Математическая модель распространения несущего запах

Математическая модель распространения несущего запах
вещества при наличии ветра.
Шаповалов Д.С. к.т.н.,МГАВМиБ
Интерес к изучению процессов распространения запахов у авторов
связан c необходимостью обоснования правильности методов оценки чутья
охотничьих легавых собак.
Краткие результаты некоторых исследований приведены в статье [1].
Описание основных положений, использованных при разработке модели и
решение других задач, связанных с распространением запаха, приведены в
предлагаемой статье.
Процесс причуивания дичи собакой или другими животными с
использованием обоняния описан в [2] и многих других работах. Здесь речь
идет только о косвенной оценке распространения запаха по концентрации
некоторого вещества (газа), растворенного в воздухе. Этот газ считается
«носителем запаха».
Распространение газа в воздухе подчиняется законам молекулярной
диффузии. Один из способов расчета его концентрации приведен в [3] со
ссылкой на [4]. Однако этот способ рекомендуется для достаточно
специфических условий и не позволяет учесть многие из существующих в
охотничьей практике требований.
Легавая собака должна по запаху найти дичь и на некотором
расстоянии от нее остановится, дожидаясь охотника – «встать на стойку».
По команде охотника она должна вспугнуть дичь, поднять ее на крыло под
выстрел.
Для легавой собаки важнейшим качеством является наличие хорошего
чутья и умение им пользоваться. Отбор наиболее ценных экземпляров (для
использования их в племенном деле) проводится на основании испытаний и
состязаний легавых собак. Испытывая собаку, эксперт оценивает качество ее
работы только по внешним проявлениям ее поведения, выражающимся в
оценке двух основных показателей – «дальность чутья» и «верность чутья».
Дальность чутья определяется от места первого проявления
причуивания (собака уловила запах дичи) до места нахождения дичи.
Задача эксперта – уловить этот момент по изменившемуся поведению
собаки. Естественно, что это проще и для собаки и для эксперта, если дичь
неподвижна и ветер устойчив.
Верность – это отсутствие ошибок в определении направления на
птицу и дальности до нее. Если собака неточно определила направление на
птицу, то та взлетит в стороне, неожиданно для охотника. При неправильном
определении расстояния до птицы собака может слишком близко подойти к
птице и вспугнуть ее до подхода охотника.
Все элементы работы собаки значительно усложняются при
движущейся (бегущей) птице. Эксперт по существующим правилам
определяет качество чутья в условиях стационарного процесса. Более
2
сложную работу собаки по бегущей птице эксперт не в состоянии оценить,
т.к. он не знает, как распространяется запах в этих случаях.
Мы хотим показать на некоторых примерах, как отличается картина
распространения запаха в нестандартных ситуациях от тех случаев, когда
работа собаки оценивается в условиях, оговоренных в правилами.
В [1] проведены оценки момента причуивания в стационарных
условиях. Было найдено соответствие расстояний, указанных в правилах и
условных концентраций пахнущего вещества.
Сложно, например, оценить верность чутья легавой собаки на полевых
испытаниях, если она встретилась с «бегущей» дичью (птица не сидит на
месте, а перемещается). Естественно собака «хватает» запах, который
оставила птица некоторое время тому назад и «становится в стойку». Такая
стойка может квалифицироваться как «пустая» и снижает оценку работы
собаки.
Заметим, что собака ведь не знает, где сидит дичь. Она знает только,
откуда дует ветер и несет ли он запах дичи. По-видимому, собака может
оценить градиент запаха по времени или по направлению вдоль ветра.
Поэтому в том случае, если запах есть и он возрастает со временем, значит,
дичь есть. Собака становится в стойку. Если через некоторое время сила
запаха начинает убывать, то она сходит со стойки и «работа не
засчитывается», а оценка снижается.
Описание основных положений, использованных при разработке
математической модели, приведены в предлагаемой статье.
Математическая модель распространения «запаха».
Поток пахнущего вещества J в нашем случае определяется двумя
составляющими:
- распространение вещества благодаря диффузии J d и
- перенос вещества движущимся воздухом (ветром) J v .
(1)
J = Jd  Jv
Первая составляющая описывается уравнением материального баланса
вида:
j c
=
x  t
, где
(2)
j – поток пахнущего вещества;
x – координата пространства в направлении распространения запаха;
с – концентрация вещества, несущего запах
t – время.
Для описания однонаправленной диффузии в бинарной смеси
используется закон Фика :
J d   D dc
dx
, где
D - коэффициент диффузии.
(3)
3
Коэффициент диффузии принят постоянным, т.к. по данным [5] “D
только незначительно зависит от состава смеси”, а его зависимость от
давления и температуры несущественна и незаметна.
Поток вещества, связанный с переносом ветром, определяется
скоростью ветра V .
Пространство, на котором изучается процесс распространения запаха,
представляется как горизонтальная плоскость, разбитая на продольные (в
направлении ветра) и поперечные полосы. Уравнение материального баланса
составляется для каждого элемента, являющимся пересечением
горизонтальной и вертикальной полос. Размеры этого элемента определяются
из условий достижения нужной точности моделирования.
Влияние ветра определяет перенос вещества в направлении ветра.
Начальные условия для всего пространства будем рассматривать как
отсутствие пахнущего вещества на всем исследуемом пространстве, но в
одной точке этого пространства имеется источник «запаха», непрерывно
источающий пахнущее вещество с производительностью q . Этот источник
может быть неподвижным или перемещаться в пространстве.
Граничные условия описывают в данном случае свойства самого
пространства, выраженное в изменении величин коэффициента диффузии,
например, в каких-то точках пространства коэффициент диффузии может
быть равен 0 (непроницаемая перегородка).
Постановка задачи для решения ее на ЭВМ.
Цель моделирования: получить картину распространения несущего
запах газа под воздействием диффузии с возможностью учета наличия ветра.
Выходная информация:
некое пространство заданных размеров, разбитое на
прямоугольные элементы. Величина каждого элемента
выбирается из условия возможности допущения о равенстве
концентрации газа в пределах элемента.
концентрация несущего запах газа в каждом элементе для
последовательности моментов времени, разделенных неким
интервалом.
Входная информация включает в себя:
коэффициент диффузии;
скорость ветра;
положение источника запаха в пространстве;
Алгоритм решения задачи:
Решение задачи производилось конечно-разностным методом.
Для одного элемента составлялись уравнения материального баланса,
учитывающие (2)(3). Для учета ветра производился «сдвиг» всего
пространства в направлении ветра соответственно его скорости.
Элемент пространства представлял собой квадрат со стороной
x= 0,5 м.
4
Скорость ветра V=3 м/сек. (оптимальная для проведения испытаний легавых
собак).
Коэффициент диффузии определен как
D* 10
2
2
=3.0 [ см /cек]
Шаг по времени принят равным 0,02 сек.
Решение задачи представляет собой многошаговый процесс расчета
искомых концентраций для каждого элемента изучаемого пространства.
Концентрация рассчитывается при помощи рекуррентных формул
отражающих процесс распространения газа под воздействуем диффузии и
ветра. Эти формулы представляют собой конечно-разностную
интерпретацию дифференциальных уравнений описывающих
математическую модель исследуемого процесса.
Модель построена таким образом, что в результате моделирования
получается распределение концентраций пахнущего вещества в
горизонтальной плоскости, однако нет принципиальных трудностей для
решения задачи в пространственных координатах. Модель позволяет
рассматривать изменение поля концентраций во времени.
Все рассматриваемое в модели пространство представляет собой
прямоугольник, разбитый на множество элементов (рядов и колонок). Их
количество и условленный размер определяются условиями задачи и
требованиями к точности ее решения. Например, для сходного случая по
данным [6] требуется выполнения условия :
t <1/2*D*x2
, где
t - интервал времени для итеративной процедуры расчета;
x –приращение координаты между соседними элементами.
Для последовательных моментов времени, следующих друг за другом с
интервалом t по формуле (6) рассчитываются концентрации для всех
элементов пространства.
В тех элементах, в которых предполагается наличие перегородок
интенсивность переноса уменьшается соответственно проницаемости
перегородки.
Пример результатов моделирования.
Для иллюстрации возможностей модели были проделаны расчеты для
следующих случаев распространения газа, несущего запах:
- распространение запаха от неподвижного точечного источника при
наличии ветра;
- распространение запаха от подвижного точечного источника при
наличии ветра и источника, движущегося поперек ветра;
Результаты моделирования приведены на рисунках.
Распространение запаха по ветру от неподвижного источника
показано на Рис. 1. Показан прямоугольный участок с расположенным
на нем источником запаха. Источника запаха находится в начале
координат. Направление ветра показано горизонтальной стрелкой.
5
Условная концентрация пахнущего вещества обозначена цифрами
(Рис.1а) и интенсивностью закраски черным цветом (Рис 1б).
Распространение запаха от подвижного источника показано на
Рис.2. Моделировалась следующая ситуация. Источник запаха
передвигался от «А» до «Б» в течение 2-х условных единиц времени.
После этого он остановился в «Б». От момента остановки до
зафиксированной на рисунке ситуации прошло еще 3 единицы
времени. Мы видим «искривленное» облако пахнущего вещества,
которое образовалось во время движения источника. Затем оно
отнесено по ветру и несколько размыто.
Как видно из этого рисунка направление градиента концентрации
для собаки, находящейся в точке М не совпадает с направлением на
точку, в которой находится дичь. В этом случае «ошибка» собаки тоже
не должна приводить к снижению оценки за чутье.
Автор выражает благодарность….
Подрисуночные надписи
Рис. 1 Распространение носителя запаха от неподвижного источника с
учетом ветра.
Рис 1а,б (через 2 секунды после начала процесса)
Рис 2а,б (через 4 секунды после начала процесса)
Рис. 2 Распространение носителя запаха с учетом ветра и перемещения
источника запаха поперек ветра.
[1] Королев С.С., Шаповалов Д.С. Еще раз о реформе правил полевых
испытаний легавых. Журн. «Охота» №5 2002 г.
[2] Сравнительная физиология животных под ред. проф. Л. Проссера, Мир
1977.
[3] Шервуд Т.,Пигфорд Р., Уилкм Ч. Массопередача. Москва.Химия. 1982 г.
Стр.99
[4] WILSON, H.A. Proc. Cambridge Phil. Soc.,l2: 406 (1904)
[5] Эберт Г. Краткий справочник по физике. Стр.186.
[6] Г.Корн,Т.Корн Справочник по математика для научных работников и
инженеров «Наука» 1970 г., стр.613
6
Рис 1а (через 2 секунды после начала процесса)
Рис 1а (через 4 секунды после начала процесса)
7
Рис 1б (через 2 секунды после начала процесса)
Рис 1б (через 4 секунды после начала процесса)
8
Рис 2а
Рис 2б