Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования математический факультет «СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
математический факультет
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор
по
Сыктывкарского
университета
учебной
работе
государственного
Программа утверждена на заседании
Ученого совета
математического факультета
Председатель Ученого совета факультета
___________________ А.Ю.Тимофеев
___________________ В.Г.Антонов
« » декабря 2009
Протокол № 3 от «20» ноября 2009
(подпись)
ПРОГРАММА
государственного экзамена
по специальности 010501
«Прикладная математика и информатика»
Сыктывкар 2009
1
Алгебра и геометрия
1. Основная теорема алгебры многочленов(без доказательства). Теорема Безу.
Разложение многочлена на неприводимые над С и над R .
2. Линейные пространства. Базисы, размерность.
3. Линейные отображения и их матрицы. Ранг матрицы.
4. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
Диагонализируемые операторы.
5. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямой и
плоскости.
6. Каноническое уравнение и геометрические свойства эллипса.
7. Каноническое уравнение и геометрические свойства гиперболы.
8. Каноническое уравнение и геометрические свойства параболы
Математический анализ
9. Границы и грани числовых множеств. Теорема об основном свойстве верхней
(нижней) грани и ее следствия.
10. Непрерывность функции. Теоремы Вейерштрасса для непрерывной функции на
отрезке.
11. Локальные экстремумы функции одной переменной. Теоремы Ферма, Ролля,
Лагранжа, Коши для функции, дифференцируемой на отрезке.
12. Понятие дифференцируемости функции от нескольких переменных и его
геометрический смысл. Частные производные и дифференциалы. Условия
равенства смешанных производных.
13. Формула Тейлора для функции одного переменного. Различные формы записи
остаточного члена.
14. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Следствие (о существовании первообразной для непрерывной функции).
15. Понятие определенного интеграла (по Риману). Критерий интегрируемости по
Риману (в терминах сумм Дарбу) и интегрируемость непрерывной функции (без
док-ва).
16. Признаки сходимости числовых рядов: сравнения, Даламбера, Коши,
интегральный.
17. Знакопеременные ряды. Признаки сходимости Абеля, Дирихле, Лейбница.
18. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Абсолютная и равномерная
сходимость степенных рядов.
19. Различные виды сходимости функциональных последовательностей и рядов.
Теорема о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных
функций.
20. Критерий равномерной сходимости к нулю функциональной последовательности.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов.
21. Функции
комплексной
переменной.
Условия
Коши-Римана.
Точки
дифференцируемости и аналитичности. Восстановление аналитической функции
по ее действительной или мнимой части.
22. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Изолированные особые
точки аналитической функции. Ряд Лорана.
23. Вычеты функций комплексной переменной и их применение к вычислению
интегралов. Основная теорема о вычетах.
Дифференциальные уравнения и методы оптимизации
24. Существование и единственность решения нормальной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (теорема Пикара).
2
25. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения n-го
порядка. Построение фундаментальной системы решений дифференциального
уравнения n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами.
26. Определение устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точка
покоя. Устойчивость системы по первому приближению.
27. Постановка задачи линейного программирования. Прямая и двойственная задачи.
Первая теорема двойственности.
28. Вторая теорема двойственности. Условия дополняющей нежесткости.
29. Задача нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера. Метод множителей
Лагранжа.
30. Применение метода Фурье для уравнения теплопроводности и волнового
уравнения.
31. Типы уравнений с частными производными второго порядка. Теорема о
приведении уравнений с двумя переменными к каноническому виду.
32. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Первые
интегралы уравнения Эйлера.
Теория вероятностей
33. Понятие вероятностного пространства. Условная вероятность, формула полной
вероятности, формула Байеса.
34. Независимые события. Формула Бернулли для вероятности числа успехов,
математическое ожидание и дисперсия числа успехов.
35. Функция распределения случайной величины. Свойства и примеры функций
распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
36. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
Численные методы
37. Простейшие симметричные формулы численного дифференцирования для первой
и второй производных.
38. Сеточный
метод
для
решения
задачи
Штурма-Лиувилля.
Решение
трехдиагональной системы методом прогонки.
Дискретная математика и компьютерные науки
39. Архитектура компьютера. Принципы фон Неймана. Построение параллельных
вычислений.
40. Формальное определение алгоритма. Машина Тьюринга.
41. Булевы функции и формулы. Представление булевых формул в дизъюнктивной и
конъюнктивной нормальной форме. Полнота классов булевых функций.
42. Операционные системы. Понятие об операционной системе, компоненты
операционной системы.
43. Структурированные типы данных на примере списков. Стек, очередь, дек.
44. Графы. Основные понятия и элементарные свойства. Деревья и их свойства.
45. Реляционная модель данных. Основные понятия реляционных баз данных, тип
данных, домен, атрибут, кортеж, первичный ключ, отношение и схема отношений.
Основные операции реляционной алгебры.
46. Проектирование реляционных баз данных. Принципы нормализации. Приведение
схемы отношения ко второй и третьей нормальной форме.
47. Базовые конструкции для записи алгоритмов. Присваивание, альтернатива, цикл,
переход по метке. Операции ввода/вывода.
48. Алгоритмы последовательного и двоичного поиска в массиве. Поиск в двоичном
дереве.
3
49. Простейшие алгоритмы сортировки. Методы оценки сложности алгоритмов (на
примере алгоритмов сортировки).
50. Динамическое программирование (на примере задачи отыскания кратчайших путей
в ориентированном графе).
51. Жадные алгоритмы (на примере задачи построения остова минимального веса).
52. Рекурсия. Параллелизация для линейной рекурсии первого порядка.
53. Протоколы IP, TCP и UDP.
54. Основные понятия объектно-ориентированного программирования.
Задания, включенные в программу государственного
квалификационного экзамена
Раздел «Аналитическая геометрия»
1) Найдите точку M  , симметричную точке M относительно плоскости.
a) M (2, 1, 0),
y+z+2=0
b) M (2, –1, 1), x – y + 2z – 2 = 0
c) M (3, –3, –1), 2x – 4y – 4z – 13 = 0
2) Определить тип кривой
a) x2 + 2xy + 2y2 + 2x + 2y = 0 (Ответ эллипс)
b) x2 + 2xy + y2 + 2x = 0
(Ответ парабола)
c) x2 + 2xy + 2x + 2y = 0
(Ответ гипербола)
Раздел «Алгебра и геометрия»
Разложить многочлен x 4  4 на неприводимые над R и C.
[Ответ: ( x 2  2 x  2)( x 2  2 x  2)  ( x  i  1)( x  i  1)( x  i  1)( x  i  1) ]
2. Даны векторы (1; 0; 0; 1), (2; 1; 0; 2), (1; 2;  ; 1), (2; 3;  ;   2),   R.
а) При каких  указанные векторы образуют базис пространства R 4 ?
в) Найти размерность линейной оболочки этих векторов в зависимости от  .
[Ответы: а) при   0; в) 4 при   0; и 2 при   0; ]
1.
Пусть Pn – линейное пространство многочленов степени не выше n, D : Pn  Pn –
оператор дифференцирования ( D f ( x)  f ( x) ).
a) Найти матрицу оператора D в базисе 1, x, x 2 ,..., x n .
b) Имеются ли у оператора D собственные векторы?
[Ответ: собственные векторы – ненулевые константы (многочлены степени 0)]
5 2
4. Линейный оператор в R 2 задан матрицей A  
 . Диагонализировать его
2 8 
(найти ортонормированный базис из собственных векторов).
 1
2   2
1 
,  
 ]
,
,
[Ответ: 
5 
5
5
 5
3.
4
Раздел “Математический анализ”
1. Вычислите пределы: а)
1
 x  ln x
в) lim tg 
;
4
x 1 
lim  4 x 4  8x 3  5 x 5  15x 4  ;
x   

2x  x2
г) lim
;
x  2 arctg  x  2 
д)
г)
x
2
 sin x  dx ;
dx
 x 3 1 ;
д)

dx

б)
x1
x - sin x
5
7 
 2
 n  n 1  ;
2. Найти суммы рядов: а)  
n 1
10
10

n 1  10
а)
lim tg 4x ;
.
lim
x  0 x - tg x

3. Найти интегралы:
sin 3x
б)
1 x  x2
;

б)
1

n 1 9n
в)
2
 3n  2
.
dx
 sin x  2cos x  1 ;
x 2 x 1 dx .
4. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
 x2 y2
а)  2  2
b
a
2

2 xy
  2 ;
c

б)
x 4 y 4 xy


.
a4 b4 c2
 x  y  dx ,
5. Вычислить криволинейный интеграл
если A 0,0 , B 2,2 и
AB
x2
а) AB - отрезок прямой;
б) AB - дуга параболы y 
;
2
в) AB - ломаная ACB , где C 2,0  .

6. Вычислить криволинейный интеграл
x 2  y 2 dl , где
AB
AB  x , y  : x  a cos t  t sin t , y  a sin t  t cos t , 0  t  2 .
7. Исследовать на экстремум: z  x 2  xy  y 2  2 x  3 y ; z  2 x 3  6 xy  3 y 2 .
8. Исследовать на условный экстремум: а) u  xyz , 1  x  y  z  6 ;
2  x  2 y  3z  6 . б) z  6  5 x  4 y ,   x 2  y 2  9 .
9. Найдите интервал и радиус сходимости, исследуйте на абсолютную или условную
сходимость на границах интервала:
а)

2n  n!
n 1
nn

x  1
n
;
б)
1
3 
i 
10. Вычислить: а)  
2
2



3n  n!
n 1
nn

x  1
2n 1
 1n x  33n  2 .


;
г)
n 1
n
2005
;
б) 3 2  2i .
11. Восстановить аналитическую функцию f z  по ее действительной части
Re f  z   x 3  3xy 2  2 y , если f i   2 .
5
12. Функцию f  z  
z2
z  2z  3
2
разложить в ряды Лорана в кольцах аналитичности.
2
13. С помощью теоремы Коши о вычетах вычислить: а)

б)

x2  3
2
2
  x  2 x  17 
dx

2
0 5  4 cos x 
;
dx.
14. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функции: а) f x  2 x  3 на  1, 1 ;
б) f x  x  1 на 0, 1 .
Раздел «Дифференциальные уравнения»
I.
1) Построить последовательные приближения y0 , y1 , y2 к решению данного
уравнения с данными начальными условиями:
а) y  x  y 2 , y(0)  0
б) y  y  e y1 , y(0)  1
2) Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует решение с данными
начальными условиями:
а) y  x  y 3 , y(0)  0

б) x  t  e x , x(1)  0
II.
Решить систему дифференциальных уравнений:




 x  3x  y
x  2x  y
x  x  y
x  x  3 y
1) 
2) 
3) 
4) 
 y  4 y  x
 y  4 y  x
 y  3 x  y
 y  y  4 x
 2 1 2 
2  1 1 
3  1 1 







5) x  1 2  1 x
6) x  1 1 1 x
7) x   1
0 2  x
 2 1  1
1  1 2 
4  1 4
 2  1  1
 2  1  1
4  1 0 







8) x  3  2  3 x 9) x  3 1  1 x 10) x   2  1  2 x




 1 1
 1 1
1 0 1 
2 
2 
1




2
t
 x  x  y  cos t
 x  y  tg t  1
 x  y  2e
x  x  2 y
11) 
12) 
13) 
14) 

 y   x  tgt
 y  x  t 2
 y  x  5 sin t
 y  2x  y
III. Исследовать на устойчивость по первому приближению тривиальное решение систем:



2
3 x
2
 x  x  2 y  sin y
 x  ln( 4 y  e )
 x   x  3 y  x sin y
1) 
2) 
3) 
 y   x  3 y  x(e x2 / 2  1)
 y  2 y  1  3 1  6 x
 y   x  4 y  1  cos y 2
6

y
 x  ln( 3e  2 cos x)
4) 
 y  2e x  3 8  12 y
 3
1/ 3
3
 x  4 sin x  7 y (1  y )  x
6) 
 y  2 x  3 y cos y  11y 5

3

3
x  4 y  x
5) 
 y  3 x  y 3
Раздел «Уравнения с частными производными»
1. Решить задачу
ut  u xx  4t sin x, 0  x   , t  0,
u (0, t )  u ( , t )  0, t  0,
u ( x,0)  0, 0  x   .
2. Решить задачу
u tt  u xx  3 sin 2 x, 0  x   , t  0,
u (0, t )  u ( , t )  0, t  0,
u ( x,0)  u t ( x,0)  0, 0  x   .
3. Решить задачу
ut  u xx  3t sin 2 x, 0  x   , t  0,
u (0, t )  u ( , t )  0, t  0,
u ( x,0)  0, 0  x   .
4. Решить задачу
utt  uxx , 0  x   , t  0,
u (0, t )  u ( , t )  0, t  0,
u ( x, 0)  3sin 2 x, ut ( x, 0)  cos 2 x 0  x   .
5. Решить задачу
ut  uxx , 0  x   , t  0,
u (0, t )  u ( , t )  0, t  0,
u ( x, 0)  3sin 2 x, 0  x   .
Раздел «Методы оптимизации»
1. Найти все базисные планы. Решить задачу симплекс-методом.
x1  2 x 2  3x3  max
x1  2 x 2  x3  max
а)
 x1  2 x 2  2 x3  x 4  1

0
 x1  x 2  x3

xi  0 (i  1 : 3)

Ответ: базисные планы (0; 0; 0; 1), (1; 0; 1; 0)
и (0; ¼; ¼; 0)
б)
 x1  4 x 2  x3  5

 x1  2 x 2  x3  1
 x  0 (i  1 : 3)
i

Ответ: базисные планы –
(1; 1; 0) и (2; 0; 3)
2. Найти все стационарные точки:
7
 x12  x 22  min
 4
 x1  x 24  1  0
1
1
Ответ: (  4 ;  4 ), (0;  1); (  1; 0)
2
2
3. Решить задачи:
 x12  x 22  x32  min

а)  x1  x 2  x3  3  0
 2x  x  x  5  0
2
3
 1
(c, x)  min
б)  2
 x  1
c
c
4. Выписать общее решение уравнения Эйлера для функционалов вида
Ответ: 
Ответ: (1; 1; 1)
x1
J ( y )   ( y) 1  y2 dx
x0
5.
Найти экстремаль функционалов
1. F  y (1  y2 )
2. F 
1
1  y2
y
3. F  y 1  y2
6. Решить вариационную задачу
1
 y dx  min
2
0
при
1) y (0)  y (1)  0
2) y (0)  0, y (1)  1
Раздел «Теория вероятностей»
1. В каждой из трех урн находится по 6 белых и 4 черных шара. Из первой урны
наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй
урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность
того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым
2. Найдите математическое ожидание случайной величины
 2  12     n 2 , где
1 ,,  n независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное
распределение.
3. Две точки выбираются наудачу из отрезка [0, 1]. Пусть p и q – координаты этих
точек. Найдите вероятность того, что квадратное уравнение x 2  px  q  0 будет
иметь вещественные корни.
4. Стержень ломается случайным образом на две части. Каково среднее отношение
длины короткого куска к длине длинного куска?
8
Раздел «Численные методы»
1.
2.
3.
4.
Для функции f (x) = x3 – 3x2 + 4x – 5 вычислить f ´(0) по симметричной формуле
численного дифференцирования при h = 0.01.
Для функции f (x) = x3 – 3x2 + 4x – 5 вычислить f ″(0) по симметричной формуле
численного дифференцирования при h = 0.01.
Доказать, что трехчленная симметричная формула численного дифференцирования
для f ″(xо) имеет порядок погрешности О ( h2 ), если функция f (x) имеет
ограниченную четвертую производную.
Найти правые части системы дифференциальных уравнений
x  f (t, x, y )
y  g (t, x, y )
так, чтобы траектория (x(t), y(t)) c x(0) = 0, y(0) = 0 была развертывающейся
спиралью.
Раздел «Дискретная математика и компьютерные науки»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Описать алгоритм Эвклида нахождения наибольшего общего делителя двух
натуральных чисел (рекурсивный и итеративный варианты).
Описать процедуру обмена значениями двух переменных.
Имеется список имен: Alice, Byron, Carol, Diane, Elaine, Floyd, Gene, Henry, Iris.
Какой алгоритм поиска (последовательный или бинарный): а) позволит найти
быстрее имя Gene? б) позволит быстрее обнаружить отсутствие имени Bruce?
Предположим, что при использовании алгоритма сортировки методом вставки
компьютеру требуется в среднем одна секунда для сортировки списка из 100
элементов. Оцените, сколько времени компьютеру понадобится для сортировки
списка из 1000 элементов?
Докажите полноту следующих классов булевых функций:
а) { | } ( | - штрих Шеффера);
б) { ↓ } (↓ - стрелка Пирса);
в) { 0,→ };
г) { 1, ×, +} (+ - сложение mod 2).
Докажите, что простой граф с n вершинами, степень каждой из которых не
n 1
менее
, является связным.
2
Пусть G = (V, E) – простой граф. Дополнением графа G называют простой граф
G такой, что вершины G являются смежными тогда и только тогда, когда они
не смежны в G. Докажите, что один из графов G и G является связным.
Пусть G = (V, E) – простой граф. Дополнением графа G называют простой граф
G такой, что вершины G являются смежными тогда и только тогда, когда они
не смежны в G. Граф называется самодополнительным, если он изоморфен
своему дополнению. Докажите, что число вершин самодополнительного графа
представляется либо в виде 4k, либо в виде 4k + 1.
9
Литература
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.:Наука,1971.
2. Кострикин А.И. Курс высшей алгебры. - М.:Наука,1971.
3. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.:Наука, 1981, Физматлит,
2001. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. - М.: Наука. Гл. редакция физмат
лит-ры, 1979. 720 с.
4. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому
анализу –М.: Высшая школа. 2000. 640 с.
5. Порошкин А.Г.
Дифференцируемые отображения.
Учебное пособие.
Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1999. 70 с.
6. Порошкин А.Г. Теория меры и интеграла. Учебное пособие.
Сыктывкар:
Сыктывкарский ун-т, 1996. 171 с.
7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Т.1-3. М.: Наука, 1972.
8. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в
задачах и упражнениях. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. 352 с.
9. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - Л.:Издво ЛГУ,1981.
10. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.:Наука,1988.
11. Гельфанд
И.М.,Фомин
С.В.
Вариационное
исчисление.
М.:Госфизматлитиздат,1961.
12. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.:Наука,1976.
13. Брукшир Дж.Г. Введение в компьютерные науки. Общий обзор, 6-е издание – М.:
Издательский дом «Вильямс», 2001.
14. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных. – М.: Мир, 1989.
15. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.
16. Ксенакис Д., Левисей Б. PHOTOSHOP 6. Для Macintosh и Windows. – СПб.: Питер,
2002.
17. Маров М. Эффективная работа. 3dsmax 5. – СПб.: Питер, 2002.
18. Хэнхен Р. Эффективная работа. Corel Draw 12. – СПб.: Питер, 2003.
10