1. Предел функции

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СМОЛЕНСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА»
Расчетное задание
по курсу
МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Выполнил студент гр.
Проверил к.т.н., доц.
Прохоренкова А.Т.
2011 г.
1. Предел функции
Вычислить пределы функций:
Решение:


2 2 1  5 0
 lim 3
  неопределенность 
3
x2
0
3x  1  5 
3 2 1  5

2x  1  5
lim
x2 3
3

 lim


5 
2x  1  5
x2 3
3x  1  3


2
2 x  1  5  3 3 x  1  3 3 x  13 5  3 5 2 


2
3
2 
3
3
3

2 x  1  5  3 x  1  3 x  1 5  5 


2 x  1  5 3 3x  12
 lim
2
 3 3 x  13 5  3 5 2 
2 x  2  3 3 x  1  3 3 x  13 5  3 5 2 

  lim


x2
3x  1  5 2 x  1  5
3x  2  2 x  1  5

x2



2
2
2 3 3 x  1  3 3 x  13 5  3 5 2 
2 3 3  2  1  3 3  2  13 5  3 5 2 




 lim
 lim
x2
x2
3 2x  1  5
3 2 2 1  5



2 25  25  25
3

3
3
3 5 5



3
25
5


6 5
Решение:
lim
3x  42  5 x 
x  3
 lim
3x  42  5 x   lim  15 x 2  12 x  8 


   неопределенность  lim
 x  3  x  1 2 x 5  1 x  3 2 x 6  2 x 5  x  1
x  1  3 2x 5  1  
 15x
 2x
x  3
Ответ:
6
6
2


 12 x  8 : x 2

 2x 5  x  1 : x 2
 lim
x  3
 15x
2

 12 x  8 : x 2
(2 x 6  2 x 5  x  1) : x 6
15
5 и 3
2
2

12 8

x x 2   15  0  0   15
3
3
2 1
1
2000
2
2  5  6
x x
x
 15 
 lim
x 
3
2. Производная функции одной переменной
Найти производные заданных функций:
Решение:


y '  cos 2 3x 3  5 x  1  2 cos 3x 3  5 x  1 cos 3x 3  5 x  1 

 2 cos 3x 3  5 x  1  sin 3x 3  5 x  1 3x 3  5 x  1  2 cos 3x 3  5 x  1 sin 3x 3  5 x  1 9 x 2  5







 




 

Решение:
ln y  ln tgx
4 ex
 4e x ln tgx
y'
ln y    y '  y  ln y '
y
'
ln y '  4e x ln tgx'  4e x ' ln tgx  4e x ln tgx' 
 1
1 
1

x



 4e x ln tgx  4e x 


4
e
ln
tgx



2 
cos x sin x 

 tgx cos x 
2 

 4e x  ln tgx 

sin
2
x


 
2 
y'   4e x  ln tgx 
  y
sin 2 x  
 
y  tgx
4e x
'

 x
2 
2 
4e x 
x
 4e  ln tgx 
   4e tgx  ln tgx 

sin
2
x
sin
2
x






 
 

Ответ:  2 9 x  5 cos 3x  5x  1 sin 3x  5x  1 и
2
3
3
3
2 

4e tgx  ln tgx 

sin 2 x 

x
4e x

3. Применение производных для исследования функций
Провести полное исследование функции и построить ее график:
Решение:
y( x ) 
4x  9
4x  8
2
1. Область определения D( x )  ( ,2 )   2;
2. Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.
3. Точки пересечения с осями:
4x 2  9
с Ох: y=0  0 
4x  8
Решений нет, значит, точек пересечения нет
с Оу: х=0
 y ( x) 
4  02  9 9

40 8 8
 9
  0; 
 8
4. x  2 — точка разрыва. Исследуем поведение функции в окрестности точки.
2
4 2  0   9
lim y( x )  lim
 
x 2 0
x 2 0 4  2  0   8
4 2  0   9
 
x  2 0 4  2  0   8
2
lim y( x )  lim
x  2 0
5. критические точки:



 4x2  9 
8 x 4 x  8   4 x 2  9 4  
4 x 2  9 4 x  8   4 x 2  9 4 x  8 
 
y   

4 x  8 2
4 x  8 2
 4x  8 
32 x 2  64 x  16 x 2  36 16 x 2  64 x  36


4 x  8 2
4 x  8 2






y  0
16 x 2  64 x  36
4 x  8 2
0
16 x 2  64 x  36  0
x1  4 ,5 x2  0 ,5
и x3  2 - критические точки делят область определения на 4
промежутка
При x   ;4 ,5 y  5  0 - функция возрастает
4
При x  ( 4 ,5 ,2 ) y  3  0 - функция убывает
При x   2;0 ,5 y 0   0 - функция убывает
При x  0 ,5; y1  0 - функция возрастает
x1  4,5 - точка экстремума максимума
y( 4 ,5 )  9
x2  0.5 - точка экстремума минимума
y( 0 ,5 )  1
6. асимптоты:
9
y
4x  9
4x  9
x2  1
k  lim  lim
 lim 2
 lim
x  x
x  4 x  8 x
x  4 x  8 x
x 
8
4
x
2
4
2
9

 8
 4x  9

 4 x  9  x4 x  8  
 9  8x 
x
  2
  lim 
b  lim  y  kx  lim 
 1  x   lim 
  lim 
x 
x  4 x  8
x 
x  4 x  8
x 
8
4
x

8







4 
x

у=х-2 – асимптота
2
2
7. изобразим график функции:
5
4. Экстремум функции двух переменных
Найти экстремум функции двух переменных:
Решение:
f x , y   x 2  xy  2 y 2  x  y
Находим частные производные
f x, y 
 2x  y  1
x
f x, y 
 x  4 y 1
y
Решаем систему
1

x   3
2 x  y  1  0


1
x  4 y  1  0
y  
3

Находим вторые частные производные
 2 f x, y  2 x  y  1
A

2
xx
x
 2 f x, y  2 x  y  1
B

1
xy
y
C
 2 f x, y  x  4 y  1

 4
yy
y
Находим определитель:
A B 2 1


 8  1  9  0
B C 1 4
 1 1
Значит,   ;   - не является ни точкой минимума, ни точкой максимума
 3 3
Ответ: нет точки экстремума
6
5. Разложение функции в ряд Тейлора
Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности заданной точки x0 . Указать
четыре члена ряда
Решение:
Ряд Тейлора:
x  a  f '' (a)  x  a  f ''' (a)  ...   x  a  f ( n ) (a)  ...
xa '
f (a) 
1!
2!
3!
n!
2
f ( x)  f (a) 
3
n
Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки х0=0 функцию y  е x
 
'
у'  еx  еx
у' ( 0 )  1
 
'
у ''  у '''  у ( n )  е x  е x
у '' (0)  у ''' (0)  у ( n) (0)  1
x  a  f '' (a)  x  a  f ''' (a)  ...   x  a  f ( n) (a)  ... 
xa '
f (a) 
1!
2!
3!
n!
2
3
n
x  0 f '' (0)  x  0 f ''' (0)  ...   x  0 f ( n) (0)  ... 
x0 '
 f (0) 
f (0) 
1!
2!
3!
n!
2
3
n
x x
x
x
 1     ... 
 ...
1! 2! 3!
n!
2
3
n
f ( x)  e x  f (a ) 
Тогда,
e
 x2

 x2  x2
 1

1!
2!
Ответ: e  x  1 
2
   x 
2
2 3
3!
 x 
 ... 
2 n
n!
 ...  1 
x2 x4 x6

  ...
1! 2! 3!
7
2n
x2 x4 x6
n x
   ...   1
 ...
1! 2! 3!
n!
6. Вычисление определенного интеграла
Вычислить определенный интеграл. Для упрощения разложения знаменателя на
множители, задается один из корней знаменателя.
Определенный интеграл
Корень знаменателя
Решение:
2
2


x3  x
x( x 2  1)
 x( x  1)( x  1) 


dx

dx

1 x 3  2 x 2  7 x  6 1  x 3  2 x 2  7 x  6  1  x 3  2 x 2  7 x  6 dx
2
зная, что один из корней x = –1, тогда
x
3

 2 x 2  7 x  6 : x  1  x 2  x  6
Уравнение x 2  x  6  0 корней не имеет.
2
2
 x 2  x  6  2x  6 
x( x  1)
2x  1  5 

1 x 2  x  6dx  1  x 2  x  6 dx  1 1  x 2  x  6 dx 
2
2x  1
5
1


 2x  1 


  1  2
 2
dx   1dx    2
dx  5  2
dx 
x

x

6
x

x

6
x

x

6
x

x

6






1
1
1
1
2
2
2
2


2

1
 2x  1 
dx 
  1dx    2
dx  5 
1
23 
x  x6
1
1
1  (x  )2 


2
4 

2
2


4


1
*


 2x  1 
23
  1dx    2
dx  5 
dx 
2
x  x6
1 
4 23 
1
1
1 2
  23 ( x  2 )   23 4 



2
2
2




2
2
2


4
1
2
 2x  1 
2
  1dx    2
dx  5  
dx  x 1  ln x  x  6
2
23 1   2 x  1 
x  x6
1
1

  23   1 





 x 1  ln x 2  x  6
2

2
x
1
3

2
2
1
 2  1  ln 12  ln 8 
Ответ:
2
4
2
2x  1
 5  23 arctg

1
2
23
23
1

10
2x  1
arctg

23
23 1
10 
5
3 
10 
3
5 
 arctg
 arctg
 arctg
  1  ln 8  ln 12 
 arctg

23 
23
23 
23 
23
23 
x3  x
10 
3
5 
 arctg

dx  1  ln 8  ln 12 
 arctg
 2x 2  7x  6
23 
23
23 
8
7. Исследование сходимости ряда
Записать формулу общего члена ряда. Исследовать сходимость ряда, используя
достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
а) Заданный ряд
б) Заданный ряд
Решение:
а) имеем ряд

1
 2n
n 1
2

1  1
 - обобщенный гармонический ряд при р=2>1, значит ряд
2 n 1 n 2
сходится
б) имеем ряд

3n !
n 1
3n

общий член ряда a n 
3n !  1  2  3  4  ...  3n
3n
3  3  3  ...  3
в числителе множителей 3n, а в знаменателе n множителей, в таком случае числитель
значительно превосходит знаменатель
lim a n  lim
n 
n 
3n !  
3n
Необходимое условие не выполнено, ряд расходится
Ответ: а) сходится; б) расходится
9
8. Решение дифференциальных уравнений
Записать вид частного решения линейного неоднородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами.
Решение:
Характеристическое уравнение:
4  23  2  0
 2 (  1) 2  0
Его корни
k1 =0 k2 =0 k3 =1 k4 =1
корень k1,2=0 имеет кратность 2 и правая часть – многочлен второй степени, значит,
общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами, будет:

y ch  x 2 Ax 2  Bx  C

Решение:
Характеристическое уравнение:
3  52  8  4  0  (  1)(  2) 2  0
Его корни
k1 =1 k2 =2 k3 =2
правая часть – произведение многочлена первой степени и функции вида y  e ax , где а=1
корень k1=1 (х=а) имеет кратность 1
общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами, будет:
y ch  x Ax  B e x
Ответ: y ch  x 2 Ax 2  Bx  C  и y ch  x Ax  B e x
10