Математико-статистические методы разработки

При разработке норм времени применяются следующие математикостатистические методы: расчет средних величин; графоаналитическая
обработка исходных данных, расчет нормативных уравнений регрессии
(формул)
методом
множественных
корреляции;
расчет
нормативных
уравнений регрессии (формул) с учетом влияния качественных факторов
методом множественной коррекции с использованием элементов теории
распознавания образов.
Разработка норм методов расчета средних величин содержит
следующие виды работ.
Группировка
статистических
данных
(результатов
замеров)
по
однородным видам работ, трудоемкость выполнения которых зависит от
одних и тех же фактов.
Оценка
фактического
хроноряда
(результатов
наблюдений)
по
коэффициенту устойчивости:
Ky 
t max
,
t min
где t max ,t min - соответственно максимальная и минимальная величина
затрат оперативного времени.
Приведение фактического хроноряда к устойчивому. С этой целью
производится расчет: а) величины интервала хроноряда по формуле:

t max  t min
,
1  3,2 lg n
где n – количество замеров в хроноряде;
m – количество интервалов (вариантов) в ряду определяется по
формуле
m
t max  t min
;

б) средней продолжительности оперативного времени хроноряда и
каждого интервала:
n
t cр.  
l
tb
,
n
где t p – оперативное время;
в) максимальной величины замера, обеспечивающей устойчивый
l
хроноряд ( t max
)
  t min  K y .
t max
 , отбрасываются. Расчет норм
Замеры, большие по величине, чем t max
времени проводится по формуле
tn 
где
t
b
t ,
 n
b
– сумма замеров в откорректированном ряду;
 n - количество замеров в откорректированном ряду.
Метод установления средних величин применим для расчета всех
видов норм при условии, когда между трудоемкостью выполнения работ и
факторами, на нее влияющими, не представляется возможным установить
зависимость другим, более прогрессивным методом.
С целью получения устойчивого хроноряда производится расчет
величины интервала хроноряда; количества интервалов (вариантов) в ряду;
средней продолжительности оперативного времени по формуле
n
t ср  
l
tb
;
n
Графоаналитический метод разработки нормативных материалов
позволяет выявить и наглядно представить взаимосвязь между затратами
труда и факторами, на них влияющими.
Связь между затратами труда (у) и факторами (х) изображается
графически. Имея числовые характеристики обоих признаков, можно
каждую пару чисел представить в виде точки на плоскости, образуемой
системой
прямоугольных
координат,
в
которой
по
оси
абсцисс
откладывается факторный признак (х), а по оси ординат – результативный
(у). Полученные точки соединяются прямыми (кривыми) линиями.
Для построения нормативной линии графоаналитическим методом
необходимо рассчитывать следующие величины: x ср - среднее значение
фактора, влияющего на норматив; y ср - среднее значение функции.
n
xср 
 xi
i 1
n
n
; yср 
y
i 1
n
i
,
где xi – значение факторов, при которых были проведены наблюдения;
yi - фактическая величина затрат труда, полученная в результате
замеров;
n - число наблюдений.
Для получения координат второй точки нормативной линии все
значения xi и yi разделяются на две группы. В первую группу включаются
все значения xi  xср , во вторую группу включаются все xi  xср . Аналогично
значения yi разделяются на две группы. Затем для каждой группы находят
среднеарифметическое
y ср
значение
x ср
и
x ср ;
и y ср . Искомая нормативная линия проходит через две точки с
координатами x ср , y ср и x ср , y ср . Тангенс угла наклона нормативной линии и
оси абсцисс равен
tg 
yср  yср
.
xср  xср
Корреляционно-регрессионный анализ рекомендуется применять
при использовании ПЭВМ.
Корреляционный
анализ
позволяет
установить
наличие
или
отсутствие связи между изучаемыми величинами. С его помощью можно
определить, в какой мере изменение норм затрат труда обусловлено
влиянием данного фактора и в какой мере она зависит от изменения прочих
факторов.
Метод
корреляционного
анализа
при
выборе
факторов
предусматривает расчет коэффициентов парной корреляции (  ij ), взаимной
корреляции ( rij ), частной (парциональной) корреляции (  ijk ), множественной
корреляции ( Ri ).
На схеме 3 показана примерная схема разработки нормативов методом
корреляционно-регрессионного анализа.
Схема 3. Разработка норм методом корреляционно-регрессионного анализа
Исходная информация
у – затраты труда
х – факторы, оказывающие влияние на затраты труда
Корреляционный анализ –
количественная оценка тесноты
связи между затратами труда и
факторами
Коэффициент парной корреляции
Коэффициент взаимной корреляции
Коэффициент частной корреляции
Коэффициент множественной корреляции
Регрессионный анализ – вывод
уравнения регрессии и оценка
его точности
Коэффициент множественной корреляции
Корреляционное отношение
Норма затрат труда у =f (x)
Критерий Фишера
Среднее кваратическое относительное отклонение
Коэффициенты корреляции характеризуют относительную величину
отличия
математического
ожидания
каждой
переменной
величины.
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, значения
которой
должны
находиться
в
пределах
-1 ≤ p ij ≤ 1. Его значение равно единице (или близко к нему) для независимых
переменных величин. Значения коэффициента корреляции меньше 0,5
отражают недостаточную меру предполагаемой или принятой зависимости.
Коэффициенты парной корреляции показывают зависимость функции
(переменной величины) от аргумента (фактора). Для определения численного
значения коэффициента парной корреляции в случае степенной зависимости
используется формула
n
pij 
 (z
l 1
n
 (z
l 1
li
 zi )(t li  t j )
z )
li
,
n
2
 (t
i 1
li
tj)
2
где n – количество наблюдений, принятых в расчет;
l – 1, 2, 3, …, n – индексы (порядковые номера) наблюдений;
j – порядковый номер фактора (аргумента);
z
- логарифмы фактических величин (численности, времени и т.д.) i-й
ti
функции для l-го наблюдения
z
- средняя арифметическая логарифмов фактических значений по i-й
i
функции по всем наблюдениям; определяется по формуле
zi 
где
t
li
1 n
 zli ;
n l 1
- логарифмы численного значения i-го фактора (аргумента) для l-го
наблюдения;
t
i
- средняя арифметическая логарифмов численных значений i-го фактора
(аргумента) по всем наблюдениям определяется по формуле
ti 
1 n
 zli ;
n l 1
Для случаев линейной зависимости в формуле коэффициентов парной
корреляции вместо логарифмов используются абсолютные значения чисел.
Коэффициент взаимной корреляции между аргументами (факторами)
показывает наличие взаимосвязи между i-м и j-м факторами. Численное
значение коэффициентов взаимной корреляции между i-м и j-м факторами
(аргументами) для степенной зависимости определяется по формуле
n
rij 
 (t
i 1
n
 (t
l 1
li
 t i )(t li  t j )
n
li
 t i ) 2  (t li  t j ) 2
l 1
,
где t li - логарифм численного значения j-ого фактора (аргумента) для l-го
наблюдения;
t i - средняя арифметическая логарифмов, численных значений i-го фактора
(аргумента) по всем наблюдениям; определяется по формуле:
ti 
1 n
 tli ;
n l 1
Для случаев линейной зависимости в формулу проставляются
абсолютные значения чисел.
В одной формуле недопустимо сочетание двух взаимозаменяющих
факторов, т.е. тех, связь между которыми приближается к функциональной.
Коэффициент частной (парциональной) корреляции – это коэффициент
парной корреляции, в котором исключено влияние одной или нескольких
других переменных. Коэффициент частной корреляции позволяет выявить
основные факторы, оказывающие влияние на функцию при условии, что все
остальные переменные перестают быть переменными, так как они
закрепляются на среднем уровне.
Численное значение коэффициентов частной корреляции определяется
по формуле:
pijk 
pij  pik  rik
(1  pik2 )(1  rik2 )
.
Коэффициент множественной корреляции выражает меру зависимости
функции от всех факторов.
Этим показателем измеряется теснота связи
совместного влияния всех остающихся параметров (факторов). Численное
значение коэффициента множественной корреляции определяется по
формуле:
Ri 
где
R
i
k

j 1
(k )
ij
pij ,
- число существенных аргументов, отобранных по данной i-й
функции;
i – порядковый номер функции, для которой вычисляется коэффициент
множественной корреляции;
j – 1,2,3…,K – индексы (порядковые номера) отобранных существенных
аргументов (факторов);
 ij( k ) - стандартизированные коэффициенты регрессии для i-й функции по
существенным аргументам; исчисляются по формуле

(k )
ij
i ( k )

,
k
где символ (k) означает, что данные  ij( k ) рассчитываются между i-й
функцией и выделенными существенными аргументами;
p ij - парные коэффициенты i-й функции и выделенными существенными
аргументами.
Для того чтобы выяснить достоверность полученных коэффициентов
корреляции, проводится их дисперсионный анализ. Достоверность по
рассчитанным коэффициентам корреляции проверяется по t-критерию
Стьюдента. С этой целью рассчитывается среднеквадратическое отклонение
(  r ) коэффициента корреляции по формуле (при n>25)
r 
1  ry2 / xk
n 1
,
где  r - среднеквадратичная ошибка коэффициента корреляции;
ry / x k - абсолютное значение парного коэффициента корреляции;
n - число наблюдений;
n-1 - число степеней свободы.
Если связь между характеристиками статической совокупности y и x
статистически значима, то должно выполняться условие
t
где t
ry / x k
r
при n > 25; t  3,0,
- доверительная величина, определяющая степень вероятности
утверждения.
Регрессионный анализ решает задачу с помощью математической
функции конкретного вида зависимости и дает различные оценки ее
точности. Уравнение регрессии выражает эту зависимость математически, а
линия регрессии - графически.
Нормативные
формулы
имеют
вид
степенных
или
линейных
многофакторных уравнений регрессии:
H  a0 x a 1 x2a ...xna
1
n
2
или
H  a0  a1 x1  a2 x2  ...  an xn ,
где H- норматив;
x1 , x2 ... xn - значение факторов;
a0 , a1 , a2 – постоянные коэффициенты уравнения (коэффициенты регрессии).
Обработка
данных
методом
множественной
корреляции
имеет
следующие преимущества:
позволяет
разработать
нормативные
зависимости
от
большего
количества факторов;
сокращает
время
обработки
исходных
данных
(особенно
при
применении ЭВМ).
Формулы для нормирования труда рабочих (нормы времени, нормы
обслуживания) и служащих (нормы численности) рассчитываются на
основании данных хронометражных замеров, данных о численности
служащих по функциям управления и численных значений факторов по
группе учреждений путем применения метода математической статистики
(способа наименьших квадратов).
Уравнение корреляционной зависимости или уравнение регрессии дает
форму
и
численное
выражение
статистической
зависимости
результирующего параметра от составляющих параметров. Уравнение
регрессии позволяет определить для каждого значения независимого
переменного
(фактора)
переменного (функции).
вероятное
численное
значение
зависимого
В данном варианте сравниваются два вида зависимости- степенная и
линейная. Для анализа сопоставляются следующие показатели:
коэффициент множественной корреляции (R):
корреляционное отношение ( );
критерий Фишера (F);
средне квадратическое относительное отклонение (m).
Для того чтобы выяснить совокупное влияние выбранных факторов на
искомую величину, определяются корреляционные отношения для линейной
и степенной форм зависимости. Для линейной зависимости оно совпадает с
коэффициентом множественной корреляции. Для степенных зависимостей
корреляционное отношение является единственно правильным измерителем
тесноты связи между результативными признаками (y) и признакамифакторами ( x1 , x2 ... xn ).
Корреляционное отношение рассчитывается по формуле
p 2 y1
p2 y

В
числителе
подкоренного
выражения
содержится
дисперсия,
вычислительная для теоретических значений y1 , в знаменателе - дисперсия,
вычисленная для эмпирических значений y:
n
p y1 
(y
i 1
i
n
n
py 
где
y i1 , y i
 y i1 ) 2
(y
i 1
i
,
 yi )2
n
,
– теоретическое (расчетное) и эмпирическое (фактическое)
значение i-го члена ряда;
y i1 , y i - средние величины теоретического (расчетного) и эмпирического
(фактического) рядов;
n - количество членов в ряду.
В экономических исследованиях предпочтение отдается той форме
связи, где значение корреляционного отношения ближе к единице.
Критерий Фишера (F) показывает наличие надежной корреляционной
зависимости. Принято считать. Что при численном значении критерия
Фишера (F) больше двух зависимость достаточно надежная.
Значение критерия Фишера (F) рассчитывается по формуле
yi  y i 2
)
n

1
1
F
,
n
yi  y i 2
1 ( n  m  2 )
n
(
где
n
yi 
y
1
n
i
,
m - число учитываемых в модели параметров( независимых переменных);
n - количество членов в ряду.
Среднее квадратическое относительное отклонение фактических
данных от расчетных ( m ) вычисляется по формуле
n
m  100 
(
i 1
y i  yi1 2
)
yi
,
n
а средняя ошибка аппроксимации (  ) – по формуле

1 n yi  yi
100.

n i 1 yi
Оба эти показателя характеризуют степень точности отражения
моделью (уравнением регрессии) численности работающих в реальном
трудовом процессе.
При выборе вида зависимости предпочтение отдается уравнению,
отвечающему следующим требованиям:
наиболее высокий коэффициент множественной корреляции;
более высокий критерий Фишера;
меньшее среднее квадратическое относительное отклонение.
Величина корреляционного отношения, критерий Фишера, снижаются
среднее квадратическое отклонение и средняя ошибка аппроксимации.
Расчет норм затрат труда с учетом качественных факторов
производится
методом
корреляционно
регрессионного
анализа
с
использованием элементов теории распознавания образов. Качественные
факторы не имеют количественного выражения, а их значения заданы
условными цифрами. Эти цифры несут определенную информацию о
выполненной работе. Одни сочетания условных шифров характеризуют
работу, выполняемую с меньшими затратами труда, другие свойственны
видам работ, выполняемым с большими затратами труда.
Это делает возможным всю совокупность исходных данных разделить
на группы. Группой в теории распознавания образов называют множество
предметов или явлений, объединенных некоторыми общими свойствами. В
нормировании это вероятностное определение группы (по трудоемкости) при
определенных значениях качественных факторов.
С помощью теории вероятности оценивается вероятность для данной
трудоемкости с данными значениями качественных факторов принадлежать
к определенной группе.
Вероятность рассчитывается по формуле:
Pi 
N i
,
N i0
где N i0 – общее количество факторов с шифром i в таблице исходных
данных;
N i - количество факторов с шифром i, находящихся в первой группе.
Разработанный проект норм времени необходимо апробировать.