Sbornik indualnyh zadaniy po DU

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Определение дифференциального уравнения. Задача Коши
Обыкновенным дифференциальным уравнением
функциональное уравнение
F x; y; y, y, , y n   0,

называется

(1)
связывающее независимое переменное x, искомую функцию y  y  x  и
ее производные y  x  , y  x  , , y   x  .
Порядком дифференциального уравнения называется порядок
наивысшей производной, входящей в уравнение.
Функция y  g  x  называется (частным) решением
дифференциального уравнения (1), если F  x;g(x);g(x),g(x), ,g (n ) (x)   0 .
n
Уравнение (1) имеет, как правило, бесчисленное множество решений.
Общим решением уравнения (1) называется семейство функций
y    x;C1 ;C2 ; ;Cn  , зависящих от n не связанных между собой
параметров C1 ;C 2 ; ;C n , таких, что для любого допустимого набора
C1  C10 ; C2  C02 ; ; Cn  C0n
получается
y    x;C10 ; C02 ; ;C0n  уравнения (1).
частное
решение
Равенство   x;C1 ;C2 ; ;Cn   0, неявно задающее общее
решение уравнения (1), называется общим интегралом уравнения (1).
При решении практических задач приходится искать не общее
решение уравнения (1), а некоторое его частное решение,
удовлетворяющее некоторым определенным условиям. Примером такой
задачи является так называемая задача Коши, состоящая в нахождении
решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям
(2)
y  x 0   y0 , y  x 0   y0 , y  x 0   y0 , , y n1  x 0   y0n1 .
При некоторых не очень жестких ограничениях на функцию F задача
Коши (1), (2) имеет единственное решение.
2. Уравнение с разделяющимися переменными
Уравнение вида y  f  x  g  y 
разделяющимися переменными. Для
1
называется уравнением с
решения такого уравнения
достаточно представить y в виде отношения дифференциалов y 
dy
,
dx
разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения:
dy
dy
dy
 f  x   g  y ;
 f  x  dx ;
  f  x dx .

dx
g  y
g  y
Пример 1. Решить уравнение y   y x .
dy
y
 .
Решение. Так как y  dy dx , то
dx
x
Разделяя переменные, получим
dy
dx
dy
dx
C
 ;
    ; ln y   ln x  C1; ln y  ln ;
y
x
y
x
x
Ñ
y
– это и есть общее решение нашего уравнения. (Мы положили
x
Ñ
Ñ
можно заменить на y  , так как
C  ln C1 ; равенство
y
x
x
неопределенность знака поглощается константой C.)
Уравнения с разделяющимися переменными часто пишут в другой
форме:
M1  x  N1  y  dx  M 2  x  N 2  y  dy  0 .
Пример 2. Решить задачу Коши

y    1.
ycos x dx  sin x dy  0 ,
2
Решение. Разделим переменные в уравнении:
dy cos x dx
dy
cos x dx
;
;





y
sin x
y
sin x
ln y  ln sin x  C1; ln y  ln Csin x .
Отсюда находим общее решение y  Csin x . Для определения

константы C воспользуемся начальным условием y    1:
2

1  Csin  C  1. Таким образом, решением задачи Коши является
2
y  sin x .
Дифференциальное уравнение вида
y  f (ax  by  d)  0, b  0
2
c помощью подстановки u  x   ax  by  d приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Пример 3. Решить уравнение y  y  2x  3 .
Решение. Введем новую неизвестную функцию u  x   y  2x  3 .
Тогда y  u  2x  3, y  u  2 , и наше уравнение примет вид
u  2  u .
Это уравнение с разделяющимися переменными:
du
du
 dx ;
  dx ;
du   u  2  dx;

u2
u2
x
ln u  2  x  C1;
u  Ce  2 .
Отсюда находим y  2x  3  Cex  2 ; y  Cex  2x  1 – общее решение
исходного уравнения.
3. Однородные дифференциальные уравнения
Функция двух переменных называется однородной функцией n-го
измерения, если f  x; y    n f  x; y  для всех допустимых значений
.
Дифференциальное уравнение
(3)
y  f  x; y 
называется однородным, если f  x; y  является однородной функцией
нулевого измерения, т.е. если f  x; y   f  x; y  . Однородная функция
y
нулевого измерения фактически является функцией частного :
x
 1 y
 y
f  x; y   f  x  ;   f 1;  .
 x x
 x
Поэтому введением нового переменного (новой неизвестной функции)
y
ux 
уравнение (3) приводится к уравнению с разделяющимися
x
du
переменными: y  xu; y  u  xu; u  xu  f 1;u  ;
 dx .
f 1;u   u
xy
Пример 4. Решить уравнение y  2
.
x  y2
xy
Решение. Проверим функцию f  x; y   2
на однородность:
x  y2
3
f  x; y  
x y
 x    y 
2
Следовательно,
2
xy
 f (x; y) .
x 2  y2
уравнение является

наше
однородным. Делаем
y
подстановку u  , тогда y  xu; y  u  xu и уравнение принимает
x
u
x  xu
.
вид u  xu  2
; u  xu  
2
2
1

u
x   xu 
Получим
дифференциальное
уравнение
с
разделяющимися
переменными:
u
u  u  u3
u3
xu  
u ;
xu 
;
xu 
;
1  u2
1  u2
1  u2
1  u 2 du dx
1  u 2 du
dx
du
du

;

;

 ln x ;




u3
u
u3
x
u3
x
1
1
 2  ln u  ln x  C;  2  ln uxC 2 .
2u
2u
x2
y
Подставив u  , получим  2  ln yC , что приводит к общему
x
2y




интегралу исходного уравнения: x 2  2y2  ln y  C   0 .
Дифференциальное уравнение вида
будет
однородным,
M1  x  N1  y  dx  M 2  x  N 2  y  dy  0
M  x; y  , N  x; y 
измерения.
являются
Уравнение вида
однородными
 a x  b1 y  c1 
y  f  1

a
x

b
y

c
 2
2
2 
функциями
если
одного
(4)
a 2 b2
 , то уравнение
a1 b1
приводится к однородному с помощью замены переменных
 x  u  m,

 y  v  n,
где m и n являются решением системы
 a1m  b1n  c1  0,

a 2 m  b 2 n  c 2  0.
приводится к однородному уравнению. Если
4
dy x  y  2
.

dx x  y  4
a
b
Решение. В этом случае 2  2 . Сделаем замену переменных
a1 b1
 x  u  m,

 y  v  n,
dx =du, dy =dv. Уравнение примет вид
dv u  m  v  n  2

.
du u  m  v  n  4
Подберем m и n так, чтобы выполнялись равенства
m  n  2  0,
 m  3,


m

n

4

0;

n  1;
dv u  v

.
du u  v
v
Положим z  , тогда v  zu , v  z  uz . Уравнение примет вид
u
u  zu
1 z
dz 1  z
dz 1  z 2
z  uz 
z  uz 

z;
u

;
; u
.
u  zu
1 z
du 1  z
du 1  z
Разделяя переменные, решим это уравнение:
2
dz
1 d 1  z 
du
1 z
du


dz

;
;



1  z2
u
1  z2 2 1  z2
u
1
arctg z  ln 1  z 2   ln u  C1 ;
2
arctg z  ln 1  z 2  ln Cu .
v
Вспомним, что z  :
u
v
v2
arctg  ln 1  2  Cu .
u
u
Пример 5. Решить уравнение
Учтем, что u  x  3, v  y  1 ;
y 1
2
2
arctg
 ln C  x  3   y  1 .
x 3
Это и есть общий интеграл исходного уравнения.
5
a 2 b2

  , т.е. a 2 x  b2 y    a1x  b1y  , то
a1 b1
это уравнение принимает вид
 a x  b1 y  c1 
dy
f 1
(5)
.
dx
a
x

b
y

c


1
2 
 1
Подстановкой z  a1x  b1 y последнее уравнение приводится к
уравнению с разделяющимися переменными.
2x  y  1
Пример 6. Решить уравнение y 
.
4x  2y  5
a
b
Решение. В этом случае 2  2  2 . Введем новую неизвестную
a1 b1
функцию z  2x  y . Тогда y  z  2x,
y  z  2. Наше уравнение
z 1
dz
z 1
dz 5z  9

 2;

примет вид z  2 
;
;
2z  5
dx 2z  5
dx 2z  5
 2z  5 dz  dx ;
2z  5
dz  dx ;


5z  9
5z  9
2
7
z  ln 5z  9  x  C.
5
25
Подставив z  2x  y , получим
2
7
 2x  y   ln 10x  5y  9  x  c .
5
25
Это и есть общий интеграл нашего уравнения.
Если в уравнении (4)
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
(6)
y  p  x  y  g  x  .
Для решения уравнения (6) пользуются двумя методами: вариации
постоянной и методом подстановки.
А. Метод вариации постоянной. Рассмотрим сначала линейное
однородное уравнение (при котором правая часть =0)
y  p  x  y  0 .
(7)
Это уравнение с разделяющимися переменными; его общим решением
является
p x dx
.
y  Ce
6
Будем искать решение уравнения (6) в виде y  C  x  e 
неизвестная функция. Имеем
p x dx
p x dx
y  C  x  e 
 C  x  e
 px.
Подставляя y  C  x  e 
p x dx
p x dx
, где C  x  –
в уравнение (6), получим
p x dx
p x dx
p x dx
C  x  e 
 C  x  p  x  e
 p  x  C  x  e
 g(x) ,
или
p x dx
C  x  e 
 g(x) .
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися
переменными, в котором неизвестной функцией выступает C  x  :
 p x dx
 p x dx
d C  x   g(x)e 
dx ; C  x    g(x)e 
dx .
Таким образом, решением уравнения (6) является
 p x dx
p x dx
.
y    g(x)e 
dx  C  e 


Б. Метод подстановки. Будем искать решение уравнения (6) в
виде y  x   u  x  v  x  . Тогда y  uv  uv и уравнение (6) примет вид
uv  uv  p  x  uv  g  x  ,
или
(8)
 u  p  x  u  v  uv  g  x   0 .
Потребуем, чтобы выражение в скобках было равно нулю:
u  p  x  u  0.
Это уравнение с разделяющимися переменными; найдем некоторое
частное решение u1  x  этого уравнения:
p x dx
du
 p  x  dx ; u  e
.
u
Подставим u1  x  в формулу (8): u1v  g  x   0.
Это дифференциальное уравнение также является уравнением с
разделяющимися переменными. Пусть V  x;C  – общее решение
последнего уравнения. Тогда общим решением уравнения (6) является
y  x   u1  x  V  x;C  .
Пример 7. Решить уравнение y  2xy  2xe x .
2
7
Решение. А. Метод вариации постоянной. Решим сначала
соответствующее однородное уравнение y  2xy  0 . Это уравнение с
разделяющимися переменными:
dy
dy
 2xy;
ln y   x 2  C1 ;
 2xdx;
dx
y
2
y  Ce x – общее решение однородного уравнения. Общее решение
неоднородного уравнения будем искать в виде y  C  x  e  x , где C  x 
– неизвестная функция. Имеем
2
2
y  C(x)e x  C(x)e x (2x) .
Исходное уравнение примет вид
2
2
2
2
C  x  e  x  2x C  x  e  x  2x C  x  e  x  2x e  x ;
2
C  x  e  x  2x e  x ; C  x   2x ;
C x   x2  C .
Таким образом, общим решением исходного уравнения является
2
2
y   x 2  C  e x .
Б. Метод подстановки. Будем искать решение линейного
2
уравнения
в виде
y  x   u  x  v  x  . Тогда
y  2xy  2xe x
y  uv  uv и уравнение принимает вид
2
uv  uv  2xuv  2xe x ,
2
или
 u  2xu  v  uv  2xe x
2
 0.
(*)
Потребуем, чтобы выражение в скобках было равно нулю:
u  2xu  0 ; решим это уравнение с разделяющимися переменными:
du
du
du
 2xu ;
 2xdx ;
    2xdx ;
dx
u
u
2
ln u   x 2  C1 ;
u  e x C1 .
Положив C1  0 , найдем частное решение этого уравнения:
u1  x   e  x .
2
Подставим u1  x   e  x в (*) (при этом первое слагаемое обратится в 0):
2
e x v  2xe x  0 ;
v  2x ; v  x 2  C .
2
Итак, общим решением исходного уравнения является y  e x  x 2  C  .
2
2
8
5. Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение
вида y  p(x) y  g(x) ym , где m  0, m  1.
Как и линейное уравнение, уравнение Бернулли можно решить с
помощью подстановки y  u  x  v  x  .
Пример 8. Решить уравнение y  4xy  2xe x y .
Решение. Будем искать решение этого уравнения в виде
y  x   u  x  v  x  . Имеем y  uv  uv ; уравнение примет вид
2
uv  uv  4xuv  2x e x
2
 u  4xu  v  uv  2x e x
uv  0 ;
2
uv  0 .
(**)
Выберем u  x  так, чтобы u  4xu  0 :
2
du
 4xdx ; ln u  2x 2  C1 ;
u  e2x C1 .
u
2
Положив C1  0 , получаем частное решение u1  e2x .
Подставим u  x   e 2x в уравнение (**):
2
v e2x  2x e x
2
2
2
e2x v  0 ;
v e2x  2x e x  e x v  0 ;
v  2x v .
Решим это уравнение с разделяющимися переменными:
2
2


dv
dv
x

C
 2x dx ;
  2x dx ; 2 v  x 2  C ; v  

 .
2
v
v


Таким образом, общим решением исходного уравнения является
2
2
2  x C
y  e2x 
 .
2


2
2
2
6. Уравнение в полных дифференциалах
Дифференциальное уравнение вида
(9)
P(x; y)dx  Q(x; y)dy  0
называется уравнением в полных дифференциалах, если существует
такая дифференцируемая функция U(x; y) , что
dU  P(x; y)dx  Q(x; y)dy.
9
Общим интегралом уравнения (9) является U(x; y)  C .
Для того чтобы уравнение (9) было уравнением в полных
дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие
P Q

y x
во всех допустимых точках.
Функцию U(x; y) можно найти из равенства
(x;y)
U(x; y) 
 P(x; y)d(x)  Q(x; y)dy,
(x 0 ;y0 )
или
x
y
x0
y0
U(x; y)   P(t; y 0 )dt   Q(x;s)ds .
Пример 9. Решить уравнение (x 2  2xy)dx  (x 2  y)dy  0 .
P
Q
Решение. P(x; y)  x 2  2xy, Q(x; y)  x 2  y,
 2x,
 2x.
y
x
P Q
Так как
, то это уравнение в полных дифференциалах. Найдем

y x
функцию U(x; y) :
y
y
x
x
x3
y2
2
2
2
x y .
U(x; y)   P(t;0)dt   Q(x;s)ds  t dt   (x  s)ds 
3
2
0
0
0
0
Таким образом, общим интегралом исходного уравнения является
x3
y2
2
x y
 C.
3
2
7. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение
порядка
А. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомую
функцию y(x) и ее производные до порядка (k  1) включительно:
F  x; y (k ) ; y (k 1) ; ; y (n )  = 0.
Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц путем замены
y k  (x)  p(x) , при этом исходное уравнение сведется к уравнению


F x;p;p; ;p n k   0.
10
p(x)  (x;C1;C 2 ; ;C n k ) – общее
Пусть
решение
последнего
уравнения. Тогда общее решение исходного уравнения находится путем
k-кратного интегрирования функции  (x;C1 ;C 2 ; ;C n k ).
Пример 10. Решить задачу Коши
1  x 2  y"  2xy',
 y  0   1,

 y'  0   3.
Решение. Сначала найдем общее решение дифференциального
уравнения 1  x 2  y"  2xy '. В это уравнение не входит явно
неизвестная функция y(x) . Сделаем замену y'  p. Уравнение примет
вид
1  x 2  p '  2xp.
Это уравнение с разделяющимися переменными
dp 2xdx
ln p  ln 1  x 2   C; p  C2 1  x 2  .

;
2
p 1 x

x3 
p  y '. Следовательно, y  x    C2 1  x  dx  C2  x    C3 .
3

Для нахождения C 2 и C3 воспользуемся начальными условиями:
2
 y  0   C3  1,

 y'  0   C2  3.
Таким образом, решением нашей задачи является

x3 
y  3  x    1 или y  3x  x 3  1.
3

Б. Дифференциальное уравнение, не содержащее явно независимое
n
переменное: F y; y'; y"; ; y   0.


Порядок такого уравнения можно понизить на единицу путем
подстановки y  p(y) . При этом уравнение примет вид


F y;p;p'; ;p n 1  0 .
Пример 11. Решить уравнение yy" 2y' y 2   y'  .
2
Решение. Введем новое переменное p  y   y'. Тогда
y"  p 'y  y '  x   p ' p.
Наше уравнение примет вид
11
p  p' y  p  2y 2   0.
yp'p  2py2  p2 ;
1) p  0; y'  0; y  c.
p
2) p'  2y  0. Это линейное уравнение. Сделаем подстановку
y
p  u  v , тогда p'  u ' v  u  v. Имеем
uv
u 'v  uv'
 2y  0;
y

u

u


 v  uv  2y  0.
y


Решим систему

u
 du dy
 ,
 u1  y,
 u1  y,
 u '  0, 
y
u
y




yv'

2y

0;

 v  2y  C1.
uv' 2y  0; uv' 2y  0;


p  u1v  y  2y  C1 . Вспомним, что p  y   y  x  :
dy
dy
dy
 y  2y  C1  ;
 dx ; 
  dx .
dx
y  2y  C1 
y  2y  C1 
1
Представим функцию
в виде суммы простых дробей:
y  2y  C1 
1
A
B
2Ay  AC1  By  1.
 
;
y(2y  C1 ) y 2y  C1
1

A

,

C1
2A  B  0,



 AC1  1;
B   2 .

C1
Отсюда находим
1 dy 2
dy
1
1
x   
; x  ln y  ln 2y  C1  C2 .
C1 y C1 2y  C1
C1
C2
Это и есть общее решение исходного уравнения.
12
8. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го
порядка с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) nго порядка называется дифференциальное уравнение вида
(10)
y(n)  a n 1 (x)y(n 1)  a n 2 (x)y(n 2)  a1 (x)y  a 0 (x)y  0,
где a j (x)  известные функции, y(x)  искомая функция.
Система функций f1 (x), f 2 (x), ,f m (x) называется линейнозависимой, если существуют числа 1 ,  2 , ,  m , не все равные нулю и
такие что 1f1 (x)   2f 2 (x)    m f m (x)  0. Если же последнее
равенство возможно лишь при 1   2    m  0, то система
функций f1 (x); f 2 (x); ; f m (x) называется линейно независимой.
Теорема 1. Пусть y1 (x), y 2 (x), , y n (x)  линейно независимая
система решений уравнения (10). Тогда общее решение уравнения (10)
имеет вид
y  C1 y1 (x)  C2 y 2 (x)   C n y n (x),
где C1 ;C2 , ,Cn  произвольный набор чисел.
Система линейно независимых решений y 1 (x), y 2 (x), , y n (x)
уравнения (10) называется фундаментальной системой решений (ФСР)
уравнения (10).
В общем случае найти фундаментальную систему решений
уравнения (10), а значит и его общее решение, очень сложно; в
большинстве случаев эта задача неразрешима. Однако задача заметно
облегчается, если a j (x) являются постоянными величинами.
Для решения ЛОДУ с действительными постоянными
коэффициентами
y(n)  a n 1y(n 1)  a n 2 y(n 2)   a1y  a 0 y  0
(11)
составляется характеристическое уравнение
 n  a n 1 n 1  a n 2 n 2   a1  a 0  0 .
(12)
Зная корни уравнения (12) , можно составить ФСР уравнения (11).
А. Каждому действительному простому корню  ставится в
соответствие функция ex – частное решение уравнения (11).
Б. Каждому действительному корню  кратности k ставится в
соответствие следующий набор из k частных решений (11):
ex ; xex ; x 2ex ; ; x k1ex .
13
В. Каждой паре
1    i,  2    i
комплексно-сопряженных простых корней
уравнения (12) ставится в соответствие
следующая пара частных решений уравнения (11): ex cos x, ex sin x.
Г. Каждой
паре
комплексно-сопряженных
корней
1    i,  2    i кратности k ставится в соответствие следующий
набор из 2-х частных решений уравнений (11):
ex cos x; xex cos x; x 2ex cos x; ; x k1ex cos x ;
ex sin x; xex sin x; x 2ex sin x; ; x k1ex sin x .
Следуя указанному правилу, строится ФСР уравнения (11) и находится
общее решение этого уравнения как линейная комбинация элементов
фундаментальной системы решений.
Пример 12. Решить уравнение y  5y  6y  0 .
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение
 2  5  6  0; 1  2;  2  3  простые корни. Значит, функции
y1  e2x ; y 2  e3x образуют ФСР дифференциального уравнения.
Следовательно, общее решение уравнения имеет вид y  C1e2x  C2e3x ,
где C1 , C 2  произвольные числа.
Пример 13. Решить уравнение y  6y  9y  0.
Решение. Характеристическое уравнение 2  6  9  0 имеет
один двукратный корень   3. Ему соответствует пара функций
y1  e3x , y2  xe3x , образующая ФСР дифференциального уравнения.
Общим решением ЛОДУ является y  C1e3x  C2 xe3x .
Пример 14. Решить уравнение y  4y  13y  0.
Решение. Характеристическое уравнение 2  4  13  0 имеет
пару простых попарно-сопряженных корней 1  2  3i ,  2  2  3i .
Им соответствует пара функций y1  e2x cos3x, y 2  e2x sin 3x,
образующих ФСР дифференциального уравнения. Общим решением
уравнения является
y  C1e2x cos3x  C2e2x sin 3x,
y  e 2x  C1 cos3x  C2 sin 3x  .
Пример 15. Решить уравнение y(6)  y"  0.
Решение. Решим характеристическое уравнение
6
   2  0;  2    1   1   2  1  0.
14
Корнями уравнения являются: 1  0 – корень кратностью 2;  2  1 ,
 3  1 – простые корни;  4  i ,  5  i – простые корни. Им
соответствует следующий набор функций:
  0  y1  1; y 2  x;
  1  y3  e x ;
  1  y4  ex ;
  i  y5  cos x;
  i  y6  sin x.
Эти функции образуют ФСР ЛОДУ. Общим решением уравнения
является
y  C1  C2 x  C3e x  C4e x  C5 cos x  C6 sin x.
9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ)
n-го порядка называется уравнение вида
y(n)  a n 1 (x)y(n 1)  a n2 (x)y(n 2)   a1 (x)y  a 0 (x)y  f (x), (13)
где a j (x), f (x) – известные функции, y(x) – искомая функция.
Теорема 2. Пусть y1 (x), y 2 (x), , y n (x) – ФСР однородного
уравнения (10) и пусть y(x) – некоторое частное решение уравнения
(13). Тогда общее решение уравнения (13) имеет вид
y  C1 y1 (x)  C 2 y 2 (x)   C n y n (x)  y(x),
где C1 ;C 2 ; ;C n – произвольные постоянные; другими словами, общим
решением уравнения (13) является y  y 00  y, где y 00 – общее решение
соответствующего однородного уравнения, а y – некоторое частное
решение уравнения (13).
Если в уравнении (13) a j (x) являются постоянными величинами, а f (x)
имеет специальный вид
f (x)   b m x m  b m1x m1   b1x  b 0  e x
(14)
или
f (x) 
 b
m
x m  b m1x m1 
  ck x k  ck 1x k 1 
 b1x  b0  cos x 

 c1x  c0  sin x ex ,
то удается найти частное решение y(x) уравнения (13).
15
(15)
А. Пусть f (x) имеет вид (14) и число  не является корнем
характеристического уравнения соответствующего однородного
уравнения. Тогда частное решение y(x) уравнения (13) ищется в виде
y(x)   A m x m  A m1x m1 
 A1x  A 0  e x ,
где коэффициенты A j находятся путем подстановки y(x) в уравнение
(13).
Б. Пусть f (x) имеет вид (14) и число  является корнем
кратностью r характеристического уравнения соответствующего
однородного уравнения. В этом случае частное решение y(x) ищется в
виде
y(x)  x r  A m x m  A m1x m1   A1x  A 0  e x .
В. Пусть f (x) имеет вид (15) и число   i не является корнем
характеристического уравнения. Тогда частное решение y(x) ищется в
виде
y  A p x p  A p1x p1   A1x  A0 cos x 

  Bp x p  Bp1x p1 


 B1x  B0  sin x ex ,
где p  max  m;k .
Г. Пусть f (x) имеет вид (15) и число   i является корнем
кратности r характеристического уравнения. Тогда частное решение
y  x r A p x p  A p1x p1   A1x  A 0 cos x 

  Bp x p  Bp1x p1 


 B1x  B0  sin x ex ,
где, как и прежде, p  max  m;k .
Пример 16. Решить уравнение y" 7y' 6y  (x  2)ex .
Решение. Общее решение этого уравнения имеет вид y  y 00  y,
где y 00 – общее решение соответствующего однородного уравнения
y" 7y ' 6y  0,
(16)
а y – некоторое частное решение нашего неоднородного уравнения.
Характеристическое уравнение однородного уравнения (16) имеет вид
 2  7  6  0, отсюда находим 1  1,  2  6.
Таким образом, y00  C1e x  C2e6x . Найдем y(x).
Число   1 является простым корнем характеристического уравнения,
следовательно, y(x) имеет вид
16
y(x)  x(Ax  B)ex или y  (Ax 2  Bx)ex .
Для определения коэффициентов А и В подставим y в исходное
неоднородное уравнение. Имеем
y  (2Ax  B)e x  (Ax 2  Bx)e x   Ax 2   2A  B  x  B  e x ;
y   2Ax  2A  B  e x   Ax 2  (2A  B)x  B  e x 
  Ax 2   4A  B  x  2A  2B  e x .
Подставим y в первоначальное уравнение:
 Ax  (4A  B)x  2A  2B e
6  Ax  Bx  e  (x  2)e ;
2
2
x
x
 7  Ax 2  (2A  B)x  B  e x 
x
(10Ax  2A  5B)ex  (x  2)ex ;
10Ax  2A  5B  x  2.
Последнее равенство приводит к системе
10A  1,
A  1/10,


2A

5B


2;

 B  9 / 25.
Таким образом,
9 
 1
y    x 2  x  ex ,
25 
 10
и общим решением нашего неоднородного уравнения является
9 
 1
y  C1e x  C2e6x    x 2  x  e x .
25 
 10
Пример 17. Решить уравнение y  y  4x cos x.
Решение. Характеристическое уравнение 2  1  0 имеет простые
корни 1  i,  2  i . Общим решением соответствующего однородного
уравнения является
y00  C1 cos x  C2 sin x.
Правая часть неоднородного уравнения имеет специальный вид (15).
Число   i является простым корнем характеристического уравнения,
поэтому частное решение y нашего уравнения ищем в виде
y  x   Ax  B cos x  (Cx  D)sin x   (Ax 2  Bx)cos x  (Cx 2  Dx)sin x.
Имеем
y   2Ax  B  cos x   Ax 2  Bx  sin x  (2Cx  D) sin x 
(Cx 2  Dx )cos x   Cx 2  (2A  D)x  B  cos x 
17
  Ax 2  (2C  B)x  D  sin x;
y   2Cx  2A  D  cos x   Cx 2  (2A  D)x  B  sin x 
  2Ax  B  2C  sin x   Ax 2   2C  B  x  D  cos x 
  Ax 2  ( 4C  B) x  2D  cos x 
  Cx 2  (4A  D) x  2B  2C  sin x.
Подставим y в исходное уравнение:
 Ax
2
 (4C  B) x  2D  cos x   Cx 2  ( 4A  D) x  2B  2C  sin x 
(Ax 2  Bx)cos x (Cx 2  Dx)sin x  4x cos x;
 4Cx  2D  cos x   4Ax  2B  2C  sin x  4x cos x.
Приравняв соответствующие коэффициенты, получим систему
 4C  4,
 A  0,
 2D  0,
 B  1,





4A

0,

 C  1,
 2B  2C  0;
 D  0.
Таким образом,
y  x cos x  x 2 sin x,
и общим решением исходного неоднородного уравнения является
y  C1 cos x  C2 sin x  x cos x  x 2 sin x.
Пример 18. Записать вид частного решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения (без нахождения
коэффициентов):
a) y  4y  4y  (x  3) e2x ;
á) y" 2y' 5y    x  1 cos 2x  (x 2  4)sin 2x  e  x ;
â) y  y  2y  (x 2  x  1) sin 2x.
Решение. a) Характеристическое уравнение 2  4  4  0 имеет
один корень   2 кратностью 2. Число   2 совпадает с этим корнем,
поэтому частное решение y неоднородного уравнения имеет вид
y  x 2 (Ax  B)e2x или y  (Ax3  Bx 2 )e2x .
б) Характеристическое уравнение 2  2  5  0 имеет два
простых комплексных взаимно сопряженных корня: 1  1  2i и
 2  1  2i . Число   i  1  2i совпадает с одним из этих корней,
18
поэтому частное решение y неоднородного уравнения следует искать в
виде
y  x Ax 2  Bx  C cos 2x  Dx 2  Ex  F sin 2x e  x .





в) Характеристическое уравнение 2    2  0 имеет два простых
корня: 1  1,  2  2. Число
  i  2i не является корнем
характеристического уравнения, следовательно, частное решение y
имеет вид
y   Ax 2  Bx  C  cos 2x   Dx 2  Ex  F  sin 2x.
Теорема 3. Пусть даны два ЛНДУ
y(n)  a n 1 (x)y(n 1)  a n 2 (x)y(n 2)   a1 (x)y  a 0 (x)y  f1 (x) ,
y(n)  a n 1 (x)y(n 1)  a n 2 (x)y(n 2)   a1 (x)y  a 0 (x)y  f 2 (x) ,
имеющие частными решениями y1 (x) и y 2 (x) соответственно.
Тогда функция y1 (x)  y 2 (x) является частным решением уравнения
y(n)  a n 1 (x)y(n 1)  a n 2 (x)y(n 2)  a1 (x)y  a 0 (x)y  f1 (x)  f 2 (x).
Пример 19. Найти общее решение уравнения
y  3y  2y  (x 2  1)ex  xsin x.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
y  y 00  y, где y00 – общее решение однородного уравнения
y  3y  2y  0, а y(x) – некоторое частное решение исходного
неоднородного уравнения.
Начнем
с нахождения y 00. Характеристическое
уравнение
2  3  2  0 имеет два простых корня: 1  1 ,  2  2. Таким образом,
y00  C1ex  C2e2x .
Правая часть исходного уравнения является суммой двух слагаемых
f1 (x)  (x 2  1)e x и f 2 (x)  x sin x, поэтому y(x) можно представить в
виде суммы функций: y  y1 (x)  y 2 (x), где y1 (x), y 2 (x) – частные
решения неоднородных уравнений
(17)
y  3y  2y  (x 2  1)ex ,
(18)
y  3y  2y  xsin x
соответственно.
 1
Найдем y1 (x). Число
является
простым
корнем
характеристического уравнения, поэтому y1 (x)  x  Ax 2  Bx  C  e x
19
y1 (x)   Ax 3  Bx 2  Cx  e x . Для нахождения коэффициентов
или
A, B,C подставим y1 в уравнение (17)
y1   3Ax 2  2Bx  C  e x  (Ax 3  Bx 2  Cx) e x 
  Ax 3  (3A  B)x 2  (2B  C)x  C  e x ;
y1   3Ax 2  2(3A  B)x  2B  C  e x 
  Ax 3  (3A  B) x 2  (2B  C) x  C  e x 
  Ax 3  (6A  B)x 2  (6A  4B  C)x  (2B  2C)  e x ;
 Ax  (6A  B) x  (6A  4B  C) x  (2B  2C)  e 
3  Ax  (3A  B) x  (2B  C) x  C  e  2  Ax  Bx
3
2
3
x
2
x
3
2
 Cx  e x 
 (x 2  1) ex  3Ax 2  (6A  2B) x  (2B  C)  x 2  1.
Приходим к системе
 3A  1,
A  1/ 3,


6A  2B  0,
 B  1,
 2B  C  1;
 C  3.


Получим
1
y1  ( x 3  x 2  3x) e x .
3
Перейдём к нахождению y 2 (x). Число   i  i не является корнем
характеристического уравнения, поэтому y 2 (x) будем искать в виде
y 2  (Dx  E)cos x  (Fx  H)sin x.
Имеем
y2  Dcos x  (Dx  E)sin x  Fsin x  (Fx  H)cos x 
  Fx  (D  H)  cos x   Dx  (F  E)  sin x.
y   Fcos x  Fx  (D  H) sin x  Dsin x  Dx  (F  E) cos x 
2



  Dx  (2F  E)  cos x   Fx  (2D  H)  sin x.
Подставим y 2 (x) в (18):
 Dx  (2F  E)  cos x   Fx  (2D  H)  sin x 
3 Fx  (D  H)cos x   Dx  (F  E)  sin x  
2   Dx  E  cos x  (Fx  H)sin x   xsin x.
Это равенство приводит к системе
20

D  3F  0,

 D  3 10,
3D  E  2F  3H  0,
 E  17 50,




3D

F

1,

 F  1 10,
 2D  3E  3F  H  0.
H  3 25.
Таким образом,
17 
3 
 3
1
y 2   x   cos x   x   sin x
50 
25 
 10
 10
и
17 
 1

 3
y(x)    x 3  x 2  3x  e x   x   cos x 
50 
 3

 10
3 
1
  x   sin x.
25 
 10
Общим решением нашего уравнения является
17 
 1

 3
y  C1e x  C2e2x    x 3  x 2  3x  e x   x   cos x 
50 
 3

 10
3 
1
  x   sin x,
25 
 10
где C1 , C2 – произвольные постоянные.
Пример 20. Решить задачу Коши
y  4y  3y  x  2,
 y(0)  1,

 y(0)  0.
Решение. Сначала найдем общее решение дифференциального
уравнения. Характеристическое уравнение 2  4  3  0 имеет два
простых вещественных корня   1,   3, поэтому общим решением
соответствующего однородного уравнения y  4y  3y  0 является
y00  C1e x  C2e3x .
Найдем частное решение y(x) неоднородного уравнения. Число   0
не является корнем характеристического уравнения, поэтому y будем
искать в виде y  Ax  B. Имеем y  A, y  0.
Подставим y  Ax  B в исходное дифференциальное уравнение:
0  4A  3(Ax  B)  x  2;
3Ax  (4A  3B)  x  2;
21
 3A  1,

4A  3B  2;
A  1 3,

B  10 9,
1
откуда находим y   3x  10  .
9
Таким образом, общим решением дифференциального уравнения
1
является y  C1e x  C 2 e3x  (3x  10).
9
Для нахождения коэффициентов C1, C 2 воспользуемся начальными
условиями
y(0)  C1  C 2  10 9.
1
1
y(x)  C1e x  3C 2e3x  ; y(0)  C1  3C 2  .
3
3
Составим и решим систему уравнений
10

C

C

 1,
 C1  0,
2
 1

9
1


1
C


.
 2
C  3C   0;
9
1
2

3
Итак, решением задачи Коши является функция
1
1
y   e3x  (3x  10).
9
9
10. Метод вариации постоянных
Если известно общее решение однородного уравнения (10), то
общее решение неоднородного уравнения (13) (с теми же
коэффициентами a j (x) ) можно найти, используя метод вариации
постоянных. Пусть y1 (x), y 2 (x), , y n (x) – ФСР однородного уравнения
(10) и y  C1 y1 (x)  C2 y 2 (x)   C n y n (x) – общее решение (10). Общее
решение неоднородного уравнения (13) ищется в виде
y  C1 (x)y1 (x)  C 2 (x)y 2 (x)   C n (x)y n (x) ,
(19)
где коэффициенты C1 (x), C2 (x) , , C n (x) рассматриваются как
неизвестные функции, получающиеся путем вариации постоянных
C1 , C2 , , C n . Подстановка функции (19) в уравнение (13) приводит к
следующей системе уравнений относительно C  (x), C  (x), ,C  (x) :
1
22
2
n
 C y  C y 
 C n y n  0,
1 1
2 2

 C1 y '1  C 2 y '2 
 C n y 'n  0,

 C1 y"1  C2 y"2 
 Cn y"n  0,


  (n 2)
 (n 2)
 (n 2)
 C1 y1  C 2 y 2   C n y n  0,
   n 1
  n 1
  n 1
C1 y1  C2 y 2   Cn y n  f  x  .
Решив эту систему и подставив найденные функции C j  x  в (19),
получим общее решение неоднородного уравнения (13).
Пример 21. Решить уравнение y" y  tgx.
Решение. Общим решением однородного уравнения y" y  0
является y00  C1 cos x  C2 sin x. Будем искать общее решение
неоднородного уравнения в виде
y  C1  x  cos x  C2  x  sin x,
где C1  x  , C2  x  – функции, удовлетворяющие системе
 C  cos x  C  sin x  0,
1
2
 
C1 sin x  C2 cos x  tgx.
Решим эту систему методом Крамера:
cos x sin x
0 sin x
sin 2 x

 1,
1 

,
 sin x cos x
tgx cos x
cos x
cos x
0
2 
 sin x.
 sin x tgx
Отсюда находим
sin 2 x

C1  
, C2  sin x;
cos x
dx
sin 2 x
cos 2 x  1

C1 (x)   
dx  
dx   cos xdx  
cos x
cos x
cos x
 x 
 sin x  ln tg     A1 ,
2 4
C2 (x)   sin xdx   cos x  A 2 .
Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является
23


 x 
y   sin x  ln tg     A1  cos x    cos x  A 2  sin x,
2 4


или
 x 
y  A1 cos x  A 2 sin x  cos x  ln tg    ,
2 4
где A1 , A 2 – произвольные постоянные.
11. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Пример 22. Найти кривую, проходящую через точку (1;2) и
обладающую тем свойством, что площадь треугольника, образованного
касательной, осью абсцисс и радиус-вектором, проведенным к точке
касания, есть величина постоянная, равная 5.
Решение. Пусть B(x;y) – точка касания, BC – отрезок касательной,
AB – радиус-вектор, BH – высота треугольника ABC, площадь которого
равна 5. Если  BCH   , то tg   y и длина основания AC равна

y
y
. Так как BH  y , то 2SABC  10  y  x   . С учетом того, что
y 
y

dy
1

, это уравнение сводится к линейному относительно x(y)
dx dx
dy
dx x 10
дифференциальному уравнению
с начальным условием
 
dy y y 2
x(2)  1. Решением этого линейного дифференциального уравнения
5
является x   Cy . Из дополнительного условия x(2)  1 следует, что
y
С= –3/4. Таким образом, искомая кривая задается уравнением
5 3
x   y.
y 4
x
24
Пример 23. Рыболовецкий бот движется по заливу со скоростью
25 км/ч. Через 1 минуту после остановки двигателя его скорость
составила 15 км/ч. Считая, что сопротивление воды пропорционально
квадрату скорости лодки, найти скорость лодки через 3 минуты после
остановки двигателя.
Решение. Пусть v(t) – скорость лодки в момент времени t. Из
dv
  kv 2 .
второго закона Ньютона и условия задачи следует, что m
dt
dv k
m
1
Отсюда  2  dt и, следовательно, v 
.

v
m
kt  cm k t  C
m
Учитывая начальные условия v(0)  25 , находим C  0,04 , а из условия
k 8
 1 
 . Наконец,
v    15 следует, что
m
5
60
 
1
25
 3 
v  

.
8
3
1
60
3
 
 
5 60 25
12. Системы дифференциальных уравнений.
Линейные системы
Система уравнений вида
 x   f  t; x ; x ; ; x  ,
1
1
2
n
 1
 x   f  t; x ; x ; ; x  ,
2
2
1
2
n
(20)


 
 x n  f n  t; x1 ; x 2 ; ; x n  ,
где t – независимое переменное, x1 , x 2 , , x n – искомые функции,
называется нормальной системой дифференциальных уравнений n-го
порядка. Решением этой системы на интервале (a;b) называется
совокупность функций x1  t  , x 2  t  , , x n  t  , которые при подстановке
их в систему (20) обращают уравнения системы в тождества на (a;b) .
Как правило, система (20) имеет бесконечное множество решений
x1  x1  t;C1;C2 ; ;Cn  , x 2  x 2  t;C1;C2 ; ;Cn  ,
25
x n  x n  t;C1;C2 ; ;Cn  , при этом каждая искомая функция зависит от n
не зависящих друг от друга параметров C1 ,C 2 , ,C n .
Задача Коши системы (20) ставится следующим образом: требуется
найти решение системы (20), удовлетворяющее начальным условиям
x1 (t 0 )  x10 , x 2 (t 0 )  x 02 , , x n (t 0 )  x 0n .
(21)
При некоторых ограничениях на функции f1 ,f 2 , ,f n задача Коши
(20) – (21) имеет единственное решение.
Нормальная линейная однородная система n-го порядка имеет вид
x   t   a  t  x  t   a  t  x  t    a  t  x  t  ,
11
1
12
2
1n
n
 1
 x   t   a  t  x  t   a  t  x  t    a  t  x  t  ,
2
21
1
22
2
2n
n
(22)


 
 x n  t   a n1  t  x1  t   a n 2  t  x 2  t    a nn  t  x n  t  .
Если обозначить
 x  (t) 
 a11  t  a12  t 
a1n  t  
 x1 (t) 
 1





 (t) 

a
t
a
t
a
t
x
(t)






x
22
2n
,
X(t)   2  , X(t)   2  , A(t)   21












a
t
a
t
a
t
x
(t)









n2
nn
 n 
 n1

 x n (t) 
то системе (22) можно придать компактный вид, записав ее в матричной
форме: X  t   A  t  X  t  .
Система из n линейно независимых решений X1 (t), X 2 (t), , X n (t) ,
 x1k (t) 
 x (t) 
2k
 , называется фундаментальной системой решений
где X k (t)  




 x nk (t) 
(ФСР) системы (22).
Теорема 4. Если X1 (t), X 2 (t), , X n (t) – ФСР системы (22), то
общее решение системы (22) имеет вид
X(t)  C1X1 (t)  C 2 X 2 (t)   C n X n (t) ,
где C1 , C 2 , , C n – произвольные постоянные.
Линейная неоднородная система n-го порядка имеет вид
26
 x   t   a  t  x  t   a  t  x  t    a  t  x  t   f (t),
11
1
12
2
1n
n
1
 1
 x   t   a  t  x  t   a  t  x  t    a  t  x  t   f (t),
2
21
1
22
2
2n
n
2


 
 x n  t   a n1  t  x1  t   a n 2  t  x 2  t    a nn  t  x n  t   f n (t),
или в матричной форме X  t   A  t  X  t   F(t) ,
(23)
 f1 (t) 
 f (t) 
2
.
где F(t)  




 f n (t) 
Теорема 5. Пусть X(t) – некоторое частное решение системы (23),
а X1 (t), X 2 (t), , X n (t) – ФСР соответствующей однородной системы
(22), т.е. имеющей те же коэффициенты a ij (t) . Тогда общее решение
неоднородной системы (23) имеет вид
X(t)  C1X1 (t)  C2 X 2 (t)   Cn X n (t)  X(t) ,
или, короче, X(t)  X00 (t)  X(t) ,
X 00 (t) – общее
где
решение
однородной
системы
(22),
соответствующей системе (23).
В общем случае невозможно найти ни ФСР однородной системы
(22), ни частное решение X(t) неоднородной системы (23). Но задача
намного упрощается, если мы имеем дело с системами с постоянными
коэффициентами.
13. Линейные однородные системы с постоянными
коэффициентами
Если все коэффициенты a ij (t) в системе (22) являются
постоянными величинами, то система (22) называется системой с
постоянными коэффициентами; матрица A  a ij i1,n
является
 
j1,n
постоянной.
Для нахождения фундаментальной системы решений однородной
системы с постоянными коэффициентами решают характеристическое
уравнение
27
(24)
det(A  E)  0 .
Набору из n корней (с учетом кратности) 1 ,  2 ,  n уравнения (24)
ставят в соответствие определенный набор частных решений
X1 (t), X 2 (t), , X n (t) , составляющих ФСР системы.
А. Если  – простой корень уравнения (24), то ему ставится в
соответствие вектор-функция (частное решение однородной системы)
 1 
 
X(t)   2  et ,
 
 
 n 
 1 
 
2
где   – собственный вектор матрицы А, соответствующий
 
 
 n 
собственному значению .
Б. Если 1    i,  2    i – простые попарно сопряженные
комплексные корни уравнения (24), то этой паре ставится в
соответствие пара функций
 1 
 1 
 
 
2
(

i

)t
,
X1  Re   e
X 2  Im  2  e( i )t ,
 
 
 
 

 n
 n 
 1 
 
2
где, как и прежде,   – собственный вектор матрицы А,
 
 
 n 
соответствующий собственному значению     i .
В. Если  – корень кратностью r 1, то общее решение системы (22)
ищется в виде
28
 11  12 t   1r t r 1 

r 1 



t



t
21
22
2r
 e t ,
X(t)  



r 1 



t



t
 n1 n 2
nr

при этом ij находят путем подстановки этой функции в систему (22).
Пример 24. Решить задачу Коши
 x  x  3y,
x(0)=3,
y(0)=1.


y


x

5y;

Решение. Матрица системы имеет вид
 1 3
A
.

1
5


Решим характеристическое уравнение
1 
3
 0;  2  6  8  0; 1  2,  2  4 – простые корни.
1 5  
Найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие этим
собственным значениям.
1) =2. Найдем собственный вектор, соответствующий   2 .
 (1  2)1  32  0,
1  3 2 .



(5

2)


0;
 1
2
 3
В качестве собственного вектора можно взять Y    , следовательно,
1
 3
X    e 2t будет частным решением однородной системы.
1
2)   4 . Это собственное значение приводит к системе
 (1  4)1  32  0,
1   2 .



(5

4)


0;
 1
2
 1
Вектор Y    является собственным вектором, отвечающим
 1
собственному значению   4 . В качестве второго элемента ФСР
 1
однородной системы можно взять X    e4t .
 1
Общее решение однородной системы имеет вид
29
 3
 1
X  C1   e2t  C2   e 4t ,
1
 1
где C1 , C 2 – произвольные постоянные, иначе говоря, общим решением
однородной системы является
 x  3C1e 2t  C 2 e 4t ,

2t
4t
 y  C1e  C 2 e .
Для нахождения коэффициентов C1 , C2 воспользуемся начальными
условиями:
3C1  C2  3,

C1  C2  1,
отсюда находим C1  1, C 2  0 . Таким образом, решением задачи Коши
является
 x  3e 2t ,

2t
 y  e .
Пример 25. Решить систему дифференциальных уравнений
 x  x  4y,

 y  x  3y.
Решение. Матрица этой линейной однородной системы с
постоянными коэффициентами имеет вид
1 4 
A
.
1

3


Найдем собственные значения этой матрицы:
1 
4
 0;
2  2  1  0.
1
3  
  1– двукратный корень этого характеристического уравнения.
Общее решение системы уравнений будем искать в виде векторфункции
  t
X   11 12  e  t ,
 21  22 t 
или
 x   11  12 t  e t ,
(25)

t
 y   21  22 t  e .
Тогда
30
x  12e t  (11  12 t)e t  (12  11  12 t)e  t ,
y  22e t  (21  22 t)e  t  (22  21   22 t)e  t .
Подставим эти функции x(t), y(t) в исходную систему
дифференциальных уравнений; после сокращения на e  t получим
следующую систему уравнений:
12  11  12 t  11  12 t  4 21  4 22 t,

22  21  22 t  11  12 t  3 21  3 22 t,
или
(212  422 )t  (211  12  4 21 )  0,

(12  222 )t  (11  221   22 )  0.
Приравняв выражения в скобках к нулю, придем к системе линейных
однородных уравнений с неизвестными 11 , 12 ,  21 ,  22 .
212  4 22  0,
2    4  0,
 11 12
21
(26)



2


0,
22
 12
11  2 21   22  0.
Решим эту систему методом Гаусса, расположив неизвестные ij по
порядку  11 ; 12 ; 21 ; 22  :
 0 2 0 4 0 
 1 0 2 1 0 
 2 1 4 0 0 
 2 1 4 0 0 

 l  2l 



1
 0 1 0 2 0 
 0 1 0 2 0  2




1
0

2

1
0
0
1
0

2
0




 1 0 2 1 0 
 1 0 2 1 0 
 0 1 0 2 0  l  l
 0 1 0 2 0 
3
2





 0 1 0 2 0  l4  l2
0 0 0 0 0




0
1
0

2
0
0
0
0
0
0



.
Получим, что система (26) равносильна следующей системе из двух
уравнений:
11  2 21   22  0,

 12  222  0.
31
Объявим неизвестные  21 и  22 свободными и положим
21  C1 ; 22  C2 . Тогда решение системы (25) запишем в виде
11  2C1  C2 ,
   2C ,
 12
2

  21  C1 ,
 22  C2 .
Подставим эти значения ij в (25), получим решение исходной системы
дифференциальных уравнений в виде
 x(t)  (2C1  C2  2C2 t)e  t ,

t
 y(t)  (C1  C2 t)e .
Пример 26. Решить задачу Коши для системы дифференциальных
уравнений
 x  3x  2y,
x(0)=1,
y(0)=0.


y

4x

7y;

Решение. Сначала найдем общее решение линейной однородной
системы дифференциальных уравнений. Матрицей системы является
 3 2 
A
.

4 7 
Характеристическое уравнение имеет вид
3   2
 0 ; 2  10  29  0 .
4
7
Корнями этого уравнения являются 1  5  2i,  2  5  2i. Найдем
собственный вектор, соответствующий собственному значению
  5  2i :

 2  2i  1  22  0,
 3  15  2i   1  22  0,


4


7

5

2i


0;




 41   2  2i  2  0.
1
2


Ранг матрицы этой системы равен единице, и она равносильна
уравнению
 1  i  1  2  0 .
Положим
 1 
Y
 является

1

i


отвечающим собственному
1  1, тогда  2  1  i . Вектор
собственным вектором матрицы
значению   5  2i . Имеем
32
А,
 1  52i t  1  5t

 1  i  e
 e  cos 2t  isin 2t  

1

i




 cos 2t  isin 2t
 5t  cos 2t
 5t

e


  cos 2t  sin 2t  e 

1

i
cos
2t

isin
2t







 sin 2t
 5t
i 
e .

cos
2t

sin
2t


Отсюда
находим
пару
вещественных
решений
дифференциальных уравнений, образующих ФСР:
 cos 2t
 5t
 sin 2t
 5t
,
X1  
e
X

2

  cos 2t  sin 2t  e .

cos
2t

sin
2t




Общее решение нашей системы имеет вид
 cos 2t
 5t
 sin 2t
 5t
X(t)  C1 
e

C
2

e ,

cos
2t

sin
2t

cos
2t

sin
2t




или
 x(t)   C 1cos 2t  C 2sin 2t  e5t ,

5t
 y(t)    C 1 C 2  cos 2t   C 1 C 2  sin 2t  e .
системы
Перейдем к решению задачи Коши. Для нахождения коэффициентов C1
и C 2 воспользуемся начальными условиями:
C1  1,
C1  1,


C1  C2  0;
C 2  1.
Поэтому решением нашей задачи является система
 x(t)   cos 2t  sin 2t  e5t ,

5t
 y(t)  2sin 2t  e .
14. Линейные неоднородные системы дифференциальных
уравнений
Линейной неоднородной системой дифференциальных уравнений
называется система вида
33
 x   a (t)x  a (t)x   a (t)x  f (t),
11
1
12
2
1n
n
1
 1
 x 2  a 21 (t)x1  a 22 (t)x 2   a 2n (t)x n  f 2 (t),
(27)


 
 x n  a n1 (t)x1  a n 2 (t)x 2   a nn (t)x n  f n (t).
Здесь a ij (t), f i (t) – известныe функции, x j (t) – искомые функции.
Система (27) может быть записана в матричной форме
X(t)  A(t)X(t)  F(t) ,
 f1 (t) 
 f (t) 
2
.
где F(t)  




 f n (t) 
Теорема 6. Пусть X 0 (t) – общее решение линейной однородной
системы дифференциальных уравнений
(28)
X(t)  A(t)X(t),
соответствующей неоднородной системе (27) (т.е. имеющей те же
коэффициенты a ij (t) ). Пусть X(t) – некоторое частное решение
неоднородной системы (27). Тогда общее решение неоднородной
системы (27) имеет вид
X(t)  X0 (t)  X(t) .
Другими словами, если X1 (t), X 2 (t), , X n (t) – ФСР однородной
системы (28), а X(t) – некоторое частное решение неоднородной
системы (27), то общим решением системы (27) будет
C1 , C 2 , , C n –
X(t)  C1X1 (t)  C2 X 2 (t)   Cn X n (t)  X(t),
где
произвольные постоянные.
Если
известна
фундаментальная
система
решений
X1 (t), X 2 (t), , X n (t) однородной системы (28), то общее решение
неоднородной системы (27) может быть найдено методом вариации
постоянных. Это означает, что общее решение системы (27) ищется в
виде
X(t)  C 1(t)X 1(t)  C 2(t)X 2(t)   C n (t)X n (t),
где C 1(t), C 2 (t), , C n (t) – неизвестные функции. Подстановка такой
вектор-функции X(t) в (27) приводит к системе
C 1(t)X 1(t)  C 2(t)X 2(t)   Cn (t)X n (t)  F(t).
34
Решив эту систему относительно функций C j (t) , найдем
C (t)  C  (t)dt .
j

j
В случае, если в системе (27) функции a ij (t) являются постоянными
величинами, а функции f i (t) имеют вид  Pi (t)cos t  Qi (t)sin t  e t , где
Pi (t), Qi (t) – многочлены степени меньше либо равные k, и     i –
корень кратностью r характеристического уравнения, 1  r  k , то
частное решение системы (27) следует искать в виде
 1,k 1t k 1  1,k t k   11t  10 


k 1
k

t


t



t


2,k

1
2,k
21
20
 e t ,
X(t)  Re t r 1 




k 1
k

t


t



t


n,k

1
n,k
n1
n
0


где k – наибольшая степень многочленов Pi (t), Qi (t) . Если же
    i не является корнем характеристического уравнения, т.е.
r  0 , то частное решение X(t) ищется в виде
 1k t k  1,k 1t k 1   11t  10 


k
k 1

t


t



t


2,k 1
21
20  t
X(t)  Re  2k
e .




k
k 1

t


t



t


n,k 1
n1
n0 
 n,k
Если X1 (t) – частное решение системы X(t)  A(t)X(t)  F1 (t),
X 2 (t) – частное решение системы X(t)  A(t)X(t)  F2 (t),
то вектор-функция X1 (t)  X 2 (t) является частным решением системы
X(t)  A(t)X(t)  F1 (t)  F2 (t).
Аналогичное утверждение справедливо и для большего числа
слагаемых.
Пример 27. Решить систему
 x  3x  2y  t,

 y  3x  4y
а) методом вариации постоянных;
б) методом подбора специального частного решения.
Решение. а) Найдем общее решение однородной системы
 x   3x  2y,

 y  3x  4y,
35
соответствующей нашей неоднородной системе. Характеристическое
уравнение имеет вид
3
2
 0;
3
4  
 2    6  0; 1  3,  2  2.
Найдем собственные векторы, отвечающие собственным значениям
1  3,  2  2.
  3 . Получаем систему алгебраических уравнений
6  2  0,

 3    0,
которая равносильна уравнению 3    0 . В качестве собственного
1
вектора можно взять Y1    . Ему соответствует вектор-функция
 3
1
X1    e3t .
 3
  2 приводит к системе
   2  0,

3  6  0,
которая равносильна уравнению   2  0 . В качестве собственного
 2
вектора возьмем Y2    , которому отвечает вектор-функция
1
 2
X 2    e 2t .
1
Вектор-функции X1 (t), X 2 (t) образуют фундаментальную систему
решений однородной системы дифференциальных уравнений, поэтому
общее решение этой однородной системы имеет вид
X(t)  C1X1 (t)  C 2 X 2 (t),
или
1
 2
X(t)  C1   e 3t  C2   e 2t .
 3
1
Будем
искать
решение
нашей
неоднородной
системы
дифференциальных уравнений в виде
36
1
 2
X(t)  C 1 t    e 3t  C 2 t    e 2t .
 3
1
Это приводит к системе уравнений относительно C1 (t) и C2 (t)
 C e3t  2C e 2t  t,
1
2
  3t
3C1 e  C2e 2t  0.
Решим эту линейную относительно C1 (t) и C 2 (t) систему методом
Крамера
e3t 2e2t
  3t
 e t  6e t  5e t ,
2t
3e
e
t 2e2t
e3t t
2t
3t
1 

te
,




3te
.
2
0 e2t
3e3t 0
Отсюда находим


1
3
C1 (t)  1   te3t , C 2 (t)  2  te 2t .

5
 5
Интегрированием этих функций найдем C1 (t) и C2 (t) :
1
1
1
C1 (t)   C1 (t)dt    te3t dt    td  e3t     te3t   e3t dt  
5
15
15
1
1
 e3t  te3t  C1 ;
45
15
3
3
3
C2 (t)   C1 (t)dt   te 2t dt    td  e 2t     te 2t   e 2t dt  
5
10
10
3
3
  e 2t  te 2t  C 2 .
20
10
Значит, общим решением неоднородной системы является
 1
1
 3
 2
X(t)    3t  1 e3t  C1    e 3t    2t  1 e 2t  C 2    e 2t 
 45
 3
 20
 1 
1
 2
1 1
3  2
 1
 3
   t      C1   e3t    t      C2   e 2t
45   3 
20   1 
 15
 10
 3
1
или
37
2
5

3t
2t
x(t)


t


C
e

2C
e
,
1
2

3 18

 y(t)   t  1  3C e 3t  C e 2t .
1
2

2 12
б) Как мы видели выше, общее решение соответствующей однородной
системы имеет вид
1
 2
X 0  C1   e3t  C2   e 2t .
 3
1
Найдем частное решение X(t) неоднородной системы. В нашем случае
t
F(t)    .
0
Число   0 не является корнем характеристического уравнения
3
2
 0,
3
4  
поэтому X(t) ищем в виде
 at 2  bt  c 
X(t)   2
,
 dt  gt  h 
т.е. x(t)  at 2  bt  c, y(t)  dt 2  gt  h .
Имеем x(t)  2at  b, y(t)  2dt  g.
Подставим x(t), y(t) в нашу неоднородную систему, получим систему
2at  b  3  at 2  bt  c   2  dt 2  gt  h   t,

2
2
 2dt  g  3  at  bt  c   4  dt  gt  h .
Приравняв коэффициенты при соответствующих степенях t, приходим к
системе
3a  2d  0,
a  0,
2a  3b  2g  1,
b  2 / 3,


b  3c  2h  0,
c  5 /18,


3a  4d  0,
d  0,
3b  4g  2d  0,
g  1/ 2,


3c

4h

g

0;

h  1/12.
Таким образом,
38
5
 2

t

 3 18 
X(t)  
,
1 t  1 


 2 12 
и общим решением неоднородной системы является
5
 2

t

 3 18 
1
 2
X(t)  C1   e 3t  C2   e 2t  
,
3
1
1
1
 
 
 t  


 2 12 
или
2
5

3t
2t
x(t)

C
e

2C
e

t

,
1
2

3 18

 y(t)  3C e 3t  C e 2t  1 t  1 .
1
2

2 12
Пример 28. Решить неоднородную систему линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
 x   2x  y  te3t ,

3t
 y   x  4y  e .
Решение. Путем исключения одной из неизвестных функций
систему можно свести к уравнению второго порядка с одной
неизвестной функцией.
Например, путем исключения функции y  t  систему сведем к
уравнению второго порядка относительно функции x  t  .
Найдем y  t  из 1-го уравнения системы: y  x  2x  te3t . Отсюда
имеем y  x  2x  e3t  3te3t . Подставив значения y и y во второе
уравнение
системы,
получим
неоднородное
линейное
дифференциальное уравнение второго порядка относительно
неизвестной функции x  t  :
x  6x  9x   2  t  e3t .
Найдем его общее решение по формуле x  t   x 0  t   x r  t  .
Характеристическое уравнение соответствующего однородного
дифференциального уравнения 2  6  9  0 имеет корень 1,2  3
кратностью 2,
следовательно,
общее
решение
однородного
дифференциального уравнения имеет вид
39
x 0  t   e3t  C1 C 2 t  .
Частное решение x r  t  неоднородного дифференциального уравнения
найдем методом неопределенных коэффициентов.
Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
f  x    2  t  e3t  P1  t  e3t – произведение многочлена первой
степени на показательную функцию e3t .
По правой части находим число   3 , которое совпадает с корнем
характеристического уравнения кратностью 2, поэтому
x r  t   t 2  At  B  e3t .
Найдем x r и x r :
xr  3e3t  At 3  Bt 2   e3t  3At 2  2Bt   e3t  3At 3  3Bt 2  3At 2  2Bt  ;
xr  3e3t  3At 3  3Bt 2  3At 2  2Bt   e3t  9At 2  6Bt  6At  2B  
 e3t  9At 3  9Bt 2  18At 2  12Bt  6At  2B  .
x r , x r , x r в заданное неоднородное дифференциальное
уравнение, приведем подобные члены, и после сокращения на e3t
получим:
6Bt  6At  2B  2  t,
 6A  6B t  2B  t  2.
Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях t обеих
частей этого тождества, получим СЛАУ для определения неизвестных
A, B
6A  6B  1,
t 
7

t 0 2B  2, B  1, A   .
6

7 

Итак, x r  t   e3t  t 2  t 3  .
6 

Следовательно, общее решение имеет вид
7 

x  t   e3t  C 1 C 2 t  t 2  t 3 .
6 

Функцию y  t  определим, воспользовавшись соотношением
Подставив
7 
21 


y  t   x  2x  te3t  3e3t  C 1 C 2 t  t 2  t 3   e3t  C 2  2t  t 2  
6 
6 


40
7 
7 


2e3t  C 1 C 2 t  t 2  t 3   te3t  e3t C 1 C 2 t  1  t  2 t 2  .
6 
2 


Таким образом, общее решение данной системы дифференциальных
уравнений имеет вид

1 3
3t 
2
x
t

e
C

C
t

t

1
t ,


1
2


6 



 y  t   e3t C  C  t  1  t  2 7 t 2  .
2
 1

2 
Задание 1
Решите дифференциальные уравнения.
1) y  1  y 2  x 2 ;
2) y  xy  x;
3) ytgx  yln x;
y
y
4)

;
cos x ln y  1
1
5) y 
;
cos(y  x  1)
6) y 1  e 2x   e 2x ;
y
y

 0;
e 2x 1  e x
xdx ydy
8)

 0;
1 y 1 x
9) x(1  y)dx  y(1  x)dx  0;
10) y  sin 2  y  x  2  ;
7)
11) dy   xy  xy 2  dx  0;
12)  x 2  x  dy  ydx  0;
13) x 1  y 2 dx 
y
dy  0;
1 x
14) 1  4x  dy  2xydx  0;
2
2
15) y  cos  y  x  1 ;
41
16) 1  2x 2  dy  x  y  1 dy  0;
17)
4  y 2 dx   x 2 y  y  dy  0;
18) xdx  ydy  2x 2 ydy  3y2 xdx;
19) 2ydy  xy2dx  x 2 ydy  5xdx;
20)  x  2y  1 y  1;
21) 3e3y  5  x 2  dy  2x 1  e3y  dx;
22) 1  e y   tgx  5  dx  e y cos 2 xdy  0;
23) xydx  x 2 dy   2x  5  dy  ydx;
24)  ctgx  3 dx  e y sin 2 xdx  0;
25) y  2x  2y  1;
26) y  cos 2 x  2  dx 
dy
;
sin 2x
27) ysin 2xdx  2dy  sin 2 xdy  2sin 2xdx;
28)  2x  1  y 2  2y  2  dx   2y  2   x 2  1 dy  0;
29) 1  4x 2 dy  y  4x  1 dx ;
30) y  sin  y  x  .
Задание 2
1)
2)
3)
4)
5)
Решите дифференциальные уравнения.
xy
y 
;
x  2y
x  4y
y 
;
x  4y
3y  8x
y 
;
2y  3x
y  x  y   y  5x  0;
y  2y  x   y  3x  0;
2y 2
y
6) y  2  3  5;
x
x
42
y2
x
7) y  2  5  6;
x
y
y2
y
8) y  2  7  13;
x
x
2
2
9) x y  y  2xy  7x 2 ;
10)  y 2  2xy  dx  x 2 dy  0;
11)  2x 2  xy  y 2  dx  x 2 dy  0;
12)  4x 2  4xy  dy   5x 2  2xy  3y 2  dx;
13)  4x 2  6xy  3y 2  dx   2x 2  3xy  dy;
14)  2xy  3x 2  y  4y 2  9xy  4x 2 ;
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
y
y
y




x
x
x
x 1  e  y  xe  y 1  e  ;




y
y
y

y x
x
x
1  e  e  dx  e dy  0;
x 

 y

y  ln  2  dx  xdy ;
 x

 x  2y 
xy  y   x  2y  ln 
;
x


y

y 1  ln   xy  0 ;
x

y

xdy   y  yln  dx  0;
x


y 
 y 
x ln   1 dy   2y  2x  yln   1  dx;
x 
 x 



y

y

3x
ln

3

y





 dx  xdy;
x




y
y  5x
y  
;
x
y

x ln   5 
x

xy  ln y  ln x   y;
43


y

25) x ln  y  2x   ln x  dy   yln   2   y  2x  dx;
x




27) xdy  

x  y  y  dx ;
28) yx  3x dy   y  3xy  x x  dx;
29)  2xy  2x  dy   y x  2x y  2y  2xy  dx;
26) xdy  y  xy  x 2 dx;
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
y
x2
30) y  
.
x 2  y  x  y 2  2xy
Задание 3
Решите дифференциальные уравнения.
1)  y  3x  y   y ;
2
y
 x;
2x
2
3)  x  1 y  y   x  1 ;
y
 x 2  2x;
4) y 
x2
5) (x  2)dy   2y  (x  2)3  dx  0 ;
2) y 
2xy
2 2

1

x

;
1  x2
7) y  2xy  2x;
8) y  y  ex ;
2y
 x 2ex ;
9) y 
x
2
10) y  2xy  x 4ex ;
y
 ex  x  2 ;
11) y 
x2
2
12) y  2y  2xe2x x ;
dy
1

;
13)
dx x cos y  cos y  esin y
6) y 
44
1
14) y  y cos x  sin 2x ;
2
y
15) y   x sin x;
x
16) y sin x  ycos x  sin x cos x;
17) y  yctgx  2cos x;
18) y  yctgx  xsin x;
y
19) y   x ln x ;
x
20) yx ln x  y  x 3 ln 2 x;
y
21) y 
;
yln y  5y  x
yln y
22) y 
;
x  ln y
xy 2x ln x
23)

 1  0;
y
y
y
3
 1  ln x  ;
24) xy 
1  ln x
5
;
25) y  yctgx 
sin x
10
;
26) y  ytgx 
cos x
27) y  ytgx  ctgx;
28) ytgx  y  2sin 2 xtgx;
29) 1  x 2  dy   e  arctgx  y  dx;
30) y 
y
1  x  arctgx
2

1
.
1  x2
Задание 4
Решите дифференциальные уравнения.
x

1)   x 2 y 2  y  1;
y

2) x  x  1 y  y  x  1  xy 2 ;
45
2y
2
 y2  x  5 ;
x5
2xy
 y 2 1  x 2  ;
4) y 
2
1 x
5) 1  y 2  dx  2xydy  2x 2dy;
3) y 
6)
7)
8)
9)
2xy
y2
y 

;
2
2
1 x 1 x
1
y  y  x ;
ye
y  2xy  2y2 xe2x ;
 x 2  1 y  2xy  y2  x 2  1 ;
10) y  y  2y2 xe x x ;
1
 

2
2
11) y dx    x  x e y  dy;




y y2e x
12) y  
;
x
x
y3
13) y  yctgx 
;
sin 2 x
14) y cos x  ysin x  y 2  x  1 ;
2
15) yy  xsin 2 x  y2ctgx;
16) 1  y 2  arctgy dx   xdy  x 2arctgy dy ;
17) y2 y  x cos3 x   y3tgx;
18)
19)
20)
21)

e2sin y 
 x cos y 
 y  1;
x


y2
xy  y  ln x;
x
y
1
y 
 ;
x ln x xy

x 2 ln y  y
y  x 
 ;
2
y

 x
46
3x x 2 ln 2 y

;
22) x  
4
y
y
23)  x 2 e y  3xy 2  y  y3 ;
24) y 
y
2
 ;
x ln x xy
25) x  y  1 ln  y  1 dx   x 2  ln  y  1  dy;
26) 2x 4 ydx   2y5 ln y  2x 5  dy  0;
27) y  ytgx  y5 sin x;
28) y  3ycos x  e 2x  2  3cos x  y 2 ;
29) y2 y  x 2 sin 3 x  y3ctgx;
30) xtgy  2x  4x 3 sin y.
Задание 5
Решить задачу Коши.
1. y 2 dx   x  e 2 y  dy  0 , y
2.  y 4 e y  2x  y  y , y
x 0
 2.
x e
 1.
3. y2dx  (xy  1)dy  0 ,
y
4. 2  4y 2  4y  x  y  1 , y
x 0
x 1
 e.
0
5.  cos 2y cos 2 y  x  y  sin y cos y , y
6.  x cos 2 y  y 2  y  y cos 2 y , y
7. e y  dx  2xydy   ydy , y
2
8.  104y3  x  y  4y , y
x 8
9. dx   xy  y3  dy  0 , y
x 0
x 1 4
  4.
x 
 0.
 1.
x 1
 0.
10.  3y cos 2y  2y 2 sin 2y  2x  y  y , y
11. 8  4y3  xy  y  y  1 , y
x 0
x 2
x 16
  4.
 0.
12.  2ln y  ln 2 y  dy  ydx  xdy , y
13. 2  x  y 4  y  y , y
  3.
x 4
 e2 .
 1.
14. y3 (y  1)dx  3xy2 (y  1)dy  (y  2)dy , y
47
x 1 4
 2.
15. 2y 2 dx   x  e1 y  dy  0 , y

 1.
x e

16. xy  y dy  y2dx  0 , y
 4.
x 1 2
17. sin 2ydx   sin 2 2y  2sin 2 y  2x  dy , y
18.  y 2  2y  x  y  1, y


19. 2y ydx  6x y  7 dy  0 , y
20. dx  (sin y  3cos y  3x)dy , y
x  4
x e  2
21. 2  cos 2 y  cos 2y  x  y  sin 2y , y
23. 13y3  x  y  4y , y
x 5
x 1
 1.
  2.
 5 4 .
x 3 2
 ln 2 .
 1.
24. y 2  y 2  4  dx  2xy  y 2  4  dy , y
25.  x  ln 2 y  ln y  y  y 2 , y

  4.
 0.
x 2
22. chydx  (1  xchy)dy , y
x 1 2

x 2
26. 2xy  y dy  2y2dx  0 , y
x  8
 2.
 1.
x 1 2
 1.
27. ydx   2x  2sin 2 y  ysin 2y  dy  0 , y
28. 2  y3  y  xy  dy  dx , y
x 2
  4.
 0.
29.  2y  x tg y  y 2 tg y  dy  dx , y
30. 4y 2 dx   e1 (2 y)  x  dy  0 , y
x 3 2
x 0
x e
 .
 1 2.
Задание 6
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
1. 3x e dx   x 3e y  1 dy  0 .
2 y

2
2x 
2x
2x
2.  3x 2  cos  dx  2 cos dy  0 .
y
y 
y
y

3.  3x 2  4y 2  dx   8xy  e y  dy  0 .
y
1


4.  2x  1  2  dx   2y   dy  0 .
x 
x


5.  y 2  ysec 2 x  dx   2xy  tgx  dy  0 .
6.  3x 2 y  2y  3 dx   x 3  2x  3y 2  dy  0 .
48


x
1 1
y
1 1 
7. 
   dx  
   dy  0 .
 x 2  y2 x y 
 x 2  y2 y y2 




8. sin 2x  2cos(x  y) dx  2cos(x  y)dy  0 .
9.  xy 2  x y 2  dx   x 2 y  x 2 y3  dy  0 .
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
 1 3y 2 
2y

dx

dy  0 .
 2
4 
3
x
x
x


y
y
y
1

cos
dx

cos

2y

 dy  0 .
x2
x
x
x






x
y
 y  dx   x 

 dy  0 .
2
2 
 x 2  y2


x y 



1  xy
1  xy
dx

dy  0 .
x2y
xy 2
dx x  y 2

dy  0 .
2
y
y
y
xy  1
dx

dy  0 .
2
x
x
1
 x y
xe

dx

dy  0 .


x2 
x


 2 x cos y
1 
2
3

y
sin
y
10xy 
 dx   5x 
 dy  0 .
2
sin
y
sin
y




 y
xdy
x 

e
dx

 0.
18.  2

2
2
2
x

y
x

y


19. e y dx   cos y  xe y  dy  0 .
20.  y3  cos x  dx   3xy 2  e y  dy  0 .

2
2

21. xe y dx  x 2 ye y  tg 2 y dy  0 .
22.  5xy 2  x 3  dx   5x 2 y  y  dy  0 .




23. cos x  y2  sin x  dx  2ycos x  y 2 dy  0 .
24.  x 2  4xy  2y 2  dx   y 2  4xy  2x 2  dy  0 .
49

1
1

25.  sin y  ysin x   dx   x cos y  cos x   dy  0 .
x
y


 1



x
26. 1  e x y  dx  1  2 e x y  dy  0 .
 y

 y

(x  y)dx  (x  y)dy
27.
 0.
x 2  y2
28. 2  3xy 2  2x 3  dx  3  2x 2 y  y 2  dy  0 .
29.  3x 3  6x 2 y  3xy 2  dx   2x 3  3x 2 y  dy  0 .
30. xy 2 dx  y  x 2  y 2  dy  0 .
Задание 7
Решите дифференциальные уравнения.
1) y  2xy2  0;
16) 1  x 2  y  xy  2;
y
17) y  e 2x  2   2ye 2x  0;
2) xy  y  x sin  0;
x
1
y


y

y
tgx

sin 2x;
18)
3) xy  y ln ;
2
x
1
2
2
4) x y  y ;
19) y 1  ln x   y;
x
5) y  y2 ;
20) 1  x  y  y  1  0;
2
6 )  2y  y  y  y ;
21) yy  y2  1;
7) y  1/ y;
22) yy3  1;
8)  y  1 y  2y2 ;
23) yy  y2  1;
9) ytgy  2y2 ;
24) y  y2  e y ;
10) y  ey ;
25) yctgy  2y2 ;
11) 1  x  y  y  1  0;
26) yy  y2  1;
y
27) y sin y  y2 cos y  y sin y;
12) xy  2y ln ;
x
28) yy  y2 ln y;
13) 1  4x y  1  y  0;
y

29)
y

e
y;
2
14)  x  1 y  2y   x  1 ;
30) y  y2 tgy.
15) yxln 2x  y;
50
Задание 8
Найдите общее решение
его порядок.
2x
y  2x;
1) y  2
x 1
2) y sin 4 x  sin 2x;
y
3) xy  y  x sin ;
x
4) 1  x 2  y  xy  2;
дифференциального уравнения, понизив
1
5) y  ytgx  sin 2x;
2
1
;
6) y 
1 x2
7) 1  x 2  y  y2  1  0;
20) y  e x  1  y  0;
8) xy  y  x 2ex ;
23) y 
9) ytgx  y  1;
24)
10) x  y  1  y  0;
25)
11) x 2 y  y2 ;
26)
12) y  2  y  1 ctgx;
27)
13) xy  y2  y;
28)
14) xy  2y  2x 4 ;
29)
15) xy  ln x  1;
30)
16) x 2 y  xy  1;
17) x  y  1  y  0;
18) y  x 1  ln x;
19) 2xyy  y2  1;
 x ;

21) xy  y ln y
22) yx ln x  y;
1
y  x  x  1 ;
x 1
x 3 y  x 2 y  1;
y
y
y   sin ;
x
x
y  ytgx  cos x;
y
xy  y  xtg ;
x
yx ln x  y;
1
tgx  y  y 
 0;
sin x
tgx  y  2y.
Задание 9
Найдите общее решение дифференциального уравнения второго
порядка, понизив его порядок.
1) y  y2  2e y ;
3) 2yy  y2  y2 ;
2) ytgy  2y2 ;
4) y2  yy  yy;
51
2
y2  0;
1 y
19)  y  2y  y  y2 ;
5) yy  y2 y  y2 ;
18) y 
6) 1  y2  2yy;
7) yy   y    y  ;
20) yy  2yln y  y  y2 ;
8) 2yy  3y2  4y2 ;
21) y  2  y;

22) y  y
;
y
2
3
9) yy  y 1  y   0;
10) y  ae y ;
11) y  2y  3  2y2  0;
23) y3 y  1;
24) y2  2yy  0;
12) 4y2  2yy  3y2 ;
13) y  a 2 y;
25) yy  1  y2 ;
26) y  2yy;

14) y  1  y
2

3
2
;
27) y  y2  2e y ;

5
3
15) yy  y  y ln y;
28) 3y  y ;
16) y 1  y   y2  y;
29) y  y   1;
2
2
17) 4y  y2  0;
2
30) y 1  ln y  y  1  ln y  y2  0.
Задание 10
Найти решение задачи Коши.
1
1. 4y3 y  y4  1 ,
y(0)  2 ,
y(0) 
2. y  128y3 ,
y(0)  1,
y(0)  8 .
3. yy3  64  0 ,
y(0)  4 ,
y(0)  2 .
4. y  2sin ycos3 y  0 ,
y(0)  0 ,
y(0)  1.
5. y  32sin 3 ycos y ,
y(1)   2 ,
y(1)  4 .
6. y  98y3 ,
y(1)  1,
y(1)  7 .
7. yy3  49  0 ,
y(3)  7 ,
y(3)  1.
8. 4y3 y  16y4  1,
y(0)  2 2 ,
y(0)  1
9. y  8sin ycos3 y  0 ,
y(0)  0 ,
y(0)  2 .
52
2 2
.
2.
10. y  72y3 ,
y(2)  1,
y(2)  6 .
11. yy3  36  0 ,
y(0)  3 ,
y(0)  2 .
12. y  18sin3 ycos y ,
y(1)   2 ,
y(1)  3 .
13. 4y3 y  y4  16 ,
y(0)  2 2 ,
y(0)  1
14. y  50y3 ,
y(3)  1,
y(3)  5 .
15. yy3  25  0 ,
y(2)  5 ,
y(2)  1.
16. y  18sin ycos3 y  0 , y(0)  0 ,
y(0)  3 .
17. y  8sin 3 ycos y ,
y(1)   2 ,
y(1)  2 .
18. y  32y3 ,
y(4)  1,
y(4)  4 .
19. yy3  16  0 ,
y(1)  2 ,
y(1)  2 .
2.
20. y  32sin ycos3 y  0 , y(0)  0 ,
y(0)  4 .
21. y  50sin 3 ycos y ,
y(1)   2 ,
y(1)  5 .
22. y  18y3 ,
y(1)  1,
y(1)  3 .
23. yy3  9  0 ,
y(1)  1,
y  3 .
24. y3 y  4(y4  1) ,
y(0)  2 ,
y(0)  2 .
25. y  50sin ycos3 y  0 , y(0)  0 ,
y(0)  5 .
26. y  8y3 ,
y(0)  1,
y(0)  2 .
27. yy3  4  0 ,
y(0)  1,
y(0)  2 .
28. y  2sin 3 ycos y ,
y(1)   2 ,
y(1)  1.
29. y3 y  y4  16 ,
y(0)  2 2 ,
y(0)  2 .
30. y  2y3 ,
y(1)  1,
y(1)  1.
53
Задание 11
Решите линейные
коэффициентами.
однородные
уравнения
с
постоянными
1. а) y  6y  8y  0,
б) y  12y  36  0,
в) y  4y  13y  0,
г) yIV  y  0;
2. а) y  y  12y  0,
б) y  16y  64y  0,
в) y  10y  29y  0,
г) yV  5y  4y  0;
3. а) y  3y  4y  0,
б) y  8y  16y  0,
в) y  2y  2y  0,
г) yIV  81  0;
4. а) y  5y  4y  0,
б) y  22y  121y  0,
в) y  2y  26y  0,
г) y  y  0;
5. а) y  2y  0,
б) y  2y  y  0,
в) y  2y  10y  0,
г) yV  6y  9y  0;
6. а) y  y  12y  0,
б) y  26y  169y  0,
в) y  10y  41y  0,
г) yIV  4y  3y  0;
7. а) y  y  0,
б) y  6y  9y  0,
в) y  4y  20y  0,
г) y  3y  y  3y  0;
8. а) y  3y  0,
б) y  12y  36  0,
в) y  6y  10y  0,
г) yVI  4yV  4yIV  0;
9. а) y  8y  15y  0,
б) y  18y  81y  0,
в) y  4y  5y  0,
г) y  3y  3y  y  0;
10. а) y  y  6y  0,
б) y  4y  4y  0,
в) y  6y  34y  0,
г) yIV  2y  2y  4y  0;
11. а) y  4y  0,
б) y  28y  196y  0,
в) y  8y  65y  0,
г) yIV  16y  0;
12. а) y  4y  3y  0,
б) y  22y  121y  0,
в) y  4y  13y  0,
г) y  3y  2  0;
13. а) y  4y  0,
б) y  8y  16y  0,
в) y  8y  32y  0,
г) y  3y  2y  0;
14. а) y  3y  2y  0,
в) y  4y  5y  0,
54
б) y  24y  144y  0,
г) yV  yIV  y  y  0;
15. а) y  7y  12y  0,
б) y  20y  100y  0,
в) y  2y  2y  0,
г) yIV  4y  6y  4y  y  0;
16. а) y  5y  6y  0,
б) y  10y  25y  0,
в) y  2y  5y  0,
г) yIV  5y  4y  0;
17. а) y  3y  4y  0,
б) y  30y  225y  0,
в) y  4y  8y  0,
г) yIV  2y  2y  2y  y  0;
18. а) y  y  0,
б) y  14y  49y  0,
в) y  6y  18y  0,
г) y  6y  5y  0;
19. а) y  y  2y  0,
б) y  20y  100y  0,
в) y  8y  20y  0,
г) yV  4y  0;
20. а) y  y  0,
б) y  22y  121y  0,
в) y  6y  13y  0,
г) yIV  2y  y  0;
21. а) y  7y  10y  0,
б) y  16y  64y  0,
в) y  10y  34y  0,
г) y  4y  5y  2y  0;
22. а) y  5y  6y  0,
б) y  14y  49y  0,
в) y  2y  17y  0,
г) y  y  9y  9y  0;
23. а) y  2y  3y  0,
б) y  26y  169y  0,
в) y  8y  25y  0,
г) y  7y  15y  9y  0;
24. а) y  4y  3y  0,
б) y  6y  9y  0,
в) y  2y  5y  0,
г) y  y  6y  0;
25. а) y  2y  3y  0,
б) y  30y  225y  0,
в) y  4y  20y  0,
г) yV  4y  0;
26. а) y  6y  5y  0,
б) y  2y  y  0,
в) y  4y  29y  0,
г) y  2y  y  2y  0;
27. а) y  3y  10y  0,
б) y  32y  256y  0,
в) y  10y  26y  0,
г) yIV  3y  2y  0;
28. а)
б)
y  3y  2y  0,
y  10y  25y  0,
в)
г)
29. а) y  2y  8y  0,
y  4y  8y  0,
y  4y  4y  0;
в) y  2y  10y  0,
55
б) y  24y  144y  0,
г) yIV  4y  6y  4y  y  0;
30. а) y  6y  8y  0,
б) y  18y  81y  0,
в) y  6y  25y  0,
г) yVI  2yV  yIV  0.
Задание 12
Найдите
вид
частного
решения
неоднородных
yx
дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
1. а) y  y  2y   x 2  x  4  e x   x 2  1 e3x   x 3  2  cos 2x ,
б) y  8y  25y  xex  xsin 2x  x 2e4x cos3x;
2. а) y  5y  6y   x 3  x  e 2x   x 2  4x  1 e  x 


  x 2  4  cos x  x 2 sin x e  x ,






б) y  16y  2x 2  3 e  x   x cos 4x   x 2  2x sin 4x 
  5x  1 e 4x cos 4x;
3. а) y  7y  12y   x 2  x  e 3x  x sin 2x   x 3  x 2  e x ,
б) y  2y  10y   3x  1 e2x    3x  2  cos3x  5sin3x  e x 
  x 2  1 e 2x sin 4x ;
4. а) y  5y  4y  x 3  x  xe  x   x 2 sin 2x  x cos 2x  ,
б) y  9y  18y   3x  7  e 2x 
  x  1 e 3x sin 3x;
 x
2

 4x  cos x   x  1 sin x e x 
5. а) y  2y  y   x  2  e x   x 2  x  2  e 5x   x cos7x  x 2 sin 7x  e 3x ,
б) y  10y  41y  x 3  3  x cos2x   x 2 cos 4x  x sin 4x  e 5x ;
6. а) y  3y  x 2  5x  1   x 2  2  e x   x cos x  x 2 sin x  e x ,
б) y  4y  29y   x 2  6x  e x  xe3x cos 6x  x 2e 2x sin 5x;
7. а) y  y  12y   x 3  4x 2  e3x  x 2e x   x cos 4x  sin 4x  ,


б) y  4y  5y   x 2  x  3 e  x  3cos x  x 2  1 sin x e 2x 


 x 2 sin5x;
8. а) y  y   x 4  x  e  x  x 2  3x  x cos 4x   x 2  2x  sin 4x e 3x ,

56

б) y  4y  17y   x 2  1 e3x  x sin x  x 2e 4x sin x;
9. а) y  6y  9y   x  1 e3x   x 2  2x  e x   x cos6x  x sin 6x  e 2x ,
б) y  4y  13y   x 2  x  3 e x   x cos5x  2sin 5x  e  x 
   x  3 cos3x  sin3x  e2x ;
10. а) y  2y  3y   x 2  x  e 2x   x  1 e3x   x cos x  x 2 sin x  e 4x ,
б) y  4y   5x  2  e 4x   x cos 2x  6sin 2x  
   4x  3 cos5x  sin5x  e6x ;
11. а) y  3y  2y   x 2  3x  1 e x  x 3e  x   x 3 cos3x  x sin 3x  e 4x ,
б) y  10y  26y  xe 7 x   x 2 cos x  x sin x  e  x 
  x 2  2x  2  e 5x sin x;
12. а) y  6y  8y   x 2  3x  7  e  x  x 2e 2x  x 3 sin 4x ,

   3x  5 cos 2x   x  4  sin 2x  e ;


б) y  2y  2y   5x  2  e3x  x 2  2x cos x  5sin x e x 
2
x
13. а) y  9y   x 2  2x  1 e 3x  xe x  xe 2x cos 4x ,
б) y  8y  41y  x 3e x    x  1 cos 2x  x 2 sin 2x   xe4x cos5x;
14. а) y  3y  4y   x 3  x  e  x  x 2e x   x cos x  x 2 sin x  e 2x ,



б) y  6y  10y   3x  2 e2x  x 2  1 cos 4x  x sin 4x ex 
 xe3x sin x;
15. а) y  y  x 3  x  4  x 2ex  x 3e2x sin 6x,
б) y  10y  29y   x 2  3x  e 4x   x cos 2x  4sin 2x  e5x  x cos3x;
16. а) y  4y  4y   x 2  x  3 e  x   x 2  2x  1 e 2x  x 3 sin 5x ,
б) y  2y  17y   x 2  x  4  e3x   x 2  x  1 e x cos 4x 


 5cos7x   x 2  x  sin 7x e 2x ;
17. а) y  2y   x 2  3x  5  e 2x   x 3  1 e x 


  x 2  5x  cos 2x  x sin 2x e 5x ,
б) y  6y  13y   x 2  x  4  e5x 
57


  x  2  cos 2x   x 2  3  sin 2x e 3x  x 2 cos x;
18. а) y  4y  3y   x 3  x 2  x  e 2x  xe3x  e5x cos x ,


б) y  y  4x 2  1 ex  x 3 cos 2x 
 2x
2

 5 cos x  sin x ;
19. а) y  16y   x 2  3x  e 4x  xe 2x  x 2e x sin 3x ,
б) y  2y  26y   x  2  e 2x   x cos6x  3sin 6x  e x 
  x 2 cos5x  5sin 5x  e  x ;
20. а) y  2y   x 2  3x  1   x 3  2x  e x   x cos3x  x 3 sin 3x  e5x ,
б) y  4y  8y   x  4  e 4x  x 2e 2x sin 2x    x  5 cos3x  sin3x  ;
21. а) y  y  6y   x 3  x 2  3 e  x   x 2  5x  e 2x  x 2 sin 2x ,
б) y  8y  20y  x 2e x  x cos6x   x cos 2x  x 2 sin 2x  e 4x ;
22. а) y  6y  8y  xe3x   x 2  1 e 4x  x 2 cos x ,
б) y  25y   x 3  x  e x   x 2  1 sin 5x 


  4x  3 cos x   x 2  5x  sin x e 2x ;
23. а) y  4y  3y   x 2  6x  e  x  x 3  x  xe x cos3x ,
б) y  6y  25y   x 2  x  e  x 


 x cos 4x   x 2  1 sin 4x e 3x   x 2  2x  cos x;
24. а) y  y   x 2  x  7  e 2x   x 3  x  e x  x 2 cos 2x ,




б) y  10y  34y  xe x  x cos3x  x 2  2 sin 3x e5x  x 3 sin 2x;
25. а) y  2y  8y   x 3  x 2  3 e x   x 2  x  2  e 2x  x sin 3x ,
б) y  8y  32y   x 2  1 e 3x  x 3 cos 2x   3cos 4x  x sin 4x  e 4x ;
26. а) y  3y  2y   x 3  x  2  e x   x 2  4x  e  x   x 2 cos x  x sin x  e3x ,
б) y  10y  50y  x 2e x  x 2e5x sin5x  x cos7x;
27. а) y  2y  3y   x 2  x  2  e x  x 3e 2x   x 2 cos3x  x sin 3x  e 4x ,
б) y  4y  20y   x  1 e3x   x 2 cos 4x  3sin 4x  e 2x  5cos x ;
28. а) y  4y   x 3  x 2  5  e3x  x 2e 2x   x 2 cos x   x  2  sin x  e6x ,
58


б) y  6y  34y   x 3  2    x  4  e 2x  2cos5x x 2  x sin 5x e 3x ;
29. а) y  y  6y   x 2  x  1 e 2x  x 3e 2x 


  x 2  x  cos 4x  x sin 4x e 3x ,






б) y  4y  5y   x 2  x  3 e  x  3cos x  x 2  1 sin x e 2x 
 x 2 sin5x;
30. а) y  5y  4y   x 2  x  4  e x   x 3  1   x cos 2x  x 2 sin 2x  e3x ,
б) y  9y   x 3  1 e2x 
  x 2 cos3x  2sin 3x  .
 x
2

 x  2  cos 4x  x sin 4x e x 
Задание 13
Решите задачу Коши.
y     y     1;
2
y  0    , y  0   1;
5
y  0   0, y  0   1;
y  0   10, y  0   4;
y  0   3, y  0   4;
1
3
y  0    , y  0   ;
6
2
y  0   2, y  0   0;
y  0   9, y  0   4;
y  0   1, y  0   1;
y  0   0, y  0   1;
y  0   2, y  0   0;
y  0   3, y  0   2;
y  0   5, y  0   6;
y  0   y  0   0;
y  0   2, y  0   3;
1) y  y  sin 2x  0,
2) y  y  2y  8sin 2x,
3) y  4y  cos2x,
4) y  5y  6y  52sin x,
5) y  y  2y  40cos2x,
6) y  5y  6y  13sin3x,
7) y  2y  8y  80cos2x,
8) y  4y  3y  6cos x  8sin x,
9) y  9y  20cos x,
10) y  5y  cos3x  3sin3x,
11) y  6y  6cos2x  sin 2x,
12) y  4y  3y  8cos x  6sin x,
13) y  3y  4y  17sin x,
14) y  2y  y  cos x  x,
15) y  2y  5y  10cos x,
y  0   0, y  0   1;
16) y  4y  4y  e2x sin3x,
59
y  0   1, y  0   0;
18) y  4y  8y  e x  2sin x  cos x  , y  0   y  0   0;
19) y  2y  3e x  sin x  cos x  ,
y  0   2, y  0   1;
20) y  y  2cos5x  3sin5x,
y(0)  3, y(0)  2 ;
21) y  2y  5y  17sin 2x,
y  0   0, y  0   3;
22) y  4y  4y  e2x sin 4x,
y  0   5, y  0   0;
17) y  6y  13y  e3x cos8x,
y  0   1, y  0   0,5;
y  0   1, y  0   0;
13
19
y  0   , y  0   ;
20
10
y  0   y  0   0;
y  0   y  0   0;
y  0   0,1, y  0   0;
23) y  2y  2e x  sin x  cos x  ,
24) y  9y  9  sin 3x  cos3x  ,
25) y  4y  8y  4sin 2x,
26) y  2y  y  2x  sin x,
27) y  3y  4y  5cos x,
28) y  y  sin 2 x,
y  0   1, y  0   0;
y  0   1, y  0   0.
29) y  9y  e3x cos x,
30) y  3y  4y  xcos x,
Задание 14
Найдите решение задачи Коши.
y  0   0, y  0   2;
1) y  7y  12y  e3x ,
2) y  2y  e x  x 2  x  3 ,
y  0   2, y  0   2;
3) y  4y  xe2x ,
1
;
32
y  0   5, y  0   0,5;
1
y  0   0, y  0   ;
9
y  0   0, y  0   2;
y  0   0, y  0  
4) y  y  2xex ,
5) y  5y  6y  x 2  x,
6) y  y  x  1,
y  0   2, y  0   3;
7) y  4y  5y  8ex ,
y  0   1, y  0   2;
8) y  6y  13y  25xe2x ,
y  0   1, y  0   1;
y  0   2, y  0   3;
9) y  6y  9y  9x 2  12x  2,
10) y  4y  4y  e2x ,
60
y  0   2, y  0   3;
11) y  4y  4y  xe2x ,
y  0   5, y  0   7;
y  0   0, y  0   1;
1
y  0   0, y  0    ;
5
y  0   0, y  0   1;
y  0   5, y  0   0,5;
1
y  0   , y  0   1;
8
y  0   y  0   1;
12) y  6y  8y  16x 2  4,
13) y  y  2ex  x 2 ,
14) y  3y  4y  e4x  xe x ,
15) y  2y  y  xe x ,
16) y  y  2x 2ex ,
17) y  2y  e2x  x 2  1,
18) y  y  2 1  x 2  ,
y  0   0, y  0   5;
19) y  16y  5e2x ,

x
2
y  0   0, y  0   2;
y  0   0, y  0   1;
20) 4y  y  3e ,
21) y  2y  5y  5x  2,
y  0   1, y  0   3;
y 1  1, y 1  0;
22) y  4y  x 2 ,
23) y  2y  2ex ,
y  0   4, y  0   3;
y  0   y  0   0;
y  0   y  0   1;
24) y  y  4ex ,
25) 5y  6y  5y  2x 2  x  2,
26) y  y  2 1  x  ,
y  0   1, y  0   3;
27) y  2y  y  ex  e x ,
x
28) y  4y  4y  2e 2x  ,
2
x
29) y  y  xe ,
y  0   0,5, y  0   1;
y  0   1, y  0   1;
y  0   0, y  0   2.
30) y  y  5x  2ex ,
Задание 15
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.
2.
3.
4.
y  3y  2y  1  x 2 .
y  y  x 2  x .
yIV  y  5(x  2)2 .
yIV  2y  y  x 2  x  1 .
5.
6.
7.
8.
61
y  y  6x 2  3x .
yIV  3y  3y  y  2x .
yIV  2y  y  y  2x(1  x) .
yV  yIV  2x  3 .
9. 3yIV  y  6x  1.
10. y  y  5x 2  1.
11. 7y  y  12x .
12. y  y  3x 2  2x  1.
13. yIV  3y  3y  y  x  3 .
14. y  4y  32  384x 2 .
15. y  y  49  24x 2 .
16. y  13y  12y  x  1.
17. y  y  6x  5 .
18. y  5y  6y  (x  1)2 .
19. y  13y  12y  18x 2  39 .
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
yIV  2y  y  4x 2 .
yIV  4y  4y  x  x 2 .
y  3y  2y  3x 2  2x .
y  y  4x 2  3x  2 .
yIV  2y  y  y  12x 2  6x .
yIV  2y  y  2  3x 2 .
y  2y  3x 2  x  4 .
yIV  y  x .
y  3y  2y  x 2  2x  3 .
yIV  6y  9y  3x  1 .
yIV  y  12x  6 .
Задание 16
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1. y  4y  5y  2y  (16  12x)e x .
2. y  3y  2y  (1  2x)ex .
3. y  y  y  y  (3x  7)e2x .
4. y  2y  y  (2x  5)e2x .
5. y  3y  4y  (18x  21)e x .
6. y  5y  8y  4y  (2x  5)ex .
7. y  4y  4y  (x  1)e x .
8. y  2y  y  (18x  21)e2x .
9. y  y  y  y  (8x  4)ex .
10. y  3y  2y  4x ex .
11. y  3y  2y  (4x  9)e2x .
12. y  4y  5y  2y  (12x  16)e x .
13. y  y  2y  (6x  11)e x .
14. y  y  2y  (6x  5)e x .
15. y  4y  4y  (9x  15)ex .
16. y  3y  y  3y  (4  8x)ex .
17. y  y  4y  4y  (7  6x)ex .
62
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
y  3y  2y  (1  2x)e x .
y  5y  7y  3y  (20  16x)e x .
y  4y  3y  4x e x .
y  5y  3y  9y  e x (32x  32) .
y  6y  9y  (20  16x)e x .
y  7y  15y  9y  (8x  12)ex .
y  y  5y  3y  (8x  4)ex .
y  5y  7y  3y  (16x  20)ex .
y  2y  3y  (8x  14)e x .
y  2y  3y  (8x  6)ex .
y  6y  9y  (16x  24)e x .
y  y  9y  9y  (12  16x)ex .
y  4y  3y  4(1  x)e x .
Задание 17
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1. y  2y  4ex (sin x  cos x) .
2. y  4y  4y  e2x sin 6x .
3. y  2y  2ex (sin x  cos x) .
4. y  y  2cos7x  3sin 7x .
5. y  2y  5y   sin 2x .
6. y  4y  8y  ex (5sin x  3cos x) .
7. y  2y  e2x (sin x  cos x) .
8. y  4y  4y  e2x sin3x .
9. y  6y  13y  e3x cos4x .
10. y  y  2cos3x  3sin3x) .
11. y  2y  5y  2sin x .
12. y  4y  8y  ex (3sin x  4cos x) .
13. y  2y  10ex (sin x  cos x) .
14. y  4y  4y  e2x sin5x .
15. y  y  2cos5x  3sin5x .
63
16.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
y  2y  5y  17sin 2x .
y  4y  8y  ex (3sin x  5cos x) .
y  2y  6ex (sin x  cos x) .
y  4y  4y  e2x sin 4x .
y  6y  13y  e3x cos5x .
y  y  2cos7x  3sin 7x .
y  2y  5y   cos x .
y  4y  8y  ex (2sin x  cos x) .
y  2y  3ex (sin x  cos x) .
y  4y  4y  e2x sin 4x .
y  6y  13y  e3x cos8x .
y  2y  5y  10cos x .
y  y  2cos4x  3sin 4x .
y  4y  8y  ex ( sin x  2cos x) .
Задание 18
Найдите общее решение дифференциального уравнения второго
порядка.
e x
e4x
1) y  2y  2y 
9) y  5y  6y 
;
;
2x
sin x
1 e
x
e
2) y  2y  y  5 ;
10) y  2y  y  ex ln x;
x
e4x
2
3) y  y  tg x;
11) y  3y  2y 
;
2x
1 e
4) y  4y  4y  e2x ln x;
1
;
5) y  y 
1  ex
12) y  y  e2x 1  e2x ;
9e3x
;
13) y  3y 
1  e3x
4
;
14) y  6y  8y 
1  e2x
9e3x
;
15) y  9y  18y 
1  e3x
4e 2x
;
16) y  6y  8y 
2  e2x
6) y  4y  8ctg2x;
7) y  2y  y  3e x x  1;
8) y  y  e2x cosex ;
64
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
e2x
y  4y  5y 
;
cos x
2
y  4y 
;
cos 2x
ex
y  y 
;
x
1 e
1
y  y 
;
cos 2x
e3x
y  6y  9y 
;
1 x
e 4x
y  8y  16y 
;
2
1 x
ex
y  2y  y 
;
2
4x
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
e x
y  y 
;
x
2e
e x
y  y 
;
2  e x
4e2x
y  6y  8y 
;
2x
1 e
16
y  16y 
;
sin 4x
ex
y  3y  2y 
;
1  e x
4e2x
y  2y 
;
1  e2x
1
y  4y 
.
cos 2 x
Задание 19
Решите системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
 dx
 dx

7x

9y,
 dt
 dt  3x  2y,
1) 

dy
  x  3y;
 dy  5x  y;
 dt
 dt
 x  4x  2y,
 x   x  2y,
2) 

 y  5x  2y;
 y  2x  y;
 x  2x  4y,
3) 
 y  6x  8y;
 x   x  2y,
4) 
 y  4x  5y;
 x  5x  3y,
5) 
 y  x  3y;
 x  7x  4y,
6) 
 y  4x  3y;
 x  4x  y,

 y  x  2y;
 x  5x  2y,

 y  13x  3y;
 x   7x  5y,

 y  5x  3y;
 x   x  3y,

 y  3x  5y;
65
 x   x  2y,
7) 
 y  2x  y;
 x  3x  2y,
8) 
 y  2x  3y;
 x  5x  4y,
9) 
 y  6x  3y;
 x   2x  5y,
10) 
 y  5x  8y;
 x  5x  6y,
11) 
 y  2x  3y;
 x  3x  y,
12) 
 y  x  3y;
 x   5x  2y,
13) 
 y  8x  3y;
 x  4x  6y,
14) 
 y  4x  2y;
 x  3x  y,
15) 
 y  8x  y;
 x  x  5y,
16) 
 y  5x  y;
 x   2x  3y,
17) 
 y  3x  8y;
 x  5x  2y,
18) 
 y  6x  3y;
 x   x  4y,
19) 
 y  2x  5y;
 x  2x  3y,
20) 
 y  3x  2y;
 x  3x  4y,
21) 
 y  4x  7y;
 x   4x  5y,

 y  x  2y;
 x  5x  4y,

 y  4x  3y;
 x   3x  13y,

 y  2x  7y;
 x  3x  2y,

 y  x  y;
 x   4x  y,

 y   x  2y;
 x  5x  2y,

 y  5x  3y;
 x  3x  5y,

 y  x  y;
 x   3x  y,

 y  x  y;
 x   2x  13y,

 y  2x  8y;
 x   4x  2y,

 y  x  2y;
 x  5x  y,

 y   x  3y;
 x  3x  y,

 y   x  y;
 x  3x  2y,

 y  5x  y;
 x  5x  y,

 y  5x  3y;
 x   x  5y,

 y  2x  5y;
66
 x   3x  2y,
22) 
 y  x  2y;
 x  8x  3y,
23) 
 y  7x  2y;
 x  8x  6y,
24) 
 y  4x  2y;
 x  3x  y,
25) 
 y  9x  7y;
 x  2x  y,
26) 
 y  2x  3y;
 x  8x  3y,
27) 
 y  3x  2y;
 x  5x  4y,
28) 
 y  2x  3y;
 x  2x  7y,
29) 
 y  3x  8y;
 x   4x  y,
30) 
 y   x  4y;
 x  5x  2y,

 y  8x  3y;
 x  8x  2y,

 y  13x  2y;
 x  5x  3y,

 y  3x  y;
 x   5x  2y,

 y  x  3y;
 x  4x  17y,

 y  x  2y;
 x  3x  5y,

 y  5x  7y;
 x  8x  5y,

 y  5x  2y;
 x  5x  y,

 y  x  3y;
 x  7x  2y,

 y  13x  3y.
Задание 20
Решите системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
 dx
 dx
2t

4x

y

e
,
 dt
 dt  2x  4y  8,
1) 
3) 
 dy  y  2x;
 dy  3x  6y;
 dt
 dt
 dx
 dx

2y

x

1,
 dt  4x  3y  sin t,
 dt
2) 
4) 
dy
 dy  2x  y  2cos t;
  3y  2x;
 dt
 dt
67
 dx
 dt  x  2y,
5) 
 dy  x  5sin t ;
 dt
 dx
 dt  2x  4y,
6) 
 dy  x  3y  3e t ;
 dt
 dx
 dt  2x  3y,
7) 
 dy  x  2y  2sin t;
 dt
 dx
2t
 dt  4x  y  e ,
8) 
 dy  y  2x;
 dt
 dx
 dt  3x  2y  t,
9) 
 dy  3x  4y;
 dt
 dx
 dt  x  y,
10) 
 dy  x  y  e t ;
 dt
 dx
t

2x

y

2e
,
 dt
11) 
 dy  x  2y  3e t ;
 dt
 dx
 dt  2x  y,
12) 
 dy  3x  4y;
 dt
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
68
 dx
 dt  2x  y,

 dy  x  2e t ;
 dt
 dx
 dt  2x  4y,

 dy  x  3y  3e t ;
 dt
 dx
5t

3x

2y

4e
,
 dt

 dy  x  2y;
 dt
 dx
5t
 dt  5x  3y  e ,

 dy  3y  3e5t ;
 dt
 dx
5t


5x

3y

e
,
 dt

 dy  3y  3e5t ;
 dt
 dx
7t
 dt  7x  2y  e ,

 dy  3y  e7 t ;
 dt
 dx
t

3x

4y

e
,
 dt

 dy  5x  y  te t ;
 dt
 dx
 dt  5x  y,

 dy  9x  5y;
 dt
21)
22)
23)
24)
25)
 dx
 dt  x  y  8t,

 dy  5x  y;
 dt
 dx
 dt  2x  y  cos t,

 dy   x  2sin t;
 dt
 dx
 dt  3x  y,

 dy  4x  y  2e t ;
 dt
 dx
 dt  2x  y  sin t,

 dy  4x  2y  cos t;
 dt
 dx
t

5x

4y

e
,
 dt

 dy  4x  5y  1;
 dt
26)
27)
28)
29)
30)
 dx
 dt

 dy
 dt
 dx
 dt

 dy
 dt
 dx
 dt

 dy
 dt
 dx
 dt

 dy
 dt
 dx
 dt

 dy
 dt
 y  cos t,
  x  sin t;
 3x  4y  2t,
 x  y  t;
 4x  y  5t  1,
 x  2y  t  1;
 e t  y,
 e  t  x;
 5x  y  e t ,
 9x  5y  te t .
Задание 21
Найдите решение задачи.
1. Пусть N(t) – количество бактерий в сосуде. Известно, что
производная N(t) (скорость размножения бактерий) пропорциональна
N(t) с коэффициентом пропорциональности k. Определить k, если в 10
часов в сосуде было 2 000 бактерий, а в 12 часов уже 32 000.
2. Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой
касания и осью ординат относится к отрезку касательной между осями
как 2:3.
3. В полностью заполненном баке находится 200 литров водного
раствора соли с содержанием соли 40 кг. В 9.00 включается устройство,
которое подает в бак 20 литров 10-процентного раствора соли в минуту.
69
После мгновенного перемешивания столько же раствора выливается.
Найти время, за которое в баке будет 12-процентный раствор соли.
4. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(2; 10),
обладающую тем свойством, что площадь трапеции, ограниченной
осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть
величина постоянная, равная 9 см2.
5. Скорость остывания воды в чайнике пропорциональна разности
температур чайника и кухни. Чайник выключился в 10.20 при
температуре воды 100° С. В 10.30 температура воды в чайнике была
80° С. Найти время, за которое температура воды в чайнике будет равна
40° С, если температура воздуха на кухне 20° С.
6. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (4; 2) и
обладающую тем свойством, что площадь треугольника, образованного
касательной, осью абсцисс и перпендикуляром, проведенным из точки
касания к оси Ох, есть величина постоянная, равная 4.
7. 1 января 1980 года было захоронено 2 500 кг радиоактивного
вещества. На 1 января 2000 года от него осталось 2 000 кг. Сколько
радиоактивного вещества будет в захоронении на 1 января 2300 года?
8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 4) и
обладающей тем свойством, что отношение длины радиус-вектора к
длине отрезка, отсекаемого касательной на оси Оу, равно 3.
9. Пусть N(t) – количество бактерий в сосуде. Известно, что
N(0)=20, N(10)=1 000, производная N(t) (скорость размножения
бактерий) пропорциональна N(t). Определить момент времени, когда
число бактерий будет равно 2 000 000.
10. Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой
касания и осью абсцисс относится к отрезку касательной между осями
как 3:4.
11. Рыболовецкий бот движется по заливу со скоростью 25 км/ч.
Через 1 минуту после остановки двигателя его скорость составила 15
км/ч. Считая, что сопротивление воды пропорционально квадрату
скорости лодки, найти скорость лодки через 3 минуты после остановки
двигателя.
12. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(3; 8),
обладающую тем свойством, что площадь трапеции, ограниченной
осями координат, касательной и абсциссой точки касания, есть
величина постоянная, равная 10 см2.
70
13. Найти N(t) – количество бактерий в сосуде, если N(0)=10,
производная N(t) (скорость размножения бактерий) равна сумме двух
слагаемых, одно из которых равно 50  N(t) , а другое – 0,2  N2 (t) .
14. Найти уравнение кривой, проходящую через точку (3; 4) и
обладающую тем свойством, что площадь треугольника, образованного
касательной, осью ординат и перпендикуляром, проведенным из точки
касания к оси Оу, есть величина постоянная, равная 5.
15. Пусть N(t) – количество бактерий в сосуде. Известно, что
производная N(t) (скорость размножения бактерий) пропорциональна
N(t) с коэффициентом пропорциональности k. Определить k, если в 13
часов в сосуде было 1 000 бактерий, а в 16 часов уже 25 000.
16. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (4; 2),
обладающую тем свойством, что отношение длины радиус-вектора к
длине отрезка, отсекаемого касательной на оси Ох, равно 2.
17. В полностью заполненном баке находится 300 литров водного
раствора соли с содержанием соли 36 кг. В 10.00 включается
устройство, которое подает в бак 10 литров 20-процентного раствора
соли в минуту. После мгновенного перемешивания столько же раствора
выливается. Найти время, за которое в баке будет 15-процентный
раствор соли.
18. Найти все линии, у которых отрезок касательной между осями
относится к отрезку касательной между точкой касания и осью ординат
как 2:5.
19. Скорость остывания заготовки пропорциональна разности
температуры заготовки и воздуха. Заготовка была отлита в 9.00 при
нагреве ее на 300° С. В 9.40 температура заготовки была 120° С. Найти
время, за которое температура заготовки будет равна 50° С, если
температура в цехе 20° С.
20. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1; 6),
обладающую тем свойством, что площадь трапеции, ограниченной
осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть
величина постоянная, равная 8 см2.
21. 1 января 1990 года было захоронено 3 000 кг радиоактивного
вещества. На 1 января 2000 года от него осталось 2 400 кг. Сколько
радиоактивного вещества будет в захоронении на 1 января 2200 года?
22. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (–3; 1),
обладающую тем свойством, что площадь треугольника, образованного
71
касательной, осью абсцисс и перпендикуляром, проведенным из точки
касания к оси Ох, есть величина постоянная, равная 5.
23. Пусть N(t) – количество бактерий в сосуде. Известно, что
N(0)  30, N(20)  1500 , производная N(t) (скорость размножения
бактерий) пропорциональна N(t) . Определить момент времени, когда
число бактерий будет равно 1 000 000.
24. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 3),
обладающую тем свойством, что отношение длины отрезка,
отсекаемого касательной на оси Оу, к длине радиус-вектора равно 2.
25. Пуля попадает в дерево со скоростью 500 м/с. Через одну
сотую доли секунды ее скорость составила 400 м/с. Считая, что сила
сопротивления пропорциональна квадрату скорости пули, найти
скорость пули через две сотых доли секунды после попадания в дерево.
26. Найти все линии, у которых отрезок касательной между осями
относится к отрезку касательной между точкой касания и осью абсцисс
как 3:5.
27. Найти N(t) – количество бактерий в сосуде, если N(0)=20,
производная N(t) (скорость размножения бактерий) равна сумме двух
слагаемых, одно из которых равно 40  N(t) , а другое 0,1 N2 (t).
28. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1;5),
обладающую тем свойством, что площадь трапеции, ограниченной
осями координат, касательной и абсциссой точки касания, есть
величина постоянная, равная 8 см2.
29. Пусть N(t) – количество бактерий в сосуде. Известно, что
производная N(t) (скорость размножения бактерий) пропорциональна
N(t) с коэффициентом пропорциональности k. Определить k, если в 10
часов в сосуде было 800 бактерий, а в 14 часов уже 20 000.
30. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 5),
обладающую тем свойством, что площадь треугольника, образованного
касательной, осью ординат и перпендикуляром, проведенным из точки
касания к оси Оу, есть величина постоянная, равная 4.
31. В полностью заполненном баке находится 150 литров водного
раствора соли с содержанием соли 18 кг. В 16.00 включается
устройство, которое подает в бак 5 литров 6-процентного раствора соли
в минуту. После мгновенного перемешивания столько же раствора
выливается. Найти время, за которое в баке будет 10-процентный
раствор соли.
72