамической
системы
со
случайным
возмущением к диффузионному
случайному процессу.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
10
10
Тема 23. Марковские процессы с
непрерывным
временем.
Диффузионные
Марковские
процессы и уравнения для их
переходных
вероятностей.
Переход
от
динамической
системы
со
случайным
возмущением к диффузионному
случайному процессу.
11
11
Тема 24. Основные задачи
математической статистики.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
12
11
Тема 24. Основные задачи
математической статистики.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
13
11
Тема 25. Эмпирический закон
распределения. Таблица частот.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
14
11
Тема 25. Эмпирический закон
распределения. Таблица частот.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
6
7
8
9
9
10
10
4
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
2
4
13
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
11
Тема 26. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая
функция
распределения.
Тема 26. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая
функция
распределения.
Тема 27. Числовые характеристики
статистического распределения.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
11
Тема 27. Числовые характеристики
статистического распределения.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Тема 28. Эмпирические оценки
параметров
распределения,
требования, предъявляемые к ним.
Доверительные вероятности и
доверительные
интервалы.
Распределение Стьюдента.
Тема 28. Эмпирические оценки
параметров
распределения,
требования, предъявляемые к ним.
Доверительные вероятности и
доверительные
интервалы.
Распределение Стьюдента.
Тема 29. Оценка неизвестной
вероятности по частоте. Метод
наименьших квадратов для оценки
параметров
функциональной
зависимости между переменными.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Тема 29. Оценка неизвестной
вероятности по частоте. Метод
наименьших квадратов для оценки
параметров
функциональной
зависимости между переменными.
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
Тема
30.
Корреляционная
зависимость.
Коэффициент
корреляции.
Линейная,
криволинейная
корреляции.
Эмпирические линии регрессии и
их построение.
Тема
30.
Корреляционная
зависимость.
Коэффициент
корреляции.
Линейная,
криволинейная
корреляции.
Эмпирические линии регрессии и
их построение.
Тема 31. Метод наименьших
квадратов
о
сглаживании
функциональной зависимости.
Тема 31. Метод наименьших
квадратов
о
сглаживании
функциональной зависимости.
Тема 32. Общие принципы
проверки статистических гипотез.
Критерии согласия Колмогорова,
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
15
11
16
11
17
18
19
20
21
22
23
12
12
12
12
13
24
13
25
13
26
13
27
14

28
14
2

Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
4
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Пирсона и Романовского.
Тема 32. Общие принципы
проверки статистических гипотез.
Критерии согласия Колмогорова,
2
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
Пирсона и Романовского.
14
29
30
14
14
Тема 33. Нахождение законов
распределения случайных величин
на основе опытных данных и
проверка
согласованности
эмпирического и теоретического
распределений.
Тема 33. Нахождение законов
распределения случайных величин
на основе опытных данных и
проверка
согласованности
эмпирического и теоретического
распределений.
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
2
Практическое занятие
(Традиционные технологии)
4
6. Самостоятельная работа студентов
Таблица 4
№
Наименование
раздела дисциплины
Вид самостоятельной работы
Самостоятельное изучение темы:
«Комбинаторика».
1
Введение в теорию
вероятностей.
2
Коллоквиум по теме: «Формула полной
Правила сложения и
умножения вероятностей. вероятности».
Полная вероятность
Трудоемкость
2
4
Повторение испытаний.
Схема Бернулли.
Домашние задания: решение задач.
Асимптотические
формулы. Нормальная
функция распределения.
Самостоятельное изучение темы «Нормальная
функция распределения»
Коллоквиум по теме: «Примеры распределений
случайных величин».
5
Случайные величины.
Примеры распределений.
Числовые характеристики
случайных величин.
6
Многомерные случайные
величины.
Самостоятельное изучение темы «Смешанная
функция распределения»
Закон больших чисел и
центральная предельная
теорема.
Домашние задания: решение задач.
7
Основные понятия теории
случайных процессов.
Простейшие случайные
процессы.
Самостоятельное изучение темы «Простейшие
процессы»
Марковские случайные
процессы.
Самостоятельное изучение темы «Марковские
процессы»
8
Основные понятия
математической статистики.
Коллоквиум по теме: «Элементы
математической статистики».
6
Теория оценок. Нахождение
неизвестных параметров
распределения.
Элементы теории
корреляции.
Домашние задания: решение задач.
Проверка статистических
гипотез.
Домашние задания: решение задач.
3
4
8
Домашние задания: решение задач.
6
2
4
2
4
2
5
Домашние задания: решение задач.
6
8
15
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
1) Входящий контроль в форме теста;
2) Текущий контроль в форме мониторинга результатов семинарских и
практических занятий, а так же домашних работ;
3) Промежуточная аттестация в форме зачета.
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая
технология оценивания работы студентов
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
Таблица 5
Виды работ
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
Итого
Максимальное количество баллов
Модуль 1
Модуль 2
Модуль 3
Итого
3
6
11
2
4
9
4
8
13
9
18
33
5
25
10
25
25
50
40
100
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
Таблица 6
№
1
2
3
4
5
6
Наименование
раздела
дисциплины
Формы оцениваемой работы
Работа на лекциях
Введение в теорию
– посещение лекций и
вероятностей.
практических занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
Правила сложения и
– посещение лекций и
умножения
практических занятий;
вероятностей. Полная – ответы на теоретические
вероятность
вопросы
Повторение
– посещение лекций и
испытаний. Схема
практических занятий;
Бернулли.
– ответы на теоретические
вопросы
Асимптотические
– посещение лекций и
формулы. Нормальная практических занятий;
функция
– ответы на теоретические
распределения.
вопросы
Случайные величины. – посещение лекций и
Примеры
практических занятий;
распределений.
– ответы на теоретические
вопросы
Числовые
– посещение лекций и
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
3
1
4
3
1
4
3
2
4
3
2
4
3
3
4
3
3
16
характеристики
случайных величин.
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
Многомерные
случайные величины.
Закон больших чисел
и центральная
предельная теорема.
Основные понятия
теории случайных
процессов.
Простейшие
случайные процессы.
Марковские
случайные процессы.
Основные понятия
математической
статистики.
Теория оценок.
Нахождение
неизвестных
параметров
распределения.
Элементы теории
корреляции.
Проверка
статистических
гипотез.
практических занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
– посещение лекций и
практических занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
– посещение лекций и
практических занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
– посещение лекций и
практических занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
4
3
4
3
3
Повторение
испытаний. Схема
Бернулли.
3
4
3
– посещение лекций и
практических занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
– посещение лекций и
практических занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
3
1
4
3
1
4
3
2
4
2-3
4
3
3
4
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
Введение в теорию
– выполнение учебных
9
вероятностей.
индивидуальных и групповых
Правила сложения и
умножения
вероятностей. Полная
вероятность
3
4
– посещение лекций и
практических занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
– посещение лекций и
практических занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
– посещение лекций и
практических занятий;
– ответы на теоретические
вопросы
заданий в ходе практических
занятий;
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе практических
занятий;
– выступление на занятии
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе практических
занятий;
– выполнение аудиторной
контрольной работы
3
9
1
1
4
9
1
8
17
4
Асимптотические
формулы. Нормальная
функция
распределения.
5
Случайные величины.
Примеры
распределений.
6
Числовые
характеристики
случайных величин.
7
Многомерные
случайные величины.
8
Закон больших чисел
и центральная
предельная теорема.
9
10
11
12
13
Основные понятия
теории случайных
процессов.
Простейшие
случайные процессы.
Марковские
случайные процессы.
Основные понятия
математической
статистики.
Теория оценок.
Нахождение
неизвестных
параметров
распределения.
Элементы теории
корреляции.
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе практических
занятий
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе практических
занятий;
– выступление на занятии
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе практических
занятий;
– выполнение аудиторной
контрольной работы
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе практических
занятий
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе семинаров и
практических занятий;
– выступление на занятии
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе семинаров и
практических занятий;
– выполнение аудиторной
контрольной работы
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе семинаров и
практических занятий;
– выполнение аудиторной
контрольной работы
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе семинаров и
практических занятий;
– выполнение аудиторной
контрольной работы
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе семинаров и
практических занятий;
– выполнение аудиторной
контрольной работы
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе семинаров и
практических занятий;
9
2
9
2
4
9
3
8
9
3
9
3
4
9
1
8
9
1
8
9
2
8
9
2
8
9
3
18
14
Проверка
статистических
гипотез.
– выполнение аудиторной
контрольной работы
– выполнение учебных
индивидуальных и групповых
заданий в ходе семинаров и
практических занятий;
– выполнение аудиторной
контрольной работы
8
9
3
8
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
Таблица 7
№
Наименование
раздела (темы)
дисциплины
1
Введение в теорию
вероятностей.
2
Правила сложения и
умножения
вероятностей. Полная
вероятность
Повторение
испытаний. Схема
Бернулли.
3
4
5
1
выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
Асимптотические
– выполнение домашних
формулы. Нормальная контрольных работ;
функция
– конспектирование
3
1
3
3
2
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
5
2
3
2
3
3
3
6
5
3
3
1
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
3
1
6
5
2
распределения.
Случайные величины.
Примеры
распределений.
Числовые
характеристики
случайных величин.
7
Многомерные
случайные величины.
8
Закон больших чисел
и центральная
предельная теорема.
9
Основные понятия
теории случайных
процессов.
Простейшие
случайные процессы.
Марковские
случайные процессы.
11
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
выполнение домашних
контрольных работ
6
5
6
10
Формы оцениваемой работы
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
3
1
Основные понятия
математической
статистики.
6
3
19
12
13
14
Теория оценок.
Нахождение
неизвестных
параметров
распределения.
Элементы теории
корреляции.
Проверка
статистических
гипотез.
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
3
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
– выполнение домашних
контрольных работ;
– конспектирование
3
3
3
3
3
2
3
3
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Вопросы к зачету:
1.Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности
(примеры).
2.Сложение вероятностей. Расширенная теорема сложения (примеры).
3.Условная вероятность. Умножение вероятностей (примеры).
4.Полная вероятность. Формула Байеса (примеры).
5.Повторение испытаний. Схема Бернулли (примеры).
6.Наиболее вероятное число успехов (примеры).
7.Обобщения схемы Бернулли (примеры).
8.Аксиоматическое, геометрическое, статистическое определения вероятности
(примеры).
9.Плотность вероятности и ее свойства. Нормальная функция распределения, ее
свойства.
10. Локальная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
11. Теорема Пуассона и ее применение.
12. Интегральная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
Таблица 8
Экзамен (соответствие рейтинговых баллов и
Вид
Допуск к
академических оценок)
Зачёт
аттестации аттестации
Удовл.
Хорошо
Отлично
40 баллов
61 балл
61-72 баллов
73-86 баллов
87-100 баллов
Вопросы к экзамену по дисциплине (8 семестр)
1) Математическая статистика. Задачи математической статистики. Генеральная и
выборочная совокупности.
2) Вариационный ряд, эмпирический закон распределения, полигон частот и
относительных частот. Гистограмма.
3) Эмпирическая функция распределения и её свойства. Примеры.
4) Статистические оценки. Несмещённые и состоятельные оценки.
5) Выборочная средняя как статистическая оценка генеральной средней.
Выборочная дисперсия как смещённая статистическая оценка дисперсии генеральной
совокупности. Исправленная дисперсия.
6) Точечные статистические оценки неизвестных параметров известных
распределений: метод моментов. Примеры.
20
7) Точечные статистические оценки неизвестных параметров известных
распределений: метод максимального правдоподобия. Примеры.
8) Интервальные оценки. Точность и надёжность оценок. Интервальная оценка
математического ожидания нормально распределённой случайной величины при
известном среднем квадратическом отклонении. Примеры.
9) Интервальные оценки. Интервальная оценка математического ожидания
нормально распределённой случайной величины при неизвестном среднем
квадратическом отклонении. Примеры.
10) Интервальные оценки. Интервальная оценка среднего квадратического
отклонения. Примеры.
11) Статистическая гипотеза. Основная и альтернативная гипотезы. Простая и
сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Примеры.
12) Критерии статистических гипотез. Односторонний и двухсторонний критерий.
Область принятия гипотезы и критическая область.
13) Критерий согласия Пирсона для проверки гипотезы о нормальном и
равномерном распределениях. Примеры.
14) Критерий Пирсона для биномиального, распределения Пуассона. Примеры.
15) Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости между
случайными величинами. Коэффициент корреляции.
16) Уравнения регрессии одной случайной величины на другой. Коэффициент
регрессии и связь его с коэффициентом корреляции. Примеры.
17) Линейная регрессия, уравнение линейной регрессии по не сгруппированным
данным. Примеры.
18) Мера в пространстве функций. Конечномерные распределения случайного
процесса и их согласованность. Теорема Колмогорова о продолжении меры.
19) Винеровский процесс как пример случайного процесса.
20) Корреляционная теория случайных процессов.
21) Дифференцирование и интегрирование в среднем квадратическом.
22) Стационарные случайные процессы. Спектральное разложение стационарного
случайного процесса.
23) Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянным
коэффициентами, правая часть которых является стационарным случайным процессом.
24) Общая теория условных математических ожиданий. Условное математическое
ожидание и условная вероятность относительно счётного разбиения.
25) Условное математическое ожидание относительно сигма-алгебры (по
Колмогорову). Конечные цепи Маркова. Матрица переходных вероятностей.
26) Центральная предельная теорема для случайных величин, связанных в цепь
Маркова. Марковские цепи с произвольным пространством состояний.
27) К-цепи Маркова. Марковские процессы с непрерывным временем.
Диффузионные Марковские процессы и уравнения для их переходных вероятностей типа
уравнения теплопроводности.
28) Переход от динамической системы со случайным возмущением к
диффузионному случайному процессу.
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
Примерный перечень задач к зачету по дисциплине (7 семестр)
1) В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет падает выигрыш 500 рублей, на 10
билетов – по 100 рублей, на 50 билетов – по 20 рублей, на 100 рублей – по 5 рублей,
остальные билеты невыигрышные. Некто покупает 1 билет. Найдите вероятность
выигрыша не менее 20 рублей.
21
2) Бросаются четыре игральные кости. Найти вероятность того, что на них
выпадет по одинаковому числу очков.
3) Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, причем
каждый из них делает по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого
стрелка – 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина.
Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.
4) Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет хотя бы 3
раза.
5) Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний
постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и
не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
6) Производят последовательные испытания 5 приборов на надежностью Каждый
следующий прибор испытывают только в том случае, если предыдущий оказался
надежным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если
вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,8.
7) Случайная величина Х может принимать два возможных значения: x1 с
вероятностью 0,3 и x 2 с вероятностью 0,7, причем x 2 > x1 . Найти x1 , x 2 , зная, что
M(X)=2,7 и D(X)=0,21.
8) Случайная величина задана законом распределения
X 2
4
8
p 0
0
0
,1 ,5 ,4
Найти среднее квадратичное отклонение этой величины.
9) Случайная величина Х задана функцией распределения
0,
x  0,
x2
F(x)=
, 0  x  2,
4
x2
1,
Найти функцию плотности и математическое ожидание случайной величины Х.
10) Найти функцию распределения случайной величины, плотность вероятности
1 x
которой имеет вид f ( x)  e
2
11) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с
плотностью f(x,y)=24xy в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный прямыми x+y-1=0, x=0, y=0. Найти математические ожидания этих
случайных величин.
12) Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных
величин (X, Y):
X
2 4 6
\Y
0 0 0
1
3 λ 0
0
λ
2
2 4 2
0
λ λ λ
3
λ 2 5
0
λ λ
13) Найти коэффициент λ и математические ожидания этих случайных величи
Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=a(x+y) в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется определить коэффициент а.
22
14) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с
плотностью f(x,y)=x+y в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется найти математические
ожидания этих случайных величин.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) Основная литература
1. Андрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Просвещение, 2005.
2. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
3. Пугачев В.С. Теория стохастических систем: Учеб. пособие / В.С. Пугачев, И.Н.
Синицын. - М.: Логос, 2004.
4. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
5. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб., Изд-во «Лань». 2007. – 272 с.
6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения.М., «Академия», 2003.- 464 с.
б) Дополнительная литература
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные
приложения.- М., 1991.- 384 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. – М., Высшая школа, 2000.
3. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Основы теории вероятностей. – М.: Просвещ., 1967.160 с.
4. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. – М., «Наука», 1972.
– 376 с.
5. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и
реккурентное оценивание. – М., «Наука», 1972, - 304 с.
6. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Наука,
1979.- 496 с.
7. Прохоров А.В., Ушаков В.Г. Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей:
Основные понятия. предельные теоремы. Случайные процессы.- М.: Наука, 1986.- 328 с.
8. Солодовников А.С. Теория вероятностей.- М.: Просвещ., 1978.- 192с.
в) Периодические издания
г) Мультимедийные средства
Microsoft Office Power Point, Excel.
д) Интернет-ресурсы
1. http://www.math.ru
2. http://www.edu.ru
3. http://www.exponenta.ru
4. http://www.problems.ru
5. http://www.bymath.net
6. http://www.mathem.h1.ru
7. http://www.allmath.ru
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
ПК, проектор, экран.
23
Руководство по организации обучения дисциплине
Преподавателю, читающему дисциплину «Теория вероятностей, случайные
процессы», важно знать структуру дисциплины, умело выделяя в разделах основные,
базовые понятия. Организуя учебные занятия, учитывать их порядок, последовательность
и технологические приемы, отражая научно-методические основы дисциплины.
Аудиторная работа включает: лекции, практические занятия, самостоятельную
работу.
Материал дисциплины излагается на лекциях, но некоторые вопросы студентами
изучаются самостоятельно. Лекция – учебное занятие, составляющее основу
теоретического обучения и дающее систематизированные научные знания по дисциплине,
раскрывающее состояние и перспективы развития соответствующей области науки и
техники, концентрирующее внимание обучающихся на её наиболее значимых (сложных)
вопросах.
Лекции имеют проблемный характер, в ходе которых происходит изложение
основных математических структур и показывается их применение. На лекциях
преподаватель дает теоретические основы, примеры, показывает основное направления
для подготовки к зачету. Посещение лекций, а также ведение конспектов лекций
(фиксирование основных положений, свободное изложение и т.п.) и их проверка являются
обязательными. Необходимо показывать приемы успешной работы с текстом лекции:
использование кратких общепринятых символов, совращений, правильная обработка
текста, исправление неточностей и внесение дополнительных сведений.
Темы практических занятий соответствуют теме прочтенной лекции, поэтому в
учебном процессе они следуют за лекциями. В начале практических занятий
рекомендовано проведение небольшой самостоятельной работы, математического
диктанта по знанию основных определений, теоретических фактов, формул, необходимых
на данном занятии. Нужно учитывать не только оценочно-контрольную функцию занятия,
осуществляя систематический контроль за успеваемостью (рейтингом) студентов, но и
воспитательную, требуя от обучающихся дисциплинированности, активности,
трудолюбия.
Большое значение имеет и самостоятельная деятельность студентов, формы
которой необходимо продумать заранее и нацеливать на ее выполнение с первых занятий.
- самостоятельное изучение части теоретического материала и теоретическая подготовка к
практическим занятиям по предложенной в УМК основной и дополнительной учебной
литературе. Для помощи студентам рекомендованная литература указана к каждому
занятию, как лекционному, так и практическому. Средствами обучения является не только
базовый учебник, но и дополнительные пособия для организации самостоятельной работы
студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы,
сборники задач;
- домашние работы, для выполнения которых студенты имеют специальные тетради,
проверяемые к каждому занятию. Результаты выполнения домашнего задания
оцениваются баллами в технологической карте и учитываются при аттестации студентов.
- выполнение других заданий, которые представлены в программе и технологической
карте.
Дисциплина завершается зачетом в 7 семестре и экзаменом в 8 семестре.
Аннотация по дисциплине «Теория вероятностей, случайные процессы»
1. Цели освоения дисциплины (модуля): формирование систематизированных
знаний в области теории вероятностей и математической статистики, его месте и роли в
системе математических наук, использование в естественных науках, в школьном курсе
математики.
24
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Теория вероятностей, случайные процессы» относится к базовой
части профессионального цикла дисциплин направления (Б3.Б.10). Она характеризуется
содержательными связями с дисциплиной «Математический анализ». Изучение теории
вероятностей и математической статистики следует за изучением математического
анализа.
3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
а) общепрофессиональных компетенций:
- готовностью использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1)
б) профессиональных компетенций:
- способностью математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание
постановок классических задач математики (ПК-2);
- способность к проведению методических и экспертных работ в области математики (ПК11)
В результате изучения обучающийся должен знать:
- основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;
- различные подходы к определению вероятности (классический, аксиоматический,
геометрический, статистический);
- прикладной характер дисциплины;
- классические методы математической статистики, используемые при
планировании, проведении и обработке результатов экспериментов в педагогике и
психологии;
- прикладной характер дисциплины;
уметь:
- использовать математический аппарат при изучении и количественном описании
реальных случайных явлений и процессов;
- использовать точные и приближенные формулы теории вероятностей при
решении конкретных задач;
- проводить исследование основных понятий, вычислять вероятности, числовые
характеристики;
- доказывать основные свойства и теоремы теории вероятностей и случайных
процессов;
- решать задачи, относящиеся к этому курсу;
- анализировать полученные результаты, формировать выводы и заключения;
- применять методы математической статистики к решению задач;
- планировать процесс математической обработки экспериментальных данных;
- проводить практические расчеты по имеющимся экспериментальным
данным при использовании статистических таблиц и компьютерной поддержки
(включая пакеты прикладных программ);
- анализировать полученные результаты, формировать выводы и заключения;
владеть:
- вероятностными методами мышления и исследования;
- вероятностными, статистическими методами мышления и исследования;
25
- основными технологиями статистической обработки экспериментальных данных
на основе теоретических положений классической теории вероятности;
- навыками использования современных методов статистической обработки
информации для диагностирования достижений обучающихся и воспитанников.
приобрести опыт:
- распознавания в реальной ситуации вероятностных черт;
- в обработке эмпирических данных;
- в принятии правильных решений на основе результатов этой обработки.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 11 зачетных единиц.
5. Разработчики: ТГСПА, к.п.н., доцент
Т.И. Кушнир
26
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ЛЕКЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Раздел 1. Введение в теорию вероятностей.
Тема 1. Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение
вероятности.
- Случайное событие, примеры случайных событий;
- Достоверное событие, примеры;
- Невозможное событие, примеры;
- Противоположное событие, примеры;
- Несовместные события, примеры;
- Полная группа событий, примеры;
- Классическое определение вероятности события, примеры;
- Замечание о том, что вероятность события p(A) удовлетворяет неравенству:
0  p ( A)  1 .
Тема 2. Комбинаторные формулы и их применение к подсчету вероятности.
- Основное правило комбинаторики, его применение;
- Размещения (с повторениями, без повторений) из n элементов по m элементов, их
число, пример;
- Перестановки, их число, пример;
- Сочетания из n элементов по m элементов, их число, пример;
- Размещения данного состава, их число, пример.
Литература:
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
2. Пугачев В.С. Теория стохастических систем: Учеб. пособие / В.С. Пугачев, И.Н.
Синицын. - М.: Логос, 2004.
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб., Изд-во «Лань». 2007. – 272 с.
[1], [2, c. 13-32], [3, c. 8-37], [4].
Раздел 2. Правила сложения и умножения вероятностей. Полная вероятность.
Тема 3. Правила сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.
- Теорема сложения вероятностей с доказательством;
- Следствия из теоремы сложения;
- Понятие условной вероятности, примеры;
- Теорема умножения вероятностей с доказательством;
- Понятие независимых событий, примеры;
- Теорема умножения вероятностей независимых событий;
- Расширенная теорема сложения;
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- Вывод формулы полной вероятности, пример;
- Вывод формулы переоценки гипотез (формулы Байеса), пример.
Литература:
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
2. Пугачев В.С. Теория стохастических систем: Учеб. пособие / В.С. Пугачев, И.Н.
Синицын. - М.: Логос, 2004.
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
27
4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб., Изд-во «Лань». 2007. – 272 с.
[1], [2, c. 32-73], [3, c. 37-45], [4].
Раздел 3. Повторение испытаний. Схема Бернулли.
Тема 5. Повторение испытаний. Схема Бернулли. Наиболее вероятное число
успехов.
- Вывод формулы Бернулли, пример;
- Вывод формулы для вычисления наиболее вероятного числа успехов;
Тема 6. Обобщение схемы Бернулли. Задача о безвозвратной выборке.
- Обобщение схемы Бернулли, пример;
- Задача о безвозвратной выборке.
Литература:
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
2. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
3. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб., Изд-во «Лань». 2007. – 272 с.
[1], [2, c. 47-50], [3].
Раздел 4. Асимптотические формулы. Нормальная функция распределения.
Тема 7. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Плотность вероятности
нормального распределения и нормальная функция распределения.
- Локальная теорема Муавра-Лапласа (с доказательством), пример;
- Функция плотности вероятности нормального распределения, ее свойства;
- Нормальная функция распределения (функция Лапласа), ее свойства;
Тема 8. Теорема Пуассона. Интегральная теорема Муавра -Лапласа.
- Теорема Пуассона (с доказательством), пример;
- Интегральная теорема Муавра-Лапласа (с доказательством), пример.
Литература:
1.Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
2.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
3.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб., Изд-во «Лань». 2007. – 272 с.
[1], [2, c. 51-60], [3].
Раздел 5. Случайные величины. Примеры распределений.
Тема 9. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- Понятие дискретной случайной величины, примеры и способы задания;
- Понятие непрерывной случайной величины, примеры;
Тема 10. Функция распределения и плотность вероятности.
- Функция распределения случайной величины, ее свойства;
- Особенности функции распределения для дискретной случайной величины,
пример ее нахождения;
- Плотность вероятности случайной величины, пример;
Тема 11. Основные примеры дискретных и непрерывных распределений.
- Основные примеры дискретных и непрерывных распределений (равномерное,
биномиальное, нормальное, Пуассона).
Литература:
1.Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
28
2.Пугачев В.С. Теория стохастических систем: Учеб. пособие / В.С. Пугачев, И.Н.
Синицын. - М.: Логос, 2004.
3.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
5. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб., Изд-во «Лань». 2007. – 272 с.
[1], [2, c. 73-95, 117-138], [3, c. 60-72], [4].
Раздел 6. Числовые характеристики случайных величин.
Тема 12. Числовые характеристики случайных величин - математическое
ожидание, дисперсия и их свойства.
- Понятие математического ожидания для дискретной и непрерывной случайных
величин, примеры;
- Свойства математического ожидания;
- Понятие дисперсии для дискретной и непрерывной случайных величин, примеры;
- Упрощенный способ вычисления дисперсии, пример;
- Свойства дисперсии;
- Понятие среднего квадратического отклонения;
Тема 13. Числовые характеристики случайных величин, распределенных по
равномерному, биномиальному, нормальному и закону Пуассона.
- Математические ожидания основных случайных величин, рассмотренных в
разделе 5;
- Дисперсия основных случайных величин, рассмотренных в разделе 5;
Тема 14. Степень неопределенности дискретного распределения. Понятие об
энтропии.
- Понятие об энтропии дискретного распределения - степени неопределенности, ее
вычисление, примеры.
Литература:
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
2. Пугачев В.С. Теория стохастических систем: Учеб. пособие / В.С. Пугачев, И.Н.
Синицын. - М.: Логос, 2004.
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб., Изд-во «Лань». 2007. – 272 с.
[1], [2, c. 96-116, 117-138], [3, c. 73-103], [4].
Раздел 7. Многомерные случайные величины.
Тема 15. Двумерная случайная величина, ее функция распределения и
плотность вероятности. Нормальное распределение двумерной случайной величины.
- Понятие дискретной двумерной случайной величины, ее закон распределения;
- Понятие непрерывной двумерной случайной величины;
- Функция распределения, плотность вероятности двумерной случайной величины;
- Нормальное распределение двумерной случайной величины;
Тема 16. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- Числовые характеристики системы двух случайных величин (математическое
ожидание, дисперсия, центральный момент, корреляционный момент, коэффициент
корреляции, некоторые свойства и ролдь коэффициента корреляции).
Литература:
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
2. Пугачев В.С. Теория стохастических систем: Учеб. пособие / В.С. Пугачев, И.Н.
Синицын. - М.: Логос, 2004.
29
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб., Изд-во «Лань». 2007. – 272 с.
[1], [2, c. 161-233], [3, c. 104-144], [4].
Раздел 8. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
Тема 17. Неравенство Чебышева. Различные формы закона больших чисел.
- Неравенство Чебышева с доказательством;
- Теорема Чебышева с доказательством;
Тема 18. Центральная предельная теорема теории вероятностей. Применения
центральной предельной теоремы.
- Теорема Маркова;
- Центральная предельная теорема Ляпунова.
Литература:
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
2. Пугачев В.С. Теория стохастических систем: Учеб. пособие / В.С. Пугачев, И.Н.
Синицын. - М.: Логос, 2004.
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб., Изд-во «Лань». 2007. – 272 с.
[1], [2, c. 264-391], [3, c. 162-175], [4].
Раздел 9. Основные понятия теории случайных процессов. Простейшие
случайные процессы.
Тема 19. Понятие случайного процесса. Классификация случайных процессов.
Основные характеристики случайного процесса.
- Понятие случайной функции (процесса), примеры;
- Понятие сечения случайного процесса;
- Классификация случайных процессов, примеры;
- Основные характеристики случайного процесса (математическое ожидание, его
свойства; дисперсия, ее свойства; корреляционная функция, ее свойства; взаимная
корреляционная функция, ее свойства; нормированная взаимная корреляционная
функция).
Тема 20. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов.
Дифференцирование и интегрирование случайных процессов.
- Линейные (однородные и неоднородные) и нелинейные преобразования
случайных процессов;
- Дифференцирование и интегрирование случайных процессов, примеры.
Литература:
1. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
[1 c. 176-211].
Раздел 10. Марковские случайные процессы.
Тема 21. Марковские случайные процессы. Дискретный марковский процесс.
Цепь Маркова.
- Процесс с дискретными состояниями, процесс с непрерывным временем,
марковский процесс;
- Марковский процесс как модель многих реальных процессов;
- Шаг процесса;
- Марковская цепь; однородная цепь Маркова;
30
- Матрица перехода системы, примеры.
Тема 22. Непрерывный марковский процесс. Уравнения Колмогорова.
- Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем;
- Уравнения Колмогорова и их значение, примеры.
Литература:
1. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
[1, c. 176-211].
Раздел 11. Основные понятия математической статистики.
Тема 23. Эмпирический закон распределения, гистограмма
- Основные типы задач математической статистики;
- Основные понятия математической статистики: выборочная и генеральная
совокупности, объем выборки, эмпирический закон распределения, вариационный ряд;
- Таблица абсолютных частот, таблица относительных частот, примеры их
построения;
- Полигон частот и гистограмма, как их изобразить, привести примеры.
Тема 24. Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики
статистического распределения.
- Понятие эмпирической функции распределения;
- Построение графика эмпирической функции распределения;
- Свойства эмпирической функции распределения;
- Пример на нахождение и построение графика эмпирической функции
распределения по данным выборки;
- Числовые характеристики статистического распределения: среднее арифметическое
наблюдаемых значений случайной величины, средняя взвешенная, статистическая
дисперсия, выборочная дисперсия, статистические начальные и центральные моменты к-го
порядка, мода, медиана, размах варьирования, примеры их вычисления.
Литература:
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
2. Пугачев В.С. Теория стохастических систем: Учеб. пособие / В.С. Пугачев, И.Н.
Синицын. - М.: Логос, 2004.
[1], [2, c. 392-400], [3, c. 212-224].
Раздел 12. Теория оценок. Нахождение неизвестных параметров
распределения.
Тема 25. Эмпирические оценки параметров распределения.
- Требования, предъявляемые к эмпирическим оценкам параметров распределения;
- Эмпирическая средняя и выполнение требований для нее;
- Эмпирическая дисперсия и проверка требований для нее;
- Исправленная эмпирическая дисперсия;
Тема 26. Доверительные вероятности и доверительные интервалы.
- Доверительная вероятность;
- Доверительный интервал и их нахождение, примеры.
Тема 27. Оценка неизвестной вероятности по частоте.Метод наименьших
квадратов для оценки параметров функциональной зависимости между переменными.
- Оценка неизвестной вероятности по частоте (вывод формулы).
- Суть метода наименьших квадратов для оценки параметров функциональной
зависимости между переменными в общем виде;
- Разбор метода наименьших квадратов на конкретном примере.
Литература:
31
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
2. Пугачев В.С. Теория стохастических систем: Учеб. пособие / В.С. Пугачев, И.Н.
Синицын. - М.: Логос, 2004.
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
[1], [2, c. 417-448], [3, c. 225-243], [3 (дополн. лит-ра), с. 171-177].
Раздел 13. Элементы теории корреляции.
Тема 28. Корреляция и регрессия.
- Вероятностная связь между случайными величинами;
- Корреляционный момент и коэффициент корреляции;
Тема 29. Линейная корреляция.
- Линейная корреляция;
- Эмпирические прямые регрессии; их нахождение и изображение на плоскости.
Тема 30. Метод наименьших квадратов о сглаживании функциональной
зависимости.
- Суть метода наименьших квадратов о сглаживании функциональной зависимости.;
- Пример.
Литература:
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
2. Пугачев В.С. Теория стохастических систем: Учеб. пособие / В.С. Пугачев, И.Н.
Синицын. - М.: Логос, 2004.
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
[1], [3, c. 124-138], [3(дополн. лит-ра), с. 177-185], [1(дополн. лит-ра), с. 223-233].
Раздел 14. Проверка статистических гипотез.
Тема 31. Общие принципы проверки статистических гипотез.
- Основные понятия: статистическая гипотеза, нулевая гипотеза, альтернативная
гипотеза, статистическое решение, уровень значимости.
- Основные принципы проверки гипотез; ошибки, связанные с этим;
- Методика проверки гипотез;
- Критерии проверки гипотез.
Тема 32, 33. Критерии согласия Колмогорова,  2 Пирсона и Романовского.
- Критерии согласия Колмогорова,  2 Пирсона и Романовского, их суть и
применение в конкретном опыте.
- Нахождение законов распределения случайных величин на основе опытных данных;
- Проверка согласованности эмпирического и теоретического распределений.
Литература:
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики.- СПБ., Изд-во «Лань». – 2006. – 256 с.
2. Пугачев В.С. Теория стохастических систем: Учеб. пособие / В.С. Пугачев, И.Н.
Синицын. - М.: Логос, 2004.
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных процессов. - СПб, Изд-во «Лань». – 2007. – 448 с.
[1], [2, c. 401-409], [3, c. 244- 254], [1 (дополн. лит-ра), с. 213-222].
32
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ) ЗАНЯТИЙ
В седьмом семестре большая часть занятий посвящены методам нахождения
вероятности происхождения события. Обучающимся необходимо знать все определения
вероятности и применять соответствующее в конкретной ситуации, в частности
классическое определение и геометрическое. При применении классического определения
нужно помнить, что благоприятное и общее число успехов можно находить по-разному,
например, непосредственным подбором, с помощью комбинаторных формул или,
используя формулы из теории чисел. При применении геометрического определения
нужно вспомнить формулы вычисления длины отрезка, площадей плоских фигур, объемов
тел. Обучающимся нужно обратить внимание на вычисление вероятности того, что
событие произойдет хотя бы один раз. Быстрее эту вероятность вычислить, если
вспомнить, что вероятности противоположных событий в сумме составляют единицу.
Обучающимся нужно помнить, что вероятность не всегда можно вычислить с помощью
точных формул и, соответственно, уметь правильно подбирать асимптотические
формулы.
Несколько занятий посвящены одномерным случайным величинам. Обучающиеся
должны отличать дискретную случайную величину от непрерывной, следовательно
понимать, что ДСВ можно задать с помощью таблицы и также можно указать функцию
распределения, а НСВ только с помощью функции распределения и, соответственно,
плотности вероятности. Обучающиеся должны четко различать дифференциальный и
интегральный законы распределения.
Несколько занятий посвящены многомерным случайным величинам, для
вычисления плотности вероятности, числовых характеристик придется вычислять
двойные интегралы, поэтому студенты должны знать таблицу интегралов, основные
способы интегрирования: метод замены переменной и интегрирования по частям.
Решение задач математической статистики требует умения вычислять вероятность
события, следовательно обучающийся должен уметь находить вероятность события
наиболее удобным способом, должен различать дискретные и непрерывные случайные
величины, уметь находить закон распределения случайной величины, функцию
распределения и плотность вероятности, числовые характеристики. Обучающийся должен
уметь применять закон больших чисел при вычислении вероятности. Основной предмет
математической статистики – это количественный анализ массовых явлений.
Математическая статистика – это наука об обработке опытов и принятии правильных
статистических решений на основе результатов этих опытов. Следовательно, в задачах
матстатистики придется столкнуться с объемными расчетами, и делать эти расчеты можно
с помощью компьютера, например, в табличном процессоре Microsoft Excel.
Основная литература:
1. Андрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Просвещение,
2005.
Тема № 1. Вычисление вероятностей с помощью классического определения.
Геометрическая вероятность.
План.
1. Самостоятельная работа (диагностирующий контроль);
33
2. Повторение теоретического материала: классическое определение вероятности;
геометрическое определение вероятности;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 52, 55, 58, 59, 63, 64, 71, 77, 78, 80, 81, 83.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить основные формулы комбинаторики;
- выполнить задания из [1]: № 53, 54, 65, 73, 79, 82, 84, 88, 90, 91.
Практическое занятие № 2. Комбинаторные формулы и их применение к
подсчету вероятности.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: основные формулы комбинаторики - по
необходимости записать их;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 134, 135, 136, 141, 142, 144.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить теоремы сложения, умножения вероятностей, применение формулы
полной вероятности и формулы Байеса.
- выполнить задания из [1]: № 102, 104, 107, 115, 137, 143, 149.
Практическое занятие № 3. Правила сложения и умножения вероятностей.
Условная вероятность.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: теоремы сложения, умножения
вероятностей, следствия из них, независимые события;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 169, 172, 173, 175, 176, 196.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить формула полной вероятности, формула Байеса;
- выполнить задания из [1]: № 170, 174, 177, 178, 197.
Практическое занятие № 4. Применение формулы полной вероятности и
формулы Байеса.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: формула полной вероятности, формула
Байеса - по необходимости записать их;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 200, 204, 205, 211, 217.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить формулу Бернулли, ее обобщение и задачу о безвозвратной выборке;
- выполнить задания из [1]: № 201, 203, 225, 226, 230.
Практическое занятие № 5. Применение формулы Бернулли к подсчету
вероятности.
План.
34
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: формула Бернулли;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 231, 233, 234, 235, 237, 239, 240;
4. Постановка домашнего задания:
- повторить обобщение формулы Бернулли и задачу о безвозвратной выборке;
- выполнить задания из [1]: № 232, 236, 238, 241, 242.
Практическое занятие № 6. Применение обобщения формулы Бернулли к
подсчету вероятности. Задача о безвозвратной выборке.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: формула Бернулли, ее обобщение и
задача о безвозвратной выборке;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 260, 265, 267, 279.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить асимптотические формулы для вычисления вероятности;
- выполнить задания из [1]: № 261, 266, 268, 280.
Практическое
вероятностей.
занятие
№
7.
Асимптотические
формулы
в
теории
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: локальная теорема Муавра-Лапласа,
функция плотности вероятности нормального распределения, ее свойства; нормальная
функция распределения (функция Лапласа), ее свойства; теорема Пуассона, интегральная
теорема Муавра-Лапласа.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 290, 291, 296, 300, 304, 306.
4. Постановка домашнего задания:
- подготовиться к контрольной работе: повторить предыдущие темы, вспомнить на
все известные способы подсчета вероятности события;
- выполнить задания из [1]: № 292, 295, 197, 301, 303.
Практическое
вероятностей.
занятие
№
8.
Асимптотические
формулы
в
теории
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: локальная теорема Муавра-Лапласа,
функция плотности вероятности нормального распределения, ее свойства; нормальная
функция распределения (функция Лапласа), ее свойства; теорема Пуассона, интегральная
теорема Муавра-Лапласа.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 290, 291, 296, 300, 304, 306.
4. Постановка домашнего задания:
- подготовиться к контрольной работе: повторить предыдущие темы, вспомнить на
все известные способы подсчета вероятности события;
35
- выполнить задания из [1]: № 292, 295, 197, 301, 303.
Практическое занятие №9. Случайная величина и закон ее распределения.
План.
1. Повторение теоретического материала: понятие дискретной, непрерывной
случайной величин, закон распределения дискретной случайной величины.
2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 324, 326, 327, 329, 330, 333.
3. Постановка домашнего задания:
- повторить функция распределения и плотность вероятности
- выполнить задания из [1]: № 325, 328, 331, 338, 340.
Практическое занятие № 10. Случайная величина, ее функция распределения.
План.
1. Повторение теоретического материала: понятие дискретной, непрерывной
случайной величин, ее функция распределения.
2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 353, 355, 356, 361, 365.
3. Постановка домашнего задания:
- повторить числовые характеристики случайной величины - математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, их вычисление и свойства;
- выполнить задания из [1]: № 354, 357, 358, 362, 363.
Практическое занятие № 11. Случайная величина, ее плотность вероятности.
План.
1. Повторение теоретического материала: понятие дискретной, непрерывной
случайной величин, плотность вероятности.
2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 372 (1, 2, 3), 373, 380.
3. Постановка домашнего задания:
- повторить числовые характеристики случайной величины - математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, их вычисление и свойства;
- выполнить задания из [1]: № 372 (4, 5, 6), 374, 377.
Практические занятия № 12, 13. Случайная величина и ее числовые
характеристики.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: числовые характеристики случайной
величины - математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, их
вычисление и свойства;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 444 (1, 3), 445 (1), 446 (а), 478 (1, 3), 479 (1, 2).
4. Постановка домашнего задания:
- повторить материал по многомерным случайным величинам и их числовым
характеристикам;
- выполнить задания из [1]: № 444 (2, 4), 445 (2), 446 (б), 478 (2, 4), 479 (3, 4), 481.
Практическое занятие № 14. Контрольная работа .
36
Практическое занятие № 15. Двумерная случайная величина и закон ее
распределения.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: двумерная случайная величина
(дискретная, непрерывная), ее закон распределения.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 390, 392, 394, 408, 413.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить материал: числовые характеристики двумерных случайных величин
(математическое ожидание, дисперсия, корреляционный момент, коэффициент
корреляции) ;
- выполнить задания из [1]: № 391, 393, 395.
Практическое
случайных величин.
занятие
№
16.
Числовые
характеристики
двумерных
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: двумерная случайная величина
(дискретная, непрерывная), числовые характеристики (математическое ожидание,
дисперсия, корреляционный момент, коэффициент корреляции).
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 571 (а), 572 (а), 573 (а), 581.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить материал по закону больших чисел и центральной предельной
теоремы;
- выполнить задания из [1]: № 571 (б), 572 (б), 573 (2), 582.
Практические занятия 17, 18. Применение закона больших чисел и
центральной предельной теоремы.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: неравенство Чебышева; теорема
Чебышева с доказательством; теорема Маркова; центральная предельная теорема Ляпунова.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 512, 514, 516, 518, 520, 523, 525, 528.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить материал по теории случайных процессов;
- выполнить задания из [1]: № 513, 515, 517, 519, 521, 526, 529.
Практическое занятие № 19, 20. Случайные процессы, их числовые
характеристики.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие случайной функции (процесса),
числовые характеристики случайного процесса, дифференцирование и интегрирование
случайного процесса.
3. Примерные типы задач:
37
- Случайный процесс определяется формулой X(t)=Vsint, где t≥0, V - случайная
величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [2; 4]. Найти: а) сечение

случайного процесса X(t) в момент времени t= ; б) реализацию случайного процесса при
4
одном испытании, в котором случайная величина V приняла значение 2.
- Случайный процесс определяется формулой X(t)=Vsint, где t≥0, V - случайная
величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [2; 4]. Найти: а)
математическое ожидание случайного процесса; б) дисперсию и среднее квадратическое
отклонение; в) корреляционную функцию; г) ноормированную корреляционную
функцию.
- Какие из приведенных ниже случайных процессов являются стационарными (в
широком смысле): а) X(t)=Vsint, где t≥0, V~N[2, 4] - случайная величина; б) X(t)=sin(t+φ),
где t≥0, φ~R[0; 2π] - случайная величина; в) X(t)=Ycos3t, Y- случайная величина; г)
X(t)=Acos(t+φ), где t≥0, φ-const, A - случайная величина.
- Известны характеристики двух некоррелированных случайных процессов X(t) и
Y(t):
Найти
KY (t1; t2 )  2et1 t 2 .
mX (t )  t  2 ,
K X (t1; t2 )  t1  t2 ;
mY (t )  t  3 ;
математическое ожидание и корреляционную функцию случайного процесса Z(t)=
X(t)+Y(t).
Практическое занятие № 21, 22. Линейные и нелинейные преобразования
случайных процессов.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Изучить и законспектировать материал по данной теме, предложенный
индивидуально для каждого.
Практические занятия № 23, 24. Дифференцирование и интегрирование
случайных процессов.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие случайной функции (процесса),
числовые характеристики случайного процесса, дифференцирование и интегрирование
случайного процесса.
3. Примерные типы задач:
- Случайный процесс определяется формулой Y(t)=Xe  t , t>0, X~N[3, 1]. Найти
dX (t )
математическое ожидание и корреляционную функцию случайного процесса Y (t ) 
dt
t
; Y (t )   X ( )d .
0
- Пусть X (t ), t  0 – СП с нулевым МО и КФ вида K (t , s )  e st . Доказать, что
данный СП бесконечно дифференцируем в среднем квадратическом.
- Исследовать на дифференцируемость в среднем квадратическом СП
X (t )  e  at sin ( t  ), где ,  – известные числа,  – СВ, равномерно распределенная на
отрезке [0, 2], t  0.
Практические занятия № 25, 26. Спектральное разложение стационарного
случайного процесса. Спектральная плотность случайного процесса.
План.
38
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие случайной функции (процесса),
спектральное разложение стационарного случайного процесса, спектральная плотность
случайного процесса.
3. Примерные типы задач:
- Найти спектральную плотность СП X (t ) , корреляционная функция которого
имеет вид
K (t )  ce  |t | , c, ,  0, t  0.
- Найти корреляционную функцию случайного процесса со спектральной
0,   0
плотностью S ( )  
.
S0 ,   0
- Известно, что спектральная плотность стационарного случайного процесса X(t)
8
имеет вид S ( ) 
. Найти дисперсию случайного процесса X(t).
 (1   2 )
Практические занятия № 27, 28. Стационарный белый шум.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие случайной функции (процесса),
стационарный белый шум.
3. Примерные типы задач:
- Пусть X и Y – независимые одинаково распределенные СВ, принимающие
значения –1 и +1 с вероятностями 1/2. Исследовать на стационарность СП
Z (t )  X cos  t   Y sin  t , t  0 .
- Пусть X (t ), t  0 – пуассоновский СП с параметром . Доказать, что СП
Y (t )  X (t  1)  X (t ), t  1 является стационарным в широком смысле.
- Является ли стационарной последовательность попарно независимых одинаково
распределенных СВ?
- Пусть  (t ) – непрерывная периодическая функция с периодом T, X – СВ,
равномерно распределенная на отрезке [0, T ] . Исследовать СП Y (t )   (t  X ) на
стационарность.
- Доказать, что сумма независимых стационарных СП является стационарным СП.
- Пусть X (t ) – стационарный СП, Y – СВ. Является ли СП Z (t )  X (t )  Y
стационарным? Доказать, что если стационарный СП является марковским, то его КФ
имеет вид ce  a |t | , где   0, c  0 – некоторые постоянные.
Практические занятия № 29, 30. Марковские случайные процессы.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие случайной функции (процесса),
процесс с дискретными состояниями, процесс с непрерывным временем, марковский
процесс; марковский процесс как модель многих реальных процессов; марковская цепь;
матрица перехода системы.
3. Примерные типы задач:
- Пусть { X n } – последовательность независимых СВ:
39
X n  N (0, 1). Является ли последовательность СВ
{Yn }:Y1  X 1 , Y2  rX 1  ( 1  r 2 )1 / 2 X 2 , ..., Yn  r n 1 X 1 
 ( 1  r 2 )1 / 2 ( r n  2 X 2  r n  3 X 3  ...  X n ), ..., где |r|  1,
стационарной и марковской?
- Всякая ли стохастическая матрица может быть матрицей вероятностей перехода
за два шага некоторой дискретной марковской цепи (ДМЦ)?
- Известно, что ДМЦ полностью определяется начальным распределением и
матрицей вероятностей перехода за один шаг. Определяется ли ДМЦ начальным
распределением и матрицей вероятностей перехода за два шага?
- Доказать, что стохастическая матрица размера 2  2 является матрицей
вероятностей перехода за два шага некоторой ДМЦ тогда и только тогда, когда сумма ее
диагональных элементов не меньше единицы.
- ДМЦ имеет следующую матрицу вероятностей перехода за один шаг:
P  1 b a 1 a b .


Найти матрицу вероятностей перехода за n шагов и предел при n   .
- Пусть X 0 , X 1 , . .., – последовательность независимых одинаково распределенных
целочисленных СВ. Доказать, что она образует ДМЦ. Построить матрицу вероятностей
перехода.
- Пусть { X n } – последовательность независимых одинаково распределенных СВ.
Являются ли марковскими последовательностями СВ:
а)Yn  X n  X n 1 , где P( X n  1)  p, P( X n   1) 1  p;
n
б) Z n   X i ?
i 1
Практическое занятие №31. Эмпирический закон распределения. Таблица
частот. Полигон и гистограмма.
План.
1. Повторение теоретического материала: основных понятий матстатистики
(выборочная и генеральная совокупности, объем выборки, эмпирический закон
распределения, вариационный ряд); таблица абсолютных частот, таблица относительных
частот, примеры их построения; полигон частот и гистограмма, как их изобразить.
2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1]: № 531,
534, 536, 537 (1), 538.
3. Постановка домашнего задания:
- повторить теорию по теме 2: "Эмпирическая функция распределения. Числовые
характеристики статистического распределения";
- выполнить задания из [1]: № 532, 535, 537 (2), 541.
Практическое занятие №32. Эмпирическая функция распределения.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие эмпирической функции
распределения; построение графика эмпирической функции распределения; свойства
эмпирической функции распределения.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1 (дополн.
лит-ра)]: № 382, 412, 414, 418;
4. Постановка домашнего задания:
40
- повторить теоретический материал по теме 2:
"Эмпирическая функция
распределения. Числовые характеристики статистического распределения";
- выполнить задания из [1(дополн. лит-ра)]: № 383, 413, 415, 419 (а).
Практическое занятие № 33, 34. Числовые характеристики статистического
распределения.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие эмпирической функции
распределения; построение графика эмпирической функции распределения; свойства
эмпирической функции распределения; числовые характеристики статистического
распределения: среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины,
средняя взвешенная, статистическая дисперсия, выборочная дисперсия, статистические
начальные и центральные моменты к-го порядка, мода, медиана, размах варьирования;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1 (дополн.
лит-ра)]: № 412, 414, 418;
4. Постановка домашнего задания:
- повторить теоретический материал по теме 3: "Эмпирические оценки параметров
распределения";
- выполнить задания из [1(дополн. лит-ра)]: № 413, 415, 419 (а).
Практическое занятие №35. Эмпирические оценки параметров распределения.
Оценка неизвестной вероятности по частоте.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: требования, предъявляемые к
эмпирическим оценкам параметров распределения; эмпирическая средняя и выполнение
требований для нее; эмпирическая дисперсия и проверка требований для нее; исправленная
эмпирическая дисперсия;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1]: № 542,
544, 548, 550(1).
4. Постановка домашнего задания:
- повторить теорию по теме 2: "Доверительные вероятности доверительные
интервалы";
- выполнить задания из [1]: № 543, 545, 549, 550 (2).
Практическое занятие №36, 37. Доверительные вероятности, доверительные
интервалы.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2.
Повторение
теоретического
материала:
доверительная вероятность,
доверительный интервал и их нахождение;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1]: №
554(1,2), 555(1), 556, 559.
4. Постановка домашнего задания:
- выполнить задания из [1]: № 554(3), 555(2), 557, 560.
41
Практическое занятие №38. Метод наименьших квадратов для оценки
параметров функциональной зависимости между переменными.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: суть метода наименьших квадратов для
оценки параметров функциональной зависимости между переменными.
3. Задачи для самостоятельного решения:
- Данные опыта представлены таблицей:
X
2
4
6
8
10
Y
4,5 7
8
7,5
9
Полагая, что X и Y связаны зависимостью вида Y=a+bX, найти коэффициенты a, b
методом наименьших квадратов.
- Данные опыта представлены таблицей:
X
0
2
4
6
8
10
Y
5
-1
0,5
1,5
4,5 8,5
Полагая, что X и Y связаны зависимостью вида Y=a+bX+сX², найти коэффициенты a,
b и с методом наименьших квадратов.
4. Постановка домашнего задания:
- выполнить задание:
При исследовании некоторой химической реакции через каждые 5 минут
определялось количество А вещества, оставшееся в системе. Результаты измерения
приведены в таблице, где даны: время t после начала реакции в минутах и количество А
вещества в процентах:
t
7
12
17
22
27
32
37
A
87,3 72,9 63,2 54,7 47,5 41,4 36,3
Полагая, что t и А связаны зависимостью А=a+bt+сt², найти коэффициенты a, b и с
методом наименьших квадратов. Определить, какой процент вещества остается в системе
по истечении 25 минут после начала реакции.
Практическое занятие №39, 40. Коэффициент корреляции.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: вероятностная связь между случайными
величинами; корреляционный момент и коэффициент корреляции;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1]: № 571(а),
572(а), 574(а), 576, 587(1).
4. Постановка домашнего задания:
- повторить теорию по темам 5, 6: "Элементы теории корреляции";
- выполнить задания из [1]: № 571(б), 572(б), 574(б), 587(2).
Практическое занятие № 41, 42. Линейная корреляция. Метод наименьших
квадратов.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: линии регрессии; метод наименьших
квадратов о сглаживании функциональной зависимости.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1 (дополн.
лит-ра)]: № 430, 431(а), 432, 433(а,б).
42
4. Постановка домашнего задания:
- повторить теорию по темам 7,8,9: "Проверка статистических гипотез"
- выполнить задания из [1(дополн. лит-ра)]: № 431(б), 433(в,г).
Практическое занятие № 43, 44, 45. Нахождение законов распределения
случайных величин на основе опытных данных.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: статистическая гипотеза, нулевая
гипотеза, альтернативная гипотеза, статистическое решение, уровень значимости; основные
принципы проверки гипотез; ошибки, связанные с этим; методика проверки гипотез;
критерии проверки гипотез.
3. Теоретический материал закрепить на примерах:
- Дано статистическое распределение
Значения
СВ
(0;10)
(10;20)
(20;30)
(30;40)
(40;50)
(50;60)
Частота
11
14
15
10
14
16
Выравнять опытные данные, применив закон распределения с равномерной
плотностью.
- Дано статистическое распределение
Значения
СВ
0
1
2
3
4
5
6
7
Частота
7
21
26
21
13
7
3
1
Показать, что оно близко к распределению Пуассона, и установить зависимость
между значениями случайной величины и вероятностями этих значений.
- Дано статистическое распределение
СВ
(0;3)
(3;6)
(6;9)
(9;12)
(12,15)
(15;18)
(18;21)
(21;24)
(24;27)
(27;30)
Частот
а
1
3
4
6
11
10
7
5
2
1
Показать, что оно близко к нормальному распределению, и построить гистограмму
его относительных частот.
4. Постановка домашнего задания:
- выполнить задания:
1) Дано статистическое распределение
Значения
СВ
(-1;1)
(1;3)
(3;5)
(5;7)
(7;9)
Частота
6
7
4
5
8
Выравнять опытные данные, применив закон распределения с равномерной
плотностью.
2) Дано статистическое распределение
Значения
СВ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Частота
1
3
8
14
17
17
15
10
7
5
2
1
43
Показать, что оно близко к распределению Пуассона, и установить зависимость
между значениями случайной величины и вероятностями этих значений.
3) Дано статистическое распределение
(1;2)
(2;3)
(3;4)
(4;5)
(5;6)
(6;7)
(7;8)
(8;9)
(9;10)
(10;11)
(11;12
)
(12;13)
(13;14
)
(14;1
5)
4
4
8
16
18
20
30
28
22
18
14
10
4
4
Показать, что оно близко к нормальному распределению, и построить гистограмму
его относительных частот.
Практическое занятие № 46, 47, 48. Проверка согласованности эмпирического
и теоретического распределений.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: статистическая гипотеза, нулевая
гипотеза, альтернативная гипотеза, статистическое решение, уровень значимости; основные
принципы проверки гипотез; ошибки, связанные с этим; методика проверки гипотез;
критерии проверки гипотез.
3. Теоретический материал закрепить на примерах:
- Проверить, согласуется ли статистическое распределение
Значения
(-1;1)
(1;3)
(3;5)
(5;7)
СВ
Частота
6
7
4
(7;9)
5
8
с теоретическим, имеющим равномерную плотность (с помощью критерия Пирсона,
Романовского).
- Дано статистическое распределение
СВ
(0;3)
(3;6)
(6;9)
(9;12)
(12,15)
(15;18)
(18;21
)
(21;24)
(24;27)
(27;30)
Часто
та
1
3
4
6
11
10
7
5
2
1
Применить критерии Пирсона и Романовского для установления правдоподобности
гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
- Дано статистическое распределение
Значения
СВ
0
1
2
3
4
5
6
7
Частота
7
21
26
21
13
7
3
1
Оценить
степень
согласованности
статистического
распределением Пуассона (с помощью критерия Колмогорова).
4. Постановка домашнего задания:
- выполнить задания:
1) Дано статистическое распределение:
Значения
СВ
Частота
распределения
с
(0;5) (5;10) (10;15) (15;20) (20;25) (25;30) (30;35) (35;40) (40;45) (45;50)
2
12
8
4
14
6
10
2
1
11
Выяснить, согласуется ли это распределение с теоретическим, имеющим
равномерную плотность (с помощью критерия Пирсона, Романовского).
44
2) Дано статистическое распределение
(1;2)
(2;3)
(3;4)
(4;5
)
(5;6)
(6;7)
(7;8)
(8;9)
(9;10
)
(10;11)
(11;1
2)
(12;13
)
(13;1
4)
(14;1
5)
4
4
8
16
18
20
30
28
22
18
14
10
4
4
Применить критерии Пирсона и Романовского для установления правдоподобности
гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
3) Дано статистическое распределение
Значения
СВ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Частота
1
3
8
14
17
17
15
10
7
5
2
1
Оценить
степень
согласованности
статистического
распределением Пуассона (с помощью критерия Колмогорова).
распределения
с
45
2.2. Методические указания к практическим занятиям
Дисциплина «Теория вероятностей, случайные процессы» изучается в 7 и 8
семестрах. По окончании дисциплины предусмотрены зачет в 7 семестре и экзамен в 8
семестре.
Общая трудоемкость дисциплины по учебному плану составляет 396 часов (11
зачетных единиц): на аудиторные занятия отводится 162 часов, из них лекций 66 часов,
практические занятия составляют 96 часов.
Текущий контроль успеваемости организован в виде домашних работ по каждой
теме.
Допуском для сдачи зачета является посещение всех занятий (лекционных и
практических), выполнение домашних работ, предоставление конспектов по темам,
выносимых на самостоятельное изучение, выполнение итогового теста.
Зачет выставляется в соответствии с больно-рейтинговой системой оценки знаний
студентов, в том случае, если обучающийся набрал не менее 61 балла (из 100).
46
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
По дисциплине «Теория вероятностей, случайные процессы» (7, 8 семестры) общая
трудоёмкость –11 зач. ед. (396 часов), на аудиторные занятия в 7 семестре отводится 72
часа, из них 36 часов – лекции, 36 часов – практические; 74 часа - самостоятельная работа,
2 часа - КСР, 36 часов - выполнение курсовой работы. На аудиторные занятия в 8 семестре
отводится 90 часов, из них 30 часов – лекции, 60 часов – практические; 120 часов самостоятельная работа, 2 часа - КСР. В 7 семестре предусмотрена контрольная работа,
курсовая работа и зачет, в 8 семестре - экзамен. Охватить весь курс на аудиторных
занятиях нет возможности, поэтому часть материала выносится для самостоятельного
изучения. Какие виды самостоятельной работы? Это: изучение и конспектирование
литературы, подготовка к практическим занятиям, подготовка к контрольной работе,
решение задач, сдача коллоквиума.
№
раздела
1
Тематический план самостоятельной работы
Тема
Кол-во
Формы текущего контроля
часов
успеваемости
Самостоятельное
изучение
и
Введение в теорию вероятностей.
5
конспектирование по теме: «Разные
определения
вероятности
(геометрическое, аксиоматическое,
статистическое)».
Домашняя работа № 1
Устный опрос
5
Случайные величины. Примеры
распределений
8
6
Числовые характеристики случайных
величин.
5
7
Многомерные случайные величины.
8
9
Основные понятия теории случайных
процессов. Простейшие случайные
процессы
10
10
Марковские случайные процессы.
Самостоятельное
изучение
и
конспектирование темы: «Законы
распределения случайных величин
(закон Коши, закон арксинуса)».
Домашняя работа №2
Устный опрос
Самостоятельное изучение темы:
«Вычисление
числовых
характеристик случайных величин,
распределенных по закону Коши и
закону арксинуса».
Письменный опрос
Конспект по теме: «Теоремы о
математическом
ожидании
и
дисперсии случайных величин».
Устный и письменный опрос
Конспект по теме: «Стационарные
случайные процессы. Спектральное
разложение
стационарного
случайного процесса».
Тестирование
Конспект по теме: «Переход от
динамической
системы
со
случайным
возмущением
к
диффузионному
случайному
процессу».
47
Кроме того, к видам самостоятельной работы относится выполнение домашних
заданий: решение задач. Задания задаются на каждом практическом занятии из сборников
задач [1], [1(дополн. лит-ра)] студенты должны выполнять их. Если у студента возникают
вопросы по выполнению, предусмотрены еженедельные консультации, где он обращается
к преподавателю. На каждом практическом занятии студенты сдают выполненные
домашние задания, за правильное выполнение которых получают соответствующие
баллы. Если есть нерешенные задания у всей группы, то совместно на занятии разбираем
это задание, но баллы при этом не начисляются.
Подготовка к контрольной работе подразумевает повторение теоретического
материала по разделам 1-6, повторение основных определений, основных методов,
формул нахождения вероятности. Необходимо ориентироваться в них и по содержанию
задачи выбирать рациональное решение.
После изучения темы "Случайное событие и вероятность" предусмотрен
коллоквиум. Коллоквиум будет проходить в форме индивидуальной беседы по вопросам.
(вопросы см. в приложении №4 УМК)
Содержание самостоятельной работы
1) Охотники Александр, Виктор и Павел попадают в летящую утку с
вероятностями, соответственно равными 2/3, ¾, 1/4. Все одновременно стреляют по
пролетающей утке. Какова вероятность того, что утка будет подбита?
2) Вероятность попадания в цель равна 0,003. Сколько нужно произвести
выстрелов, чтобы с вероятностью, большей 0,94, можно было утверждать, что цель будет
поражена?
3) Какова вероятность того, что два носка, взятые наудачу из ящика, содержащего
шесть красных и три синих носка, будут одного цвета?
4) 30 % изделий предприятия – продукция высшего сорта. Некто приобрел 6
изделий. Чему равна вероятность того, что 4 изделия из них высшего сорта?
5) Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр
учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж
содержит ровно 5 бракованных книг.
Домашняя работа № 2. Тема «Комбинаторика»
1) В нашем распоряжении есть три флага. На флагштоке поднимается сигнал,
содержащий 1, 2 или 3 флага. Сколько различных сигналов можно поднять на флагштоке,
если сигналы, поданные одними и теми же флагами, поднятыми в различном порядке,
считать различными?
2) Для проведения экзамена создается комиссия из двух преподавателей. Сколько
различных комиссий можно создать из пяти преподавателей?
3) Для дежурства в классе в течение недели (кроме воскресенья) выделены 6
учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый
учащийся дежурит один раз?
4) В магазине «Всё для чая» есть:
а) 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с
блюдцем?
б) добавим ещё 4 чайные ложки. Сколькими способами можно получить комплект из
чашки, блюдца и ложки?
в) 5 чашек, 3 блюдца, 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два
предмета с разными названиями?
5) Из букв слова «поле» составить всевозможные трехбуквенные слова (включая
бессмысленные).
6) Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр:
а) 2, 3, 4,
5; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7; в) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0.
48
7) В седьмом классе изучаются 14 предметов. Сколькими способами можно
составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели должно быть пять
различных уроков?
8) Решите уравнение: а) Ах2  90, б) Ау2  42 , в) Ах3  56 х .
9) Скольким способами можно рассадить 12 человек за круглым столом?
10) Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 0 (без
повторений)?
А104  Р10 n
Р8  Р7
11) Вычислить: а)
, б)
, где n<10.
Р6
Р9
12) На столе лежат четыре цветка: нарцисс, астра, гвоздика и тюльпан. Сколькими
способами может быть составлен букет из трех цветов?
Раздел 3
Опрос по теме «Вероятность»
1. В урне 2 белых и 4 черных шара. Опыт состоит в выборе только одного шара. Событие
А – «Вынули белый шар», событие В – «Вынули черный шар». Тогда для этих событий
неверным будет утверждение:
1
Вероятность события В больше вероятности события А
2
События А и В несовместны
3
События А и В равновероятны
4
2
Вероятность события В равна
3
2. Вероятность наступления некоторого события не может быть равна а) 1; в) 0,4; с) -0,7;
д) 0.
3. Игральный кубик бросают один раз. Событие А – «Выпало число очков больше, чем 4».
Событие В – «Выпало число очков меньше, чем 4». Тогда для этих событий неверным
будет утверждение:
1
События А и В несовместны
2
1
Вероятность события В равна
2
3
Событие В достоверно
4
Вероятность события В больше вероятности события А
4. Игральный кубик бросают один раз. Найти вероятность того, что на верхней грани
выпадет число очков, больше, чем два.
5. Игральный кубик бросают один раз. Найти вероятность того, что на верхней грани
выпадет число очков, меньше, чем шесть, но больше 3.
6. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад
вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?
Задания для тестирования по теме «Характеристики вариационного ряда»
1. Средняя выборочная вариационного ряда 1, 2, 5, 5, 5 равна: А. 6
В. 3,6
С. 3,1
D. 5
2. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения вероятностей
Х
1
2
Р
0,7
0,3
Математическое ожидание М(Х) этой случайной величины равно:
А. 1,3
В. 1
С. 1,7
D. 3
3. В результате 10 опытов получена следующая выборка: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 6. Найти закон ее
распределения.
49
4. Для вариационного ряда 1, 2, 5, 3, 2 вычислить:
1) Выборочное среднее
2) Выборочную дисперсию
3) Выборочное среднее квадратическое отклонение
5. Из генеральной совокупности извлечена
выборка объема п=65, полигон частот
которой имеет вид:
Число вариант х=4 в выборке равно
А. 12
В. 14
С. 15
D. 13
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ
Как выполнять домашнее задание
1. Подготовьте специальную тетрадь для домашних заданий.
2. Ознакомьтесь с рекомендуемой литературой и другими источниками
информации. Прежде всего, прочитайте соответствующие страницы в
конспекте лекций, разделы учебников. Ознакомьтесь с примерами
решения основных типов задач, предложенных на практических
занятиях
3. Выполните предложенные задания, оформляя решение в тетрадь.
Вопросы к коллоквиуму по теме:
«Случайное событие и вероятность»
1) Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение
вероятности (примеры).
2) Сложение вероятностей. Расширенная теорема сложения (примеры).
3) Условная вероятность. Умножение вероятностей (примеры).
4) Полная вероятность. Формула Байеса (примеры).
5) Повторение испытаний. Схема Бернулли (примеры).
6) Наиболее вероятное число успехов (примеры).
7) Обобщения схемы Бернулли (примеры).
8) Аксиоматическое, геометрическое, статистическое определения вероятности
(примеры).
9) Плотность вероятности и ее свойства. Нормальная функция распределения, ее
свойства.
10) Локальная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
11) Теорема Пуассона и ее применение.
12) Интегральная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
Примерный перечень задач к зачету по дисциплине (7 семестр)
1) В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет падает выигрыш 500 рублей, на 10
билетов – по 100 рублей, на 50 билетов – по 20 рублей, на 100 рублей – по 5 рублей,
остальные билеты невыигрышные. Некто покупает 1 билет. Найдите вероятность
выигрыша не менее 20 рублей.
50
2) Бросаются четыре игральные кости. Найти вероятность того, что на них
выпадет по одинаковому числу очков.
3) Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, причем
каждый из них делает по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого
стрелка – 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина.
Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.
4) Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет хотя бы 3
раза.
5) Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний
постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и
не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
6) Производят последовательные испытания 5 приборов на надежностью Каждый
следующий прибор испытывают только в том случае, если предыдущий оказался
надежным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если
вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,8.
7) Случайная величина Х может принимать два возможных значения: x1 с
вероятностью 0,3 и x 2 с вероятностью 0,7, причем x 2 > x1 . Найти x1 , x 2 , зная, что
M(X)=2,7 и D(X)=0,21.
8)
Случайная величина задана законом распределения
X
2
4
8
p
0,1
0,5
0,4
Найти среднее квадратичное отклонение этой величины.
9) Случайная величина Х задана функцией распределения
0,
x  0,
x2
F(x)=
, 0  x  2,
4
x2
1,
Найти функцию плотности и математическое ожидание случайной величины Х.
10) Найти функцию распределения случайной величины, плотность вероятности
1 x
которой имеет вид f ( x)  e
2
11) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с
плотностью f(x,y)=24xy в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный прямыми x+y-1=0, x=0, y=0. Найти математические ожидания этих
случайных величин.
12) Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных
величин (X, Y):
X\Y
20
40
60
10
3λ
λ
0
20
2λ
4λ
2λ
30
λ
2λ
5λ
Найти коэффициент λ и математические ожидания этих случайных величин
13) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с
плотностью f(x,y)=a(x+y) в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D –
треугольник, ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется определить
коэффициент а.
14) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с
плотностью f(x,y)=x+y в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется найти математические
ожидания этих случайных величин.
51
Примерные темы курсовых работ:
1) Аксиоматический подход в определении вероятности.
2) Некоторые распределения дискретных случайных величин и их числовые
характеристики.
3) Некоторые распределения непрерывных случайных величин и их числовые
характеристики.
4) Числовые характеристики случайных величин.
5) Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости между
случайными величинами.
6) Формула Стирлинга.
7) Статистические критерии различий.
8) Психологические задачи, решаемые с помощью статистических методов.
9) Аддитивные процессы.
10) Плоское броуновское движение.
Вопросы к экзамену по дисциплине (8 семестр)
1) Математическая статистика. Задачи математической статистики. Генеральная и
выборочная совокупности.
2) Вариационный ряд, эмпирический закон распределения, полигон частот и
относительных частот. Гистограмма.
3) Эмпирическая функция распределения и её свойства. Примеры.
4) Статистические оценки. Несмещённые и состоятельные оценки.
5) Выборочная средняя как статистическая оценка генеральной средней.
Выборочная дисперсия как смещённая статистическая оценка дисперсии генеральной
совокупности. Исправленная дисперсия.
6) Точечные статистические оценки неизвестных параметров известных
распределений: метод моментов. Примеры.
7) Точечные статистические оценки неизвестных параметров известных
распределений: метод максимального правдоподобия. Примеры.
8) Интервальные оценки. Точность и надёжность оценок. Интервальная оценка
математического ожидания нормально распределённой случайной величины при
известном среднем квадратическом отклонении. Примеры.
9) Интервальные оценки. Интервальная оценка математического ожидания
нормально распределённой случайной величины при неизвестном среднем
квадратическом отклонении. Примеры.
10) Интервальные оценки. Интервальная оценка среднего квадратического
отклонения. Примеры.
11) Статистическая гипотеза. Основная и альтернативная гипотезы. Простая и
сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Примеры.
12) Критерии статистических гипотез. Односторонний и двухсторонний
критерий. Область принятия гипотезы и критическая область.
13) Критерий согласия Пирсона для проверки гипотезы о нормальном и
равномерном распределениях. Примеры.
14) Критерий Пирсона для биномиального, распределения Пуассона. Примеры.
15) Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости между
случайными величинами. Коэффициент корреляции.
16) Уравнения регрессии одной случайной величины на другой. Коэффициент
регрессии и связь его с коэффициентом корреляции. Примеры.
17) Линейная регрессия, уравнение линейной регрессии по не сгруппированным
данным. Примеры.
18) Мера в пространстве функций. Конечномерные распределения случайного
процесса и их согласованность. Теорема Колмогорова о продолжении меры.
19) Винеровский процесс как пример случайного процесса.
52
20) Корреляционная теория случайных процессов.
21) Дифференцирование и интегрирование в среднем квадратическом.
22) Стационарные случайные процессы. Спектральное разложение стационарного
случайного процесса.
23) Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянным
коэффициентами, правая часть которых является стационарным случайным процессом.
24) Общая теория условных математических ожиданий. Условное математическое
ожидание и условная вероятность относительно счётного разбиения.
25) Условное математическое ожидание относительно сигма-алгебры (по
Колмогорову). Конечные цепи Маркова. Матрица переходных вероятностей.
26) Центральная предельная теорема для случайных величин, связанных в цепь
Маркова. Марковские цепи с произвольным пространством состояний.
27) К-цепи Маркова. Марковские процессы с непрерывным временем.
Диффузионные Марковские процессы и уравнения для их переходных вероятностей типа
уравнения теплопроводности.
28) Переход от динамической системы со случайным возмущением к
диффузионному случайному процессу.
53
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
4.1. Технологическая карта
Наименование образовательной программы, профиль: дисциплина «Теория вероятностей,
случайные процессы»
Год обучения, группа: 2013-14 уч. год, 4 курс
Семестр: III
Статус дисциплины:
Количество часов на дисциплину: 162
Количество аудиторных часов на дисциплину: 7 семестр – 72
ФИО преподавателей: Т.И. Кушнир
Утверждено на заседании кафедры математики, ТиМОМ от 11 сентября 2013 г., протокол № 1
№ Дисциплина
№
1 Основы
математичес
кой
обработки
информации
1
2
3
4.
5
6
7
7
8
9
10
11
12
13
14
Контрольное мероприятие
Вводное тестирование
Конспектирование
Домашняя работа № 1 «Введение в
вероятность»
Решение задач
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Конспектирование
Домашняя работа № 2
«Комбинаторика»
Решение задач
Домашняя работа № 3 «Таблицы,
графики, диаграммы»
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Конспектирование
Опрос по теме «Вероятность»
Тестирование по теме
«Характеристики вариационного
ряда»
Решение задач
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Итоговый контроль
Всего: минимум – 0, максимум –100
Ауд.или
Внеауд.
Баллы
Неделя
Ауд.
Ауд.
Внеауд.
0-4
0-6
0-3
1
1-6
4
Ауд.
Ауд.
0-6
0-2
0-4
1-6
1-6
Ауд.
Внеауд.
0-25
0-6
0-3
7-12
10
Ауд.
Внеауд.
0-6
0-4
7-12
12
Ауд.
0-2
0-4
7-12
Ауд.
Ауд.
Ауд.
Внеауд.
Ауд.
0-25
0-6
0-4
0-8
0-6
0-2
0-4
13-18
17
18
13-18
7-12
0-30
0-20
54
4.2. Тестовые задания для текущего контроля
1. Некий спортсмен выиграет чемпионат Европы с вероятностью 0,9, а чемпионат мира – с
вероятностью 0,8. Вероятность выиграть оба чемпионата равна:
А. 1,7
В. 0,72
С. 0,8
D. 0,85
2. Средним арифметическим чисел 1, 3, 4, 5, 7 является число:
А. 2
В. 3
С. 4
D. 10
3. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани выпадет число очков,
кратное трем равна
А.
1
6
В.
1
3
С.
1
2
D.
2
3
4. Средняя выборочная вариационного ряда 1, 2, 5, 5, 5 равна: А. 6
В. 3,6
5. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения вероятностей
Х
1
2
Р
0,7
0,3
Математическое ожидание М(Х) этой случайной величины равно:
А. 1,3
В. 1
С. 1,7
D. 3
6. Количество перестановок в слове «центр» равно: А. 5
В. 120
С. 24
С. 3,1
D. 5
D. 100
Тестовые задания для итогового контроля
Задание 1.
Пусть А.и В – множества, изображенные на рисунке.
Тогда пересечением этих множеств является…
1) А.
2) А / В
3) В
4) 
Задание 2.
Заданы множества А = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {1, 2, 3}
тогда для них верным утверждением будет...
1) «Множества А и В равны».
2) «Множества А и В не имеют общих элементов».
3) «Множество А включает в себя множество В».
4) «Множество А есть подмножество множества В».
Задание 3.
Пусть множества: М = (0; 4) – представляет собой интервал и N = (0; 4) – отрезок
числовой оси, тогда множество К = М  N как числовой промежуток будет равно…
1) К = [0; 4]
2) К = (0; 4]
3) K = [0; 4)
4) К = (0; 4)
Задание 4.
Если А есть множество нечетных натуральных чисел, а В {1; 2: 3; 4: 5; б; 7} , то
количество элементов множества А  В равно…
Задание 5.
Количество перестановок букв в слове «центр» равно…
1)
5;
2) 120;
3) 24;
4) 100.
Задание 6.
В слове «WORD» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных
различных «слов» равно…
1) 8;
2) 16;
3) 4;
4) 24.
55
Задание 7.
Сколько различных двузначных чисел можно составить из четырех цифр 1, 2, 3, 4,
если все цифры в числе различны?
1) 6;
2) 24;
3) 12;
4) 4.
Задание 8.
Количество различных способов выбора (порядок не имеет значения) 2 томов из
12-томного собрания сочинений Л.Н. Толстого равно…
1) 2;
2) 24;
3) 132;
4) 66
Задание 9.
Вероятность наступления некоторого события не может быть равна…
1) 1;
2) 0;
3) 4;
4) 0,4.
Задание 10.
Вероятность наступления некоторого события не может быть равна…
1) 0,4;
2) 1;
3) 0,6;
4) 1,6.
Задание 11.
В урне находятся 6 шаров: 3 белых и 3 черных. Событие А – «Вынули белый шар».
Событие В – «Вынули черный шар». Опыт состоит в выборе только одного шара. Тогда
для этих событий неверным будет утверждение:
1) «События А и В несовместимы».
2) «Вероятность события В равна 1/2».
3) «Событие А невозможно».
4) «События А и В равновероятны».
Задание 12.
Расположите случайные события в порядке возрастания их вероятностей:
А – при бросании кубика выпало не более 5 очков;
В – при бросании кубика выпало нечетное число очков;
С – при двух бросаниях кубика выпало в сумме не менее 2 очков.
Задание 13. В результате 10 опытов получена следующая выборка: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4,
4, 5, 6. Найти закон ее распределения.
Задание 14. Для вариационного ряда 1, 2, 5, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1 вычислить:
1) Выборочное среднее 2) Выборочную дисперсию 3) Выборочное среднее
квадратическое отклонение
56
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ГЛОССАРИЙ
Понятие
Определение
Вероятность события отношение числа случаев благоприятствующих
А
появлению события А (т.е. m), к общему числу всех
исходов n: P( A) 
Достоверное
событие
Невозможное
событие
Несовместные
события
Независимые
события
Случайное событие
m
.
n
событие, всегда происходящее в результате
некоторого опыта
событие, заведомо никогда не происходящее
события, одновременно не происходящие в
результате некоторого опыта.
события, для которых происхождение или
непроисхождение одного из них не влияет на
происхождение или непроисхождение другого.
любое явление, которое может произойти или не
произойти
57