1 - (МИИГАиК) - Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ
Утвержден
Учебно-методической
комиссией МИИГАиК
от «____»__________20___ г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Математика
Москва 2014
Авторы – разработчики УМК: доц. Гонжа Е.А.
2
СОДЕРЖАНИЕ
Примерная программа дисциплины ...……………………….…..……
Методическое руководство по изучению дисциплины ……….……..
Модули дисциплины ………………………………….………………..
1. Модуль «Аналитическая геометрия и линейная
алгебра»………………………………... …..………..
1.1. Аннотация модуля (установочный элемент) ..…………………...
1.2. Методические рекомендации по самостоятельному изучению
модуля ……………………………………………………………..
1.3. Тестовые задания для контроля знаний по модулю …………….
3
МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
«Математика»
1. Общие рекомендации по порядку изучения дисциплины
Рекомендуется следующая последовательность изучения модулей:
Модуль 1 . Пределы и непрерывность функции
Модуль 2. Производная и ее приложения
Модуль 3. Неопределенные и определенные интегралы и их приложения
Модуль 4. Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Модуль 5. Функции многих переменных
Модуль 6. Кратные и криволинейные интегралы и их приложения
Модуль 7. Ряды и их приложения
Модуль 8. Дифференциальные уравнения и их приложения
Виды учебных занятий по каждому модулю и учебному элементу
представлены в таблице 1.
Таблица 1
Учебный
элемент
Наименование модулей и учебных элементов
Формы обучения
и контроля*)
Модуль I. Пределы и непрерывность функции
УЭ-1
УЭ-2
УЭ-3…
Модуль 2. Производная и ее приложения
УЭ-1…
УЭ-1
Модуль 4. Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Векторная алгебра
Л, С, СР, ПТ
УЭ-2
Плоскость и прямая в пространстве
Л, С, СР, ПТ
УЭ-3
Линии второго порядка на плоскости
Л, С, СР, ПТ
УЭ-4
Поверхности второго порядка
Л, С
УЭ-5
Матрицы и определители
Л, С, СР, ПТ
УЭ-6
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Л, С, СР, ПТ
УЭ-7
Линейные пространства. Евклидовы пространства
Л, С, ПТ
УЭ-8
Квадратичные формы
Л, С, ПТ
Примечание: Л – лекция, С – семинар, К – консультация, СР –
самостоятельная работа, ИТ –итоговое тестирование (на оценку), ПТпромежуточное тестирование (на оценку) и т.п.).
2. Особенности организации учебного процесса
4
Порядок изучения каждого модуля предполагает аудиторные занятия,
самостоятельную работу с теоретическим материалом и консультации
преподавателя.
Итоговый контроль знаний проводится посредством промежуточного
тестирования по модулю 4, а затем посредством итогового тестирования по
дисциплине в целом.
Студент считается аттестованным по каждому модулю дисциплины,
если:
он получил положительные оценки по ПТ (более 50% правильно решенных
заданий) и по ИТ (более 50% правильно решенных заданий).
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа. Под ред. А.Н. Колмогорова. Издательство
«Просвещение».
2. Геометрия. А.В. Погорелов. Издательство «Просвещение».
3. Математика. Учебно-справочные материалы. Ю.М. Нейман, Т.М.
Королева, Е.Г. Маркарян. Издательство «Просвещение». 2011г.
4. Математика. В помощь участникам ЦТ. Ю.М. Нейман, Т.М. Королева,
Е.Г. Маркарян. Москва. 2006г.
5. Дмитрий Письменный, Конспект лекций по высшей математике 1
часть, М.: Айрис пресс, 2004 (или другие издания).
6. Д.В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры,
М.: Высшая школа, 1998.
7. В.С. Щипачев, Высшая математика, М.: Высшая школа, 1998.
8. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, Высшая математика в
упражнениях и задачах, часть I, М.: Высшая школа, 1997.
9. Д.В. Клетеник, Сборник задач по аналитической геометрии, С.-П..:
Профессия, 2005.
10. Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян, Практикум по высшей
математике, Ростов-на-Дону: Феникс, 2004.
11. М.Я. Выгодский, Справочник по высшей математике, М:, 1961 (или
другие издания).
12. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник
задач по высшей математике: В 2т. Ч1. – М.: Айрис пресс, 2005.
13. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая
математика. – М.: Физико-математическая литература, 2001.
5
14. Черняк Ж.А., Черняк А.А., Феденя О.А., Серебрякова Н.Г., Булдык
Г.М. Контрольные задания по общему курсу высшей математики.СПб.: Питер, 2006.
6
МОДУЛИ ДИСЦИПЛИНЫ
«Математика»
Модуль 4. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
1. Аннотация модуля.
Учебный модуль «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
является частью дисциплины «Математика»
и входит в содержание
обучения по всем направлениям подготовки бакалавров и специалистов на
факультетах: ГФ, ФКГ, ФОИСТ, ФЭУТ, ФПКиФ, ФДФО, ГУФ.
1.1. Значимость и актуальность модуля в профессиональной подготовке
выпускника
Значимость и актуальность модуля обусловлена необходимостью
решения прикладных задач, связанных с аналитической геометрией и
линейной алгеброй.
1.2. Трудоемкость модуля
Общая трудоемкость модуля составляет 72 академических часа и равна
2 зачетным единицам.
Трудоемкость модуля по учебным элементам приведена в таблице 1.
Таблица 1
С (семинары)
ПТ (промежуточное
тестирование)
ИТ –итоговое
тестирование
Л (лекции)
Наименование учебных элементов
СР (самостоятельная
работа)
Трудоемкость
(в ак. часах/ в з.е.)
УЭ-1 Векторная алгебра
4
4
4
ПТ
УЭ-2 Плоскость и прямая в пространстве
4
4
4
ПТ
УЭ-3 Линии второго порядка на плоскости
2
2
2
ПТ
УЭ-4 Поверхности второго порядка
2
2
2
ПТ
УЭ-5 Матрицы и определители
4
4
4
ПТ
ИТ
7
УЭ-6 Решение систем линейных алгебраических
уравнений
УЭ-7 Линейные пространства. Евклидовы
пространства
УЭ-8 Квадратичные формы
4
4
4
ПТ
2
2
2
ПТ
2
2
2
ПТ
ИТ
72 часа, 2 з.е.
ВСЕГО
1.3. Критерии оценивания освоения содержания модуля
Критерии оценивания освоения содержания модуля, определяющие
уровень успеваемости студента, приведены в таблице 2.
Таблица 2
профиль
подготовки
критерий оценивания
неудовлетворит удовлетворител
хорошо
ельно
ьно
отлично
Модуль 7. Ряды и их приложения
УЭ (1-2)
Бакалавры и
специалисты
ГФ,ФОИСТ,
ФПКиФ,ФКГ,
ФЭУТ,ФДФО,
ГУФ
Менее 50%
решенных
заданий ИТ
50%-70%
правильно
решенных
заданий ИТ
71%-90%
правильно
решенных
заданий ИТ
91%-100%
правильно
решенных
заданий ИТ
1.4. Характер межпредметных связей
Характер межпредметных связей приведен в таблице 3.
Таблица 3
Название
модуля
Модуль 4.
Аналитическая
геометрия и
линейная
алгебра
Межпредметные связи
Перечень дисциплин
Перечень дисциплин (или их
(модулей), которые
разделов), для освоения
необходимо изучить до
которых необходимо сначала
освоения
изучить содержание данного
содержания данного модуля
модуля
(или изучать параллельно)
Изучение модуля базируется
Физика, теоретическая
на знании школьных разделов механика, строительная
алгебры и геометрии
механика, геодезия
2. Методические рекомендации для студентов по самостоятельному
изучению модуля
8
Для того чтобы самостоятельно изучить Модуль «Аналитическая
геометрия и линейная алгебра» необходимо ознакомиться с его подробным
содержанием приведенным ниже.
Порядок освоения содержания учебных элементов модуля
УЭ-1. Векторная алгебра
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Основные понятия векторной алгебры.
Понятие базиса на плоскости и в пространстве.
Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы.
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
УЭ-2. Плоскость и прямая в пространстве
2.1. Уравнения плоскости.
2.2. Уравнения прямой в пространстве.
2.3. Прямая и плоскость в пространстве.
УЭ-3. Линии второго порядка на плоскости
3.1. Окружность.
3.2. Эллипс.
3.3. Гипербола.
3.4. Парабола.
3.5. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему
виду.
УЭ-4. Поверхности второго порядка
4.1. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности.
4.2. Канонические уравнения эллипсоида, однополостного и двуполостного
гиперболоидов, эллиптического гиперболоида, гиперболического
параболоида.
УЭ-5. Матрицы и определители
5.1. Операции над матрицами.
5.2. Определители. Способы вычисления определителей.
9
5.3. Обратная матрица. Способы вычисления обратной матрицы.
5.4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.
УЭ-6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
6.1. Формулы Крамера.
6.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью
обратной матрицы.
6.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений способом Гаусса.
Применение теоремы Кронекера-Капелли.
УЭ-7. Линейные пространства. Евклидовы пространства
7.1. Понятие линейного пространства.
7.2. Преобразование координат при переходе к новому базису.
7.3. Собственные значения и собственные векторы оператора.
УЭ-8. Квадратичные формы
8.1. Критерий Сильвестра.
8.2. Приведение к каноническому виду уравнений линий второго порядка.
Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-1 «Векторная алгебра»
модуля «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Основные понятия
B
Вектор – направленный отрезок.
A
𝑎.
⃗⃗⃗⃗⃗ , где точка A – начало вектора, B – конец вектора. Обозначают также
Обозначение: 𝐴𝐵
малой латинской буквой со стрелкой 𝑎.
Противоположный вектор к ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 имеет начало в точке B и конец в точке A. Обозначается
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 или -𝑎.
10
⃗⃗⃗⃗⃗ | и |𝑎|.
Длина (модуль) вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 - длина отрезка AB. Обозначается |𝐴𝐵
Нулевой вектор – вектор, длина которого равна нулю. Начало и конец такого вектора
совпадают.
Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице. Обозначается как 𝑒.
Орт вектора 𝑎 - единичный вектор, направление которого совпадает с направлением
вектора 𝑎. Обозначается как 𝑎0.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на
параллельных прямых.
Такие векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Запись 𝑎||𝑏⃗
означает, что векторы 𝑎 и 𝑏⃗ коллинеарны.
Два вектора 𝑎 и 𝑏⃗ называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и
имеют одинаковые длины.
Неравные векторы
Равные векторы
Введенные таким образом векторы называются свободными. Свободный вектор можно
переносить параллельно самому себе, а его начало помещать в любую точку пространства.
Три вектора в пространстве называются компланарными,
плоскости или в параллельных плоскостях.
если они лежат в одной
Суммой 𝑎 + 𝑏⃗ векторов 𝑎 и 𝑏⃗ называется вектор, идущий из начала вектора 𝑎 в конец
вектора 𝑏⃗ при условии, что вектор 𝑏⃗ приложен к концу вектора 𝑎.
𝑏⃗
𝑎 + 𝑏⃗
𝑎
11
Говорят, что векторы складываются по правилу треугольника.
Неколлинеарные векторы можно складывать по правилу параллелограмма. Для этого
векторы 𝑎 и 𝑏⃗ прикладывают к общему началу и на них строится параллелограмм. Сумма
𝑎 + 𝑏⃗ векторов 𝑎 и 𝑏⃗ есть вектор, приложенный к их общему началу и идущий как
𝑏⃗
𝑎 + 𝑏⃗
𝑎
диагональ параллелограмма.
Чтобы сложить три или большее число векторов, нужно связать начало второго вектора с
концом первого, начало третьего вектора с концом второго и так далее. Суммарный
вектор есть вектор, идущий из начала первого в конец последнего.
𝑏⃗
𝑐
c
𝑎
𝑑
𝑎 + 𝑏⃗ +𝑐 + 𝑑
Разностью 𝑎 - 𝑏⃗ векторов 𝑎 и 𝑏⃗ называется вектор с , который в сумме с 𝑏⃗ дает 𝑎.
𝑎
с = 𝑎 - 𝑏⃗
𝑏⃗
Произведением вектора 𝑎 на число λ называется вектор 𝑏⃗ = λ∙𝑎, коллинеарный 𝑎,
имеющий длину |λ|∙|𝑎 |, направленный по вектору 𝑎, если λ > 0 и в противоположную
сторону, если λ < 0.
𝑎
3𝑎
-2𝑎
Имеют место следующие свойства произведения вектора на число:
12
1. Если 𝑏⃗ = λ∙𝑎, то 𝑎||𝑏⃗ и наоборот, если 𝑎||𝑏⃗ (𝑎 ≠ 0), то существует такое число λ, что
𝑏⃗ = λ∙𝑎.
2. Всегда 𝑎 = |𝑎 |∙𝑎0, то есть всякий вектор равен произведению его модуля на орт.
Понятие базиса на плоскости и в пространстве
Линейной комбинацией пространственных векторов ⃗⃗⃗⃗
𝑎1 , ⃗⃗⃗⃗
𝑎2 , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 называется выражение вида
𝛼1 ∙𝑎
⃗⃗⃗⃗1 + 𝛼2 ∙𝑎
⃗⃗⃗⃗2 + 𝛼3 ∙𝑎
⃗⃗⃗⃗3 , где 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 - числа.
Векторы ⃗⃗⃗⃗
𝑎1 , ⃗⃗⃗⃗
𝑎2 , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 называются линейно независимыми, если равенство 𝛼1 ∙𝑎
⃗⃗⃗⃗1 + 𝛼2 ∙𝑎
⃗⃗⃗⃗2 +
𝛼3 ∙𝑎
⃗⃗⃗⃗3 = 0 выполняется тогда и только тогда, когда все числа 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 равны нулю.
Аналогичные определения даются для векторов на плоскости.
Три линейно независимых вектора 𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 образуют в пространстве базис, если для всякого
вектора 𝑑 из этого пространства существуют такие числа λ, μ, ν, что 𝑑 = λ∙𝑎 + μ∙𝑏⃗ + ν∙𝑐 .
Два лежащих в плоскости линейно независимых вектора 𝑎 и 𝑏⃗ образуют базис, если для
всякого вектора 𝑐 из этой плоскости существуют такие числа λ, μ, что 𝑐 = λ∙𝑎 + μ∙𝑏⃗.
Справедливы следующие утверждения:
1. Любая тройка некомпланарных векторов 𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 образует в пространстве базис.
2. Любая пара лежащих в плоскости неколлинеарных векторов 𝑎 и 𝑏⃗ образует базис
на этой плоскости.
3. Каждый вектор может быть единственным образом разложен по базису (на
плоскости и в пространстве).
Пример. Дан параллелограмм ABCD. Точка P является серединой стороны BC. Найти
координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐷, если за базисные векторы приняты векторы ⃗⃗⃗
𝑒1 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷, ⃗⃗⃗
𝑒2 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 .
Решение. Изобразим параллелограмм на чертеже. Его вершины и точки P и D связываем
векторами.
B
A
P
C
D
1
1
По правилу сложения свободных векторов имеем: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 - ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 2 𝑒⃗⃗⃗1 - ⃗⃗⃗
𝑒2 .
Значит,
13
⃗⃗⃗⃗⃗ = {1 ; −1} в базисе ⃗⃗⃗
𝑃𝐷
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 .
2
Базис в пространстве может образовываться правой и левой тройками некомпланарных
векторов. Векторы 𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 в указанном порядке образуют правую тройку, если с конца
третьего вектора 𝑐 кратчайший поворот от первого вектора 𝑎 ко второму вектору 𝑏⃗ виден
против движения стрелки часов, и левую тройку, если по движению стрелки часов
𝑐
𝑐
𝑏⃗
𝑎
𝑎
𝑏⃗
Левая тройка
Правая тройка
⃗ , которые имеют единичную
Возьмем в качестве базиса в пространстве векторы 𝑖, 𝑗, 𝑘
длину, взаимно перпендикулярны и образуют в указанном порядке правую тройку.
⃗ оси Ox, Oy, Oz как показано на рисунке.
Свяжем с базисными векторами 𝑖, 𝑗, 𝑘
z
⃗
𝑘
O
𝑖
y
𝑗
,
x
Получили декартову правую прямоугольную координатную систему в пространстве.
Декартова прямоугольная координатная система на плоскости образуется базисными
векторами 𝑖 и 𝑗.
14
y
𝑗
O
x
𝑖
Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы
⃗⃗⃗⃗⃗ . Пусть A1 и B1 –
Пусть в пространстве задана направленная ось l и ненулевой вектор 𝐴𝐵
основания перпендикуляров, опущенных на ось l из точек A и B соответственно.
B
A
M
A1
m
φ
Место для формулы.
B1
n
l
⃗⃗⃗⃗⃗ на направленную ось l называется число |𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Проекцией вектора 𝐴𝐵
1 𝐵1 |, если вектор 𝐴1 𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
и ось l направлены одинаково и число - |𝐴
1 𝐵1 |, если вектор 𝐴1 𝐵1 и ось l направлены
⃗⃗⃗⃗⃗ . Если ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0.
противоположно. Обозначается пр𝑙 𝐴𝐵
𝐴1 𝐵1 = 0, то принимается, что пр𝑙 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ и осью l – угол между лучами m и n, выходящих из
Угол φ между вектором 𝐴𝐵
произвольной точки M пространства так, что луч m направлен по ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 , а луч n – по
направлению оси l.
Основные свойства проекций:
⃗⃗⃗⃗ = λпр𝑙 𝑎.
пр𝑙 𝑎 = |𝑎|∙cos 𝜑; пр𝑙 (𝑎
⃗⃗⃗⃗1 +𝑎
⃗⃗⃗⃗2 ) = пр𝑙 ⃗⃗⃗⃗
𝑎1 + пр𝑙 ⃗⃗⃗⃗
𝑎2 ; пр𝑙 𝜆𝑎
Для обозначения угла между вектором и направленной осью а также между векторами
̂
⃗⃗⃗⃗⃗
будем пользоваться обозначением вида 𝜑 = (𝐴𝐵
, 𝑙).
⃗
Можно показать, что в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz с ортами 𝑖, 𝑗, 𝑘
произвольный вектор 𝑎 пространства может быть представлен в виде
⃗,
𝑎 = 𝑎𝑥 ∙ 𝑖 + 𝑎 𝑦 ∙ 𝑗 + 𝑎𝑧 ∙ 𝑘
15
где 𝑎𝑥 = пр𝑥 𝑎, 𝑎𝑦 = пр𝑦 𝑎, 𝑎𝑧 = пр𝑧 𝑎. Это формула разложения вектора по ортам
координатных осей. Числа 𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 называются координатами вектора 𝑎 в системе Oxyz.
Кратко записывают в виде 𝑎 = {𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 ; 𝑎𝑧 }.
Введем углы между вектором 𝑎 и координатными осями Ox, Oy, Oz: 𝛼 = (𝑎̂
, 𝑂𝑥);
̂
̂
𝛽=(𝑎, 𝑂𝑦); 𝛾 = (𝑎, 𝑂𝑧). Справедливы следующие формулы:
𝑎
|𝑎| = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 + 𝑎𝑧2 ; cos 𝛼 = 𝑥 =
|𝑎|
𝑎𝑥
2 +𝑎2
√𝑎𝑥2 +𝑎𝑦
𝑧
𝑎𝑦
; cos 𝛽 =|𝑎| =
𝑎𝑦
2 +𝑎2
√𝑎𝑥2 +𝑎𝑦
𝑧
𝑎
; cos 𝛾 =|𝑎|𝑧 =
𝑎𝑧
2 +𝑎2
√𝑎𝑥2 +𝑎𝑦
𝑧
.
Числа cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾 называются направляющими косинусами вектора 𝑎. Они связаны
равенством: 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1. Для орта вектора имеем: 𝑎0 = {cos 𝛼; cos 𝛽; cos 𝛾}.
Если векторы 𝑎 и 𝑏⃗ заданы своими проекциями, то есть 𝑎 = {𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 ; 𝑎𝑧 }, 𝑏⃗ = {𝑏𝑥 ; 𝑏𝑦 ; 𝑏𝑧 },
то 𝑎 ± 𝑏⃗ = {𝑎𝑥 ± 𝑏𝑥 ; 𝑎𝑦 ± 𝑏𝑦 ; 𝑎𝑧 ± 𝑏𝑧 }, ⃗⃗⃗⃗
𝜆𝑎 = {𝜆𝑎𝑥 ; 𝜆𝑎𝑦 ; 𝜆𝑎𝑧 }, 𝑎 = 𝑏⃗ тогда и только тогда,
когда 𝑎𝑥 = 𝑏𝑥 , 𝑎𝑦 = 𝑏𝑦 , 𝑎𝑧 = 𝑏𝑧 .
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов:
векторы 𝑎 и 𝑏⃗ коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны,
𝑎
𝑎𝑦
𝑎
то есть 𝑏𝑥 = 𝑏 = 𝑏𝑧 .
𝑥
𝑦
𝑧
По определению координаты точки M – это координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀. Записывают в виде
M(x; y; z).
Пусть даны координаты точек A(𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 ) и B(𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 ). Тогда координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝑥2 -𝑥1 ; 𝑦2 -𝑦1 ; 𝑧2 -𝑧1 }.
находятся так: 𝐴𝐵
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов 𝑎 и 𝑏⃗ называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение
векторов 𝑎 и 𝑏⃗ обозначается символом 𝑎∙𝑏⃗. По определению:
̂
𝑎∙𝑏⃗ = |𝑎|∙|𝑏⃗| cos 𝜑, где 𝜑 = (𝑎, 𝑏⃗).
Так как пр𝑏 𝑎 = |𝑎|∙cos 𝜑 и пр𝑎 𝑏⃗ = |𝑏⃗|∙cos 𝜑, то
𝑎∙𝑏⃗ = |𝑎|∙пр𝑎 𝑏⃗ = |𝑏⃗|∙пр𝑏 𝑎.
Отсюда, например пр𝑏 𝑎 =
⃗
𝑎⃗∙𝑏
.
⃗|
|𝑏
Основные свойства скалярного произведения:
𝑎∙𝑏⃗ = 𝑏⃗∙𝑎; (λ∙𝑎)∙𝑏⃗ = λ∙(𝑎∙𝑏⃗); 𝑎∙(𝑏⃗ + 𝑐 ) = 𝑎∙𝑏⃗ + 𝑎∙𝑐 ; 𝑎2 = 𝑎∙𝑎 = |𝑎|2 .
16
Необходимое и достаточное условие ортогональности двух ненулевых векторов:
если 𝑎 ≠ 0, 𝑏⃗ ≠ 0 и эти векторы ортогональны, то 𝑎∙𝑏⃗ = 0 и наоборот, если 𝑎∙𝑏⃗ = 0, 𝑎 ≠ 0,
𝑏⃗ ≠ 0, то векторы 𝑎 и 𝑏⃗ ортогональны.
Вычисление скалярного произведения векторов по координатам векторов:
пусть 𝑎 = {𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 ; 𝑎𝑧 } и 𝑏⃗ = {𝑏𝑥 ; 𝑏𝑦 ; 𝑏𝑧 }. Тогда 𝑎∙𝑏⃗ = 𝑎𝑥 ∙𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ∙𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ∙𝑏𝑧 .
Вычисление косинуса угла между векторами по координатам векторов:
⃗
𝑎⃗∙𝑏
cos 𝜑 = |𝑎⃗|∙|𝑏⃗| =
𝑎𝑥 ∙𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ∙𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ∙𝑏𝑧
2 +𝑎2 ∙√𝑏2 +𝑏 2 +𝑏 2
√𝑎𝑥2 +𝑎𝑦
𝑧
𝑧
𝑥
𝑦
.
Вычисление проекции вектора на заданное направление по координатам вектора:
пр𝑏 𝑎 =
⃗
𝑎⃗∙𝑏
⃗|
|𝑏
=
𝑎𝑥 ∙𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ∙𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ∙𝑏𝑧
√𝑏𝑥2 +𝑏𝑦2 +𝑏𝑧2
.
Пример. Найти длину вектора 𝑥 = 5𝑝 - √11𝑞 , если 𝑝 и 𝑞 - ортогональные орты.
Решение. Воспользуемся формулой |𝑥| =√𝑥 2 . Тогда, учитывая что |𝑝| = |𝑞 | = 1 и
𝑝 ∙ 𝑞 = 0, получим:
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 − 10√11𝑝𝑞 + 11|𝑞
⃗⃗⃗ |2 =
|𝑥| = √(5𝑝 − √11𝑞 )2 = √25𝑝2 − 10√11𝑝𝑞 + 11𝑞 2 = √25|𝑝|
= √25 + 11 = 6.
Векторным произведением вектора 𝑎 на вектор 𝑏⃗ называется вектор 𝑐 , определяемый
следующими тремя условиями:
1) вектор 𝑐 ортогонален каждому из векторов 𝑎 и 𝑏⃗;
2) модуль вектора 𝑐 равен площади параллелограмма, построенного на векторах 𝑎 и
̂
𝑏⃗, то есть |𝑐| = |𝑎|∙|𝑏⃗| 𝑠𝑖𝑛 𝜑, где 𝜑 = (𝑎, 𝑏⃗);
3) векторы 𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 в указанном порядке образуют правую тройку векторов.
𝑐
𝑏⃗
𝑎
Векторное произведение векторов 𝑎 и 𝑏⃗ обозначается символом 𝑎 × 𝑏⃗ и пишут 𝑐 = 𝑎 × 𝑏⃗.
Основные свойства скалярного произведения:
17
𝑎 × 𝑏⃗ = -𝑏⃗ × 𝑎; (λ∙𝑎)× 𝑏⃗ = λ∙(𝑎 × 𝑏⃗); 𝑎 ×(𝑏⃗ + 𝑐 ) = 𝑎 × 𝑏⃗ + 𝑎 × 𝑐 .
Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов:
если векторы 𝑎 и 𝑏⃗ коллинеарны, то 𝑎 × 𝑏⃗ = 0 и наоборот, если 𝑎 × 𝑏⃗ = 0, то векторы 𝑎 и 𝑏⃗
коллинеарны.
Вычисление векторного произведения векторов по координатам векторов:
пусть 𝑎 = {𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 ; 𝑎𝑧 } и 𝑏⃗ = {𝑏𝑥 ; 𝑏𝑦 ; 𝑏𝑧 }. Тогда их векторное произведение находится
через определитель третьего порядка по формуле:
𝑖
𝑎 × 𝑏⃗ = |𝑎𝑥
𝑏𝑥
𝑗
𝑎𝑦
𝑏𝑦
⃗
𝑘
𝑎𝑦
𝑎𝑧 | = 𝑖 | 𝑏
𝑦
𝑏𝑧
𝑎𝑧
𝑎𝑥
|
𝑗
|
𝑏𝑧
𝑏𝑥
𝑎
𝑎𝑧
⃗| 𝑥
|
+
𝑘
𝑏𝑧
𝑏𝑥
𝑎𝑦
𝑏𝑦 |.
Пример. Векторы 𝑎 и 𝑏⃗ образуют угол 1200 и |𝑎| = 1, |𝑏⃗| = 2. Вычислить
[(𝑎 + 4𝑏⃗)×(3𝑎 - 𝑏⃗)]2.
Решение. Воспользуемся алгебраическими свойствами векторного произведения векторов
и формулой вычисления модуля векторного произведения векторов:
(𝑎 +𝑏⃗)× 𝑐 = 𝑎 × 𝑐 + 𝑏⃗ × 𝑐 , 𝑎 × 𝑎 = 0, 𝑎 × 𝑏⃗ = - 𝑏⃗ × 𝑎, (𝛼𝑎) × 𝑏⃗ = 𝛼(𝑎 × 𝑏⃗), где 𝛼 - число,
|𝑎 × 𝑏⃗| = |𝑎| |𝑏⃗| sin 𝜑, где φ – угол между векторами 𝑎 и 𝑏⃗.
Тогда
(𝑎 + 4𝑏⃗)×(3𝑎 - 𝑏⃗) = 3(𝑎 × 𝑎) +12(𝑏⃗ × 𝑎) – 𝑎 × 𝑏⃗ - 4(𝑏⃗ × 𝑏⃗) = -12(𝑎 × 𝑏⃗ ) - 𝑎 × 𝑏⃗ = -13(𝑎 × 𝑏⃗).
А значит
[(𝑎 + 4𝑏⃗)×(3𝑎 - 𝑏⃗)]2 = [-13(𝑎 × 𝑏⃗)]2 = 169|(𝑎 × 𝑏⃗)|2 = 169(|𝑎| |𝑏⃗| sin 1200 )2 = 507.
Смешанным произведением трех векторов 𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 называется число, равное векторному
произведению 𝑎 × 𝑏⃗, умноженному скалярно на вектор 𝑐 , то есть (𝑎 × 𝑏⃗) ∙ 𝑐.
Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение (𝑎 × 𝑏⃗) ∙ 𝑐
равно объему параллелепипеда, построенного на векторах 𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 , взятому со знаком плюс,
если тройка векторов правая, и со знаком минус, если эта тройка левая.
Основные свойства смешанного произведения:
(𝑎 × 𝑏⃗) ∙ 𝑐 = (𝑏⃗ × 𝑐 ) ∙ 𝑎 = (𝑐 × 𝑎) ∙ 𝑏⃗; (𝑎 × 𝑏⃗) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏⃗ × 𝑐 ).
Ввиду этого смешанное произведение кратко записывают как 𝑎𝑏⃗𝑐,
𝑎𝑏⃗𝑐 = - 𝑎𝑐 𝑏⃗; 𝑎𝑏⃗ 𝑐 = - 𝑏⃗ 𝑎𝑐; 𝑎𝑏⃗𝑐 = - 𝑐 𝑏⃗𝑎.
18
Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов:
если векторы 𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 компланарны, то их смешанное произведение равно нулю, то есть
𝑎𝑏⃗𝑐 = 0 и наоборот, если 𝑎𝑏⃗𝑐 = 0, то векторы 𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 компланарны.
Вычисление смешанного произведения векторов по координатам векторов:
пусть 𝑎 = {𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 ; 𝑎𝑧 } и 𝑏⃗ = {𝑏𝑥 ; 𝑏𝑦 ; 𝑏𝑧 }, 𝑐 = {𝑐𝑥 ; 𝑐𝑦 ; 𝑐𝑧 }. Тогда их смешанное
произведение находится через определитель третьего порядка по формуле:
𝑎𝑥
𝑎𝑏⃗𝑐 = | 𝑏𝑥
𝑐𝑥
𝑎𝑦
𝑏𝑦
𝑐𝑦
𝑎𝑧
𝑏
𝑏𝑧 | = 𝑎𝑥 | 𝑦
𝑐𝑦
𝑐𝑧
𝑏𝑧
𝑏𝑥
|
𝑎
|
𝑦
𝑐𝑧
𝑐𝑥
𝑏
𝑏𝑧
| + 𝑎𝑧 | 𝑐 𝑥
𝑐𝑧
𝑥
𝑏𝑦
𝑐𝑦 |.
Пример. Доказать, что четыре точки A(1; 2; -1), B(0; 1; 3), C(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в
одной плоскости.
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ и 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ . Находим координаты этих векторов:
Решение. Построим векторы 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = {-1; -1; 4}, 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = {-2; 0; 2}, 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = {1; -1; 4}.
𝐴𝐵
Эти три вектора имеют в точке A общее начало. Заданные точки будут располагаться в
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗
одной плоскости в случае компланарности векторов 𝐴𝐵
𝐴𝐷 . Необходимым и
достаточным условием компланарности трех векторов является условие равенства нулю
их смешанного произведения. Имеем:
−1 −1 4
0 2
−2 2
−2
0
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ =|−2
𝐴𝐵
|+|
| + 4|
| = -2 – 6 +8 = 0.
0 2| = (-1)|
−1 4
−1 4
1 −1
1 −1 4
Следовательно, четыре заданные точки лежат в одной плоскости.
Контрольные вопросы
1. Что называется вектором?
2. Какие координаты имеет орт вектора?
3. Могут ли разнонаправленные векторы быть коллинеарными?
4. Какое из условий
𝑎𝑥
𝑏𝑥
𝑎𝑦
𝑎
= 𝑏 = 𝑏𝑧 или 𝑎𝑥 ∙𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ∙𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ∙𝑏𝑧 = 0 является условием
𝑦
𝑧
ортогональности? Коллинеарности?
5. Могут ли векторы 𝑎, 𝑏⃗ и λ∙𝑎 + μ∙𝑏⃗ быть компланарными?
⃗?
6. Что означают векторы 𝑖, 𝑗, 𝑘
7. Эквивалентны ли записи 𝑎∙𝑏⃗ и 𝑎 × 𝑏⃗?
8. Изобразите левую и правую тройки некомпланарных векторов.
9. Как проверить ориентацию тройки некомпланарных векторов?
10. Запишите условие компланарности трех векторов.
19
Расчетное задание
Даны координаты четырех точек в пространстве A1, A2, A3, A4 (см. табл.1). Требуется
решить следующие задачи:
⃗ ; найти модули этих векторов и
1) записать векторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴4 в базисе 𝑖, 𝑗, 𝑘
их направляющие косинусы;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2) найти косинус угла между векторами 𝐴
1 𝐴2 и 𝐴3 𝐴4 ;
3) найти проекцию вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴3 𝐴4 на направление вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 ;
4) доказать неколлинеарность векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 ; найти площадь треугольника
A1A2A3, его высоту из вершины A2;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
5) доказать некомпланарность векторов 𝐴
1 𝐴2 , 𝐴1 𝐴3 , 𝐴1 𝐴4 ; найти объем пирамиды
A1A2A3A4, ее высоту из вершины A4 на грань A1A2A3.
20
Таблица 1
1. A1(1; 3; 6)
A2(2; 2; 1)
A3(-1; 0; 1)
A4(-4; 6; -3)
4. A1(2; 1; 4)
A2(-1; 5; -2)
A3(-7; -3; 2)
A4(-6; -3; 6)
7. A1(-1; -5; 2)
A2(-6; 0; -3)
A3(3; 6; -3)
A4(-10; 6; 7)
10. A1(0; -1; -1)
A2(-2; 3; 5)
A3(1; -5; -9)
A4(-1;-6; 3)
13. A1(5; 2; 0)
A2(2; 5; 0)
A3(1; 2; 4)
A4(-1; 1; 1)
16. A1(2; -1; -2)
A2(1; 2; 1)
A3(5; 0; -6)
A4(-10; 9; -7)
19. A1(-2; 0; -4)
A2(-1; 7; 1)
A3(4; -8; -4)
A4(1; -4; 6)
22. A1(14; 4; 5)
A2(-5; -3; 2)
A3(-2; -6; -3)
A4(-2; 2; -1)
25. A1(2; -1; 2)
A2(1; 2; -1)
A3(3; 2; 1)
A4(-4; 2; 5)
2. A1(-4; 2; 6)
A2(2; -3; 0)
A3(-10; 5; 8)
A4(-5; 2; -4)
5. A1(1; 1; 2)
A2(-1; 1; 3)
A3(2; -2; 4)
A4(-1; 0; -2)
8. A1(2; 3; 1)
A2(4; 1; -2)
A3(6; 3; 7)
A4(7; 5; -3)
11. A1(1; 1; -1)
A2(2; 3; 1)
A3(3; 2; 1)
A4(5; 9; -8)
14. A1(1; 5; -7)
A2(-3; 6; 3)
A3(-2; 7; 3)
A4(-4; 8; -12)
17. A1(-3; 4; -7)
A2(1; 5; -4)
A3(-5; -2; 0)
A4(2; 5; 4)
20. A1(-1; 2; -3)
A2(4; -1; 0)
A3(2; 1; -2)
A4(3; 4; 5)
23. A1(4; -1; 3)
A2(-2; 1; 0)
A3(0; -5; 1)
A4(3; 2; -6)
3. A1(7; 2; 4)
A2(7; -1; -2)
A3(3; 3; 1)
A4(-4; 2; 1)
6. A1(1; 0; 2)
A2(1; 2; -1)
A3(2; -2; 1)
A4(2; 1; 0)
9. A1(1; 2; -3)
A2(1; 0; 1)
A3(-2; -1; 6)
A4(0; -5; -4)
12. A1(3; 10; -1)
A2(-2; 3; -5)
A3(-6; 0; -3)
A4(1; -1; 2)
15. A1(-1; 2; 4)
A2(-1; -2; -4)
A3(3; 0; -1)
A4(7; -3; 1)
18. A1(0; -3; 1)
A2(-4; 1; 2)
A3(2; -1; 5)
A4(3; 1; -4)
21. A1(1; 3; 0)
A2(4; -1; 2)
A3(3; 0; 1)
A4(-4; 3; 5)
24. A1(-2; -1; -1)
A2(0; 3; 2)
A3(3; 1; -4)
A4(-4; 7; 3)
21
Решение типовых задач
Задача. Даны координаты четырех точек в пространстве A1(2; 3; 1), A2(4; 1; -2), A3(6; 3; 7),
A4(-5; -4; 8)
⃗ ; найти модули этих векторов и
1) записать векторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴4 в базисе 𝑖, 𝑗, 𝑘
их направляющие косинусы;
2) найти косинус угла между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴3 𝐴4 ;
3) найти проекцию вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴3 𝐴4 на направлении вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 ;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4) доказать неколлинеарность векторов 𝐴
1 𝐴2 и 𝐴1 𝐴3 ; найти площадь треугольника
A1A2A3, его высоту из вершины A2;
5) доказать некомпланарность векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴4 ; найти объем пирамиды
A1A2A3A4, ее высоту из вершины A4 на грань A1A2A3.
Решение.
1. Находим координаты векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴4 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 = {2; -2; -3}, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 = {4; 0; 6}, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴4 = {-7; -7; 7}. Это координаты векторов в базисе 𝑖,
⃗ . Находим их модули:
𝑗, 𝑘
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝐴
1 𝐴2 | = √2 + 2 + 3 = √17, |𝐴1 𝐴3 | = √4 + 0 + 6 = √52, |𝐴1 𝐴4 | = √7 + 7 + 7 =
√147. Теперь находим орты векторов:
0
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 = {
√17
;
−2
√17
;
−3
0
}, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 = {
√17
4
√52
; 0;
0
6
}, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴4 = {
52
−7
√147
;
−7
√147
;
7
}. Направляющие
√147
косинусы векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴4 - координаты их ортов.
2. Находим косинус угла 𝜑 между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴3 𝐴4 . Так как ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴3 𝐴4 = {-11; -7;1},
то
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴
𝐴 ∙𝐴
𝐴
1 2 3 4
cos 𝜑 = |𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴 |∙|𝐴
𝐴 |
1 2
2∙(−11)+(−2)∙(−7)+ (−3)∙1
3 4
√17∙√112 +72 +12
=
−11
√17∙√171
≈ - 0,204. По калькулятору находим 𝜑
≈ 101,770.
3. Находим проекцию вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴3 𝐴4 на вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 ∙𝐴3 𝐴4
2∙(−11)+(−2)∙(−7)+ (−3)∙1 −11
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
пр⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=
=
≈ - 2,667.
𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 = |𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴 |
1 2
√17
√17
4. Чтобы доказать неколлинеарность векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 , надо проверить
пропорциональность их координат. Имеем:
2
4
≠
−2
0
≠
−3
6
. Следовательно векторы неколлинеарны. Находим площадь S треугольника
A1A2A3. Свяжем вершины треугольника векторами, как показано на рисунке.
22
A2
A1
A3
1
Воспользуемся формулой S = 2| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 |. Сначала находим векторное произведение
⃗
𝑖
𝑗
𝑘
−2 −3
2 −3 ⃗ 2 −2
⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 × 𝐴1 𝐴3 = |2 −2 −3| = 𝑖 |
| - 𝑗|
| + 𝑘|
| = -12𝑖 - 24𝑗 + 8𝑘
0
6
4 6
4 0
4 0
6
1
Тогда S = √122 + 242 + 82 = 14.
2
5. Чтобы доказать некомпланарность векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴4 , проверим равенство
0 их смешанного произведения. Имеем
2 −2 −3
0 6
4 6
4
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐴4 = | 4
| - (-2)|
| + (-3)|
| = 84 + 140 +
0
6 | = 2|
−7 7
−7 7
−7 −7
−7 −7 7
+84 = 308 ≠ 0, следовательно векторы некомпланарны.
Находим объем V пирамиды A1A2A3A4. Свяжем вершины пирамиды векторами, как
показано на рисунке.
A4
A2
A1
A3
1
308
154
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Воспользуемся формулой V = 6 |𝐴
1 𝐴2 𝐴1 𝐴3 𝐴1 𝐴4 | = 6 = 3 .
Находим высоту пирамиды, опущенную из вершины A4 на грань A1A2A3. Из стереометрии
известно, что искомая высота H пирамиды находится по формуле H =
пирамиды, S – площадь ее основания. Тогда H =
154
14
3𝑉
𝑆
, где V – объем
= 11.
23
Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-2 «Плоскость и
прямая в пространстве»
модуля «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Уравнения плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный
вектор. Пусть в пространстве задана точка M0(x0; y0; z0) и вектор 𝑛⃗ = {A; B; C}. Плоскость,
проходящая через точку M0(x0; y0; z0) и перпендикулярная к ненулевому вектору 𝑛⃗
(нормальному вектору) представляется следующим уравнением:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.
Это уравнение отражает тот факт, что вектор 𝑛⃗ ортогонален любому вектору ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀0 𝑀 на
плоскости. Точка M(x; y; z) – произвольная точка плоскости.
z
𝑛⃗
M
M0
y
O
x
Общее уравнение плоскости имеет следующий вид:
Ax + By + Cz + D = 0.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть в пространстве
заданы три точки M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3) не лежащие на одной прямой.
Проходящая через них плоскость представляется уравнением
𝑥 − 𝑥1
𝑥
| 2 − 𝑥1
𝑥3 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
𝑦3 − 𝑦1
𝑧 − 𝑧1
𝑧2 − 𝑧1 | = 0.
𝑧3 − 𝑧1
Это уравнение отражает компланарность векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀1 𝑀, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀1 𝑀2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀1 𝑀2 . Точка M(x; y; z) –
произвольная точка плоскости.
24
M
M2
M3
M1
Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость проходит через три точки A(a; 0; 0),
B(0; b; 0), C(0; 0; c), отсекая на координатных осях не равные нулю отрезки a, b, c. Тогда
ее уравнение имеет вид
𝑥
𝑎
𝑦
𝑧
+ 𝑏 + 𝑐 = 1.
z
c
y
b
a
x
Нормальное уравнение плоскости:
xcos 𝛼 + ycos 𝛽 + zcos 𝛾 - p = 0,
где cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾 - направляющие косинусы нормального вектора плоскости 𝑛⃗;
p – расстояние от начала координат до плоскости. Считается, что вектор 𝑛⃗ направлен от
начала координат к плоскости (начало вектора 𝑛⃗ связывают с началом координатной
системы и смотрят его направление – к плоскости или от плоскости).
Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 приводится к нормальному виду
умножением на нормирующий множитель 𝜇 = ± √𝐴2
1
+𝐵2 +𝐶 2
. Знак нормирующего
множителя берется противоположным знаку свободного члена D в общем уравнении
плоскости.
Пример. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку P(-1; 2; 2),
параллельно векторам 𝑎 = {2; -2; 3} и 𝑏⃗ = {4; 1; 5}.
Решение. Вначале находим нормальный вектор 𝑛⃗ искомой плоскости по формуле
𝑖
𝑛⃗ = 𝑎 × 𝑏⃗ = |2
4
⃗
𝑗 𝑘
−2 3
2
−2 3| = 𝑖 | 1 5| - 𝑗 |4
1 5
3 ⃗ 2
| + 𝑘|
5
4
−2
⃗.
| = - 13𝑖 + 2𝑗 + 10𝑘
1
25
Получили, что 𝑛⃗ = {-13; 2; 10}.
Теперь составим уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку P и
перпендикулярна вектору 𝑛⃗:
-13(x + 1) + 2(y – 2) + 10(z – 2) = 0.
Отсюда находим общее уравнение искомой плоскости: -13x + 2y + 10z – 37 = 0.
Угол между плоскостями. Под углом между плоскостями понимается один из двугранных
углов, образованный этими плоскостями (либо острый, либо тупой).
Q1
𝑛1
⃗⃗⃗⃗
𝑛2
⃗⃗⃗⃗
Q2
Пусть плоскости заданы своими общими уравнениями
(Q1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ;
(Q2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
За угол 𝜑 между плоскостями (Q1) и (Q2) принимается угол между нормальными
векторами плоскостей ⃗⃗⃗⃗
𝑛1 = {A1; B1; C1} и ⃗⃗⃗⃗
𝑛2 = {A2; B2; C2} и его косинус находится по
формуле
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑛 ∙𝑛
cos 𝜑 = |𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ 1|∙|𝑛⃗⃗⃗⃗⃗2 | =
1
2
𝐴1 ∙𝐴2 + 𝐵1 ∙𝐵2 + 𝐶1 ∙𝐶2
√𝐴21 +𝐵12 +𝐶12 ∙√𝐴22 +𝐵22 +𝐶22
.
Условие ортогональности двух плоскостей. Если плоскость (Q1) ортогональна плоскости
(Q2), то их нормальные векторы будут также ортогональны, а тогда ⃗⃗⃗⃗
𝑛1 ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝑛2 = 0 и
𝐴1 ∙ 𝐴2 + 𝐵1 ∙ 𝐵2 + 𝐶1 ∙ 𝐶2 = 0.
Условие параллельности двух плоскостей. Если плоскость (Q1) параллельна плоскости
(Q2), то их нормальные векторы коллинеарны, а тогда
𝐴1
𝐴2
𝐵
𝐶
= 𝐵1 = 𝐶1 .
2
2
Расстояние от точки до плоскости. Пусть в пространстве задана точка M0(x0; y0; z0) и
плоскость (Q): Ax + By + Cz + D = 0. Расстояние d от точки M0 до плоскости (Q) находится
по формуле
26
d=
|𝐴𝑥0 +𝐵𝑦0 +𝐶𝑧0 +𝐷|
.
√𝐴2 +𝐵2 +𝐶 2
Уравнения прямой в пространстве
Канонические уравнения прямой. Пусть в пространстве задана точка M0(x0; y0; z0) и вектор
𝑠 = {m; n; p}. Уравнения прямой (l), которая проходит через точку M0 и которая
параллельна вектору 𝑠, имеют следующий вид:
𝑥−𝑥0
𝑚
=
𝑦−𝑦0
𝑛
=
𝑧−𝑧0
𝑝
.
Эти уравнения называются каноническими и отражают тот факт, что вектор 𝑠, который
называется направляющим вектором прямой, коллинеарен вектору ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀0 𝑀. Точка M(x; y; z) –
произвольная точка прямой (l).
𝑠
l
M
M0
Параметрические уравнения прямой. Запишем канонические уравнения прямой в виде
𝑥−𝑥0
𝑚
=
𝑦−𝑦0
𝑛
=
𝑧−𝑧0
𝑝
= t, где t – параметр. Решая каждое из трех записанных таким образом
уравнений относительно x, y, z, получим параметрические уравнения прямой
x = x0 + mt; y = y0 + nt; z = z0 + pt.
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть в пространстве заданы
две точки M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2). Уравнения прямой, проходящей через эти точки,
имеют вид
𝑥−𝑥1
𝑥2 −𝑥1
𝑦−𝑦1
=𝑦
2 −𝑦1
𝑧−𝑧1
=𝑧
2 −𝑧1
.
Эти уравнения получаются из канонических уравнений прямой, если взять за точку на
прямой точку M1 а за направляющий вектор - вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀1 𝑀2 .
Общие уравнения прямой:
{
𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0 ,
𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0 ,
где нормальные векторы плоскостей ⃗⃗⃗⃗
𝑛1 = {A1; B1; C1} и ⃗⃗⃗⃗
𝑛2 = {A2; B2; C2} не коллинеарны.
Здесь прямая определяется как линия пересечения двух непараллельных плоскостей.
Пример. Даны вершины треугольника A(2; -3; 4), B(5; -1; -2), C(4; -2; 5). Составить
параметрические уравнения его медианы CD.
27
Решение. Изобразим треугольник ABC и его медиану CD на чертеже.
B
D
C
A
Находим координаты xD, yD, zD точки D по формулам:
xD =
𝑥𝐴 +𝑥𝐵
2
=
2+5
2
= 3,5; yD =
𝑦𝐴 +𝑦𝐵
2
=
−3−1
2
= - 2; zD =
𝑧𝐴 +𝑧𝐵
2
=
4−2
2
= 1.
Вектор ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 является направляющим вектором медианы CD. Его координаты находим по
формуле:
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = {xD – xC ; yD – yC ; zD – zC} = {3,5 – 4; -2 +2; 1 – 5} = {-0,5; 0; -4}.
Теперь запишем параметрические уравнения медианы CD как прямой, проходящей через
точку C(4; -2; 5) и имеющей направляющий вектор ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = {-0,5; 0; -4}:
x = 4 + 0,5t ; y = -2 ; z = 5 + 4t .
Расстояние от точки до прямой. Пусть в пространстве задана точка M1(x1; y1; z1) и прямая
𝑥−𝑥
𝑦−𝑦
𝑧−𝑧
(l) своими каноническими уравнениями 𝑚 0 = 𝑛 0 = 𝑝 0. Расстояние d от точки M1 до
прямой (l) находится по формуле
d=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝑠×𝑀
0 𝑀1 |
|𝑠|
,
где 𝑠 = {m; n; p} – направляющий вектор прямой (l), M0(x0; y0; z0) – точка прямой.
Угол между прямыми. Пусть прямые (l1) и (l2) заданы своими каноническими
уравнениями
(l1):
(l2):
𝑥−𝑥1
𝑚1
𝑥−𝑥2
𝑚2
=
=
𝑦−𝑦1
𝑛1
𝑦−𝑦2
𝑛2
=
=
𝑧−𝑧1
𝑝1
𝑧−𝑧2
𝑝2
,
.
За угол между прямыми (l1) и (l2) принимается угол 𝜑, образованный направляющими
векторами прямых ⃗⃗⃗
𝑠1 = {m1; n1; p1} и ⃗⃗⃗
𝑠2 = {m2; n2; p2} и его косинус находится по формуле
𝑠⃗⃗⃗⃗ ∙𝑠⃗⃗⃗⃗
cos 𝜑 = |𝑠⃗⃗⃗⃗ 1|∙|𝑠⃗⃗⃗⃗2 | =
1
2
𝑚1 ∙𝑚2 + 𝑛1 ∙𝑛+ 𝑝1 ∙𝑝2
√𝑚12 +𝑛12 +𝑝12 ∙√𝑚22 +𝑛22 +𝑝22
.
Условие ортогональности двух прямых:
𝑚1 ∙ 𝑚2 + 𝑛1 ∙ 𝑛2 + 𝑝1 ∙ 𝑝2 = 0.
28
Условие параллельности двух прямых:
𝑚1
𝑚2
𝑛
𝑝
= 𝑛1 = 𝑝1 .
2
2
Прямая и плоскость в пространстве
Угол между прямой и плоскостью. За угол между прямой и плоскостью понимается угол,
образованный этой прямой и ее проекцией на рассматриваемую плоскость.
l
Q
Здесь определяются два угла – острый и тупой. Выбирается один из них.
Пусть плоскость (Q) задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а прямая (l) задана
𝑥−𝑥
𝑦−𝑦
𝑧−𝑧
каноническими уравнениями 𝑚 0 = 𝑛 0 = 𝑝 0. Синус угла 𝜑 между прямой (l) и
плоскостью (Q) вычисляется по формуле
sin 𝜑 =
|𝐴𝑚+𝐵𝑛+𝐶𝑝|
√𝐴2 +𝐵2 +𝐶 2 √𝑚2 +𝑛2 +𝑝2
.
Условие параллельности прямой и плоскости:
𝐴 ∙ 𝑚 + 𝐵 ∙ 𝑛 + 𝐶 ∙ 𝑝 = 0.
Условие ортогональности прямой и плоскости:
𝐴
𝑚
𝐵
𝐶
= 𝑛 = 𝑝.
Замечание. Уравнения прямой на плоскости получаются путем исключения входящих в
пространственные уравнения компонент, относящихся к переменной z. Например из
канонического уравнения прямой в пространстве получаются уравнения прямой на
𝑥−𝑥
𝑦−𝑦
плоскости вида 𝑚 0 = 𝑛 0.
Пример. Стороны AB и BC параллелограмма заданы уравнениями 2x – y + 5 = 0
и
x – 2y + 4 = 0. Диагонали его пересекаются в точке M(1; 4). Найти уравнения двух других
сторон параллелограмма.
Решение. Изобразим параллелограмм на чертеже.
29
A
D
M
C
B
Находим координаты точки пересечения прямых AB и BC, решая систему уравнений:
{
2𝑥 – 𝑦 + 5 = 0
𝑥 – 2𝑦 + 4 = 0
Это будет точка B(-2; 1). Теперь найдем координаты точки D, которые обозначим как 𝑥𝐷 и
𝑦𝐷 . Так как точка M находится на середине отрезка BD, то должны выполняться
равенства:
𝑥𝐷 −2
2
= 1,
𝑦𝐷 +1
2
= 4.
Отсюда находим 𝑥𝐷 = 4, 𝑦𝐷 =7 и D(4; 7).
Угловые коэффициенты прямых AB и CD совпадают и равны 2. Уравнение прямой CD
находим из условия, что ее угловой коэффициент равен 2 и она проходит через точку
D(4;7):
y – 7 = 2(x – 4), или 2x – y -1 = 0.
Аналогично находим уравнение прямой AD:
x – 2y +10 = 0.
Контрольные вопросы
1. Какие Вы знаете уравнения плоскости?
2. Какой смысл имеют коэффициенты A, B, C в уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0?
3. Плоскость проходит через ось Oz. Какие из коэффициентов A, B, C, D в этом случае
равны 0?
4. Какой смысл имеют коэффициенты a, b, c в уравнении плоскости
𝑥
𝑎
𝑦
𝑧
+ 𝑏 + 𝑐 = 1?
5. Укажите нормирующий множитель для перехода от общего уравнения плоскости к
нормальному.
6. Какие Вы знаете уравнения прямой в пространстве?
7. Какой смысл имеют коэффициенты m, n. p в уравнении прямой
𝑥−𝑥0
𝑚
=
𝑦−𝑦0
𝑛
=
𝑧−𝑧0
𝑝
?
8. Определяет ли прямую система
30
{
𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 3 = 0 ,
2𝑥 + 6𝑦 − 4𝑧 + 7 = 0 ?
Расчетное задание
Даны координаты четырех точек в пространстве A1, A2, A3, A4 (см. табл.1). Требуется
решить следующие задачи:
1) составить уравнение плоскости Q, проходящей через точки A1, A2, A3;
2) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку A4
перпендикулярно плоскости Q;
3) найти координаты точки пересечения такой прямой с плоскостью Q;
4) найти расстояние от точки A4 до плоскости Q;
5) составить уравнение плоскости, проходящей через точку A4 параллельно плоскости
Q;
6) составить уравнение плоскости, проходящей через точки A1 и A4 перпендикулярно
плоскости Q;
7) найти косинус угла между плоскостью Q и плоскостью, проходящей через точки
A1, A3, A4;
8) найти синус угла между прямой A1A4 и плоскостью Q.
Решение типовых задач
Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A1(3; -1; 2), A2(4; -1; 1), A3(2; 0; 2).
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки:
𝑥 − 𝑥1
|𝑥2 − 𝑥1
𝑥3 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
𝑦3 − 𝑦1
𝑧 − 𝑧1
𝑥−3
𝑧2 − 𝑧1 | = | 4 − 3
𝑧3 − 𝑧1
2−3
𝑦+1
𝑧−2
𝑥−3
−1 + 1 −1 − 2| = | 1
0+1
2−2
−1
𝑦+1 𝑧−2
0
−3 | = 0.
1
0
Раскрываем определитель третьего порядка:
3(x – 3) + 3(y + 1) + z – 2 = 0, или 3x + 3y + z – 8 = 0.
Задача 2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку A(-1; 2; 1)
перпендикулярно плоскости 3x – 2y + z – 12 = 0.
Решение. В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять нормальный
вектор заданной плоскости, то есть считаем 𝑠 = {3; -2; 1}. Тогда канонические уравнения
прямой записываются в виде
𝑥+1
3
=
𝑦−2
−2
=
𝑧−1
1
.
31
Задача 3. Найти точку пересечения прямой
𝑥−1
2
=
𝑦−2
3
=
𝑧+6
−1
и плоскости 2x – 6y – z + 1 = 0.
Решение. Запишем уравнения заданной прямой в параметрическом виде:
x = 1 + 2t ; y = 2+ 3t ; z = 6 + t .
Пусть значение параметра t = ta соответствует точке A(xa; ya; za) пересечения прямой и
плоскости. Тогда значение ta находится из уравнения:
2(1 + 2ta) – 6(2+ 3ta) – (6 + ta) +1 = 0.
Решая его, получим ta = -1.
Координаты точки пересечения A(xa; ya; za) находим из параметрических уравнений
прямой при t = -1:
xa = 1 + 2(-1) = -1; ya = 2+ 3(-1) = -1; za = 6 - 1 = 5.
Значит, точка A(-1; -1; 5) есть точка пересечения прямой и плоскости.
Задача 4. Найти расстояние от точки A(-2; -4; 3) до плоскости 2x – y +2z + 3 = 0.
Решение. Воспользуемся формулой d =
|𝐴𝑥0 +𝐵𝑦0 +𝐶𝑧0 +𝐷|
√𝐴2 +𝐵2 +𝐶 2
=
|2(−2)−1(−4)+2∙3+3|
√22 +12 +22
= 3.
Задача 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(2; -1; 6) параллельно
плоскости x + y - 2z + 5 = 0.
Решение. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять нормальный
вектор заданной плоскости 𝑛⃗ = {1; 1; -2}. Искомая плоскость представляется уравнением
1(x – 2) + 1(y + 1) – 2(z – 6) = 0, или x + y - 2z + 11 = 0.
Задача 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A1(1; 2; 3) и A2(2; 1; 1)
перпендикулярно плоскости 3x + 4y + z - 6 = 0.
Решение. Пусть точка M(x; y; z) принадлежит искомой плоскости. Тогда векторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝑀,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴2 𝑀 и нормальный вектор заданной плоскости 𝑛⃗ = {3; 4; 1} должны быть комплонарны.
Значит выполняется условие
𝑥−3
|4 − 3
2−3
𝑦+1
−1 + 1
0+1
𝑧−2
−1 − 2| = 0.
2−2
Раскрывая определитель третьего порядка, получим искомое уравнение плоскости
x - y + z - 2 = 0.
Задача 7. Найти косинус угла между плоскостями x - y√2 + z - 1 = 0 и x + y√2 - z + 3 = 0.
Решение. Воспользуемся формулой
32
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑛 ∙𝑛
cos 𝜑 = |𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ 1|∙|𝑛⃗⃗⃗⃗⃗2 | =
1
2
𝐴1 ∙𝐴2 + 𝐵1 ∙𝐵2 + 𝐶1 ∙𝐶2
√𝐴21 +𝐵12 +𝐶12 ∙√𝐴22 +𝐵22 +𝐶22
=
1∙1− √2∙√2− 1∙1
1
√1+2+1∙√1+2+1
Задача 8. Найти синус угла между прямой
𝑥−3
2
=
𝑦−1
3
= - 2.
=
𝑧+1
6
и плоскостью 6x + 15y - 10z + 31
= 0.
Решение. Воспользуемся формулой
sin 𝜑 =
|𝐴𝑚+𝐵𝑛+𝐶𝑝|
√𝐴2 +𝐵2 +𝐶 2 √𝑚2 +𝑛2 +𝑝2
|6∙2+15∙3+(−10)∙6|
= √62
+152 +102 √22 +32 +62
3
= 133.
Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-3 «Линии второго
порядка на плоскости»
модуля «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, расстояние которых до
заданной точки Mo(x0; yo) есть постоянное положительное число R.
y
R
Mo
O
x
Каноническое уравнение окружности:
(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦)2 = 𝑅 2 ,
где точка Mo(x0; yo) – центр окружности;
R – радиус окружности.
Эллипс
33
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых
от двух фиксированных точек F1 и F2 есть положительная постоянная, равная 2a.
y
M
F1
O
x
F2
Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса. Расстояние 2c между фокусами называется
фокусным расстоянием. Число a называется большой полуосью эллипса. Центр эллипса –
середина отрезка F1 F2. Фокальная (первая) ось эллипса - прямая, проходящая через
фокусы F1 и F2. Вторая ось эллипса – прямая, проходящая через центр эллипса
𝑐
перпендикулярно к фокальной оси. Число e = 𝑎 называется эксцентриситетом эллипса.
Для эксцентриситета эллипса выполняется неравенство e < 1. Эксцентриситет эллипса
равен нулю, то есть e = 0, тогда и только тогда, когда эллипс – окружность.
Каноническое уравнение эллипса:
𝑥2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1,
𝑎2
где a – большая полуось эллипса; b – малая полуось эллипса, 𝑏 = √𝑎2 − 𝑐 2 .
Соответствующая координатная система называется канонической.
Пусть точка M(x; y) принадлежит эллипсу. Расстояние от точки M до фокуса F1 называется
первым фокальным радиусом и обозначается как r1, а расстояние от точки M до фокуса F2
– вторым фокальным радиусом и обозначается как r2. Фокальные радиусы находятся по
формулам r1 = a + ex; r2 = a – ex.
В случае, когда фокусы эллипса находятся на оси Oy, то есть F1(0; -c) и F2(0; c), то
каноническое уравнение такого эллипса имеет вид:
𝑥2
𝑏2
𝑦2
+ 𝑎2 = 1.
Директрисой эллипса, соответствующей данному фокусу F, называется прямая d,
𝑎
перпендикулярная к фокальной оси, отстоящая от центра на расстояние 𝑒 и лежащая по ту
же сторону от центра, что и фокус F. У эллипса две директрисы, уравнения которых
𝑎
имеют вид x = ± 𝑒 .
34
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности
расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек F1 и F2 есть положительная
постоянная, равное 2a.
y
b
a
F1
F2
x
Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы. Расстояние 2c между фокусами
называется фокусным расстоянием. Число a называется первой полуосью гиперболы.
Центр гиперболы – середина отрезка F1 F2. Фокальная (первая) ось гиперболы - прямая,
проходящая через фокусы F1 и F2. Вторая ось гиперболы – прямая, проходящая через
𝑐
центр гиперболы перпендикулярно к первой оси. Число e = 𝑎 называется
эксцентриситетом гиперболы. Для эксцентриситета гиперболы выполняется неравенство
e > 1.
Каноническое уравнение гиперболы:
𝑥2
𝑎2
𝑦2
- 𝑏2 = 1,
где a – первая полуось гиперболы; b – мнимая полуось гиперболы, 𝑏 = √𝑐 2 − 𝑎2 .
Соответствующая координатная система называется канонической.
𝑏
Асимптоты гиперболы – прямые y = ± 𝑎 𝑥.
Пусть точка M(x; y) находится на одной из ветвей гиперболы. Расстояние от точки M до
фокуса F1 называется первым фокальным радиусом и обозначается как r1, а расстояние от
точки M до фокуса F2 – вторым фокальным радиусом и обозначается как r2. Фокальные
радиусы находятся по формулам:
r1 = a + ex при 𝑥 > 0;
r2 = - a + ex при 𝑥 > 0;
35
r1 = - a - ex при 𝑥 < 0;
r2 = a - ex при 𝑥 < 0.
Ели фокусы гиперболы располагаются на оси Oy канонической системы координат, то
уравнение гиперболы имеет вид:
𝑦2
𝑏2
𝑥2
- 𝑎2 = 1.
Такая гипербола называется сопряженной.
y
a
F2
b
x
F1
Директрисой гиперболы, соответствующей данному фокусу F, называется прямая d,
𝑎
перпендикулярная к фокальной оси, отстоящая от центра на расстояние 𝑒 и лежащая по ту
же сторону от центра, что и фокус F. У гиперболы две директрисы, уравнения которых
𝑎
имеют вид x = ± 𝑒 .
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от
некоторой фиксированной точки (называемой фокусом параболы) и некоторой
фиксированной прямой (называемой директрисой параболы). В канонической системе
координат парабола изображается рисунком, представленном ниже.
36
y
M
F
−
𝑝 O
2
x
𝑝
2
Фокальная ось параболы (или просто ось параболы) – прямая, проходящая через фокус F
перпендикулярно директрисе.
Вершина параболы – точка пересечения параболы с ее осью. Это точка O(0; 0)
канонической системы координат.
Каноническое уравнение параболы имеет вид
𝑦 2 =2px,
где p – расстояние между фокусом и директрисой, которое называется фокальным
параметром или просто параметром параболы.
Пусть точка M(x; y) находится на параболе. Расстояние от точки M до фокуса F
называется фокальным радиусом и обозначается как r. Фокальный радиус находится по
𝑝
формуле
r = x + 2.
Эксцентриситет параболы принимается равным единице, то есть для параболы e = 1.
Приведенное выше каноническое уравнение описывает параболу, ветви которой
направлены вправо. Уравнение 𝑦 2 = - 2px описывает параболу, ветви которой направлены
влево. Парабола 𝑥 2 =2py имеет ветви, направленные вверх, а парабола 𝑥 2 = - 2py - ветви,
направленные вниз.
37
y
y
y
x
x
x
𝑦 2 = - 2px
𝑥 2 =2py
𝑥 2 = - 2py
Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду
Пусть задано уравнение кривой второго порядка на плоскости
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
Справедливы следующие утверждения:
- если AC – B2 > 0, то имеет место кривая эллиптического типа;
- если AC – B2 < 0, то имеет место кривая гиперболического типа;
- если AC – B2 = 0, то имеет место кривая параболического типа.
Чтобы привести общее уравнение линии второго порядка к каноническому (простейшему)
виду поступают следующим образом. В случае, когда коэффициент B ≠ 0, производят
поворот координатных осей на некоторый угол так, чтобы в новых координатах
соответствующий коэффициент B = 0. После этого в полученном уравнении применяют
операцию выделения полных квадратов и определяют величину параллельного сдвига
координатных осей.
38
Каноническая
система координат
Неканоническая
система координат
Пример. Упростить уравнение кривой 4y2 +8y – 2x – 1 = 0 и установить ее вид.
Здесь A = 0, B = 0, C = 4 и AC – B2 = 0. Следовательно, это кривая параболического типа.
Так как здесь коэффициент B = 0, то проводить поворот координатных осей не нужно.
1
Запишем заданное уравнение кривой в виде x = 2y2 +4y - 2, или x +
5
2
= 2(y + 1)2. Теперь
5
перейдем к новым координатам по формулам x1 = x + 2, y1 = y + 1. В новых координатах
получаем каноническое уравнение параболы x1 = 2𝑦12 . В старых координатах уравнение
5
изображает параболу с вершиной в точке (- 2; -1).
Контрольные вопросы
1. Изобразите на чертеже эллипс, гиперболу, параболу.
𝑐 𝑎
2. Какие из формул 𝑎 , 𝑒 . определяют эксцентриситет?
3. Может ли эксцентриситет эллипса быть равен 0? А гиперболы? Параболы?
4. У какой кривой второго порядка эксцентриситет больше 1?
5. Какие из формул √𝑐 2 − 𝑎2 , √𝑎2 − 𝑐 2 определяют малую полуось эллипса?
𝑥2
𝑦2
6. Какое из уравнений 25 - 16 = 1,
𝑦2
9
-
𝑥2
4
2
= 1 определяет сопряженную гиперболу?
7. Куда направлены ветви параболы 𝑦 = - 3x?
8. Пусть уравнение параболы 𝑥 2 = - 5y. Чему равно расстояние от ее директрисы до
фокуса?
9. К какому типу кривой второго порядка относится линия, задаваемая уравнением
2x2 + xy + 3y2 + 2x + y + 12 = 0?
10. Надо ли для приведения уравнения кривой второго порядка 2x2 + 3y2 + 2x + y + 1= 0
к каноническому виду проводить поворот координатных осей?
Расчетное задание
39
1. Найти центр C и радиус R окружности x2 + y2 + 6x – 4y +14 = 0.
2. Установить, какую линию определяет следующее уравнение: y = -3 Изобразить эту линию на чертеже.
21  4 x  x 2 .
3. Установить, какую линию определяет следующее уравнение: x= -5 + 40  6 y  y 2 .
Изобразить эту линию на чертеже.
4. Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу R и
полярным координатам центра окружности C (R ; 

).
2
5. Окружность задана уравнением в полярных координатах:   4 sin  . Составить
уравнение окружности в декартовых прямоугольных координатах, при условии,
что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ox, а полюс – с началом
координат.
6. Окружность задана уравнением в декартовых прямоугольных координатах: x2 + y2
= x + y. Составить уравнение окружности в полярных координатах при условии,
что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ox, а полюс – с началом
координат.
7. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично
относительно начала координат, зная, что его малая ось равна 6, а расстояние
между директрисами равно 13.
8. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично
относительно начала координат, зная, что расстояние между его директрисами
32
3
равно
, а эксцентриситет e = .
4
3
9. Дан эллипс 9x2 + 5y2 = 45. Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения
директрис.
10. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс
симметрично относительно начала координат, если даны точка M1 (- 5 ; 2) эллипса
и расстояние между его директрисами, равное 10.
11. Установить,
какую
линию
определяет
следующее
уравнение:
2
8  2 y  y 2 . Изобразить эту линию на чертеже.
x = -5 +
3
12. Установить,
какую
линию
определяет
следующее
уравнение:
4
y=1 6 x  x 2 . Изобразить эту линию на чертеже.
3
13. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс
симметрично относительно начала координат, зная, что уравнения асимптот y = ±
3
64
x , а расстояние между директрисами равно
.
4
5
14. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат
симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между
50
7
директрисами равно
и эксцентриситет e = .
5
7
2
2
15. Дана гипербола 16x - 9y = -144. Найти ее полуоси, фокусы, эксцентриситет,
уравнения директрис, уравнения асимптот.
40
16. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс
5
симметрично относительно начала координат, если даны точка M1 (-3;
)
2
4
гиперболы и уравнения директрис x = ± .
3
17. Установить,
какую
линию
определяет
следующее
уравнение:
3
 12  4 y  y 2 . Изобразить эту линию на чертеже.
x=54
18. Установить,
какую
линию
определяет
следующее
уравнение:
3
y=713  6 x  x 2 . Изобразить эту линию на чертеже.
2
19. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат,
зная, что парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит
через точку D (4; -8).
20. Вычислить фокальный радиус точки M параболы y2 = 20x, если абсцисса точки M
равна 7.
21. Вычислить фокальный радиус точки M параболы y2 = 12x, если ордината точки M
равна 6.
22. На параболе y2 = 4,5x взята точка M (x, y), находящаяся от директрисы на
расстоянии d = 9,125. Вычислить расстояние этой точки от вершины параболы.
23. На параболе y2 = 8x найти точку, фокальный радиус которой равен 20.
24. Установить,
какую
линию
определяет
следующее
уравнение:
y = -5 +  3x  21 . Изобразить эту линию на чертеже.
25. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F (7; 2) и директриса x – 5 = 0.
Решение типовых задач
Задача 1. Найти центр C и радиус R кривой x2 + y2 + 4x – 2y + 3 = 0.
Решение. Соберем вместе члены с одинаковыми координатами:
(x2 + 4x) + (y2– 2y) + 5 = 0.
Теперь в скобках выделим полные квадраты:
(x2 + 4x + 4 - 4) + (y2– 2y +1 - 1) + 3 = 0, или
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 2.
Данная кривая – окружность с центром C(-2; 1) и радиусом R = √2.
Задача 2. Окружность задана уравнением в декартовых прямоугольных координатах: x2 +
y2 = - y. Составить уравнение окружности в полярных координатах при условии, что
полярная ось совпадает с положительной полуосью Ox, а полюс – с началом координат.
41
Решение. Воспользуемся формулами перехода от полярных координат (𝜌; 𝜃) к
декартовым координатам (x; y): x = 𝜌 cos 𝜃; y = 𝜌 sin 𝜃. После подстановки в уравнение
окружности получим
𝜌2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) = - 𝜌 sin 𝜃, или 𝜌 = − sin 𝜃.
Задача 3. Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку M(4; 0),
если его фокусное расстояние равно 6.
Решение. Запишем каноническое уравнение эллипса:
𝑥2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1.
𝑎2
16
Так как точка M(4; 0) располагается на эллипсе, то должно выполняться равенство 𝑎2 = 1.
Отсюда находим 𝑎2 = 16. Из условия задачи следует, что половина фокусного расстояния
эллипса c = 3. По формуле 𝑏 2 = 𝑎2 - 𝑐 2 находим
𝑏 2 = 16 – 9 = 7.
Теперь записываем искомое каноническое уравнение эллипса:
𝑥2
+
16
𝑦2
7
= 1.
Задача 4. Установить, какую линию определяет следующее уравнение:
1
x = -1 + 3 √3 + 2𝑦 − 𝑦 2 .
Решение. Запишем уравнение линии в следующем виде:
1
x + 1 = 3 √3 + 2𝑦 − 𝑦 2 .
Так как правая часть равенства неотрицательна, то должно выполняться неравенство
x + 1 ≥ 0, т.е x ≥ -1.
После возведения в квадрат обеих частей равенства получим:
9(𝑥 + 1)2 = 3 + 2𝑦 − 𝑦 2 .
После выделения полного квадрата в правой части равенства имеем:
9(𝑥 + 1)2 = -(𝑦 − 1)2 + 4.
Последнее равенство запишем так:
9(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 4.
Его преобразуем к виду:
42
(𝑥 + 1)2
4
9
+
(𝑦− 1)2
4
= 1.
Следовательно, заданная линия есть часть эллипса с центром в точке С(-1; 1), полуосями
2
a = 3, b = 2, представленная точками с абсциссами x ≥ -1.
Задача 5. Составить уравнение параболы, вершина которой расположена в начале
координатной системы, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси
Oy и проходит через точку C(1; 2). Составить уравнение ее директрисы и найти ее фокус.
Решение. Так как точка C(1; 2) находится на параболе, то ветви параболы направлены
вдоль оси Oy. Тогда ее каноническое уравнение имеет вид: 𝑥 2 = 2py. Координаты точки C
должны удовлетворять этому уравнению. Поэтому имеем 1 = 4p. Тогда параметр
1
1
параболы p = 4 и искомое уравнение параболы запишем так: 𝑥 2 = 2 y.
Для рассматриваемой параболы уравнение директрисы записывается в виде y = фокусу соответствует точка F(0;
директрисы, а ее фокус F(0;
1
8
1
2
p). Следовательно, y = -
1
8
1
2
p, а
- искомое уравнение
).
Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-5 «Матрицы и
определители»
модуля «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Аннотация. В этом учебном элементе рассматриваются линейные операции над
матрицами, матричное умножение, нахождение многочлена от матрицы, задачи
вычисления определителей разложением по его строкам, столбцам, по правилу
треугольников, задачи существования обратной матрицы, нахождения обратной матрицы
через алгебраические дополнения, задача нахождения ранга матрицы путем приведения ее
к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк матрицы.
Операции над матрицами
Задание №1. Найти матрицу X из условия: 5A – 3BT + X = 0,
где
A= (
−1
2
−3
2
3
), B=( 1
3) .
1 −1 −2
2 −3
Решение. Из заданного матричного уравнения находим
X = 3BT - 5A .
Матрица BT , транспонированная к матрице
43
𝑏11
(𝑏21
𝑏31
𝑏12
𝑏22 )
𝑏32
находится следующим образом:
𝑏
BT = ( 11
𝑏12
𝑏21
𝑏22
𝑏31
).
𝑏32
𝑎12
𝑎22
𝑎13
𝑎23 )
Произведение числа λ на матрицу
𝑎11
A = (𝑎
21
есть матрица C такая, что
C = λA = (
λ𝑎11
λ𝑎21
λ𝑎12
λ𝑎22
λ𝑎13
).
λ𝑎23
Тогда матрица X находится следующим образом:
X = 3(
−1 1
2
−3 3
−3
2
3
) - 5(
) = (
2 3 −3
6 9
1 −1 −2
6
−15
) - (
−9
5
10
15
).
−5 −10
Матрица C , равная разности матриц
𝑎11
A = (𝑎
21
𝑎12
𝑎22
𝑎13
𝑏11
𝑎23 ) и B = (𝑏21
𝑏12
𝑏22
𝑏13
)
𝑏23
находится так:
𝑎 − 𝑏11
C = A - B = ( 11
𝑎21 − 𝑏21
𝑎12 − 𝑏12
𝑎22 − 𝑏22
𝑎13 − 𝑏13
).
𝑎23 − 𝑏23
Итак, получаем:
X=(
−3 + 15
6−5
3 − 10
9+5
6 − 15
12
) = (
−9 + 10
1
−7
14
−9
).
1
Задание №2. Найдите матрицу C = AB , если
1 −2
2 0 −1
A= (
), B = (1
3) .
3 1
2
2 −1
Решение. Пусть
44
𝑎11
A = (𝑎
21
𝑎12
𝑎22
𝑏11
𝑎13
𝑎23 ) , B = (𝑏21
𝑏31
𝑏12
𝑏22 ) .
𝑏32
Тогда элементы матрицы C = AB находятся по формулам:
c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 ,
c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 ,
c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 ,
c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32 .
Здесь элемент cij понимают как «произведение» i - ой строки матрицы A на
столбец матрицы B . Для заданных матриц A и B по этим формулам находим:
j - ый
c11 = 2∙1 + 0∙1 + (-1) ∙2 = 0 ,
c12 = 2∙(-2) + 0∙3 + (-1) ∙(-1) = - 3 ,
c21 = 3∙1 + 1∙1 + 2∙2 = 8 ,
c22 = 3∙(-2) + 1∙3 + 2∙(-1) = - 5 .
Итак, получаем
C=(
0 −3
).
8 −5
Задание №3. Найти значение многочлена от матрицы f(A) = 2A2 - 3A + 4E , где E единичная матрица,
A=(
−1 2
).
3 1
Решение. По определению A2 = A∙A . Размер матрицы E должен совпадать с размером
матрицы A, значит
E=(
1 0
).
0 1
Тогда
−1 2
−1 2
−1
f(A) = 2(
)∙(
) - 3(
3 1
3 1
3
4 0
(
) =
0 4
14
=(
0
0
7 −6
21
)+ (
)=(
14
−9
1
−9
2
1
) + 4(
1
0
1 + 6 −2 + 2
0
−3 6
) = 2(
)- (
) +
−3 + 3
6+1
1
9 3
−6
).
15
45
Итак, f(A) = (
21
−9
−6
).
15
Задания для самоконтроля
1 −2
2 −3
), B=(
) . Найти 2A – BT
0
3
−1
4
A=(
1.
0 −3
).
3
2
Ответ: (
1 2
1 2
A = ( 0 3) , B = (
) . Найти AB.
3 4
−1 4
2.
7
Ответ: ( 9
11
10
12) .
14
−2
3
1
1 −2 −3
3. A = ( 5
4
0 ) , B = (0 −3
1 ) . Найти AB.
2 −1 −5
4 −4
5
2
Ответ: ( 5
−18
−9
−22
19
14
−11) .
−32
4. Найти значение многочлена от матрицы f(A) = 3A2 + 2A + 5E , где
2
0
−3
1 0
), E=(
).
4
0 1
A=(
21
0
Ответ: (
−60
).
61
Определители
Задание №4. Вычисляя определители, решите уравнение
3𝑥
|
2
𝑥
𝑥−1
| = |
3
−1
−1
|.
2
Решение. Определитель 2-го порядка задается равенством:
𝑎11
|𝑎
21
𝑎12
𝑎22 | = 𝑎11 ∙ 𝑎22 - 𝑎12 ∙ 𝑎21 .
46
Вычисляя определители в данном уравнении, получим:
-3x - 2(x – 1) = 2x + 3 .
Отсюда
-5x + 2 = 2x + 3 .
1
Тогда x = - 7 .
Задание №5. Вычислить определитель ∆ , разлагая его по второй строке:
3
∆ = |𝑎
2
−2 1
𝑏 𝑐| .
−1 0
Решение. Пусть задан определитель 3-го порядка
𝑎11
∆ = |𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 | .
𝑎33
Формула разложения определителя ∆ по 2-ой строке такова:
𝑎12
∆ = (- 1)2+1∙a21∙ | 𝑎
32
𝑎13
𝑎11
2+2
|
+
(1)
∙a
22∙ |
𝑎33
𝑎31
𝑎13
𝑎11
2+3
|
+
(1)
∙a
23∙ |
𝑎33
𝑎31
𝑎12
𝑎32 | .
Тогда
3
|𝑎
2
−2 1
−2 1
3 1
3 −2
| + (- 1)2+2∙ b ∙ |
| + (- 1)2+3∙ c ∙ |
|=
𝑏 𝑐 | = (- 1)2+1∙ a ∙|
−1 0
2 0
2 −1
−1 0
= - a (- 2∙0 + 1∙1) + b (3∙0 - 1∙2) – c (- 3 + 2∙2) = - a – 2b – c .
Итак,
3
|𝑎
2
−2 1
𝑏 𝑐 | = - a – 2b – c .
−1 0
Задание №6. Вычислить определитель ∆ , разлагая его по третьему столбцу:
−1 2 𝑎
∆ = |−1 1 𝑏 | .
2 0 𝑐
Решение. Формула разложения определителя ∆ по 3-ему столбцу такова:
𝑎21
∆ = (- 1)1+3∙a13∙ |𝑎
31
𝑎22
𝑎11
2+3
𝑎32 | + (- 1) ∙a23∙ |𝑎31
𝑎12
𝑎11
3+3
𝑎32 | + (- 1) ∙a33∙|𝑎21
𝑎12
𝑎22 | .
Тогда
47
−1 2
|−1 1
2 0
𝑎
−1 1
−1 2
−1 2
| + (- 1)2+3∙ b ∙ |
| + (- 1)3+3∙ c ∙ |
|=
𝑏 | = (- 1)1+3∙ a ∙|
2 0
2 0
−1 1
𝑐
= a (- 1∙0 - 2) – b (-1∙0 - 2∙2) + c (- 1 + 2) = - 2a + 4b + c .
Итак,
−1 2
|−1 1
2 0
𝑎
𝑏 | = - 2a + 4b + c .
𝑐
Задание №7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислить
определитель:
1 2
|−3 1
4 0
1
0| .
3
Решение. По правилу треугольников
𝑎11
𝑎
| 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 | = (𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 ) – (𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎12 𝑎21 𝑎33 +
𝑎33
𝑎32 𝑎23 𝑎11) .
Обозначим
∆+ = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31,
∆- = 𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎32 𝑎23 𝑎11 .
Величина ∆+ вычисляется относительно главной диагонали определителя, а величина ∆- относительно второй диагонали. Для заданного определителя
∆+ = 1∙1∙3 + 0∙(- 3) ∙1 + 2∙0∙4 = 3 ,
∆- = 4∙1∙1 - 3∙2 ∙3 + 0∙0∙1 = - 14 .
Тогда
1 2
|−3 1
4 0
1
0| = ∆+ - ∆- = 3 – (- 14) = 17 .
3
Задания для самоконтроля
1. Вычислить определитель
48
1
|
−3
2
|.
−4
Ответ: 2.
2. Вычислить определитель разложением по первой строке:
2 1 3
| 5 3 2| .
1 4 3
Ответ: 40.
3. Вычислить определитель с помощью правила треугольников:
3 2 −1
|−2 2
3| .
4 2 −3
Ответ: - 12.
4. Решить уравнение
2
0
3
|−1
7 𝑥 − 3| = 0 .
5 −3
6
Ответ: x = 5.
Обратная матрица
Задание №8. Определить, при каких значениях параметра
обратная данной матрице
𝛼−1
7
𝛼+5
A=( 0
0
0
α
существует матрица,
11
83 ) .
𝛼 − √2
Решение. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля.
Имеем (по правилу треугольников):
𝛼−1
| 0
0
7
11
𝛼+5
83 | = (𝛼 − 1)(𝛼 + 5)(𝛼 − √2) .
0
𝛼 − √2
Полученное выражение отлично от нуля, а тогда матрица A имеет обратную, если
49
𝛼 ≠ 1 , 𝛼 ≠ −5 , 𝛼 ≠ √2 .
Задание №9. Найти матрицу A-1 , обратную матрице
3 −7
).
5
2
Решение. Вначале вычислим определитель матрицы A :
A=(
3 −7
∆ = |
| = 6 + 35 = 41 ≠ 0 .
5
2
Следовательно, обратная матрица A-1 существует.
Будем искать A-1 через алгебраические дополнения. Для определителя
𝑎11
|𝑎
21
𝑎12
𝑎22 |
алгебраические дополнения таковы:
A11 = (- 1)1+1∙a22 ; A12 = (- 1)1+2∙a21 ; A21 = (- 1)2+1∙a12 ;
A22 = (- 1)2+2∙a11 .
Записываем алгебраические дополнения для заданного определителя ∆ :
A11 = 2; A12 = - 5; A21 = 7; A22 = 3 .
Составляем союзную матрицу A* :
𝐴
A* = ( 11
𝐴12
𝐴21
2 7
)=(
).
𝐴22
−5 3
Вычисляем обратную матрицу A-1 :
1
1
2 7
).
−5 3
2
7
A-1 = ∆ ∙ A* = 41 ∙ (
Итак,
A-1 = ( 415
− 41
41
3)
.
41
Делаем проверку:
2
3
A ∙ A-1 = (
5
−7
) ∙ ( 41
5
2
−
41
7
41
3)
1 0
)=E.
0 1
=(
41
Задание №10. Найти матрицу A-1 , обратную матрице
3 2 2
A = (1 3 1 ) .
5 3 4
50
Решение. Вначале вычисляем определитель матрицы A :
3 2 2
3
∆ = |1 3 1| = 3|
3
5 3 4
1
1 1
1 3
| - 2|
| + 2|
| = 3(12 – 3) – 2(4 – 5) + 2(3 – 15) = 3∙9 + 2 + 2∙(4
5 4
5 3
12) = 5 ≠ 0 .
Следовательно, обратная матрица A-1 существует.
Находим алгебраические дополнения элементов определителя ∆ :
3 1
1 1
1 3
| = 9; A12 = - |
| = 1; A13 = |
| = - 12;
3 4
5 4
5 3
A11 = |
2
3
2
3 2
3
| = - 2; A22 = |
| = 2; A23 = - |
4
5 4
5
2
| = 1;
3
2 2
3
3 2
| = - 4; A32 = - |
| = - 1; A33 = |
3 1
1
1 1
2
| = 7.
3
A21 = - |
A31 = |
Составляем союзную матрицу A* :
9 −2 −4
A = ( 1
2 −1) .
−12
1
7
*
Вычисляем обратную матрицу A-1 :
9
A =∆∙A =5∙( 1
−12
-1
1
*
1
−2 −4
2 −1) .
1
7
Итак,
9
5
1
-1
A =
(
−
2
4
−5 −5
2
5
12
5
1
5
5
1
−5
.
7
5)
Задания для самоконтроля
1. Найти матрицу, обратную к матрице
1 2
).
3 4
A=(
−2
1
Ответ: ( 3 − 1) .
2
2
2. Найти матрицу, обратную к матрице
51
3 2 1
A = (2 3 1 ) .
2 1 3
2
3
1
Ответ:
−3
1
(
5
− 12
−3
7
12
1
1
− 12
1
− 12
.
5
12)
12
Ранг матрицы
Задание №11. Вычислить ранг матрицы
−1
1 2
A = ( 2 −2 1
−1
1 7
5
−5 ) .
10
Решение. Проводим элементарные преобразования строк заданной матрицы так, чтобы
привести матрицу A к ступенчатому виду:
−1
1 2
5
( 2 −2 1 −5) (2) ̃
+ 2(1)
−1
1 7 10
(3)̃
− (2)
−1 1 2
( 0 0 5
0 0 0
5
−1 1
5) ̃ (
0 0
0
−1
( 0
−1
1 2 5
0 5 5)
1 7 10
(3)̃
− (1)
−1 1 2
( 0 0 5
0 0 5
5
5)
5
2 5
).
5 5
Запись вида (2) + 2(1) означает, что вторая строка матрицы складывалась с первой,
умноженной на 2;
(3) – (1) – из третьей строки вычиталась первая строка;
~ - знак эквивалентных преобразований матрицы, при которых ее ранг не меняется.
Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2.
Следовательно, ранг заданной матрицы A также равен 2, т.е. r(A) = 2.
Задание №12. Укажите, при каких значениях параметра α ранг матрицы A равен 2, если
𝛼−4
0
A=( 0
𝛼+4
0
0
1
0 ).
2
𝛼 − 16
Решение. Матрица A имеет ступенчатый вид. В этой матрице одна строка должна быть
нулевая, а две другие - отличны от нуля. Это возможно только в случае, когда α = 4.
Итак, r(A) = 2 при α = 4.
52
Задания для самоконтроля.
1. Привести матрицу A к ступенчатому виду, если
2 −1 5
A = (1
1 3) .
1 −5 1
2 −1 5
Ответ: (0
3 1) .
0
0 0
2. Привести матрицу A к ступенчатому виду, если
1 −2
3 1
A = (3
2 −4 2) .
5 −2
2 4
1 −2
3
Ответ: (0
8 −13
0
0
0
1
−1) .
0
3. Найдите ранг матрицы A путем элементарных преобразований строк, если
1 2
A = (0 1
1 3
3 0
1 1) .
4 1
Ответ: 2.
4. Найдите ранг матрицы A путем элементарных преобразований строк, если
1
1
3 −7
A = ( 2 −1
1
6
−1
2 −1 −10
1
−4) .
5
Ответ: 3
53
Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-6 «Решение систем
линейных алгебраических уравнений»
модуля «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Аннотация. В этом учебном элементе рассматриваются задачи на решение систем
линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной
матрицы, способом Гаусса. Рассматривается применение теоремы Кронекера-Капелли.
Формулы Крамера
Задание №13. Решить систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя
неизвестными по формулам Крамера.
{
5𝑥 + 3𝑦 = 6 ,
7𝑥 + 4𝑦 = 7 .
Решение. Вычисляем определитель системы:
5 3
∆ = |
| = 20 – 21 = - 1 ≠ 0 .
7 4
Следовательно, система невырожденная. Имеем:
6 3
5
∆x = |
| = 3 , ∆y = |
7 4
7
6
|=-7.
7
По формулам Крамера:
x=
∆x
∆
=
3
−1
=-3, y=
∆y
∆
=
−7
−1
=7.
Найденное решение проверяется путем подстановки в заданную систему:
5∙(- 3) + 3∙7 = 6 ,
7∙(- 3) + 4∙7 = 7 .
Итак, заданная система имеет единственное решение: x = 3, y = 7.
Решение систем с помощью обратной матрицы
Задание №14. Решить систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя
неизвестными с помощью обратной матрицы:
8𝑥 + 5𝑦 = 23 ,
{
7𝑥 + 3𝑦 = 5 .
54
Решение. Запишем систему в матричном виде: A∙X = B , где A - матрица системы, B столбец свободных членов, X - решение системы,
𝑥
23
8 5
) , B = ( ) , X = (𝑦 ) .
5
7 3
A=(
Имеем:
8 5
∆ = |
| = 24 – 35 = - 11 ≠ 0 .
7 3
Следовательно, обратная матрица
A-1 существует и решение заданной системы
существует и единственно.
Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы A:
A11 = 3 , A12 = - 7 , A21 = - 5 , A22 = 8 .
Составляем союзную матрицу A* :
𝐴
A* = ( 11
𝐴12
𝐴21
3 −5
)=(
).
𝐴22
−7
8
Находим обратную матрицу A-1 :
3
5
−
3 −5
11
A = ∆ ∙ A = - 11 ∙ (
) = ( 11
7
8).
−7
8
−
11
11
-1
1
1
*
Решение системы X находим по формуле:
X = A-1 ∙ B .
Тогда
3
5
−
𝑥
23
−4
11
(𝑦) = ( 11
7
8 ) ∙ ( 5 ) = ( 11) .
− 11
11
Итак, заданная система имеет единственное решение: x = - 4, y = 11.
Способ Гаусса. Применение теоремы Кронекера-Капелли
Задание №15. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя
неизвестными способом Гаусса:
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2 ,
{ 𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 6 ,
2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 5 .
55
Решение. Составляем расширенную матрицу системы и проводим над ее строками
элементарные преобразования до получения ступенчатой матрицы:
2 1
(1 1
2 1
12
2 1
̃
3|6) 2(2) − (1) (0 1
25
2 1
1 2
2 1 1 2
̃
5|10) (3) − (1) (0 1 5|10) .
2 5
0 0 1 3
Полученной матрице соответствует ступенчатая система уравнений:
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2 ,
{ 𝑥2 + 5𝑥3 = 10 ,
𝑥3 = 3 .
Она решается обратным ходом, т.е. найденное значение 𝑥3 подставляется сначала во
второе уравнение системы и находится 𝑥2 . Полученные значения 𝑥2 и 𝑥3
подставляются в первое уравнение системы и находится 𝑥1 .
Имеем:
𝑥3 = 3;
𝑥2 = 10 - 5𝑥3 = 10 – 15 = - 5 ;
𝑥1 =
1
2
1
∙ (2 - 𝑥2 - 𝑥3 ) = 2 ∙ (2 + 5 - 3) = 2 .
Итак, заданная система имеет единственное решение: 𝑥1 = 2, 𝑥2 = - 5, 𝑥3 = 3.
Задание №16. Решить систему линейных уравнений:
𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 1 ,
{ 2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 0 ,
5𝑥1 + 3𝑥2 + 8𝑥3 + 𝑥4 = 1 .
Решение. Будем решать данную систему способом Гаусса. Имеем:
1
5 4
(2 −1 2
5
3 8
̃
(
1
5 4
2 −1 2
31
−1|0)
11
1
(3)̃
− (1) (2
4
31
5 4
−1 2 −1|0)
−2 4 −2 0
3 1 (2)̃
1
5
| )
− 2(1) (
−1 0
0 −11
1
5
̃
(3) − (2) (2 −1
2
0
0
1
31
4
2 −1|0)
00
0
3 1
4
| ).
−6 −7 −2
Полученной матрице соответствует ступенчатая система уравнений:
{
𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 1 ,
−11𝑥2 − 6𝑥3 − 7𝑥4 = −2 .
56
Выбираем главные неизвестные (они связаны с углами ступенек). Это 𝑥1 и 𝑥2 . Тогда
свободными неизвестными будут 𝑥3 и 𝑥4 . Считаем, что 𝑥3 = 𝐶3 , 𝑥4 = 𝐶4 , где 𝐶3 и
𝐶4 - произвольные постоянные.
После переноса свободных неизвестных вправо, получаем систему двух линейных
уравнений с двумя неизвестными:
{
𝑥1 + 5𝑥2 = 1 − 4𝐶3 − 3𝐶4 ,
11𝑥2 = 2 − 6𝐶3 − 7𝐶4 .
Решаем ее обратным ходом. Получаем общее решение системы:
2
𝑥2 =
11
𝑥1 =
11
1
-
6
11
14
11
7
𝐶3 -
11
𝐶3 +
11
2
𝐶4 ,
𝐶4 ,
𝑥3 = 𝐶3 ,
𝑥4 = 𝐶4 .
Одно из частных решений системы получим, например, при 𝐶3 = 0 и 𝐶4 = 0:
1
2
𝑥1 = 11 , 𝑥2 = 11 , 𝑥3 = 0 , 𝑥4 = 0.
Частное решение проверяется путем подстановки в исходную систему уравнений.
Итак, заданная система неопределенна, имеет две главные и две свободные неизвестные.
Задание №17. Решить систему линейных уравнений:
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −4 ,
{𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0 ,
−2𝑥1 − 2𝑥3 = 16 .
Решение. Будем решать данную систему, применяя теорему Кронекера – Капелли. Для
этого запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с
помощью элементарных преобразований:
1 1 −1 −4
( 1 2 −3| 0 ) (2)̃
− (1)
−2 0 −2 16
(3)̃
− 2(2)
1 1
(0 1
0 0
−1 −4
1
−2| 4 ) ̃ (
0
0 0
1 1
( 0 1
−2 0
−1 −4
−2| 4 )
−2 16
(3)̃
+ 2(1)
1 1
(0 1
0 2
−1 −4
−2| 4 )
−4 8
1 −1 −4
| ).
1 −2 4
Полученной матрице соответствует система уравнений, эквивалентная заданной:
{
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −4 ,
𝑥2 − 2𝑥3 = 4 .
Далее исследуем и решаем эту систему. Ранг матрицы системы равен рангу матрицы
57
A=(
1 1 −1
).
0 1 −2
Здесь можно выбрать минор второго порядка вида
1
|
0
1
|=1≠0.
1
Это означает, что r(A) = 2.
Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы
̅ = (1 1
A
0 1
−1 −4
).
−2
4
Выбираем минор вида
1
|
0
1
|.
1
̅) = 2.
Следовательно, r(A
̅) , то по теореме Кронекера – Капелли заданная система совместна. А
Так как r(A) = r(A
так как при этом r(A) меньше числа неизвестных системы n = 3, т. е. r(A) < 3, то заданная
система неопределенна.
Количество главных неизвестных равно r(A) = 2. Количество свободных неизвестных
находим по формуле: n - r(A) = 3 – 2 = 1.
Теперь будем искать решение системы. Вначале выберем главные неизвестные. Они
связываются с базисным минором матрицы A . Выберем минор
1
|
0
1
|.
1
Его столбцы есть первый и второй столбцы матрицы A и соответствуют переменным
𝑥1 и 𝑥2 . Это будут главные неизвестные. Тогда 𝑥3 будет свободной неизвестной.
Считаем, что 𝑥3 = 𝐶3 , где 𝐶3 - произвольная постоянная.
Запишем систему в виде:
{
𝑥1 + 𝑥2 = −4 + 𝐶3 ,
𝑥2 = 4 + 2𝐶3 .
Решаем ее обратным ходом. Получим общее решение системы:
𝑥1 = - 𝐶3 - 8 ,
𝑥2 = 2𝐶3 + 4 ,
𝑥3 = 𝐶3 .
Одно из частных решений системы получим, например, при 𝐶3 = 0:
𝑥1 = - 8, 𝑥2 = 4, 𝑥3 = 0 .
Частное решение проверяется путем подстановки в исходную систему уравнений.
Итак, заданная система уравнений неопределенна, имеет две главные неизвестные и одну
свободную неизвестную.
58
Задания для самоконтроля
1. Решить систему уравнений
{
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы.
Ответ: 𝑥1 = - 3;
𝑥1 − 𝑥2 = −4 ,
2𝑥1 + 𝑥2 = −5 .
𝑥2 = 1.
2. Решить систему уравнений способом Гаусса:
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 8 ,
{2𝑥 − 4𝑦 − 3𝑧 = −1 ,
𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 0 .
Ответ:
x = 2, y = - 1, z = 3.
3. Исследовать систему уравнений:
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 𝑥4 = 8 ,
2𝑥1 − 𝑥2 − 4𝑥3 + 3𝑥4 = 1 ,
{
4𝑥1 − 7𝑥2 − 18𝑥3 + 11𝑥4 = −13 ,
3𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 9 .
Ответ: совместна и неопределенна. Общее решение (2 + C3 – C4 ; 3 – 2C3 + C4 ; C3 ; C4),
где C3 ∈ R , C4 ∈ R.
Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-7 «Линейные
пространства. Евклидовы пространства»
модуля «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Аннотация. В этом учебном элементе рассматриваются примеры линейных пространств,
задачи на базис линейного пространства, задача нахождения координат заданного вектора
в базисе, задача ортогонализации векторов евклидова пространства, задача
преобразования координат при переходе к новому базису, задача преобразования матрицы
линейного оператора, задачи на собственные значения и собственные векторы оператора.
Понятие линейного пространства. Примеры
Определение. Пусть задано множество L элементов x , y , z , . . . произвольной природы,
в котором для любых двух элементов x и y из L определена сумма x + y , которая
59
принадлежит L и для любого элемента x из L и любого действительного числа λ
определено произведение λ∙x , которое принадлежит L .
Если сложение элементов множества L и умножение элементов этого множества на
действительное число удовлетворяет следующим условиям:
1. x + y = y + x ;
2. (x + y) + z = x + (y + z) ;
3. существует такой элемент Θ (нуль-элемент), что для любого x из L x + Θ = x ;
4. для каждого элемента x из L существует элемент y из L такой, что x + y = Θ (т.е.
существует противоположный элемент к x);
5. 1 ∙ x = x ;
6. λ ∙ (μ∙x) = (λ∙μ) ∙ x ;
7. (λ + μ) ∙ x = λx + μx ;
8. λ ∙ (x + y) = λx + λy .
то множество L называется линейным (или векторным) пространством, а элементы x , y
, z , . . . этого пространства – векторами.
Примеры
1. Множество всех свободных геометрических векторов в пространстве – линейное
пространство. Для векторов этого множества операции сложения и умножения на
число определяются по правилам векторной алгебры.
2. Линейное пространство - множество всевозможных систем действительных чисел
вида
(𝜉1 ; 𝜉2 ; ... ; 𝜉𝑛 ), (η1 ; η2 ; ... ; ηn ) , (ζ1 ; ζ2 ; ... ; ζn ), . . . Сумма двух любых
элементов определяется равенством (ξ1 ; ξ2 ; ... ; ξn ) + (η1 ; η2 ; ... ; ηn ) = (ξ1 + η1 ; ξ2 +
η2 ; ... ; ξn + ηn ), а произведение любого элемента на любое число – равенством
λ(ξ1 ; ξ2 ; ... ; ξn ) = (λξ1 ; λξ2 ; ... ; λξn ).
3. Множество всех матриц одинакового размера – линейное пространство. Действия
сложения и умножения на число определяются правилами матричной алгебры.
4. Множество непрерывных функций x(t), определенных на отрезке [a; b] – линейное
пространство. Действия сложения функций и умножения их на числа определяются
по правилам анализа.
Для указанных множеств условия 1 – 8 легко проверяются.
Задания для самоконтроля
1. Является ли линейным пространством множество всех матриц? Действия сложения
и умножения на число определяются правилами матричной алгебры.
Ответ: нет.
2. Образует ли линейное пространство множество элементов вида
(ξ1 ; ξ2 ; 1; 1), (η1 ; η2 ; 1; 1), (ζ1 ; ζ2 ; 1; 1) ?
Ответ: нет.
Базис линейного пространства
60
Задание №18. Проверьте, что векторы линейного пространства ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 образуют базис и
найдите координаты вектора 𝑥 в этом базисе:
𝑒1 = (1; 2), ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑒2 = (3; 4), 𝑥 = (7; 10).
Решение. Векторы n - мерного линейного пространства
𝑒⃗⃗⃗1 = (ξ11 ; ξ12 ; ... ; ξ1n ) ,
𝑒2 = (ξ21 ; ξ22 ; ... ; ξ2n ) ,
⃗⃗⃗
........................................
𝑒𝑛 = (ξn1 ; ξn2 ; ... ; ξnn )
⃗⃗⃗⃗
линейно независимы и образуют базис в n - мерном линейном пространстве, если ранг
матрицы
равен n , т.е. r(A) = n .
ξ11
21
A = ( ξ…
ξn1
ξ12 … ξ1n
ξ12 … ξ2n ) .
… … …
ξn2 … ξnn
1 2
В данной задаче рассматривается двумерное линейное пространство и A = (
).
3 4
1 2
Так как |
| = - 2 ≠ 0 , то r(A) = 2.
3 4
Следовательно, заданные векторы
𝑒1 , ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑒2 линейно независимы и образуют базис
двумерного линейного пространства.
Разложим вектор 𝑥 по базису ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 :
𝑥 = α𝑒⃗⃗⃗1 + β𝑒⃗⃗⃗2 ,
или
7
1
3
) = α( ) + β( ) .
10
2
4
Последнее равенство равносильно системе линейных уравнений:
(
α + 3β = 7 ,
2α + 4β = 10 .
Решая ее, например, по формулам Крамера, находим:
{
α=
7
|
10
1
|
2
3
|
4
3
|
4
Таким образом, 𝑥 = ⃗⃗⃗
𝑒1 + 2𝑒⃗⃗⃗2 , т.е. 𝑥 𝑒1 𝑒2
3.1.
=1; β=
1
|
2
1
|
2
7
|
10
3
|
4
=2.
= (1; 2) .
Ортогонализация векторов евклидова пространства
Задание №19. Примените процесс ортогонализации к следующей системе линейно
независимых векторов евклидова пространства:
𝑎1 = (1; -1; 0), ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (0; 2; -1), ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (1; 1; 1).
61
Решение. Процесс ортогонализации, примененный к линейно независимым векторам ⃗⃗⃗⃗
𝑎1 ,
𝑎2 , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎3 ,
описывается формулами:
𝑎1 ′ = ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎1 ,
𝑎2 ′ = ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 + α𝑎
⃗⃗⃗⃗1 ′ ,
𝑎3 ′ = ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎3 + β1 ⃗⃗⃗⃗
𝑎1 ′ + β2 ⃗⃗⃗⃗
𝑎2 ′ .
Коэффициенты α , β1 , β2 выбираются так, чтобы векторы
попарно ортогональны:
⃗⃗⃗⃗⃗1 ′ , ⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑎
𝑎2 )
α=-
⃗⃗⃗⃗⃗1 ′ , ⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑎
𝑎1 ′ )
; β1 = -
⃗⃗⃗⃗⃗1 ′ , ⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑎
𝑎3 )
⃗⃗⃗⃗⃗1 ′ , ⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑎
𝑎1 ′ )
; β2 = -
𝑎1 ′ ,
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗2 ′ , ⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑎
𝑎3 )
⃗⃗⃗⃗⃗2 ′ , ⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑎
𝑎2 ′ )
𝑎2 ′ ,
⃗⃗⃗⃗
𝑎3 ′ были
⃗⃗⃗⃗
.
Применительно к заданным векторам, получаем:
𝑎1 ′ = (1; - 1; 0) ;
⃗⃗⃗⃗
α=-
1∙0−1∙2−1∙0
1+1+0
=1;
𝑎2 ′ = (0 + 1; 2 – 1; -1 + 0) = (1; 1; – 1) ;
⃗⃗⃗⃗
β1 = -
1∙1−1∙1+0∙1
β2 = -
1+1+0
=0;
1∙1+1∙1−1∙1
1+1+1
1
1
=-3;
1
1
2 2 4
𝑎3 ′ = (1 - 3; 1 - 3; 1 + 3) = (3; 3; 3) .
⃗⃗⃗⃗
2 2
Итак, получили следующие попарно ортогональные векторы: (1; - 1; 0) , (1; 1; – 1) , (3; 3;
4
).
3
Преобразование координат при переходе к новому базису
Задание №20. Вектор 𝑥 в базисе ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 имеет координаты (x1; x2). Найдите
′ ⃗⃗⃗′
⃗⃗⃗
координаты вектора 𝑥 в базисе 𝑒1 , 𝑒2 , если
⃗⃗⃗
𝑒1′ = ⃗⃗⃗
𝑒1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2𝑒2 ,
⃗⃗⃗
𝑒2′ = ⃗⃗⃗
𝑒1 - ⃗⃗⃗
𝑒2
x1 = 2 , x2 = 3.
Решение. Координаты n - мерного вектора 𝑥 при переходе от базиса ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , … ,
′
′
′
𝑒𝑛 к базису ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , ... , ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑛 преобразуются по формуле:
62
X 𝑒 ′ = C-1∙ X 𝑒 ,
где X 𝑒 ′ и X 𝑒 - столбцы координат вектора 𝑥 соответственно в базисах ⃗⃗⃗
𝑒1 ′ , ⃗⃗⃗
𝑒2 ′ , ... ,
𝑒𝑛 ′ и ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , … , ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑛 , C - матрица перехода от базиса ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , … , ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑛 к базису
𝑒1 ′ , ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑒2 ′ , ... , ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑛 ′ .
Для заданной задачи
C=(
1
1
).
2 −1
Находим обратную матрицу C-1 . Имеем:
1
1
∆ = |
|=-3.
2 −1
Алгебраические дополнения к элементам матрицы C таковы:
C11 = - 1, C12 = - 2, C21 = - 1, C22 = 1 .
Тогда
1
1
−1 −1
3
C-1 = - 3 ∙ (
) = (32
1) .
−2
1
−
3
3
1
Теперь находим столбец координат вектора 𝑥 в базисе ⃗⃗⃗
𝑒1 ′ , ⃗⃗⃗
𝑒2
1
X 𝑒 ′ = C-1∙ X 𝑒 = (32
3
Итак, координаты вектора 𝑥 в базисе
𝑒1 ′ , ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑒2
1
′
:
5
2
3
3
1) ∙ (3) = (1) .
−
3
′
3
5
есть ( 3 ;
1
3
).
Преобразование матрицы линейного оператора
̃ в базисе ⃗⃗⃗
Задание №21. Найти матрицу оператора A
𝑒1′ , ⃗⃗⃗
𝑒2′ , где
⃗⃗⃗
𝑒1′ = 2𝑒⃗⃗⃗1 + 7𝑒⃗⃗⃗2 ,
⃗⃗⃗
𝑒2′ = ⃗⃗⃗
𝑒1 + 3𝑒⃗⃗⃗2 ,
если в базисе ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 его матрица имеет вид:
−3 1
).
2 5
A𝑒 = (
63
Решение. При переходе от базиса ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , … ,
матрица оператора преобразуется по формуле:
к базису ⃗⃗⃗
𝑒1 ′ , ⃗⃗⃗
𝑒2 ′ , ... , ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑛
𝑒𝑛
⃗⃗⃗⃗
′
A𝑒 ′ = C-1∙ A𝑒 ∙ C ,
где C - матрица перехода от базиса ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , … , ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑛 к базису ⃗⃗⃗
𝑒1 ′ , ⃗⃗⃗
𝑒2 ′ , ... , ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑛
Для заданной задачи
C=(
′
.
2 1
).
7 3
Находим обратную матрицу C-1 . Имеем:
2 1
∆ = |
|=-1.
7 3
Алгебраические дополнения к элементам матрицы C таковы:
C11 = 3, C12 = - 7, C21 = - 1, C22 = 2 .
Тогда
3 −1
−3
)=(
−7
2
7
C-1 = - (
1
).
−2
̃ в базисе ⃗⃗⃗
Теперь находим матрицу оператора A
𝑒1 ′ , ⃗⃗⃗
𝑒2
−3
7
A𝑒 ′ = C-1∙ A𝑒 ∙ C = (
′
1
−3 1
2
)∙ (
)∙(
2 5
7
−2
̃ в базисе ⃗⃗⃗
Итак, матрица оператора A
𝑒1 ′ , ⃗⃗⃗
𝑒2
A𝑒 ′ = (
′
:
1
36
17
)=(
).
3
−71 −34
имеет вид:
36
17
).
−71 −34
Собственные значения и собственные векторы оператора
Задание №22. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора
̃ , определяемого следующими уравнениями:
A
x’ = 5x + 4y ,
y’ = 8x + 9y .
̃:
Решение. Запишем матрицу оператора A
5 4
).
8 9
A=(
64
Составляем характеристическое уравнение:
5−λ
4
|
|=0,
8
9−λ
или λ2 - 14λ + 13 = 0 .
Отсюда находим собственные значения λ1 = 1 и λ2 = 13.
Далее находим координаты ξ1 , ξ2 собственных векторов. При λ1 = 1 получим:
{
(5 − 1)ξ1 + 4ξ2 = 0 ,
8ξ1 + (9 − 1)ξ2 = 0 ,
или
{
4ξ1 + 4ξ2 = 0 ,
8ξ1 + 8ξ2 = 0 .
Решение этой системы имеет вид:
ξ1 = C1 , ξ2 = - C1 ,
где C1 - произвольная постоянная, не равная нулю.
Таким образом, собственному значению λ1 = 1 соответствует семейство собственных
векторов:
𝑥1 = C1⃗⃗⃗
𝑒1 - C1⃗⃗⃗
𝑒2 , где C1 ≠ 0 .
При λ2 = 13 получим:
−8ξ1 + 4ξ2 = 0 ,
{
8ξ1 − 4ξ2 = 0 .
Решение этой системы имеет вид:
ξ1 = C2 , ξ2 = 2C2 ,
где C2 - произвольная постоянная, не равная нулю.
Таким образом, собственному значению λ2 = 13 соответствует семейство собственных
векторов:
𝑥2 = C2⃗⃗⃗
𝑒1 + 2C2⃗⃗⃗
𝑒2 , где C2 ≠ 0 .
Итак, заданный линейный оператор имеет собственные значения λ1 = 1 и λ2 = 13 и
собственные векторы C1⃗⃗⃗
𝑒1 - C1⃗⃗⃗
𝑒2 и C2⃗⃗⃗
𝑒1 + 2C2⃗⃗⃗
𝑒2 , где C1 ≠ 0 , C2 ≠ 0 .
Задачи для самоконтроля
65
1. Проверьте, что векторы линейного пространства ⃗⃗⃗
𝑒1 = (3; 4; 3), ⃗⃗⃗
𝑒2 = (- 2; 3; 1), ⃗⃗⃗
𝑒3
= (4; - 2; 3)
образуют базис и найдите координаты
вектора 𝑥 = (- 17; 18; - 7) в этом базисе.
Ответ: ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , ⃗⃗⃗
𝑒3 образуют базис и координаты 𝑥 в этом базисе есть (1; 2; - 4).
2. Примените процесс ортогонализации к следующим векторам евклидова
пространства:
𝑎1 = (1; - 2; 2), ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (- 1; 0; - 1), ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (5; - 3; - 7).
Ответ: (1; - 2; 2), (- 2; - 2; - 1), (2; - 1; - 2).
3. Вектор 𝑥 в базисе ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , ⃗⃗⃗
𝑒3 имеет координаты (3; 4; - 5). Найдите
координаты вектора 𝑥 в базисе ⃗⃗⃗
𝑒1′ , ⃗⃗⃗
𝑒2′ , ⃗⃗⃗
𝑒3′ , если
⃗⃗⃗
𝑒1′ = ⃗⃗⃗
𝑒1 + ⃗⃗⃗
𝑒2 ,
⃗⃗⃗
𝑒2′ = 2𝑒⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗
𝑒2 + ⃗⃗⃗
𝑒3 ,
⃗⃗⃗
𝑒3′ = ⃗⃗⃗
𝑒3 .
Ответ: 𝑥𝑒 ′ = (5; − 1; − 4).
̃ в базисе ⃗⃗⃗
4. Найдите матрицу оператора A
𝑒1′ , ⃗⃗⃗
𝑒2′ , ⃗⃗⃗
𝑒3′ , где
⃗⃗⃗
𝑒1′ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2𝑒1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝑒2 + ⃗⃗⃗
𝑒3 ,
⃗⃗⃗
𝑒2′ = 3𝑒⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4𝑒2 + ⃗⃗⃗
𝑒3 ,
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗3 ,
𝑒3′ = ⃗⃗⃗
𝑒1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2𝑒2 + 2𝑒
если в базисе ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , ⃗⃗⃗
𝑒3 его матрица имеет вид
2 0 1
Ae = (−3 1 0) .
−2 1 2
−47 −67
Ответ: Ae′ = ( 30
43
9
12
−37
23 ) .
9
̃ ,
5. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора A
определяемого следующими уравнениями:
x’ = 3x - y + z ,
66
y’ = - x + 5y – z ,
z’ = x - y + 3z .
Ответ:
λ1 = 2 , 𝑥1 = C1 (1; 0; - 1) , C1 ≠ 0 ;
λ2 = 3 , 𝑥2 = C2 (1; 1; 1), C2 ≠ 0 ;
λ3 = 6 , 𝑥3 = C3 (1; - 2; 1) , C3 ≠ 0 .
Методические рекомендации и разбор задач к УЭ-8 «Квадратичные
формы»
модуля «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Аннотация. В этом учебном элементе рассматривается задача на выяснение характера
знакоопределенности квадратичной формы по критерию Сильвестра и задача на
приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка.
Критерий Сильвестра
Задание №23. Выяснить характер знакоопределенности квадратичной формы по критерию
Сильвестра:
Q(x) = 2𝑥12 + 5𝑥22 + 5𝑥32 + 4x1x2 - 4x1x3 - 8x2x3 .
Решение. Запишем данную квадратичную форму в матричном виде:
Q(x) = (𝑥1 ,
𝑥1
2
2 −2
𝑥2 , 𝑥3 ) ∙ ( 2
𝑥
5 −4) ∙ ( 2 ) = XT ∙ C ∙ X .
𝑥3
−2 −4
5
Для матрицы C коэффициентов квадратичной формы находим ее главные миноры:
2 2
∆1 = 2 ; ∆2 = |
|=6;
2 5
2
2 −2
2 −4
5 −4
2
5
∆3 = | 2
|-2|
|-2|
| = 2(25 – 16) – 2(10 - 8) – 2(5 −4| = 2 |
−2
5
−4
5
−2 −4
−2 −4
5
8 + 10) =10.
Получили, что ∆1 > 0 , ∆2 > 0 , ∆3 > 0
квадратичная форма положительно определенная.
и по критерию Сильвестра заданная
67
Приведение к каноническому виду уравнений линий второго
порядка
Задание №24. Привести к каноническому виду уравнение кривой
4x2 - 25y2 - 24x + 50y - 89 = 0.
Решение. Здесь проще всего выделить полные квадраты в левой части уравнения кривой
(коэффициент при члене xy равен 0).
Перепишем данное уравнение так:
4(x2 – 6x) – 25(y2 – 2y) = 89.
Теперь каждую из скобок дополним до полных квадратов:
4(x2 – 6x + 9) – 25(y2 – 2y + 1) = 89 + 36 – 25 ,
или
4(x – 3)2 – 25(y – 1)2 = 100 .
Последнее выражение преобразуем так:
(𝑥−3)2
25
-
(𝑦−1)2
4
=1.
Теперь произведем параллельный перенос осей координат, полагая
x’ = x - 3, y’ = y – 1.
В новых переменных получаем каноническое уравнение гиперболы:
x′
2
25
-
y′
2
4
=1.
Задачи для самоконтроля
1. Выясните характер знакоопределенности квадратичной формы по критерию
Сильвестра
Q(x) = 5𝑥12 + 𝑥22 + 5𝑥32 + 4x1x2 - 8x1x3 - 4x2x3 .
Ответ: положительно определенная, ∆1 = 5,
∆2 = 1,
∆3 = 1.
2. Привести к каноническому виду уравнение кривой
68
4x2 + 9y2 + 32x - 54y + 109 = 0.
𝑥′
Ответ:
2
𝑦′
+
9
2
4
= 1 , где x’ = x + 4, y’ = y – 3.
3. Тестовые задания для контроля знаний по
«Аналитическая геометрия и линейная алгебра».
модулю
4
Тесты по теме «Линейная алгебра»
Вариант 1
Тест 1. Найдите матрицу X из условия: 3A – 2BT – X = 0 ,
1 3
0 1 2
где A = (
), B = ( 0 1) .
−1 1 3
−1 2
Варианты ответов:
1)
(
2) (
1
2
−2
−9
−3
3) ( 2
−1
4
3
3
)
8
3
1
8
)
5
2
0)
4
4) (
2
−1
2
5
5) (
−1
3
2
−1
−3
)
11
−5
)
−4
Тест 2. Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C = AB , где
2
1
1 −2 3
A= (
), B = ( 3 −1) .
0 1 2
−1 1
69
Варианты ответов:
1) (
3
−2
2) (
5
0
8
)
0
−2
3
4
)
1
1
3) (−2
3
4
0)
7
4) (
−7
1
6
)
1
5) (
−7
3
4
)
−1
Тест 3. Найдите значение многочлена от матрицы f(A) = A2 - 2A + 5E, где E – единичная матрица,
4
A=(
2
−3
).
1
Варианты ответов:
1) (
11
8
3
)
−7
2) (
4
11
−9
)
3
3) (
7
6
4) (
−5
3
6
)
11
5) (
7
−3
−8
)
2
−9
)
−2
70
Тест 4. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице A:
𝛼−4
3
A=( 0
𝛼−4
0
0
2
1) .
5
Варианты ответов:
1) α ≠ √5
2) α ≠ 0
3) при всех α
4) α ≠ 4
5) α = 4
Тест 5. Вычисляя определители, решите уравнение
𝑥 𝑥+1
−3 2
|
|=|
|.
4
5
2 1
Варианты ответов:
2
1) x = - 3
2) x =
3
5
3) x = -3
4) x = -1
1
5) x = - 5
Тест 6. Вычислить определитель, разлагая его по первой строке:
𝑎 𝑏 𝑐
|1 −2 0| .
3 1 2
Варианты ответов:
1) 5a – 3b + 6c
2) -3a + 4b - 5c
71
3) -4a – 2b - c
4) -4a – 2b + 7c
5) 6a + b - 3c
Тест 7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислите определитель:
5
|0
7
0 1
3 −1| .
1 3
Ответ должен иметь вид ( ∆+; ∆ ), где ∆ - значение определителя, а величина ∆+
вычисляется относительно главной диагонали определителя.
Варианты ответов:
1) (32; 18)
2) (17; 13)
3) (45; 29)
4) (-56; 8)
5) (43; -4)
Тест 8. Найдите матрицу A-1 , обратную матрице A:
1
A=(
3
2
).
5
Матрицу A-1 нужно найти через алгебраические дополнения.
Варианты ответов:
3 2
1) (
)
−4 1
−5 2
2) (
)
3 −1
2 −1
3) (
)
4 1
6
3
4) (
)
−4 −1
−3 2
5) (
)
1 4
Тест 9. Укажите, при каком значении параметра α ранг матрицы A равен 2:
72
1
0
A = (0 𝛼 + 2
0
0
0
0 ).
𝛼2 − 4
Варианты ответов:
1) α = - 2
2) α = 0
3) при всех α
4) α = 2
5) α ≠ 2
Тест 10. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера. Ответ должен иметь вид (∆x , x0 + y0), где x0 и y0 – решение системы.
2𝑥 + 3𝑦 = 8 ,
{
4𝑥 − 𝑦 = 2 .
Варианты ответов:
1) (- 11; 3)
2) (- 14; 3)
3) (4; 2)
4) (12; 3)
5) (8; 4)
Тест 11. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
способом обратной матрицы. Ответ должен иметь вид (A-1 ; x0 + y0), где A – матрица системы, x0 и
y0 – решение системы.
3𝑥 + 𝑦 = 5 ,
{
5𝑥 + 2𝑦 = 7 .
Варианты ответов:
1) (
−1
2
3
); 2
4
73
2) (
3
1
5
); - 1
2
3 2
); - 1
−1 1
4 −2
4) (
); 2
3 1
3) (
5) (
2
−5
−1
); - 1
3
Тест 12. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
способом Гаусса. В ответе укажите сумму вида x0 + y0 + z0, где x0 , y0 , z0 - решение системы.
{
6𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 5 ,
2𝑥2 − 3𝑥3 = 7 ,
7𝑥3 = 35 .
Варианты ответов:
1) - 3
2) 0
3) 2
4) 13
5) 5
Тест 13. Применяя способ Гаусса, найдите разность между числом главных неизвестных и числом
свободных неизвестных в решении системы:
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 4 ,
{ 4𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 5 ,
6𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 = 10 .
Варианты ответов:
1) 3
2) - 1
3) 1
4) система несовместна
74
5) 2
Тест 14. Проверьте, что векторы линейного пространства 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 образуют базис и найдите
координаты вектора 𝑥 в этом базисе:
𝑒⃗⃗⃗1 = (-1; 3), 𝑒⃗⃗⃗2 = (2; -4), 𝑥 = (1; 3).
Варианты ответов:
1) (-1; 2)
2) (5; 3)
3) (3; 1)
4) (5; -2)
5) (2; -1)
Тест 15. Примените процесс ортогонализации к следующей системе линейно независимых
векторов евклидова пространства:
𝑎1 = (0; -2; 0) , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (1; 2; 0) , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (1; 0; -1).
В ответе укажите сумму координат третьего из полученных ортогональных векторов.
Варианты ответов:
1) - 1
2) 0
3)
37
12
4) 2
5)
4
3
Тест 16. Выясните характер знакоопределенности матрицы C по критерию Сильвестра:
5
2 −1
C=( 2
2 −1) .
−1 −1 3
Результат укажите с учетом значения главного минора ∆3 .
Варианты ответов:
75
1) положительно определена, ∆3 = 8
2) знаконеопределена, ∆3 = -18
3) знаконеопределена, ∆3 = 15
4) положительно определена, ∆3 = 15
5) отрицательно определена, ∆3 = -32
Тест 17. Вектор 𝑥 в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 имеет координаты (x1; x2). Найдите координаты вектора 𝑥 в
базисе 𝑒⃗⃗⃗′ , 𝑒⃗⃗⃗′ , если
1
2
𝑒⃗⃗⃗1′ = 2𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2
𝑒⃗⃗⃗2′ = - 𝑒⃗⃗⃗1 + 3𝑒⃗⃗⃗2
x1 = -10 , x2 = 9.
Варианты ответов:
1) (2; 1)
2) (- 1; 3)
3) (- 3; 4)
4) (2; - 3)
5) (4; - 2)
Тест 18. Найдите матрицу оператора 𝐴̃ в базисе 𝑒⃗⃗⃗1′ , 𝑒⃗⃗⃗2′ , где
𝑒⃗⃗⃗1′ = 5𝑒⃗⃗⃗1 + 3𝑒⃗⃗⃗2 ,
𝑒⃗⃗⃗2′ = 3𝑒⃗⃗⃗1 + 2𝑒⃗⃗⃗2 ,
если в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 его матрица имеет вид:
−2 1
Ae = (
).
3 −1
Варианты ответов:
1) (
5
3
−6
)
2
76
2)
(
−56
90
−33
)
53
3)
(
−64
87
83
)
34
4)
(
97
53
5)
(
−54
63
−201
)
37
−91
)
28
Тест 19. Найдите собственные векторы, соответствующие наименьшему собственному значению
линейного оператора, определяемого следующими уравнениями:
x’ = x
y’ = 3x + 2y .
Варианты ответов:
3
1) ( - c: - 5c )
2) ( - c; - 3c )
3) ( c; - 2c )
4) ( c; - c )
5
5) ( c: 2c )
Тест 20. Привести к каноническому виду уравнение кривой
x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0.
Варианты ответов:
1)
𝑥 ′2
9
-
𝑦 ′2
4
=1
2) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = 25
3) 𝑦 ′2 = 6x’
4) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = 36
5)
𝑥 ′2
16
+
𝑦 ′2
9
=1
77
78
Вариант 2
Тест 1. Найдите матрицу X из условия: 3A – 2BT – X = 0 ,
2 −1
1 0 2
где A = (
), B = ( 1
0 ).
−2 3 1
−1 3
Варианты ответов:
0
1) (3
5
−2
1)
9
3
2) (2
5
−4
−1)
6
3) (
−2
3
2
0
4) (
−1
−4
−2
9
5) (
0
5
3
−6
6
)
4
8
)
−3
−2
)
8
Тест 2. Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C = AB , где
1 −2
0 −1 2
A= (
), B = (−1 3 ) .
3 1 −1
2 −1
Варианты ответов:
1) (
5
0
2) (
−3
7
3) (
8
3
−5
)
−2
1
)
2
−6
)
11
79
4) (
5
2
−3
)
1
5) (
4
1
−3
2
0
)
8
Тест 3. Найдите значение многочлена от матрицы f(A) = A2 - 2A + 5E, где E – единичная матрица,
3
A=(
−2
−1
).
4
Варианты ответов:
1) (
10
−10
−5
)
15
2) (
4
8
−11
)
14
3) (
10
11
−7
)
8
4) (
3
18
−4
)
7
5) (
−7
4
11
)
13
Тест 4. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице A:
𝛼+3
8
A=( 0
𝛼+3
0
0
1
5 ).
−3
Варианты ответов:
1) α ≠ √5
2) α ≠ - 3
3) α = - 3
4) при всех α
80
5) α ≠ 0
Тест 5. Вычисляя определители, решите уравнение
2𝑥
|
𝑥−1
3
4
|=|
2
2
3
|.
1
Варианты ответов:
1) x = 1
2) x = - 5
3) x =
4
5
4) x = 5) x =
3
7
1
2
Тест 6. Вычислить определитель, разлагая его по второй строке:
1 3 −1
|𝑎 𝑏
𝑐 |.
2 −1 0
Варианты ответов:
1) 2a – b + 3c
2) a + 2b + 7c
3) - 3a + b - 2c
4) - a – b + 3c
5) - 2a + 2b - 4c
Тест 7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислите определитель:
3 1
|−1 2
4 0
2
0 |.
−2
Ответ должен иметь вид ( ∆+; ∆ ), где ∆ - значение определителя, а величина ∆+
вычисляется относительно главной диагонали определителя.
Варианты ответов:
81
1) (- 12; - 30)
2) (18; - 24)
3) (16; 32)
4) (- 8; 14)
5) (17; - 8)
Тест 8. Найдите матрицу A-1 , обратную матрице A:
3
A=(
1
2
).
1
Матрицу A-1 нужно найти через алгебраические дополнения.
Варианты ответов:
3 7
1) (
)
2 −4
−4 −2
2) (
)
3
5
−3 2
3) (
)
5 1
2
4) (
4
−1
)
3
1 −2
5) (
)
−1 3
Тест 9. Укажите, при каком значении параметра α ранг матрицы A равен 2:
𝛼−3 0
A=( 0
1
0
0
0
0 ).
2
𝛼 −9
Варианты ответов:
1) α ≠ 3
2) α = - 3
3) α = 3
4) при всех α
5) α = 0
82
Тест 10. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера. Ответ должен иметь вид (∆x , x0 + y0), где x0 и y0 – решение системы.
𝑥 − 3𝑦 = −7 ,
{
3𝑥 + 2𝑦 = 1 .
Варианты ответов:
1) (- 12; 3)
2) (14; 1)
3) (- 8; 2)
4) (18; 1)
5) (- 11; 1)
Тест 11. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
способом обратной матрицы. Ответ должен иметь вид (A-1 ; x0 + y0), где A – матрица системы, x0 и
y0 – решение системы.
{
7𝑥 + 3𝑦 = 26 ,
5𝑥 + 2𝑦 = 19 .
Варианты ответов:
1) (
2
5
−3
); 0
1
2) (
−3
−2
7
); 1
5
3) (
−2
5
3
); 2
−7
4) (
3
−2
4
); 1
1
5) (
3
5
−1
); 2
2
Тест 12. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
способом Гаусса. В ответе укажите сумму вида x0 + y0 + z0, где x0 , y0 , z0 - решение системы.
83
7𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 = 2 ,
{ 2𝑥2 + 5𝑥3 = −8 ,
3𝑥3 = 6 .
Варианты ответов:
1) - 3
2) 4
3) 7
4) - 4
5) 8
Тест 13. Применяя способ Гаусса, найдите разность между числом главных неизвестных и числом
свободных неизвестных в решении системы:
3𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 + 14𝑥4 = −8 ,
{ 6𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 5 ,
9𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 + 6𝑥4 = 4 .
Варианты ответов:
1) система несовместна
2) 3
3) 2
4) 1
5) 4
Тест 14. Проверьте, что векторы линейного пространства 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 образуют базис и найдите
координаты вектора 𝑥 в этом базисе:
𝑒⃗⃗⃗1 = (2; 3), 𝑒⃗⃗⃗2 = (1; - 2), 𝑥 = (10; 8).
Варианты ответов:
1) (3; - 4)
2) (- 2; - 1)
3) (3; 2)
84
4) (- 2; 3)
5) (4; 2)
Тест 15. Примените процесс ортогонализации к следующей системе линейно независимых
векторов евклидова пространства:
𝑎1 = (1; 1; 0) , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (0; - 2; 1) , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (0; 0; 3).
В ответе укажите сумму координат третьего из полученных ортогональных векторов.
Варианты ответов:
1) 0
2)
73
18
3) - 1
4) 2
2
5) - 3
Тест 16. Выясните характер знакоопределенности матрицы C по критерию Сильвестра:
1 1
C = (1 4
5 3
5
3) .
1
Результат укажите с учетом значения главного минора ∆3 .
Варианты ответов:
1) знаконеопределена, ∆3 = - 76
2) положительно определена, ∆3 = 47
3) знаконеопределена, ∆3 = 37
4) отрицательно определена, ∆3 = - 76
5) положительно определена, ∆3 = 17
Тест 17. Вектор 𝑥 в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 имеет координаты (x1; x2). Найдите координаты вектора 𝑥 в
базисе 𝑒⃗⃗⃗′ , 𝑒⃗⃗⃗′ , если
1
2
𝑒⃗⃗⃗1′ = 3𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2
85
𝑒⃗⃗⃗2′ = - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2𝑒1 - 𝑒⃗⃗⃗2
x1 = 6 , x2 = 3.
Варианты ответов:
1) (1; - 2)
2) (-0; - 3)
3) (- 3; 2)
4) (-1; 4)
5) (- 2; - 3)
Тест 18. Найдите матрицу оператора 𝐴̃ в базисе 𝑒⃗⃗⃗1′ , 𝑒⃗⃗⃗2′ , где
𝑒⃗⃗⃗1′ = 11𝑒⃗⃗⃗1 + 3𝑒⃗⃗⃗2 ,
𝑒⃗⃗⃗2′ = 4𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2 ,
если в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 его матрица имеет вид:
0
Ae = (
1
2
).
3
Варианты ответов:
1) (
74
−202
26
)
−71
2)
(
93
137
−64
)
88
3)
(
−12
3
7
)
5
4)
(
97
53
5)
(
−123
67
−201
)
37
91
)
−38
86
Тест 19. Найдите собственные векторы, соответствующие наименьшему собственному значению
линейного оператора, определяемого следующими уравнениями:
x’ = - 2x ,
y’ = 7x + 3y .
Варианты ответов:
1
1) ( c ; - 3c )
2) ( c ; - 2c )
3) ( - c ; c )
7
4) ( c ; - 5c )
2
5) ( c ; 5c )
Тест 20. Привести к каноническому виду уравнение кривой
9x2 - 4y2 + 18x + 8y - 31 = 0.
Варианты ответов:
1) 𝑥 ′2 = 4y’
2)
𝑥 ′2
4
+
𝑦 ′2
9
=1
3) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = 25
4)
𝑥 ′2
4
-
𝑦 ′2
9
=1
5)
𝑥 ′2
9
-
𝑦 ′2
4
=1
87
Вариант 3
Тест 1. Найдите матрицу X из условия: 3A – 2BT – X = 0 ,
−1 2
2 1 0
где A = (
), B = ( 3 0) .
3 −1 2
1 2
Варианты ответов:
1)
8
5
−3
−3
3
7
2
4
(
2) (
0
3) (−3
7
4) (
9
3
4
5) (2
0
−2
)
2
0
)
−3
−1
2)
4
−2
7
4
)
−1
−3
1)
−7
Тест 2. Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C = AB , где
2 −1
1 0 2
A= (
), B = ( 1
3 ).
3 −1 3
−2 1
Варианты ответов:
1) (
3
11
0
2) (1
7
3) (
−2
−1
4) (
4
3
8
)
−7
2
4)
−5
1
)
−3
−5
)
11
88
5) (
−2
−3
7
)
4
Тест 3. Найдите значение многочлена от матрицы f(A) = A2 - 2A + 5E, где E – единичная матрица,
−2
A=(
−3
1
).
4
Варианты ответов:
1) (
9
3
7
)
−2
2) (
10
0
0
)
10
3) (
12
−7
3
)
11
4) (
10
0
3
)
11
5) (
−9
4
7
)
−2
Тест 4. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице A:
𝛼−1
−2
4
1
𝛼 2 + 2 3) .
A=( 0
0
0
1
Варианты ответов:
1) α =
√2
2
2) при всех α
3) α ≠ 0
4) α = 1
89
5) α ≠ 1
Тест 5. Вычисляя определители, решите уравнение
−2
𝑥
−2 −1
|
|=|
|.
3 𝑥+1
3
1
Варианты ответов:
1) x =
4
3
2) x =
3
5
3) x = -3
4) x = 5
5) x = -
3
5
Тест 6. Вычислить определитель, разлагая его по третьей строке:
3 1 −2
|−1 2 0 | .
𝑎 𝑏 𝑐
Варианты ответов:
1) -3a + 4b + 5c
2) 2a - 3b - 3c
3) a – 5b - 5c
4) -3a – 4b - 2c
5) 4a + 2b + 7c
Тест 7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислите определитель:
−2 0 1
|−1 4 0| .
5 −3 1
Ответ должен иметь вид ( ∆+; ∆ ), где ∆ - значение определителя, а величина ∆+
вычисляется относительно главной диагонали определителя.
Варианты ответов:
90
1) (7; 23)
2) (-8; 20)
3) (-5; -25)
4) (9; -31)
5) (11; 19)
Тест 8. Найдите матрицу A-1 , обратную матрице A:
5
A=(
2
2
).
1
Матрицу A-1 нужно найти через алгебраические дополнения.
Варианты ответов:
3
4
1) (
)
−1 −2
−1 3
2) (
)
−2 4
1 −2
3) (
)
−2 5
3
4) (
5
−1
)
2
4
5) (
1
−2
)
3
Тест 9. Укажите, при каком значении параметра α ранг матрицы A равен 2:
𝛼2 − 3
A=( 0
0
0
0
1
0 ).
0 𝛼 + √3
Варианты ответов:
1) α ≠ 0
2) α = − √3 или α = √3
3) при всех α
4) α = − √3
5) α = √3
91
Тест 10. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера. Ответ должен иметь вид (∆x , x0 + y0), где x0 и y0 – решение системы.
3𝑥 − 2𝑦 = 7 ,
{
2𝑥 + 3𝑦 = −4 .
Варианты ответов:
1) (- 6; 0)
2) (- 5; 4)
3) (13; -1)
4) (7; -1)
5) (12; 3)
Тест 11. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
способом обратной матрицы. Ответ должен иметь вид (A-1 ; x0 + y0), где A – матрица системы, x0 и
y0 – решение системы.
7𝑥 + 4𝑦 = 5 ,
{
2𝑥 + 𝑦 = 2 .
Варианты ответов:
1) (
−1
2
2) (
7
4
3) (
−3
−2
4) (
3
1
5) (
−2
4
4
); - 1
−7
2
); 3
1
7
); - 1
5
−2
); 3
2
3
); 4
5
Тест 12. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
способом Гаусса. В ответе укажите сумму вида x0 + y0 + z0, где x0 , y0 , z0 - решение системы.
92
63 + 2𝑥2 − 24 = −17 ,
3𝑥2 − 5𝑥3 = 1 ,
{
8𝑥3 = 32 .
Варианты ответов:
1) - 3
2) 4
3) 7
4) - 11
5) 6
Тест 13. Применяя способ Гаусса, найдите разность между числом главных неизвестных и числом
свободных неизвестных в решении системы:
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 2 ,
{ 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 1 ,
5𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 7 .
Варианты ответов:
1) 2
2) система несовместна
3) 3
4) 1
5) - 1
Тест 14. Проверьте, что векторы линейного пространства 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 образуют базис и найдите
координаты вектора 𝑥 в этом базисе:
𝑒⃗⃗⃗1 = (2; 5), 𝑒⃗⃗⃗2 = (-3; 1), 𝑥 = (5; 21).
Варианты ответов:
1) (4; 1)
2) (-2; 3)
3) (4; -3)
93
4) (-2; -1)
5) (5; 3)
Тест 15. Примените процесс ортогонализации к следующей системе линейно независимых
векторов евклидова пространства:
𝑎1 = (0; 1; 0) , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (1; 2; 1) , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (3; 0; 2).
В ответе укажите сумму координат третьего из полученных ортогональных векторов.
Варианты ответов:
1)
5
3
2) -
3
4
3) -
28
5
4) 3
5) 0
Тест 16. Выясните характер знакоопределенности матрицы C по критерию Сильвестра:
1 1
C = (1 2
3 1
3
1) .
1
Результат укажите с учетом значения главного минора ∆3 .
Варианты ответов:
1) положительно определена, ∆3 = 28
2) знаконеопределена, ∆3 = - 12
3) положительно определена, ∆3 = 17
4) орицательно определена, ∆3 = - 12
5) знаконеопределена, ∆3 = - 2
Тест 17. Вектор 𝑥 в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 имеет координаты (x1; x2). Найдите координаты вектора 𝑥 в
базисе 𝑒⃗⃗⃗′ , 𝑒⃗⃗⃗′ , если
1
2
𝑒⃗⃗⃗1′ = 4𝑒⃗⃗⃗1 + 3𝑒⃗⃗⃗2
94
𝑒⃗⃗⃗2′ = - 𝑒⃗⃗⃗1 - 2𝑒⃗⃗⃗2
x1 = 7 , x2 = 9.
Варианты ответов:
1) (2; 1)
2) (3; -1)
3) (- 1; - 2)
4) (3; - 2)
5) (1; - 3)
Тест 18. Найдите матрицу оператора 𝐴̃ в базисе 𝑒⃗⃗⃗1′ , 𝑒⃗⃗⃗2′ , где
𝑒⃗⃗⃗1′ = -2𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2 ,
𝑒⃗⃗⃗2′ = -5𝑒⃗⃗⃗1 + 3𝑒⃗⃗⃗2 ,
если в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 его матрица имеет вид:
1
Ae = (
2
−1
).
0
Варианты ответов:
1) (
−5
8
−7
)
11
2)
(
193
−79
81
)
201
3)
(
93
−33
−57
)
64
4)
(
73
38
5)
(
29
−11
56
)
−47
74
)
−28
95
Тест 19. Найдите собственные векторы, соответствующие наименьшему собственному значению
линейного оператора, определяемого следующими уравнениями:
x’ = 2x + 3y
y’ = y .
Варианты ответов:
1) ( c; - c )
2
2) ( c: 3c )
1
3) ( c; - 3c )
5
4) ( - c: 2c )
5) ( c; - 2c )
Тест 20. Привести к каноническому виду уравнение кривой
x2 - 6x - 6y + 9 = 0.
Варианты ответов:
1) 𝑥 ′2 = 6y’
2) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = 16
3)
𝑥 ′2
4
𝑦 ′2
9
+
=1
4) 𝑦 ′2 = 6x’
5)
𝑥 ′2
9
-
𝑦 ′2
4
=1
Вариант 4
Тест 1. Найдите матрицу X из условия: 3A – 2BT – X = 0 ,
2 1
−1 2 1
где A = (
), B = (0 −2) .
3 0 4
2 3
Варианты ответов:
1) (
3
8
−2
7
1
)
−4
96
−7
2) ( 2
0
2
3) (8
3
3
−1)
4
4
−6)
0
4) (
−7
2
−5
1
5) (
−7
7
6
4
3
)
0
−1
)
6
Тест 2. Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C = AB , где
1
3
2 0
A= (
), B = (2
−1 −2 1
3
−3
1 ).
−1
Варианты ответов:
1) (
5
−2
3
0
3
)
7
2) (
7
−2
−7
)
0
3) (
11
0
5
)
4
4) (
3
−1
2
−1
5) (
7
0
0
)
4
−3
)
4
Тест 3. Найдите значение многочлена от матрицы f(A) = A2 - 2A + 5E, где E – единичная матрица,
2
A=(
−5
3
).
1
Варианты ответов:
97
1) (
3
−4
8
)
0
2) (
−3
2
11
)
1
3) (
9
−2
−7
)
8
4) (
−10
8
−3
)
7
5) (
−10
−5
3
)
−11
Тест 4. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице A:
7
√2
2
A = ( 0 𝛼 + √2
0
0
3
2 ).
𝛼 − √2
Варианты ответов:
1) α ≠ √2
2) α ≠ - √2
3) при всех α
4) α ≠ 0
5) α ≠ 3
Тест 5. Вычисляя определители, решите уравнение
3
2𝑥
3 2
|
|=|
|.
−2 𝑥 − 1
−1 1
Варианты ответов:
1) x = -
3
4
98
2) x =
8
7
3) x = 7
4) x = - 4
5) x =
3
2
Тест 6. Вычислить определитель, разлагая его по первому столбцу:
𝑎
|𝑏
𝑐
−2 3
0 −1| .
1
2
Варианты ответов:
1) - 2a + 3b - 3c
2) 3a - 2b + 2c
3) a + 7b + 2c
4) - 5a – 3b - 4c
5) 4a - 2b - 3c
Тест 7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислите определитель:
3 1
|−1 2
4 0
2
0 |.
−2
Ответ должен иметь вид ( ∆+; ∆ ), где ∆ - значение определителя, а величина ∆+
вычисляется относительно главной диагонали определителя.
Варианты ответов:
1) (22; - 4)
2) (- 13; - 8)
3) (27; 14)
4) (30; 34)
5) (- 17; - 4)
Тест 8. Найдите матрицу A-1 , обратную матрице A:
3
A=(
1
5
).
2
99
Матрицу A-1 нужно найти через алгебраические дополнения.
Варианты ответов:
2 −5
1) (
)
−1 3
3 −2
2) (
)
−1 5
4
3
3) (
)
−2 −1
−2 5
4) (
)
3 1
3
5) (
5
−4
)
−1
Тест 9. Укажите, при каком значении параметра α ранг матрицы A равен 2:
𝛼2 − 5
A=( 0
0
0
0
𝛼 − √5 0) .
0
1
Варианты ответов:
1) α = √5
2) α = 0
3) α = - √5
4) при всех α
5) α = - √5 или α = √5 .
Тест 10. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера. Ответ должен иметь вид (∆x , x0 + y0), где x0 и y0 – решение системы.
2𝑥 − 5𝑦 = −1 ,
{
3𝑥 + 2𝑦 = 8 .
Варианты ответов:
1) (38; 3)
2) (24; 1)
100
3) (- 12; 1)
4) (21; 3)
5) (- 17; -2)
Тест 11. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
способом обратной матрицы. Ответ должен иметь вид (A-1 ; x0 + y0), где A – матрица системы, x0 и
y0 – решение системы.
11𝑥 + 4𝑦 = −17 ,
{
3𝑥 + 𝑦 = −5 .
Варианты ответов:
1) (
7
5
3
); 1
2
2) (
2
4
−3
); 3
−5
3) (
5
2
−3
); - 2
1
4) (
−1
3
4
); 1
−11
5) (
11
4
3
); 3
1
Тест 12. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
способом Гаусса. В ответе укажите сумму вида x0 + y0 + z0, где x0 , y0 , z0 - решение системы.
−8𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 = −8 ,
−5𝑥2 + 2𝑥3 = 6 ,
{
3𝑥3 = −21 .
Варианты ответов:
1) 2
2) - 8
3) 0
101
4) 11
5) - 4
Тест 13. Применяя способ Гаусса, найдите разность между числом главных неизвестных и числом
свободных неизвестных в решении системы:
𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = −2 ,
{2𝑥1 + 7𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 6 ,
9𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 7𝑥4 = 2 .
Варианты ответов:
1) 0
2) 3
3) система несовместна
4) 4
5) 2
Тест 14. Проверьте, что векторы линейного пространства 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 образуют базис и найдите
координаты вектора 𝑥 в этом базисе:
𝑒⃗⃗⃗1 = (- 3; 2), 𝑒⃗⃗⃗2 = (4; 5), 𝑥 = (- 2; 9).
Варианты ответов:
1) (- 3; 2)
2) (5; - 1)
3) (2; 1)
4) (4; 3)
5) (- 1; 2)
Тест 15. Примените процесс ортогонализации к следующей системе линейно независимых
векторов евклидова пространства:
𝑎1 = (0; 1; - 1) , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (1; 2; 0) , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (3; 2; 2).
В ответе укажите сумму координат третьего из полученных ортогональных векторов.
Варианты ответов:
102
1)
5
2
2) 0
3) 1
4)
54
5
3
5) - 4
Тест 16. Выясните характер знакоопределенности матрицы C по критерию Сильвестра:
−6 0
1
C = ( 0 −1
3 ).
1
3 −12
Результат укажите с учетом значения главного минора ∆3 .
Варианты ответов:
1) знаконеопределена, ∆3 = 23
2) отрицательно определена, ∆3 = - 17
3) отрицательно определена, ∆3 = - 31
4) положительно определена, ∆3 = 56
5) знаконеопределена, ∆3 = - 17
Тест 17. Вектор 𝑥 в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 имеет координаты (x1; x2). Найдите координаты вектора 𝑥 в
базисе 𝑒⃗⃗⃗′ , 𝑒⃗⃗⃗′ , если
1
2
𝑒⃗⃗⃗1′ = 𝑒⃗⃗⃗1 + 2𝑒⃗⃗⃗2 ,
𝑒⃗⃗⃗2′ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝑒1 + 4𝑒⃗⃗⃗2 ,
x1 = - 7 , x2 = - 8 .
Варианты ответов:
1) (2; - 3)
2) (1; 2)
3) (- 2; 1)
103
4) (3; 2)
5) (- 1; - 2)
Тест 18. Найдите матрицу оператора 𝐴̃ в базисе 𝑒⃗⃗⃗1′ , 𝑒⃗⃗⃗2′ , где
𝑒⃗⃗⃗1′ = - 4𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2 ,
𝑒⃗⃗⃗2′ = - 7𝑒⃗⃗⃗1 + 2𝑒⃗⃗⃗2 ,
если в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 его матрица имеет вид:
2 0
Ae = (
).
−1 1
Варианты ответов:
1) (
213
98
−123
)
−45
2)
(
39
−27
74
)
41
3)
(
−19
12
−35
)
22
4)
(
−28
124
−43
)
18
5)
(
−147
−95
202
)
56
Тест 19. Найдите собственные векторы, соответствующие наименьшему собственному значению
линейного оператора, определяемого следующими уравнениями:
x’ = 3x + y,
y’ = 2y.
Варианты ответов:
1) ( c ; - c )
5
2) ( c ; 2c )
104
3) ( c ; - 2c )
1
4) ( - c ; - 3c )
2
5) ( c ; - 3c )
Тест 20. Привести к каноническому виду уравнение кривой
4x2 + 9y2 - 16x + 18y - 11 = 0.
Варианты ответов:
1) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = 16
2)
𝑥 ′2
9
+
𝑦 ′2
4
=1
3)
𝑥 ′2
9
-
𝑦 ′2
4
=1
4)
𝑥 ′2
4
+
𝑦 ′2
9
=1
5) 𝑦 ′2 = 4x’
Вариант 5
Тест 1. Найдите матрицу X из условия: 3A – 2BT – X = 0 ,
3 2
−1 0 3
где A = (
), B = (1 −1) .
2 −2 1
2 3
Варианты ответов:
1)
(
−3
0
2
4
−1
)
7
0
2) ( 2
−3
1
4)
7
3) (
−9
2
−2
−4
4) (
3
7
1
5
5
)
−3
0
)
−8
105
5) (
−9
3
4
−2
6
)
1
Тест 2. Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C = AB , где
3
1
−1 −2 3
A= (
), B = (−3 2 ) .
0
2 −1
−2 −1
Варианты ответов:
1) (
3
−1
2
)
0
2) (
5
−7
3
)
1
3) (
−4
3
2
0
4) (
−3
−4
−8
)
5
5) (
2
0
11
)
7
−1
)
7
Тест 3. Найдите значение многочлена от матрицы f(A) = A2 - 2A + 5E, где E – единичная матрица,
1
A=(
4
−2
).
−3
Варианты ответов:
1) (
−3
7
2) (
8
5
3) (
−3
11
4
)
11
3
)
−2
7
)
−4
106
4) (
−4
−16
5) (
8
3
8
)
12
−4
)
12
Тест 4. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице A:
1
2
A = (0 𝛼 − 7
0
0
3
0 ).
𝛼−7
Варианты ответов:
1) при всех α
2) α ≠ 3
3) α = 7
4) α ≠ 1
5) α ≠ 7
Тест 5. Вычисляя определители, решите уравнение
3𝑥
|
𝑥+1
−2
5 −2
|=|
|.
1
−3 1
Варианты ответов:
3
1) x = - 5
2) x =
4
3
3) x =
3
5
1
4) x = - 2
5) x = 4
Тест 6. Вычислить определитель, разлагая его по второму столбцу:
107
1 𝑎
|0 𝑏
−2 𝑐
3
−1| .
2
Варианты ответов:
1) - a – 3b + 4c
2) 3a - 2b + 5c
3) - 3a + 2b + 3c
4) 2a + 3b - 2c
5) 2a + 8b + c
Тест 7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислите определитель:
2
|3
0
−1 4
1 2| .
2 0
Ответ должен иметь вид ( ∆+; ∆ ), где ∆ - значение определителя, а величина ∆+
вычисляется относительно главной диагонали определителя.
Варианты ответов:
1) (22; - 12)
2) (24; 16)
3) (- 12; 14)
4) (- 11; - 7)
5) (21; - 4)
Тест 8. Найдите матрицу A-1 , обратную матрице A:
5
A=(
3
3
).
2
Матрицу A-1 нужно найти через алгебраические дополнения.
Варианты ответов:
3 −2
1) (
)
5 −1
4 3
2) (
)
−2 5
−3 4
3) (
)
7 2
108
2 −3
4) (
)
−3 5
−2 5
5) (
)
3 −4
Тест 9. Укажите, при каком значении параметра α ранг матрицы A равен 2:
𝛼2 + 1
A=( 0
0
0
0
𝛼 − 3 0) .
0
1
Варианты ответов:
1) α = 0
2) α = 3
3) при всех α
4) α = 3 или α = - 3
5) α ≠ 3
Тест 10. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера. Ответ должен иметь вид (∆x , x0 + y0), где x0 и y0 – решение системы.
3𝑥 + 2𝑦 = −4 ,
{
5𝑥 + 3𝑦 = −7 .
Варианты ответов:
1) (- 8; 2)
2) (14; - 1)
3) (- 6; 2)
4) (2; - 1)
5) (7; 3)
Тест 11. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
способом обратной матрицы. Ответ должен иметь вид (A-1 ; x0 + y0), где A – матрица системы, x0 и
y0 – решение системы.
109
−3𝑥 + 5𝑦 = 5 ,
{
−𝑥 + 2𝑦 = 3 .
Варианты ответов:
1) (
3
−5
−2
); 3
4
2) (
−2
−1
5
); 9
3
3) (
1
4
4) (
−2
1
−5
); 9
3
5) (
−3
5
−1
); 2
2
−3
); 2
2
Тест 12. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
способом Гаусса. В ответе укажите сумму вида x0 + y0 + z0, где x0 , y0 , z0 - решение системы.
{
5𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 3 ,
7𝑥2 + 5𝑥3 = 6 ,
3𝑥3 = 33 .
Варианты ответов:
1) 3
2) 0
3) 1
4) 17
5) - 4
Тест 13. Применяя способ Гаусса, найдите разность между числом главных неизвестных и числом
свободных неизвестных в решении системы:
110
{
𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 7𝑥4 + 9𝑥5 = 1 ,
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 − 4𝑥4 + 5𝑥5 = 2 ,
2𝑥1 + 11𝑥2 + 12𝑥3 + 25𝑥4 + 22𝑥5 = 4 .
Варианты ответов:
1) - 1
2) 3
3) система несовместна
4) 2
5) 4
Тест 14. Проверьте, что векторы линейного пространства 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 образуют базис и найдите
координаты вектора 𝑥 в этом базисе:
𝑒⃗⃗⃗1 = (5; - 2), 𝑒⃗⃗⃗2 = (7; - 3), 𝑥 = (9; - 4).
Варианты ответов:
1) (3; - 4)
2) (2; 1)
3) (3; - 1)
4) (4; - 5)
5) (- 1; 2)
Тест 15. Примените процесс ортогонализации к следующей системе линейно независимых
векторов евклидова пространства:
𝑎1 = (0; - 1; 0) , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (1; - 1; 2) , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (3; 0; 5).
В ответе укажите сумму координат третьего из полученных ортогональных векторов.
Варианты ответов:
1)
1
2
2) 0
3)
1
5
4)
37
11
111
5) 2
Тест 16. Выясните характер знакоопределенности матрицы C по критерию Сильвестра:
2 1
C = (1 3
3 2
3
2) .
5
Результат укажите с учетом значения главного минора ∆3 .
Варианты ответов:
1) положительно определена, ∆3 = 5
2) отрицательно определена ∆3 = -18
3) знаконеопределена, ∆3 = - 21
4) знаконеопределена, ∆3 = - 5
5) положительно определена, ∆3 = 2
Тест 17. Вектор 𝑥 в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 имеет координаты (x1; x2). Найдите координаты вектора 𝑥 в
базисе 𝑒⃗⃗⃗′ , 𝑒⃗⃗⃗′ , если
1
2
𝑒⃗⃗⃗1′ = - 𝑒⃗⃗⃗1 - 3𝑒⃗⃗⃗2
𝑒⃗⃗⃗2′ = 2𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2
x1 = 1 , x2 = - 7.
Варианты ответов:
1) (1; - 1)
2) (2; 3)
3) (4; - 1)
4) (3; 2)
5) (- 2; 3)
Тест 18. Найдите матрицу оператора 𝐴̃ в базисе 𝑒⃗⃗⃗1′ , 𝑒⃗⃗⃗2′ , где
𝑒⃗⃗⃗1′ = 3𝑒⃗⃗⃗1 + 2𝑒⃗⃗⃗2 ,
112
𝑒⃗⃗⃗2′ = 7𝑒⃗⃗⃗1 + 5𝑒⃗⃗⃗2 ,
если в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 его матрица имеет вид:
−2 0
Ae = (
).
1 3
Варианты ответов:
1) (
−93
39
−224
)
94
8
)
7
2)
(
−13
−17
3)
(
−134
211
4)
(
−74
28
−63
)
131
5)
(
151
35
87
)
63
181
)
−73
Тест 19. Найдите собственные векторы, соответствующие наименьшему собственному значению
линейного оператора, определяемого следующими уравнениями:
x’ = 2x
y’ = x + 5y .
Варианты ответов:
7
1) ( c: - 2c )
2) ( c; - 2c )
2
3) ( - c; 3c )
4) ( c; - c )
1
5) ( c; - 3c )
Тест 20. Привести к каноническому виду уравнение кривой
113
16x2 - 9y2 - 64x - 54y - 161 = 0.
Варианты ответов:
1)
𝑥 ′2
4
-
𝑦 ′2
9
=1
2)
𝑥 ′2
16
+
𝑦 ′2
9
=1
3) 𝑦 ′2 = - 2x’
4)
𝑥 ′2
9
-
𝑦 ′2
16
=1
5) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = 49
Вариант 6
Тест 1. Найдите матрицу X из условия: 3A – 2BT – X = 0 ,
−1 2
1 0 2
где A = (
), B = ( 0 −1) .
1 −1 3
1
2
Варианты ответов:
1) (
4
−9
−1
0
8
)
3
2) (
5
−1
0
−1
4
)
5
1
3) (0
7
−2
8)
−4
0
4) (9
7
−7
3)
4
5) (
3
8
−2
1
6
)
4
Тест 2. Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C = AB , где
114
−1 2
−3 1 2
A= (
), B = ( 3 1) .
−1 0 3
−2 3
Варианты ответов:
1) (
4
−2
2) (
7
2
3
)
0
3
−1
1
)
4
2 7
)
1 5
−3 2
4) (
)
1 5
3) (
5) (
2
−5
1
)
7
Тест 3. Найдите значение многочлена от матрицы f(A) = A2 - 2A + 5E, где E – единичная матрица,
5
A=(
2
−3
).
1
Варианты ответов:
1) (
13
11
−2
)
−7
2) (
8
12
4
)
−6
3) (
3
−7
−1
)
8
4) (
−9
4
8
)
−1
5) (
14
8
−12
)
−2
115
Тест 4. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице A:
𝛼 + √5
A=( 0
0
2
√3
−1
4 ).
0 𝛼2 + 1
Варианты ответов:
1) α ≠ - 1
2) при всех α
3) α ≠ 0
4) α ≠ - √5
5) α ≠ 4
Тест 5. Вычисляя определители, решите уравнение
2𝑥
|
3
𝑥−1
−2 4
|=|
|.
2
−1 −2
Варианты ответов:
1) x = - 3
2) x = 3) x =
3
5
3
4
4) x = 5
5) x =
7
8
Тест 6. Вычислить определитель, разлагая его по третьему столцу:
2 1
|−1 2
1 0
𝑎
𝑏| .
𝑐
Варианты ответов:
1) - 2a + b + 5c
2) 3a - b - 4c
116
3) - 3a + 2b + 2c
4) - 2a – b + 5c
5) 4a + 2b + c
Тест 7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислите определитель:
0
2 0
|−3 −1 4| .
6
3 2
Ответ должен иметь вид ( ∆+; ∆ ), где ∆ - значение определителя, а величина ∆+
вычисляется относительно главной диагонали определителя.
Варианты ответов:
1) (- 12; - 48)
2) (14; 18)
3) (28; 32)
4) (- 34; 28)
5) (48; 60)
Тест 8. Найдите матрицу A-1 , обратную матрице A:
11
A=(
3
4
).
1
Матрицу A-1 нужно найти через алгебраические дополнения.
Варианты ответов:
5 −7
1) (
)
3 1
−1
4
2) (
)
3 −11
4 −8
3) (
)
3 −2
−11 5
4) (
)
3
2
−7 3
5) (
)
−1 4
Тест 9. Укажите, при каком значении параметра α ранг матрицы A равен 2:
117
1
0
0
A = (0 𝛼 2 + 4
0 ).
0
0
𝛼+4
Варианты ответов:
1) α = - 4
2) при всех α
3) α ≠ 0
4) α = 4
5) α = - 4 или α = 4
Тест 10. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера. Ответ должен иметь вид (∆x , x0 + y0), где x0 и y0 – решение системы.
4𝑥 − 3𝑦 = −5 ,
{
3𝑥 − 5𝑦 = −1 .
Варианты ответов:
1) (- 4; 1)
2) (22; - 3)
3) (14; - 3)
4) (- 12; - 2)
5) (3; 1)
Тест 11. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
способом обратной матрицы. Ответ должен иметь вид (A-1 ; x0 + y0), где A – матрица системы, x0 и
y0 – решение системы.
−5𝑥 + 2𝑦 = −11 ,
{
−7𝑥 + 3𝑦 = −15 .
Варианты ответов:
1) (
4
11
3
); - 2
8
118
2) (
2
4
−3
); 3
5
3) (
−3
−7
2
); 5
5
4) (
−5
2
−7
); 3
3
5) (
−1
5
3
); 1
4
Тест 12. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
способом Гаусса. В ответе укажите сумму вида x0 + y0 + z0, где x0 , y0 , z0 - решение системы.
3𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 = −17 ,
3𝑥2 + 5𝑥3 = −6 ,
{
4𝑥3 = 12 .
Варианты ответов:
1) 0
2) 1
3) 4
4) - 2
5) 14
Тест 13. Применяя способ Гаусса, найдите разность между числом главных неизвестных и числом
свободных неизвестных в решении системы:
𝑥1 − 𝑥2 = 2 ,
−𝑥
{ 1 + 5𝑥2 − 𝑥3 = 1 ,
3𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 4 .
Варианты ответов:
1) 1
2) система несовместна
3) 2
119
4) 3
5) - 1
Тест 14. Проверьте, что векторы линейного пространства 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 образуют базис и найдите
координаты вектора 𝑥 в этом базисе:
𝑒⃗⃗⃗1 = (7; 1), 𝑒⃗⃗⃗2 = (- 3; - 2), 𝑥 = (5; - 4).
Варианты ответов:
1) (- 1; 3)
2) (2; 5)
3) (2; 3)
4) (3; - 1)
5) (4; - 3)
Тест 15. Примените процесс ортогонализации к следующей системе линейно независимых
векторов евклидова пространства:
𝑎1 = (0; - 1; 0) , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (1; 2; 0) , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (0; 2; 3).
В ответе укажите сумму координат третьего из полученных ортогональных векторов.
Варианты ответов:
1) 3
2) -
2
3
3) - 1
4)
63
7
5) 0
Тест 16. Выясните характер знакоопределенности матрицы C по критерию Сильвестра:
3 1
C = (1 2
1 1
1
1) .
4
Результат укажите с учетом значения главного минора ∆3 .
120
Варианты ответов:
1) положительно определена, ∆3 = 23
2) знаконеопределена, ∆3 = - 4
3) положительно определена, ∆3 = 17
4) знаконеопределена, ∆3 = - 12
5) отрицательно определена, ∆3 = - 32
Тест 17. Вектор 𝑥 в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 имеет координаты (x1; x2). Найдите координаты вектора 𝑥 в
базисе 𝑒⃗⃗⃗′ , 𝑒⃗⃗⃗′ , если
1
2
𝑒⃗⃗⃗1′ = - 2𝑒⃗⃗⃗1 + 3𝑒⃗⃗⃗2
𝑒⃗⃗⃗2′ = 𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2
x1 = 6 , x2 = 1.
Варианты ответов:
1) (- 1; 2)
2) (3; - 2)
3) (- 4; 1)
4) (1; - 3)
5) (- 1; 4)
Тест 18. Найдите матрицу оператора 𝐴̃ в базисе 𝑒⃗⃗⃗1′ , 𝑒⃗⃗⃗2′ , где
𝑒⃗⃗⃗1′ = - 3𝑒⃗⃗⃗1 + 2𝑒⃗⃗⃗2 ,
𝑒⃗⃗⃗2′ = 5𝑒⃗⃗⃗1 - 3𝑒⃗⃗⃗2 ,
если в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 его матрица имеет вид:
1 0
Ae = (
).
−1 2
Варианты ответов:
1) (
−129
−97
218
)
83
121
2)
(
5
3
−4
)
9
3)
(
48
−34
4)
(
26
15
−40
)
−23
5)
(
27
81
−33
)
−47
29
)
18
Тест 19. Найдите собственные векторы, соответствующие наименьшему собственному значению
линейного оператора, определяемого следующими уравнениями:
x’ = 3x ,
y’ = 2x + 4y .
Варианты ответов:
1) ( c ; - 3c )
2) ( c ; - c )
2
3) (c ; - 5c )
4) ( c ; - 2c )
1
5) ( - c ; 3c )
Тест 20. Привести к каноническому виду уравнение кривой
x2 + y2 - 4x - 5 = 0.
Варианты ответов:
1) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = 9
2) 𝑥 ′2 = - 4y’
3)
𝑥 ′2
4
+
𝑦 ′2
9
=1
4) 𝑥 ′2 - 𝑦 ′2 = 9
122
5)
𝑥 ′2
9
-
𝑦 ′2
4
=1
Вариант 7
Тест 1. Найдите матрицу X из условия: 3A – 2BT – X = 0 ,
2
2 0 1
где A = (
), B = (1
1 −1 4
0
1
−3) .
−1
Варианты ответов:
1)
(
2
1
2
2) (0
7
−2
3
3
)
14
3
11 )
−4
3) (
−2
1
−4
0
4) (
−3
2
7
1
5) (
4
1
3
7
13
)
3
4
)
9
12
)
−8
Тест 2. Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C = AB , где
2 2
A= (
3 1
1
2
−1
), B = (−3 −1) .
0
3
2
Варианты ответов:
1) (
−5
1
3
0
2
)
7
123
2) (
6
0
−2
3
1
)
4
3) (
−7
0
3
)
4
4) (
−7
0
0
)
5
5) (
−5
3
8
)
0
Тест 3. Найдите значение многочлена от матрицы f(A) = A2 - 2A + 5E, где E – единичная матрица,
−2
A=(
3
−5
).
1
Варианты ответов:
1) (
−2
−9
15
)
−11
2) (
4
−3
7
)
2
3) (
−3
4
11
)
7
4) (
4
−3
13
)
9
5) (
−15
0
6
)
7
Тест 4. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице A:
𝛼−3 3 4
A=( 0
−2 3) .
0
0 8
124
Варианты ответов:
1) при всех α
2) α ≠ 3
3) α ≠ 0
4) α ≠ √8
5) α = 3
Тест 5. Вычисляя определители, решите уравнение
4
−3
−3 2
|
|=|
|.
−𝑥 + 1 𝑥
−2 1
Варианты ответов:
1) x = - 2
2) x =
3
5
3) x = -3
4) x = -
4
5
5) x = -
3
2
Тест 6. Вычислить определитель, разлагая его по первой строке:
𝑎 𝑏 𝑐
| 0 1 2| .
−1 2 3
Варианты ответов:
1) a – 2b - c
2) 2a + b - 2c
3) -4a – 2b + 7c
4) - a – 2b + c
5) a - b + 2c
Тест 7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислите определитель:
125
0
|2
0
4 −1
−3 −2| .
1
4
Ответ должен иметь вид ( ∆+; ∆ ), где ∆ - значение определителя, а величина ∆+
вычисляется относительно главной диагонали определителя.
Варианты ответов:
1) (45; - 32)
2) (- 2; - 34)
3) (8; - 17)
4) (- 15; - 18)
5) (32; - 16)
Тест 8. Найдите матрицу A-1 , обратную матрице A:
−2
A=(
1
−5
).
3
Матрицу A-1 нужно найти через алгебраические дополнения.
Варианты ответов:
2 3
1) (
)
−4 1
−3 4
2) (
)
−2 5
−3 −5
3) (
)
1
2
4
4) (
5
−3
)
−1
−5 2
5) (
)
3 4
Тест 9. Укажите, при каком значении параметра α ранг матрицы A равен 2:
𝛼2 + 5 0
A=( 0
√5
0
0
0
0 ).
𝛼 − √5
Варианты ответов:
1) при всех α
126
2) α = - √5
3) α ≠ 0
4) α = √5
5) α = - √5 или α = √5
Тест 10. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера. Ответ должен иметь вид (∆x , x0 + y0), где x0 и y0 – решение системы.
3𝑥 − 5𝑦 = −4 ,
{
4𝑥 − 3𝑦 = 2 .
Варианты ответов:
1) (- 13; 4)
2) (8; 3)
3) (22; 4)
4) (- 21; 3)
5) (18; 2)
Тест 11. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
способом обратной матрицы. Ответ должен иметь вид (A-1 ; x0 + y0), где A – матрица системы, x0 и
y0 – решение системы.
{
−4𝑥 − 7𝑦 = −5 ,
𝑥 + 2𝑦 = 2 .
Варианты ответов:
1) (
1
−2
2) (
3
4
3) (
−4
−7
3
); 1
−5
−1
); 4
2
1
); 2
2
127
4) (
7
1
5) (
−2
1
−5
); - 3
3
−7
); - 1
4
Тест 12. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
способом Гаусса. В ответе укажите сумму вида x0 + y0 + z0, где x0 , y0 , z0 - решение системы.
−3𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 7 ,
2𝑥2 + 5𝑥3 = 1 ,
{
7𝑥3 = 21 .
Варианты ответов:
1) 5
2) - 3
3) 1
4) 12
5) - 4
Тест 13. Применяя способ Гаусса, найдите разность между числом главных неизвестных и числом
свободных неизвестных в решении системы:
3𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0 ,
{ 𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 6 ,
2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = −5 .
Варианты ответов:
1) система несовместна
2) 3
3) - 1
4) 0
5) 1
128
Тест 14. Проверьте, что векторы линейного пространства 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 образуют базис и найдите
координаты вектора 𝑥 в этом базисе:
𝑒⃗⃗⃗1 = (3; - 5), 𝑒⃗⃗⃗2 = (7; - 1), 𝑥 = (- 5; - 13).
Варианты ответов:
1) (- 5; - 1)
2) (3; - 2)
3) (4; 3)
4) (- 2; 1)
5) (1; - 3)
Тест 15. Примените процесс ортогонализации к следующей системе линейно независимых
векторов евклидова пространства:
𝑎1 = (0; 1; 1) , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (1; 0; 2) , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (2; 0; 0).
В ответе укажите сумму координат третьего из полученных ортогональных векторов.
Варианты ответов:
1
1) - 2
2) -
37
5
3) 0
4)
4
3
5) 2
Тест 16. Выясните характер знакоопределенности матрицы C по критерию Сильвестра:
−2 2
1
C = ( 2 −3 1 ) .
1
1 −6
Результат укажите с учетом значения главного минора ∆3 .
Варианты ответов:
1) отрицательно определена, ∆3 = - 3
2) положительно определена, ∆3 = 12
129
3) отрицательно определена, ∆3 = - 5
4) знаконеопределена, ∆3 = - 3
5) положительно определена, ∆3 = 14
Тест 17. Вектор 𝑥 в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 имеет координаты (x1; x2). Найдите координаты вектора 𝑥 в
базисе 𝑒⃗⃗⃗′ , 𝑒⃗⃗⃗′ , если
1
2
𝑒⃗⃗⃗1′ = 4𝑒⃗⃗⃗1 + 2𝑒⃗⃗⃗2
𝑒⃗⃗⃗2′ = - 3𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2
x1 = 7 , x2 = 1.
Варианты ответов:
1) (3; - 2)
2) (1; - 1)
3) (1; 3)
4) (4; - 3)
5) (2; 1)
Тест 18. Найдите матрицу оператора 𝐴̃ в базисе 𝑒⃗⃗⃗1′ , 𝑒⃗⃗⃗2′ , где
𝑒⃗⃗⃗1′ = 𝑒⃗⃗⃗1 + 3𝑒⃗⃗⃗2 ,
𝑒⃗⃗⃗2′ = 2𝑒⃗⃗⃗1 + 5𝑒⃗⃗⃗2 ,
если в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 его матрица имеет вид:
0 −2
Ae = (
).
−1 1
Варианты ответов:
1) (
2)
17
21
(
34
−20
−8
)
34
56
)
−33
130
3)
(
141
−63
91
)
−108
4)
(
71
47
−64
)
−61
5)
(
97
28
−113
)
41
Тест 19. Найдите собственные векторы, соответствующие наименьшему собственному значению
линейного оператора, определяемого следующими уравнениями:
x’ = 7x + 2y
y’ = 3y.
Варианты ответов:
1) (c: - 2c )
2) (c; - c )
2
3) ( c; - 3c )
1
3
4) ( - c; c )
2
7
5) ( c: - c )
Тест 20. Привести к каноническому виду уравнение кривой
y2 + 4x - 8y + 16 = 0.
Варианты ответов:
1) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = 16
2) 𝑦 ′2 = - 4x’
3)
𝑥 ′2
4
+
𝑦 ′2
16
=1
4) 𝑦 ′2 = 4x’
5)
𝑥 ′2
9
-
𝑦 ′2
4
=1
131
Вариант 8
Тест 1. Найдите матрицу X из условия: 3A – 2BT – X = 0 ,
2
−1 0 3
где A = (
), B = (2
3 −2 2
3
−1
1 ).
−1
Варианты ответов:
1) (
1
7
0
3
2
2) (−3
8
3) (
−11
2
4) (
−7
11
−2
)
−7
−1
4)
0
3
−1
−4
−8
0
5) ( 3
−1
4
)
7
3
)
8
−7
2)
0
Тест 2. Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C = AB , где
3
1
0
1 −2
A= (
), B = (−2 −1) .
−3 −1 2
1
3
Варианты ответов:
1) (
−4
−5
2) (
5
3
3) (
−4
3
−7
)
4
6
2
−1
)
0
6
)
1
132
4) (
2
11
3
)
7
5) (
−4
3
−2
)
8
Тест 3. Найдите значение многочлена от матрицы f(A) = A2 - 2A + 5E, где E – единичная матрица,
−1
A=(
2
−3
).
5
Варианты ответов:
1) (
11
3
−7
)
8
2) (
2
4
−6
)
14
3) (
6
5
−3
)
8
4) (
−14
9
5) (
−7
3
3
)
−11
6
)
9
Тест 4. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице A:
−2
√2
A = ( 0 𝛼 + √2
0
0
3
5) .
9
Варианты ответов:
1) α ≠ - √2
2) α = - √2
133
3) α ≠ 0
4) при всех α
5) α ≠ 3
Тест 5. Вычисляя определители, решите уравнение
−3
2𝑥
−1 2
|
|=|
|.
−5 𝑥 + 1
3 −4
Варианты ответов:
1) x = 4
2
2) x = - 5
3) x = - 4
4) x =
1
7
5) x =
3
7
Тест 6. Вычислить определитель, разлагая его по второй строке:
1
2 0
|𝑎
𝑏 𝑐| .
−1 −2 1
Варианты ответов:
1) a + 2b - 3c
2) - 2a + b
3) - 3a - b + c
4) 2a + c
5) 2a - b
Тест 7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислите определитель:
−2 1
|3 2
4 1
0
−1| .
0
134
Ответ должен иметь вид ( ∆+; ∆ ), где ∆ - значение определителя, а величина ∆+
вычисляется относительно главной диагонали определителя.
Варианты ответов:
1) (- 4; - 6)
2) (3; - 8)
3) (18; 13)
4) (- 6; 8)
5) (5; - 7)
Тест 8. Найдите матрицу A-1 , обратную матрице A:
−4
A=(
1
−7
).
2
Матрицу A-1 нужно найти через алгебраические дополнения.
Варианты ответов:
−2 −7
1) (
)
1
4
5 −3
2) (
)
2 1
7 3
3) (
)
5 −4
−3 2
4) (
)
4 3
5
5) (
7
−2
)
3
Тест 9. Укажите, при каком значении параметра α ранг матрицы A равен 2:
0
√2
A = ( 0 𝛼 + 2√2
0
0
0
0 ).
2
𝛼 −8
Варианты ответов:
1) α = - 2√2
2) α ≠ 2√2
3) при всех α
135
4) α ≠ 0
5) α = 2√2
Тест 10. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера. Ответ должен иметь вид (∆x , x0 + y0), где x0 и y0 – решение системы.
4𝑥 + 3𝑦 = −2 ,
{
2𝑥 + 4𝑦 = 4 .
Варианты ответов:
1) (- 34; 2)
2) (14; 0)
3) (12; 2)
4) (- 18; 0)
5) (- 20; 0)
Тест 11. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
способом обратной матрицы. Ответ должен иметь вид (A-1 ; x0 + y0), где A – матрица системы, x0 и
y0 – решение системы.
{
4𝑥 + 3𝑦 = 11 ,
11𝑥 + 8𝑦 = 31 .
Варианты ответов:
1) (
−5
3
2) (
4
7
3) (
3
−1
4) (
4
3
−2
); - 2
1
−3
); 4
1
2
); 3
4
11
); 3
8
136
5) (
−8
11
3
); 2
−4
Тест 12. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
способом Гаусса. В ответе укажите сумму вида x0 + y0 + z0, где x0 , y0 , z0 - решение системы.
2𝑥1 + 5𝑥2 − 6𝑥3 = −6 ,
3𝑥2 − 5𝑥3 = 2 ,
{
8𝑥3 = 16 .
Варианты ответов:
1) 2
2) - 11
3) 13
4) - 1
5) 0
Тест 13. Применяя способ Гаусса, найдите разность между числом главных неизвестных и числом
свободных неизвестных в решении системы:
𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 1 ,
{ 2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 0 ,
5𝑥1 + 3𝑥2 + 8𝑥3 + 𝑥4 = 1 .
Варианты ответов:
1) 3
2) система несовместна
3) 0
4) 4
5) 2
Тест 14. Проверьте, что векторы линейного пространства 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 образуют базис и найдите
координаты вектора 𝑥 в этом базисе:
𝑒⃗⃗⃗1 = (2; - 3), 𝑒⃗⃗⃗2 = (- 5; 4), 𝑥 = (1; - 5).
Варианты ответов:
137
1) (- 3; 4)
2) (2; - 1)
3) (3; 1)
4) (5; 2)
5) (- 4; 1)
Тест 15. Примените процесс ортогонализации к следующей системе линейно независимых
векторов евклидова пространства:
𝑎1 = (- 1; 1; 0) , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (0; 2; - 3) , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (2; 2; 3).
В ответе укажите сумму координат третьего из полученных ортогональных векторов.
Варианты ответов:
1) 3
2)
72
11
3)
3
4
4) 0
5)
2
3
Тест 16. Выясните характер знакоопределенности матрицы C по критерию Сильвестра:
−6 1 1
C = ( 1 −1 3) .
1
3 2
Результат укажите с учетом значения главного минора ∆3 .
Варианты ответов:
1) знаконеопределена, ∆3 = 43
2) отрицательно определена, ∆3 = - 24
3) отрицательно определена, ∆3 = - 32
4) знаконеопределена, ∆3 = 71
5) положительно определена, ∆3 = 27
138
Тест 17. Вектор 𝑥 в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 имеет координаты (x1; x2). Найдите координаты вектора 𝑥 в
базисе 𝑒⃗⃗⃗′ , 𝑒⃗⃗⃗′ , если
1
2
𝑒⃗⃗⃗1′ = 𝑒⃗⃗⃗1 + 2𝑒⃗⃗⃗2
𝑒⃗⃗⃗2′ = - 3𝑒⃗⃗⃗1 - 𝑒⃗⃗⃗2
x1 = - 5 , x2 = - 5.
Варианты ответов:
1) (- 2; 1)
2) (1; 3)
3) (- 2; 4)
4) (3; - 3)
5) (2; 3)
Тест 18. Найдите матрицу оператора 𝐴̃ в базисе 𝑒⃗⃗⃗1′ , 𝑒⃗⃗⃗2′ , где
𝑒⃗⃗⃗1′ = 3𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2 ,
𝑒⃗⃗⃗2′ = 2𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2 ,
если в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 его матрица имеет вид:
3
Ae = (
0
−1
).
1
Варианты ответов:
1) (
6
−5
3
)
−2
93
)
61
2)
(
32
47
3)
(
−23
81
−17
)
63
4)
(
131
97
−118
)
−65
139
(
5)
−48
34
−21
)
19
Тест 19. Найдите собственные векторы, соответствующие наименьшему собственному значению
линейного оператора, определяемого следующими уравнениями:
x’ = 3x + 2y,
y’ = - y.
Варианты ответов:
1) ( c ; - c )
2
2) (- c ; 7c )
1
3
3) (c ; - c )
4) ( c ; - 2c )
2
5) ( c ; 3c )
Тест 20. Привести к каноническому виду уравнение кривой
4x2 + 9y2 + 8x + 18y - 23 = 0.
Варианты ответов:
1) 𝑥 ′2 = 16y’
2)
𝑥 ′2
4
+
𝑦 ′2
9
=1
3) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = 9
4)
𝑥 ′2
4
-
𝑦 ′2
9
=1
5)
𝑥 ′2
9
+
𝑦 ′2
4
=1
Вариант 9
Тест 1. Найдите матрицу X из условия: 3A – 2BT – X = 0 ,
2 0
где A = (
3 2
0 −1
1
), B = ( 2
1 ).
−1
−1 3
140
Варианты ответов:
6
(7
7
−5
3)
−2
2) (
6
11
−4
4
5
)
−9
3) (
13
0
5
−2
−1
)
7
4) (
−4
3
2
5
0
)
−1
5) (
9
4
11
−7
−3
)
5
1)
Тест 2. Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C = AB , где
2
3
1 −2 −1
A= (
), B = (−1 1 ) .
0 3
2
3 −2
Варианты ответов:
1) (
1
3
3
)
−1
2) (
0
3
−4
11
3) (
1
−7
4) (
3
2
5) (
−2
8
6
)
7
5
)
4
−4
)
0
3
)
7
Тест 3. Найдите значение многочлена от матрицы f(A) = A2 - 2A + 5E, где E – единичная матрица,
141
2
A=(
1
−3
).
−4
Варианты ответов:
1) (
13
6
5
)
−8
2) (
2
−4
12
)
26
3) (
15
7
−11
)
3
4) (
−2
3
8
)
−5
5) (
−2
−11
7
)
3
Тест 4. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице A:
𝛼−1
0
A=( 0
𝛼−1
0
0
1
4 ).
15
Варианты ответов:
1) при всех α
2) α = 1
3) α ≠ 0
4) α ≠ 1
5) α ≠ √15
Тест 5. Вычисляя определители, решите уравнение
3𝑥
|
𝑥−1
−2
2 −3
|=|
|.
−1
1 −1
142
Варианты ответов:
2
1) x = 5
2) x = - 3
3) x = - 4
4
4) x = - 3
7
5) x = 6
Тест 6. Вычислить определитель, разлагая его по третьей строке:
0 1 2
|3 −1 1| .
𝑎 𝑏 𝑐
Варианты ответов:
1) 3a – 2b + c
2) 2a + b - c
3) - 3a – 5b + 2c
4) 3a + 6b - 3c
5) 2a - 3b + 4c
Тест 7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислите определитель:
−1 3
|0 1
1 2
−2
0 |.
−1
Ответ должен иметь вид ( ∆+; ∆ ), где ∆ - значение определителя, а величина ∆+
вычисляется относительно главной диагонали определителя.
Варианты ответов:
1) (12; 16)
2) (- 4; 11)
3) (- 3; 17)
4) (1; 3)
5) (5; - 4)
143
Тест 8. Найдите матрицу A-1 , обратную матрице A:
3
A=(
2
7
).
5
Матрицу A-1 нужно найти через алгебраические дополнения.
Варианты ответов:
−7 3
1) (
)
5 −4
3 2
2) (
)
7 5
−4 5
3) (
)
3 2
5 −7
4) (
)
−2 3
−5 2
5) (
)
3 4
Тест 9. Укажите, при каком значении параметра α ранг матрицы A равен 2:
3
0
0
2
A = (0 𝛼 + 3
0 ).
0
0
𝛼2 − 9
Варианты ответов:
1) α ≠ 0
2) при всех α
3) α = 3 или α = - 3
4) α = 0
5) ни при каких α
Тест 10. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера. Ответ должен иметь вид (∆x , x0 + y0), где x0 и y0 – решение системы.
3𝑥 + 2𝑦 = −4 ,
{
4𝑥 + 𝑦 = −7 .
Варианты ответов:
1) (- 16; 2)
144
2) (10; - 1)
3) (- 8; - 1)
4) (17; 3)
5) (14; 3)
Тест 11. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
способом обратной матрицы. Ответ должен иметь вид (A-1 ; x0 + y0), где A – матрица системы, x0 и
y0 – решение системы.
{
−2𝑥 − 5𝑦 = −4 ,
𝑥 + 3𝑦 = 3 .
Варианты ответов:
1) (
4
3
−5
); 3
2
2) (
−3
1
3) (
2
7
4) (
−2
−5
1
); 2
3
5) (
−3
−1
2
); - 4
−2
−5
); - 1
2
1
); 3
4
Тест 12. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
способом Гаусса. В ответе укажите сумму вида x0 + y0 + z0, где x0 , y0 , z0 - решение системы.
3𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥3 = −12 ,
3𝑥2 + 5𝑥3 = −4 ,
{
−4𝑥3 = 20 .
Варианты ответов:
1) 1
145
2) 13
3) - 9
4) 7
5) 2
Тест 13. Применяя способ Гаусса, найдите разность между числом главных неизвестных и числом
свободных неизвестных в решении системы:
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 1 ,
{ 𝑥2 − 2𝑥3 = 10 ,
4𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 2 .
Варианты ответов:
1) 0
2) 1
3) 3
4) система несовместна
5) 2
Тест 14. Проверьте, что векторы линейного пространства 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 образуют базис и найдите
координаты вектора 𝑥 в этом базисе:
𝑒⃗⃗⃗1 = (2; - 1), 𝑒⃗⃗⃗2 = (5; - 7), 𝑥 = (- 1; 5).
Варианты ответов:
1) (2; - 1)
2) (- 3; 4)
3) (5; - 2)
4) (- 1; 3)
5) (2; 4)
Тест 15. Примените процесс ортогонализации к следующей системе линейно независимых
векторов евклидова пространства:
𝑎1 = (- 1; 1; 0) , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (0; 2; 1) , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (1; 1; 3).
146
В ответе укажите сумму координат третьего из полученных ортогональных векторов.
Варианты ответов:
3
1) - 2
2)
27
7
3) 1
4) 0
5)
5
6
Тест 16. Выясните характер знакоопределенности матрицы C по критерию Сильвестра:
1
−3
−1
C = (−3 41 −13) .
−1 −13
6
Результат укажите с учетом значения главного минора ∆3 .
Варианты ответов:
1) положительно определена, ∆3 = 14
2) знаконеопределена, ∆3 = - 96
3) положительно определена, ∆3 = 8
4) отрицательно определена, ∆3 = - 8
5) знаконеопределена, ∆3 = - 11
Тест 17. Вектор 𝑥 в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 имеет координаты (x1; x2). Найдите координаты вектора 𝑥 в
базисе 𝑒⃗⃗⃗′ , 𝑒⃗⃗⃗′ , если
1
2
𝑒⃗⃗⃗1′ = - 𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2
𝑒⃗⃗⃗2′ = - 2𝑒⃗⃗⃗1 + 3𝑒⃗⃗⃗2
x1 = - 9 , x2 = 13.
Варианты ответов:
1) (- 2; 1)
147
2) (- 3; 2)
3) (1; 4)
4) (4; 3)
5) (2; - 1)
Тест 18. Найдите матрицу оператора 𝐴̃ в базисе 𝑒⃗⃗⃗1′ , 𝑒⃗⃗⃗2′ , где
𝑒⃗⃗⃗1′ = 5𝑒⃗⃗⃗1 + 2𝑒⃗⃗⃗2 ,
𝑒⃗⃗⃗2′ = 2𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2 ,
если в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 его матрица имеет вид:
2
Ae = (
1
−1
).
0
Варианты ответов:
1) (
102
−94
37
)
−87
2)
(
−2
9
−1
)
4
3)
(
37
28
−41
)
−53
4)
(
94
−19
−61
)
47
5)
(
53
−45
11
)
−93
Тест 19. Найдите собственные векторы, соответствующие наименьшему собственному значению
линейного оператора, определяемого следующими уравнениями:
x’ = x
y’ = 3x + 5y.
Варианты ответов:
148
2
1) ( c; - 5c )
2) ( c; - 2c )
3
3) ( c; - 4c )
4) ( c; - c )
1
3
5) ( - c: c )
Тест 20. Привести к каноническому виду уравнение кривой
4x2 - 25y2 - 24x + 50y - 89 = 0.
Варианты ответов:
1) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = 49
2)
𝑥 ′2
4
𝑦 ′2
25
+
=1
3) 𝑦 ′2 = - 14x’
4)
𝑥 ′2
4
-
𝑦 ′2
25
=1
5)
𝑥 ′2
25
-
𝑦 ′2
4
=1
Вариант 10
Тест 1. Найдите матрицу X из условия: 3A – 2BT – X = 0 ,
−1 3
0 2 −1
где A = (
), B = ( 0 2) .
3 −2 3
−2 1
Варианты ответов:
1) (
11
9
−3
2) ( 7
1
3) (
−4
11
3
6
−4
)
−2
5
−2)
4
13
3
8
)
−1
149
2
4) (7
3
8
−4)
1
2
3
6
−10
5) (
1
)
7
Тест 2. Даны матрицы A и B. Найдите матрицу C = AB , где
1 −1
3
0 −2
A= (
), B = ( 2
3 ).
−1 −3 3
−3 −2
Варианты ответов:
1) (
7
0
3
4
6
)
2
2) (
−9
7
3) (
9
−16
4) (
8
13
11
)
4
5) (
−7
11
12
)
−2
2
14
0
)
1
1
)
−14
Тест 3. Найдите значение многочлена от матрицы f(A) = A2 - 2A + 5E, где E – единичная матрица,
5
A=(
3
−4
).
1
Варианты ответов:
1) (
4
−2
7
)
0
2) (
12
3
−11
)
4
150
3) (
8
12
−16
)
−8
4) (
4
5
5) (
−5
−7
13
)
−7
11
)
13
Тест 4. Определить, при каких значениях параметра α существует матрица, обратная данной
матрице A:
𝛼2 + 2
A=( 0
0
2
3
−1
4 ).
0 𝛼 + √2
Варианты ответов:
1) α = - √2
2) при всех α
3) α ≠ - √2
4) α ≠ 0
5) α ≠ 2
Тест 5. Вычисляя определители, решите уравнение
−2𝑥
|
3
−𝑥 − 1
1 −2
|=|
|.
−1
3 −4
Варианты ответов:
1) x = 3
2) x = - 4
3
3) x = - 5
4) x =
2
3
151
1
5) x = - 5
Тест 6. Вычислить определитель, разлагая его по первому столбцу:
𝑎
|𝑏
𝑐
1
2
0
3
1 |.
−1
Варианты ответов:
1) - 2a + b - 5c
2) 2a - b - 5c
3) a + 2b - 4c
4) 2a – b - 3c
5) a - 2b - 3c
Тест 7. Используя правило треугольников (правило Саррюса), вычислите определитель:
0
|1
5
3 −2
4 −1| .
2 0
Ответ должен иметь вид ( ∆+; ∆ ), где ∆ - значение определителя, а величина ∆+
вычисляется относительно главной диагонали определителя.
Варианты ответов:
1) (16; 34)
2) (- 18; 14)
3) (- 12; - 24)
4) (32; 41)
5) (- 19; 21)
Тест 8. Найдите матрицу A-1 , обратную матрице A:
−3
A=(
2
5
).
−3
Матрицу A-1 нужно найти через алгебраические дополнения.
Варианты ответов:
1 3
1) (
)
2 −5
152
4 −2
2) (
)
3 1
−5 2
3) (
)
3 4
−3 2
4) (
)
5 −3
3
5) (
2
5
)
3
Тест 9. Укажите, при каком значении параметра α ранг матрицы A равен 2:
𝛼+4 0
A=( 0
4
0
0
0
0 ).
𝛼−5
Варианты ответов:
1) α = 5 или α = - 4
2) при всех α
3) α ≠ 0
4) α = 0
5) ни при каких α
Тест 10. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по
формулам Крамера. Ответ должен иметь вид (∆x , x0 + y0), где x0 и y0 – решение системы.
5𝑥 − 3𝑦 = 1 ,
{
−4𝑥 + 𝑦 = 2 .
Варианты ответов:
1) (- 7; - 3)
2) (23; 1)
3) (7; - 3)
4) (16; 2)
5) (- 8; - 3)
153
Тест 11. Решите систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
способом обратной матрицы. Ответ должен иметь вид (A-1 ; x0 + y0), где A – матрица системы, x0 и
y0 – решение системы.
{
−3𝑥 + 7𝑦 = −2 ,
−2𝑥 + 5𝑦 = −1 .
Варианты ответов:
1) (
3
2
−5
); 9
7
2) (
−7
−5
3) (
3
7
4) (
−5
−2
7
); 4
3
5) (
−3
7
−2
); 3
5
3
); 1
2
−2
); - 3
1
Тест 12. Решите систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными
способом Гаусса. В ответе укажите сумму вида x0 + y0 + z0, где x0 , y0 , z0 - решение системы.
7𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 = −12 ,
6𝑥2 − 5𝑥3 = −2 ,
{
3𝑥3 = 12 .
Варианты ответов:
1) - 1
2) 0
3) 2
4) 4
5) 11
154
Тест 13. Применяя способ Гаусса, найдите разность между числом главных неизвестных и числом
свободных неизвестных в решении системы:
𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 = 1 ,
{ 2𝑥1 + 10𝑥2 + 8𝑥3 = 3 ,
3𝑥1 + 15𝑥2 + 12𝑥3 = 5 .
Варианты ответов:
1) 0
2) 3
3) 1
4) 2
5) система несовместна
Тест 14. Проверьте, что векторы линейного пространства 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 образуют базис и найдите
координаты вектора 𝑥 в этом базисе:
𝑒⃗⃗⃗1 = (- 5; 2), 𝑒⃗⃗⃗2 = (3; - 7), 𝑥 = (- 9; - 8).
Варианты ответов:
1) (- 1; - 2)
2) (4; - 1)
3) (2; 1)
4) (3; 2)
5) (- 3; 4)
Тест 15. Примените процесс ортогонализации к следующей системе линейно независимых
векторов евклидова пространства:
𝑎1 = (0; - 1; 0) , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (1; - 1; 2) , ⃗⃗⃗⃗
𝑎3 = (2; 0; 1).
В ответе укажите сумму координат третьего из полученных ортогональных векторов.
Варианты ответов:
1)
1
2
2) 0
155
3)
3
5
4)
61
11
5) 1
Тест 16. Выясните характер знакоопределенности матрицы C по критерию Сильвестра:
2 6
4
C = (6 19 11) .
4 11 8
Результат укажите с учетом значения главного минора ∆3 .
Варианты ответов:
1) положительно определена, ∆3 = 12
2) отрицательно определена, ∆3 = - 2
3) положительно определена, ∆3 = 8
4) отрицательно определена, ∆3 = - 17
5) знаконеопределена, ∆3 = - 2
Тест 17. Вектор 𝑥 в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 имеет координаты (x1; x2). Найдите координаты вектора 𝑥 в
базисе 𝑒⃗⃗⃗′ , 𝑒⃗⃗⃗′ , если
1
2
𝑒⃗⃗⃗1′ = 3𝑒⃗⃗⃗1 + 4𝑒⃗⃗⃗2
𝑒⃗⃗⃗2′ = 2𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2
x1 = 1 , x2 = - 2.
Варианты ответов:
1) (3; - 2)
2) (4; - 1)
3) (2; 4)
4) (- 1; 2)
5) (- 3; 1)
156
Тест 18. Найдите матрицу оператора 𝐴̃ в базисе 𝑒⃗⃗⃗1′ , 𝑒⃗⃗⃗2′ , где
𝑒⃗⃗⃗1′ = 3𝑒⃗⃗⃗1 + 𝑒⃗⃗⃗2 ,
𝑒⃗⃗⃗2′ = 5𝑒⃗⃗⃗1 + 2𝑒⃗⃗⃗2 ,
если в базисе 𝑒⃗⃗⃗1 , 𝑒⃗⃗⃗2 его матрица имеет вид:
0
Ae = (
3
1
).
2
Варианты ответов:
1) (
4
11
−9
)
−19
2)
(
−53
32
−91
)
55
3)
(
151
−123
4)
(
208
77
−121
)
−108
5)
(
−11
3
−7
)
8
97
)
−84
Тест 19. Найдите собственные векторы, соответствующие наименьшему собственному значению
линейного оператора, определяемого следующими уравнениями:
x’ = - 2x ,
y’ = 5x + y .
Варианты ответов:
5
1) ( c ; - 3c )
2) ( c ; - c )
3) ( c ; - 2c )
4) ( - c ; c )
157
1
5) ( c ; - 3c )
Тест 20. Привести к каноническому виду уравнение кривой
4y2 + 8y – 2x - 1 = 0.
Варианты ответов:
1) 2𝑦 ′2 = x’
2) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = 9
3) 𝑦 ′2 = 2x’
4)
𝑥 ′2
4
-
𝑦 ′2
9
=1
5)
𝑥 ′2
9
+
𝑦 ′2
4
=1
Время выполнения ИТ – 130 минут.
Шкала оценивания результатов тестирования:
оценка «5» («отлично») выставляется испытуемым за верные ответы,
которые составляют 91-100 % от общего количества вопросов;
оценка «4» («хорошо») соответствует работе, которая содержит от 71 % до
90 % правильных ответов;
оценка «3» («удовлетворительно») соответственно от 50% до 70%
правильных ответов;
результаты тестирования, содержащие менее 50% правильных ответов,
оцениваются как «неудовлетворительно».
Авторы – разработчики модуля 4:
Доц. Гонжа Е.А.
Эксперты:
_________________
(занимаемая должность)
Председатель
Учебно-методической
комиссии:
_________________
(занимаемая должность)
_________________
(подпись)
_________________
(подпись)
______________________
(инициалы, фамилия)
______________________
(инициалы, фамилия)
158
159