«Методика обучения решению математических задач». Доклад на тему:

Доклад на тему:
«Методика обучения решению
математических задач».
Выполнила учитель
математики
Замараева И.К.
Если внимательно проанализировать содержание школьного курса математики, то можно
увидеть, что он в основном состоит из теоретического обоснования способов решения различных
видов задач. Поэтому естественно, что решению задач уделяется огромное внимание и
значительное учебное время. За годы обучения в школе каждый ученик решает боле 10 тысяч
различных задач.
Решение задач используется для различных учебных целей: для формирования мотивации и
интереса к учебной деятельности у учащихся, для иллюстрации и конкретизации изученного
учебного материала, выработки у учащихся специальных умений и навыков, для контроля и
оценки результатов их учебной работы.
Но есть одна цель обучения математике, которая, к сожалению, меньше всего достигается в
процессе обучения, - это формирование у учащихся общего подхода, общего умения решать
любые математические задачи.
Ведь действительно, частные способы решения отдельных видов задач, изучаемых в школе,
могут быть скоро забыты, и в этом ничего страшного нет, а вот общее умение, общий подход к
решению задач должен сохраниться у каждого выпускника школы надолго, на всю жизнь. Ибо
этот общий подход к решению любых математических задач есть, по сути дела, модель разумного
подхода к решению любых бытовых, практических и иных задач, которые будут повседневно
встречаться человеку на протяжении всей его жизни. Ведь жить – это значит решать задачи!
А между тем подавляющее большинство выпускников школы так и не овладевают в должной
степени этим общим умением и, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, не
знают, как к ней подступиться, с чего начать решать задачу, и после нескольких неудачных
попыток отказываются от этого, как они считают, безнадежного дела, при этом обычно
произносят печально известные слова: «А мы такие не решали».
Основная причина такого положения, как показывают психологические исследования, состоит
в том, что традиционная методика обучения решению математических задач не обеспечивает
формирования у учащихся общих умений и способностей в решении этих задач.
Рассмотрим, в чем состоит эта традиционная методика. Анализ её показывает, что в ней в той
или иной пропорции используется несколько методов обучения.
Первый метод состоит в том, что все задачи, которые считается необходимым перерешать с
учащимися, разбиваются на многочисленные виды. Число этих видов может быть различным. Так.
В прошлом веке в ряде пособий выделялось свыше 100 таких видов, в настоящее время число этих
видов тоже не малое. Для каждого вида задач разрабатывается так называемый типовой способ
решения, который учитель подробно демонстрирует (выводит) на нескольких примерах-задачах.
Затем учащиеся решают большое число задач этого вида на уроках у доски или самостоятельно
дома.
Естественно, что такой метод обучения может сформировать у учащихся лишь частные
умения в решении типовых задач, причем эти умения, как правило, весьма нестойкие, которые
учащиеся в лучшем случае «доносят» до письменных экзаменов, а потом быстро теряют. И лишь у
некоторых наиболее одаренных учащихся вырабатывается
интуитивное обобщенное умение
поиска способа решения задач.
Второй метод состоит в том, что в процессе обучения решается кроме типовых задач большое
число разнообразных, так называемых развивающих задач. Д. Пойа так советовал: «Если хотите
научиться решать задачи, то решайте их! При этом К.И. Нешков и А.Д. Семушин указывали, что
«наибольшая польза от этих задач получается тогда, когда они достаточно разнообразны по
содержанию и способам решения».
Как видим, эти авторы уповают на природные способности учащихся, а поэтому этот метод
помогает только таком школьникам, ставя учащихся с менее развитыми способностями в
унизительное положение наблюдателей чужих успехов.
Третий метод начал широко применятся у нас не так давно, главным образом под
воздействием книг Д. Пойа. Состоит он в том, что учащимся даются общие эвристические схемы
процесса решения задач или поиска способа решения, подобных тем, которые приведены в конце
книги Д. Пойа «Как решать задачу». Несомненно, что использование этого метода в сочетании с
первыми двумя явилось большим шагом вперед в развитии методики обучения решению
математических задач.
Однако и этот метод не дал ощутимых результатов в обучении решению задач. Эвристические
схемы, которые в разных вариантах давались учащимся, настолько общие и абстрактные, что их
использование приносило (эти схемы) пользу лишь наиболее развитым учащимся, а остальные эти
схемы практически не научились применять. Ведь математические задачи очень разнообразны, и
указания типа «Понять предложенную задачу» или «Сформулировать отношения между
неизвестными и данными» мало помогают в поиске способа их решения.
Проведенный с психологической точки зрения анализ выявил две основные причины неудач
сложившейся лет 30 назад практике обучения.
Первая причина сугубо психологическая. Для того чтобы школьник овладел какой-либо
деятельностью (а решение задач есть умственная деятельность), он должен твердо этого захотеть и
направить все свои силы и способности на овладение ею. Основным мотивом решения задач
должно быть овладение умениями в этом деле. Только тогда эта деятельность станет
действительным средством формирования общих умений и способностей в решении любых задач.
Между тем массовые обследования, которые были организованы, показали, что основными
мотивами решения задач учащимися являются внешние мотивы благополучия (чтобы не ругали
учителя и родители), оценки и престижа (это уже лучше, ибо дает хотя бы внешний стимул к
активности в процессе решения задач). У подавляющего большинства учащихся решение задач не
вызывает большого интереса, они пассивно относятся к этому процессу, и многие из них
предпочитают списывание с доски или у товарища.
Но вопрос о мотивации и развитии интереса к решению задач требует особого обсуждения.
Заметим лишь, что во многом характер мотивации зависит от организации процесса обучения
решению задач. Существующая организация не способствует формированию глубокого
внутреннего интереса к этой деятельности у большинства учащихся.
Поэтому перейдем к рассмотрению второй причины, имеющей не только психологический, но
и методический характер. Эта причина неудач в обучении решению задача состоит в следующем.
Решение задач есть сложная умственная деятельность. Для того чтобы сознательно овладеть
ею, надо, во-первых, иметь ясное представление о её объектах и сущности, во-вторых,
предварительно овладеть теми элементарными действиями операциями, из которых состоит эта
деятельность и. наконец, в-третьих, знать основные методы её выполнения и уметь ими
пользоваться.
К сожалению, современная методика обучения решению задач ни первого, ни второго, ни
третьего не содержит. Поэтому-то она – традиционная методика – и не эффективна.
Представьте себе, что нужно обучить учащихся ПТУ изготовлению мебели. Неужели
обучение начнем с того, что предложим им изготовить табуретку? Нет, так не учат этому ремеслу.
Сначала учат разбираться в материалах, которые используются при изготовлении мебели,
рассказывают, как устроены те или иные образцы мебели. Затем учащихся обучают выполнению
отдельных операций разными инструментами: пилить, строгать, клеить и т.д. Наконец, им
показывают основные методы изготовления мебели: как делают отдельные детали мебели, как их
соединяют т.д. И только потом ученикам предлагают изготовить ту самую табуретку.
Точно так же обучают и токарному, и слесарному и вообще любому делу. Иными словами,
для того, чтобы человек сознательно овладел каким-либо сложным делом, ему нужно дать
необходимые знания об объектах, с которыми ему придется иметь дело, научить отдельным
действиям и операциям, из которых состоит его будущая работа, обучить основным методам этой
работы.
А ведь решение задач – это еще более сложная работа, деятельность, чем изготовление мебели
или каких-либо других предметов. Мы хотим, чтобы учащиеся овладели этой деятельностью, но
не даем им никаких, по сути дела необходимых, знаний и умений для этого. Знакомство учащихся
с общими эвристическими схемами, конечно, полезно, но не спасет положения. Надо дать
учащимся указанные выше основы, на базе которых только и можно сформировать у них навыки
сознательной и разумной деятельности по решению задач.
В чем же состоят эти основы?
Очень кратко изложим их. При этом знания и отдельные умения, входящие в эти основы, не
следует выделять в какую-то особую тему. Их нужно давать и формировать у школьников
попутно, в процессе изучения курса математики в течение всех лет обучения, и к одному и тому
же вопросу необходимо возвращаться неоднократно, с тем, чтобы по мере взросления учащихся
уточнять, углублять полученные ранее сведения и умения.
1. Учащиеся должны иметь представление о том, как возникают задачи, откуда они берутся.
Первичным источником задач является проблемные и задачные ситуации. С этой точки зрения
задачи – это знаковые модели таких ситуаций. Если центральным элементом проблемной или
задачной ситуации является субъект, то в задаче мы от него абстрагируемся. Поэтому задачи
можно переделывать, придумывать. Чтобы учащиеся в этом убедились, полезно широко
использовать различные задания на составление задач.
2. С логической точки зрения, в каждой задаче рассматривается один или несколько объектов
задачи (числа, фигуры, предметы и т.д.). Относительно каждого такого объекта в задаче
указываются его качественные или количественные характеристики в форме высказываний,
принимаемые нами за истинные, или высказывательных форм. Эти высказывания или
высказывательные формы будем называть элементарными условиями (весьма часто всю
формулировку задачи называют её условием; мы предпочитаем другие термины: «формулировка»
или «текст задачи»). Кроме условий в текст задачи входит еще вопрос или требование задачи.
Следует иметь в виду, что, как правило, текст задачи дается в свернутом, сокращенном виде.
И очень важно, чтобы учащиеся научились развертывать его в систему взаимосвязанных
высказываний и требований – высказывательную модель задачи. В большинстве случаев для этого
удобно вводить какие-то обозначения, чертежи в геометрических задачах и т.д. Например.
Задача 1.на большем катете, как на диаметре, описана полуокружность. Определить длину
этой полуокружности, если меньший катет равен 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого
угла с точкой пересечения гипотенузы с полуокружностью, равна 24 см.
В данном случае, для того, чтобы развернуть текст задачи, удобно предварительно построить
чертеж.
Тогда
получаем
такую
систему
высказываний
и
требований,
образующих
высказывательную модель этой задачи:
1) треугольник АВС – прямоугольный,
2) катет АС больше катета ВС,
3) катет ВС равен 30 см.
4) катет АС есть диаметр полуокружности ADC,
5) АВ – гипотенуза треугольника АВС,
6) точка D есть точка пересечения полуокружности с гипотенузой АВ,
7) точка С – вершина прямого угла треугольника АВС,
8) CD – хорда полуокружности, равна 24 см.
Требования задачи: найти длину полуокружности ADC.конечно, нет надобности, чтобы
учащиеся развертывали текст задачи в стол подробную систему высказываний; некоторые
высказывания очевидны из рисунка. Но они должны ясно отдавать себе отчет, что текст любой
задачи обычно является свернутым и для решения задачи его надо в уме или письменно
развернуть.
В ряде случаев при развернутом тексте задачи в высказывательную модель приходится
вводить неявно заданные, но предполагаемые условия. При этом возможно много различных и
весьма интересных случаев, и их рассмотрение с учащимися очень полезно.
3. Каждое элементарное условие имеет определенную структуру. Если в условии имеется
один объект, то указывается его качественная и количественная характеристика. Например, в
условиях 1) и 3) имеется по одному объекту (треугольник АВС и катет ВС). Относительно первого
объекта указана его качественная характеристика – он прямоугольный, а относительно катета ВС
указана количественная характеристика – он равен 30 см.
В зависимости от этого объекты условий могут быть известными (данными), неизвестными, в
том числе неопределенными, промежуточными или вспомогательными неизвестными и
искомыми.
Если же в условии заданы два или больше объектов, как, например, в условии 2, то обычно
указывается отношение между ними (в условии 2 указано, что катет АС больше катета ВС).
4. В зависимости от характера объектов задачи делятся на чисто математические, в которых
все объекты – математические (числа, фигуры, функции, уравнения и т.д.) и на прикладные, или
практические, в которых некоторые объекты не математические (предметы, машины и т.д.).
По характеру требований все математические задачи делятся на следующие виды: 1) на
нахождение искомой характеристики (количественной или качественной) заданного объекта или
искомого отношения между объектами;
2) на доказательство;
3) на преобразование некоторого объекта;
4) на построение объекта.
По отношению между элементарными условиями и требованиями задачи делятся на такие
виды: 1) определенные, в которых задано необходимое и достаточное число условий для
удовлетворения требования, то есть для решения задачи;
2) недоопределенные, в которых недостаточно условий для решения;
3) переопределенные, имеющие излишние условия, которые, в свою очередь, делятся на такие
виды:
а) лишние условия являются логическими следствиями остальных, а поэтому задача
непротиворечивая;
б) лишние условия противоречат другим условиям (противоречивые задачи).
Если в задаче имеется один главный объект, а остальные объекты являются его частями
(элементами), то возможны такие случаи:
1) условия задачи определяют один главный объект;
2) они определяют несколько различных главных объектов;
3) условия определяют бесконечное множество главных объектов, при этом это множество
имеет какое-то обычно искомое характеристическое свойство;
4) условия задачи не определяют никакого главного объекта, то есть при данных условиях
этот объект не существует, хотя можно (формально) найти требуемые его характеристики.
Наличие в учебных пособиях задач последнего вида было впервые установлено еще в 1955 году.
5. Очень важно, чтобы учащиеся уяснили на ряде примеров, в чем состоит сущность решения
задач: решить математическую задачу (чисто математическую или прикладную) – это значит
найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем,
правил, формул и т.д.), применяя которые к условиям задачи или к промежуточным результатам
процесса решения (то есть к следствиям условий), можно удовлетворить требования задачи. Эта
последовательность общих положений образует теоретическую базу решения задачи.
6. Процесс решения математических задач состоит из следующих основных этапов:
7. 1) анализ задачи (содержательный и логический);
2) схематическая запись условия;
3) поиск способа решения; нахождение теоретической базы решения;
4) осуществление способа решения;
5) проверка найденного решения;
6) исследование задачи и найденного решения;
7) формулирование ответа задачи;
8) учебно-познавательный анализ задачи и её решения.
Из этих восьми этапов обязательными для решения любой задачи являются 1, 3, 4 и 7-й.
остальные этапы необязательны, и при решении более простых задач они опускаются. При этом в
реальном процессе решения все эти этапы выполняются обычно не последовательно, а некоторые
из них параллельно и, возможно, в другом порядке, не отделяя один этап от другого.
Особое значение имеет 8-й этап, который применяется к наиболее важным типовым задачам.
Ведь учащиеся решают задачи не для того, чтобы найти их ответы (они заранее известны), а для
того, чтобы чему-то научиться, чем-то овладеть. Вот и нужно обсудить после решения задачи,
чему учащиеся научились в процессе решения, что важно запомнить и учесть в дальнейшем при
решении задач.
Перечисленные выше в пяти пунктах знания о задачах, сущности и процессе решения
образуют тот минимум знаний, который составляет первую часть основ, на базе которой только и
можно формировать разумную, сознательную деятельность учащихся по решению задач.
Процесс решения математических задач состоит из ряда этапов и на каждом этапе ученику
приходится выполнять ряд действий и операций при решении почти любой задачи. Так, на первом
этапе анализа задачи ученик должен уметь расчленять текст задачи на элементарные условия и
требования, уметь устанавливать объекты условий и их характеристики, определять характер этих
объектов и ряд других действий. То же и на последующих этапах.
Особо стоит этап поиска способа решения. Он главный и наиболее сложный в процессе
решения задачи, от его разумного выполнения зависит, сумеет ли ученик решить задачу или не
сумеет.
Для того чтобы учащиеся при решении сложной задачи имели возможность сосредоточить все
свои способности и внимание на главном – на поиске способа решения, нахождении
теоретической базы решения. Они должны иметь прочные умения и навыки в выполнении всех
элементарных действий и операций, которые придется применять в процессе решения, с тем,
чтобы они не отвлекали внимание и силы учащихся от главного.
Поэтому одновременно с овладением учащимися указанными знаниями они должны
приобрести прочные, хорошо развитые умения и навыки в выполнении указанных действий и
операций.
Эти умения и навыки отрабатываются учащимися с помощью системы соответствующих
учебных заданий. Например:
1. Дан текст какой-то задачи. Расчленить её на условия и требования.
2. Дан текст задачи и запись её решения. Проделать всеми возможными способами проверку
решения. И т.д.
Приводимые в этих заданиях математические задачи ни в коем случае не решаются. Они
используются лишь как материал для выполнения задания, ибо если учащиеся будут
одновременно и решать задачи, то их внимание будет сосредоточено именно на решении, а не на
приобретении соответствующего навыка.
Очень полезным видом учебных заданий является самостоятельное составление учащимися
математических задач. Составление задач способствует лучшему уяснению самих задач, их
структуры и механизма решения. Так, например, задания:
1) по данной схематической записи задачи составить текст задачи;
2) по данному чертежу составить текст задачи – и им подобные помогут учащимся уяснить
сущность схематической модели задачи и способов её построения.
Последняя часть базы обучения решению математических задач – общие методы решения
этих задач.
У большинства учеников в результате решения огромного числа задач складывается
представление. Что существует необозримое число различных методов и способов решения
математических задач и разобраться в этом многообразии очень сложно. Поэтому многие и не
пытаются этого сделать, не утруждают себя в самостоятельном обобщении используемых
способов решения. А существующая методика, учебники и пособия не вычленяют этих общих
методов, общих идей, лежащих в основе различных способов решения задач, которые приводятся
в учебниках.
Конечно, некоторые ученики интуитивно общими методами и идеями как-то овладевают. Но
методика должна помочь всем ученикам овладеть общими идеями и методами, используемыми
при решении задач.
В первую очередь учащиеся должны уяснить следующую общую идею, лежащую в основе
всех методов и способов решения задач: чтобы решить какую либо новую задачу, надо свести её к
одной или нескольким ранее решенным задачам.
Все математические задачи следует разделить на алгоритмические или стандартные и на
эвристические, или нестандартные.
Алгоритмические, или стандартные, задачи – это те, для решения которых в курсе математики
имеется определенный алгоритм, и способ решения задач состоит в применении алгоритма к
условиям решаемой задачи.
Методика обучения решению этих задач достаточно хорошо разработана, и нет нужды в её
обсуждении. Но есть одно замечание. Дело в том, что все алгоритмы в курсе математики
формулируются в свернутом виде: в виде правила, формулы, зачастую алгоритм содержится в
неявном виде в теореме, определении и т.д. Для того чтобы ученик мог применить алгоритм к
решению конкретной задачи, он должен, во-первых, уметь вычленить этот алгоритм из
определения, теоремы, увидеть его в правиле, формуле, а во-вторых, он должен уметь
развертывать этот алгоритм в пошаговую программу. Этому надо систематически учить учащихся,
а традиционная методика такое обучение не подразумевает.
Для решения же нестандартных задач учащиеся должны сами составить способ их решения.
Чтобы поиск и изобретение способа решения таких задач производились учащимися разумно, по
определенному плану, они должны знать и владеть общими эвристическими методами решения
математических задач. Эти общие методы следует сообщать учащимся постепенно, иллюстрируя
их достаточным числом примеров. К разбору этих методов необходимо возвращаться
неоднократно при встрече с новыми задачами, где эти методы используются.
Рассмотрим очень кратко основные методы.
I метод. Разбиение задачи на подзадачи.
Этот метод состоит в том, что сложную задачу разбивают на несколько более простых, по
возможности стандартных, задач, при последовательном решении которых решим и данную
задачу.
Этот метод имеет три разновидности.
А. разбиение условий задачи на части. Классическим примером использования этого метода
является решение текстовых задач «по вопросам». Но этот метод используется и при решении
очень многих других задач.
Б. разбиение требования задачи на части. Зачастую требования задачи – ее вопрос – бывает
таким сложным, что сразу ответить на него очень трудно. Тогда, если возможно. Целесообразно
разбить его на несколько более простых вопросов.
В. Разбиение объекта задачи на части. Когда объект задач сложный или представляет собой
бесконечное множество. То иногда полезно разбить его на части и решить задачу для каждой
части отдельно.
Задача 2. Доказать. Что не существует на плоскости таких четырех точек A, B, C, D, что
треугольники ABC, ABD, ACD, BCD все остроугольные (предполагается, что никакие из
этих трех точек не лежат на одной прямой).
Объект зачади – четверки точек. На плоскости имеется бесконечное множество таких
четверок точек. Разобьем их на части следующим образом. Первые три точки A, B, C могут
образовать остроугольный треугольник ABC. Теперь остается доказать, что где бы не находилась
точка D относительно ∆АВС, образующиеся при этом четыре треугольника не могут быть все
остроугольные, т.е. по крайней мере один из них не остроугольный. Четвертая точка D может
находиться: а) внутри ∆АВС; б) в одном из углов, вертикальных по отношению к внутренним
углам ∆АВС; в) в одном из незамкнутых трёхсторонников, образующихся стороной ∆АВС и
продолжениями двух других сторон.
Тем самым мы разбили исходную задачу на три более простые задачи, каждую из которых
несложно решить.
II метод. Преобразование задачи.
Этот метод заключается в том, что с помощью какого-либо приема мы преобразуем данную
задачу в более простую, знакомую нам, эквивалентную задачу. Этот метод очень широко
применяется, так что трудно перечислить все те приемы, которые используются при этом.
Наиболее известными являются приемы замены неизвестных (метод подстановки). Приём (метод)
геометрических преобразований и т.д.
III метод. Кодирование объектов задачи.
Как в предыдущем методе мы заменяем данную задачу ей эквивалентной. Но в отличие от II
метода, где замена происходила в пределах одного и того же языка задачи, т.е. алгебраическая
задача заменялась также алгебраической, геометрическая – геометрической, данный метод
предполагает переход от данного языка к другому с помощью кодировки объектов задачи. Так,
например, текстовая задача заменялась уравнением или системой уравнений, геометрическая
задача с помощью введения системы координат заменяется алгебраической задачей т.д.
IV метод. Введение (построение) вспомогательных элементов.
Этот метод используется для придания задаче определенности, если в ней имеются явно или
неявно заданные неопределенные неизвестные, а так же тогда, когда связь (отношение,
зависимость) между данными и искомым непосредственно из условий задач не видна (не может
быть установлена). Классическим примером использования этого метода является решение задач
«на бассейны». Например, для решения задачи «Через первую трубу бассейн заполняется водой за
10 часов, а через вторую за 15 часов. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть
одновременно обе трубы?», - обычно неопределенное неизвестное – объем бассейна – принимают
за единицу измерения, хотя можно принять, что объем бассейна равен, например 120 гл, тогда
через первую трубу за час протекает 12 гл, а через вторую – 8 гл, следовательно, через обе трубы
протекает 20 гл, а потому бассейн в этом случае наполнится за 8 часов.
При решении многих задач приходится использовать не один какой-то метод, а несколько.
Конечно, для решения некоторых математических задач приходится использовать ещё и
какие-то другие методы. Но для подавляющего большинства школьных задач достаточно
знакомства с пройденными.
Как показывают многолетние эксперименты, использование изложенных идей дает ощутимый
эффект в обучении учащихся решению математических задач.
Литература:
1. Нешков К.И., Семушин А.Д., «Функции задач в обучении». Математика в школе. 1971, №3.
2. Пойа Д., «Как решать задачу», М. Учпедгиз. 1959г.
3. Пойа Д., «математические открытия», М.: Наука. 1970г.
4. Фридман Л.М., «О требованиях к решению (математ) геометрических задач на
вычисление» // Математика в школе. 1985 №4.
5. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М. Педагогика.
1987г.
6. Фридман Л.М, Как научиться решать задачи. М. Просвещение, 89г.