Сравнения и их основные свойства

Математика, 8-9 классы
Малыхина Ольга Акимовна
Сравнения и их основные свойства
Метод сравнений, созданный К.Ф. Гауссом и лежащий в основе теории сравнений, является
по существу формальным методом. Однако этот метод весьма полезен как инструмент,
помогающий получать такие результаты, подход к которым с помощью иных методов
представляется громоздким. Начнем с изложения понятия сравнения и основных свойств
сравнения.
Возьмем произвольное фиксированное натуральное число m и будем рассматривать
остатки при делении на m различных целых чисел.
Определение. Целые числа а и b называются сравнимыми по модулю m, если разность a – b
делится на m.
Таким образом, сравнение представляет собой соотношение между тремя числами a, b
и m, причем m, играющее роль своего рода эталона сравнения, называют модулем. Для
краткости данное соотношение записывают следующим образом: a  b (mod m) , a и b
называют соответственно левой и правой частями сравнения.
Примеры:  125  4 (mod 11) , 56  6 (mod 5) .
Теорема. (Признак сравнимости двух чисел по модулю m). Два целых числа a и b
сравнимы по модулю m тогда и только тогда, когда a и b имеют одинаковые остатки при
делении на m.
Доказательство: Пусть остатки при делении а и b на m равны, т.е.
(1)
a  mq1  r,
где 0  r  m,
(2)
b  mq2  r,
где 0  r  m .
Вычтем (2) из (1) и получим: a  b  m  (q1  q2 ), т.е. (a  b)  m или a  b (mod m) .
Обратно, пусть a  b (mod m) . Это означает, что (a  b)  m или
a  b  mt, t  Z
(3)
Разделим b на m, получим b  mq  r , 0  r  m . Подставив b  mq  r в (3), будем иметь
равенство: a  m  (q  t )  r , т.е. при делении a на m получается тот же остаток, что и при
делении b на m.
Пример. Определить, сравнимы ли числа 15 и 85 по модулю 7.
Решение. При делении на 7 числа 15 и 85 имеют одинаковые остатки, следовательно
15  85 (mod 7) .
Определение. Два или несколько чисел, дающие при делении на m одинаковые остатки,
называются равноостаточными или сравнимыми по модулю m.
Отметим далее несколько часто используемых фактов.
Если два целых числа a и b сравнимы по модулю m, то этот факт можно записать
различными способами: a  b (mod m) или a  в  mt, t  Z , или a  b  mt , или (a  b)  m .
Если a  m , то и (a  0)  m или a  0 (mod m) , т.е. всякое целое число, кратное m,
сравнимо с нулем по модулю m.
Если a  mq  r , т.е. a при делении на m дает остаток r, то a  r  mq или
a  r (mod m) . Таким образом, любое целое число a всегда сравнимо с остатком r,
получающимся при делении его на m.
Перечислим основные свойства сравнений.
Свойство 1. Отношение a  b (mod m) является отношением эквивалентности, т.е.
удовлетворяет следующим условиям:
а) рефлексивности: a  а (mod m) , т.е. любое целое число a сравнимо с самим собой
по модулю m;
b) симметричности: если a  b (mod m), то и b  a (mod m);
с) транзитивности: если a  b (mod m) и b  c (mod m), то и а  c (mod m).
Свойство 2. Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать,
вычитать, т.е. если a  b (mod m) и c  d (mod m) , то a  c  b  d (mod m) .
Свойство 3. К обеим частям сравнения можно прибавлять одно и то же целое число, т.е.
если a  b (mod m) , то a  k  b  k (mod m) , где k  Z .
Из этого свойства сравнений следует, что члены сравнения можно переносить из
одной части сравнения в другую с противоположным знаком.
Свойство 4. Сравнения по по одному и тому же модулю можно почленно перемножать, т.е.
если a  b (mod m) и c  d (mod m) , то a  с  b  d (mod m) .
И, следовательно, обе части сравнения можно умножать на одно и то же число и обе части
сравнения можно возводить в одну и ту же целую неотрицательную степень: если
a  b (mod m), и s – целое неотрицательное число, то a s  b s (mod m).
Свойство 5. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю n,
равному любому натуральному делителю числа m, т.е. если a  b (mod m) и m  n , где n  N ,
то a  b (mod n) .
Свойство 6. Если сравнение имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место по
модулю, равному наименьшему общему кратному данных модулей, т.е. если a  b (mod m1 ) ,
a  b (mod m2 ) , …, a  b (mod mk ) , то a  b (mod M ) , где M  m1 , m2 , , mk 
Свойство 7. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое
положительное число, т.е. если a  b (mod m) , то a  k  b  k (mod m  k ) , где k  N .
m
Свойство 8. Если ak  bk (mod m) и (k, m)= d, то a  b (mod )
d
Из данного свойства вытекают два следствия: 1) обе части сравнения и модуль можно
разделить на любой их общий делитель;2) обе части сравнения можно разделить на их
общий делитель, взаимно простой с модулем.
Второе следствие имеет большое значение.
Пример. 60  9 (mod 17) . После деления обеих частей сравнения на 3 получим
20  3 (mod 17) .
Делить обе части сравнения на число, не взаимно простое с модулем, вообще говоря,
нельзя, так как после деления могут получиться числа, несравнимые по данному модулю.
Пример. 8  4 (mod 4) , но 2 и 1 не являются сравнимыми по модулю 4.
Из предыдущих свойств сравнений следует общее свойство.
Свойство 9. Пусть P(x) – многочлен с целыми коэффициентами, a и b -переменные,
принимающие целые значения. Тогда если a  b (mod m), то P(a)  P(b) (mod m) .
Свойство 9 имеет ряд важных применений. В частности, с его помощью можно дать
теоретическое обоснование признаков делимости. Для иллюстрации в качестве примера
дадим вывод признаков делимости на 3 и на11.
Любое натуральное число N можно представить в виде систематического числа:
N  a n  10 n  a n 1  10 n 1    a 0 . Рассмотрим многочлен f (x)  a n  10 n  a n 1  10 n 1    a0 .
Так как 10  1 (mod 3) , то, по свойству 9 f (10)  f (1) (mod 3) или
N  a n  10 n  a n 1  10 n 1    a 0  an  an1    a1  a0 (mod 3).
Таким образом, для делимости N на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр
этого числа делилась на 3.
Аналогичным образом можно вывести признак делимости на 11.
Так
как
10  1 (mod 11) ,
то,
в силу последнего свойства получаем, что
N  (1) n a n  (1) n 1  a n 1    a0 (mod 11) или N  (a0  a2  )  (a1  a3  ) (mod 11) .
Получаем, что число N делится на 11 в том и только в том случае, когда следующая
разность (a0  a 2  )  (a1  a3  ) делится на 11.
Пример. Число 135802458 делится на 11, так как (8  4  0  5  1)  (5  2  8  3)  0 делится
на 11.
Теперь осталось привести примеры использования сформулированных выше свойств
сравнений для решения задач.
Задача 1. Доказать, что если для a, b, c  Z 100a 10b  c делится на 21, то a  2b  4c
делится на 21.
Решение. По условию, 100a  10b  c  0 (mod 21) . Умножив обе части сравнения на 4,
получим: 400a  40b  4c  0 (mod 21) ,
но 400a  a (mod 21) , 40b  2b (mod 21) , 4c  4c (mod 21) – очевидные сравнения. Сложим
эти сравнения: 400a  40b  4c  a  2b  4c (mod 21) .
По свойству транзитивности сравнений, имеем: a  2b  4c  0 (mod 21)  a  2b  4c
делится на 21.
Задача 2. Найти остаток от деления15325 – 1на 9.
Решение. Так как 1532  2 5  32  5 (mod 9) , то вычитая из этого сравнения очевидное
сравнение 1  1 (mod 9) , получаем 1532 5  1  4 (mod 9) , откуда следует, что остаток от
деления 15325 – 1на 9 равен 4.
Задача 3. Доказать, что при любом натуральном n число 37 n  2  16 n 1  23 n делится на 7.
Решение. Очевидно, что 37  2 (mod 7) , 16  2 (mod 7) , 23  2 (mod 7) . Первое сравнение
возведем в степень n  2 , второе – в степень n  1 , третье – в степень n: 37 n 2  2 n 2 (mod 7) ,
просуммируем
полученные
сравнения
16 n1  2 n1 (mod 7) ,
37 n 2  2 n 2 (mod 7) и
n2
n 1
n
n2
n 1
n
n
37  16  23  2  7 (mod 7) , т.е. 37  16  23 делится на 7.
Задача 4. Проверьте утверждение Л. Эйлера о том, что 2 2  1 кратно 641.
Решение 1. Представим число 641 так: 641  640  1  5  2 7  1 ; 641  625  16  5 4  2 4 . Из
первого равенства имеем сравнение: 5  2 7  1 (mod 641) или 5 4  2 28  1 (mod 641) . Из
второго равенства следует, что 2 4  5 4 (mod 641) . Перемножая последние два сравнения,
5
получаем: 5 4  2 32  5 4 (mod 641) , откуда 2 32  1  0 (mod 641)  2 2  1 кратно 641.
5
Решение 2. 2 2  1  232  1 ; но 232 = (28)4 = (2562)2 = 655362  1542 = 23716  –1 (mod 641),
следовательно, 2 32  1  0 (mod 641) . Действительно, 232  1 = 4294967297 = 641 6700417
Задача 5. Известно, что a100  2 (mod 73) и a101  69 (mod 73) . Найти остаток от деления
числа a на 73.
Решение. По условию, a100  2 (mod 73) ; умножив обе части сравнения на a, получаем:
a101  2a (mod 73) . Но, по условию, a101  69 (mod 73) . По свойству транзитивности
отношения сравнения следует, что 2a  69 (mod 73) . Прибавив в правой части модуль 73,
получаем 2a  142 (mod 73) . Так как (2, 73) = 1, то, сокращая члены сравнения на 2, имеем,
что a  71 (mod 73) , т.е. искомый остаток равен 71.
Задачи для самостоятельного решения
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием №3 для учащихся 8-9
классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 680000,
г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ.
М.8-9.3.1. Докажите, что число 52n-12n+1 +3n+1 22n-1 при любом натуральном n делится на 19.
5
М.8-9.3.2. Дано, что выражение
11a  2b
19
есть целое число. Доказать, что тогда и
18a  5b
тоже целое число.
19
М.8-9.3.3. При делении натурального числа N на 3 и на 37 получаются, соответственно,
остатки 1 и 33. Найдите остаток от деления N на 111.
k
М.8-9.3.4. Доказать, что если p – простое число, то C p 1  (1) k (mod p) .