Лекция 3. Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материаль-

Лекция 3. Принцип относительности Галилея. Функция Лагранжа свободной материальной точки. Функция Лагранжа системы взаимодействующих частиц. Функция Лагранжа
в декартовых и обобщённых координатах
Установим вид функции Лагранжа простейших механических систем и установим рецепт
ее нахождения в тех или иных случаях. Для этого будем использовать ряд общих свойств пространства-времени, а также законы Ньютона так, чтобы в декартовых координатах уравнения
Лагранжа переходили в законы Ньютона.
Принцип относительности Галилея
Для изучения механических явлений необходимо выбрать какую-то систему отсчета. В
различных системах отсчета законы движения будут иметь, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета (например, вращающуюся), то законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. По отношению к произвольной системе отсчета пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что для свободного
тела, которое не взаимодействует с другими телами, его различные положения в пространстве и
его различные ориентации будут не эквивалентны в механическом отношении. То же относится
и ко времени, которое будет неоднородным, т.е. его различные моменты могут быть неэквивалентны. Например, во вращающейся системе координат, свободное тело не могло бы покоиться.
Если скорость тела в некоторый момент времени и была бы равна нулю, то уже в следующий
момент времени тело начало бы двигаться (относительно этой системы отсчета) в некотором
направлении. Однако, как показывает опыт всегда можно найти такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время - однородным.
Такая простейшая система отсчета называется инерциальной. В такой системе отсчета тело, покоящееся в некоторый момент времени t , будет оставаться в покое неограниченно долго (эти
утверждения, фактически, повторяют первый закон Ньютона).
Рассмотрим свободно движущуюся материальную точку в инерциальной системе отсчета. В силу однородности пространства и времени, функция Лагранжа такой точки не должна за-

висеть от величин r и t . В силу изотропии пространства, она может зависеть только от вели-
2
чины скорости, но не от её направления, т.е. зависеть только от квадрата скорости v  v .
Поэтому, для свободной м.т. точки
 
 

L свб  L v 2  L v 2
1
2
(1)
Свободная материальная точка имеет три степени свободы - s  3 . Выберем в качестве
системы координат прямоугольную декартовую систему. Тогда q1  x t  , q2  y t  ,
q3  zt  . Система 3-х уравнений Лагранжа (см. конец предыдущей лекции) запишется так:
 
 
d L v 2
L

;
dt x
x
d L v 2
L

;
dt y
y
 
d L v 2
L

dt z
z
(2)
Очень удобно использовать краткие символические обозначения, широко распространенные в
физике:
 
 
 

j
k
  grad r  i
r
x
y
z
 
 
 
 
 
 

j
k
i
j
k
  gradv  i
v
v x
v y
v z
x
y
z
Теперь с учетом этих определений систему 3-х уравнений можно записать в виде одного векторного уравнения:
   L

d  L v 2


dt  v



(3)
r
Поскольку в рассматриваемом случае L / r  0, то уравнение Лагранжа (3) для свободной
частицы будет выглядеть очень просто:
 

d  L v 2 

(4)
 0
dt  v 
2
 
Отсюда получаем, что L v / v  Const . Используя символическое правило дифференци-
 
рования, запишем:
 
 
 
 
 



 v 2  dL v 2
L v 2
 dL v 2




2
v


C
onst

2
 v  d v 2
v
d
v


(5)
    - скалярная, то равенство (5) может быть выполнено только
2
Поскольку величина dL v / dv
2
при условии, что
 
v  Const
(6)
Таким образом, в инерциальной системе отсчета движение свободного тела происходит с постоянной (по величине и по направлению) скоростью. Это утверждение составляет содержание закона инерции, т.е., фактически, первого закона Ньютона.
2
Если какая-то другая система отсчета движется относительно данной инерциальной системы
равномерно и прямолинейно, то она то же является инерциальной. Таким образом, существует
бесчисленное множество инерциальных систем отсчета.
Опыт показывает, что все инерциальные системы полностью эквивалентны. Это утверждение составляет содержание одного из важнейших принципов механики – принципа относительности Галилея: Во всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени
одинаковы; одинаковы и все законы механики. Это значит, что все физические законы в любых
инерциальных системах одинаковы. По отношению к механике это означает, что вид уравнений
движения не изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой. Все сказанное
говорит об исключительности свойств инерциальных систем отсчета. Поэтому везде в дальнейшем, если не оговаривается особо, мы будем рассматривать только инерциальные системы отсчета.
Определим теперь вид функции Лагранжа для одной свободной частицы. Как показано
  . При этом уравнения движения во всех инерциальных отче-
выше, в этом случае L свб   L v
2
тах должны иметь один и тот же вид.
Пусть система K  движется относительно K с постоянной скоростью V0 . Тогда функ-
  в системе K
ция Лагранжа L v
2
должна перейти в такую функцию L  в системе K  , кото-
рая, если и отличается от функции L , то лишь на полную производную какой-то функции координат и времени. Поскольку v  v   V0  t , то

v 2  v   V0

2
 v 2  2v V0  V02 , т.е. v 2  v 2 

d
2V0r   V02t
dt

(7)
Учитывая это, сразу получаем, что для свободной частицы ф. Лагранжа должна быть пропорциональна квадрату скорости:
L(свб )  v 2
(8)
Уравнение Лагранжа для свободной частицы теперь будет выглядеть так:
d
dt
Сравнивая
это
с

  v 2

 v

уравнением
   0 ,


второго
т.е.
закона
2
dv
0
dt
Ньютона
для
свободной
частицы
m  dv / dt   0 , находим, что   m / 2 . Здесь m - инертная масса тела. Таким образом,
3
окончательно получаем следующее выражение для функции Лагранжа одной свободной частицы:
L( свб )
mv 2 mv 2


2
2
(9)
Отметим, что в этом пункте мы существенно воспользовались вторым законом Ньютона. Иначе
мы не смогли бы понять, что есть  .
Если механическая система состоит не из одной, а из N невзаимодействующих частиц,
то в силу свойства аддитивности функции Лагранжа, получим
ma va2

a 1 2
N
L( свб )
(10)
Величина
m a v a2
Ta 
2
(11)
называется кинетической энергией a - ой частицы.
Сумма кинетических энергий всех частиц есть полная кинетическая энергия системы:
m a v a2
T   Ta  
2
a 1
a 1
N
N
(12)
Таким образом, кинетическая энергия есть величина аддитивная.
Рассмотрим теперь систему N м.т., взаимодействующих только друг с другом, но ни с
какими посторонними телами, не входящими в эту систему. Такая система называется замкнутой системой.
Оказывается, что в классической механике, когда скорости частиц малы по сравнению со
скоростью света  v  c , взаимодействие между точками системы может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек, некоторой функции координат
U  r1, r2,....rN  . Конкретный вид этой функции зависит от характера взаимодействия между
частицами. Величина U  r1, r2, .........rN  называется потенциальной энергией системы. С учетом
сказанного, в самом общем виде, ф. Лагранжа для замкнутой системы из N м.т. в декартовой
системе координат будет выглядеть так:
4
m a v a2
L 
 U  r1, r2, ....rN 
2
a 1
N
(13)
Потенциальная энергия зависит от положения всех м.т. r1  t  , r2  t  ,.........rN  t  в один
и тот же момент времени t . Это означает, что изменение положения хотя бы одной из них,
мгновенно отражается на всех остальных. Следовательно, в классической механике считается,
что взаимодействие между телами «распространяется» мгновенно, с бесконечно большой скоростью.
Зная функцию Лагранжа, можем записать систему уравнений Лагранжа в следующем
символическом векторном виде:
d
dt
 L  L
,


 v a  ra
 a  1,2,.......N 
(14)
Поскольку L / v a  m a v a , а L / ra  U / ra , то система уравнений (14) примет вид:
ma
U  r1, r2,....rN 
dva
,

dt
ra
 a  1,2,.......N  (15)
Вектор
Fa  
U  r1, r2,....rN 
 gradra U  r1, r2,....rN 
ra
(16)
называется силой, действующей на a -ю частицу, со стороны всех остальных частиц системы.
Вместе с
U сила зависит только от координат частиц, но не от их скоростей:
Fa  Fa  r1, r2 , .........rN  . Теперь система уравнений Лагранжа запишется так:
m ara  t   Fa  r1, r2,.......ra ,....rN 
(17)
Таким образом, если в качестве обобщенных координат выбрать декартовы координаты, уравнения Лагранжа сводятся к системе уравнений второго закона Ньютона.
При решении большинства задач, оказывается удобным использовать не декартовы, а некоторые обобщенные координаты q1, q2 , ....qi , ...., q3N . В этом случае для написания функции.
Лагранжа нужно произвести соответствующие преобразования. Прежде всего, нужно выразить
все декартовы координаты точек через обобщенные координаты qi
ra  ra  q1, q2,....qi ,...., q3N  .
5
 i  1,2, .......3N  :
Затем нужно выразить кинетическую энергию системы через выбранные обобщенные координаты. Т.к.
dra  q1, q2,....qi ,...., q3N 

dt
3N
r
 qa qi ,
i 1
i
то
N
m
T a
a 1 2
2
 dra  


 dt 
ra 3N ra
1 3N
 q qi  q qk  2  qi qk
i 1
i 1
i ,k 1
i
k
N
3N
m
 2a
a 1

 ra ra
N

 m a 

q
qk

a

1
i







Обозначим
N
 r
r 
 m a  qa  qa   ik  q1, q2, ....qi , ...., q3N 
a 1

i
k

(18)
Отсюда видно, что матрица ik  q зависит только от обобщенных координат и является симметричной матрицей. Таким образом, в обобщенных координатах кинетическая энергия системы по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть и от обобщенных координат:
T  q; q 
1 3N
 ik  q qi qk .
2 i ,k 1
Теперь функцию Лагранжа запишем в виде:
L  q; q 
1 3N
 ik  q qi qk  U q1, q2,....q3N 
2 i ,k 1
(19)
Рассмотрим несколько простых примеров.
Запишем кинетическую энергию м.т. m в декартовых, цилиндрических и сферических
координатах. При этом учтем, что независимо от выбора координат
mv 2 m  dl 
m  dl 
T

  
2
2  dt 
2  dt 2
2
2
(20)
Здесь  dl  - квадрат элемента дуги в соответствующих координатах.
2
1. В декартовых координатах: q1  x ; q2  y; q3  z;
 dl 2   dx 2   dy 2   dz2
Tдек 

m 2
x  y2  z2
2
6

(21)
2. В цилиндрических координатах: q1  ; q2  ; q3  z;  - расстояние до оси z ;  - азимутальный угол в плоскости XoY 0    2  .
x   cos ; y   sin ; z  z .
 dl 2   d 2  2  d 2   dz2 .
Поэтому
T

m 2
  22  z2
2
Величина  определяет быстроту удаления
   0

(22)
или приближения
   0
точки
к оси z . Величина    есть угловая скорость вращения частицы относительно оси z . Знак
величины  определяет направление вращения (если смотреть на плоскость XoY со стороны
оси z ) – против часовой стрелки - знак "плюс", а по часовой стрелке – знак "минус". Наконец,
величина z  v z определяет поступательную скорость движения относительно оси z .
3. В сферических координатах: q1  r ; q2  ; q3  ; r - расстояние до начала координат;
 - полярный угол;  - азимутальный угол 0    ; 0    2  :
x  r sin  cos ; y  r sin  sin ;
z  r cos  ;
 dl 2   dr 2  r 2  d2  r 2 sin2   d 2
Поэтому
T

m 2
r  r 22  r 2 sin 2  2
2
7

(23)