Практикум - Томский политехнический университет

1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1.1.
Практическая работа № 1
Тема: Введение в линейное программирование.
ЗАДАНИЕ 1. Постановка и компьютерное решение ЗЛП
Решить задачи линейного программирования. Отчет должен содержать следующие
разделы:
1. Условие задачи.
2. Формализацию задачи.
3. Распечатку решения задачи в пакете Excel (или MathCad).
4. Экономические выводы.
Варианты заданий
Вариант 1
После получения долгожданной зарплаты семья собирается поехать на мелкооптовый рынок за мясом. В семье (муж, жена и мать жены) из мяса готовят пельмени,
котлеты, голубцы и гуляш. У каждого члена семьи  свои соображения о том, на какие блюда лучше использовать мясо. Муж хочет, чтобы на голубцы пошло не менее
1кг., а на пельмени и котлеты  не более 5кг. Жена считает, что на пельмени и голубцы нужно выделить не менее 4 кг., а на гуляш  как минимум в два раза меньше, чем
на пельмени. Ее мама хочет на котлеты выделить минимум 2 кг., а на голубцы не более 3 кг. Все они согласны в том, что на котлеты и пельмени нужно отвести не меньше половины всего мяса.
Так как мясо в наше время дорогое, то не хочется покупать лишнего мяса.
Сколько его купить, чтобы удовлетворить все пожелания всех членов семьи?
Вариант 2
Один почти разорившийся коммерсант, торгующий женскими колготками, решил поправить свое дело, поставив его на научную основу. Для начала он нарисовал
следующую таблицу
Вася
Федя
Кунцево
Измайлово
ДОХОД
Колготки
15 den
8
6
2
3
20
Колготки
20 den
6
9
4
2
18
Колготки
40 den
10
8
3
3
30
Колготки
60 den
12
10
5
4
28
Здесь Вася и Федя  оптовые покупатели, которым он обычно сбывал свой товар. Сам он его закупал на оптовых складах в Кунцево и Измайлово. В таблице указаны цены (в $) упаковок четырех видов колготок разной плотности (измеряемой
единицей den).
При этом оптовый покупатель Вася может за раз купить товара на сумму не более $3800, а Федя  не более чем на $3300. Оптовые склады продают по указанным в
таблице ценам партии не менее чем на $1000, причем “Измайлово” может предоставить товара не более чем на $2000, а “Кунцево”  не более чем на $3000.
Каковы должны быть действия коммерсанта (сколько закупать и кому продавать) для достижения максимальной прибыли?
Вариант 3
Завод производит продукцию двух видов A1 и А2, используя сырье, запас которого составляет 16 т. Согласно плану выпуск продукции А1 должен составлять не
менее 60% общего объема выпуска. Расход сырья на изготовление 1 т продукции А1
и А2 составляет соответственно 0.05 и 0.1 т. Стоимость 1 т продукции А1 и А2 составляет соответственно 900 руб. и 500 руб.
Определить план выпуска продукции А1 и А2, при котором стоимость выпущенной продукции будет максимальной.
Вариант 4
Для кормления подопытного животного ему необходимо давать ежедневно не
менее 15 ед. химического вещества А1 (витамина или некоторой соли) и 15 ед. химического вещества А2. Не имея возможности давать вещество А1 или А2 в чистом виде, можно приобретать вещество В1 по 1 д.е. или В2 по 3 д.е. за 1 кг, причем каждый
килограмм В1 содержит 1 ед. А1 и 3 ед. А2, а кг В2  6 ед. А1 и 2 ед. А2. Запасы веществ на складе: В1  7 кг, В2  9 кг. Определить оптимальную закупку веществ В1 и
В2 для ежедневного рациона.
Вариант 5
Предприятие выпускает продукцию двух видов: П1 и П2, используя при этом
три вида сырья: С1, С2, СЗ, запасы которого ограничены. Расход сырья каждого вида
при производстве единицы продукции П1 и П2 задается в таблице; указаны доходы
предприятия от продажи единицы готовой продукции каждого вида.
Продукция
П1
П2
Общие запасы
С1
1
2
10
Сырье
С2
3
2
18
С3
4
6
36
Доход от продажи
продукции
7
8
Составить план выпуска продукции каждого вида так, чтобы доход предприятия
был максимальным.
Вариант 6
Хлебопекарный цех выпекает два вида хлеба: А и В. На производство 1 т. хлеба
А требуется 700 кг муки; хлеба В  820 кг. Расход рабочего времени основного оборудования цеха на 1 т. хлеба А и В соответствуют 1.2 и 2.2 ч. Цех располагает запасом муки в количестве 14340 кг. Резерв рабочего времени оборудования  36.1 ч.
Прибыль от реализации одной тонны хлеба А  22 д. е., хлеба В  30 д. е. Спланировать работу цеха так, чтобы прибыль была максимальной, если выпуск хлеба В должен быть не менее 12 т.
2
Вариант 7
Кроликовод собирается везти кроликов на продажу на ВВЦ (бывшая ВДНХ в
Москве). Он разводит кроликов четырех пород  Белый великан (сокращенно БВ),
Русский косой (РК), Черная кудлашка (ЧК), Белая кудлашка (БК). Спрос на РК ограничен – продается за раз не более 12. БВ необходимо продать не менее 25, до следующей продажи они могут и не дожить. ЧК и БК продать нужно не более 50 (иначе у
кроликовода нарушится процесс их размножения), но и не менее 40 (из-за недостатка
кормов). С целью продолжения работы по получению новых пород нельзя продавать
более 30 БВ и ЧК. Цены на ВВЦ такие: БВ  30 руб., БК  18 руб., ЗЛ  45 руб., ЧК 
20 руб. Нужно выбрать состав партии кроликов для получения максимума прибыли
при продаже.
Вариант 8
На швейной фабрике для изготовления двух видов изделий (А и В) используется
ткань двух артикулов; кроме того, есть другие расходы. Нормы расхода тканей всех
артикулов на пошив одного изделия, общий запас ткани и цена одного изделия приведены в таблице. Определить, сколько изделий каждого вида должна произвести
фабрика, чтобы цена изготовленной продукции была максимальной.
Факторы
Ткань 1
Ткань 2
Др. расходы
Цена
Нормы расхода ткани, м, на 1 изд.
А
В
2
1
3
2
7
8
8
6
Общий запас
ткани, м
150
210
560
Вариант 9
Предприятие может работать по двум технологическим процессам, причем количество единиц выпускаемой продукции по разным технологическим процессам за
единицу времени соответственно равно 300 и 250. Затраты производственных факторов по технологическим процессам в единицу времени и ресурсы приведены в таблице.
Фактор
Сырье
Электроэнергия
Зарплата
Накладные расходы
Процесс
1
12
0.2
3
6
2
10
0.1
4
5
Ресурсы
544
8
204
300
Составить план максимального выпуска продукции.
Вариант 10
Предприятие может выпускать продукцию по двум технологическим способам
производства. При этом за 1 час по первому способу производства оно выпускает 20
единиц продукции, по второму способу  25 единиц продукции. Количество производственных факторов, расходуемых за час при различных способах производства, и
3
располагаемые ресурсы этих факторов на каждый день работы представлены в таблице.
Способ производства
1
2
2
1
2
3
2
1
Факторы
Сырье
Рабочая сила
Энергия
Ресурсы
60
70
50
Спланировать работу предприятия так, чтобы получить максимум продукции,
если общее время работы предприятия по двум технологическим способам не менее
10 и не более 24 часов.
Вариант 11
На складе мясоперерабатывающего комбината имеется 4 сорта мяса для производства 4 видов колбасы. По стандарту задается определенное количество каждого
сорта мяса на 100 кг. каждого сорта колбасы:
Мясо /колбаса
Говядина жилистая
высшие сорта
Говядина жилованная 1-го сорта
Свинина жилованная, не жилистая
Шпик хребтовый
Цена продажи у.е.
Любительская
Любительская
свиная
Столичная
Русская
Ресурс
35
0
45
50
600
40
75
15
0
1630
25
25
20
15
900
0
12.6
0
12.5
20
13.5
35
12.5
340
Столичной колбасы нужно изготовить не более 900 кг. (объем холодильника заказчика), но не менее 100 кг (минимальный заказ). При этом необходимо переработать всю говядину, так как истекает срок ее хранения. Как получить максимум прибыли (которая пропорциональна стоимости продажи)?
Вариант 12
Студент 5-го курса решил в свободное от учебы время завести свое дело – открыть бар. После аренды помещения и получения лицензии у него осталось $2000.
Эти деньги ему необходимо распределить наиболее эффективно на оформление зала,
рекламу, оборудование кухни и покупку напитков. Он считает, что реклама полезна и
решил потратить на нее не менее $100, но тратить более $500 ему жалко. На первоначальную закупку напитков нужно не менее 200$. Закусочную он устраивать не собирается, поэтому на оборудование кухни готов потратить лишь от 200$ до 500$.
Опытные друзья подсказали ему, что на оформление зала и закупку напитков
нужно выделить в 3-4 раза больше средств, чем на рекламу, а на оборудовании кухни
в баре его класса нужно тратить на $400. меньше, чем на начальный набор напитков.
Ему известно, что вложенный в рекламу $1 дает $4 прибыли, а вложенный в
оформление зала  $2 прибыли. Продажа напитков дает доход 50%. Вложение $1 в
кухню дает 1.3$ прибыли. Как распределить затраты для получения максимума прибыли на первых порах?
4
Вариант 13
Животноводческая ферма составляет рацион кормления коров на зиму. Имеются
два рациона  А и В. Рацион А включает 40% силоса и 60% кормовых трав. Рацион В
включает 30% силоса и 70% кормовых трав. Запасы: силоса  170 ц, кормовых трав 
330 ц. Минимальное количество каждого рациона  100ц. Какое количество каждого
из рационов должна иметь ферма, чтобы получить максимальную прибыль, если при
рационе А прибыль составляет 10 д.е./ц. при рационе В  8 д.е./ц.?
Вариант 14
Завод производит с помощью машин М1 и М2 два изделия на экспорт. Максимальное время работы машины М1  10.6 ч, машины М2  14.2 ч в сутки. Расход
времени работы машин (в час.) на одно изделие представлен в таблице.
Изделие
1
2
Машины
М1
М2
1.3
2.5
1.8
2.1
Валютная прибыль от продажи единицы изделия 1 составляет 4.5 доллара, а изделия 2  3 доллара. Рассчитать производственный план на сутки при максимуме
прибыли, причем изделий 2 выпустить не менее 2.
Вариант 15
Коммерческий магазин хочет закупить овощи А и В. Количество овощей, закупочные цены и цены, по которым магазин продает овощи, приведены в таблице.
Цены
Овощи
А
В
Закупка
1.6
1.7
Реализация
2.4
2.2
Количество
овощей
60
70
Как выгоднее вложить деньги, если общая сумма, которой располагает магазин в
данное время, составляет 180 д.е., причем овощей А нужно приобрести не менее 10
тонн?
Вариант 16
Для производства двух видов продукции (А и В) используется три вида сырья.
Для производства единицы изделия А сырья 1,2,3-го вида используется 5, 4 и 3 кг соответственно, для единицы изделия В  3, 3 и 4 кг. На изготовление всех изделий администрация предприятия может предоставить сырья 1, 2 и 3-го вида не более чем на
720, 600 и 660 кг соответственно. Прибыль от реализации единицы изделия А  5 д.е.,
единицы изделия В  6 д.е. Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль.
5
Вариант 17
Из двух видов сырья необходимо составить смесь, в состав которой должны входить не менее 19 ед. химического вещества А, 22.4 ед. вещества В и 17.8 ед. вещества
С. Количество единиц химического вещества, содержащегося в 1 кг сырья каждого
вида, указано в таблице; в ней же приведена цена 1 кг сырья каждого вида.
Вещество
А
В
С
Цена
Количество единиц
1
2
1.2
1.1
2.1
1.2
1.0
1.9
6.4
7.9
Составить смесь, содержащую не менее нужного количества веществ и имеющую минимальную стоимость.
Вариант 18
Для производства двух видов хлеба (А и В) фабрика расходует два вида муки: 1
и 2. В технологическом процессе используются тестомесильные агрегаты и печи для
выпечки хлеба. В таблице приведены исходные данные задачи.
Виды ресурсов
Запас ресурсов
Мука 1
Мука 2
Машины
Печи
600кг
450кг
60ч
120ч
Нормы расходов
А
В
1.2
1
0.9
1.1
0.1
0.2
0.2
0.3
Составить план выпуска, максимизирующий прибыль, если цена одного хлеба А  2
д.е.; одного хлеба В  6 д.е., и при этом хлеба А нужно выпустить не менее 100 кг.
Вариант 19
Ткань производится на станках двух типов. Для изготовления ткани используется пряжа и красители. В таблице указаны мощности станков (в тысячах станкочасов), ресурсы пряжи и красителей (в тысячах килограммов), время работы станков
для производства каждого вида ткани (в станко-ч на 1 тысячу метров), нормы расхода
пряжи и краски (в килограммах на 1 тысячах метров) и цена (в денежных единицах) 1
м ткани.
Виды ресурсов
Станки 1-го типа
Станки 2-го типа
Пряжа
Красители
Цена
Объем
ресурсов
30
22
2.2
0.25
Производительность и нормы расхода
Ткань А
Ткань В
20
15
16
22
1.1
2
0.1
0.5
14
15
Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий прибыль, если ткани
В нужно выпустить не менее 200 м.
6
Вариант 20
На предприятии, в состав которого входят 3 производственных цеха, изготавливается 2 изделия: 1 и 2. Изделие обрабатывается в каждом цеху. Нормы времени, необходимые для изготовления единицы изделия в соответствующих цехах, и производственные мощности цехов в часах в расчете на сутки соответственно приводятся в
таблице.
Цех
1
2
3
Изделие
1
2
2
1.7
2
1
3
2.5
Производственные
мощности
17
9
15.5
Прибыль от продажи 1-го изделия равна 2.3 д.е., 2-го  3.5 д.е. Определить план
производства, обеспечивающий максимальную прибыль, если выпуск изделия 1 не
менее 1.
Вариант 21
Коммерсант хочет закупить обувь двух типов: А и В. Количество обуви, закупочные цены и цены, по которым он предлагает реализовать обувь, приведены в таблице.
Обувь
А
В
Закупка
11
12
Цены
Реализация
23
22
Количество
пар обуви
20
25
Как выгоднее вложить деньги, если общая сумма, которой располагает коммерсант в данное время, составляет 460 денежных единиц, и обуви А нужно закупить не
менее 1 2 пар?
Вариант 22
При изготовлении изделий И1 и И2 используются токарные и фрезерные станки,
сталь и цветные металлы. По технологическим нормам на производство единицы изделия И1 требуется токарного и фрезерного оборудования соответственно 300 и 200
станко-часов, 40 кг стали и 20 кг цветных металлов. Для производства единицы изделия И2 требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов. Цех
располагает 12400 и 4400 станко-часами оборудования, 980 и 640 кг материалов.
Прибыль от реализации единицы изделия И1 составляет 600 д.е., изделия И2  850
д.е.
Составить план выпуска изделий, обеспечивающий максимальную прибыль.
7
Вариант 23
Предприятие электроизделий выпускает два вида продукции  электроутюги и
электропечи. Для их производства предприятие имеет в неделю следующие ресурсы:
300 ч работы управленческого персонала, 480 ч работы машин и 500 ч работы рабочих. Для выпуска одного электроутюга необходимы: 1 ч работы управленцев, 1 ч работы машин и 2 ч работы рабочих. Соответственно, для выпуска одной электропечи
необходимы: 1 ч работы управленцев, 2 ч работы машин и 1 ч работы рабочих. Прибыль, полученная от реализации 1 электроутюга  30 д.е., 1 электропечи  50 д.е.
Составить план работы предприятия, обеспечивающий максимальную прибыль.
Вариант 24
На кондитерской фабрике выпускается два вида карамели: К1 и К2. Для производства карамели требуется сахар, патока и повидло. Запасы сырья, расходы сырья на
производство карамели и прибыль, получаемая от продажи 1 т карамели, приведены в
таблице.
Расход сырья
К1
К2
0.7
0.5
0.3
0.2
0.1
0.3
1000
1120
Сырье
Сахар
Патока
Повидло
Прибыль
Запасы
700
300
150
Составить план выпуска карамели, максимизирующий прибыль, если выпуск карамели К1 не меньше 150 т.
Вариант 25
Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76
не должно быть ниже, чем 76, а содержание серы в нем не должно превосходить
0.3%. Для изготовления этого бензина используется смесь из 4 компонентов I, II, III и
IV, имеющих разное октановое число и содержание серы:
Октановое
число
Содержание
серы %
Ресурсы тонн
Себестоимость
руб.
I
II
III
IV
68
72
80
80
0.35
0.35
0.3
0.2
700
600
500
300
40
45
60
90
Сколько и какого компонента нужно использовать для получения бензина А-76 с
минимальной себестоимостью?
8
Вариант 26
Предприятие, располагающее ресурсами сырья трех видов Bi, может производить продукцию четырех видов Aj. В таблице указаны затраты ресурсов Bi на изготовление 1 т продукции Aj, объем ресурсов и прибыль, получаемая от изготовления 1
т продукции Aj.
Вид продукции
A3
A4
Объем ресурсов
1
3
65
38
23
450
10
15
150
66
35
Вид сырья
A1
A2
B1
7
9
В2
35
24
В3
18
16
Прибыль,
74
36
руб.
Определить ассортимент выпускаемой продукции, при котором полученная
прибыль будет максимальной, и при условии, что производственные издержки на 1 т
продукции Aj, составляют соответственно 3, 9, 12 и 6 руб., а суммарные издержки не
должны превышать 96 руб.
Вариант 27
На заводе ежемесячно скапливается около 14 т отходов металла, из которого
можно штамповать большие и малые шайбы. Месячная потребность завода в больших шайбах 600 тыс. шт., в малых  1100 тыс. шт. Расход металла на тысячу больших
шайб  22 кг, на тысячу малых  8 кг. Для изготовления шайб используются два
пресса холодной штамповки. Производительность каждого за смену 9 тыс. шт. больших шайб либо 11,5 тыс. шт. малых. Завод работает в две смены 22 дня в месяц.
Недостающее количество шайб закупается. Оптовая цена больших шайб 11,9
руб. (за тысячу штук), а малых  5,2 руб. Определить месячный план производства
шайб, обеспечивающий минимальные затраты на их покупку.
Вариант 28
Рацион стада крупного рогатого скота из 220 голов включает пищевые продукты A, B, C, D и E. В сутки одно животное должно съедать не менее 2 кг продукта А,
1,5 кг продукта В, 0,9 кг продукта С, 3 кг продукта D и 1,8 кг продукта Е. Однако в
чистом виде указанные продукты не производятся. Они содержатся в концентратах
К1, К2, К3. Их цена и содержание в них продуктов (в процентах) приведены в таблице.
Концентраты
K1
K2
K3
A
15
19
5
Продукты, %
B
C
D
22
0
0
17
0
14
12
25
5
E
4
7
8
Цена,
д.е.
5
4
9
Минимизировать затраты на покупку концентратов при рациональном кормлении скота.
9
Вариант 29
Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять не менее 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных
солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг каждого вида потребляемых продуктов, а также цена 1 кг каждого из этих продуктов приведены в таблицах.
Питательные вещества
Белки
Жиры
Углеводы
Минеральные соли
Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов, г
МолоКартоМясо
Рыба
Масло
Сыр
Крупа
ко
фель
180
190
30
10
260
130
21
20
3
40
865
310
30
2
50
6
20
650
200


9
10
7
12
60
20
10
Цена за 1 кг продуктов, руб.
Мясо
Рыба
Молоко
Масло
Сыр
Крупа
Картофель
31,8
21
4,28
58,3
67,5
8,1
2,5
Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы питательных веществ, необходимых человеку, так, чтобы общая стоимость продуктов была минимальной.
Вариант 30
В меню столовой 5 блюд, которые изготавливаются из 5 видов продуктов (картофель, мясо, вермишель, рис, овощи), вода в неограниченном количестве, соль и
специи по вкусу. Нормы продуктов на каждое блюдо следующие:
Картофель
Мясо
Вермишель
Рис
Овощи
Суп
мясной
20
40
15
10
0
Кол-во единиц продукта на 100 порций
Суп
Картоф. пюре
Кладовая,
Плов Салат
овощной
с мясом
холодильник
20
100
0
40
10000
0
40
30
20
9000
15
0
0
0
2000
0
0
100
0
5000
30
0
0
30
2500
В последней колонке таблицы указано максимальное количество продуктов, которое может быть размещено в кладовой и холодильнике.
Картофельного пюре с мясом посетители потребляют в день не более 500 порций, супа мясного не более 450 порций, плов едят в 2 раза и менее раза чаше картошки.
Каждый день в столовую приходит группа вегетарианцев, которые съедают 300
порций овощного супа и 450 порций салата. Нужно из имеющихся продуктов приготовить максимальное число порций (с учетом всех ограничений).
10
ЗАДАНИЕ 2. Графическое решение ЗЛП
Найти решение задачи линейного программирования, сформулированной в математической форме (то есть без конкретного смыслового содержания). В отчете
привести чертеж и подробное решение. Номер варианта соответствует номеру задачи.
L = 6x1 + 5x2max
x1 + 3x2  4
2x1 + x2  3
x1  0, x2  0
L = 7x2min
2,5x1 + 3x2  5
x1  2
x1 + x2  6
x1  0
2
L = 2x1 + 3x2min
x1 + x2  4
3x1 + x2  4
x1 + 5x2  4
0  x1  3
0  x2  3
10 L = 2x1 + x2min
 x1 + x2  1
2x1 + x2  1
x1 + 2x2  3
2x1  x2  2
x1  0, x2  0
13 L = x1 + x2max
x1 + x2  3
2x1 + x2  2
8
1
4
7
16 L = x1 – 2x2max
5x1 – 2x2  3
x1 + x2  1
3x1 + x2  3
3x1  3x2  2
x1  0, x2  0
19 L = x1 – 2x2max
3x1 + 2x2  6
5x1 + 2x2  10
x1 + x2   1
x1  0
5
L = x1 + x2max
2x1 + 3x2  6
3x1 + 2x2  6
x1  0, x2  0
L = x1min
x1 + x2  7
x1 + x2  0
x2  0
3
L = x1 + x2min
–2x1 + x2  2
x1  x2  2
6
L = x1 + x2min
x1 + x2  1
x1  2x2  1
3x1 + x2  3
x1  0, x2  0
9
L = 3x1 + 4x2max
x1 + x2  1
x1 + x2  1
x1 + 2x2  2
2x1  x2  2
x1  0, x2  0
L = 2x1 – 3x2min
–4x1 + 5x2  20
2x1 + x2  6
x1  x2  6
x1  0, x2  0
11 L = 7x2max
5x1 + 3x2  5
3x1  2
x1 + x2  6
x1  0
12 L = x1 + x2max
2x1 + 3x2  5
x2  2
x1 + x2  4
x2  0
14 L = x1 + x2min
x1 + x2  1
x1 – 2x2  0
x1  0
15 L = 3x1 + 2x2max
2x1 + x2  2
 x1 + x2   3
 x1 + x2  0
x1  0, x2  0
18 L = x1  x2min
3х1 + 2x2  6
x1  2
x1 + x2  4
x2  0
17 L = x1 + x2max
x1 + 2x2  10
x1 + 2x2  2
2x1 + x2  10
x1  0, x2  0
20 L = 2x1 + x2min
x1 + x2  1
3x1 + x2  4
2x1  x2  1
x1  0, x2  0
11
21 L = 2x1 + 3x2max
x1 + x2  4
2x1  x2  2
x2  0
22 L = x1 + 3x2max
 x1  x2   3
6x1 + x2  14
2x1 – 3x2  6
x1 + x2  4
x1  0, x2  0
25 L = 2x1 + x2min
5x1 + 3x2  5
3x1  2
x1 + x2  6
x1  1
28
23 L = x1 + 2x2min
x1 – 2x2  3
x1 + x2  1
3x1 + x2  3
3x1  x2  2
x1  0, x2  0
26 L = x1 – 2x2max
–4x1 + 5x2  20
2x1 + x2  6
x1  x2  6
x1  1, x2  0
29
12
24 L = 2x1 + x2max
3x1 + 2x2  6
5x1 + 2x2  10
x1 + x2   1
x1  0
27
30
1.2.
Практическая работа № 2
Тема: Двойственная задача. Решение ЗЛП симплекс-методом.
Задание 1. Составить к задаче вашего варианта двойственную.
Задание 2. Решить исходную задачу симплекс-методом.
1
F ( X )  5 x1  4 x2  x3  x4  max
 2 x1  15 x2  19 x3  21x4  182;

 12 x1  31x2  28 x3  5 x4  235;
 7 x  37 x  49 x  71x  473;
2
3
4
 1
2
F ( X )  x1  x2  2 x3  2 x4  min
4
 9 x1  11x2  2 x3  13x4  351;

 21x1  5 x2  14 x3  37 x4  312;
81x  46 x  54 x  92 x  763;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
xi 1,4  0.
3
F ( X )  5 x1  x2  3x3  x4  max
 16 x1  5 x2  9 x3  22 x4  182;

 19 x1  2 x2  83x3  15x4  345; xi 1,4  0.
27 x  37 x  49 x  71x  473;
2
3
4
 1
F ( X )  x1  7 x2  x3  x4  min
 3x1  13x2  21x3  15x4  151;

 31x1  11x2  24 x3  16 x4  112;
17 x  12 x  22 x  32 x  163;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
5
F ( X )  3x1  x2  x3  2 x4  max
 9 x1  16 x2  27 x3  33x4  455;

14 x1  23x2  18x3  41x4  512; xi 1,4  0.
 5 x  9 x  72 x  12 x  739;
2
3
4
 1
6
F ( X )  x1  x2  x3  x4  min
43x1  63x2  21x3  35x4  151;

 51x1  17 x2  16 x3  16 x4  167;
37 x  12 x  12 x  32 x  133;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
7
F ( X )   x1  6 x2  2 x3  x4  min
8
F ( X )  x1  x2  x3  x4  max
 8 x1  3x2  2 x3  5 x4  45;

15x1  11x2  14 x3  6 x4  32; xi 1,4  0.
7 x  23x  18x  12 x  13;
2
3
4
 1
 18x1  7 x2  14 x3  32 x4  627;

 32 x1  15x2  19 x3  37 x4  841;
64 x  16 x  54 x  92 x  932;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
9
F ( X )  x1  x2  x3  5 x4  min
8 x1  11x2  2 x3  5 x4  51;
xi 1,4  0.

9
x

5
x

14
x

6
x

38
;
1
2
3
4

1
0
F ( X )  4 x1  x2  x3  3x4  max
8 x1  7 x2  4 x3  2 x4  67;
xi 1,4  0.

2
x

15
x

9
x

.
x

81
;
1
2
3
4

1
1
F ( X )  9 x1  x2  x3  x4  min
1
2
F ( X )  5 x1  x2  x3  x4  min
 9 x1  12 x2  28x3  25x4  177;

21x1  11x2  24 x3  46 x4  193; xi 1,4  0.
17 x  17 x  12 x  12 x  139;
2
3
4
 1
13
 78x1  83x2  91x3  55x4  151;

 91x1  13x2  27 x3  19 x4  167;
41x  17 x  23x  37 x  184;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
1
3
F ( X )  x1  9 x2  x3  x4  max
 52 x1  21x2  17 x3  41x4  461;

45x1  52 x2  44 x3  77 x4  489; xi 1,4  0.
 81x  46 x  55x  83x  591;
2
3
4
 1
1
4
F ( X )   x1  x2  x3  x4  max
12 x1  23x2  25x3  41x4  579;

 21x1  7 x2  14 x3  37 x4  945;
82 x  44 x  54 x  92 x  831;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
1
5
F ( X )  x1  x2  x3  x4  max
22 x1  15x2  21x3  33x4  124;

21x1  25x2  15x3  37 x4  128; xi 1,4  0.
11x  26 x  14 x  12 x  163;
2
3
4
 1
F ( X )  3x1  x2  2 x3  x4  max
1
6
F ( X )   x1  x2  x3  x4  min
 3x1  3x2  13x3  11x4  151;

 21x1  x2  14 x3  16 x4  173; xi 1,4  0.
7 x  12 x  22 x  12 x  163;
2
3
4
 1
F ( X )  x1  x2  3x3  x4  min
1
7
1
9
2
1
1
8
 41x1  13x2  21x3  15x4  151;

72 x1  15x2  24 x3  16 x4  112; xi 1,4  0.
53x  12 x  22 x  32 x  161;
2
3
4
 1
F ( X )  x1  x2  x3  x4  max
2
0
 9 x1  11x2  2 x3  13x4  785;
21x  5 x  14 x  37 x  712;
 1
2
3
4
xi 1,4  0.

  4 x1  x2  11x3  15x4  697;
 7 x1  11x2  8 x3  10 x4  564;
F ( X )  x1  2 x2  x3  x4  max
39 x1  18 x2  27 x3  53x4  747;
35 x  51x  24 x  46 x  723;
 1
2
3
4
xi 1,4  0.

27
x

61
x

68
x

29
x

779
;
1
2
3
4

 33x1  75 x2  84 x3  25x4  801;
2
2
23x1  12 x2  15x3  31x4  119;

31x1  11x2  31x3  39 x4  202;
 17 x  41x  61x  7 x  189;
1
2
3
4

xi 1,4  0.
F ( X )  x1  x2  x3  3x4  max
 3 x1  3 x2  23x3  13x4  333;
23x  50 x  57 x  58 x  350;
 1
2
3
4

 8 x1  10 x2  13x3  17 x4  341;
91x1  46 x2  77 x3  82 x4  390;
xi 1,4  0.
F ( X )  x1  x2  2 x3  x4  max
 8 x1  10 x2  29 x3  49 x4  351;
 21x  3x  74 x  69 x  312;

1
2
3
4

85x1  17 x2  73x3  87 x4  763;
12 x1  17 x2  30 x3  90 x4  456;
xi 1,4  0.
2
3
F ( X )  8x1  x2  x3  x4  min
 3x1  13x2  21x3  15x4  151;

31x1  12 x2  34 x3  62 x4  277;
67 x  18x  27 x  53x  273;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
2
4
F ( X )  4 x1  x2  x3  x4  max
 3x1  13x2  21x3  15x4  151;

 31x1  11x2  24 x3  16 x4  182;
17 x  12 x  22 x  32 x  193;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
2
5
F ( X )  x1  x2  x3  x4  max
2
6
F ( X )  x1  2 x2  x3  x4  max
14
 4 x1  5 x2  11x3  17 x4  256;
16 x  9 x  22 x  32 x  287;
 1
2
3
4
xi 1,4  0.

31
x

16
x

14
x

12
x

324
;
2
3
4
 1
 7 x1  17 x2  50 x3  55x4  918;
2
7
2
9
 10 x1  11x2  12 x3  13x4  237;
 21x  25x  34 x  17 x  284;
 1
2
3
4

31x1  36 x2  27 x3  29 x4  365;
24 x1  23x2  21x3  50 x4  367;
xi 1,4  0.
F ( X )  6 x1  x2  x3  x4  max
25x1  31x2  28x3  29 x4  637;

 21x1  25x2  44 x3  33x4  679;
54 x  32 x  34 x  41x  783;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
F ( X )  3x1  x2  x3  x4  max
 68x1  73x2  51x3  35x4  351;

83x1  71x2  64 x3  96 x4  312;
87 x  82 x  52 x  32 x  263;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
F ( X )  7 x1  x2  x3  x4  max
3
0
 83x1  13x2  91x3  15x4  269;

 31x1  11x2  24 x3  16 x4  297;
97 x  12 x  22 x  52 x  223;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
1.3.
F ( X )  x1  x2  x3  5x4  max
2
8
29 x1  27 x2  31x3  44 x4  554;

 38x1  15x2  14 x3  27 x4  517;
82 x  67 x  63x  83x  664;
2
3
4
 1
xi 1,4  0.
Практическая работа № 3
Тема. Решение транспортной задачи
Задание. Продукция определенного вида производится в городах A1 , A2 и A3 и
потребляется в городах B1 , B2 , B3 и B4 .
В таблице указаны: объем производства, спрос, стоимость перевозки единицы
продукции.
Составить оптимальный план перевозки продукции, при котором стоимость всех
перевозок будет минимальна.
Предварительно следует проверить, сбалансирована ли данная транспортная задача. Если задача не сбалансирована, то нужно ввести фиктивных потребителей или
производителей, добавляя к исходной таблице столбцы или строки.
Вариант 1
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
20
47
31
13
49
3
38
44
10
18
11
45
32
30
46
10
17
45
68
Вариант 2
Произво-
Потребители
15
Объем про-
дители
B1
B2
B3
B4
изводства
A1
A2
A3
47
31
13
45
34
20
47
31
13
44
4
30
42
45
41
41
2
80
68
Спрос
Вариант 3
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
31
13
45
35
48
38
44
10
33
48
20
40
47
41
31
45
13
44
44
Вариант 4
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
13
45
35
7
49
47
31
13
45
47
32
45
46
80
17
44
27
45
68
Вариант 5
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
45
35
7
43
48
44
10
33
46
41
42
44
41
12
2
88
38
44
49
Вариант 6
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
35
7
43
39
45
31
13
45
35
33
47
6
31
10
13
30
45
41
19
Вариант 7
Производители
Потребители
B1
B2
B3
16
B4
Объем производства
A1
A2
A3
Спрос
7
43
39
10
41
10
33
46
16
22
46
38
17
30
27
19
47
87
61
Вариант 8
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
43
39
10
40
34
13
45
35
7
18
41
48
2
45
38
5
44
30
86
Вариант 9
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
39
10
40
43
26
33
46
16
28
18
31
15
13
50
45
10
35
22
58
Вариант 10
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
10
40
43
6
16
45
35
7
43
27
17
31
27
44
47
24
23
42
68
Вариант 11
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
40
43
6
36
15
46
16
28
47
39
2
50
38
28
44
36
9
1
71
Вариант 12
Потребители
Производители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
A1
43
6
36
45
14
17
A2
A3
Спрос
35
7
43
39
48
13
23
45
16
35
45
7
10
22
Вариант 13
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
6
36
45
13
24
16
28
47
22
52
27
24
47
18
23
49
22
20
85
Вариант 14
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
36
45
13
31
34
7
43
39
10
52
38
50
44
38
9
49
34
80
81
Вариант 15
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
45
13
31
46
42
28
47
22
23
47
45
30
35
49
7
44
43
88
72
Вариант 16
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
13
31
46
19
49
43
39
10
40
88
47
17
23
48
22
35
47
45
58
Вариант 17
Производители
A1
A2
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
31
46
19
26
58
47
22
23
47
24
18
A3
Спрос
44
49
9
36
34
21
46
49
78
Вариант 18
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
46
19
26
47
54
39
10
40
43
19
35
36
7
15
43
6
39
50
44
Вариант 19
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
19
26
47
25
52
22
23
47
28
13
23
10
22
19
47
10
29
48
12
Вариант 20
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
26
47
25
20
48
10
40
43
6
28
9
47
34
81
46
25
15
44
71
Вариант 21
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
47
25
20
47
41
23
47
28
17
41
7
40
43
46
39
88
10
37
79
Вариант 22
Производители
A1
A2
A3
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
25
20
47
30
32
40
43
6
36
49
22
47
29
16
46
19
Спрос
13
50
46
28
Вариант 23
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
20
47
30
14
22
47
28
17
46
58
34
43
46
42
15
50
29
18
78
Вариант 24
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B3
B4
Объем производства
30
14
45
10
43
6
36
45
61
43
44
39
23
10
48
40
6
60
B1
B2
47
Вариант 25
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
30
14
45
35
10
28
17
46
33
44
47
15
29
43
16
41
46
6
41
Вариант 26
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
14
45
35
7
22
6
36
45
13
83
46
39
15
24
29
30
47
18
56
Вариант 27
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
45
35
7
43
83
17
46
33
10
18
39
47
10
42
40
15
43
29
82
20
Вариант 28
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
4
5
6
10
530
8
6
3
8
405
7
425
10
415
4
335
11
400
540
Вариант 29
Производители
A1
A2
A3
Спрос
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
3
7
4
8
513
9
6
4
4
448
6
437
10
417
5
333
8
396
522
Вариант 30
Производители
A1
A2
A3
Спрос
1.4.
Потребители
B1
B2
B3
B4
Объем производства
35
30
10
10
53
21
41
53
10
28
39
47
32
38
27
23
20
24
61
Практическая работа № 4
Тема. Введение в теорию игр
ЗАДАНИЕ 1. Найти решение игры аналитически и геометрически.
8 8
8 3
 7 8






10 13 
 2 4
 4 9
1. 
2. 
3. 
8 7
4 4
9 1






8
9
5
6
3
5






 2 11 8 10 
7 6 0 5
 8 7 13 6 


5. 
6. 
1. 

9 6 7 7 
 8 5 7 2
 6 8 5 10 
21
9

5
7. 
6

5
8 9
10. 
7 3
6

5
13. 
4

9
3 0
16. 
5 3
6

9
19. 
0

10
 1 10
22. 
3 0
2

1
25. 
4

9
5 9
28. 
3 8
6

4
10 

4 
3 1

8 10 
6

9
7

8 
7 8

3 2 
1

10 
2

9 
6 2

10 3 
0

9
0

1 
5 4

9 7 
0

10
8. 
4

8
1 7
11. 
10 4
8

2
14. 
6

10
0 9
17. 
7 9
2

13
20. 
2

1
3 4
23. 
9 1
6

1
26. 
3

9
2 7
29. 
5 3
8

7
8

4 
4 4

0 1 
4

10 
5

9 
5 7

4 10 
4

8
7

9 
8 2

0 7 
7

5
5

2 
10 1 

6 6 
6

9
9. 
4

5
8 2
12. 
3 4
0

3
15. 
10

5
8 7
18. 
10 1
5

3
21. 
7

3
8 9
24. 
2 7
5

5
27. 
9

3
8 8
30. 
6 8
2

3
7

6 
9 3

10 4 
2

7
5

2 
6 7

8 4 
1

4
2

9 
4 5

6 2 
2

8
3

0 
7 4

6 8 
ЗАДАНИЕ 2. Две отрасли могут осуществлять капитальные вложения в 3 объекта. Стратегии отраслей: i-я стратегия состоит в финансировании i-го объекта (i = 1, 2,
3). Учитывая особенности вкладов и местные условия, прибыли первой отрасли выражаются матрицей 3х3.
Величина прибыли первой отрасли считается такой же величиной убытка для
второй отрасли  представленная игра может рассматриваться как игра двух игроков
с нулевой суммой.
Необходимо решить матричную игру в MS Excel, записав ее как задачу линейного программирования.
Платежные матрицы даны по вариантам:
22
 1  4 5 


1.   2 3  3 
5 3 3 


3 
 3 0


5.  1
3  3
 4 3 4 


 1

 2
 3

 2

6.  0
 1

2.
3.
0 
 4


0  2
 1
 5
1 2 

4
3 
 4


 1 0  7.   1
5
5  2 

1 2

3 2
 3 5 
4
2 
 3 2
 3



3  3  10.  3
9.  0
 3  4  1
 2



 1  2 1
 6



1  4  14.  1
13.  5
 2 3
 2
0 


1
 3  5 1 



 2  1  8.  4
0  3
 3 4
2  2 
5 

2
 1
 1


 4  1 11.   2
 3
 2 3 

2 5 
 4


4  3
15.  1
5
7 1 

2
  3 1 5 


4.  3
3  2
  4 5  5


3  1
2
0
 1



 4 4  12.   2 5 5 
 2 1 1 
 2  1


16.
2 1

 3 0 5
0  1


3
3
0



1 3
  3 5 2


17.
18.
19.
20.
  2 5 4



4

1
6


 5  3 5


1  5
 0


2

2

5


  4  3 1


 0  4 1


1
3

4


  3 3  2


 3 4 0


0

1
3


 2 3 1


21.
22.
23.
24.
 3  4  5


  7 2  6
 4 1 7 


 5  2  7


 3 3 1
 1 1
2 

 1 6  3


1 0 2 
 2 3  2


 2 2 1 


 3 5 1 
  3 7  2


25.
26.
27.
28.
  6 6 2


 3  4 2
  4 4 4


5 5 7 


  2  1  5
 6 5 3 


  5 1  5


 4  4 7 
 1  5 1 


7  4
6


1  4 1 
 4 6 3 


29.
30.
 0 3 6 



1
4

2


 4  2 4 


 3 6 2


4
2
0


 1 3 4


ЗАДАНИЕ 3. Решить игру с природой, заданную следующей матрицей Р (по вариантам):
23
 95 97 99 


1.  97 98 96 
 98 97 97 


 53 58 55 


5.  51 57 54 
 52 51 56 


9.
 14 18 29 


 19 28 25 
 27 29 19 


13.
 98 97 99 


97
98
98


 98 97 97 


17.
4

2
6

7
4

2
1
6
7
3
3
5
8
8
5
4

3
2

5
2 
21.
 53 55 55 


 51 55 54 
 51 51 53 


25.
 14 18 29 


19
28
28


 28 19 19 


29.
 41 45 45 


 41 45 44 
 41 41 48 


 41 35 55 
 49 88 79 




2.  31 65 34  3.  89 48 78 
 61 39 38 
 48 49 69 




 49 28 17 
 11 16 13 




6.  59 17 18  7. 15 13 12 
 38 19 39 
12 11 10 




 91 97 92 


4.  95 99 93 
 98 93 94 


 61 67 68 


8.  65 62 66 
 68 77 69 


 39 54 49 
 21 35 45 
 75 47 43 






10.  44 38 82  11.  41 65 44  12.  59 58 74 
 54 46 81 
 31 48 58 
 76 59 57 






 31 35 35 


14.  31 35 34 
 31 31 38 


 49 48 49 
 37 54 48 




15.  49 48 48  16.  42 37 82 
 48 49 49 
 53 46 80 




1

2
18.  4

5
4

8

1
19.  5

9
8

5
1
6
5
3
7
2
4
8
6
1

3
2

5
3 
22.
19 18 17 


19 17 18 
18 19 19 


26.
 39 37 49 


47
38
58


 58 37 47 


30.
 29 28 29 


 29 28 28 
 28 29 29 


5
3
9
2
4
6
7
5
3
1
9

8
7

6
4 
23.
 11 16 13


16 13 11
13 11 11


27.
 21 35 45 


41
65
24


 31 41 58 


24
20.
 91 97 92 


 91 98 93 
 91 97 94 


24.
 68 67 68 


 65 68 65 
 68 77 68 


28.
 15 27 23


23
28
29


 29 26 25 


1.5.
Практическая работа № 5
Тема. Введение в теорию систем массового обслуживания
ЗАДАНИЕ. В задаче своего варианта определить тип СМО, найти функциональные характеристики и ответить на вопрос задачи. Во всех задачах считать входящие и исходящие потоки заявок простейшими.
Вариант 1.
На железнодорожной станции находятся три кассы для продажи билетов на поезда дальнего следования. Когда все кассы заняты, пассажиры встают в очередь.
Длина очереди не может превышать 50 человек. Среднее время обслуживания в одной кассе составляет 5 минут. Пассажиры прибывают на станцию для покупки билетов в среднем по два человека в минуту. Найти вероятность отказа и общее количество человек (требований), находящихся в системе.
Вариант 2.
На железнодорожной станции имеется пять путей для обслуживания прибывающих железнодорожных составов. Интенсивность прибытия железнодорожных составов равна 15 составов в час. Среднее время обслуживания одного состава 20 минут.
Предполагается, что очередь ожидающих обслуживания поездов может быть неограниченной длины. Найти вероятность занятости всех пяти путей железнодорожной
станции.
Вариант 3.
В читальный зал государственной библиотеки, которая имеет 30 посадочных
мест и 10 мест для ожидания в коридоре, приходят посетители с интенсивностью 20
человек в час. Время пребывания каждого посетителя в среднем составляет 2 часа.
Определить вероятность отказа посетителю в читальном зале и среднее число занятых посадочных мест.
Вариант 4.
Абонентский отдел библиотеки обслуживают 3 библиотекаря. Время обслуживания одним библиотекарем читателя в среднем составляет 5 минут. Интенсивность
посещения читателями библиотеки составляет 4 человека в минуту. Если в момент
прихода читателя все библиотекари заняты, то он встает в очередь. Требуется определить среднее число читателей, ожидающих начала обслуживания и время их пребывания в очереди.
Вариант 5.
В буфете железнодорожной станции обслуживают клиентов два продавца. Интенсивность обслуживания одним продавцом составляет 0,5 человека в минуту. Посетители приходят в буфет со средним интервалом в 1 минуту. Если в момент прихода клиента все продавцы заняты, клиент встает в очередь, которая не может превышать 5 человек. Посетитель, не попавший в очередь, уходит в другой буфет. Опреде25
лить вероятность отказа посетителю в об- служивании и среднее время ожидания в
очереди.
Вариант 6.
Железнодорожный пропускной таможенный пункт состоит из трех линий досмотра. Время досмотра одного железнодорожного состава на линии досмотра в
среднем составляет 4 часа. Интенсивность прибывающих составов составляет 2 состава в час. В случае занятости всех линий досмотра прибывший состав ставится на
запасной путь. Определите количество запасных путей для ожидающих досмотра составов.
Вариант 7.
Автозаправочная станция (АЗС) имеет одну колонку. Площадка возле нее допускает одновременное ожидание не более четырех машин. Интенсивность потока машин, прибывающий на станцию, 1 машина в минуту. Среднее время обслуживания
автомашины 2 минуты. Найти для АЗС вероятности нахождения на АЗС 1, 2, 3 и 4-х
машин, а также вероятность отказа в обслуживании.
Вариант 8.
В зубоврачебном кабинете три кресла, а в коридоре имеются три стула для ожидания приема. Интенсивность входящего потока клиентов 12 клиентов в час. Среднее
время обслуживания клиента 20 минут. Если все три стула в коридоре заняты, клиенты в очередь не становятся. Определить долю обслуженных клиентов из числа пришедших (за 8 часовой рабочий день) и среднее время, которое клиент проведет в коридоре.
Вариант 9.
В зубоврачебном кабинете одно кресло, а в коридоре имеются шесть стульев для
ожидания приема. Интенсивность входящего потока клиентов 12 клиентов в час.
Среднее время обслуживания клиента 20 минут. Если все стулья в коридоре заняты,
клиенты в очередь не становятся. Определить долю обслуженных клиентов из числа
пришедших (за 8 часовой рабочий день) и среднее время, которое клиент проведет в
коридоре.
Вариант 10.
Билетную кассу с одним окошком представим как СМО с неограниченной очередью. Касса продает билеты в пункты А и В; пассажиров, желающих купить билет в
пункт А, приходит в среднем трое за 20 минут, а в пункт В – двое за 20 минут. Кассир
в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 минут. Найти среднее число заявок в
СМО, среднее время пребывания заявки в системе и среднее число заявок в очереди.
Вариант 11.
Железнодорожная касса имеет два окошка, в каждом из которых продаются билеты в два пункта: Москву и Петербург. Продажа билетов в оба направления одинакова по интенсивности, которая равна 0,45 пассажиров в минуту. Среднее время обслуживания пассажира (продажи ему билета) 2 минуты. Поступило рационализатор26
ское предложение: для уменьшения оче- редей (в интересах пассажиров) сделать
обе кассы специализированными. В первой продавать билеты только в Петербург, а
во второй – только в Москву. Требуется проверить разумность этого предложения.
Вариант 12.
На станции метро 5 кассовых аппаратов. Из наблюдений установили, что к этим
пяти аппаратам подходят в среднем 60 человек в минуту. Среднее временя обслуживания одного человека 4 сек. Найти вероятность того, что все аппараты свободны и
среднее число людей, находящихся у аппаратов.
Вариант 13.
В поликлинике в кабинете флюорографии проходят прием в среднем 2 человека
в минуту. Поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в минуту. Очередь посетителей, ожидающих приема, не ограничена. Определить необходимое количество
аппаратов для флюорографии. Определить среднюю длину очереди и время ожидания в очереди.
Вариант 14.
На автозаправочной станции установлены три колонки для выдачи бензина.
Около станции находится площадка на три машины для их ожидания в очереди. На
станцию прибывает в среднем две машины в минуту. Среднее время заправки одной
машины 1 мин. Требуется определить вероятность отказа и среднюю длину очереди.
Вариант 15.
В порту имеется два причала для разгрузки грузовых судов. Интенсивность потока судов равна 0,8 судов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна составляет
2 сут. Предполагается, что очередь ожидающих разгрузки судов может быть неограниченной длины. Найти среднее время пребывания судна в порту. Найти все функциональные характеристики системы.
Вариант 16.
На железнодорожной станции находятся три кассы для продажи билетов на поезда дальнего следования. Когда все кассы заняты, пассажиры встают в очередь.
Длина очереди не может превышать 50 человек. Среднее время обслуживания в одной кассе составляет 5 минут. Пассажиры прибывают на станцию для покупки билетов в среднем по два человека в минуту. Найти вероятность отказа и общее количество человек (требований), находящихся в системе.
Вариант 17.
На железнодорожной станции имеется пять путей для обслуживания прибывающих железнодорожных составов. Интенсивность прибытия железнодорожных составов равна 15 составов в час. Среднее время обслуживания одного состава 20 минут.
Предполагается, что очередь ожидающих обслуживания поездов может быть неограниченной длины. Найти вероятность занятости всех пяти путей железнодорожной
станции и среднее время обслуживания состава.
27
Вариант 18.
Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную
СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность λ=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля в среднем
равно tобсл  1,05 час. Требуется определить функциональные характеристики поста
диагностики.
Вариант 19.
В компьютерном классе установлен один принтер, скорость печати которого в
среднем составляет 2 страницы в минуту. Печать начинается сразу после поступления файла на порт принтера. Среднее время между поступлениями файлов на принтер составляет 1 минуту. Если в момент поступления файла на печать принтер занят,
то задания выстраиваются в неограниченную очередь. Требуется определить среднюю длину очереди и общее время пребывания файлов в очереди, если каждый файл
в среднем содержит по 5 страниц.
Вариант 20.
Специализированный пост диагностики представляет собой 2-канальную СМО.
Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно
и равно 3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то
очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не
становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность
λ=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля в среднем равно
tобсл  1,05 час. Требуется определить функциональные характеристики поста диагностики.
Вариант 21.
Телефонная справочная служба имеет 5 линий связи с абонентами. В среднем в
час поступает 240 обращений. Средняя длительность обслуживания клиента, обратившегося за справкой, составляет 3 мин. Если все линии заняты, то абонент попадает в очередь (абонент слышит: «ждите ответа»). В очереди должно быть не более 6
заявок. Определить характеристики обслуживания справочной системы.
Вариант 22.
В автосервисе работают 4 бригады по ремонту автомашин. В среднем за месяц
для ремонта поступает 10 неисправных машин. Средняя длительность ремонта машины одной бригадой составляет 5 рабочих дней. Никаких ограничений на длину
очереди нет. Потоки заявок и обслуживания простейшие. Определить характеристики
обслуживания автосервиса. Считать, что в месяце 26 рабочих дней. Определить оптимальное число мастеров в сервисном центре, если зарплата рабочего составляет
$300, в бригаде 3 человека, доход от ремонта одной машины в среднем $300.
28
Вариант 23.
В сбербанка (сберкассе) коммунальные платежи принимают 4 оператора. На обслуживание одного клиента служащий банка тратит в среднем 8 минут. В отделение
сбербанка приходят в среднем 20 клиентов в час. Найти вероятность того, что в отделении сбербанка нет клиентов.
Вариант 24.
На базу прибывают автомобили с товарами. Поток простейший с интенсивностью  = 5 авт./час. Разгрузку производят 4 бригады грузчиков. Среднее время разгрузки tобсл = 0,5 (час). На территории базы могут находиться в очереди не более 2 автомобилей. Определить основные показатели СМО.
Вариант 25.
Универсам получает овощи из совхоза. Машины с товаром прибывают в универсам в неопределенное время. В среднем прибывает  = 4 автомашины в день. Подсобные помещения позволяют хранить товаров объемом не более 2 автомашины одновременно. В универсаме работают 4 фасовщика, каждый из которых может обработать товар с одной автомашины в течении tобсл = 0,25 дня. Определить основные
показатели СМО. Какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность обслуживания была близка к 1?
Вариант 26.
В расчетном узле магазина работает 4 кассы. Интенсивность входного потока
покупателей составляет  = 6 покупателей в минуту. Интенсивность обслуживания
каждого кассира равна  = 2 покупателя в минуту. Определить основные показатели
СМО.
Вариант 27.
На железнодорожной станции находятся четыре кассы для продажи билетов на
поезда дальнего следования. Когда все кассы заняты, пассажиры встают в очередь.
Среднее время обслуживания в одной кассе составляет 5 минут. Пассажиры прибывают на станцию для покупки билетов в среднем по два человека в минуту. Найти
функциональные характеристики системы.
Вариант 28.
Специализированный пост диагностики представляет собой двухканальную
СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность λ=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля в среднем
равно tобсл  1,05 час. Требуется определить функциональные характеристики поста
диагностики.
Вариант 29.
29
Билетную кассу с двумя окошком представим как СМО с неограниченной
очередью. Касса продает билеты в пункты А и В; пассажиров, желающих купить билет в пункт А, приходит в среднем трое за 20 минут, а в пункт В – двое за 20 минут.
Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 минут. Найти среднее число заявок в СМО, среднее время пребывания заявки в системе и среднее число заявок в
очереди.
Вариант 30.
В порту имеется три причала для разгрузки грузовых судов. Интенсивность потока судов равна 1,2 судов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна составляет
2 сут. Предполагается, что очередь ожидающих разгрузки судов может быть неограниченной длины. Найти среднее время пребывания судна в порту. Найти все функциональные характеристики системы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключении хотелось бы отметить, сегодня деятельность в любой области:
управлении, финансово-кредитной сфере, маркетинге, учете, аудите, требует от специалиста применения современных методов работы, понимания научного языка. Большинство новых методов основано на моделях, концепциях, приемах, в которых используются как базы данных, так и экспертные системы. Без глубоких знаний в этой области
научиться их использовать невозможно.
Авторы стремились изложить теорию, на которой базируются экспертные системы, чтобы дать возможность читателю принять обоснованное решение по выбору
подходящего направления использования технологии экспертных систем.
Мы хотели подчеркнуть важную мысль, что экспертные системы следует рассматривать как одно из инструментальных средств в арсенале разработчика, и поэтому постараться понять, в чем состоят их преимущества и недостатки. В излагаемых
теоретических сведениях дано также описание того, как экспертные системы связаны
с другими методами программирования, такими как процедурное программирование.
Еще одной причиной повышенного внимания к изложению теоретических сведений
было стремление подготовить читателя к тому, чтобы он мог самостоятельно изучать
современные научно-исследовательские статьи по экспертным системам. Но следует
отметить, что экспертные системы создаются в соответствии с потребностями многих
разных теоретических и практических направлений, поэтому на первых порах при
чтении таких статей для достижения полного понимания придется преодолевать
трудности.
Пособие предназначено для студентов дневной формы обучения, но может быть
полезно студентам заочной и дистанционной форм обучения для самостоятельного
изучения дисциплины.
30
31
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алехин М.Ю. и др. Применение теории массового обслуживания для решения
производственных задач. – Л.: ЛКИ, 1989.
2. Бронштейн О.И., Духовный И.М. Модели приоритетного обслуживания в информационно-вычислительных системах. – М.: Наука, 1976.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1991.
4. Фомин Г.Ф. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000.
5. Математика для экономистов: В 6 т./ Под. ред. А.Ф. Тарасюка. – М.: ИНФРА – М,
2000. – (Серия «Высшее образование»). Т.6: Чернов В.П., Ивановский В.Б. Теория
массового обслуживания.
6. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. /Пер. с англ. И.И. Грушко; ред.
В.И. Нейман. – М.: Машиностроение, 1979. – 432 с., ил.
7. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. – 2-е
изд., перераб. и доп. - М.: Наука: Гл.ред. физ.-мат. лит., 1987. – 336 с.
8. Хугаев К.Д. Элементы теории массового обслуживания: Учеб. пособие. – Ленинград; ЛИИЖТ, 1973. – 53 с.
9. Понттогофф Г. Теория массового обслуживания /Пер. с нем.; Под ред. Е.П. Нестерова. - М.: Транспорт, 1979. - 144 с.
32
Учебное издание
МАРУХИНА Ольга Владимировна
ГЕРГЕТ Ольга Михайловна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ОРГАНИЗАЦИОННЫХ И ЭКОНОМИЧСЕКИХ СИСТЕМ
Учебное пособие
Научный редактор
доктор технических наук,
профессор
Редактор
Дизайн обложки
Подписано к печати
. Формат 60х84/8. Бумага «Снегурочка».
Печать Xerox. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. .
Заказ . Тираж 100 экз.
Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.
33