26.01.09 Цифровая обработка радиолокационных сигналов в

ФЕДЕРАЛЬНОЕ КОСМИЧЕСКОЕ АГЕНСТВО
ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт (ЦНИРТИ) им.
академика А. И. Берга»
Ю. Н. Горбунов
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ В
УСЛОВИЯХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГРУБОГО (МАЛОРАЗРЯДНОГО)
КВАНТОВАНИЯ
Монография
Москва – 2007 г.
-2-
УДК 621.396.96
Горбунов Ю. Н. Цифровая обработка радиолокационных сигналов в
условиях использования грубого (малоразрядного) квантования: Монография
/ Федеральное космическое агентство, ФГУП «Центральный научноисследовательский институт (ЦНИРТИ) им. академика А. И. Берга» - М.,
2007. 87 с.
Рассмотрены вопросы реализации цифровой малоразрядной обработки
радиолокационных сигналов в условиях технических ограничений по массе,
габаритам, быстродействию. Монография написана для аспирантов,
студентов, инженерно-технических работников. Она может быть полезной
также при изучении дисциплин «Военная радиоэлектроника», «Радиолокация
и радионавигация».
Табл.1, Ил.54, Библиогр.: 10 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета ФГУП
«ЦНИРТИ им. академика А. И. Берга».
Рецензенты:
Национальный научно-технический центр радиоэлектронной разведки
и радиоэлектронной борьбы (НТЦ РЭБ), д.т.н., профессор А. М. Бородин.
Кафедра №44-2. Радио ВТУз Московского авиационного института
(МАИ), к.т.н., доцент В. Г. Морозов
© Ю. Н. Горбунов, 2008
© ФГУП «ЦНИРТИ им. академика А. И. Берга», 2008
-3-
1.
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ ЦИФРОВОЙ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕНИЙ НА
РЕСУРСЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ
1.1. Цифровая обработка сигналов в условиях ограничений.
Системы цифровой обработки радиолокационных сигналов в течение ряда
лет находят широкое применение в радиолокационных комплексах (РЛК)
бортового и наземного базирования, дальнейшее развитие которых связанно
с совмещением в одном комплексе функций РЛС, радиотехнической
разведки (РТР), радиоэлектронной борьбы (РЭБ), связи, навигации,
госопознавания и др., т.е. с разработкой интегрированного РЛК.
Гибкость структуры МФ РЛК обеспечивается применением дискретной
цифровой
пространственно-временной
(ПВ)
обработки
сигналов,
применением фазированных антенных решеток (ФАР), цифровых
перепрограммируемых (ПЛИС) и с «жёсткой логикой» интегральных
микросхем и процессоров обработки сигналов, информационноуправляющих
вычислительных
машин,
а
также
когерентного
приемопередающего тракта.
Сложность построения цифровой системы обработки ПВ-сигналов в
значительной степени определяется разрядностью обрабатываемых
информационных массивов. При параллельной обработке информации (на
регистровом и топологическом уровнях, в параллельных интерфейсах)
разрядность информационных потоков радиолокационных данных напрямую
определяет техническую сложность построения аппаратуры (умножители,
арифметико-логические устройства, нормализаторы задержек). При
последовательной обработке техническая реализация упрощается, однако
увеличивается время обработки, снижается быстродействие системы.
Поэтому, при прочих равных условиях, разрядность радиолокационных
данных (разрядность АЦП, цифровых фильтров и т. п.), частота
дискретизации, размеры окон пространственных и временных выборок
должны быть выбраны по возможности минимальными, однако это
становится несовместимым с требованием обеспечения высокой
эффективности работы системы обработки, т. к. растут шумы квантования и
боковые лепестки, возникают эффекты стробоскопического характера –
«слепые фазы», «слепые направления», «слепые скорости», проявляются
нелинейности амплитудных характеристик типа: «зона нечувствительности»,
«люфт», «жёсткое ограничения» и другие.
В работах российских и зарубежных авторов исследованы вопросы
анализа и синтеза цифровых устройств и алгоритмов обработки
радиолокационной информации, однако специальные разделы, относящиеся
к “грубому“ (малоразрядному, малоуровнему) квантованию исследованы
недостаточно. Многие авторы для учета шума квантования увеличивают
входной шум на величину эквивалентной по мощности дисперсии шума
квантования D∆ =∆2 /12, что соответствует СКО σ∆ =∆/2√3, где ∆ - цена
младшего разряда АЦП.
-4-
В работах С.З. Кузьмина, В.А. Лихарева и др.
показано, что ценой потерь 1÷1,5 дБ при обнаружении сигнала на фоне шума
достаточно на входе системы обработки иметь бинарное квантование, однако
при обнаружении сигнала на фоне коррелированных помех, цветного шума
разрядность АЦП увеличивается до 8÷10. Упомянутый упрощенный учет
шума квантования предполагает, что СКО собственного шума приемника σ и
амплитуда сигнала А соизмерима или существенно превышает шаг
квантования ∆, однако при работе когерентно-импульсных РЛС с СДЦ (на
фоне мощных отражений от подстилающей поверхности или гидрометеоров)
наблюдаются эффекты ограничения сигналов, когда слабый полезный сигнал
подавляется мощными помехами, а его амплитуда становится соизмеримой
или меньше ∆.
Без применения специальных мер и ориентировка лишь на накопление
(усреднение) сигналов не всегда позволяет достичь желаемого результата,
т.к. «грубые» отсчеты (ГО) являются «ущербными» и их использование, как
правило, связанно с теми или иными потерями (мощности сигналов,
информации), что является проблемой для построения РЛК в условиях
технических ограничений.
Здесь следует отметить, что «зашумление» (рандомизация),
осуществляемое в рамках разрабатываемой теории, принципиальным
образом отличается от естественного зашумления: «дробовой эффект» (в
электровакуумных
приборах), flikker – шум (в полупроводниковых
приборах), внешний шум (в системах РЭБ) и это принципиальное отличие
связано с точным знанием шумовых реализаций, рандомизирующих процесс
аналого-цифрового
преобразования
(измерения).
Технически
это
обеспечивается запоминанием вводимых (по-существу псевдослучайных)
реализаций, которые учитываются при дальнейшей обработке.
Научная постановка задачи. В качестве базовой может быть взята
теория радиолокационного обнаружения сигналов, однако в ней учтены
эффекты дискретизации и квантования. В терминологии Д. Миддлонта
уточнена постановка задачи обнаружения.
Задача приёма сигнала на фоне шума формулируется в рамках теории
статистических решений. В общем случае сигнал подвергается ряду
преобразований {w}  TR{N ,M ,L} , TZ{N ,M ,L} , TТ{N ,M ,L} , где w – совокупность
переданных, принятых сообщений или вытекающих из них решений;
TR{N ,M ,L} , TZ{N ,M ,L} , TТ{N ,M ,L} - операция приёма, операция характеризующая
влияние среды и операция передачи соответственно, N- размер временного
окна, MxL – размеры пространственного окна.
В классической теории решений проектировщик системы не может
управлять сигналом на входе: операция передачи TТ{ N ,M ,L} задаётся априори,
все сигналы заданы наперёд вместе с вероятностями наступления каждого из
них, и проектировщик не может изменять эти данные, т. е. заданы
распределения принимаемых сигналов
-5-

 
FN,M,L( Х /0) и FN,M,L( Х / S ),
(1.1)
 
где Х и S – N,M,L – мерные векторы пространства наблюдений и
сигналов.
В разделе сформулирован принцип, позволяющий расширить границы
применимости теории, основанной на искусственной и естественной
рандомизации процесса обработки путём «зашумления» (рандомизации).
Рассмотрены вопросы обнаружения сигналов на фоне шума и помех активных (АП) и пассивных помех (ПП) с учётом «грубого» квантования
сигналов в различных сигнально-помеховых ситуациях при реализации
режимов «согласованной фильтрации на фоне шума», «обеления ПП»,
«обеления АП» и др.
Для этих случаев подробно исследована совокупность технических
приёмов обеления шумов квантования, что отражено в работе введением
понятия «рандомизация» (Р). В некоторых случаях будет применён термин
линеаризация, полагая, что рандомизация обладает свойством линеаризации
нелинейностей дискретизаторов, формирующих «грубые отсчеты». Термин
randome (случайный) предполагает искусственное введение случайностей
(случайные пороги, случайные аддитивные учитываемые добавки, случайные
весовые коэффициенты и др.) в процедуру обеления шумов квантования,
обусловленных дискретизацией. Процедуры подобного типа известны в
литературе, однако систематизированное и научное изложение данного
вопроса на сегодня отсутствует. В ФГУП ЦНИРТИ им. академика А.И.Берга
спроектирован целый ряд конкретных устройств, реализирующих различные
способы обеления («рандомизации», «стохастической линеаризации»,
«накачки», «вобуляции» и т.п).
Предложеный метод, базирующийся на идейной основе метода МонтеКарло, является инструментом, разрешающим компромисс между «грубым
квантованием» и размерами окна ПВ-выборок. Цель исследования найти и
оценить количественный ресурс ПВ-обработки, достаточный для получения
заданной эффективности в сформулированных условиях наличия помех,
эффектов дискретизации и квантования, и, таким образом, доказать, что
метод Монте-Карло, ранее известный и широко используемый в основном в
вычислительной математике, своими техническими приложениями может
быть применен в рамках новой теории.
Сформулирован подкласс задач, который отличается тем, что в
формировании пространства наблюдений принимает участие Наблюдатель,
так что плотности вероятности выборки шума и смеси сигнала с шумом и
помехами задаются в виде


  
FN,M,L( Х /0,  N ,M ,L ) и FN,M,L( Х / S ,  N ,M ,L ),
(1.2)

где  N ,M ,L – вектор рандомизирующего процесса параметров
распределений, выбираемый Наблюдателем в пространстве параметров.
-6-
Принадлежащие данному подклассу задачи названы задачами с
варьируемыми случайными параметрами распределений, что показано на
рис. 1.1


 
TZ{N,M,L}TТ{N,M,L}  FN,M,L Х / S

  
TZ{N,M,L}TТ{N,M,L}  FN,M,L Х / S,  N,M,L

Х

Х
а).


 N ,M ,L =var
б).
Рис. 1.1 Общая схема формирования пространства наблюдений:
а – классическая постановка задачи;
б – задача с варьируемыми случайными параметрами.
В предлагаемом классе задач Наблюдатель получает дополнительную
степень свободы помимо тех, которые имеются в задачах в классической
постановке (назначение цен за ошибки при критерии среднего риска или
назначение вероятности ложной тревоги при критерии Неймана-Пирсона).
Но степень свободы, в рассматриваемом классе задач, связанна с
необходимостью и возможностью учёта параметров самих распределений
выборки.

Задача выбора наблюдателем вектора  N ,M ,L параметров распределения
выборки решается в рамках самой задачи обнаружения.
Таким образом, отыскивается оптимальная операция приёма
(обработки) данных для поставленного класса задач. Обозначим эту
операцию по аналогии с операцией TR{ N ,M ,L} как TR~{ N ,M ,L} . Поскольку операция
TR~{ N ,M ,L} по определению является оптимальной, она должна переходить в
операцию TR{ N ,M ,L} , когда наблюдателем выбран вектор параметров


когда распределения (1.2) переходят в
 N,M,L.оpt    N,M,L , т. е.
распределения (1.1) и тем самым однозначно (в статистическом смысле)
определяется пространство наблюдений,


~
Т (RN ,M ,L ) {Х}  Т S Т (RN ,M ,L ) {Х} ,
(1.3)

где Т S - операция выбора (select) оптимального вектора  N ,M ,L .
~
Таким образом, нахождение Т (RN ,M ,L ) сводится к отысканию операции


Т S .
Строгое аналитическое доказательство существования оптимального

вектора  пока проблематично, однако при решении конкретных задач в
работе найдено множество условных оптимумов, достигаемых в конкретных
-7-
устройствах,
реализующих
оригинальные
процедуры
(уменьшения) эффектов дискретизации и квантования.
устранения
1.2 Квантование сигналов как процесс квантования распределений
Предположим, что выборочные значения сигнала x n , n=0,1,2…N-1
имеют распределение, описываемое характеристической функцией
W ()  Me
 jx n

   x e
n
 jx n
dx n ,
(1.3)

где знак М
 - математическое ожидание, ωх n  - квантуемое
распределение.
Выражение (3) по форме аналогично преобразованию Фурье,
записанному для круговой частоты  . В ряде случаев функцию W ()
можно ограничить некоторой частотой  max  2Fmax и считать
0, Fmax 
распределение ( x n ) функцией с ограниченным в полосе
спектром.
Формально, по теореме отсчетов такую функцию можно заменить
последовательностью равноотстоящих значений, взятых через интервалы
1
.

2Fmax
Рассматривая в качестве функции, подлежащей квантованию,
распределение ( x n ) , а не сигнал x n , мы, тем самым, ограничиваемся
восстановлением моментов распределения исходного сигнала по квантовым
данным, а не ставим задачу восстановления самого сигнала. С этой точки
зрения достаточным может оказаться «грубое» (вплоть до двоичного)
квантование сигнала по уровню в тех случаях, когда не ставится задача
воспроизведения по квантованным данным исходного сигнала x n , а
необходимо лишь решить, например, задачу обнаружения в принимаемой
смеси x n полезного сигнала s n .
Заметим также, что для конкретных условий квантования можно
установить вполне конкретные соответствия между моментами
распределения x n
и
x *n . Например, для способа округления «до
ближайшего целого» [6], если мощность шума приемного устройства
 2  2 , где Δ – дискрета квантования в АЦП
(1.4)
M1x n   M1 x *n ;
 
2
M1 x 2n   M12 x *n 
.
12
(1.5)
Соотношения подобного рода называются поправками Шеппарда [1].
Если условие  2  2 не выполняется, соотношения (1.4) и (1.5)
становятся приближенными, возникают погрешности в квантовании
распределений. Далее мы покажем, что в таких
ситуациях за счет
-8-
рандомизации можно искусственно создать условия, при которых можно
установить точное соответствие между моментами распределения x n и x *n .
1.3. Стохастические АЦП использующие ресурсы временной и
пространственной обработки
Аналого-цифровое преобразование как процесс стохастического
оценивания. Учёт шума квантования представлять интерес выявления
соотношений между интервалом квантования  АЦП, мощностью шума
(помехи)
и
статистическими
характеристиками
шумового
рандомизирующего напряжения.
На основе теории статистических оценок получим формулы для
среднеквадратических значений уровня шумов квантования в зависимости от
статистических характеристик компонентов вектора шумового напряжения
смещения и числа N совместно обрабатываемых отсчетов.
При анализе предположим, что за время обработки изменением
измеряемого параметра можно пренебречь. Инструментальную погрешность
будем уменьшать за счет рандомизированной обработки, так как простое
усреднение грубых отсчетов с большим элементом дискретности (квантом)
 по серии N импульсов на приводит к увеличению точности
преобразования, поскольку при малом изменении измеряемого параметра в
пределах серии N импульсов и малом уровне шумов (  ) ошибки
отдельных отсчетов практически имеют одинаковую величину и знак.
Разрушить жесткую числовую структуру цифрового преобразования и
создать условия, при которых ошибки (шумы) квантования отдельных
слагаемых будут иметь разные знаки и при усреднении компенсировать друг
друга,
позволяют
рандомизированные
процедуры
(алгоритмы)
преобразования, использующие в отличие от детерминированных случайных
эксперимент (случайное смещение порогов, «подмешивание» случайного
компонента во входной сигнал и т. д.). В дальнейшем процедуры такого рода
назовем рандомизацией.
В задачах аналого-цифрового преобразования, как и в задачах
измерения, оказывается возможным с позиции теории статистических оценок
определить основные операции, выполняемые некоторым идеализированным
устройством преобразования, имеющим не своем входе дискретизатор в виде
рандомизированного АЦП. Основной операцией, осуществляемой таким
устройством,
является
формирование
функции
правдоподобия
*
*
*
L N (x)  W(x N / x) измеряемого параметра x , где x N  (x 1 , x *2 ,..., x *N )  N мерная вектор-выборка отсчетов x *i , i  1,2,..., N с выхода АЦП.
При отсутствии априорной информации о преобразуемом параметре
частот используют оценку максимального правдоподобия, являющейся
решением уравнения правдоподобия
 L N (x)
 0 xx .
(1.6)
x
МП
-9-
Для отыскания оценки максимального правдоподобия в [2] была
решена
задача
формирования
специальной
случайной
добавки

 N  ( 1 ,  2 ,..., N ) , каждый компонент которого распределен по закону
       
W ( i ) на интервале  i  
,
, дополняющим интервал
2
2


флуктуаций шума   до  .
В этом случае
x
pi 

2
 W(i  x)di ,
(1.7)
N
где i  y i   i - i -й компонент суммарного вектора случайного

i ,
воздействия  N  (1 ,  2 ,...,  N ) ;
W ( i ) - закон распределения
определяемый как свертка W ( y i ) и W ( x i ) . Все дальнейшие результаты
получим для равномерного распределения W ( i ) , которое не может быть
найдено как результат свертки любых невырожденных распределений
W ( y i ) и W ( i ) , однако при отсутствии флюктуаций, когда   0 , такое
возможно.

Вектор  N в общем виде - это коррелированная выборка, в связи с чем
представляет особый интерес исследование качества оценок максимального
правдоподобия при различных статистических связях отсчетов x *i , i  1,2,..., N
между собой. В этом случае функция правдоподобия L N ( x ) определяется в
соответсвтии с общей теоремой повторения зависимых опытов. Независимые
опыты рассматриваются как частный случай.


Если  N   N  0 , т. е. рандомизации искусственная и естественная

отсутствуют, максимальная ошибка преобразования равна  .
2

Если вектор  N представляет собой коррелированную выборку, такую,
что преобразования на отдельных отсчетах зависимы и связаны простой
однородной цепью Маркова [6], причем вероятность события  i 1  1 равна
 при  i  1 и  при  i  0 , т. е. задана двумерная матрица переходных
вероятностей
 1 
.
ij 
 1 
Использование этой модели позволило авторам [2] получить
выражение для среднеквадратической ошибки
 pq
pq
N 1
 x   M( x М .П.  x ) 2   
(1 
)
.
(1.8)
N
N
N
- 10 -
Из (1.8) видно, что при зависимых по Маркову преобразованиях x
среднеквадратическая ошибка уменьшается в зависимости от N как 1 N
вместо 1 N для случая независимых преобразований. В других точках
скорость уменьшения среднеквадратической ошибки ниже.
Полученный результата весьма условен, так как
δ  α  β  1
означает, что   0 , а   1, т. е. марковская последовательность  i 
вырождается в неслучайную регулярную последовательность  i  0,1, 0,1,... ,
N

которая дает оценку x*    i такую, что lim x*  x , приближающуюся
i 1 N
n 

к ней как гармонический ряд только в точке x  .
2
Для произвольных  и  вытекает условие получения выигрыша в
2( N  1)pq
точности за счет отрицательного слагаемого
, при   0 ,
N 2 (1  )
означающего выполнение неравенства    .
Очевидно, что при     0 имеем коэффициент корреляции i-го и
(i+1)-го отчётов i,i1  0 , что подтверждает предположение о
необходимости использования отрицательно-коррелированных компонентов

в векторе шума  N , что доказано в [2].
Построение цифровых режекторных фильтров и компенсаторов
помех по частоте и направлению. Среди большого многообразия
известных способов обработки наибольшее распространение получили
системы ПВ-обработки типа «режекторный фильтр – когерентный
накопитель» (РФ – КН). При большой разрядности АЦП ( L  8 ) указанный
способ является способом оптимальной согласованной фильтрации сигналов
на фоне коррелированных помех, осуществляющим «обеление» пассивных
помех в РФ и накопление сигналов КН. Одной из проблем, которая возникает
перед разработчиками устройств обработки, реализующих вышеупомянутый
алгоритм, является отсутствие соотношений, оценивающих эффективность
выделения полезных сигналов по уровню. Идея исследуемого метода состоит
во введении на вход АЦП шумового напряжения смещения,
рандомизирующего процесс квантования. В результате, квантование входного
сигнала осуществляется с помощью случайной шкалы.
В самом общем случае необходимо оценить потенциальные (с учетом
собственного шума приемника) возможности подавления пассивных помех в
системе обработки, реализующих алгоритмы ПВ-фильтрации на основе
стохастического АЦП с малым числом разрядов, поскольку увеличение
разрядности квантования в дальнейшем обеспечивается за счет накопления.
Алгоритм фильтрации РФ – КН будет конкретизирован следующим
образом: в качестве РФ применим нерекурсивный фильтр r -го порядка, а в
- 11 -
качестве КН – алгоритм дискретного преобразования Фурье (ДПФ)
размерностью N . Необходимо также выявить основные соотношения между
шагом квантования АЦП  , мощностью шума  2 , мощностью помехи  2П и
статистическими характеристиками вектора шумового напряжения смещения

 r n в зависимости от ПВ-распределения помех.
Как и в задаче цифрового измерения дальности, по-видимому, при
заданной мощности помехи 
2
П


(

) должен
закон распределения
r N
зависеть от мощностей  2 и  2П и шага дискретизации  . Ниже будет
показано, что линеаризация амплитудной характеристики АЦП может быть
достигнута за счет рандомизированного квантования, что достигается
совместным действием шума приемника и шумового напряжения смещения

 r N , причем эффект от рандомизации ожидается тем выше, чем больше


отношение между смещением
и шумом приемника. Сказанное
r N

относится к случаю использования векторов  r N с коррелированными

элементами  i , i  1,2,..., r  N .
Особое внимание уделим исследованию наиболее важного для
практики случая L  1, соответствующего квантованию сигнала на два
уровня. Без применения рандомизации алгоритмы фильтрации РФ – КН для
указанного случая оказываются практически непригодными. При
рандомизации появляется возможность получения удовлетворительного
качества подавления помех за счет увеличения порядка r РФ и числа N
обрабатываемых импульсов в КН.
Входными воздействиями для АЦП при обычной (детерминированной)
обработке являются квадратурные составляющие x c и x s - соответственно
реальная (косинусная) и мнимая (синусная) части комплексного вектора x
(здесь индексы « c » и « s » означают косинусную и синусную составляющие
входного сигнала).
Отличительная особенность схемы рандомизированной обработки –
наличие генератора случайной добавки (ГСД), предназначенного для

выработки случайной добавки  r n . Каждый компонент добавки
  
распределен равномерно на интервале 0,  или  ,  и
 2 2
«подмешивается» к сигналу до АЦП.
Анализ, проведённый в [2] показал, что степень подавления
коррелированных помех в случае рандомизированной обработки
определяется не только разрядностью
r
L АЦП, но и порядком
режекторного фильтра, а также числом n анализируемых отсчетов в блоке
ДПФ. Выбирая соответствующим образом параметры N и r , можно
существенно сократить число уровней квантования M  2 L для достижения
требуемого подавления. При детерминированной обработке, степень
- 12 -
подавления определяется разрядностью
L АЦП, при этом удельное
подавление в расчете на один двоичный разряд не превышает 6дБ.
Проанализируем далее ситуацию обнаружения слабых сигналов.
Нелинейность ступенчатой амплитудной характеристики приводит к тому,
что если амплитуда полезного сигнала S  Qx /  , где x  C  S , Qx /  функция расстояния до ближайшего целого x /  , то за счет нелинейности
типа «зона нечувствительности» такая цель при обработке теряется.
Рандомизация обработки позволяет линеаризовать указанную нелинейность
и таким образом обнаружить сигнал от цели, находящейся внутри кванта
АЦП [2].
Из полученных в работе [2] формул следует, что заданный
коэффициент улучшения рандомизированного фильтра СДЦ при
соответствующем выборе параметров N и r РФ и КН может быть достигнут
при меньшем, чем при детерминированной обработке числе уровней
квантования во входном АЦП.
В качественном плане результаты проведенного анализа справедливы
для построения систем ПВ-обработки, где с помощью пространственного РФ
формируются провалы в диаграмме направленности ФАР радара, а КН типа
ДПФ осуществляет когерентное накопление сигнала с k -ого углового
направления. В то же время фильтрация сигналов и помех по угловым
направлениям имеет свои особенности, которые мы рассмотрим ниже.
2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ,
ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ ПО ВРЕМЕНИ И ПРОСТРАНСТВУ В
СИСТЕМАХ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
2.1. Теорема отсчетов для случая детерминированного
стохастического квантования времени и пространства.
и
Введение и постановка задачи. Рассматриваются: восстановление
дискретизированных по времени и пространству сигнальных полей в
системах пространственно-временной обработки в связи с необходимостью
их фильтрации по обычным и пространственным частотам (угловым
направлениям), включая применение стохастических шкал квантования.
Дискретизация времени и пространства с допустимыми потерями
необходима для дискретной и цифровой обработки.
В.А.Котельников в работе [3] сформулировал условия, при которых
такая дискретизация возможна. Финитные сигналы, ограниченные по спектру
или времени разлагаются в ряд Котельникова и это сыграло огромную роль в
технике электро и радиосвязи, радиофизике, оптике [4], теории синтеза
антенн [5] и других разнообразных приложениях.
- 13 -
В настоящем разделе рассмотрим дискретизацию сигналов с
использованием эквидистантных и неэквидистантных стохастических шкал.
Особое внимание уделим дискретизации пространственных частот (угловых
направлений) в многооктавных и широкоугольных ФАР, перекрывающих
сектор угловых направлений возможного прихода сигналов веером узких
лучей. Такую обработку называют «сотовой», поскольку интервал изменения
параметра разбивается на более мелкие дискреты («соты», «юбки»,
«домены»),
возникает возможность распараллеливания обработки –
образование сети.
Устраняется априорная неопределённость фильтрации
ПВ-сигналов по частоте и углу, повышается чувствительность и
разрешаюшая способность системы.
В математике известно, что любую функцию непрерывного аргумента
можно представить в виде бесконечной суммы функций разложения i ( t ) :
x(t) 

 c  ( t ),
i  
i
i
(2.1)
где ci - неизвестные постоянные коэффициенты.
В простейшем случае x ( t ) - это сигнал, t - время. Функции i ( t ) –
линейно независимые, в частности ортогональные функции:
A , при i  j
(2.2)

(
t
)

(
t
)
dt


t i j
0, при i  j,
где А – постоянный коэффициент.
Для ортогональных функций, коэффициенты ci находятся достаточно
просто:
1
c i   x ( t ) i ( t )dt .
(2.3)
At
Для финитных сигналов в качестве коэффициентов разложения c i
можно использовать ординаты функции x ( t ) , взятые в дискретные моменты
1
времени t i с интервалом t 
, при этом ортогональные функции
2f в
разложения имеют вид:
sin в ( t  t i )
,
(2.4)
i ( t ) 
в ( t  t i )
где в  2 f в – верхняя круговая частота дискретизируемого сигнала.
A  t , обеспечивалась реконструкция (восстановление)
При
исходного сигнала .
Аналогичные задачи возникают при выборе шага d (в долях длины
волны  ), обеспечивающего реконструкцию сигнального поля в апертуре
антенны (ФАР).
- 14 -
Качество обработки сигналов в этих случаях определяется свойствами
sin x
функции отсчетов (2.4), т.е. зависимостью
с ее периодической
x
структурой нулей, следующих с интервалом  i, i  1,2,… .
Это свойство, а также сама форма функции, обеспечивали точное
равенство:

sin в ( t  t i )
x ( t )   x ( t i )
(2.5)
,
в ( t  t i )
i  
позволяющее вести обработку сигнала x ( t ) , используя «грубую статистику»
x i  x ( t i ), i  (, ). Отпала необходимость запоминания сигналов между
отсчетами.
Вместе с тем, ограниченность размеров окна пространственновременных (ПВ) выборок выявляла «негативные» свойства функции
отсчетов, а именно ее большие боковые лепестки, в особенности – первый,
составляющий величину “минус 13 дБ” от максимума.
Реализация цифровых устройств в условиях ограниченности размеров
ПВ-выборок без использования специальных мер ( “взвешивающих окон”) не
позволяли избавиться от этого недостатка.
Обработка по алгоритмам дискретного преобразования Фурье (ДПФ)
sin x
sin N x
изменяли форму зависимости функции
на
, при этом возникал
sin x
x
эффект “наложения спектров”( «явление Гиббса»), не позволяющее
синтезировать цифровые фильтры (ЦФ) с крутыми скатами его ЧХ по методу
«частотной выборки».
Не учитывалась возможность того, что ряд задач обработки сигналов
мог быть сведен к задаче измерения повторяющегося сигнала по принципу
«повторяющейся серии» пачек импульсов для усреднения боковых лепестков
в «зонах режекции» и сглаживания пульсаций в «зонах прозрачности».
Иллюстрацией такой возможности является простой пример применения
вобулятора частоты повторения зондирующих импульсов в
РЛС,
устраняющий эффект «слепых скоростей» («стробоскопический эффект»). В
моноимпульсных радарах с ФАР также возможна «нарезка» зондирований в
виде соответствующих серий пачек импульсов.
Придание «стохастичности» дискретизации, например, за счет
введения случайной шкалы
t i  i t   t i ,
(2.6)
где  t i - случайная величина с нулевым средним и дисперсией Dt  2t ,  t среднеквадратическое отклонение  t i , позволит задействовать резервы
усреднения, связанные с повторяемостью ПВ-выборок.
Стохастическая дискретизация времени. Прежде отметим, что
i ( t ) могут быть случайными, так как это не
функции отсчетов
противоречит условию независимости (ортогональности) (2.2), по крайней
- 15 -
мере, для эргодических процессов. Это означает, что коэффициенты c i могут
быть случайными и добавятся шумы в реконструируемый по формуле (2.1)
сигнал. Переходя к стохастическому квантованию, потребуем чтобы
M 1  c i   M1 x ( t i ),
(2.7)
где M 1  - оператор математического ожидания от  .
Вводя оператор M 1  в доказательство имеем:




sin в ( t  t i ) 
M1 x ( t )  M1   c i i ( t )   M1 x ( t i )i ( t )  M1 x ( t i )
 (2.8)

(
t

t
)
i 
 i 
i  


в
i
Теорема отсчетов в этом случае звучит так: «Функция среднего
значения непрерывного сигнала x ( t ) , обладающего спектром, ограниченным
 в , полностью определяется значениями этого сигнала, взятыми в
дискретные моменты времени t i на случайной шкале импульсов, отстоящих
друг от друга на величину, удовлетворяющую условию

1
(2.9)
M1  t i  t i1  

 t ».
в 2Fв
Величина t называется средним шагом дискретизации.
Стохастическая дискретизация пространства. При обобщении идеи
стохастической дискретизации на случай квантования пространства
аналогом t (2.6) является шаг пространственной дискретизации d на осях
x, y .
В плоско-волновом приближении волна, падающая на апертуру S ФАР
(см. Рис.2.1), под углом (пеленгом)  от оси Z в раскрыве антенны
формирует поле, описываемое пространственными частотами:
2
(2.10.1)
 
tg cos  ,

2
(2.10.2)
 
tg cos  ,

Пространственная частота  по аналогии с обычной («временной»
Ю. Г.) частотой определяется как скорость изменения фазы, в данном случае
по осям x, y. В отличие от обычной обработки сигналов во временной
области, когда мы имели дело с частотой   2 f , здесь пространственная
частота , является функцией азимута  и угла места  . Использование
пространственных частот тревиально, но позволяет осуществить
«пространственно-угловой» анализ сигналов не переходя к нелинейной
системе координат и при вычислении сверток «согласованной фильтрации» –
избежать необходимость вычисления интеграла Бесселя и, таким образом,
проводить анализ с применением интеграла Фурье или его дискретного
аналога ДПФ.
Для сохранения аналогии обычного спектрального анализа и анализа
по пространственным частотам с применением ДПФ мы избежали
- 16 -
необходимость разложения полей по волновым числам (проекциям волновых
векторов).
Аналог случайной шкалы пространственного квантования здесь не
настолько очевиден, как в случае временного квантования, когда текущий
интервал дискретизации t i  t i  t i 1 был случайным (вобулированным).
Рис. 2.1. Взаимосвязь угловых параметров прихода электромагнитной волны с

направления r в координатах апертуры ФАР S
Тем не менее, можно представить и некоторую абстрактную ФАР с
модуляцией пространственного положения фазовых центров отдельных
приемных антенн по случайному закону, либо реальную ФАР с положением
фазовых центров на апертуре S , осуществленных с технической
погрешностью. Рассматриваемая модель может послужить инструментом
учета ошибок позиционирования фазовых центров антенных элементов ФАР
при ее синтезе.Поскольку функция отсчетов i ( t ) является случайной, ее
параметры описываются моментными функциями M1  i ( t ) и Di ( t ).
x ( t ) предполагает оценку D x ( t ) (степени
Восстановление сигнала
близости x ( t ) к M 1 x ( t )).
Скорость сходимости M 1 x ( t ) к x ( t ) в каждой точке времени и
пространства будет определяться свойствами алгоритма дискретизации. Без
привлечения ресурсов повышения скорости сходимости применением
коррелированных случайных величин, зашумляющих функции отсчетов,
1
. При локации цели
можно говорить о стандартных зависимостях типа
n
радаром для измерения пространственных частот (пеленга) может быть
- 17 -
создан ансамбль n пачек радарных зондирований с на аппаратуре ФАР
размером МхL.
Запишем формулы для пары преобразований Фурье поля :
 ( j  , j  ) 
X
 
  x ( x, y)e
 j (   x   y )
dxdy ,
(2.11.1)
 
1 
j (  x  y )
(2.11.2)
X( j , j )e
d d .
2  
(2) 
Налагая ограничения, заключающиеся в том, что пространственновременной сигнал является финитным, ограничен сверху по каждой из
координат частотой  в получим:
x ( x, y) 


 

M1 x ( x, y)  M1    ci , ji ( x ) j ( y) 
i j




sin  в , ( x  x i ) sin  в , ( y  y j ) 
   M1 x ( x i , y j )
(2.12)
.

(
x

x
)

(
y

y
)
i   j 
в
,

i
в
,

j


Теорема отсчетов применительно к рассматриваемому случаю, звучит
так: «Функция среднего значения всякого непрерывного двумерного сигнала
(плоского поля), обладающего ограниченным спектром, полностью
определяется отсчетами поля, взятыми в дискретных точках пространства
x i , y j на случайных шкалах и эти точки отстоят друг от друга на величину,
удовлетворяющую условию M1  x i  x i1   M1  y j  y j1  

 d ».
в


1


 d называется шагом пространственной
 в 2Fв 2Fв
дискретизации квантования на осях x i  id , y j  jd .
Учитывая то, что M 1 x ( x , y) отличается от самого поля x ( x, y) на
величину дополнительного шума, далее определим возможности уменьшения
дисперсии за счет усреднения n пачек зондирований.
Результаты моделирования. Функция отсчетов i ( t ) является
случайной функцией, поскольку она зависит от случайного параметра t i .
Промоделируем ее свойства, задаваясь различными значениями

параметра   t  1 . На Рис. 2.2 (кривая 1) представлена зависимость
t
среднего значения M1  i ( t ) функции i ( t ) для  = 0,4. Для сравнения на
том же рисунке (2) пунктиром приведена зависимость sin x , что
x
соответствует   0 . Анализ поведения усредненной функции отсчетов i ( t )
показывает, что ширина главного лепестка по уровню 0,5 практически
совпадает с исходной. Имеются потери порядка 3 дБ. Максимальный
Величина A 
- 18 -
уровень первого лепестка уменьшился с -13 дБ до -26 дБ или до - 21 дБ по
отношению к максимуму, учитывающему энергетические потери.
Поведение «хвостовой» части функции (2.3) соответствует
асимптотическому, менее пульсирующему, уменьшению боковых лепестков
до нулевого значения.
Сказанное справедливо для моделирования стохастических функций
отсчетов при пространственной дискретизации двумерного поля.
Рис. 2.2. Усредненная функция отсчетов i ( t )
На Рис.2.3 дано объемное представление M1  i ( t ) в координатах
t
и  , из которого видно, что при увеличении  уменьшаются боковые
t
лепестки, но растут энергетические потери, а при приближении  к 1
расширяется главный лепесток. Скорость уменьшения боковых лепестков
выше скорости роста энергетических потерь.
Рис. 2.3. Трехмерное изображение усредненной функции отсчетов i ( t )
- 19 -
Оценка точности восстановления исходных зависимостей.
Случайная шкала дискретизации (2.6) при  t  t очевидно слабо влияет на
восстановление сигналов низких частот и констант. При увеличении частоты
 до  в в точках перехода через нуль высокочастотных гармоник
нормированная к квадрату амплитуды дисперсия сигнала для n=1
удовлетворяет неравенству:
(2.13)
Dx (t )  в2 2t .
В общем случае, при наличии ансамбля из п пачек для независимых
испытаний имеем:
в2  2t
D n x t  
.
(2.14)
n
Формулы (2.13) и (2.14) при замене  в на в, , в, позволяет грубо
оценить точность воспроизвеления исходных зависимостей для случая, когда
не привлекаются дополнительные ресурсы сходимости при использовании
отрицательной корреляции ансамбля усреднения i  1, n .
Дискретизация пространства. Используя аналогию дискретизации
времени (пространства) при построении ЦФ, нужно уметь квантовать
пространственные частоты   ,  , придавая свойства «сотовости»
обработке по аналогии с процедурами ДПФ (БПФ).
Обычная дискретизация по времени с интервалом T (   0 ) из-за
наложения спектров, приводит к его периодической структуре с доменом
2
. Процедура ДПФ устраняет априорную неопределенность по
д 
T
частоте, повышая разрешение в радиолокации (когда интервал наблюдения
для обеспечения согласованной фильтрации выбирается равным
длительности сигнала) в N раз (см. ЧХ каналов ДПФ [6]). Аналогия между
квантованием обычных и пространственных частот отражена в Таблице 2.1,
где СА- спектральный анализ. Вывод формул описан в частности в [6].
Здесь: N - число точек во времени и частоте;
M - число точек в пространстве и пространственной частоте;
  0, N - нормированная к  частота  .
  0, M  - нормированная к   частота  .
,  - дискреты обычной  и пространственной  частот.
- 20 -
Таблица 2.1
Параметры, понятия,
№
зависимости
1 Шаг квантования
2 Предельное
(инструментальное)
частотное разрешение
3 Вид частотных
характеристик
отдельных каналов
x (), x ()
4
Формула прямого ДПФ
Обычный СА
СА с применением
пространственных частот
T
d
 
2
NT
 
Номер частотного канала
k  0, N  1
N
sin
 ( N 1)
j
2
x k () 
e 2 ,

sin
2
где     T(  k )

N 1
x  (k )   x n e
 2 
 j
 nk
 N
Номер
частотного
пространственно
канала
l  0, M  1
M
 ( M 1)
2 ej 2 ,
x l () 

sin 
2
где Ω  Δ Ω d (ηΩ  l)
sin
M 1
x  (l)   x i e
,
n 0
2
dM

 2 
 j
 il
M
,
i
l  0, M  1;
k  0, N  1;
n  0, N  1 - временные i  0, M  1пространственные отсчеты.
отсчеты.
5
Формула обратного
ДПФ
1 N1
x n   x  (k )e
N k 0
 2 
j
 nk
 N
2
.


j
 il
1 M1
M
.
x i   x  (l)e
M l 0
Способы пространственной дискретизации. Нелинейная взаимосвязь
пространственных частот   и  с параметрами  ,  поля источников
радиоизлучений затрудняет анализ и приводит к необходимости проведения
моделирования процессов разрешения источников электро-магнитного
излучения по угловым координатам (пространственным частотам). В случае
равномерного квантования и при   0 , учитывая взаимосвязь, например 
с  , можно построить семейство канальных угловых характеристик
пространственного разрешения угловых каналов, которые приведены на
Рис. 2.4, для M  16 .
Из
анализа
параметрического
семейства
кривых
угловой
избирательности следует, что на направлениях, когда угол  увеличивается,
наблюдается расширение отделных лучей, что объясняется уменьшением
эквивалентной апертуры по оси x и неоправданно частому квантованию
пространства.
Рекомендации теоремы отсчётов для этого случая сводятся к

следующему. При шаге d 
квантование пространственных частот
2
  
однозначно может быть осуществлено в секторе    ;  , а при
 2 2
- 21 -
2
  
 - в секторе    ;  , однако
2
 4 4
фрактальных лучей на краях диапазонов.
d
наблюдается
расширение
Рис.2.4. Функциональная зависимость отклика линейной антенны от угла  (град.) и
числа k, при d / λ  2 / 2 , количестве приемников M = 16.
Для обеспечения инвариантности ширины луча независимо от его
угловой настройки, необходимо осуществлять криволинейное квантование
пространства, как это
делается в цилиндрических ФАР, в которой
построчное квантование пространства осуществляется по концентрической
окружности радиусом R, а постолбцовое квантование (что связано с углами
 )- равномерное с шагом d . В этой ФАР рабочий угол нерасширенных
угловых каналов может быть вплотную приближен к границам интервалов
2
  
  
d

 , хотя расширение

;


;

,
для
,
и
к
,
для
d

0
,
5

 2 2 
 4 4 
2
  
фрактальных лучей по углу  на углах    ;  , при d  0,5 , и
 2 2
2
  
, остается. Стремление обеспечить инвариантность
   ;  , при d 
2
 4 4
ширин парциальных лучей в 2-х плоскостях по (  0) и по (  0)
приводит к сферическому распределению приемников ФАР по поверхности
сферы, включая ее внутренний объем. Распределение точек квантования
внутри объема сферы должно обеспечить «равномерное» квантование,
- 22 -
усредненное по всевозможным ракурсам возможного прихода внешних
радиоизлучений.
Техническая реализация такой «всеракурсной» приемной ФАР
довольно сложна, особенно в широком диапазоне частот, когда шаг
квантования d , нормируемый в долях  , должен быть постоянным. Заметим,
что в отличие от задачи построения ФАР, рассмотренной в [50], когда была
задействована третья координата, а ФАР стала объемной, здесь в исходной
постановке задачи использование третьей координаты является
обязательным.
Обобщение. Получение конкретных результатов более детального
моделирования стохастической дискретизации времени и пространства
выходит за рамки проводимого исследования, однако взгляд с позиции
измененных условий теоремы отсчётов на вопросы дискретизации
детерминированными и случайными шкалами с обеспечением повторяемости
пачек представляет интерес. Дальнейшим шагом исследования должен стать
шаг, связанный с подробным исследованием процедур «сотовой» обработки,
повышающей разрешение, чувствительность, сглаживающей боковые
лепестки и пульсации путем обеспечения повторяемости «нарезкой» общего
времени наблюдения на этапы.
При решении специальных задач пространственно-временной
обработки, связанных с
уменьшением боковых лепестков цифровой
обработки, стохастические процедуры квантования сигналов могут
конкурировать с известными процедурами «наложения окон» Хэмминга и
другими. При уменьшении уровня рандомизирующего шума получаем
известные процедуры дискретной пространственно-временной обработки, в
которой квантуются время t , пространство x , y , частоты  ,  , позволяя
для задач радиолокации, радиотехнической разведки и радиолокационного
подавления,
реализовать технологию цифрового запоминания поля в
апертуре ФАР, включая оценку составляющих его волнового числа
(направляющих косинусов) и формирование ответного сигнала с требуемой
модуляцией параметров.
2.2 Стохастическое квантование в «медленном времени» как
средство устранения эффекта «слепых» скоростей и оценка возможности
подавления радаров, работающих в режиме СДЦ.
Введение. Эффекты, связанные с дискретизацией ПВ-выборок приводят
к известным эффектам дискретизации «слепых» скоростей, фаз, дальностей,
направлений и т.п. На примере решения задачи устранения эффекта «слепых»
скоростей в когерентно-импульсных радарах покажем типовую технологию их
устранения. Как и ранее в качестве средства решающения этой задачи возьмем
исследуемый в настоящей работе технический прием – рандомизацию.
- 23 -
Стохастическая оптимизация параметров импульсно-допплеровских
РЛС средствами вобуляции частоты повторения зондирующих импульсов.
Известно, что период повторения зондирующих импульсного радара
определяет вид амплитудно-скоростной характеристики (АСХ) РЛС с
аппаратурой СДЦ, предназначенной для подавления ПП от местных
предметов. В случае, если период повторения зондирующих импульсов Т
постоянный, то в радиолокаторе появляется эффект «слепых» скоростей,
который определяется следующим соотношением:
V0i 
i
,
2T
(2.15)
где i  0,  1,  2, ....;
 - длина волны;
«Слепые» скорости приводят к тому, что амплитудно-скоростная
характеристика G , V, T  , показывающая зависимость коэффициента
передачи тракта СДЦ от реальной скорости V при фиксированных T и  ,
становится неравномерной с провалами до нуля при полете на радиальных
скоростях V V0i .
Так, например, модуль коэффициента передачи компенсатора
пассивных помех с k-кратным вычитанием без обратных связей определяется
выражением:
 2VT 
(2.16)
G, V, T   sin r 
,
  
где V – радиальная скорость полета цели.
Наличие «слепых» скоростей ухудшает характеристики обнаружения,
т.к. увеличивается вероятность пропуска целей, поскольку часть радиальных
скоростей оказывается «слепой» по отношению к радиолокатору. Кроме
того, «слепые» скорости приводят к ухудшению качественных характеристик
измерения дальности поскольку становятся возможными пропадания
координатных отметок.
Средством уменьшения влияния эффекта «слепых» скоростей является
вобуляция периода повторения зондирующих импульсов. Вобуляция периода
повторения импульсов должна осуществляться оптимально.
В общем случае алгоритм вобуляции является случайным, поэтому
амплитудно-скоростная характеристика, являясь детерминированной
функцией от двух случайных параметров T и V, является случайной
функцией, причем случайность периода повторения вводится искусственно, а
случайность V обусловлена «незнанием» радиальной скорости цели в момент
ее облучения.
В большинстве случаев закон распределения V можно считать
равномерным в рабочей зоне скоростей цели, а закон распределения
параметра T подлежит определению. Поскольку время наблюдения цели
является конечным и составляет несколько периодов повторения, мы в
- 24 -
дальнейшем не будем ограничиваться поиском только одномерного
распределения T.
С точки зрения обнаружения желательно, чтобы средний квадрат
отличия амплитудно-скоростной характеристики от некоторой желаемой
характеристики был бы минимальным. Проводя прежде одномерную
статистическую оптимизацию, функционал качества Ф, учитывающий
указанные выше отличия в смысле 0-го, 1-го, 2-го, …, s-го порядков, можно
представить в виде суммы интегралов Стилтьеса, представляющей линейную
комбинацию j-х среднеквадратичных показателей неравномерности
амплитудно-скоростной характеристики:

s

Ф    j   G ( j)  G (жj) dFV dFT ,
j0
( j)
G (Жj)  G ж ( j) , V, T  -j-я
(2.17)
TV
где G  G , V, T -j-я
характеристики по параметру V;
( j)
2
производная
производная
желаемой
амплитудно-скоростной
амплитудно-скоростной
характеристики по параметру V;
 j - весовые коэффициенты, входящие в критерий оптимизации.
Двойной интеграл в формуле (5.17) имеет смысл последовательного
интегрирования Стилтьеса интегрирующими функциями F(V) и F(T).
Проводимая выше оптимизация использует понятие вероятностной АСХ.
Действительно, необходимость оптимальной вобуляции в условиях
синхронных АП приводит к тому, что момент появления текущего
зондирующего импульса по отношению к моменту появления предыдущего
должен быть случайным, принимающим исходы в множестве возможных
значений временных интервалов L T . Множество L T является дискретным,
либо непрерывным с верхней границей sup L T  Tmax и нижней границей inf
L T  Tmin . Границы Tmax и Tmin определяются назначением радиолокатора
и зависят от максимальной дальности действия РЛС.
Можно говорить о случайном процессе T*(i), который в момент
зондирования i-го импульса принимает случайное значение T(i). В первом
приближении случайности процесса T*(i) описывается одномерной
интегральной функцией вероятности:
F(T)=P[T*(i)<T],
(2.18)
где P[T*(i)<T] – вероятность того, что в момент времени,
соответствующий i-му зондированию, случайное значение процесса T*(i)
будет меньше T. В случае стационарного процесса T*(i), когда вероятность
P[T*(i)<T] не зависит от i, период T является случайной величиной T* с
интегральной функцией вероятности:
F(T)=P[T*<T],
(2.19)
где P[T*<T] – вероятность того, что при любом зондировании
случайное значение величины T* будет меньше T. Аналогичные рассуждения
можно провести относительно радиальной скорости V, т.к. в случае работы
- 25 -
радиолокатора по континууму целей событие, заключающееся в том, что
скорость цели в момент обнаружения равна V, так же случайно и имеет
исходы из множества LV с границами sup LV = Vmax и inf LV = Vmin. Границы
Vmax и Vmin определяются диапазоном радиальных скоростей целей, по
которым работает РЛС. При последовательном обзоре целей по азимуту и
дальности радиальная скорость V является случайным исходом, случайной
величины с интегральной функцией вероятности
F(V)=P[V*<V],
(2.20)
где P[V*<V] – вероятность того, что в очередном зондировании
случайное значение величины V* будет меньше V.
В формуле (2.39) предполагается выполнение нормировочных условий:
(2.21)
 dF(T)  1 ,
LT
 dF(T)  1,
(2.22)
LV
s
  j  1.
(2.23)
j0
Рассматривая более приемлемый для практики случай, когда число
сменных периодов вобуляции конечно и равно M, т.е. изменение функции
F(T) происходит дискретно в точках Tmin = T1 < T2 < … < Tk < … < TM = Tmax,
выражение (2.17) запишется в виде
s
M
Ф  j 
j0
 G
k 0 L V
( j)

 G (жj) dFV FTk  ,
2
(2.24)
где FTk   FTk 1   FTk  .
Минимизация функционала (2.24) путем отыскания оптимального
закона вобуляции F(T) представляет собой классическую вариационную
задачу с неподвижными границами, которые удовлетворяют следующим
условиям:
F(T1 )  F(Tmin )  0 ,
(2.25)
F(TM )  F(Tmax )  1 .
(2.26)
Поскольку функция F(T) является неубывающей, то существует еще
одно ограничение:
FTk   FTk 1   FTk   0
(2.27)
Согласно ограничению (2.27) можно вместо функции FTk  отыскать
другую функцию  Tk  , определяемую равенством:
FTk   Tk 2
(2.28)
- 26 -
С учетом (2.28) можно записать необходимое условие существования
экстремума функционала – уравнение Эйлера, которое в разностной форме
имеет вид :
H  Tk   H  Tk 1   0 ,
(2.29)
где
HTk ,  Tk , Tk 
H  Tk  
,
(2.30)
 Tk 
HTk , (Tk ), (Tk )
,
(2.31)
H  (Tk ) 
(Tk )
 G
s
HTk     j
j 0
( j)

 G (жj) dFV Tk 2 ,
2
(2.32)
LV
Решая уравнение (5.32), получаем:
c
Tk  
j 
s
j0

,
(2.33)
V 
2
G ( j)  G (жj) dF
LV
где c – произвольная постоянная.
Из формул (2.33) и (2.34) находим
c1
FTk  
2
,
s



( j)
( j) 2
  j  G  G ж dFV 
 j0 L V

где c1  c2 – постоянное число.
Суммируя уравнение (2.34), получим:
M
c1
FTk   
 c2 ,
2

k 1  s


( j)
( j) 2
   j  G  G ж dFV 
 j 0 L V




(2.34)
(2.35)

где c1 , c 2 – произвольные постоянные, определяемые из граничных
условий (2.25) и (2.26).
После нахождения коэффициентов c1 и c 2 вид оптимального
одномерного закона вобуляции определяется полностью.
Далее перейдем к многомерной стохастической оптимизации
алгоритма вобуляции периода повторения, оставляя прежний критерий
качества. Если от цели принимается N эхо-сигналов то в общем случае при
вобуляции можно говорить о случайном процессе T (t ) (t – время), который
- 27 -
в момент зондирования i-го импульса принимает случайное значение T ( t i ) , а
в момент времени t j – T( t j ) .
Полная статистическая характеристика процесса T*(t) содержится в Nмерной интегральной функции распределения вероятностей:
FT1 , Т 2 ,..., Tn ; t 1 , t 2 ,..., t N   PT * t 1   T1 ,..., T * t N   Tn ; t 1 ,..., t N 
(2.36)
где P[.] – вероятность того, что в момент времени, соответствующий
первому зондированию t1 случайное значение процесса T (t ) будет меньше
T1 , а в момент времени t 2 – меньше T2 и т.д.
Задача многомерной статистической оптимизации алгоритма
вобуляции
состоит
в
нахождении
N-мерного
распределения
FT1 , Т 2 ,..., Tn ; t 1 , t 2 ,..., t n  .
С математической точки зрения указанная задача по своему
содержанию является классической вариационной задачей отыскания
минимума определенного интеграла, задаваемого функцией N переменных
FT1 , Т 2 ,..., TN ; t 1 , t 2 ,..., t N  , удовлетворяющей по каждой переменной
граничным условиям (2.25) и (2.26) и условиям нормировки. Этот интеграл
является функционалом качества и имеет вид
Ф n    j   G  j  G жj  dFV dFT1 , Т 2 ,..., TN ; t 1 , t 2 ,..., t N ,
s
2
j0
(2.37)
LT L V
где L T –N-мерное множество решений.
Если число сменных периодов вобуляции конечно и равно M, то
изменение функции FT1 , Т 2 ,..., Tn ; t 1 , t 2 ,..., t n  по каждой i-ой переменной
происходит дискретно в точках
Tmin  Ti1  Ti 2  ...  Tik  ...  TiM  Tmax ,
то необходимо путем подбора функции FT1 , Т 2 ,..., TN ; t 1 , t 2 ,..., t N 
минимизировать сумму:
Ф N    j   G  j  G жj  dFV FT1k , Т 2 k ,..., TNk ; t 1 , t 2 ,..., t N  ,
s
j0
M
2
(2.38)
k 1 L V
где FT1k , Т 2 k ,..., TNk ; t 1 , t 2 ,..., t N  
 FT1( k 1) , Т 2( k 1) ,..., TN ( k 1) ; t 1 , t 2 ,..., t N   FT1k , Т 2 k ,..., TNk ; t 1 , t 2 ,..., t N  
 T1k , Т 2 k ,..., TNk ; t 1 , t 2 ,..., t N 
(2.39)
Если выполняются необходимые условия существования минимума
функционала (2.38), то каждая функция () , реализующая минимум суммы
(2.38), должна удовлетворять разностному уравнению Эйлера:
(2.40)
H  T1k , Т 2k ,..., Tnk   H  T1(k 1) , Т 2(k 1) ,..., Tn (k 1)  0
Решая уравнение (2.40), получаем
2


- 28 -
c1
FT1k , T2 k ,..., TNk   
M
2
(2.41)


( j)
( j) 2
  j  G  G ж  dFV  T T 
 j0 L

Суммируя (2.41), далее получаем
M
c1
(2.42)
FT1 , T2 ,..., TN   
 c2 ,
2
k 1  s

( j)
( j) 2
  j  G  G ж  dFV  T T 
 j 0 L

где, c1 , c 2 – произвольные постоянные, определяемые из граничных
условий, записанных для каждой переменной.
Формула (2.42) позволяет оценить качество произвольного закона
вобуляции.
Вобулятор частоты повторения, включаемый в цепь импульса запуска
РЛС, при оптимизации выделения цели на фоне пассивных помех
обеспечивает в статистическом смысле выполнение неравенства
i
(2.43)
V
, i  0,  1,  2, ... ;
2T
k 1
s
i
ik
V
i
ik
V
На практике в импульсных РЛС обзора диапазон вобуляции TM-T1,
необходимый для обеспечения качественного выделения целей, намного
больше интервала дискретизации дальности ∆, поэтому условия достижения
двумерного экстремума не являются противоречивыми. Практически
совместная оптимизация алгоритма вобуляции достигается тем, что
оптимальные значения периодов T1 , Т 2 ,..., TM выбираются из условия
получения требуемой программы модуляции фазы  j , необходимой для
измерения дальности.
Оптимальный закон распределения T1 , Т 2 ,..., TM по существу
полностью определяет искомую последовательность Ti ( i  1,2,...M ) в рамках
сформулированных условий, однако здесь важен реальный параметр размера
M
окна времени наблюдения TН   Ti , в течение которого этот закон будет
i 1
проявляться. Другими словами, важны и корреляционные свойства
последовательности Ti , которые будут проявляться на интервале времени TН
при формировании закона распределения FT1 , Т 2 ,..., TM  .
Важным, также, является использование априорных сведений
относительно радиальной скорости V, а также применение рекурсивных
(адаптивных) способов оптимизации (минимизации) потерь, обусловленных
2V
периодическим квантованием допплеровской частоты f д 
в РЛС.

Методы “наискорейшего спуска”, известные в системах автоматического
управления, могут, по существу минимизировать потери неравномерности
- 29 -
АСХ РФ РЛС, переводя режим приема в точки «оптимальных скоростей»
[52], однако для этого требуется наличие временного ресурса.
Априорная информация о V , например, если V  V01 может сделать
эффективным алгоритм вобуляции частоты повторения РЛС, когда
чередуются T1  Tmin и T2  Tmax , однако в этом случае нужна априорная
информация, либо данные измерения по соответствующим каналам
измерения радиальной скорости.
Подавление когерентно-импульсных РЛС обнаружения и
целеуказания станциями РЭП, учитывающими структуру сигнала в
“медленном” времени и направление его прихода. “Проигрывание”
(моделирование) ситуации, (за РЭП, против РЛС) открывает следующие
возможности подавления когерентно-импульсных РЛС обнаружения и
целеуказания, учитывающими структуру сигнала в “медленном” времени (на
частоте Доплера), включая координатные преобразования, связанные с
направлением прихода электромагнитного излучения, т.е. пеленга.
Напоминаем, что введение в РЛС режима СДЦ всегда связано с
энергетическими и информационными потерями для РЛС, но дает
определенные преимущества для РЭП, т.к. появляются “слепые” скорости
v сл  kv 0 ,
где v 0 

,
2T
которые позволяют сделать защищаемый объект менее видимым, а также
появляются “оптимальные” скорости
v
v опт  0  kv 0 , k  0,1, 2... ,
2
на которых искусственно сформированные помехи САП легче преодолевают
защиту в виде РФ.
Первое обстоятельство, с учетом данных навигационных измерителей,
позволяет использовать “провалы” АСХ РЛС не только “нулевой”, где
эффективен маневр “кобра Пугачева”, но и последующие ( k  0,1, 2... ), где
“провалы” АСХ, составляют 3  12 дБ, что нормировано существующими
ГОСТами для РЛС УВД и посадки.
Наличие информации о , T, , , V , как это это было показано в
вышеупомянутых работах, позволяет снизить требования к составляющим
энергопотенциала станции активных помех САП на 3  12 дБ (3 дБ относится
к РФ в виде I-кратного ЧПК). В разделе 6 обозначенные вопросы будут
рассмотрены более подробно, и будут даны количественные оценки
выполенеия неравенства:
q 02  q12  q 2r .
2.3. Выводы по разделу 2
Рассмотрение вопросов расширения границ применения теорем
отсчетов под углом зрения рассматриваемой теории, касаясь случаев
- 30 -
стохастической дискретизации времени, пространства, квантования обычных
и пространственных частот (угловых направлений) позволило сделать
следующие выводы:
Сформулирована уточненная теорема квантования пространственных
частот (угловых направлений), позволяющая расширить границы применения
известной теоремы на случай стохастической дискретизации сигнальных
полей и дискретного спектрального анализа и использования случайных
стохастических шкал и случайных стохастических базисов.
Определены границы применения уточнённой теоремы отсчетов,
позволяющей решать частные вопросы, возникающие при инженерном
синтезе систем обработки и формирования ПВ сигналов. Восстановление
сигнальных полей, дискретизированных по времени и пространству.
Задача вобуляции частоты повторения в когерентно-импульсной РЛС
рассмотрена как задача практического использования для вновь доказанной
теоремы отсчетов применительно к уменьшению неравномерности
амплитудно-скоростной характеристики РЛС, либо использованию
получающейся неравномерности в интересах решения задач РЭП
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
3.1 Формулировка задач, решаемых моделированием.
Разделение задач, решаемых моделированием и проведением
экспериментальных
исследований.
Информационные
технологии
проектирования радиотехнических систем предполагают проведение
моделирования от уровня поля (электромагнитного) до уровня регистра
(платы, модуля, микросхемы), однако реально это осуществляется не всегда.
К тому есть организационные, технические и экономические причины.
Зачастую бывает так, что проектирование аппаратуры идет на основании
вербальных и аналитических представлений (моделей), а экспериментальные
исследования подтверждают (или не подтверждают) их адекватность.
Поскольку разработка аппаратуры и проведение исследований автором
настоящей работы проводились параллельно, то создание конкретных систем
шло в условиях постоянной корректировки аналитических решений.
Тем не менее, всегда оставались вопросы, ответы на которые не
удавалось получить аналитически. Поэтому возникла необходимость
разделения
задач,
решаемых
моделированием
и
проведением
экспериментальных
исследований,
хотя
последние
являются
определяющими.
В процессе выполнения операции по обработке сигналов почти всегда

возникают нелинейные эффекты, в особенности, если векторы наблюдений x
представляют собой совокупности «грубых отсчетов». Существует много
примеров аналитического решения вопросов квантования сигналов, однако
- 31 -
ответы на решение отдельных вопросов аналитически находились не всегда.
Оперативное получение ответов на текущие вопросы проектированя
позволяет сделать инструмент, называемый моделированием. Адекватность
моделей – это отдельный и важный вопрос. В ходе проводимых
исследований возник список задач, которые до конца не были решены
методами аналитических исследований. Моделированию были подвергнуты
следующие процедуры:
1) малоразрядное квантование сигналов в АЦП, включая процедуры
бинарно-знакового квантования типа sign{·} с рандомизацией;
2) аппроксимация непрерывных сигналов, обычных и пространственных
спектров;
3) цифровая обработка сигналов с помощью стохастических обеляющих
фильтров, включая вопросы, связанные с заметностью антенн;
4) восстановление (воспроизведение) сигналов, подвергнутых цифровой
обработке в «зауженных» полосах РПУ объектов подавления;
5) разрешение сигналов в условиях использования «грубых отсчетов».
Безусловно, окончательные (решающие) ответы получаются после
проведения экспериментальных исследований опытных образцов (ОО)
сответствующей аппаратуры.
Выбор метода моделирования. В основу проводимого в настоящей
работе моделирования положена следующая методика:
1) Входная сигнально-помеховая модель базируется на модели суммы
гармонических сигналов, зашумленных гауссовым шумом и
гауссовыми помехами с нулевым средним, мощностями  2 и  с2 ,
соответственно. Причем шум моделируется как «белый», а пассивная
помеха – «цветная» с корреляционной матрицей «ρij».
2) Задается алгоритм обработки сигналов, конкретизируются его
параметры и выявляются условия иерархического объединения с
другими моделями.
3) Фиксируется среднестатистический результат на выходе системы
 , M1
 или дисперсии D  M 2  M12 ,
обработки в виде моментов M 2 
при этом мощность полезного сигнала PSвых, учитывающая нелинейные
эффекты дискретизации и квантования определяется по методике
Бреннана и Рида [7] с использованием «мощностных критериев –
коэффициента подавления, коэффициента улучшения, коэффициента
подпомеховой видимости, СКО и их адаптации к исследуемым
задачам, проведенной автором в работе [6].
4) Строятся функциональные зависимости (линии или поверхности)
влияния параметров на частные показатели эффективности.
Анализируются спектры.
Размер выборок усреднения выбирается достаточным для того, чтобы
выборочные моменты (средние, среднеквадратические, дисперсии и т.д.)
были близки с допустимой точностью приближения к истинным моментам,
- 32 -
соответствующих
эффективности.
параметрам
модели,
или
финальным
показателям
3.2. Моделирование частотомеров и пеленгаторов для задач
радиолокации.
Общая формулировка задачи и выявление инструментальных
возможностей измерения частоты и пеленга в классическом варианте.
При моделировании частотомеров и пеленгаторов важно не только получить
количественные данные по СКО измерения частот (временных и
пространственных), но и сопоставить их с потенциально возможными, чтобы
определить эффективность измерений. Общий алгоритм измерения частот
(угловых направлений) сформулирован нами ранее, и было определено 2
пути измерений: «прямой» и «косвенный». Мы остановимся на первом, т.к.
он является классическим и, в отличие от второго, практически не требует
решения вопроса проверки на «адекватность модели». В качестве метода
измерения воспользуемся моноимпульсным методом измерения, а в качестве
конкретного способа выберем способ «фрактальной суммарно-разностной
обработки» на оси обычных  или пространственных  частот выявляется
пара смежных каналов i, i+1 и образуются суммарные y  и разностные y 
каналы. Оценка  частоты  (или оценка   пространственной частоты
 ) осуществляется выявлением отклонения измеряемого параметра
относительно «равносигнального» путем нормировки разностного канала
суммарным. Обнаружение сигнала цели осуществляется по суммарному
каналу.
В качестве целевой функции для последующего анализа используются
функциональные зависимости СКО от отношения «сигнал/шум» q 02 на входе
системы обработки. Параметрами моделирования являются: разрядность K
входного АЦП, размеры N, M и L окон временных и пространственных
выборок. Рассмотрение параметров K, N, M и L в качестве аргументов
функций СКО для заданного значения q 02 позволяет получить исходные
данные для проверки сходимости принципа «удлиняющейся», либо
«повторяющейся» серии.
Начальный участок амплитудной характеристики АЦП выбран
 , соответствующей случаю K=1, что
аналогичным характеристике sign 
позволило при моделировании осуществить переход к другим значениям K>1
для семейств амплитудных зарактеристик АЦП с «безлюфтовой зоной
нечувствительности» начальных участков.
Форма начального участка
амплитудной характеристики АЦП выбиралась классической.
Результаты
моделирования.
Результаты
моделирования
частотомеров представлены на рис. 3.1 ÷ 3.10, причем на первых двух
рисунках изображены дискриминационные характеристики частотомера в
- 33 -
пределах частотного домена неоднозначности, Т-интервал квантования в
АЦП. На рис. 3.1, 3.2 - стохастические дискриминационные характеристики
частотомеров в функции от величины X 2  q 01 , а q0 - отношение сигнал/шум
по напряжению.
На тройке рисунков рис. 3.3÷3.5 - зависимости СКОf в функции от q 0 ,
а на следующей тройке рисунков рис. 3.8÷3.10 – зависимости СКО  от
размера N временного окна. Разрядность АЦП К задавалась в качестве
параметра.
f
Результаты моделирования пеленгаторов прогнозировались на основе
данных моделирования частотомеров с той лишь разницей, что
осуществлялось замена переменных круговой частоты   2f на
2
пространственную
частоту
и
задавался
шаг
  ,  Sin   ,

пространственного квантования x, y в долях  по осям x и y апертуры
антенны ( x  y  0.5 ; x  y  0.6 ; x  y  0.7 и др.). Результаты
моделирования пеленгаторов в плоско-волновом приближении приёма
электромагнитного излучения полностью совпали с результатами
моделирования частомеров, за исключением того, что при пространственновременной обработке появился новый энергетический ресурс, связанный
(кроме q 02 и N) с размерами M и L окна ПВ – выборок, описанный автором в
работе [8]. Особенности нелинейного преобразования масштаба при
переходе от селекции по пространственным частотам к селекции по угловым
координатам рассматривались в разделе 2.
Анализ результатов моделирования. Функциональные зависимости
СКО  2 измерения частот  и  в функции от q 0 отражают общую
закономерность повышения эффективности (точности) измерения при
увеличении отношения «сигнал/шум» q 02 . Количественные характеристики
достигнутой точности измерения позволяют обеспечить проектирование
соответствующих систем обработки с одиночными измерениями (N=M=L=1).
При необходимости учета размеров N, M, L временных N и
пространственных
M,
L
выборок
следует
воспользоваться
соответствующими зависимостями, для этих параметров с учётом
выполнения операции преобразования масштаба при переходе
от
пространственных частот  к пеленгу  замены переменной N на М или L.
Сравнение полученных результатов с потенциально достижимыми
характеристиками соответствующих измерителей из теории потенциальной
помехоустойчивости и математической статистики (по неравенству Рао –
Крамера) показало их непротиворечивость.
- 34 -
Рис. 3.1. Стохастическая дискриминационная характеристика частотомера
N  1024, q02  6 дБ, при числе разрядов квантования К :
К  1 – красный цвет кривой, К  10 – синий цвет кривой.
Рис. 3.2. Стохастическая дискриминационная характеристика частотомера
N  16, q02  13 дБ, при числе разрядов квантования К :
К  1 – красный цвет кривой, К  4 – синий цвет кривой.
- 35 -
Рис. 3.3. Стохостическая дискриминационная характеристика частотомера в полосе
Найквиста f [
1 1
, ] в зависимоти от x 2  q 01  [0,3].
2T 2T
Рис. 3.4. Стохостическая дискриминационная характеристика частотомера в полосе
Найквиста f [
1 1
, ] взависимоти от x 2  q 01  [0,5].
2T 2T
- 36 Зависимости нормированного среднеквадратичного
отклонения σf от отношения сигнал/помеха q0 на входе,
для различных значений числа уровней квантования К
и размеров массива обработки данных N.
Рис. 3.5. N=512
Рис. 3.6. N=1024
Рис. 3.7. N=2048
- 37 Зависимости нормированного среднеквадратичного
отклонения σf от размеров массива обработки данных N,
для различных значений отношения сигнал/помеха q0 на входе,
и числа уровней квантования К.
Рис. 3.8. q0 =10
Рис. 3.9. q0 =1
Рис. 3.10. q0 =0,5
- 38 -
3.3. Моделирование квазилинейных трактов пространственновременной обработки сигналов в условиях искусственно загрубленного
квантования квадратурных компонент входного сигнала.
Введение. Квазилинейные тракты ПВ-обработки при загрубленном
квантовании квадратурных составляющих входного сигнала всегда
привлекали внимание разработчиков РЭА по причине достигаемой простоты
технических решений.
 на первый взгляд оставляет мало возможностей,
Операция sign 
однако, сохраняя «доплеровскую» информацию и возможность когерентноимпульсной обработки (накопления), как бы «восстанавливает амплитуду»,
что «в квадрате» связано с мощностью, а значит, с отношения q 02 и q12 .
При введении такого (достаточно «грубого») квантования, как
указывалось в подразделе 4, важно сохранить свойства «линейности» тракта
обработки сигнала. Это означает то, что, к примеру, два сигнала при
обработке не мешали бы друг другу, т.е. обрабатывались бы независимо по
тому алгоритму, который был намечен изначально.
Настоящее моделирование ставит целью определить количественные
показатели реально достигаемого «разрешения» сигналов по временным 
пространственным  частотам находящихся в одном дальностно-угловом
объеме радара. Критерии эффективности разрешения выбраны по
Я. Ширману.
Описание выходных параметров. Главная проблема моделирования
 заключается в том, что в литературе нет понятия, что
трактов типа sign 
является мощностью полезного сигнала цели, обнаруживаемой радаром на
выходе нелинейного устройства. В основу методики взят подход,
изложенный ранее.
Такое представление («трактовка») выходного сигнала, по крайней
мере, может быть подвергнута реальному осязанию (т.е. измерению). В
остальном методика моделирования аналогична, за исключением того, что
амплитудная характеристика АЦП чрезвычайно «загрублена» (1 бит на
квадратуру).
Результаты моделирования. Главная цель моделирования состояла в
том, чтобы проверить линейные свойства данного способа обработки,
поскольку свойства непараметричности (стабилизации в.л.т. PF) почти
очевидны. Проявление линейных свойств в первую очередь связано с таким
понятием, как «многосигнальное разрешение», что и было главной целью
моделирования.
На рис. 3.11÷3.21 представлены результаты моделирования
прохождения суммы двух гармонических сигналов на частотах i и  j через
- 39 -
 -ДПФ» для случаев отсутствия шума q 01  0
систему обработки типа « sign 
(рис. 3.11÷3.16) и с рандомизацией (рис. 3.17÷3.19).
На этих рисунках А(f) - амплитудный спектр выходной смеси сигналов,
амплитуды которых на входе соотносились как 1 и 0.5. Частотный разнос
сигналов f линейно изменялся от 1 до 40% от частоты дискретизации
АЦП.
Комбинации возможных частот входных сигналов представлены
рисунками 3.113.16, из которых видно, что при малой разнице частот
входных сигналов i и  j , когда ij  2f ij 
положения медианы
i   j
2
, независимо от
T
внутри интервала однозначного отсчета
2
  
 2 
частоты  ,  или 0,  наблюдается удовлетворительное разрешение
 T
 T T
сигналов в условиях появления разностных гармоник («биений»).
Эти же рисунки иллюстрируют случаи, когда разность частот ij

, где T –интервал временного квантования.
T
На рис. 3.12 дана контурная обработка спектра А(f), изображённого на
рис. 3. 11. и осуществлена штриховая модуляция всплесков спектра их
амплитудой.
соизмерима с
На всех рисунках К - число уровней квантования, q 0 - отношение
«сигнал/шум», N - размер массива, который был выбран равным 1024.
1
Рис. 3.11. Амплитуда сигнала с выходом спектроанализатора: К =1, q 0 =0.
- 40 -
Рис. 3,12. Вид сверху на Рис. 1. (контурная обработка)
1
Рис. 3.13. Амплитуда сигнала с выхода спектроанализатора: К =2, q 0 =0.
1
Рис. 3.14. Амплитуда сигнала с выхода спектроанализатора: К =5, q 0 =0.
- 41 -
1
Рис. 3.15. Амплитуда сигнала с выхода спектроанализатора: К =10, q 0 =0.
1
Рис. 3.16. Амплитуда сигнала с выхода спектроанализатора: К =100, q 0 =0
Рис. 3.17 Амплитуда сигнала с выхода спектроанализатора: К =1, q 0 =2.
- 42 -
Рис. 3.18 Амплитуда сигнала с выхода спектроанализатора: К =1, q 0 =1.
Рис. 3.19. Амплитуда сигнала с выхода спектроанализатора: К =1, q 0 =0.5.
Изображение, иллюстрирующие разрешение 2-х сигналов с одинаковой
амплитуды с разносом частот f ij  20 T . Функции от размера N окна
наблюдения представлено на рис. 7.20. Для «грубого» квантования (К=1), для
N  64 - в условиях наличия рандомизирующего напряжения q 0  2 .
При этих же условиях далее рассмотрено взаимодействие «слабого»
сигнала «сильным» и эффекты линеаризации нелинейностей. При их
совместной обработке путём добавления «учитываемого» напряжения,
рандомизирующим процесс фильтрации.
Промежуточный вывод.
Качественный анализ результатов
моделирования и сравнение этих результатов с теоретическими показывает
их совпадение. Исключением явилось то, что допущение, принятое при
выводе формулы асимптотичесокй формулы, не позволило получить
промежуточные аналитические результаты, которые были получены только в
результате моделирования, см. например результаты, изображённые на
- 43 -
Рис. 3.20, 3.21 уточняющие неравенство q 02  q12  q 22 . Анализ результатов
моделирования
подтвердил
существование
следующих
эффектов
малоразрядной дискретной обработки:
а). наличие потерь, обусловленных «грубостью» квантования К=1
порядка 12 дБ;
б). подавление случайного сигнала сильным в условиях отсутствия
рандомизации при малых N<16;
в). большая «засорённость» спектра комбинированными
составляющими в условиях детерминированного квантования в этих же
условиях;
г). линеаризующее действие шумового напряжения,
рандомизирующего процесс спектрального анализа при
стохастическом квантовании.
Рис. 3.20 Разрешение 2-х сигналов одинаковой амплитуды, К=1
Рис. 3.21 Разрешение 2-х сигналов с амплитудным соотношением «1:0,1» для N>>1.
- 44 -
3.4. Моделирование процедур цифрового запоминания и
фильтрации обычных и пространственных частот (угловых
направлений).
Постановка задачи. Процедуру запоминания и фильтрации обычных и
пространственных частот промоделируем следующим образом:
1) В качестве критерия эффективности возьмем критерий «чистоты»
спектра
запоминаемого
сигнала,
представленный
в
виде
количественной меры близости исходного спектра и спектра,
искаженного «грубыми статистиками» (например, квадратичную
форму, близость по коэффициенту корреляции и др.).
2) Для реализации п.1 разработаем модель анализатора спектра.
3) Промоделируем процедуру «усреднения» («накопления») сигналов в
«зауженной» полосе частот приема подавляемого средства и сделаем
окончательный вывод о степени близости спектра сигнала и его
«цифрового эквивалента».
В ходе моделирования рассмотрим амплитудный, временной (фазовый)
«джиттер» (дрожание шкал квантования), а также «джиттер» весовых
коэффициентов (ВК) стохастического ЦРФ.
Результаты моделирования и их анализ. Моделирование этих
способов, которые мы называли технологией DRFM и DRFM-S получены
результаты, которые можно сгруппировать в следующие блоки:
1) Подобие сигналов во временной области (сравнение обычных
спектров);
2) Подобие сигналов в пространственной области (сравнение спектров
пространственных частот);
3) Адаптация АЧХ стохастических ЦФ;
4) Восстановление подобия сигналов в «зауженных» полосах
радиоприёмных устройств подавляемых РЭС при использовании
грубых цифровых копий ;
5) Использование стохастических шкал квантования;
Результаты моделирования представлены на рисунках 3.22 ÷ 3.29,
причем на рисунках рис. 3.22÷3.25 приведены результаты моделирования по
блоку 1, на рис. 3.26 – результаты моделирования по блоку 2, на рис. 3.27 результаты моделирования по блоку 3, на рис. 3.28, 3.29 - результаты
моделирования по блоку 4. Результаты моделирования по блоку 5 были
получены ранее.
При моделировании в первую очередь был исследован амплитудный
«джиттер». Квадратурные составляющие сигнала на частоте 1.01 ГГц (см.
рис. 3.22) подвергались 6-ти битовому аналого-цифровому преобразованию с
1
частотой квантования f д  , где интервал временного квантования Т д
Т
составлял 1,66…нс. Начальный участок амплитудной характеристики АЦП
соответствовал алгоритму округления «до ближайшего целого» и потому
- 45 -
имел «зону нечувствительности», соответствующей цене младшего разряда
АЦП. В связи с этим обстоятельством, был введён симметричный
1
рандомизирующий шум   U max , где U max - максимальное напряжение
64
сигнала, обрабатываемого в АЦП. Без введения рандомизирующего
напряжения мы имели шумы квантования, обусловленные «квадрантной»
модуляцией реального АЦП с конкрентной амплитудной характеристикой,
что приводило к появлению дискретных помеховых состовляющих порядка 45 дБ на частотах кратных 40 МГц. Это показано на рис. 3.23 и 3.24а.
U(t)
t
Рис. 3.22 Квадратурные составляющие (зеленый и черный цвет) сигнала с
частотой f=1010 МГц на выходе 6-битового АЦП в случае введения
амплитудного «джиттера»  
1
U max в функции времени.
64
При введении рандомизирующего напряжения эти дискретные
составляющие маскировались фоном спектра рандомизирующего шума на
уровне -(55÷65) дБ, что позволяло увеличить динамический диапазон
обрабатываемого сигнала на 20÷30 дБ по инструментальным
возможностям. Порядок наложения спектров при использовании
«цветовой гаммы» указан на рис. 3.23. На рис. 3.24 показан спектр сигнала
и шумов квантования S(f), дБ без рандомизирующего шума (а) и с
1
рандомизирующим шумом (б)   Vmax в полосе F   300,300 МГц.
64
На рис. 3.25 показана зависимость нормированного СКО отклонения
спектра исходного сигнала и квантованного АЦП с разрядностью К. На этом
же рисунке приведена соответствующая кривая, устанавливающая
корреляцию между входным и выходным. Начальный участок амплитудной
характеристики АЦП был запрограммирован как нечётная функция типа
sign 
 , но с возможностью наращивания его разрядности.
S(f)
- 46 -
а)
S(f)
б)
Рис. 3.23. Спектр сигнала и шумов квантования с наложением в цветовой гамме:
а) рандомизирующий шум (чёрный) внизу, шум квантования (красный) сверху;
б) шум квантования (красный) внизу, спектр сигнала и шумов квантования сверху.
S(f)
а)
S(f)
- 47 -
б)
Рис. 3.24 Спектр сигнала и шумов квантования A(f), дБ без рандомизирующего шума
(а) и с рандомизирующим шумом (б)  
1
Vmax в полосе F   300,300 МГц.
64
Рис. 3.25 Оценка погрешностей, вносимых в представление широкополосного
сигнала при различном числе уровней квантования К.
1 – нормированная корреляция с “идеальным” представлением сигнала.
2 – нормированное СКО от “идеального” представления сигнала.
На рис. 3.26 показано квантование пространственной частоты Ω с
помощью линей эквидистантной М-элементной ФАР, в каждом канале
которой стоят уже рассмотренные нами 6-битовые АЦП.
Приведённые на рис. 3.26 показаны спектры шумов квантования для
случаев «без рандомизации» (а) и «с рандомизацией» (б), которые
иллюстрируют возможности введения искусственного амплитудного
- 48 -
«джиттера» для повышения динамического диапазона М-элементного ПВ спектранализатора (М=104) на велиенчину не менее 20 дБ. Указаный случай
соответствует квазинепрерывному распределению поля в аппертуре ФАР, так
как М>>1. Для М=100 динамический диапазон уменьшается до 4 дБ,
поскольку нелинейность, вносит свои потери. На рис. 3.26 f x 
1
Sin () , где

 - пеленг на источник электромагнитного излучения. Эквивалентная
прстранственная частота частота fx источника электромагнитного излучения
1010 МГц.
A(fх)
а)
A(fх)
б)
Рис. 3.26 Спектр сигнала и шумов квантования A(fх), дБ без рандомизирующего шума (а)
и с рандомизирующим шумом (б)  
1
Vmax в полосе F   300,300 МГц.
64
На рис. 3.27 представлены результаты моделирования стохастического
ЦФ 27-го порядка. Результаты моделирования относятся к случаю, в котором
модули ВК получены в результате синтеза цифрового ФНЧ с
детерминированными ВК.
- 49 -
Рис. 3.27 Амплитудно-частотная характеристика стохастического ЦФ ФНЧ при
адаптации его полосы прозрачности путём управления корреляцией его ВК.
Управление полосой режекции в этих ЦФ осуществляется
коэффициентами корреляции ВК  i , в частоности варьированием их модулей
ij и знаков. «Глубина» корреляции варьировались от ij  0 , когда АЧХ
ЦФ становилась равномерной (случай «энергетически прозрачного» фильтра)
до ij  1 с интервалом корреляции ВК Т к   j  i   27  , когда ЦФ
выполнял свои основные функции ФНЧ с «равновеликими пульсациями» в
зоне режекции, τ -интервал временного квантования равный 1,66… нс.
Параметр Т к варьировался от 0 до 27τ, пробегая значения Т к =0 (коричневый
цвет), Т к =τ (красный цвет), Т к =17τ (зелёный цвет), Т к =23τ (синий цвет) и
Т к =27τ (чёрный цвет). Основные ВК ЦФ имели средние значения М1 а i ,
i=0,1,2,…27 равные 0, т.е. являлись равновесно знакопеременными. Крайний
случай Т к =27τ соответствовал синхронной смене знака всех 28-и ВК по
1
равновероятностному закону: Р   Р   , что для дадаптивных ФАР может
2
быть реализованно поимпульсно.
Восстановление подобия сигналов в «зауженных» полосах
радиоприёмных устройств подавляемых РЭС при использовании грубых
(бинарно-знаковых) цифровых копий проиллюстрировано на рис. 3.28, 3.29.
Прогноз моделирования данной задачи - увидеть то, что несмотря на
«грубое» представление цифровой копии сигнала приёмник подавляемого
РЭС этого как бы «не видит» и продолжает воспринимать помеховый сигнал
как гармонический, т. е. с неискажённой амплитудой.
На рис. 3.28а показаны квадратурные компоненты (реальная Re- синий
цвет, мнимая Im - зеленый цвет) клиппированного сигнала цифровой копии
на частоте 1.03 ГГц (по видео f c  30МГц ), которые по форме далеки от
гармонического, в результате чего в полосе однозначного квантования
- 50 -
появляются гармоники (±300 МГц см. рис. 3.28в): слева от центральной
частоты f  30 МГц - 10дБ, 22 дБ, справа - 17 дБ, 32 дБ
Приёмник подавляемого РЭС, имея «зауженную» полосу приёма по уровню
0.5 по мощности  120 МГц «не чувствует» этого и продолжает принимать
сигнал частотой f  30 МГц (см. рис. 3.28б) с некоторым временем
запаздывания  з  25  30 нс. В результате имеем основную дискретную
составляющую (рис. 3.28 г), которая является гармонической, хотя в
разрядность цифровой копии сигнала была грубой (К=1). В принципе это не
является открытием, т. к. известно, что гармоническое разложение сигнала в
спектр и фильтрация гармоник в «зауженной» полосе может оставить ту
единственную гармонику, которую по форме приёмник воспринимает как
гармоническую, однако это нужно реализовать технически.
а)
б)
в)
г)
Рис. 3.28 Прохождение клипированного сигнала через фильтр, полоса которого
«заужена» примерно в 5 раз, по отношению к частоте квантования.
- 51 -
На рис. 3.29 сохранены те же условия приёма, но сделано
искусственное «зашумление». На уровне образовавшегося шумового фона
(<30 дБ) мы видим те же дискретные составляющие с неизменными
амплитудами, что говорит о сохранении линейных свойств этой сугубо
нелинейной системы. В данном случае шум существенно превышает размер
младшего разряда АЦП и реализует худшие (по сравнению с рис. 3.28 г)
параметры приёма, однако в ситуации «пассивной радиолокации», когда этот
шум представляет собой «подмешиваемые рандомизирующее напряжение»,
характеристики которого (вплоть до конкретных реализаций) являются
известными, общий фон по выходу может быть скомплексирован почти до
уровня (см. рис. 3.28 г). Без компенсации фона основная гармоническая
составляющая сигнала проходит на выход системы обработки с параметрами
спектра, показанного на рис. 3.29 б.
S(f)
а)
S(f)
б)
Рис.3.29 Иллюстрация линейного взаимодействия фонового шума и дискретных
компонент «грубого сигнала» в незауженной (а) и в «зауженной» (б) полосе приема.
Результаты моделирования «джиттера» (дрожания) шкалы квантования
Т=1,66…нс показаны на рисунке в главе 2.
- 52 -
Некоторые обобщения. Анализ результатов моделирования по п. 7.4.3
позволяет сделать следующие выводы:
1) Степень «близости» спектров сигналов, обеспечиваемых технологиями
DRFM и DRFM-S безусловно необходима, однако в условиях
использования
«грубых
статистик»
требуется
определение
количественных характеристик достигнутого уровня «степени
близости», которое учитывает полосу приема подавляемого РЭС.
2) Анализ «чистоты» спектров цифровых копий сигналов показывает их
близость, что очень важно для преодоления схем помехозащиты
подовляемых РЭС, однако важен учёт обстоятельств п. 1.
3) Моделирование стохастических ЦФ 27-го порядка подтвердило
реализуемость принципа «стохастического обеления», исследованного
ранее.
3.5.
Формулировка
задач,
экспериментальных исследований.
решаемых
с
помощью
Введение. Достигнутый на предприятии ФГУП «ЦНИРТИ им.
академика А. И. Берга» технический уровень конкретных разработок по
технологиям DRFM и DRFM-S и имеющийся инструментарий по
сопровождению текущих НИОКР на основе приборов фирмы ХьюлитПаккард и отечественных приборов позволил в значительной мере проводить
экспериментальные исследования наряду с обычным моделированием. Если
нишу недостаточности (неполноты) моделирования можно восполнить
проведением дополнительных аналитических исследований путём
привлечения интелектуальных ресурсов разработчика, то нишу
недостаточности эксперементальных исследований в случае, если
аналитическое решение не найденно, а математическое моделирование не
проведенно, восполнить нечем.
Перечень задач, решаемых экспериментальными исследованиями.
В ходе проведения экспериментальных исследований решались следующие
задачи:
1)
2)
3)
4)
измерение коэффициентов подавления K п , улучшения K y и
подпомеховой видимости K пв пассивных помех конкретными схемами
помехозащиты радара;
измерение характеристик обнаружения и точностных характеристик
измерения координат обнаруживаемых радаром объектов;
измерение временных и пространственных спектров сигналов РЛС и
систем «РТР-РЭП», реализующих технологии DRFM и DRFM-S;
экспериментальные
исследования
макетов
частотомеров
и
пеленгаторов
с
малоразмерными
окнами
временных
и
пространственных выборок.
- 53 -
3.6. Результаты экспериментальных исследований.
Аппаратура СДЦ и первичной обработки радиолокационной
информации. Результаты экспериментальных исследований по п.п. 1, 2
описаны в многочисленных работах автора и литературы по радиолокации по
системам СДЦ и первичной обработки информации .
Технологии DRFM и DRFM-S. Результаты экспериментальных
исследований по п. 3.4 подраздела 3.5.2 приведены на рис. 3.30 ÷ 3.32 для
технологии DRFM и на рис. 3.33–3.36 для технологии DRFM-S.
На рис. 3.30 на экране спектроанализатора фирмы Agilent показан
спектр исходного сигнала подавляемой РЭС на частоте 0.82 ГГц в
логарифмическом масштабе (помеховый фон  65  70 дБ), в дальнейшем
подвергаемого аналого-цифровому преобразованию в квадратурах с
помощью 6-ти битового АЦП с тактовой частотой f д  600 МГц. и уводу по
Доплеру на 10 Гц., что показано на рис. 3.31. Как видно из рис.3.31 уровень
боковых лепестков помехового сигнала не превысил допустимый уровень 30 дБ. Резервы рандомизации 3÷9 дБ при введении амплитудного
1
джиттера    max в данном случае не потребовались, хотя они бы
64
улучшили «качество» помехового сигнала.
Рис. 3.30 Спектр исходного сигнала
- 54 -
Рис. 3.31 Спектр цифровой копии сигнала при выполнении операции увода по
доплеровской частоте на f  10 Гц.
Рис.3.32 Спектр прицельного цифрового доплеровского шума
полосой F  1кГц при 6-ти битовых квадратурах в ЦАП.
Для центральной частоты F0  0.98 ГГц на рис. 3.32 проиллюстрирован
спектр прицельного доплеровского шума с полосой F  10 кГц, при
использовании 6-ти битовых квадратур в ЦАП.
Для
экспериментальной
проверки
избирательных
свойств
пространственных фильтров был задействован макет многолучевой антенной
решетки (МЛАР), см. рис. 3.33, представляющий собой многофокальную
линзу с принудительным преломлением (типа R-2R).
- 55 -
2
1
Рис 3.33. Макет многолучевой линзовой антенной решетки:
1 – полуокружность излучающих элементов;
2 – диаграммо – образующее устройство (ДОУ);
Излучающая поверхность линзы представляла собой антенную
решётку, состоящую из 24-х рупорных антенн, расположенных на
полуокружности радиуса 2R=480 мм с результирующим шагом 7.5 градусов,
поскольку было задействовано 2 уровня, в каждом из которых шаг был
равным 150.
Освещаемой поверхностью линзы являлись аненные элементы в виде
открытых концов волновода сечением 28.5х12.8 мм, расположенных на
окружности радиусом R=240 мм с шагом 15 градусов. Каждый элемент
освещаемой поверхности соединён
каоксиальным кабелем с
соответсвующим элементом излучающей антенной решётки. Излучающие
элементы в виде открытых концов волноводов аналогичны элементам
освещаемой поверхности, расположенной на фокальной дуге, которая
является продолжением той же окружности радиусом 240 мм, на которой
расположенны элементы освещаемой поверхности. Фокальные элементы также ориентированны под углом 15 градусов относительно друг друга.
Освещаемые и фокальные поверхности объеденины в единую
конструкцию, которая является диаграммо-образующим устройством, и
состоящем из 24 элементов, расположенных на окружности R=240 мм с
шагом 15 градусов. Сверху и снизу эти антенные элементы ограниченны
металлическими поверхностями, которые формируют двухплоскостную
- 56 -
линию передачи между освещаемой и фокальными дугами, расположенных
друг напротив друга. Если на некоторый элемент, расположенный на
фокальной дуге подаётся СВЧ мощьность, то на дуговой излучающей
антенной решётке формируется плоский фазовый фронт, поскольку
«электрические длины» все выбранны длиной кабелей. Угол наклона
фазового фронта к оси симметрии системы, соответствует ориентации
«запитывающего» элемента.
На Рис. 3.34. показанны диаграммы напрвлености лучей,
соответсвующих центральному и крайнему лучу рабочего углового сектора
МЛАР. Из этого рисунка видно некоторое расширение ширины луча на краю
рабочего сектора, отражающим связь пространственной частоты  и пеленга
 и -уменьшение усиления из-за конечной ширины (  30 градусов)
диаграммы направлености отдельного излучающего элемента МЛАР. На рис.
3.35. показаны уровни пересечения лучей. Измерения проводились на
частоте 7.7 ГГц. Как видно из Рис 3.34, уровни пересечения лучей близки к
0.5 (измерения проводились в линейном масштабе). Ширина диаграммы
направленности лучей определялась числом илучающих элементов,
соединёных с ДОУ. В эксперименте число элементов М было выбранно
равным 7, а остальные элементы были нагруженны на поглощающие
нагрузки. Управление лучами осуществлялось с помощью переключателя и
фазовращателей.
При подаче на два смежных фокальных элемента синфазных СВЧ
сигналов, то излучающие элементы представляли собой двухэлементную
антенную решётку, запитанную синфазно. При подаче - противофазных
сигналов, формировалась разностная диаграмма направленности
в
соответствующем направлении.
Рис 3.34 Диаграмма направленности центрального и крайнего луча в рабочем секторе
- 57 -
Рис 3.35 Уровни пересечения лучей МЛАР при сканировании М = 7
Рисунок 3.36 иллюстрирует экспериментальные зависимости
адаптации АЧХ пространственного фильтра 1-го порядка с окнами
пространственных выборок размером 2, перестраивающихся, соответсвенно,
от ФНЧ (суммарная обработка) к ФВЧ (разностная обработка). Логическая
функция перестройки знаков весовых коэффициентов при формировании
разностного канала включала в себя две комбинации « » и « », то есть
соответствовала функции « - сумматор по модулю два», а логическая
функция перестройки знаков весовых коэффициентов суммарного канала –
комбинации « » и « », что соответсвовала функции эквивалентности.
Стохастический режим абсолютной энергетической прозрачности
соответсвует знакопеременной коммутации знаков весовых коэффициентов с
вероятностями p+=p-=0.5. Формирование результирующей характеристики
перестраиваемого пространственного фильтра осуществлялось регулировкой
кореляции его весовых коэффициентов по аналогии (см. рис. 3.27), но с
учётом особенностей, определяемых уровнями пересечения ДН рис. 3.35, в
результате которых пространственный фильтр не имел равномерную ДН.
Несмотря на это подраздел 4.7 предопределил теоретическое
существование «абсолютно прозрачного фильтра», который бы имел
заданную АЧХ, стабильный уровень выходного шума, но к тому же сохранял
свойства диаграммо-образования, т.е. свойства обеспечения углового
разрешения источников электромагнитного излучения. Речь идет о
построении ФАР для ЛА нового поколения, который бы был менее заметен
из-за антенн, но сам имел возможность получать информацию об
окружающей обстановке. Искусственно введённая стохастичность
расширила возможности радиолокации.
- 58 -
Рис 3.36. Парциальные и суммарно-разностные диаграммы направленности
центрального и смежного с ним луча, задействованной в адаптации произвольных АЧХ
пространственных фильтров.
Стохастические ЦФ, рассмотренные в разделе 4, и результаты
моделирования теоретически доказывают такую возможность, однако
экспериментальное подтверждение этого эффекта невозможно было
обеспечить средствами моделирования, поскольку невозможно учесть
большую совокупность неконтролируемых условий и факторов. Вопрос
экспериментальной проверки напрашивается сам собой, и его решение, повидимому, связано с доказательством этой идеи на макете ФАР в
ограниченном диапазоне частот и на ограниченном числе пространственных
выборок.
Формулировка задачи эксперимента звучала так:
1)
Мы имеем стохастическую ФАР, которая сканирует
определенный угловой сектор пространства, получая информацию способом
суммарно-разностной обработки смежных парциальных каналов.
2)
В ситуациях, когда луч «смотрит» на тебя (например, в диапазоне
управления оружием, скажем,  =3 см), антенна воспринимается как «черная
дыра», которая все поглощает, но является «контрастной» точкой,
демаскирующей ЛА, который мы хотим сделать малозаметным.
3)
Модуляцией параметров ФАР мы добиваемся того, чтобы эта
«демаскирующая» точка (по контрастности) сравнивается с общим уровнем
фона.
Обобщение результатов экспериментальных исследований данного
вопроса позволило разбить результаты измерений на два блока:
- 59 -
блок A – «работа в режиме диаграммо-образования»;
блок B – «работа в режиме стохастической модуляции парметров
ВК ФАР».
При работе во втором случае реализуется усреднение уровня фона за
счёт стохастического усреднения боковых лепестков.
1)
2)
При работе «в режиме диаграммо-образования» наблюдается резкое
увеличение (всплеск) «эквивалентной» ЭПР ЛА в ситуациях, когда луч
«смотрит» на объект.
Учитывая то обстоятельство, что в широкоапертурных антеннах
ширина луча составляет единицы градусов и менее, вероятность (время
существования) такой ситуации чрезвычайна мала. Интегральная оценка
эффективности возможного снижения заметности для случая плосковолнового приближения составила 312 дБ, а при обеспечении снижения
всеракурсной заметности по боковым лепесткам - 36 дБ.
Анализ полученных количественных результатов показал, что
снижение заметности ЛА может быть достигнуто реализацией
«стохастического» режима работы ФАР. Однако надо иметь в виду, что
адаптивное управление ФАР, основанное на традиционных схемах
формирования «нулей» в ДН ценой усложнения алгоритмов и,
соответственно, технических ресурсов может обеспечить более высокие
показатели, но в условиях строгой ПВ-когерентности и в узких угловых
секторах.
Поднятые вопросы, связанные с заметностью ЛА, имеют много общего
с аналогичными вопросами синтеза ЦФ во временной области, и безусловно
носят постановочный характер. В дальнейшем они могут стать предметом
отдельных исследований, поскольку исследуемая в настоящей работе «идея
рандомизации» практически нами уже ранее.
Промежуточные выводы. Экспериментальные исследования по
п. 7.6.2 позволяют сделать следующие выводы:
1)
Измерения временных и пространственных спектров сигналов,
проведенные на макетах цифровой радиочастотной и пространственночастотной памяти, реализующих технологии DRFM и DRFM-S, подтвердили
адекватность математических моделей и результатов моделирования
подраздела 7.4.
2)
Прогнозные оценки СКО устройств измерения частоты и пеленга
на макетах соответствующих устройств подтвердили адекватность
математических моделей и результатов моделирования подраздела 3.2.
3)
Отмечены случаи выявления эффектов «сверхразрешения»,
получаемые путем усложнения модели прогнозирования пространственновременных полей за пределы малоразмерных окон временных и
пространственных выборок.
- 60 -
4)
На экспериментальной установке МЛАР с многоканальной
суммарно разностной обработкой исследована задача управляемости АЧХ по
пространственным частотам Ω для реализации стандартных режимов
диаграммо образования, включая режим полной «энергетической
прозрачности» в заданном угловом секторе.
3.7. Результаты экспериментальных исследований опытного
образца комплексной радиоакустической системы подповерхностного
обнаружения мин на железной дороге.
Введение и постановка задачи. Георадарная тематика обнаружения
подповерхностных неоднородностей глубоко внедрилась в технику поиска
минно-взрывных средств (МВС). В 70-х гг. прошлого столетия Х. Ф. Хармут
и других показал возможности подповерхностной видеоимпульсной
радиолокации неоднородностей и обосновал совместимость противоречивых
требований: разрешения неоднородностей и обеспечения глубинности их
подповерхностной видимости, что было связано с увеличением отношения
F f н , где F – полоса сигнала, а f н – несущая частота. В пределе это
обеспечивается использованием сигнала без несущей, когда f н =0. Строгого
теоретического обоснования данного способа геолокации он не дал, однако
указал на путь развития подповерхностной геолокации в направлении
F
  , который был оправдан. Сложный характер взаимодействия
fн
электромагнитных и акустических волн в слоистой среде верхнего строения
пути (ВСП) ЖД в условиях наличия помех от рельсов и шпал практически
«отрезал» пути для моделирования, оставив единственную возможность –
проведение экспериментальных исследований.
Задачи
экспериментальных
исследований.
Важным
обстоятельством, определившим круг решения задач экспериментальных
исследований, явился выбор способа локализации (обнаружения)
неоднородностей. Дело в том, что объект обнаружения (мина) в
рассматриваемой задаче не может быть выявлен доплеровскими методами,
т.к. он (объект) не имеет доплеровского смещения частоты, поскольку жестко
связан с грунтом. Таким образом, традиционные методы обнаружения целей,
основанные на селекции движущихся целей (по аналогии с когерентноимпульсной радиолокацией), здесь не могут быть задействованны.
Известен способ обнаружения цели (в подобных ситуациях),
основанный на движении носителя РЛС. Сканирование поверхности земли
радаром путем его перемещения позволяет сформировать гиперболические
«пролетные» функции эхо-сигналов отражений от неоднородностей, особые
точки
которых
(«седла»)
отождествляются
с
координатами
- 61 -
месторасположения этих неоднородностей.
Наличие периодической
структуры «рельсы – шпалы» не позволяет, к сожалению, воспользоваться
«энергией» всех точек гиперболы, т.к. от гиперболы остается лишь
«вершина» и два ее «хвоста». Тем не менее, обработка сигналов в этом
случае, все же возможна, когда статистики наблюдений являются грубыми,
т.к. в случае отсутствия «хвостов» остается «вершина» гиперболы и
контрастные признаки цели. Эта идея является главным вкладом в развитие
геородарной тематики для поиска МВС.
В данном способе обнаружения мин, учитывающем не только
«вершину» гиперболы, а и ее «хвосты», можно задействовать координату X
(вдоль пути) и координату Y (поперек пути) с тем, чтобы воспользоваться
всей информацией поверхностно-распределенной системы отсчетов тела
поверхности параболоида вращения (см. рис. 8.4). В случае отсутствия
«хвостов» (о чем упоминалось выше) осуществляется сравнение амплитуды
текущего отсчета с соседними (по координатам X и Y ) на основе
использования статистик Манна – Уитни, либо со среднестатистическими
данными усреднения в окрестности на основе «трубок» СКО.
Задачи обнаружения МВС в сформулированных условиях структуры
ВСП, в свою очередь, требовали решения следующих экспериментальных
задач:
1)
обеспечение беспровальной полосы (±1.5 м от оси ЖД-полотна)
обнаружения МВС независимо от типа рельсов, шпал, погодных условий с
учетом обеспечения требуемой глубинности обнаружения (от «подошвы»
шпалы до 1 м);
2)
обеспечение требуемой точности обнаружения координат мин в
проекции на плоскость XY с СКО 15 см.
Результаты экспериментальных исследований и их анализ.
Результаты экспериментальных исследований по пп. 1, 2 представлены на
рис. 3.38 ÷ 3.40. Отображение МВС на рис. 7.38 представлено в продольноглубинных сечениях, на рис. 7.39 - в функции времени, а на рис. 7.40 –
показана
аппаратура
формирования
статистики
поверхностнораспределенных отсчетов по координатам X, Y .
Обработка полученных результатов по критерию статистических
вероятностей обнаружения МВС различного класса (противотанковых,
противопихотных мин, фугасов) дала обобщенные результаты.
- 62 -
Рис 3.38 Продольно-глубинные срезы обнаружения
неоднородностей в грунте.
Рис 3.39 Отметка от локальной неоднородности
в функции времени (глубины).
Рис 3.40 Аппаратура формирования статистики
поверхностно-распределенных отсчетов.
- 63 -
Промежуточные выводы. Анализ полученных результатов позволил
сделать следующие выводы:
1)
Периодическая структура ВСП при обычной обработке сигналов
ухудшает эффективность обнаружения МВС (вероятность обнаружения и
точность измерения координат), что является «платой» за вынужденное
«загрубление» статистик.
2)
Учет траекторной гиперболической корреляции для сигнала цели и
усреднения параметров помеховых компонент на основе гипотезы
сглаживания неоднородностей в малоразмерном окне ПВ-выборок размером
«4x6» показал работоспособность исследованных алгоритмов на основе
принципа «бистатической радиолокации» и «синхронизации измерений».
3.8. Аппаратурное воспроизведение стахостических характеристик
рандомизирующего процесса.
Независимость испытаний и практические гарантии точности
измерения парметров повторяющегося сигнала.В теоретических
исследованиях достаточно наглядными и удобными являются интервальные
и точечные оценки вероятности, полученные в результате анализа априорных
сведений и функций правдоподобия. Однако, относительно правомерности
использования этих оценок применительно к обработке экспериментальных
данных, имеющей место всякий раз в конце теоретических исследований с
целью подтверждения теоретических выводов, существуют различные точки
зрения. Некоторые авторы высказывают сомнения по поводу надежности
указанных оценок. Различные методы математической статистики с точки
зрения приложения их к обработке экспериментальных данных разбиваются
на две группы.
В методах первой группы, куда включаются такие известные методы,
как метод максимального правдоподобия и методы байесовой теории оценок,
делаются попытки теоретически обосновать надежность вычислений
интересующих исследователя вероятностей. Здесь еще до проведения
эксперимента делается предположение о независимости, либо какой-либо
зависимости, данных, которые предстоит получить в эксперименте. В
результате чего, такие соглашения обычно предполагают чрезмерное
субъективное навязывание объекту ансамблевой модели, т.е. домысливание
результатов единичных экспериментов до бесконечно большого числа
экспериментов. Алимов Ю.И. в своих работах дал критику странности
ансамблевых моделей в безансамблевых ситуациях.
Применительно
к
оценке
точности
измерения
парметров
повторяющегося сигнала методом независимых статистических испытаний
чрезмерное субъективное домысливание ансамбля выражается в том, что
грубая статистика   1 ,  2 ,..., N  в N зондированиях одной случайной
- 64 -
величины  трактуется как совокупность N независимых случайных величин
с функциями распределения
F1    F2    ...  FN    F  .
(3.1)
В методах первой группы справедливость условия (3.1) либо
принимается на веру, либо аксиоматически берется в качестве исходного
постулата. Это связано с тем, что экспериментальная проверка условия (3.1)
влечет за собой большие вычислительные трудности и требует огромного
объема статистического материала. В этом и состоит основное неудобство
использования метода независимых испытаний для повышения точности
измерения повторяющихся параметров.
Автор данной работы утверждает, что искусственное введение
зависимости испытаний в метод Монте-Карло позволит существенно
упростить громоздкую структуру проверки условия (3.1) путем замены
абстрактных теоретико-вероятностных понятий более обозримыми
(измеряемыми) теоретико-числовыми понятиями.
Вторая группа методов является выражением мизесовского
формализма теории вероятностей, рассмотрение которого выходит за рамки
настоящей работы. В настоящей работе мизесовский подход к обработке
экспериментальных данных использован при физическом моделировании
зависимых статистических испытаний. Согласно этому методу в
эксперименте анализируется некоторая функция
2
Mi   M p *i  p  , i  1,2,...
на устойчивость в смысле уменьшения разброса по мере увеличения числа i
2
проведенных замеров квадратов отклонений p *i  p  . Здесь p*i - случайное
значение оценки p* в i-м эксперименте, p – измеряемая вероятность.
Довольно часто с ростом i обнаруживается устойчивость, т.е. при i  i *
убеждаются, что
(3.2)
Mi   M  const ,
*
где M – некоторая постоянная величина, i - та длина серии испытаний,
для которой уже имеет смысл считать справедливым равенство (3.2).
Если в качестве функции Mi  используется эмпирическое среднее
1 i *
Mi    (p j  p) 2 ,
(3.3)
i j1
то равенство (3.2) позволяет исследователю по статистике (3.3) вывести
суждение относительно искомого среднего квадрата ошибки.
Специфическая особенность настоящего метода состоит в том, что для
выработки суждения относительно действительной точности измерения
исследователь в первую очередь получает статистику (проводит
эксперимент). Такой подход более приспособлен к неожиданностям
эксперимента, поскольку он предполагает объективное существование как
контролируемых, так и неконтролируемых условий проведения
эксперимента.


- 65 -
Мизесовский вариант терии вероятностей не оперирует со вторичными
доверительными вероятностями по той причине, что для их измерения
необходимо согласно теорем Бернулли и Пуассона измерение третичных,
четвертичных и т.д. вероятностей. С каждым витком спираль «вероятность
того, что вероятность того, что вероятность…» все усложняется.
В ряде исследований доказано что, что целесообразно сразу на основе
анализа кривой (3.3) перейти к количественным оценкам выигрышей в
точности. Наряду с известными классическими приемами обработки
экспериментальных данных нами был использован описанный выше
эмпирический подход, позволяющий по нашему мнению более надежно
подтвердить теоретические выводы.
Анализ аппаратурных погрешностей измерителя параметров
повторяющегося
сигнала,
использующего
метод
зависимых
статистических испытаний (ЗСИ). Из главы [9] следует, что свойства
линейного метода ЗСИ достаточно хорошо описывались теоретико-числовой
функцией «дробной доли»  j  [0,1] :
tj
(3.4)
 R 1   j  1, j  1, 2, ... ,

где t j - фаза квантующего импульса;
 - интервал квантования.
Применяя терминологию вероятностной теории чисел, можно сказать
что задача о распределении дробных долей линейной функции в [9]
решалась с помощью индивидуальной теории чисел, согласно которой
рассматривалось распределение дробных долей линейной функции (3.4) для
какого-либо фиксированного числа  .
Это распределение присутствовало в формулах для вероятностей  ji ,  ji .
В целях отыскания упрощенного решения задачи в настоящей главе
затрагиваются вопросы метрической теории чисел, где речь пойдет об
изучении меры множества чисел  j , для которых справедливо то или иное
свойство последовательности дробных долей линейной функции
 j  R 1   j  1.
Изучение меры позволит также решить задачу о влиянии
нестабильностей в аппаратуре измерения, в частности - задачу о влиянии
нестабильности отношения  на результаты измерения.
Формализация процедуры измерения зависимой цепью Маркова хотя и
является исходным звеном при метрическом подходе, но в то же время она
имеет самостоятельное значение. При изучении меры множества чисел  j
было использованно понятие асимптотической плотности множества Г,
входящего в множество ограниченного интервала:
1
(3.5)
PГ   lim
N  j  N,  j  Г  ,
N 
N
j 
- 66 -
где N() означает количество чисел  j , удовлетворяющих условиям,
указанным в скобках.
В общем случае понятие асимптотической плотности множества Г не
является вероятностной мерой множества Г. Специфичность метода ЗСИ,
существенным образом использующего теоретико-числовые понятия,
требует более подробного исследования теоретико-числовой стороны метода.
Поэтому мы рассматривали такие вопросы, как аппроксимация процедуры
измерения простой однородной зависимой цепью Маркова, исследовали
влияние нестабильностей отношения периодов квантующей и измеряемой
последовательностей, исследовали вопросы сходимости распределения чисел
 j к предельному теоретическому распределению, рассматривали вопросы
совместной оптимизации измерителя дальности и аппаратуры СДЦ,
поскольку обе указанные задачи решаются методом вобуляции периода
повторения зондирующих импульсов, приводящей к модуляции фазы  j .
Марковская аппроксимация линейных оценок вероятности.
Рассмотрение формализуемых по Маркову процедур измерения вероятности
необходимо как для анализа метода ЗСИ, так и для исследования
возможностей повышения точности отсчета х при использовании цепных
марковских зависимостей.
Формализация рассматриваемой процедуры простой однородной
цепью Маркова включает в себя следующие моменты.
В результате каждого испытания может произойти или не произойти
событие А (совпадение импульсов измеряемой и эталонной квантующей
последовательности). Если в текущем испытании появилось событие А, то
вероятность в следующем испытании вновь появиться событию А равна  .
Если в текущем испытании не появилось событие А, то вероятность в
следующем испытании появиться событию А равна  . Таким образом,
можно задать вероятности перехода матрицей:
 1  
(3.6)
 1   


Вероятности перехода (3.6) через асимптотическую плотность (3.5)
определим ниже, а сейчас отметим, что вероятности появления событий A и
A при первом испытании p1 , q 1 есть не что иное как вероятности совпадения
или несовпадения импульсов измеряемой и эталонной квантующей
последовательности в момент обнаружения цели в рассматриваемой ячейке

дальности. Следовательно, p1  p  x , а q 1  1  p1 .

Обозначим через p 2 вероятность появления события А во втором
испытании, q 2  1  p 2 .
Очевидно, что во втором испытании событие А может произойти
двумя несовместимыми способами:
- 67 -
1. В первом испытании наступит событие А и при следующем вновь
произойдет событие А;
2. В первом испытании наступит событие A , а в последующем
произойдет событие А.
По формуле полной вероятности находим:
p 2  p1  q 1 .
(3.7)
В [9] было показано, что при любом i  1
  i 1


,
(3.8)
p i   p1 
 
1  
1 

где      .
Для нахождения условного среднего квадрата ошибки оценки
m
p*  a  b ,
lk
где 1 - число этапов, к – размер выборки на одном этапе, а, b –
N
постоянные коэффициенты, m    i - статистика наблюдений, необходимо
i 1
найти вероятности перехода  и  в зависимости от p и асимптотической
плотности (меры) множества чисел  j (3.5), которую зададим в виде
интегрального распределения:
1 ~
(3.9)
F  P j    lim
N j  N,  j  0,  ,
N 
N
где F  P j   - интегральное распределение, показывающее
асимптотическое распределение чисел  j и долю чисел  j   по всей
совокупности чисел  j . Очевидно, долю чисел  j  a, b можно определить,
используя интегральное распределение F  следующим образом:
P j  a, b   dF .
b
(3.10)
a
Выражая  и  через p,  и F  , получим
0, если p  Q

 1Q 
 dF 
 1p
, если Q  p  1  Q
 1

    dF 
 11p
1
 dF   dF 

 1p
2  p
, если p  1  Q

1

 dF

1 p
(3.11)
- 68 -
 p
  dF 
, если p  Q
 10 p

dF 
 0
 Q 
    dF 
 10p
, если Q  p  1  Q
 dF 
 0


1, если p  1  Q
(3.12)
m
 b,
lk
учитывая, что l испытаний связаны между собой зависимой цепью Маркова,
а k этапов между собой независимы, получим с учётом соотоношений [9],
Выражение для среднего квадрата ошибки оценки p *  a
2
 m
 a 2 PQ 1   a 0 a 2  

p  P 1  l 

M  a  b  p  p 
 2  a  P 
  b  p ,
kl 1   kl
l 1  

 

 lk

(3.13)
где a 0 - остаточный член, остающийся постоянным с ростом l, P,
Q=1 – P – предельные вероятности появления и непоявления события А
за l шагов, причем

.
(3.14)
P
1 
m
Формула (3.13) позволяет определить качество линейной оценки p *  a  b
lk
при различных асимптотических распределениях F  .
Случай А. Иррациональные  . При этом распределение  j внутри
единичного интервала 0, 1 является равномерным [10], т.е. F   , а
dF
W 
 1.
d
При равномерном распределении  j легко проверить, что предельная
m
вероятность P=p, т.е. оценка p *  , как это видно из формулы (3.13),
lk
является несмещенной, следовательно, ее средний квадрат ошибки
определяется только дисперсией. Используя формулы (3.11), (3.12), (3.8) и
(3.14) для  ,  ,  и P, соответственно, получим
2
 m
 pq 1   a 0

M   p  p,   

 2 .
(3.15)
lk
kl
1


kl




2
- 69 -
В
[9]
изображены
условный
средний
квадрат
ошибки
2
 m


M   p  p,   , умноженный на k, в зависимости от измеряемой

 lk

вероятности p, числа испытаний l в группе и параметра процедуры
T 
  R   . Было наличие провала при p=0,5, когда   0,5 .

Смысл приближений   0,5 ,   0,4 (0,6) ,   0,3 (0,7) ,   0,2 (0,8) ,
  0,1 (0,9) состоит в следующем:   0,5   ,   0,4   ,   0,3   и т.д.,
где  - иррациональное число, причем   1 .
Подробное обсуждение возможности использования получающихся
выигрышей в точности при  близких к 0,5 и связь иррационального числа 
с числом испытаний l обсуждалось нами в [17].
v
, где v, w – целые
w
v
положительные взаимно-простые числа. Очевидно, при этом, что дробь
w
является правильной и несократимой, тогда периоды  и T имеют общую
меру:

(3.16)
t 1  .
w
Распределение W , получающееся в результате биений двух частот
становится дискретным.
Учитывая известную лемму, которая говорит о том, что если w>1 и v
взаимно просто с w, то при j = 1, 2,… , w – 1 совокупность двух значений
j
 v
величины R  j  совпадает с совокупностью значений
. Поэтому
w
 w
асимптотическое распределение W можно записать в виде
1 w 1


W      jt1   0  ,
(3.17)
w j0
 0  0, t 1  - случайная фаза, обусловленная несинхронностью измеряемой и
квантующей последовательностей;
x  - дельта-функция Дирака.
Учитывая эти формулы, условный средний квадрат ошибки (7.13) для
m
оценки p * 
можно записать в следующем виде:
lk

 p  
p 
 p  R  t 1  p  R  t 
2
 m

 t  
 t   1   a 0

M   p  p,    

 2 
lk
kl
1


kl




Случай Б. Рациональное  . При этом  
- 70 2
 p

 R  t t 1   l
p 





 R  t  ,
l
1 
 t  



(3.18)
t 1 1
 .

w
Анализ формулы (7.18) позволяет сделать вывод о том, что при
где t 
стремлении  
v
w
к иррациональному числу
w   
средний квадрат
ошибки измерения по своему виду в точности совпадает со средним
квадратом ошибки соответствующему иррациональным  . Факт совпадения
в двух предельных случаях подтверждает правильность исходных
предпосылок.
Влияние
нестабильностей
аппаратуры
на
точностные
характеристики измерителей параметров сигнала, работающих в
условиях эффектов стробоскопического характера. Ранее было
установлено, что погрешности линейного метода ЗСИ определяются
T
соотношением периодов Г  , а в частности знаменателем w отношения

T  v
  R    . Реально, в силу влияния неконтролируемых изменений
 w
параметров аппаратуры и входных воздействий заданное отношение
периодов  не может быть поддержано с бесконечно большой точностью.
Сказанное можно дополнить тем, что если  имеет некоторую непрерывную
область изменения a , b , то в этой области одновременно присутствует
бесконечно большое число иррациональных и счетное множество
рациональных точек  , каждая из которых оказывает свое влияние на
результирующую ошибку измерения.
В дальнейшем удобно воспользоваться широко известным в
приложениях математики приемом для представления числа  , согласно
которому используется не обычное деление чисел на рациональные и
иррациональные, а другой подход: все числа мыслятся как рациональные,
которые в свою очередь, подразделяются на «настоящие» рациональные
числа (малые знаменатели) и приближенно иррациональные (большие
знаменатели).
В импульсных РЛС обнаружения и целеуказания с большой
скважностью число принимаемых эхо-сигналов не велико (N<15), поэтому
для максимального использования резервов линейного метода ЗСИ
необходимо набег фазы  выбирать таким, чтобы w=N. Схемы дальномеров
с устройством модуляции фазы и вобулятором частоты повторения при
малых w практически не вносят дополнительных погрешностей за счет
- 71 -
нестабильности  , поскольку периоды T и  вырабатываются от одного
выскостабильного кварцевого генератора.
Теоретический интерес представляет исследование нестабильности при
w=N>>1. Вначале, используя теоретико-числовое понятие подходящих
дробей, оценим верхнюю границу ошибок измерения вероятности, учитывая,
что максимальная ошибка измерения вероятности линейным методом ЗСИ
v
1
для заданного  
при условии, что N=w, равна .
w
w
Для такого исследования воспользуемся терминологией теории чисел.
Из работы [10] имеем теорему: всякое число T представляется единственным
способом через положительное  в виде
T   0   ,
(3.19)
где:  0 - частное от деления T на  ;
 - остаток от деления T на  , причем 0     .
Учитывая (3.19) отношение Г можно представить в виде:
T

(3.20)
Г   0   0   ,



T 
T 
где    R   ;  0  E   .



Назовем Г полным частным,  0 - неполным частным.
Как видно из (3.20), полное частное равно сумме неполного частного и
нормализованного к  остатка от деления T на  .
Если T и  - целые числа, то они будут иметь наибольший общий
делитель, который находится по алгоритму Евклида [10] по следующей
схеме:
T   0  
0
   02   2
0  2  
   2  03  3
0  3   2
.................................................
 N 2   N 1  0 N   N 0   N   N 1
(3.21)
 N 1   N  0( N 1)
Наибольший общий делитель равен  N , т.е. последнему не равному
нулю остатку алгоритма Евклида. Отношение периода может быть числом
любым вещественным, в частности иррациональным, тогда алгоритм
Евклида является бесконечным. Действительно,
- 72 -
1

Г







, 2  1
0
0

2

 2   02  1 ,
3  1
(3.22)
3

................................

1
 s 1   0 ( s 1)  ,
s  1

s
Указанный способ называется разложением Г в непрерывную дробь,
которая представляется в виде
1
,
(3.23)
Г  0 
1
 02 
...............................
1
 0(s2) 
1
 0 ( s 1) 
s
где  0 ,  02 ,  03 ,... - неполные частные алгоритма Евклида.
Для иррациональных Г указанный процесс бесконечен. Процедура,
аналогичная для рациональных Г конечна. Весьма важное значение при
исследовании нестабильностей имеют подходящие дроби:
Г1   0 ,
Г2  0 
Г3   0 
1
,
 02
1
,
1
 02 
 03
.
(3.24)
......................................
1
Гs   0 
1
 02 
..................
1
 0 ( s 1) 
 0s
При получении для заданного соотношения частот Г его подходящих
P
дробей Г s  s
можно воспользоваться простыми рекуррентными
Qs
формулами [10]:
 Ps   0 s Ps 1  Ps  2
.
(3.25)

Q s   0 s Q s 1  Q s  2
Значение подходящих дробей позволяет по их знаменателям оценить
погрешности измерения параметров при нестабильных Г, поскольку
подходящие дроби имеют следующие полезные свойства [200]:
- 73 -
1. Каждая последующая подходящая дробь ближе к окончательному
значению Г, чем предшествующая, причем
1
.
(3.26)
Г  Г s 1 
Q s Q s 1
2. Подходящая дробь является наилучшим из возможных приближений к
Г дробями фиксированной сложности, если сложность дроби измерять
ее знаменателем.
Учитывая сказанное, можно составить инженерную методику оценки
погрешности нестабильных Г. Эта методика включает в себя следующие
моменты:
1. Выбирается исходное отношение периодов Г;
2. Теоретически
или
экспериментально
определяется
область
нестабильности Г в виде замкнутого интервала a , b , включающего в
себя точку Г;
3. По алгоритму Евклида, для числа Г строится последовательность
подходящих дробей Г1, Г2, …, Гs;
4. Из совокупности подходящих дробей Г1, Г2, …, Гs выбираются те,
которые попадают в интервал a , b ;
5. В попавших в интервал a , b подходящих дробей их числители
заменяются на единицы. Получившиеся числа характеризуют
P
максимальные ошибки на интервале a , b , т.к. каждой дроби Г i  i
Qi
1
соответствует ошибка измерения вероятности t i 
;
Qi
6. Для получения завышенной оценки погрешности при нестабильностях
в аппаратуре по точкам t i проводится огибающая, которая
характеризует верхнюю границу для погрешностей измерения
вероятности методом ЗСИ при нестабильных  .
Пример:
1. Пусть Г  3 .
2. Зададимся интервалом a , b в виде 1,5; 1,9 . Очевидно, что
3  1,5; 1,9 .
3. Последовательность подходящих дробей для Г  3 имеет вид:
1 2 5 7 19 26
и т.д. Пусть уровень значимости ошибок равен 1/15.
, , , , ,
1 1 3 4 11 15
5 7 19 26
4. Дробями, которые попали в интервал 1,5; 1,9 , являются , , ,
.
3 4 11 15
1,5; 1,9 возможны ошибки
5. Следовательно,
в
интервале
1 1 1 1
t i  , , , .
3 4 11 15
- 74 -
6. По полученным в п.5 точкам строим огибающую, характеризующую
максимальные ошибки измерения вероятности. Огибающая ошибок t i
показана на рис. 3.41 пунктиром.
В отдельных случаях верхняя граница погрешности, полученной по
приведенной методике, оказывается недопустимо завышенной, поэтому
задача отыскания нижней границы для ошибок метода ЗСИ при
нестабильных Г представляет практический интерес. При нестабильных Г
необходимо учитывать вклад в результирующие погрешности всех точкек
интервала a , b , поэтому для отыскания нижней границы погрешности
линейного метода ЗСИ необходимо усреднить вклад каждой точки из
интервала a , b .
Для того, чтобы провести такое усреднение, используем теоретикочисловое понятие ряда Фарея. Пусть N  1 . Ряд, расположенный в порядке
возрастания рациональных несократимых дробей со знаменателями, не
превосходящими N, называется рядом Фарея, отвечающим N. Если в ряде
Фарея заменить числители на единицы, то его члены будут характеризовать
ошибки, вносимые рациональными точками, у которых знаменатель меньше,
либо равен N.
t i
t i
0.6
0.3
0.5
0.4
0.2
0.3
3
0.2
0.1
0.1
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
7,5
8
1.9
Г
Рис. 3.41
Максимальные ошибки
измерения
вероятности
p
при
нестабильном Г в интервале [1,5;1,9].
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9

Рис. 3.42 Ошибки  t i в точках 1 =1/5; 1/3; 2/5;
1/2; 3/5; 2/3; 4/5, соответствующих членам ряда
Фарея, отвечающему 5.
На рис. 3.42 изображены ошибки t i для ряда Фарея, отвечающего
N=5. Если N   , то члены преобразованного ряда характеризуют все
ошибки, вносимые точками интервала 0, 1. Теперь необходимо определить
число таких точек, которые плотно «покрывают» отрезок 0, 1. Очевидно,
что число членов преобразованного ряда Фарея (знаменатели заменены на
единицы) со знаменателями равными N, равно количеству взаимнопростых с
N чисел из натурального ряда 0, 1, 2, 3, …, N-1. По определению [10], это
есть теоретико-числовая функция Эйлера.
- 75 -
Следовательно, интересуясь вкладом рациональных точек, у которых
знаменатели меньше либо равны N, можно записать среднее значение
ошибки в виде
N
1
i 

i 1 i
,
(3.27)
t 
(N)
 i 
N
i 1
где i  - функция Эйлера от i.
Поскольку i   i (равенство выполняется только для простых i), то
N
t ( N )  N
(3.28)
 i 
i 1
Усреднение равномерно по всем точкам требует устремления N к
бесконечности, поэтому среднюю ошибку можно найти следующим образом:
(3.29)
t  lim t ( N )
N 
Находя предел (3.29) с учетом выражения (3.28) и равенства [10]:
N
3
(3.30)
 i   2 N 2  0 N ln N ,

i 1
получим
N
(3.31)
t  lim
 0.
N  3
2
N  0 N ln N 
2
Очевидно, что такое соотношение будет выполняться при усреднении в
любом интервале a , b , лежащем внутри отрезка 0, 1.
Таким образом, нестабильности в аппаратуре измерителя, приводящие
к нестабильностям отношения периодов Г, обеспечивают естественное
сглаживание дискретностей цифрового отсчета вероятности. Этот процесс
мы также называем рандомизацией.
Таким образом, при нестабильных Г, а следовательно и  , за счет
проведения усреднения цифрового отсчета возможно увеличение точности
измерения до любой, заранее заданной, величины.
Вопросы сходимости эмпирических распределений в линейном
методе зависимых статистических испытаний. В импульсных РЛС с
большой скоростью обновления информации статистическая задача оценки
параметров характеризуется малостью объема выборок (N<15). В то же
время большинство существующих методов оценивания, в том числе и
линейный метод ЗСИ, базируются главным образом, на выводах, полученных
в предположении, что исследуемая статистическая совокупность
представляет собой случайную выборку из генеральной совокупности
достаточно большого объема, при котором эмпирическое распределение
практически совпадает с асимптотическим. Использование результатов
- 76 -
асимптотических решений приводит к ненадежным выводам, которые не
дают достаточных практических гарантий.
Выявим характер проявления ограниченности объема выборки в
методе ЗСИ. Задача состоит в отыскании «удобного» математического
распределения квантующего импульса внутри кванта  или х от
теоретически равномерного распределения.
Применительно к линейному методу ЗСИ в качестве такого
математического средства может быть использован теоретико-числовой
критерий Г.Вейля, содержание которого раскроем следующим образом. Если
рассмотреть последовательность чисел  j , j  1, 2, ..., N и задаться каким-либо
интервалом  , принадлежащему отрезку 0, 1, то последовательность
 j , j  1, 2, ..., N называется равномерно распределенной на отрезке 0, 1, если
для любого 
1 ~
(3.32)
lim
N  j  N,  j      ,
N 
N
где  - дина интервала,
~
N () – означает количество натуральных чисел, удовлетворяющих условиям,
указанным в скобках.
T 
Для любого иррационального числа   R   предельное равенство

(3.32) при  j  R 1   j  1 выполняется, однако скорость сходимости
1 ~
N к  подлежит изучению.
N
В общем виде можно записать следующее выражение
~
N j  N, R1   j  1    N   0 N  .
(3.33)
Естественно придать проблеме более определенный смысл. Под этим
необходимо понимать задачу о построении таких чисел  , для которых
остаточный член в формуле (3.33) имел бы меньший порядок.
Такую задачу в литературе принято называть количественной формой
задачи Бореля [125]. Подобная задача для распределения дробных долей
 j  Rg j  показательной функции g j , где g  2 , j=1, 2, 3, … является
нетривиальной и заключается в отыскании таких чисел  , при которых
дробные доли Rg j  равномерно распределены. Такие числа  называются
нормальными в g-ичной системе.
Для линейной функции R 1   j  1 задача значительно упрощается,
т.к. для равномерности распределения достаточно, чтобы  было числом
иррациональным. Однако, скорость сходимости к равномерному
распределению существенно зависит от числа  . Для того, чтобы придать
четкий смысл понятию скорости сходимости к равномерному
- 77 -
распределению, обратимся прежде к теоремам Вейля, доказательство
которых приводится в работах по теории чисел, в том числе вероятностной.
Применительно к введенным ранее обозначениям одну из теорем
Вейля сформулируем следующим образом. Пусть  j - последовательность
действительных чисел  j  R 1   j  1 в единичном интервале. Для того,
чтобы последовательность  j была равномерно распределена в единичном
интервале, необходимо и достаточно, чтобы для каждого целого k  0
выполнялось соотношение
n
lim
 e 2 ikj  0 ,
(3.34)
N  j1
где i 2  1.
Указанное равенство выполняется для иррациональных  . Однако, в
приведенной теореме ничего не говорится о скорости сходимости в (3.34).
Здесь только утверждается, что (3.34) имеет место для каждого целого k  0 .
Для выявления скорости сходимости проанализируем теоретикочисловое понятие отклонения. Для любых действительных чисел a и b, таких,
~
что 0  a  b  1 , через Nj  N,  j  a, b обозначим количество чисел
 j , j  1, 2, ... , содержащихся в интервале a, b. Величина:
D N  sup
Nj  N,  j  a , b
a , b 
N
 b  a 
(3.35)
называется отклонением. В выражении (3.35) sup || – верхняя граница
множества, указанного в скобках. Ясно, что 0  D N  1 . Однако,
использование отклонения в виде (3.35) не позволяет достигнуть желаемых
результатов с точки зрения получения необходимых гарантий ошибок
измерения вероятности, т.к. DN зависит от границ a и b интервала [а, b],
которые являются формальными. Поэтому попытаемся получить
информацию о скорости сходимости эмпирического распределения чисел  j
непосредственно из анализа тригонометрических сумм, используемых в
v
критерии Вейля (3.34) для фиксированного числа   . Для этого
w
рассмотрим отклонение
v
1 N 2ikj
(3.36)
 e w
N j1
Используя известную лемму для оценки модуля тригонометрической
D*N
суммы
N
e
j1
2 ikj
v
w
, запишем неравенство:
- 78 -




1

,
 min N,


 v 
j1
2
Q
k  

 w

где Q{x} – функция расстояния до ближайшего целого x.
Тогда оценку D *N можно выразить следующим неравенством:
N
v
2 ikj
w
e




1
*

.
D N  min 1,

 v 
 2nQ k  
 w

(3.37)
(3.38)
 v
Очевидно, что 0  D*N  1. Поскольку функция Q k  является
 w
периодической, то достаточно рассмотреть поведение ее внутри одного
периода, когда k = 1, 2, 3, …, w-1.
Поскольку k – любое целое число, то, находя среднее арифметическое по
1
k выражения
из (3.37) для нечетных w, получим
 v
2nQ k 
 w
w 1


 1 2 w 



*
i 1 iN
(3.39)
D N  min 1,
,
w






для четных w
w
1


 1 1  2 w 



*
N
i 1 iN
(3.40)
D N  min 1,
.
w






- 79 -
D N
0.9
0.8
1
2
1 2
2.  ;
3 3
1 3
3.  ;
4 4
1 2 3 4
4.  ; ; ;
5 3 5 5
1. 
0.7
0.6
0.5
1
2
0.4
4
3
0.3
0.2
1  ln N
N
0.1
2
4
6
8
8
10
10
12
12
14
14
16
16
18
18
N
Рис. 3.43 Сходимость распределения  j  Rj к равномерному при
некоторых  (сплошные линии) и нестабильных  (пунктир).
Для выражений (3.39) и (3.40) следует, что для иррациональных  ,
когда w достаточно велико, отклонение D *N за большое число шагов N
практически равно нулю. Для рациональных  это отклонение становится
1
меньше, чем , что соответствует физическому смыслу.
w
На рис. 3.43 показаны зависимости отклонения D *N для различных
рациональных  . Выражениями (3.39) и (3.40) можно практически
пользоваться для оценки отклонения эмпирических распределений от
асимптотически-равномерных распределений с целью обеспечения
практических гарантий погрешностей измерения вероятности методом ЗСИ.
Это достигается тем, что расчет погрешности измерения линейным методом
ЗСИ, производится с учетом отклонения D *N , при N=l. В случае, если
отклонение D *N  0 , то оценка погрешности метода ЗСИ по формуле (3.15)
даст хорошие результаты. В противном случае необходимо пользоваться
точной формулой.
- 80 -
Tеоретический интерес представляет вопрос о влиянии нестабильности
отношения периодов  на сходимость эмпирического распределения  j к
асимптотически равномерному распределению. Для этого, учитывая
периодичность функции Qk, а также то, что   1 , перепишем (3.38) в
следующем виде:

1 
(3.41)
D *N  min 1,
 .
 2 NQ
Усредняя (3.41) по флюктуациям  , распределенным по закону W,
получим:
1
D*N

2N

0
1
W d 
1

2N
1
W d .
2 N
(3.42)
Анализ выражения (3.41) для различных законов нестабильности
показал, что скорость сходимости эмпирического распределения чисел  j
при наличии нестабильностей в аппаратуре, выше, чем при отсутствии
нестабильностей. Этот вывод подтверждает результат раздела 2 о том, что
линейный метод ЗСИ при нестабильных  является состоятельным. Кроме
того, результаты настоящего параграфа позволяют получить количественную
оценку сходимости. Действительно, пусть флюктуации  в интервале [0, 1]
являются равномерными, т.е. W=1, тогда отклонение (3.42) запишется
следующим образом:
1  ln N
.
(3.43)
D *N 
N
Выражение (3.43) позволяет оценить сходимость распределений при
нестабильностях в аппаратуре. Отклонения D*N для разных  приведены на
рис. 3.42. Результаты настоящего параграфа позволяют сделать вывод о том,
что условия применимости аппарата диофантовых приближений для
формализации процедуры измерения параметров линейным методом ЗСИ
при наличии нестабильностей в аппаратуре наступают при меньших числах
испытаний l, чем при отсутствии таких нестабильностей.
Эффекты рандомизации заложенны теоретико-числовой структурой
явлений стробоскопичексого характера, однако проявляются при увеличении
размера усредняющей выборки N
3.9. Выводы
В
результате
целевого
распределения
задач,
решаемых
моделированием и проведением экспериментальных исследований,
выделены приоритетные задачи, соответствующие основной «Цели
исследований», при этом были выбраны соответствующие методы
(методики) моделирования и проведения экспериментов.
- 81 -
Результаты моделирования частотомеров и пеленгаторов для задач
«РТР-РЭП» и радиолокации показали соответствие результатов
моделирования теории потенциальной помехоустойчивости,
Моделирование квазилинейных трактов ПВ-обработки сигналов в
условиях искусственно загрубленного квантования квадратурных компонент
входного сигнала позволило получить качественные количественные данные
потерь отношений «сигнал/шум» q 02 и q12 , однако, вместе с тем, выявило
линейные свойства процедуры обработки, позволяющей простыми
техническими способами решать задачи обработки сигналов в
многосигнальной обстановке по частоте f и направлениям ,  .
Моделирование процедур цифрового запоминания обычных (DRFM) и
пространственных (DRFM-S) частот на основе введенного критерия «степени
спектральной чистоты» ПВ-сигналов определило место указанных процедур
в информационных трактах современных комплексов «РТР-РЭП» и
радиолокации, связанное с безусловным повышением эффективности их
функционирования в условиях учета полосы F подавляемого средства,
которое способствует нивелированию несовершенств «грубых статистик» по
сравнению с «точными статистиками» при более простых аппаратных
решениях.
Сформулирован перечень приоритетных задач экспериментальных
исследований, оформленных в блоки:
1)
2)
3)
4)
аппаратура СДЦ и первичной обработки радиолокационной информации
в наземных и морских РЛК УВД и посадки;
аппаратура цифровой обработки и запоминания сигналов на основе
радиочастотной «памяти» сигналов обычных и пространственных частот
(технологии DRFM и DRFM-S для комплексов радиоэлектронного
подавления);
экспериментальная
проверка
эвристической
идеи
построения
малозаметной ФАР для ЛА нового поколения;
комплексная
радиоакустическая
система
подповерхностного
обнаружения мин на железной дороге.
По каждому блоку сформулированы частные задачи.
Экспериментальные исследования по блоку 1 позволили обеспечить
прогнозируемые характеристики обнаружения и требуемой точности
измерения дальности и угловых координат, как в условиях шума, так и в
условиях пассивных помех, что подтверждено соответствующими
протоколами.
- 82 -
Экспериментальные исследования по блоку 2 обеспечили выполнение
требований:
- «спектральной чистоты» запоминаемых сигналов выбранным по критериям
близости спектров с уровнем пульсаций и боковых лепестков более 2030 дБ
относительно главной составляющей спектра, включая ситуации «уводов» по
дальности, скорости и угловым параметрам;
- точности измерения частоты f и пеленга  , в условиях использования
«грубых статистик», включая резервы «сглаживания», обеспечиваемые
рандомизацией измерений.
Экспериментальные исследования по блоку 3 выявили ФАР,
удовлетворяющие критерию малой заметности в условиях выполнения ее
основных антенных функций: приема, усиления, диаграммо-образования,
помехозащищенности.
Экспериментальные
исследования
по
блоку
4
показали
работоспособность алгоритмов гиперболической интерполяции сигнальных и
помеховых компонент при работе комплексной радиоакустической системы
в условиях периодической структуры ВСП ЖД, когда необходимость
использования
«грубых
статистик»
предопределена
внешними
обстоятельствами.
Исследования аппаратурной нестабильности отношений периодов
шкал квантования в цифровых устройствах, работающих в условиях
эффектов стробоскопического характера, выявили место рандомизированных
процедур в теории диофантовых приближений, находящейся на стыке теории
числе и теории меры.
- 83 -
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
По совокупности признаков, которые учитывают аппаратурные
ограничения, выбрана разрядность представления радиолокационных данных
и косвенно, связанные с ней – быстродействия, т. е. скорость передачи и
обработки информации, что для современных многофункциональных
комплексов представляет большой интерес. Определены пути решения
частных
задач
радиолокационного
обнаружения
и
измерения
пространственно-временных сигналов, когда в качестве дополнительных
ресурсов повышения эффективности обработки используются удлиняющиеся
серии временных (для доплеровской фильтрации) и пространственных
отсчетов (для фильтрации по угловым признакам). Представленный материал
(монография) может быть полезной для аспирантов, соискателей, инженеров,
а также студентов радиотехнических специальностей.
- 84 -
Список литературы
1. Корн Г. А. Моделирование случайных процессов на аналого-цифровых
машинах. - М.: Мир, 1968. - 315 с.
2. Горбунов Ю.Н., Бондарев А.В. Алгоритмы и устройства цифровой
стохастической обработки сигналов в радиолокации.: Учебное пособие. - М.:
НИЦЭВТ, ИПК МРП, 1990. - 144 с.
3. Котельников В. А. О пропускной способности «Эфира» и проволоки в
электросвязи. // Всесоюзный энергетический комитет. - Материалы к I
Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и
развития слаботочной промышленности. - М.: 1933.
4. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Методы теории целых функций в
радиофизике, теории связи в оптике. - М.: Государственное издательство
физико-математической литературы, 1962.
5. Минкович Б. М., Яковлев В. П. Теория синтеза антенн. - М.: «Советское
радио», 1969.
6. Горбунов Ю.Н. Цифровые системы СДЦ. - Челябинск: ЧПИ, 1985. - 84 с.
7. Brennan L. E., Reed I. S. Theory of Adaptive Radar // IEEE Trans. AES. - 1973.
- Vol. 9, №2.
8. Горбунов Ю.Н., Галашин М.Е., Мельников М.Ю. Оценка возможности
учета угловых направлений сигналов с использованием цифрового
запоминания частоты (DRFM). // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Системы
и средства автоматизированной обработки информации и управления
специальной техникой (СОИУ). – 2004, вып. 1.
9. Горбунов Ю.Н. Теоретическое и экспериментальное исследование
вопросов повышения точности автоматического отсчета дальности в
импульсных РЛС с цифровой обработкой сигналов.: Кандидатская
диссертация. // МАИ. - М.: 1978.
10. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972.
- 85 -
СОДЕРЖАНИЕ
Общие вопросы построения систем цифровой обработки
сигналов в условиях ограничений на ресурсы цифровой
обработки.
3
1.1. Цифровая обработка сигналов в условиях ограничений.
3
1.2. Квантование сигналов как процесс квантования распределений .
7
1.3. Стохастические АЦП использующие ресурсы временной и
пространственной обработки.
8
1.
2.
Восстановление сигнальных полей, дискретизированных по
времени и пространству в системах пространственно-временной
обработки сигналов.
12
2.1. Теорема отсчетов для случая детерминированного и
стохастического квантования времени и пространства.
12
2.2. Стохастическое квантование в «медленном времени» как
средство устранения эффекта «слепых» скоростей и оценка
возможности подавления радаров, работающих в режиме СДЦ.
22
2.3. Выводы по разделу 2.
29
3.
Моделирование и экспериментальные исследования.
30
3.1. Формулировка задач, решаемых моделированием.
30
3.2. Моделирование частотомеров и пеленгаторов для задач
радиолокации.
32
3.3. Моделирование квазилинейных трактов пространственновременной обработки сигналов в условиях искусственно
загрубленного квантования квадратурных компонент входного
сигнала.
38
3.4. Моделирование процедур цифрового запоминания и фильтрации
обычных и пространственных частот (угловых направлений).
44
3.5. Формулировка задач, решаемых с помощью экспериментальных
исследований.
52
3.6. Результаты экспериментальных исследований.
53
3.7. Результаты экспериментальных исследований опытного образца
- 86 -
комплексной радиоакустической системы подповерхностного
обнаружения мин на железной дороге.
60
3.8. Аппаратурное воспроизведение стохастических характеристик
рандомизирующего процесса.
63
3.9. Выводы.
80
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
83
Список литературы
84
- 87 -
Юрий Николаевич Горбунов
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ В
УСЛОВИЯХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГРУБОГО (МАЛОРАЗРЯДНОГО)
КВАНТОВАНИЯ
Монография
Монография напечатана в авторской редакции
Подписано в печать 10.10.2007. Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. Усл. кр.-отт.
Уч.-изд. л.
Тираж 500 экз. С 00
ФЕДЕРАЛЬНОЕ КОСМИЧЕСКОЕ АГЕНСТВО
ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт (ЦНИРТИ) им.
академика А. И. Берга»