Министерство образования и науки РФ ГАПОУ ПО «ПЕНЗЕНСКИЙ МНОГОПРОФИЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

Министерство образования и науки РФ
ГАПОУ ПО «ПЕНЗЕНСКИЙ МНОГОПРОФИЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»
отделение информационных технологий
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ:
«СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
Дисциплина: Математика
Выполнил: преподаватель математических
дисциплин Татьяна Викторовна Зиманова
Пенза 2014
Введение.
Методическая разработка по теме «Способы решения тригонометрических уравнений». Эта разработка расширит и углубит математические знания
по данной теме.

Актуализировать знания по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений»;

Привить интерес к самостоятельному изучению темы, к поиску решений и выбору методов.

Научиться решать тригонометрические уравнения, пользуясь методом
решения квадратных уравнений.

Выработать умения самостоятельно применять знания. Осуществлять
их перенос в новые ситуации
Все приводимые способы направлены на развитие познавательного ин-
тереса к предмету, знакомящие студентов с новыми идеями и методами, расширяющие представления об изучаемой теме.
Уравнения, предлагаемые в данной разработке, интересны, красивы, носят прикладной характер, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и интерес к предмету и вызвать желание узнать больше.
Основные цели методической разработки:
 знакомство студентов с основными приемами и методами решения
тригонометрических уравнений;
 развитие навыков применения теоретических сведений по данной теме
на практике в различных проявлениях;
 развитие творческих способностей;
 повышение интереса к предмету;
 повторение и обобщение знаний по теме «Способы решения тригонометрических уравнений;
 оказание помощи студентам систематизировании уравнений и нахождении рациональных приемов решения.
2
Содержание.
1.
Уравнения, приводимые к алгебраическим. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
2.
Уравнения, решаемые разложением на множители. . . . . . . . . . . . .5
3.
Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.
Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригономет-
рических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.
Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и раз-
ложения произведения тригонометрических функций в сумму. . . . . . .. . . . . 10
6.
Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. .11
7.
Уравнения вида a sin x  b cos x  c .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.
Переход к половинному углу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9.
Введение вспомогательного угла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
10. Преобразование произведения в сумму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
11. Уравнения смешанного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
12. Задания для промежуточного и итогового контроля результатов
обучения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..21
13. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
14. Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3
Тригонометрические уравнения.
1. Уравнение cos t  a .
Если a  1, cos t  a не имеет решений, поскольку cos t  1 для любого t. Если
a  1 , то формула корней уравнения такова:
t   arccos a  2n, ãäå n  Z .
cos t  1, t  2n;
cos t  1, t    2n;
cos t  0, t 

 n.
2
2. Уравнение sin t  a .
При a  1 уравнение не имеет решений, так как sin t  1 для любого t . Если |a|≤1,то формула для записи всех решений уравнения такова:
t  arcsin a  2n, t    arcsin a  2n, где n  Z . Удобно записывать не двумя, а
одной формулой:
t  (1) k arcsin a  k , k  Z .
sin t  1, t 

2
 2n, n  Z ;

 2n, n  Z ;
2
sin t  0, t  n, n  Z .
sin t  1, t  
3.
Уравнение
tg t  a .
Решение
данного
уравнения
имеет
вид:
t  arctg a  n, n  Z .
4. Уравнение ctg t  a . Решение данного уравнения имеет вид:
t  arcctg a  n, n  Z
Способы решения тригонометрических уравнений.
I. Уравнения, приводимые к алгебраическим
Пример. Решить уравнение cos 2 x  sin 2 x  cos x  0.
Решение. Воспользуемся тем, что sin 2 x  1  cos 2 x . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде cos 2 x  (1  cos 2 x)  cos x  0 . После понятных преобразований получим 2 cos 2 x  cos x  1  0 . Введем новую переменную z  cos x . То4
1
2
гда уравнение примет вид 2 z 2  z  1  0 , откуда находим z1  1, z 2   . Значит,
1
cos x  1, либо cos x   .
2
x  2n, x  
Из
этих
уравнений
находим,
соответственно,
2
 2n, n  Z .
3
Уравнения для самостоятельного решения:
1. 2 sin 2 x  3 sin x  2  0.
Ответ :

2. 2 cos 2 x  5 cos x  2  0.
Ответ : 
3. 2 sin 2 x  sin x  1  0.
Ответ : 
 2n,
6

3

5
 2n, n  Z .
6
 2n, n  Z .
 2n,

 2n,
2
6
Ответ :   2n, n  Z .
4. 4 cos x  9 cos x  5  0.
2
5
 2n, n  Z .
6
II. Уравнения, решаемые разложением на множители
Смысл этого метода: если уравнение f ( x)  0 удается преобразовать к виду f1 ( x)  f 2 ( x)  0 , то задача сводится к решению двух уравнений, то есть к решению совокупности уравнений: f1 ( x)  0; f 2 ( x)  0 .
Пример. Решить уравнение 2 sin x  cos 5x  cos 5x  0 .
Решение. Имеем cos 5 x  (2 sin x  1)  0 . Значит, приходим к совокупности
уравнений
5x 

2
 n; x 
cos 5 x  0; sin x 

10

n
5
1
.
2
Из
первого
уравнения
, n  Z . Из второго уравнения находим x  (1) n
находим

6
 n, n  Z .
5
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Решение.
cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
6
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 ,
2). sin 3x = 0 ,
3). sin x = 0 ,
Уравнения для самостоятельного решения:
1. sin x  (2 cos x  1)  0.
Ответ : n 
2. (2 sin x  2 )( 2 cos x  1)  0.
3. sin 2 x  sin x  0.
4. 2 sin 2 x  sin x  0.
2
 2n, n  Z .
3
Ответ : (1) n
Ответ : n,

2

4
 n,
2
 2n, n  Z .
3
 2n, n  Z .
Ответ : n, 
5
 2n, n  Z .
6
III. Однородные уравнения.
Определение. Уравнение вида a sin x  b cos x  0 , где a  0, b  0, называют
однородным тригонометрическим уравнением первой степени,
уравнение
вида
a sin 2 x  b sin x  cos x  c cos 2 x  0, где a  0, b  0, c  0 ¸называют
однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
7
Итак, дано уравнение a sin x  b cos x  0, где a  0, b  0 . Разделив обе части
уравнения
почленно
на
cos x ,
получим
a sin x b cos x
0


, т.е.
cos x
cos x
cos x
b
a tg x  b  0, tg x   .
a
Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно
только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается
в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае cos x
отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0¸ то есть sinx= 0¸ так как
a ≠ 0 . Получается, что и cosx = 0 ¸ и sinx = 0 ¸ а это невозможно, так как sinx и cosx
обращается в нуль в различных точках .Итак , в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cos x вполне благополучная операция.
Пример 1. Решить уравнение 2sin x -3cos x = 0.
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos x ¸ получим
2tgx  3  0, tgx 
3
3
, x  arctg  n, n  Z . Рассмотрим теперь однородное тригоно2
2
метрическое уравнение второй степени a sin 2 x  b sin x  cos x  c cos 2 x  0 . Если коэффициент a отличен от нуля, то есть в уравнении содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то , рассуждая как и выше, нетрудно
убедиться в том , что при интересующих нас значениях переменной cos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на
cos 2 x .
a sin 2 x b sin x  cos x c cos 2 x


 0,
cos x
cos x
cos 2 x
a tg 2 x  b tgx  c  0
Это - квадратное уравнение относительно новой переменной z= t g x .
Пример 2. Решить уравнение sin 2 x  3 sin x  cos x  2 cos 2 x  0 .
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos2 x, получим
tg 2 x  3tgx  2  0. Введя новую переменную z  tgx, получим, z 2  3 z  2  0 . Отку-
да находим z=1, z=2. Значит, либо t g x =1, либо t g x =2. Из первого уравнения
8
x  arctg1  n, x 
находим

4
 n, n  Z .
Из
второго
уравнения
находим
x  arctg 2  n, n  Z .
Уравнения для самостоятельного решения:
1. sin 2 x  2 sin x  cos x  3 cos 2 x  0.
Ответ :
2. sin 2 x  4 sin x  cos x  3 cos 2 x  0.
Ответ :
3. sin 2 x  sin x  cos x  2 cos 2 x  0.
4. 3 sin 2 x  sin x  cos x  2 cos 2 x  0.
Ответ :

4


4
4
 n,  arctg 3  n, n  Z .
 n, arctg 3  n, n  Z .
 n,  arctg 2  n, n  Z .
Ответ : 

4
 n, arctg
2
 n, n  Z .
3
IV. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.
Формулы
x y
x y
 cos
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2 sin
 cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 cos
 cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 sin
 sin
2
2
sin x  sin y  2 sin
(1)
(2)
(3)
(4)
позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на
множители.
Пример. Решить уравнения: sin5x + sinx=0;
Решение. Преобразовав сумму синусов в произведение, получим
sin 5x  sin x  2 sin 3x  cos 2x  0. Значит,
3x  n, x 
n
3
либо
sin 3x  0 ,
, n  Z , либо cos2x=0, откуда находим 2 x 

2
откуда
 n, x 

4

n
2
находим
, n  Z.
Уравнения для самостоятельного решения:
9
1. cos x  cos 3x  0.

 n,

2

n
, n  Z.
4 2
n n
2. sin 12 x  sin 4 x  0.
Ответ : ,
, n  Z.
2
3
n
3. cos x  cos 5 x.
Ответ : , n  Z .
8
n  n
4. sin 3x  sin 17 x.
Ответ : ,

, n  Z.
7 20 10
Ответ :
П р и м е р 2 . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1 = 1, y2 = 3, отсюда
1) tan x = –1,
2) tan x = –3,
V. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму
Использование формул:
sin( x  y )  sin x  cos y  cos x  sin y
cos( x  y )  cos x  cos y  sin x  sin y
sin( x  y )  sin x  cos y  cos x  sin y
cos( x  y )  cos x  cos y  sin x  sin y
при решении тригонометрических уравнений.
10
Пример.
sin(
sin

3

3
 x)  cos(

6
 cos x  cos
 x)  3;

3
 sin x  cos

6
 cos x  sin

6
 sin x  3;
3
1
3
1
 cos x   sin x 
 cos x   sin x  3;
2
2
2
2
3 cos x  3;
cos x  1;
x  2n, n  Z .
Уравнения для самостоятельного решения:
Ответ : n, n  Z .
1. sin 2 x  cos x  cos 2 x  sin x.
2. cos 3x  cos 4 x  cos 7 x.
Ответ :
3. cos( x  70  )  cos( x  10  )  0,5.
n n
,
, n  Z.
3
4
Ответ :  10 0  180 0  n,  70 0  180 0  n, n  Z .
4.2 sin 5 x  cos 6 x  sin x  sin 7 x  cos 4 x.
Ответ :
n
4
,

14
(2n  1), n  Z .
VI. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
1  cos 2 x
;
2
1  cos 2 x
cos 2 x 
.
2
sin 2 x 
Пример. Решить уравнение cos 2 3x 
3
4
Решение.
1  cos 6 x 3
 ;
2
4
3
1  cos 6 x  ;
2
1
6 x   arccos  2n;
2
 n
x    , n  Z.
18 3
11
Уравнения для самостоятельного решения:
1.2 sin 2 x  cos 4 x  0.
Ответ :
2. sin 2 6 x  8 sin 2 3x  0.
3.4 sin 2 x  sin 2 2 x  3.

4
Ответ :
Ответ :
4. sin 2 5 x  cos 2 2 x  2 sin 2 2 x  1.
(2n  1),
n

4
3


6
(6n  1), n  Z .
, n  Z.
n
, n  Z.
2
Ответ : 10n, n  Z .
VII. Уравнения вида a sin x  b cos x  c
Преобразование выражения
a
b
a sin x  b cos x  c( sin x  cos x)  c(cos t  sin x  sin t  cos x)  c  sin( x  t ), где a 0, b 0.
c
c
Итак, a sin x  b cos x  c  sin( x  t ), где c  a 2  b 2 Аналогично можно выражение
a sin x  b cos x, где a  0, b  0 преобразовать к виду c  sin( x  t ) .
Пример. 5sin x  12 cos x  13.
Здесь a  5, b  12, c  5 2  (12) 2  13. Имеем
5
12
5 sin x  12 cos x  13( sin x  cos x). Введём вспомогательный аргумент t , удовле13
13
творяющий соотношениям cos t 
5sin x 12 cos x  13sin( x  t ), где t  arcsin
sin( x  t )  1;
x t 

2
5
12
12
; sin t  , например, t  arcsin . Тогда
13
13
13
12
;
13
 2n;

12
x  t   2n, где t  arcsin .
2
13
Уравнения для самостоятельного решения:
12
1. 3 sin x  5 cos x  4.
Ответ : 2arctg
2. sin x  3 cos x   3.
3. 5 sin x  cos x  5.
4. sin 4 x  cos 4 x  4.
Ответ : 
1 2
 2n, n  Z .
3
2
 2n, n  Z .
3

 2n, 2arctg1,5  2n, n  Z .
2
Ответ : нет решения.
Ответ :
VIII Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
IX Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а
именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма
13
их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin
( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
X Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
cos 8x = 0 ,
8x = / 2 + k ,
14
x = / 16 + k / 8 .
7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .
XI Уравнения смешанного типа
1. Решите уравнения:
15
Образец решения:
y
2
3

3
,
 sinx 
2sinx  3
2
0
2cosx  1
cosx   1 .

2
3
2

3
Выбор корней проведём на тригоно
метрической окружности
Ответ:
а)
2 cos x  3
0
1  sin x
Ответ: 
б)

6
 2n, n  Z .
2 sin x  1
0
2 cos x  2
Ответ: 
в) (1  cos x)(
3
 2n, n  Z .
4
Ответ:

2

3
1
2
 2n, n  Z
1
 1)  0
sin x
 2n, n  Z .
x
2
г) (1  cos x)  tg  0
Ответ: 2n, n  Z .
2. Решите уравнения.
Образец решения:
y
cos x  cos 3x  sin 2 x,
ln(cos x  cos 3x)  ln(sin 2 x)  
sin 2 x  0.

2 sin x  sin 2 x  sin 2 x,
1
2
16
sin 2 x  0
или
Не удовлетворяет
условию sin 2 x  0.
5
6
2 sin x  1,
sin x 
1
.
2

6
Выберем те значения
x
x, которые удовлетворяют условию
 sin x 0,

cos x 0,
sin 2 x  0  
 sin x0,
 cos x0.


Ответ:  2n, n  Z .
6
x
а) log 3 (sin 2 x)  log 3 ( sin x)
Ответ: 
2
 2n, n  Z .
3
б) lg(sin 2 x)  lg(  cos x)
5
Ответ:   2n, n  Z .
6

6
 2n, n  Z .
в) ln(cos 2 x)  ln(cos x)
Ответ: 2n, n  Z .
г) log 1 ( 3 sin x)  log 1 (sin 2 x)
3
Ответ:
3

6
 2n, n  Z .
17
3. Решите уравнение.
Образец решения:
8  17 sin x  2 cos x.
y
Данное уравнение равносильно системе:
 2 cos x  0,


2
8  17 sin x  4 cos x.
Решим второе уравнение системы:
  arcsin
1
4
1
4
arcsin
8  17 sin x  4  4 sin 2 x,
1
4
x
4 sin 2 x  17 sin x  4  0.
sin x  a, a  1,
4a 2  17a  4  0,
1
a1  4, a 2  .
4
a  4 не удовлетворяет условию a  1.
sin x 
1
. Выберем те значения х, кото4
1
4
Ответ:   arcsin  2k , k  Z .
рые удовлетворяют условию cos x  0 .
4. Решите уравнения.
Образец решения:
tgx cos 3x  sin 3x  sin 4 x.
y
 7
Число корней на  ;  .
4
4 

4
x
18
7
4
sin x
cos 3 x  sin 3 x  sin 4 x,
cos x
cos x  0,


sin x cos 3 x  cos x sin 3 x  cos x sin 4 x;
cos x  0,


sin 4 x  cos x sin 4 x;
cos x  0

sin 4 x  0,
cos x  1;

cos x  0,


n
 x  , n  Z ,
4

 x  2k , k  Z .
Выбор корней проведём на тригонометрической окружности.
 7
Число решений на  ;  равно 5.
4
4 
Ответ: 5
а) tg3x sin 6 x  cos 6 x  cos12 x  0.
б) tgx cos 5 x  sin 5 x  sin 6 x .
Найти число решений на 0; 2 .
 5
Найти число решений на  ; .
3
Ответ: 7.
3 
Ответ: 7
в) ctg 2 x sin 4 x  cos 4 x  cos 8 x  0.
г) ctg 2 x cos x  sin x  cos x .
Найти число решений на 0; 2 .
Найти число решений на   ; 2  .
Ответ: 4.
Ответ: 3.
5. Основной идеей решения следующих заданий является выражение синуса или косинуса через тангенс или котангенс половинного аргумента (или
наоборот).
sin 2 x 
При
этом
следует
иметь
в
виду,
что
в
формулах
2tgx
1  tg 2 x
,
cos
2
x

область определения «левых частей» равенств –
1  tg 2 x
1  tg 2 x
все действительные числа, а область определения «правых частей» x

2
 k , где k  Z .
Поэтому переход от одного уравнения к другому с использованием этих
формул, вообще говоря, сужает ОДЗ на множество π.
19
Аналогичная ситуация с формулами
sin 2 x 
2ctgx
ctg 2 x  1
,
cos
2
x

.
1  ctg 2 x
1  ctg 2 x
Вообще, использование формул, у которых ОДЗ «левых» и «правых» частей не совпадают, может привести либо к потере, либо к появлению посторонних корней.
Примерами таких формул являются:
tgx  ctgx  1, на

2
k, k  Z;
x 1  cos x

, на 2  k , k  Z ;
2
sin x
2tgx

tg 2 x 
, на k , k  Z ; и другие.
2
2
1  tg x
ctg
Образец решения:
sin 2 x  1  sin 2 x  6ctgx.
ОДЗ : sin x  0, x  k , k  Z .
2 sin x  cos x
1
1
 6ctgx,
2
2
cos x  sin x
1  ctg 2 x
2ctgx
1
1
 6ctgx,
2
1  ctg x
1  ctg 2 x
2t
1
ctgx  t ,
1
 6t  0, 1  t 2  0,
2
2
1 t
1 t
2
2t  (1  6t )(1  t )  1  0, 6t 2  t 2  4t  0, t1  0.
6t 2  t  4  0, D  1  96  95  0, корней нет.
ctgx  0, x 

2
 k , k  Z .
Ответ: x 
а)

2
 k , k  Z .
7tgx  cos 2 x  3 sin 2 x  1.
k , k  Z .
б)
2 sin 2 x  cos 2 x  1  9tgx .
k , k  Z .
Ответ: в) sin 2 x  3ctgx  1  2 sin 2 x .
Ответ:

2
 k , k  Z .
Ответ: г) 12ctgx  2 sin 2 x  1  cos 2 x .
Ответ:

2
 k , k  Z .
20
XII. Задания для промежуточного контроля результатов обучения (ответы даны в скобках).
Уравнения, приводимые к алгебраическим.
 2

 2n, n  Z .

 3

1.2 sin 2 x  7 cos x  5  0.



n 
 n,  2n, n  Z .
  1
6
2



n


n 1 

, n  Z .
 4k  1 ,  1
6
18 3


2. cos 2 x  3 sin x  2.
3.2 cos 2 3x  sin 3x  1  0.

 

   n,  n, n  Z .
6
 4

4.ctgx  3tgx  1  3.
5. 3  2tgx  tg 2 x 


  n, n  Z .
4

1  3tgx
.
2
Уравнения, решаемые способом разложения на множители.
 

 n,  2n, n  Z .
2


n, n  Z .
1. sin 2 x  sin x  0.
2. cos 2 x  sin x cos x  1.


5

 n,   arccos   2n, n  Z .
6



3.5 sin x  3 sin 2 x  0.
   

  n,  n, n  Z .
6 3 4 2



  n, n  Z .
4

4. cos 5 x  cos x  0.
5.2tg 3 x  2tg 2 x  3tgx  3  0.
Однородные уравнения.
1.2 sin x  3 cos x  0.
3


 arctg  n, n  Z .
2





  arctg 3  n,  n, n  Z .
4


2
3
íåò ðåøåíèÿ .
3. sin x  cos x  4 cos x sin x  4 sin x.
2.4 sin 2 x  2 sin x cos x  3.


  n, arctg 3  n, n  Z .
4

n,arctg 2  n, n  Z .
4.3 cos 2 x  4 sin x cos x  sin 2 x  0.


5. 1  tg 2 x 1  sin 2 x   1.
21
Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических
функций.



 2n  1, 4n  1, n  Z .
4
2

 2

2. cos 2 x  cos x  0.
  n,   2n, n  Z .
3 3

2

3. sin 3x  sin 4 x  2 sin 3,5 x.
 n,4n, n  Z .
7

1. sin x  sin 3x  4 cos 3 x.
4. 3 sin 2 x  cos 5 x  cos 9 x  0.
n
 k

n 1 

, n  Z .
 ,  1
21 7
 2

5. cos 3x  2 cos 2 x  cos x  0.


 2n  1,2n, n  Z .
4

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.


 2n  1, n  Z .
4


 

2

2.8 cos x cos  x  cos  x   1  0.
  3n  1, n  Z .
3
 3

9

 n

3. cos x cos 3 x  cos 5 x cos 7 x.
 , n  Z .
 8

1
 

4. sin x sin 2 x sin 3x   sin 4 x.
 n, n, n, n  Z .
4
2 3

1. cos 3 x cos 2 x  sin 3x sin 2 x.
Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.



 2n  1, n  Z , 6n  1, n  Z .
6
4

 n

2. sin 2 6 x  8 sin 2 3 x  0.
 , n  Z .
 3

x
3x


3. cos 2  cos 2
 sin 2 2 x  sin 2 4 x  0.
 2n  1, n  Z .
2
2
4

1.2 sin 2 x  cos 4 x  0.
 

  n, n  Z .
4 2

2
2
2
10n, n  Z .
5. sin 5 x  cos 2 x  2 sin 2 x  1.
4. sin 2 x  sin 2 2 x  3.
Уравнения вида a sin x  b cos x  c .
1. 3 sin x  2 cos x  1.
2. sin 2 x  cos 2 x  1  0.
3.3 sin x  4 cos x  3.
2arctg 5  2n, n  Z .


1 2
 2arctg
.

2

n
,
n

Z


3


 2

    2n, n  Z .
 3

22
Уравнения смешанного типа.


2
3
 4n  1,  1n arcsin
 4n  1 , n  Z .
4
5
4


1. sin x  cos x  2,5  5 sin x cos x.
2.Найти наименьший корень уравнения на интервале   ;0

 5 
cos x  3 sin x  sin   3x .   .
2
 6 


5
7

3. cos 2  cos 2 x  sin 2 2 x  sin 2 4 x  0.  2n,  n, 
x
2
3
2
2
7
4
n

, n  Z .
2

Тест. Решение тригонометрических уравнений.
x
x
 3
1. Найдите корни уравнения sin  2 sin cos x  0 на интервале  ;  .
2
а)
2
2
2 
7
2 4
5
;
; б)
; в)
.
6
3 3
6
2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения 2 cos 2 x  cos x  1  0
а) 0 ; б)   ; в)  2 .


3. Решите уравнение: sin   3x   cos  3x   0 и найдите сумму корней, при2

2

 
надлежащих интервалу   ; .


4
а)  ; б)
2 2


; в) .
4
6
4. Решите уравнение: cos 2x  cos 6x  0 и найдите сумму корней, принадлежа 3
щих интервалу  ;  .
8
а)
8 
5
3

; б)
; в) .
8
4
2
Задания для итогового контроля результатов обучения.
Контрольная работа.
1. Решите уравнения:
а) 4 sin x cos x  1 ; б) cos 3 x  sin 2 x cos x  0 ;
x
2
x
2
в) cos cos x  sin sin x  

д) cos  x  
2

2
; г) cos 4 x  1  sin 4 x ;
2
1
3
; е) 1  tg 2 x  2  tgx .
cos x
2
23
2. Найдите сумму корней управления

 sin   2x 
sin 2   2x   sin 2   2x  
 sin 3x cos x
2
 cos   2x 


2

на промежутке  1;3.
3. Укажите количество корней уравнения
cos x  sin x 2
 x 2  3x  0.
4. Решите уравнения:
а) 2 cos 2,5x  52  cos 2 2,5x  4 cos 2,5x  4  4 ;
б) 3 sin xtgx  3tgx  2 cos x  0 .
Ответы:
1. а)  1k 1
д)  1k 1

3

12

k
12
, k  Z ; б)

2
 n, n  Z ; в) 
3

 4n, n  Z ; г)  n, n  Z ;
2
2
 k , k  Z ; е) n, n  Z . 2. 16. 3. 3. 4. а)
4n
,n Z ;
5
б)  1k 1 arcsin  k , k  Z .
2
5
XIII Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ.
1 Решите уравнение log sin x  3 sin 2x  2 sin 2 x  sin x  1 .
Решение:
ОДЗ уравнения: sin x  0, sin x  1.
3 sin 2 x  2 sin 2 x  sin x  sin x;
3 sin 2 x  2 sin 2 x  0;
2 3 sin x cos x  2 sin 2 x  0;
3 sin x cos x  sin 2x  0.
Используя способ разложения на множители, получим sin x 3 cos x  sin x   0;
sin x  0 или
3 cos x  sin x  0 .
24
sin x  0 не удовлетворяет условию ОДЗ уравнения.
3 cos x  sin x  0 .
Используя способ решения однородного уравнения первой степени, получим:
tgx   3;
x

3
 n, n  Z .
С учетом ОДЗ уравнения решение данного уравнения имеет вид:
x
2
 2n, n  Z .
3
2 Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение
а) Из данного уравнения по свойству логарифмов получаем:
.
Значит, или
, откуда
, или
, отку-
да
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
Ответ: а)
, получим числа
,
;
.
,
; б)
.
25
3 Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение:
Заметим, что левая часть уравнения определена, если
и
При
этом
Поэтому перепишем уравнение в виде
Заметим, что это уравнение является квадратным, относительно
Решая методом коэффициентов получаем
или
Тогда, либо
откуда
либо
что невозможно в силу условия
26
С помощью единичной окружности отбираем корни, принадлежащие промежутку
Это корни:
Ответ: а)
б)
4 Решите уравнение:
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
27
Решение
28
Литература
1.
М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд. Углубленное
изучение курса алгебры и математического анализа для 10-11 класса, Москва,
Просвещение, 1997 г.
2.
И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике:
Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы – М., Просвещение,
1999.
3.
Журнал «Математика в школе», 2006, № 10.
4.
Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская, Г.П. Кузина.
Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. – М. Интеллект-Центр, 2002-2007 г.
5.
Д.А. Антонов. Математика. Готовимся к ЕГЭ. Г. Чебоксары, 2005.
6.
М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа; Учебник для 10-11 кл.
средней школы – 2-е изд. – М. Просвещение, 2000.
7.
А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын. Алгебра и нача-
ла анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы – 4-е изд. – М. Просвещение,
2002.
8.
Мордкович А.Г.и др. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух ча-
стях.Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений.Ч2: Задач. Для общеобразоват.
учреждений.- 5-е изд.-М.:Мнемозина,2004.
29