ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 1. 2. Интерполирование функции через решение СЛАУ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
ТЕМА: 1. Табулирование функции;
2. Интерполирование функции через решение СЛАУ
3. Интерполирование функции с помощью многочленов Лагранжа;
4. Интерполирование функции с помощью многочленов Ньютона
с разделенными разностями.
1. На отрезке [a,b] получить таблицу значений функции y=f(x) в равноотстоящих точках
xi=a+i*h; i = 0,1,2, …,10; h=(b-a)/10. Варианты функции y=f(x) и отрезка [a,b] см. в
таблице 1.
2. С помощью интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона и путем решение СЛАУ,
построить интерполяционный многочлен степени n по табличным значениям в точках xk,
xk+1, …, xk+n .
3. С помощью формулы остаточного члена оценить погрешность интерполяционной
формулы на интервале (xj, xj+1). Варианты значений n, k, j см. в таблице 1.
4. На интервале (a, b) построить графики интерполяционного многочлена и исходной
функции.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ТЕМА: Приближение табличной функции методом наименьших квадратов.
1. Методом наименьших квадратов для табличной функции (xi , yi), i = 0,1,2, …,10 из
лаб. работы №1 построить:
а) приближение многочленом степени m. Варианты значений m взять из таблицы 1.
б) гиперболическое приближение вида y = с/x + d.
2. Для обоих приближений подсчитать среднеквадратичное отклонение.
3. На интервале (a, b) построить графики табличной функции и построенных
приближений.
Таблица 1.
№
Вид функции y=f(x)
[a,b]
n
k
j
m
1
2
3
4
y=x2 + ln(x)
y=x2 - lg(x+2)
y=x2 + ln(x) - 4
y=(x-1)2 –0.5ex
[0.4,0.9]
[0.5,1.0]
[1.5,2.0]
[0.1,0.6]
2
3
4
5
0
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
y=(x-1)2 –e -x
y=x3 - sin(x)
y=4x - cos(x)
y=x2 - sin(x)
y=x - cos(x)
y=x2 - cos(πx)
y=x2 - sin(πx)
[1.0,1.5]
[0.6,1.1]
[0.1,0.6]
[0.5,1.0]
[0.5,1.0]
[0.1,0.6]
[0.4,0.9]
2
3
4
5
2
3
4
4
5
0
1
2
3
4
5
6
3
2
4
4
7
5
6
7
8
1
2
3
12
13
14
y=x2- cos(0.5πx)
y=x-2cos(0.5πx)
y=x - sin(πx)
[0.4,0.9]
[0.4,0.9]
[0.6,1.1]
5
2
3
5
0
1
8
0
2
4
5
6
15
16
17
y=2x - cos(x)
y=x2 + ln(x+5)
y=0.5x2+cos(2x)
[0.1,0.6]
[0.5,1.0]
[0.6,1.1]
4
5
2
2
3
4
3
4
5
7
8
1
18
19
20
y=x2 –0.5e -x
y=x2 + lg(x)
y=x - lg(x+2)
[0.1,0.6]
[0.4,0.9]
[0.5,1.0]
3
4
5
5
0
1
7
1
3
2
3
4
21
22
23
y=x2 - lg(0.5x)
y=x3 - cos(2x)
y=x2 + cos(πx/2)
[0.5,1.0]
[0.1,0.6]
[0.1,0.6]
2
3
4
2
3
4
2
4
6
5
6
7
24
y=x/2 - cos(x/2)
[0.4,0.9]
5
5
7
8
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ТЕМА:
1. Построение формулы численного дифференцирования с помощью
многочлена Лагранжа;
2. Построение формулы численного дифференцирования, используя
разложение функции в ряд Тейлора.
1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа степени n
по табличным
значениям функции у=f(x) в точках xj, xj+1, …, xj+n .
2. Дифференцируя заданное число раз интерполяционную формулу Лагранжа, построить
формулу численного дифференцирования приближенного вычисления производной
таблично заданной функции Ln(k)(хm) ≈ f(k)(xm). Значения j, n, k, m см. в таблице 2.
3. С помощью дифференцирования формулы остаточного члена интерполяционного
многочлена получить и оценить минимальное и максимальное значения отклонений
полученной формулы численного дифференцирования на интервале (xj, xj+n).
4. Используя разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки xm построить
формулу численного дифференцирования для f(k)(xm) и оценить ее погрешность.
5. Сравнить полученные формулы численного дифференцирования и оценки их
погрешностей. Приближенные значения f(k) (xm) сравнить со значением, получаемым при
непосредственном вычислении производной.
6. Проанализировать поведение погрешности в зависимости от расстояния между узлами
h. Сопоставить с полученной оценкой погрешности.
Таблица 2.
№
j
n
k
m
№
j
n
k
m
1
0
2
1,2
0
13
4
2
1,2
6
2
1
3
1,2
1
14
5
3
1,2
7
3
2
4
1
2
15
6
4
1
10
4
3
2
1,2
3
16
7
2
1,2
7
5
4
3
1,2
4
17
0
3
1,2
3
6
5
4
1
6
18
1
4
1
1
7
6
2
1,2
6
19
2
2
1,2
3
8
7
3
1,2
7
20
3
3
1,2
3
9
0
4
1
2
21
4
4
1
5
10
1
2
1,2
2
22
5
2
1,2
7
11
2
3
1,2
3
23
6
3
1,2
9
12
3
4
1
6
24
7
3
1,2
10
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ТЕМА:
Численное интегрирование с помощью квадратурных формул прямоугольников,
трапеций, Симпсона.
1. Для заданной функции у = f(x) получить приближенное значение определенного
интеграла In на отрезке (a, b) c помощью квадратурных формул:
а) правых прямоугольников;
b) левых прямоугольников;
c) центральных прямоугольников;
d) трапеций;
e) Симпсона.
Варианты функций и отрезков интегрирования см. в табл. 3.
2. Для достижения заданной точности ε сначала вычислить In на отрезке [a,b], затем n
удвоить и вычислить I2n. Если выполнено неравенство │ In - I2n │/ │I2n│ ≤ ε, то точность
считается достигнутой, и I2n принимается за приближенное значение интеграла с
точностью ε, в противном случае n снова удваивается, т.е. вычисляют I4n и сравнивают
между собой уже I2n и I4n и т.д. Начальное значение n=10 . Требуемая точность ε = 10 -6.
3. При каждом значении n вычислить относительное отклонение от точного значения
определенного интеграла. Сравнить с известными оценками остаточных членов
квадратурных формул. Построить графики зависимости относительных отклонений
квадратурных формул от значения n.
Таблица 3.
№
y=f(x)
[a,b]
№
y=f(x)
[a,b]
1
y=x2 + sin(x)
[0,2]
13
y=x+ 2cos(0.5πx)
[0,2]
2
y=x2 + cos(x)
[0,1]
14
y=x - sin(πx)
[0,1]
3
y=x3 +
[0,2]
15
y=2x - cos(πx)
[0,2]
4
y=(x-1)2 + 0.5ex
[0,2]
16
y=0.5x2 + e -x
[0,2]
5
y=(x+1)2 + e -x
[0,2]
17
y=0.5x2+cos(2x)
[0,2]
6
y=x3 - sin(x)
[0,2]
18
y=x2 –0.5e -x
[0,2]
7
y=2x + cos(x)
[0,1]
19
y=x2 + 0.5ex
[0,1]
2
-x
8
y=x + 2x - sin(x)
[0,1]
20
y=2x + e
[0,1]
9
y=x - cos(x)
[0,3]
21
y=x2 - e -x
[0,2]
10
y=x2 + cos(πx)
[0,1]
22
y=x3 - cos(2x)
[0,1]
11
y=x2 + 1 - sin(πx)
[0,2]
23
y=x2 + cos(πx/2)
[0,3]
12
y=x + 1 - cos(0.5πx)
[0,2]
24
y= e x - cos(x/2)
[0,2]
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
ТЕМА: Численное решение уравнений методом хорд, касательных и половинного деления.
Найти действительные корни уравнения
f(x)=0
(1)
с заданной точностью ε, т.е. указать такое х, что | x*- x | < ε, где х* - корень уравнения
f(x)=0 . Решение этой задачи состоит из двух этапов.
1. Отделение корней. На этом этапе необходимо выделить отрезки [αi,βi],
принадлежащие области определения функции f(x) , на каждом из которых расположен
один и только один корень уравнения (1), такие корни называются изолированными.
Границы каждого отрезка можно рассматривать как первое приближение искомого корня,
αi – с недостатком, βi – с избытком. Тогда погрешность такого приближения не превзойдет
длины li отрезка [αi,βi].
Для отделения корней уравнения (1) можно воспользоваться первой теоремой Больцано –
Коши. Если функция f(x) на отрезке [αi,βi] удовлетворяет условиям этой теоремы, то
внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения (1). Корень
будет заведомо единственным, если производная f´(x) существует и сохраняет постоянный
знак внутри отрезка [αi,βi]. Таким образом, участки, отделяющие корни уравнения (1)
следует искать на интервалах знакопостоянства производной функции f(x).
Другой простой способ выделения корней состоит в преобразовании уравнения (1) к виду
q(х)=h(х) , где функции q(х) и h(х) более простые, чем функция f(x). Тогда, построив
графики функций y=q(х) и y=h(х), искомые корни получим как абсциссы точек
пересечения этих графиков.
2. Нахождение отделенного корня с любой наперед заданной точностью ε.
Считаем, что искомый корень уравнения (1) отделен и лежит на отрезке [αi,βi], на котором
функция f(x) непрерывна и дважды дифференцируема, причем производные f´(x) и f´´ (x)
сохраняют каждая свой знак.
В этом случае возможны четыре комбинации знаков первой и второй производных,
которые определяют четыре типа расположения кривой y=f(x).
а) f´(x) > 0, f´´ (x) > 0 - функция вогнутая и возрастает;
б) f´(x )> 0, f´´ (x) < 0 - функция выпуклая и возрастает;
в) f´(x )< 0, f´´ (x) > 0 - функция вогнутая и убывает;
г) f´(x )< 0, f´´ (x) < 0 - функция выпуклая и убывает.
Рассмотрение четырех случаев необходимо для определения того, с какого конца
отрезка [αi,βi] возможно применение метода касательных, а именно, с конца, в котором
значение функции и ее второй производной имеет одинаковый знак. Тогда
противоположный конец отрезка используется для применения метода хорд. Расчетные
формулы методов касательных (МК) и хорд (МХ) имеют вид:
МК :
x n x
n -1

f ( x n-1 )
,
f  ( x n-1 )
МХ : xn  xn1 
f ( xn1 )( x n1  xn1 )
,
f ( x n1 )  f ( xn1 )
Таблица 4.
Вид уравнения f(x)=0
№
искомый корень
1
0=1.2x2 - sin(10 x)
все положительные корни
2
0=2x0.5 - cos(πx/2)
все корни
3
0=2x –2x2 - 1
положительные корни
4
0=2lnx-1/x
все корни
5
0=2lgx-x/2+1
положительные корни
6
0=lgx – 7/(2x+6)
все корни
7
0=xlgx – 1/2
все корни
8
0=lg(3x-1)+exp(2x-1)
все корни
9
0=exp(-x) -2(x-1)2
все корни
10
0=2 - xexp(x)
все корни
11
0=1/x -π cos(πx)
все положительные корни
12
0=sec(x)- x2 -1
все положительные корни
13
0=ctg(1.05x)- x2
все положительные корни
14
0=2x - lg(x)-7
все положительные корни
15
0=exp(-x)+ x2 -2
отрицательные корни
16
0=0.5x2 - cos(2x)
все корни
17
0=ln(0.5x) –0.5 cos(x)
все корни
18
0=ln(2x) –e 2x
все корни
19
0=exp(-x) +x3- 3
все положительные корни
20
2
0=2x - cos(2x)
все корни