Содержание

Содержание
Предисловие
1. Линейное программирование
1.1. Задача линейного программирования
1.1.1. Задача об ассортименте продукции
1.1.2. Задача составления смеси (о диете)
1.1.3. Задача о раскрое
1.1.4. Задача о сменно-суточном планировании работы
1.2. Области решений задачи линейного программирования
Вопросы для самопроверки
1.3. Графическое решение задачи линейного программирования
Вопросы для самопроверки
Задания для самостоятельной работы
1.4. Анализ оптимального решения на чувствительность к изменениям исходных условий
1.4.1. Улучшение оптимального решения за счет изменения дефицитного
ограничения
1.4.2. Изменение недефицитного ограничения без изменения оптимального
решения
1.4.3. Степень чувствительности оптимального решения к изменениям
дефицитных ограничений
1.4.4. Пределы изменения коэффициентов целевой функции без изменения
оптимального решения
Вопросы для самопроверки
Задания для самостоятельной работы
1.5. Каноническая форма представления области решений
задачи линейного программирования
Вопросы для самопроверки
1.6. Решение задачи линейного программирования
симплексным методом
Задания для самостоятельной работы
1.7. Интерпретация симплексной таблицы при анализе оптимального решения
задачи линейного программирования на чувствительность
1.8. Двойственные задачи линейного программирования
1.8.1. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об
использовании ресурсов
1.8.2. Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства
Вопросы для самопроверки
Задания для самостоятельной работы
1.9. Транспортная задача
1.10. Решение транспортной задачи
1.10.1. Определение начального решения
1.10.2. Нахождение вводимой в базис переменной
1.10.3. Нахождение выводимой из базиса переменной
2. Целочисленное линейное программирование
2.1. Задачи целочисленного линейного программирования
2.2. Метод ветвей и границ
Вопросы для самопроверки
Задания для самостоятельной работы
2.3. Метод отсечений (Гомори)
Вопросы для самопроверки
Задания для самостоятельной работы
3. Динамическое программирование
3.1. Задача динамического программирования
3.2. Метод решения задач динамического программирования
3.3. Решение задачи линейного программирования методом динамического
программирования
Вопросы для самопроверки
Задания для самостоятельной работы
4. Нелинейное программирование
4.1. Задачи нелинейного программирования
4.2. Решение задачи нелинейного программирования методом множителей
Лагранжа
Вопросы для самопроверки
Задания для самостоятельной работы
Список литературы
2
Предисловие
Управление экономической системой реализуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществления данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие
процесс и внешние условия, должны быть количественно определены, измерены. При решении конкретной задачи управления предполагается построение экономических и математических моделей и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия. Для применения количественных методов требуется построить математическую модель и количественно выразить критерий эффективности
в виде целевой функции.
Математическое программирование включает методы нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции, область определения которой задается некоторыми
ограничениями.
Целевая функция – это экономический показатель, зависящий от некоторых факторов.
Ограничения задают область определения целевой функции с помощью выражений,
определяющих диапазоны возможных изменений факторов.
Задачами математического программирования являются оптимизационные математические модели, состоящие из целевой функции от некоторых переменных и ограничений,
представляемых выражениями от тех же переменных.
Будем рассматривать класс оптимизационных моделей. Такие задачи возникают при попытке оптимизировать планирование и управление сложными системами, в первую очередь
экономическими системами. Оптимизационную задачу можно сформулировать в общем виде: найти переменные x 1 , x 2 ,..., x n , удовлетворяющие системе неравенств (уравнений).
 i  x 1 , x 2 ,..., x n   bi , i  1 ,2 ,.. ., m
(1)
и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию, т.е.
z  f  x 1 , x 2 ,..., x n   max min .
(2)
(Условия неотрицательности переменных, если они есть, входят в ограничения (1) ).
Оптимальным решением задачи математического программирования является соответствующий вектору переменных целевой функции и ограничений вектор чисел, для которого
выполняются все ограничения, а целевая функция принимает требуемое экстремальное значение.
Как известно, упорядоченная совокупность значений n переменных x 1 , x 2 ,..., x n представляется точкой n - мерного пространства. В дальнейшем такую точку будем обозначать
3
x
n


  x 1 , x 2 ,..., x n , а само оптимальное решение x n  x 1 , x 2 ,..., x n .
В тех случаях, когда функции f и
 i в задаче (1) – (2) хотя бы дважды дифференциру-
емы, можно применять классические методы оптимизации. Однако применение этих методов
весьма ограничено, так как задача определения условного экстремума функции n переменных технически весьма трудна: метод дает возможность определить локальный экстремум, а
из-за многомерности функции определение ее максимального (или минимального) значения
(глобального экстремума) может оказаться весьма трудоемким – тем более, что этот экстремум возможен на границе области решений. Классические методы вовсе не работают, если
множество допустимых значений аргумента дискретно или функция z задана таблично. В
этих случаях для решения задачи (1) - (2) применяются методы математического программирования.
Построение математической модели реального экономического процесса для формирования задачи математического программирования представляет собой скорее искусство, чем науку.
Если показатель эффективности z  f  x 1 , x 2 ,..., x n  представляет линейную функцию, а функции
 i  x1 , x 2 ,..., x n  в системе ограничений (1) также линейны, то такая задача
является задачей линейного программирования. Если исходя из содержательного смысла, ее
решения должны быть целыми числами, то это задача целочисленного линейного программирования. Если в задаче математического программирования имеется переменная времени
и критерий эффективности (2) выражается не в явном виде как функция переменных, а косвенно – через уравнения, описывающие протекание процессов во времени, то такая задача
является задачей динамического программирования. Если критерий эффективности и (или)
система ограничений задаются нелинейными функциями, то имеем задачу нелинейного программирования.
Таким образом, задачи математического программирования могут быть классифицированы:
1) по признаку моделируемых типов процессов,
2) по признаку свойств целевой функции и ограничений.
1) Классификация по признаку моделируемых типов процессов:
1.1) регулирование запасов,
1.2) распределение ресурсов,
1.3) организация обслуживания,
1.4) планирование замены оборудования,
4
1.5) другие, в т.ч. комбинированные процессы.
2) Классификация по признаку свойств используемых функций:
2.1) задача линейного программирования, когда целевая функция и ограничения задаются линейными функциями;
2.2) задача целочисленного программирования, в которой есть ограничения на целочисленность решения;
2.3) задача динамического программирования, целевая функция которой представляет
собой сумму целевых функций каждого этапа ее решения, а ограничения каждого этапа последовательно связаны между собой;
2.4) задача нелинейного программирования, когда целевая функция и ограничения задаются нелинейными функциями.
В пособии нашли отражение основные из приведенных видов задач математического
программирования.
Цель курса состоит:
1) в приобретении навыков построения типовых задач математического программирования,
2) в изучении методов решения типовых задач математического программирования.
В создание современного математического аппарата и развитие многих направлений математического программирования большой вклад внесли российские ученые. Особо следует
отметить роль академика Л.В.Канторовича, который в 1939 г., занявшись планированием работы агрегатов фанерной фабрики, решил несколько задач: о наилучшей загрузке оборудования, о раскрое материалов с наименьшими потерями, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др. Л.В.Канторович сформулировал новый класс условноэкстремальных задач и предложил универсальный метод их решения, положив начало новому направлению прикладной математики -линейному программированию.
Методы математического программирования, как и любые математические методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют задачу. Жизнь богаче любой схемы. Поэтому
не следует ни преувеличивать значение количественных методов математического программирования, ни преуменьшать его, ссылаясь на примеры неудачных решений. Уместно привести в связи с этим шутливо-парадоксальное определение этих методов, сделанное одним из
их создателей Т. Саати, как “искусства давать плохие ответы на те практические вопросы, на
которые даются еще худшие ответы другими методами.”
В данном учебном пособии рассматриваются основные оптимизационные модели экономических процессов. Теоретические положения сопровождаются решением практических
задач, вопросами для самопроверки и заданиями для самостоятельной работы.
5
1. Линейное программирование
1.1. Задача линейного программирования
Задача линейного программирования (ЗЛП) сводится к задаче нахождения экстремума
линейной целевой функции на области определения, заданной линейными ограничениями.
Рассмотрим типичные задачи, сводящиеся к задачам линейного программирования.
1.1.1. Задача об ассортименте продукции
Словесная формулировка задачи
Фирма выпускает три вида изделий. В процессе производства используются три технологические операции. Показана технологическая схема производства изделий.
Операция 1
1 мин/изд.
С
ы
р
ь
е
Операция 2
3 мин/изд.
2 мин/изд.
1 мин/изд.
Операция 3
1 мин/изд.
4 мин/изд.
2 мин/изд.
П
Изделие 1
Изделие 2
Изделие 3
П
р
о
д
у
к
ц
и
я
Предельная
430 мин.
460 мин.
420 мин.
продолжительность
операций
в сутки
Указана длительность технологических операций при изготовлении одного изделия каждого вида, а также ограниченный в сутки фонд рабочего времени, в течение которого операции 1, 2 и 3 могут быть применены для производства рассматриваемых изделий.
Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия ви-
6
дов 1,2 и 3 составляет 3 , 2 и 5 у.е. соответственно.
Каков наиболее выгодный суточный объем производства каждого вида продукции?
Анализ словесной формулировки
Цель – максимизировать прибыль от продажи.
Ограничения – пределы времени использования операций.
Математическая формулировка задачи
Так как и прибыль, и продолжительность операций зависят от числа изделий каждого
вида, в качестве искомых переменных выбираем:
x 1 - количество изделий вида 1,
x 2 - количество изделий вида 2,
x 3 - количество изделий вида 3.
Тогда целевая функция будет выражать величину прибыли за сутки
z  3 x1  2 x 2  5 x 3 ,
а ее максимизация обозначается
z  3 x 1  2 x 2  5 x 3  max .
Заданное предельное время использования операций в течение суток выражается ограничениями
для операции 1 :
для операции 2 :
для операции 3 :
1 x 1  2 x 2  1 x 3  430 
3 x 1  0 x 2  2 x 3  460 ,
1 x 1  4 x 2  0 x 3  420 
а условие неотрицательности количества изделий ограничениями
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
Математическая модель задачи
z  3 x 1  2 x 2  5 x 3  max
при ограничениях
1 x 1  2 x 2  1 x 3  430 
3 x 1  0 x 2  2 x 3  460 ,
1 x 1  4 x 2  0 x 3  420 
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
7
1.1.2. Задача составления смеси (о диете)
Словесная формулировка задачи
Для испытания двигателей составляют смесь горючего объемом не менее 200 литров из
трех компонентов, каждый из которых имеет свою цену за один литр и содержит доли трех
необходимых веществ. Известны предельные доли этих веществ, которые могут содержаться
в итоговой смеси и определяют ее качество.
Вещества
Компоненты
1
2
3
Содержание
min
в смеси
max
А
Б
В
38%
0.1%
0.2%
0.8%
1.2%
9%
50%
22%
-
2%
8%
5%
Стоимость одного литра
(в у.е.)
0.04
0.15
0.4
Необходимо составить требуемую смесь минимальной стоимости.
Анализ словесной формулировки
Цель – минимизировать стоимость смеси.
Ограничения – объем смеси горючего и ее качество.
Математическая формулировка задачи
И стоимость, и объем, и качество смеси зависят от объема каждого из трех компонентов.
Поэтому в качестве искомых переменных выбираем:
x 1 - объем в литрах первого компонента в смеси,
x 2 - объем в литрах второго компонента в смеси,
x 3 - объем в литрах третьего компонента в смеси.
Целевая функция будет представлять стоимость полученного объема смеси
z  0.04 x 1  0.15 x 2  0.4 x 3 ,
а ее минимизация обозначается
z  0.04 x 1  0.15 x 2  0.4 x 3  min .
Необходимый объем смеси выражается ограничением
x 1  x 2  x 3  200 .
Качество смеси, зависящее от содержания в ней первого вещества, выражается ограничениями
8
0.38 x 1  0.001 x 2  0.002 x 3  0.008  x 1  x 2  x 3  ,
0.38 x 1  0.001 x 2  0.002 x 3  0.012  x 1  x 2  x 3  .
Качество смеси, зависящее от содержания в ней второго вещества, выражается ограничением
0.09 x 2  0.5 x 3  0.22  x 1  x 2  x 3 .
Качество смеси, зависящее от содержания в ней третьего вещества, выражается ограничением
0.02 x 2  0.08 x 3  0.05  x 1  x 2  x 3  .
Условие неотрицательности объемов компонентов выражается ограничениями
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
Математическая модель задачи
После приведения неравенств к стандартному виду окончательная математическая формулировка задачи представляется следующим образом:
z  0.04 x 1  0.15 x 2  0.4 x 3  min
при ограничениях
x1 
x2 
x 3  200 ,
0.372 x 1  0.007 x 2  0.006 x 3  0 ,
0.368 x 1  0.011 x 2  0.01 0 x 3  0 ,
0.220 x 1  0.130 x 2  0.280 x 3  0 ,
0.050 x 1  0.030 x 2  0.030 x 3  0 ,
x1  0 ,
x2  0 ,
x3  0 .
1.1.3. Задача о раскрое
Словесная формулировка задачи
Производятся исходные рулоны шириной 20 единиц. Поступил заказ, выполнение которого требует разрезания этих рулонов. Объем заказа, ширина заказываемых рулонов, возможные варианты разрезания производимого рулона, количество получаемых при этом рулонов заказываемой ширины и остающиеся потери приведены в таблице.
9
Кол-во
заказываемых
рулонов
Ширина
рулонов,
ед.
150
5
200
7
300
9
Потери, ед.
Возможные варианты разрезания рулонов
(количество получаемых рулонов)
1
0
1
1
4
2
2
1
0
3
3
2
0
1
1
4
4
0
0
0
5
1
2
0
1
6
0
0
2
2
Требуется найти потребные количества исходных рулонов, разрезаемых по каждому из
6-ти вариантов, при которых удовлетворяются поступившие заказы с минимальными потерями.
Математическая модель
Идентификация переменных:
x j - количество исходных рулонов, разрезаемых по варианту j , j  1 ,2 ,...,6 ;
x 7 , x 8 и x 9 - избыточное количество рулонов соответственно шириной 5, 7 и 9 единиц.
Избыточное количество рулонов шириной 5, 7 и 9 единиц, получаемое при разрезании
исходных рулонов и превышающее заказанное количество, обозначим соответствующими
переменными:
x7  0 x 1  2 x 2  2 x 3  4 x 4  1 x 5  0 x6  150 ,
x 8  1 x 1  1 x 2  0 x 3  0 x 4  2 x 5  0 x6  200 ,
x 9  1 x 1  0 x 2  1 x 3  0 x 4  2 x 5  2 x6  300.
Целевая функция выражает суммарные потери:
z  4 x1  3 x 2  1 x 3  0 x 4  1 x 5  2 x6  5 x7  7 x8  9 x 9 .
В итоге, математическая модель имеет вид:
z  4 x 1  3 x 2  1 x 3  0 x 4  1 x 5  2 x 6  5 x7  7 x 8  9 x 9  min
при ограничениях
0 x 1  2 x 2  2 x 3  4 x 4  1 x 5  0 x6  1 x7  0 x 8  0 x9  150 ,
1 x 1  1 x 2  0 x 3  0 x 4  2 x 5  0 x6  0 x7  1 x 8  0 x 9  200 ,
1 x 1  0 x 2  1 x 3  0 x 4  0 x 5  2 x6  0 x7  0 x 8  1 x 9  300 ,
x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x5 , x6 , x7 , x 8 , x9  0.
10
1.1.4. Задача о сменно-суточном планировании работы
Словесная формулировка задачи
Анализ практики работы авторемонтной службы показал распределение интенсивности требу
мого количества рабочих.
Поэтому решено организовать шестисменное дежурство продолжительностью 8 часов с начало
работы смен в 0.00, 4.00, 8.00, 12.00, 16.00 и 20.00.
Требуется определить, какое минимальное количество рабочих в течение суток будет необх
димо.
Математическая формулировка задачи
Определить количество рабочих в каждой из смен (переменные), которое должно быть не мен
ше минимальной потребности в них (ограничения), при условии, что общее количество привлека
мых в течение суток рабочих будет минимальным (целевая функция).
Идентификация переменных:
11
x 1 - число рабочих, выходящих в 1-ую смену с 0.00 до 8.00;
x 2 - число рабочих во 2-ой смене с 4.00 до 12.00;
x 3 - число рабочих в 3-ей смене с 8.00 до 16.00;
x 4 - число рабочих в 4-ой смене с 12.00 до 20.00;
x 5 - число рабочих в 5-ой смене с 16.00 до 0.00;
x 6 -число рабочих в 6-ой смене с 20.00 до 4.00.
Определение целевой функции:
z  x 1  x 2  x 3  x 4  x 5  x 6  min
- количество привлекаемых в течение суток рабочих.
Выражение ограничений:
x1 
x1  x2
x6  4
8
x 2  x3
 10
x 3  x4
7
x 4  x5
 12
x5  x6  4
0.00  4.00 ,
4. 00  8.00 ,
8. 00  12.00 ,
12.00  16.00 ,
16.00  20.00 ,
20.00  0.00 ,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 , x 4  0 , x5  0 , x6  0.
Математическая модель:
z  x 1  x 2  x 3  x 4  x 5  x 6  min
при
x 1  0 x 2  0 x 3  0 x 4  0 x 5  x6  4 ,
x 1  x 2  0 x 3  0 x 4  0 x 5  0 x6  8 ,
0 x 1  x 2  x 3  0 x 4  0 x 5  0 x6  1 0 ,
0 x 1  0 x 2  x 3  x 4  0 x 5  0 x6  7 ,
0 x1  0 x 2  0 x 3  x 4  x5  0 x6  12 ,
0 x1  0 x 2  0 x 3  0 x 4  x 5  x6  4 ,
x 1  0 , x 2  0 , x 3  0 , x 4  0 , x 5  0 , x 6  0.
12
1.2. Области решений задачи линейного программирования
Рассмотренные примеры свидетельствуют о том, что ограничения в задаче линейного
программирования задаются системой линейных неравенств.
Системой линейных неравенств называется система вида:
a 11 x 1  a 12 x 2  ...  a 1 n x n  b1 ,
a 21 x 1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b 2 ,
.............................................
a m 1 x 1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm ,
 x 1  0 , x 2  0 , ..., x n  0.
Решением системы линейных неравенств называется совокупность значений переменных x
n
 ( x 1 , x 2 ,..., x n )  ( x 1  k 1 , x 2  k 2 ,..., x n  k n )  ( k 1 , k 2 ,..., k n ), кото-
рые удовлетворяют всем неравенствам этой системы:
a 11 k 1  a 12 k 2  ...  a 1 n k n  b1 ,
a 21 k 1  a 22 k 2  ...  a 2 n k n  b 2 ,
.............................................
a m 1 k 1  a m 2 k 2  ...  a mn k n  bm ,
 k 1  0 , k 2  0 , ..., k n  0.
где k j - действительное число, j  1 , n .
Областью решений задачи линейного программирования называются все возможные
решения соответствующей системы линейных неравенств.
Рассмотрим систему линейных неравенств в двумерном пространстве и изучим область
ее решений:
a 11 x 1  a 12 x 2  b1 ,
a 21 x 1  a 22 x 2  b2 ,
 ..........................
a x  a x  b .
m2 2
m
 m1 1
Область решений каждого неравенства этой системы состоит из двух множеств:
1) множества точек, удовлетворяющих уравнению;
2) множества точек, удовлетворяющих строгому неравенству.
Множество точек, удовлетворяющих уравнению
a i 1 x 1  a i 2 x 2  bi , где i  1 , m ,
составляют прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости.
Множества точек, удовлетворяющих строгому неравенству
a i 1 x 1  a i 2 x 2  bi , где i  1 , m ,
13
будут лежать по одну сторону от прямой и задавать одну из полуплоскостей.
Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей удовлетворяет неравенству, достаточно подставить в него координаты точки, не лежащей на прямой
a i 1 x 1  a i 2 x 2  bi .
Если для этой точки выполняется неравенство
a i 1 x 1  a i 2 x 2  bi ,
то она лежит на искомой полуплостости. Если нет, то - на другой полуплостости.
▼
Пример
Определим область решений неравенства:
а) 3 x 1  4 x 2  12  0 ,
б) 3 x 1  2 x 2  0.
Решение
В соответствии с приведенным выше утверждением область решений каждого неравенства состоит из прямой - множества точек, удовлетворяющих уравнению, и из полуплоскости - множества точек, удовлетворяющих строгому неравенству.
а) Построим прямую 3 x 1  4 x 2  12  0 , найдя точки ее пересечения с осями координат A 4 ;0  и B0 ;3 .
В качестве контрольной точки для определения искомой полуплоскости (верхней или
нижней) удобно взять начало координат O0 ;0  , не лежащее на построенной прямой. Координаты точки O0 ;0  не удовлетворяют неравенству: 3  0  4  0  12  0 , следовательно,
решением данного неравенства является верхняя полуплоскость, не содержащая контрольную точку O0 ;0  . Искомая полуплоскость выделена затемнением.
14
б) Построим прямую 3 x 1  4 x 2  0 по двум точкам. Одной из этих точек является
начало координат (в уравнении прямой отсутствует свободный член), а другую точку берем
на прямой произвольно, например, A2 ;3  .
В качестве контрольной возьмем, например, точку B1;0  . Самую "простую" точку
O0 ;0  здесь в качестве контрольной брать не следует, ибо она лежит на построенной прямой. Так как координаты контрольной точки B1;0  удовлетворяют неравенству, т.е.
3  1  2  0  0 , то решением данного неравенства является нижняя (правая) полуплоскость, содержащая эту точку.
▲
Алгоритм построения области решений задачи линейного программирования с ограничениями в виде системы линейных неравенств:
1. Вместо каждого из неравенств рассматривается уравнение.
2. Определяются точки пересечения прямой, соответствующей уравнению, с осями координат.
3. Определяется полуплоскость, соответствующая неравенству.
4. Определяется область решений системы линейных неравенств как пересечение полуплоскостей.
1.2.2. Возможные случаи областей решений задачи линейного программирования
1)Область решений задачи линейного программирования – пустое множество
 x 1  2 x 2  2 ,
3 x 1  x 2  3 ,
 x 1  x 2  8.
15
№ п/п
Уравнение
x1
x2
1
 x1  2 x2  2
2
3 x1  x2  3
3
x1 
0
-2
0
1
0
8
1
0
-3
0
8
0
x2  8
Рис. 1.1.
Пересечение полученных полуплоскостей (рис. 1.1) пусто, т.е. точек, которые удовлетворяют одновременно трем неравенствам заданной системы линейных неравенств, не существует. система линейных неравенств – несовместна.
2)Область решений задачи линейного программирования – единственное решение
 x1  x 2  5 ,
 x1  x 2   1 ,
 x1  2 x 2  4.
№ п/п
Уравнение
1
x1 
x2  5
2
x1 
x2   1
3
 x1  2 x2  4
x1
x2
0
5
0
-1
0
-4
5
0
1
0
2
0
16
Рис. 1.2.
Пересечение полученных полуплоскостей (рис. 1.2) состоит из одной точки, удовлетворяющей одновременно всем неравенствам заданной системы линейных неравенств. Система
линейных неравенств имеет единственное решение.
3)Область решений задачи линейного программирования – неограниченное множество
 3 x 1  2 x 2  6 ,
 x1  2 x 2  8 ,
 3 x  4 x   12 ,
 x 1  0 , x 2  0.

1
2
№ п/п
Уравнение
1
 3 x1  2 x2  6
2
x1  2 x2  8
3
 3 x 1  4 x 2   12
x1
x2
0
-2
0
8
0
4
3
0
-4
0
3
0
Рис. 1.3.
Пересечение полученных полуплоскостей (рис. 1.3) образует неограниченную в некотором направлении область, любая точка которой удовлетворяет одновременно всем неравен-
17
ствам заданной системы линейных неравенств. Поэтому областью решений системы линейных неравенств является неограниченное множество.
4)Область решений задачи линейного программирования – многоугольник
 3 x 1  x 2  300,
 x 1  x 2  150 ,
 x 1  0 , x 2  0.
№ п/п
Уравнение
1
3 x 1  x 2  300
2
x1  x 2  150
x1
x1
0
100
0
150
300
0
150
0
Рис. 1.4.
Пересечение полученных полуплоскостей (рис. 1.4) образует многоугольник, любая
точка которого удовлетворяет одновременно всем неравенствам заданной системы линейных неравенств. Поэтому областью решений системы линейных неравенств является многоугольник.
Вопросы для самопроверки

Что задается в задаче линейного программирования системой линейных неравенств?

Что является решением системы линейных неравенств?

Что представляет собой область решений задачи линейного программирования?

Из чего состоит область решений неравенства?

Как определить, какая из двух полуплоскостей удовлетворяет неравенству?

Из каких последовательных шагов состоит построение области решений задачи линейно-
го программирования с ограничениями в виде системы линейных неравенств?
18

Какие возможны случаи областей решений задачи линейного программирования?

Может ли область решений задачи линейного программирования состоять из одного ре-
шения, двух решений и т.д., из множества решений?
1.3. Графическое решение задачи линейного программирования
▼
Пример
Словесная формулировка задачи
Фирма изготовляет два вида изделий.
Для производства изделий используются два исходных продукта

и Б . Возможные
запасы этих продуктов и нормы их расхода на производство каждого изделия приведены в
таблице.
Наименование
исходного
продукта

Б
Расход исходных продуктов на
одну тонну изделия (в тоннах)
изделие 1-ого вида
изделие 2-ого вида
2
1
1
2
Суточный максимально
возможный
запас (в тоннах)
6
8
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделие 1-ого вида никогда не
превышает спроса на изделие 2-ого вида более чем на 1 тонну. Кроме того, установлено, что
суточный спрос на изделие 1-ого вида никогда не превышает 2 тонн.
Оптовая цена одной тонны изделия 1-ого вида равна 2 тыс. у.е., 2-ого вида равна 3
тыс. у.е.
Какой объем изделий каждого вида должна производить фирма в сутки, чтобы суточный
доход от реализации продукции был максимальным?
Математическая формулировка задачи
Для решения этой задачи нужна математическая модель, построение которой сводится
к получению не противоречащих друг другу ответов на последовательность следующих вопросов:
1) С помощью каких искомых величин можно выразить числом заданную цель на основе
заданных исходных данных?
2) Каким алгебраическим выражением можно представить заданную цель с помощью
исходных данных и соответствующих искомым величинам переменных?
3) Какие алгебраические ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы
19
выполнялись все заданные исходные условия?
Ответы на эти вопросы для рассматриваемой задачи:
1) x 1 , x 2 - суточные объемы производства изделий 1-ого вида и 2-ого вида (в тоннах);
2) z  2 x 1  3 x 2  max
3) 2 x 1 
 доход ;
x 2  6  запас продукта
А,
x 1  2 x 2  8  запас продукта Б ,
x1  x2  1 
разница спроса ,
x1
 2  спрос ,
x1
 0,
x 2  0.
Пронумеруем ограничения рассматриваемой задачи линейного программирования:
z  2 x 1  3 x 2  max
при ограничениях
1 2 x1 
x2  6 ,
2
x1  2 x 2  8 ,
3
x1  x 2  1 ,
4
x1
 2,
5
x1
0,
6
x 2  0.
Областью допустимых решений задачи, или заданной областью определения целевой
функции называются все значения вектора x
2
 ( x 1 , x 2 ), удовлетворяющие заданным
ограничениям задачи.
Каждому одному ограничению геометрически соответствует полуплоскость, состоящая
из двух множеств:
1) множества точек, удовлетворяющих уравнению (обозначено прямой с соответствующим номером);
2) множества точек, удовлетворяющих строгому неравенству (обозначено стрелкой).
Область допустимых решений геометрически представляется (рис. 1.5) пересечением
всех полуплоскостей, соответствующих каждому ограничению (обозначена заштрихованным
многоугольником).
20
Рис. 1.5.
Целевая функция геометрически представляется (рис. 1.6) прямой, соответствующей
произвольно выбранному значению z . Выбирая последовательно увеличивающиеся значе
ния z (направление увеличения обозначено стрелкой и определяется вектором N , координатами которого являются коэффициенты целевой функции), можно найти оптимальное решение x

2
1
1
 4 10 
 ( x 1 , x 2 )   ;   ( 1 ; 3 ).
3
3
3 3 
Рис. 1.6.
Для получения оптимального решения рассматриваемой задачи линейного программирования достаточно решить систему уравнений 1 и 2 , т.к. искомая опорная точка является
пересечением прямых, соответствующих этим ограничениям:
21
2 x 1  x 2  6 , 
 x  2 x  8;
 1
2
 x1 
x 2  6  2 x 1  x 1  26  2 x 1   8 
4
10
, x2 
.
3
3
▲
Обобщая рассмотренный пример, может быть доказана
основная теорема линейного программирования. Линейная целевая функция задачи линейного программирования достигает своего экстремального (максимального или минимального) значения в угловой точке многогранника решений. Если линейная целевая функция
принимает экстремальное значение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.
Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т.е. ограничения содержат две переменные:
z  c 1 x 1  c 2 x 2  min
(1.1)
при ограничениях
a 1 1 x 1  a 1 2 x 2  b 1 ,
a 2 1 x 1  a 2 2 x 2  b 2 ,
 .............................
a x  a x  b ,
m2 2
m
 m1 1
(1.2)
x1  0 , x2  0 .
(1.3)
Допустим, что система (1.2) при условии (1.3) совместна и ее многоугольник решений
ограничен. Каждое из неравенств (1.2) и (1.3), как отмечалось выше, определяет полуплоскость с граничной прямой: a i 1 x 1  a i 2 x 2  bi
i  1,2 ,...,m  ,
x 1  0 , x 2  0 . Ли-
нейная целевая функция (1.1) при фиксированных значениях z является уравнением прямой
линии: c 1 x 1  c 2 x 2  const . Построим многоугольник решений системы ограничений
(1.2) и график линейной целевой функции (1.1) при z  0 (рис. 1.7).
Тогда поставленной задаче линейного программирования можно дать следующую интерпретацию:
найти
точку
многоугольника
решений,
в
которой
c 1 x 1  c 2 x 2  const - опорная и функция z при этом достигает минимума.
прямая
22
Рис. 1.7.

Значения z  c 1 x 1  c 2 x 2 возрастают в направлении вектора N  c 1 , c 2  , поэтому

прямую z  0 передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора N .
Из рис. 1.7 следует, что прямая z дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках A и C ), причем минимальное значение принимает в точке A .
Координаты точки A x 1 , x 2  находятся решением системы уравнений прямых AB и AE .
Если многоугольник решений представляет собой неограниченную многоугольную область, то возможны два случая.

1. Прямая c 1 x 1  c 2 x 2  const , передвигаясь в направлении вектора N (максимизация) или противоположно ему (минимизация), постоянно пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к нему. В этом случае линейная целевая функция
не ограничена на многоугольнике решений как сверху, так и снизу (рис. 1.8).
Рис. 1.8.
23
2. Прямая, передвигаясь, все же становится опорной относительно многоугольника решений (рис. 1.9, рис. 1.10, рис. 1.11). Тогда в зависимости от вида области линейная целевая
функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу (рис. 1.9), ограниченной
снизу и неограниченной сверху (рис. 1.10), либо ограниченной как снизу, так и сверху (рис.
1.11).
Рис. 1.9.
Рис. 1.10.
Рис. 1.11.
24
На выявленной закономерности основывается общий метод решения задачи линейного
программирования: для поиска оптимального решения достаточно последовательно рассматривать конечное число опорных точек в направлении требуемого изменения (максимизации
или минимизации) целевой функции. При этом каждая опорная точка соответствует решению определенного числа уравнений из ограничений задачи линейного программирования.
▼
Пример
На некотором предприятии, выпускающем изделия двух типов, производственная мощность цеха сборки составляет 100 изделий первого или 300 изделий второго типа в сутки.
Если x 1 - количество выпускаемых в сутки изделий первого типа, x 2 - второго, то вся продукция цеха в пересчете на изделия второго типа составляет 3 x 1  x 2 штук в сутки.
Отдел технического контроля в состоянии проверить не более 150 изделий (любого типа) в сутки.
Требуется при этих условиях описать все возможные планы выпуска продукции в сутки,
т.е. сколько изделий первого типа и сколько второго может выпускаться в сутки, чтобы потом выбрать план, обеспечивающий предприятию наибольшую прибыль.
Решение
Искомые планы должны удовлетворять следующим условиям:
 3 x 1  x 2  300 ,
 x1  x 2  150 ,
 x1  0 , x 2  0.
Область решений этой системы линейных неравенств будет множеством всех возможных планов выпуска продукции в сутки.
Построим на плоскости область решений первого неравенства из рассмотренной выше
системы линейных неравенств:
3 x 1  x 2  300 .
Сначала определяются точки, в которых уравнение пересекает оси координат:
3 x1  x 2  300 ,
x1  0 , x 2  300 ;
x 2  0 , x 1  100 .
Затем через них проводится прямая.
25
Чтобы определить полуплоскость, соответствующую неравенству, подставим в него точку 0 ;0  .
Если неравенство
3 x 1  x 2  300
выполняется, значит, оно задает ту полуплоскость, в которой находится точка 0 ;0  . Если
не выполняется, значит – другую полуплоскость.
3  0  0  300 - выполняется.
Построив полуплоскости для всех неравенств рассматриваемой системы, найдем область
решений как пересечение этих полуплоскостей.
№ п/п
Уравнения
1
3 x1  x2  300
2
x 1  x 2  150
x1
x2
0
100
0
150
300
0
150
0
26
Докажем, что одна из угловых точек области решений рассматриваемой системы линейных неравенств будет соответствовать плану выпуска продукции в сутки, обеспечивающему
предприятию максимальную прибыль.
Пусть известно, что изделие первого типа стоит вдвое дороже, чем изделие второго типа.
Тогда продажа произведенных за сутки изделий принесет прибыль (целевая функция):
2 x1  x 2  c .
Изобразим эту прямую для разных значений числа c .
2 x1  x2  225
2 x 1  x 2  200
2 x 1  x 2  100
С ростом числа c рассматриваемая прямая параллельно смещается “вверх” (по стрелке).
Следовательно, своего наибольшего значения число c (прибыль) достигнет в угловой точке
с координатами 75 ;75  :
2 x1  x 2  2  75  75  225  c .
27
Итак, план выпуска продукции, предписывающий изготовлять 75 изделий первого типа
и 75 изделий второго типа в сутки, является оптимальным и обеспечивает предприятию
наибольшую суточную прибыль при заданных условиях.
▲
Вопросы для самопроверки

Что представляет собой математическая модель, необходимая для решения задачи ли-
нейного программирования?

Чем геометрически представляется целевая функция задачи линейного программирова-
ния?

Как геометрически находится оптимальное решение задачи линейного программирова-
ния?

Как аналитически рассчитывается значение оптимального решения задачи линейного
программирования?

В чем состоит основная теорема линейного программирования?

Как можно интерпретировать формальную суть задачи линейного программирования?

В чем заключается общий метод решения задачи линейного программирования?
Задания для самостоятельной работы
▼
Пример
Представить графическое решение задачи линейного программирования:
2 x1 
x2  m a x
при ограничениях
1
x1 
x2 
2,
2
x1 
x2 
6,
3
4
2 x1  5 x2  2 5 ,
x1  0 , x 2  0
.
В ответе указать:



1) оптимальное решение x 2  ( x 1 , x 2 ) ;

2) оптимальное значение целевой функции z .
28
Решение
Строим прямые, соответствующие уравнениям:
1
x1 
x2 
2,
2
x1 
x2 
6,
3
4
2 x1  5 x2  2 5 ,
x1  0 , x2  0
.
Определим пересечение полуплоскостей, соответствующих ограничениям:
1
x1 
x2 
2,
2
x1 
x2 
6,
3
4
2 x1  5 x 2  2 5 ,
x1  0 , x 2  0
.
Построим прямую, соответствующую целевой функции и проходящую через точки
А2;0  и Б 4;2 :
29
z A  2 x1  x2  4 ,
z Б  2 x1  x2  6 .
Судя по направлению увеличения целевой функции z , опорная точка Б является оптимальной.
Координаты точки Б , являющиеся решением задачи, могут быть найдены решением системы линейных уравнений (1) и (2), т.к. эта точка находится на пересечении соответствующих прямых:
1
x1 
x2 
2,
2
x1 
x2 
6.
Складывая уравнения системы, получим:
2 x 1  8, x 1  4.
Подставляя найденное значение
x 1  4 в любое из этих уравнений, найдем:
4  x 2  2, x 2  2, или 4  x 2  6 , x 2  2.
Ответ:
1) оптимальное решение x

2
 ( x 1 , x 2 )  ( 4 , 2 ) ;



2) оптимальное значение целевой функции z  2 x1  x 2  6 .
▲
Представить графическое решение задачи линейного программирования.
В ответе указать:
1) оптимальное решение x

2
 ( x 1 , x 2 ) ;

3) оптимальное значение целевой функции z .
30
1. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2 
1,
1 0 x1 
x2  2 0 ,
x1 
x2 
8,
x1  0 , x 2  0 .
2. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
1 0 x1 
x2  2 0 ,
x1 
x2 
9,
x1 
x2  1 ,
x1  0 , x 2  0 .
3. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2  1 0 ,
x1 
x2 
1,
1 0 x1 
x2  2 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
4. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2 
1,
2 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
5. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
5 x1 
x2  2 0 ,
x1 
x2  1 0 ,
x1 
x2 
1,
x1  0 , x 2  0 .
31
6. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2  1 0 ,
x1 
x2 
1,
4 x1 
x2  2 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
7. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2 
1,
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
8. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 0 ,
x1 
x2 
2,
x1  0 , x 2  0 .
9. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2  1 0 ,
x1 
x2 
3,
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
10. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2 
4,
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
32
11. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 0 ,
x1 
x2 
5,
x1  0 , x 2  0 .
12. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2 
8,
x1 
x2  5 ,
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
13. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2 
5,
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  9 ,
x1  0 , x 2  0 .
14. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 1 ,
x1 
x2 
5,
x1  0 , x 2  0 .
15. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2  1 2 ,
x1 
x2 
5,
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
33
16. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2 
5,
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 3 ,
x1  0 , x 2  0 .
17. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 4 ,
x1 
x2 
5,
x1  0 , x 2  0 .
18. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2  1 5 ,
x1 
x2 
5,
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
19. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2 
5,
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 6 ,
x1  0 , x 2  0 .
20. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 7 ,
x1 
x2 
5,
x1  0 , x 2  0 .
34
21. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2  1 8 ,
x1 
x2 
5,
1 0 x1  3 x 2  6 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
22. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2 
5,
2 0 x1  7 x 2  1 4 0 ,
x1 
x2  1 8 ,
x1  0 , x 2  0 .
23. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
5 x1  2 x 2  4 0 ,
x1 
x2  1 8 ,
x1 
x2  5 ,
x1  0 , x 2  0 .
24. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2  1 8 ,
x1 
x2 
5,
2 0 x1  9 x 2  1 8 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
25. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2  5 ,
2 x1 
x2  2 0 ,
x1 
x2  1 8 ,
x1  0 , x 2  0 .
35
26. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
2 0 x1  1 1 x2  2 2 0 ,
x1 
x2  1 8 ,
x1 
x2 
5,
x1  0 , x 2  0 .
27. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2  1 8 ,
x1 
x2  5 ,
5 x1  3 x 2  6 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
28. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2 
5,
2 0 x1  1 3 x 2  2 6 0 ,
x1 
x2  1 8 ,
x1  0 , x 2  0 .
29. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
1 0 x1  7 x 2  1 4 0 ,
x1 
x2  1 8 ,
x1 
x2 
5,
x1  0 , x 2  0 .
30. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
1
2
3
4
x1 
x2  1 8 ,
x1 
x2 
5,
4 x1  3 x2  6 0 ,
x1  0 , x 2  0 .
36
31. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
x1 
x2  6 ,
4 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 8 ,
x1  0 , x 2  0 .
1
2
3
4
32. 5 x1  2 x 2  m a x
при ограничениях
4 x1  3 x 2  6 0 ,
x1 
x2  1 8 ,
x1 
x2  7 ,
x1  0 , x 2  0 .
1
2
3
4
33÷42. Из трех сортов бензина образуются две смеси. Первая состоит из A1 % бензина
первого сорта, B 1 % бензина 2-ого сорта, C 1 % бензина 3-его сорта; вторая - A2 % - 1-ого,
B 2 % - 2-ого, C 2 % - 3-его сорта. Цена 1-ой смеси – 305 у.е., второй – 200 у.е. за тонну.
Сколько смеси первого и второго вида можно изготовить из «а» тонн 1-ого сорта, «в» тонн 2ого сорта и «с» тонн 3-ого сорта, чтобы получить максимальный доход?
№
задач
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
A1
B1
C1
A2
B2
C2
а
в
с
80
70
70
60
60
60
60
60
70
70
10
20
10
20
10
30
40
30
-
10
10
20
20
30
10
40
30
20
20
30
30
30
30
10
20
10
20
30
40
40
20
50
30
80
10
60
60
50
40
30
50
20
40
10
70
30
20
16
28
26
24
39
27
18
24
14
28
13
32
18
10
20
15
48
14
45
42
21
30
16
16
21
8
14
42
21
20
43. Фирма выпускает изделия двух типов: А и В. При этом используется сырье четырех
видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции и запасы сырья заданы в таблице.
Изделия
А
В
Сырье
1
2
3
2
1
0
3
0
1
4
2
1
37
Запасы сырья 1-ого вида составляют 21 ед., 2-ого вида – 4 ед., 3-его вида – 6 ед. и 4-ого
вида – 10 ед. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 300 р., одного изделия типа В –
200 р.
Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход.
44. Обработка деталей А и В может производиться на трех станках, причем каждая деталь должна последовательно обрабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации
детали А – 100 р., детали В – 160 р. Исходные данные приведены в таблице.
Норма времени на обработку
одной детали, ч
А
В
0,2
0,1
0,2
0,5
0,1
0,2
Станки
1
2
3
Время работы
Станка, ч
100
180
100
Определить производственную программу, максимизирующую прибыль при условии:
спрос на деталь А – не менее 300 шт., на деталь В – не более 200 шт.
45. В суточный рацион включают два продукта питания П 1 и П 2 , причем продукта
П 1 должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость 1 ед. продукта П 1 составляет 2 р., продукта П 2 - 4 р. Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в таблице.
Содержание питательных
веществ в 1 ед. продукта
Питательные
вещества
Минимальная
норма
потребления
П1
П2
А
В
120
160
0,2
0,4
0,2
0,2
Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей.
46÷55. Дана задача линейного программирования
  c x
Lx
2
1
при ограничениях
1
 c 2 x 2  max min 
38
a 1 1
a 2 1

a 3 1
a 4 1

x 1  a 1 2 x 2  b1 ,
x 1  a 2 2 x 2  b2 ,
x 1  a 3 2 x 2  b3 ,
x 1  a 4 2 x 2  b4 ,
x1 , x2  0 .
Графическим методом найти оптимальные решения при стремлении целевой функции к
максимальному и минимальному значениям.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c1
c2
a11
2
3
-1
1
-1
-2
1
-1
3
0
1
-1
1
3
-2
2
1
-1
0
2
7
5
-1
12
3
1
7
-1
-3
-1
a1 2
8
2
1
5
1
-2
6
-2
2
1
b1
a2 1
56
30
2
60
12
2
42
-2
-6
2
-2
-3
-2
-3
-3
-2
-2
-2
2
6
a2 2
3
-2
-3
2
1
3
1
3
1
7
b2
a31
6
-6
-6
6
3
6
4
12
14
42
-2
-1
1
-1
-1
-1
3
-2
3
1
a3 2
1
1
-3
2
1
3
-2
3
-4
-2
b3
a4 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-1
0
1
0
1
0
-1
a4 2
0
1
1
0
1
0
-1
0
1
0
b4
6
5
4
-2
5
4
-2
5
6
-2
56÷65. Фирма изготовляет два вида красок для внутренних (В) и наружных (Н) работ.
Для их производства используются исходные продукты: пигмент и олифу. Расходы исходных продуктов и максимальные суточные запасы указаны в таблице.
Расход и суточные запасы исходных продуктов
Исходный
продукт
Расход исходных продуктов
на 1 т краски
Краска Н
Краска В
Суточный
запас, т
Пигмент
a11
a1 2
b1
Олифа
a21
a2 2
b2
39
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для наружных (внутренних) работ никогда не превышает b 3 т в сутки. Цена продажи 1 т краски для наружных работ
- с 1 ден. ед., для внутренних работ - с 2 ден. ед.
Какое количество краски каждого вида должна производить фирма в сутки, чтобы суточный доход от реализации продукции был максимальным?
Значения коэффициентов условий задачи
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c1
c2
a11
3
1
1
2
3
2
1
3
2
4
2
1
4
2
2
1
2
4
3
5
1
2
3
3
1
3
3
1
1
1
a1 2
2
1
2
1
1
4
1
1
1
2
b1
a2 1
6
6
12
3
4
24
6
6
7
8
2
1
1
3
4
2
1
2
2
4
a2 2
1
2
2
2
1
1
1
1
1
3
b2
b3
8
6
6
12
8
8
5
8
10
24
2
2,5
3,5
4
4
3
1
4,5
6
3