метод-1 - Камышинский технологический институт

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ»
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ
Методические указания
к практическим занятиям по дисциплине
«Сопротивление материалов»
РПК «Политехник»
Волгоград
2005
УДК 539. 3/.6 (07)
Р 24
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ
ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Сопротивление материалов» / Сост.
С. Г. Корзун, Н. Г. Неумоина; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград,
2005. – 38 с.
Содержат краткие теоретические положения о деформации осевое
растяжение и сжатие, методы расчёта статически определимых конструкций при осевом растяжении, сжатии, а также индивидуальные задания и
примеры их выполнения.
Ил. 11. Табл. 5. Библиогр.: 3 назв.
Рецензент А. В. Белов
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
©
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2005
РАЗДЕЛ «ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ИЛИ СЖАТИЕ»
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1
Тема: расчет на прочность и жесткость статически определимого
ступенчатого бруса.
Цель занятия: освоить определение величины продольных сил и
нормальных напряжений в поперечных сечениях ступенчатого бруса и
построение их эпюр. Освоить определение перемещений поперечных сечений.
Время, отведенное на проведение занятия и выполнения индивидуального задания: 4 часа, в том числе 2 часа – аудиторных занятий и
2 часа – самостоятельной работы студентов.
1. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ




повторить теоретический материал;
ответить на контрольные вопросы;
разобрать приведенные примеры решения задач;
решить самостоятельно предложенные индивидуальные задания.
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
2.1. Понятие о брусе
Объектом изучения в сопротивлении материалов является брус. Брусом называется тело, у которого длина значительна по сравнению с его
поперечными размерами рис. 2.1.
Брус, работающий на осевое растяy
x жение или сжатие, принято называть
стержнем.
Геометрическое место центров тяz
жести поперечных сечений есть продольная ось бруса z.
Форма поперечного сечения не оказывает существенного влияния на прочРис. 2.1
ность и жесткость бруса при центральном растяжении сжатии.
3
При расчетах на прочность и жесткость принимают во внимание
лишь величину площади поперечного сечения. Площадь – простейшая
геометрическая характеристика поперечного сечения.
2.2. Продольная сила и метод ее определения
Деформация центральное (осевое) растяжение (сжатие) имеет место
в случае действия на стержень уравновешенной системы сил, направленных вдоль его продольной оси или параллельно ей (рис. 2.2 а).
При этом в поперечных сечениях стержня действует только один
внутренний силовой фактор: продольная сила NZ (рис. 2.2. б).
F1
F2
I
F3
II
F4
z
III
a)
F1
Nz
F2
z
б)
Рис. 2.2
В сечениях стержня, принадлежащих различным участкам, величина
продольной силы не одинакова.
Графическое изображение закона изменения величины продольной
силы по длине стержня называется эпюрой продольных сил (Эп. «N»), см.
рис. 2.6 в.
Для стержней постоянного поперечного сечения эпюра «N» позволяет определить место положения опасного сечения – сечения, в котором
действует наибольшая (по абсолютной величине) продольная сила. Следует отметить, что на практике довольно часто встречаются случаи
нагружения стержней, которым соответствуют простейшие расчетные
схемы (рис. 2.3).
F
F
F
F
сжатие
растяжение
Рис. 2.3
4
В таких условиях работают стержни в различных стержневых системах, например, кронштейнах, фермах и т. д. (рис. 2.4).
F
F
Рис. 2.4
Порядок определения величины продольной силы.

Стержень разбивают на участки, границами которых являются
сечения, где приложены силы и сечения, где изменяется площадь.
В нашем случае стержень имеет 3 участка (рис. 2.2 а).

В пределах каждого участка используют метод сечений:
разрезают стержень поперечным сечением;
отбрасывают одну из частей стержня (желательно ту, к которой
приложено больше сил или силы, величина которых неизвестна).

Пользуясь соответствующими правилами определяют величину
продольной силы.
I правило: величина продольной силы в произвольном сечении
стержня численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных к оставшейся части стержня.
Это правило составлено из рассмотрения равновесия оставшейся части стержня (рис. 2.2 б).
 FZ  0
N Z  F2  F1  0 ,
откуда следует, что
N Z  F1  F2 ,

 FZост.
или окончательно
NZ   FZост. .
II правило (правило знаков): если внешняя сила растягивает стержень, то ее проекцию на ось z следует взять со знаком «плюс», а если
сжимает, то со знаком «минус» (рис. 2.2 б).
5
Примечание: используя это пра-
F1
+ растяжение вило, следует мысленно закрепить
стержень в рассматриваемом сечении
и использовать принцип независимости действия сил (рис. 2.5).
F2
Порядок построения эпюры «N».
- сжатие
 Проводят ось эпюры непосредственно под расчетной схемой
Рис. 2.5
при горизонтальном расположении
схемы (рис. 2.6 в) или справа от нее при вертикальном расположении
(рис. 2.7 б).
 В пределах каждого участка откладывают значение N в выбранном
масштабе: положительные – вверх (вправо), отрицательные – вниз (влево)
(рис. 2.6 б и 2.7 б).
2
1
F1 = 2F
a)
F2= 5F
1
2F
3
F3 = F
I
II
2
F4 = 4F
3
III
Эп N
+
-
3F
б)
4F
F1
в)
F1
F4
F2
г)
д)
Рис. 2.6

Через концы полученных отрезков проводят прямые, параллельные оси эпюры.
6

Штрихуют эпюру линиями, перпендикулярными оси эпюры
(стержня), т.к. каждая линия штриховки имеет определенный физический
смысл: в выбранном масштабе она соответствует значению продольной
силы в данном сечении (рис. 2.6 б и 2.7. б).
Указывают на эпюре значение продольных сил в пределах каждого
участка.
На большем поле эпюры один раз сверху (справа) от оси указывают
знак «плюс», снизу (слева) – знак «минус».
Над эпюрой выполняют надпись: Эп. «N» (кН).
Рассмотрим вышеизложенное на примере.
Определим величину продольных сил в поперечных сечениях стержня, представленного на рис. 2.6 а, при следующих значениях приложенных сил: F1 = 2F; F2 = 5F; F3 = F; F4 = 4F.
N1 = F1 = 2F, т. к. сила F1 растягивает стержень, при защемленном
сечении 1-1 (рис. 2.6 в).
N2 = F1 – F2 = 2F - 5F = -3F, т. к. остались 2 силы при отброшенной
правой части (рис. 2. 6. г); сила F2 сжимает брус, поэтому она в уравнении
со знаком «минус».
N3 = - 4F, т. к. при отброшенной левой от сечения 3-3 части стержня
осталось только одна сила 4F, которая вызывает сжатие оставшейся части
(рис. 2. 6. д).
Правила контроля правильности эпюры “N”.
Эп N (кН)
4
F3 = 9 кН
-
5
+
F2= 3 кН
2
F1= 2 кН
а)
б)
Рис. 2.7
7
1. В пределах каждого участка эпюра “N” изображается прямой,
параллельной оси эпюры.
2. В сечениях стержня, в которых приложены внешние силы на
эпюре, имеются скачки, величина которых соответствует величине приложенной силы.
Например: в сечении, где приложена сила, F2 = 5F величина скачка
равна 5F (2F + 3F), (рис. 2.6 а и б).
Используя правила определения величины продольной силы и правила контроля эпюры «N», можно, не прибегая к предварительным расчетам, построить эпюру продольных сил (рис. 2.7).
В нижнем сечении скачок вправо (т. к. сила F1 растягивает брус) на
величину 2 кН, дальше – прямая параллельная оси эпюры до сечения, где
действуют сила F2. Скачок вправо на 3 кН и прямая II – е оси до сечения
с нагрузкой F3; скачок на 9 кН влево (в минус), т. к. сила F3 сжимает брус
и прямая, параллельная оси эпюры.
2.3. Напряжения в поперечных сечениях
Продольной силе соответствуют нормальные напряжения , величина которых определяется по формуле:
N
 ,
A
где N – продольная сила в рассматриваемом сечении;
А – площадь поперечного сечения.
Продольная сила есть статический эквивалент нормальных напряжений
(равнодействующая внутренних нормальных к сечению, сил упругости).
N Z  А   dA
s
F
Nz
Рис. 2.8
Величина нормального напряжения одинакова во всех точках поперечного сечения (рис. 2.8).
Эпюру  строят аналогично эпюре N, предварительно определив
значения  на каждом участке.
8
Единицы измерения напряжения в системе СИ: 1МПа = 106 Па
(н/м );
2
1МПа  1
мН

106 Н
1
Н
.
м
10 мм
мм 2
Наиболее удобной для использования является интерпретация
1 МПа = 1 Н/мм2; т. к. большинство деталей машин, элементов строительных конструкций имеют размеры, соизмеримые с миллиметрами.
2
6
2
2.4. Определение деформаций и перемещений
при осевом растяжении (сжатии)
Перемещение произвольного поперечного сечения стержня – есть
изменение положения сечения по отношению к его первоначальному положению или по отношению к сечению, принятому за неподвижное.
Перемещение поперечных сечений является следствием абсолютной
деформации (удлинения или укорочения) части бруса, заключенной между неподвижным и рассматриваемым сечением.
Абсолютная деформация  отдельных участков бруса определяется
по формуле Гука:
N

или     ,
 
EA
E
где N – продольная сила, Н;
 – длина рассматриваемого участка стержня, мм;
Е – модуль упругости первого рода, МПа;
А – площадь поперечного сечения, мм2;
 – нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях рассматриваемого участка, МПа.
Перемещение произвольного сечения равно алгебраической сумме
абсолютных деформаций участков стержня, расположенных между неподвижным и рассматриваемым сечением:
    .
Для построения эпюры перемещений необходимо отложить от нулевой линии величины перемещений характерных (граничных) сечений (точек) в соответствии с их знаком ,вверх «+», вниз «–» при горизонтальном
расположении бруса, и вправо «+», влево «–» при вертикальном расположении бруса и полученные точки соединить отрезками прямых.
В отличие от эпюр «N» и «» эпюра «» изображается ломаной линией, т. к. величина перемещения каждого сечения зависит от длины,
  f   .
9
2.5. Расчет на прочность
Условие прочности при центральном растяжении (сжатии) имеет вид:
N
   [] .
A
где [] – допускаемое напряжение.

[]  оп ,
k
где оп – опасное напряжение для материала стержня, равное пределу
прочности пч. для хрупкого материала и пределу текучести т для пластичного материала;
k – коэффициент запаса прочности.
Условие прочности позволяет решить три типа задач:
 проверочный расчет;
 проектный расчет;
 определение несущей способности.
2.5.1. Проверочный расчет
Известно: расчетная схема, величина нагрузки, размеры стержней
(стержня), допускаемое напряжение.
Требуется проверить прочность стержней.
Порядок расчета

Определяют усилия N в стержнях в соответствии с расчетной
схемой.

Определяют площадь А поперечных сечений стержней, пользуясь
соответствующими формулами или по таблицам сортамента для проката.

Определяют напряжения в стержнях, пользуясь формулой:
N
 .
A

Делают вывод о прочности стержней, сравнивая рабочее и допускаемое напряжения,
если   [], прочность стержня обеспечивается;
если   [], прочность не обеспечивается.
Примечание: допускается перегрузка на 5 %.
2.5.2. Проектный расчет (подбор сечения)
Известно: расчетная схема, величина нагрузок, допускаемое напряжение.
Требуется определить поперечные размеры стержней.
10
Порядок расчета

Определяют усилия в стержнях.

Определяют площади поперечных сечений стержней, используя
формулу:
N
А
.
[ ]

Определяют требуемые размеры поперечных сечений стержней.
Для сечений, имеющих форму круга, кольца, прямоугольника и т. д.
пользуясь известными формулами, определяют соответствующие размер
сечения например, для круга:
d 2
,
А
4
Откуда:
4A
.

Для прокатных профилей указывают номер профиля, предварительно
определив его по таблице сортамента в соответствии со значением площади, полученной расчетом.
d
2.5.3. Определение несущей способности
Известно: расчетная схема, размеры стержней, допускаемые напряжения.
Требуется определить величину нагрузок.
Порядок расчета


Определяют площади поперечных сечений стержней.
Определяют несущую способность стержней, пользуясь формулой:
N   A .

Составляют уравнение равновесия в соответствии с расчетной
схемой, из которого и определяют величину нагрузки.
3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ПРИМЕР
РАСЧЕТА СТУПЕНЧАТОГО БРУСА
Для заданной расчетной схемы ступенчатого бруса построить эпюры
продольных сил, нормальных напряжений и определить перемещение заданного сечения.
11
Таблица исходных данных
№
р. сх.
а
b
м
0,4
0,2
0,6
0,8
0,4
0,5
0,7
0,3
0,8
0,3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
м
0,6
0,4
0,2
0,6
0,8
0,3
0,5
0,7
0,4
0,5
F1
м
0,3
0,6
0,8
0,4
0,5
0,7
0,2
0,1
0,6
0,2
F2
кН
10
30
50
70
20
40
30
60
80,
20
кН
60
10
20
30
50
70
80
40
20
60
F3
A1
A2
кН
30
60
40
10
80
20
20
70
40
30
см2
см2
6
10
5
8
4
2
5
8
6
5
4
5
4
5
2
4
3
6
4
2
Таблица 1
1
2
A2
A1
F2
F3
a
A1
F3
F1
b
A1
F1
F2
c
2a
b
a
c
4
3
A2
F2
F3 F2
A1
A2
F1
F3
F1
A1
a
5
b
a
c
A 1 F2
6
A1
F1
b
1,5A 2
a
A2
c
A1
F1
F2
A2
a
b
c
a
12
b
c
Продолжение табл. 1
A1
F3
a
9
F1
b
A2
F1
F1
c
b
12
F3
A1
F2
a
F2
A1
F2
a
a
b
c
A2
F3
c
A2
c
F1
b
10
F1
A1
F2
a
F3
11
F3
c
A 2 A1 F2
a
A2
F2
A2
b
A1
c
F2
b
A2
8
a
7
F1
14
A2
A1
A1
13
F1
a
b
b
F2
F2
a a
F1
a
A2
c
13
Продолжение табл. 1
F1
F2
A1
F1
F2
A1
a c
a b a
A2
A2
F1
b
A1
16
a
c
15
A2
c
18
F2
b
a
17
b
1
A1
a
F2
c
A2
F1
F1
A2
F2
a
A1
20
A1
a
F2
c b
A2
c b
19
F1
22
F3
F2
F1
F2
a
A1
F3 A 1
A2
b
A2
c
21
a
a
b
b
F1
F3
A1
c
F2
A1
A2
F3
F2
F1
b
A2
24
F1
a
23
a
14
c
b
c
Окончание табл. 1
26
A2
b
A1
F1
a
c
b
A2
28
F2 F1
b
b
A2
A1
F2
c
F1
a
F1
F2
A2
a
A1
F3
A1
F3
A2
F3
29
F2
a
A1
27
A2
c b b
F2
30
a
A1
c c
25
F2 A 1
A2
F1
F2
F1
c
a
a
b
a
b
c
3.1. Пример
Для заданной расчетной схемы (рис. 2.9) ступенчатого стального бруса
требуется:
1. Построить эпюры «N», «»;
2. Проверить прочность бруса;
3. Определить перемещение сечения  - :
4. Построить эпюру перемещений «».
Принять [] = 160 МПа; E = 2  105 МПа; F1 = 20 кН; F2 = 70 кН.
Решение
Разбиваем брус на участки, имеем 3 участка.
Определяем величину продольной силы в пределах каждого участка:
N   Fzост
N1 = F1 = 20 кН, N2 = F1 = 20 кН, N3 = F1 –F2 = 20 – 70 = -50 кН.
1.
2.
15
A2 II
III
1 A1
I
F2
F1
0,4 м
0,8 м
1 0,6 м
Эп N (кН)
20
+
-
50
Эп "s " (МПа)
100
50
+
-
125
Эп " d " (мм)
0,3
0,5
Рис. 2.9
3. Строим эпюру продольных сил, отложив положительные значения вверх от оси эпюры, отрицательные вниз.
4. Проверяем правильность построения эпюры N:

в пределах каждого участка эпюра N изображается линиями, параллельными оси эпюры;

в сечении бруса, где действует внешняя сила F1, имеется скачок,
равный 20 кН, что соответствует величине силы (скачок снизу вверх, т. к.
сила растягивающая;

в сечении, где действует сила F2, скачок в 70 кН сверху вниз, т.
к. сила F2 сжимает брус.
Эпюра N построена правильно.
5. Определяем величину нормальных напряжений в поперечных
сечениях каждого участка:
16
N
A

1 
20  103
2  10
2 
3 
2
 100
20  103
Н
мм 2
(МПа ) ,
 50 (МПа ) ,
4  102
 50  103
 125 (МПа ) .
4  102
6. Строим эпюру нормальных напряжений, аналогично построению эпюры «N».
7. Вывод о прочности бруса:
max = 125 МПа  [] = 160 МПа.
Прочность бруса обеспечена.
8. Определим абсолютные деформации ∆l участков бруса, расположенных между жесткой заделкой (неподвижным сечением) и сечением 1-1:

   ,
E
где  – нормальное напряжение, действующее в поперечных сечениях рассматриваемого участка (берем из эпюры );
 – длина участка бруса;
Е – модуль упругости первого рода.
0,4  103
l 2  50 
 2  101  0,2 мм.
5
2  10
 3  125 
0,8  103
 5  101  0,5 мм.
2  10
Определим перемещение сечения 1–1:
1-1 = ∆2 + ∆3 = 0,2 – 0,5 = -0,3 мм,
что соответствует сжатию участка бруса расположенного между сечением 1–1 и заделкой.
Сечение 1–1 переместилось на 0,3 мм влево.
10. Построение эпюры перемещений:
 определим абсолютную деформацию первого участка:
5
9.
 1  100 
0,6  103
 3  101  0,3 мм;
2  10
 определим перемещение граничных сечений:
А = 0;
5
17
В = ∆3 = -0,5 мм;
С = I-I = ∆3 + ∆2 = 0,2 – 0,5 = -0,3 мм;
D = ∆3 + ∆2 + ∆1 = -0,3 + 0,3 = 0;
 построение эпюры «»: проводим ось эпюры и в указанных сечениях
откладываем полученные значения перемещений – положительные вверх отрицательные вниз; концы полученных отрезков соединяем отрезками прямой. В
результате получим прямую ломаную линию.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2
Тема: расчет на прочность и жесткость статически определимых
стержневых систем при растяжении и сжатии.
Цель занятия: освоить методику расчета на прочность и жесткость элементов статически определимых стержневых систем при растяжении и сжатии.
Время, отведенное на проведение занятия и выполнения индивидуального задания: 4 часа, в том числе 2 часа – аудиторных занятий и
2 часа – самостоятельной работы студентов.
4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ПРИМЕР РАСЧЕТА
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ КОНСТРУКЦИИ
(сходящаяся система сил)
Для заданной стержневой системы:
 определить усилия в стержнях;
 проверить прочность стержней;
 подобрать экономичные сечения.
Дополнительные данные взять из табл. 2.
Таблица 2
№
F, кН


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
110
92
100
180
160
110
140
190
240
86
30
60
45
15
50
45
15
75
30
25
45
15
20
40
30
30
60
15
60
50
Сечение стержня
Стержень 1 (АВ)
Стержень 2 (ВС)
d = 2 см
 32204
[№5
d = 1,6 см
[№8
 53202
d = 1,5 см
 32204
I № 10
20204
a = 2,5 см
30304
[№8
 40253
[ № 10
 45284
 № 12
30303
a = 1,7 см
25254
18
МПа
240
270
265
250
234
245
230
254
220
234
k
1,25
1,4
1,35
1,28
1,2
1,28
1,32
1,38
1,26
1,42
Таблица 3
19
Продолжение табл. 3
20
Окончание табл. 3
Примечание: угол 75 заменить на угол . Форму поперечных сечений
стержней взять в соответствии с вариантами указанными табл. 2.
21
4.1. Пример
B
C
1
y
2
a b
N1
30
A
F
45
N2
x
A
F
а
б
Рис. 2.10
Для заданной стержневой системы (рис. 2.10) требуется:
1. Определить усилия в стержнях;
2. Проверить прочность стержней;
3. Подобрать экономичные сечения.
Стержень 1 системы выполнен из проката с поперечным сечением ∟
(равнополочный уголок) 45455 (мм). Первые две цифры соответствуют
ширине полок b = 45 мм, третья цифра – толщина полки t = 5 мм (cм.
табл. ГОСТ 8509-72 сортамента, прил. 2). Стержень 2 выполнен из 2-х равнополочных уголков 25 253 (мм).
Величина приложенной нагрузки F = 100 кН; предел текучести материала стержней T = 224 МПа; коэффициент запаса прочности k = 1,4;
 = 30;  = 45.
Решение
1. Разрежем стержни 1 и 2 поперечными сечениями и отбросим части стержней вместе с опорными шарнирами В и С (рис. 2.10 б).
2. Заменим действие отброшенных частей на оставшиеся части
стержней усилиями N1 и N2. В результате имеем плоскую сходящуюся систему сил. Направления усилий укажем в соответствии с деформацией:
если стержень растянут – усилие следует направить от сечения, а если
сжат – к сечению.
В нашем случае оба стержня растянуты, поэтому усилия N1 и N2
направлены от сечений стержней, т. е. в сторону внешней нормали.
3. Выбираем систему координат. Предпочтение следует отдавать
обычной правой системе координат (ось х – горизонтальна, ось у – верти-
22
кальна). В случае расположение стержней под углом 90 друг к другу рекомендуется оси х и у направлять вдоль стержней. Начало координат следует совместить с точкой пересечения линий действия сил. В нашем случае с точкой А.
4. Определяем углы между направлениями усилий и направлением
осей х и у.
5. Составим уравнения равновесия для полученной системы сил:
х = 0. –N1 sin 30 + N2 sin 45 = 0,
(1)
y = 0. +N1 cos 30 + N2 cos 45 - F = 0.
(2)
6. Решаем полученные уравнения равновесия и находим N1 и N2. В
данном случае для решения уравнений, используем метод алгебраического сложении, из первого уравнения вычтем второе. В результате имеем:
–N1  (sin 30 + cos 30) + F = 0.
Откуда:
F
100
N1 

 73,2 кН.
sin 30  cos 30 0,5  0,866
Из уравнения (1).
N  sin 30 73,2  0,5
N2  1

 52,2 кН.
cos 45
0,7
7. Определяем площади поперечных сечений стержней. Используем таблицу ГОСТ 8509-72 сортамента, прил. 2.
А1 = 4,29 см2. А2 = 2А∟ = 2  1,43 = 2,86 см2, т. к. стержень 2 состоит из двух уголков.
8. Определяем напряжения в поперечных сечениях стержней.
Используем формулу:
N
 ,
A
1 
73,2  10 3
4,29  10 2
2 
 170,6 Н/мм2 (МПа),
52,2  103
 182,5 МПа.
2,86  102
9. Определяем величину допускаемого напряжения:

224
[ ]  T 
 160 МПа.
k
1,4
10. Вывод о прочности стержней
так как 1 = 170,6 МПа  [] = 160 МПа,
2 = 182,5 МПа  [] = 160 МПа:
23
и перегрузка обоих стержней больше 5%, то прочность стержней недостаточна.
4.2. Подбор сечений стержней

Определяем требуемые площади поперечных сечений стержней.
Используем условие:
N
A
,
[ ]
A1 
73,2  103
 457,5 мм 2  4,58 см2,
160
52,2  103
 326,25 мм 2  3,26 см2.
160
Так как стержень 2 выполнен из двух уголков, то определяем площадь одного уголка.
A
3,26
А∟  2 
 1,63 см2.
2
2
По табл. сортамента прокатных профилей принимаем для стержня 1:
∟50505, А = 4,8 см2,
для стержня 2:
28283, А = 1,62 см2.
A2 
5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ПРИМЕР РАСЧЕТА
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ КОНСТРУКЦИИ
(произвольная система сил)
Для заданной стержневой системы:
 определить усилия в стержнях;
 проверить прочность стержней;
 подобрать экономичные сечения.
Принять модуль Юнга для материала стержня Е = 2 ∙ 105 МПа.
Дополнительные данные взять из табл. 5.
24
Таблица 4
1
F
A
B
6
F
A
D
D
a
B
a
C
C
a
2a
2a
2
7
a
q
C
q
A
D
a
A
D
B
a
C
B
a
a
2a
a
3
8
C
A
F
B
a
A
B
A
F
a
D
D
2a
4
a
F
A
a
9
B
a
q
A
a
D
a
a
C
C
2a
5
a
q
10
A
D
a
2a
F
A
B
B
C
D
B
a
D
a
C
a
2a
25
2a
Продолжение табл. 4
11
16
B
q
C
a
B
a
F
D
2a
A
a
12
B
D
a
A
a
C
17
F
A
a
C
D
F
a
A
C
B
D
2a
a
a
13
18
q
B
F
A
a
A
D
a
D
a
2a
a
a
a
19
F
A
a
15
C
a
a
2a
20
C
q
D
C
a
a
A
F
B
a
B
D
B
C
C
14
D
a
q
A
B
B
a
C
A
a
D
2a
a
2a
26
a
26
q
21
Окончание табл. 4
q
A
D
D
a
a
C
C
a
2a
a
q
22
A
B
B
a
a
27
A
D
B
a
a
B
a
C
a
C
q
A
D
a
2a
a
28
23
q
C
F
a
B
a
A
a
2a
24
2a
29
F
A
B
a
B
A
D
D
a
C
C
F
D
B
A
a
D
C
2a
a
a
25
30 F
C
B
F
a
C
D
B
a
a
27
A
a
D
A
2a
2a
2a
4.3 Пример
F
2,66 м
F
1,34 м
2,66 м
B
1,34 м
А
B
А
D
30
HA
30
N
VA
С
б
a
F
l
B
D
B2
30
30
А
D1
B1
С
в
Рис. 2.11
Для заданной стержневой системы (рис. 2.11) требуется:
1. Определить усилие в стержне ВС;
2. Подобрать сечение стержня заданной формы;
3. Определить перемещение точки D;
4. Пределить величину допускаемой нагрузки.
Величина приложенной нагрузки F = 400 кН; допускаемое напряжение для материала стержня [] = 10 МПа, диаметр поперечного сечения
стержня d = 20 см.
Таблица 5
№
1
1
2
3
4
F,
кН
2
140
120
130
180
q,
кН/м
3
50
70
40
80
а,
м
4
2
4
3
2
l,
м
5
1,4
1,2
1,3
1,6
28
,
градусы
6
30
40
50
60
Сечение стержня
форма
размеры
7
8
d = 1,5 см

45284
а = 2 см
32323
Продолжение табл. 5
1
5
6
7
8
9
10
2
150
170
160
190
200
110
3
60
30
90
100
85
45
4
4
3
2
4
3
2
5
1,45
1,35
1,25
1,5
1,55
1,6
6
15
25
75
55
65
35
7
[
8
№8

][
40253
№5
I
50504
№ 12
d = 1,8 см
Решение
1. Определяем усилие в стержне ВС из условия равновесия жесткой
конструкции АВ, для чего:
 отбросим шарнирно неподвижную опору А и заменим ее реакциями VA и НА;
 разрежем стержень ВС поперечным сечением, отбросим его
часть с опорным шарниром С и заменим ее действие на оставшуюся
часть усилием N, направив его вдоль стержня к сечению, так как стержень сжат, что очевидно из анализа расчетной схемы конструкции;
 составим уравнение равновесия для полученной плоской произвольной системы сил в виде  mА = 0. Так как величину реакций VA и НА
по условию задачи определять не нужно, поэтому из трех уравнений равновесий, которые можно составить для полученной системы сил мы взяли
одно:
mA = 0. –F  1,34 + N  sin 30  4 = 0
Откуда:
F  1,34
400  1,34
N

 268 кН.
4  sin 30
4  0,5
2. Определяем площадь поперечного сечения стержня:
  d 2 3,14  202

 314 см2.
4
4
Определяем напряжения в поперечном сечении стержня:
A
3.
N 268  103

 8,5 МПа.
A 314  102
4. Вывод о прочности:
 = 8,5 мПа  [] = 10 МПа.
Прочность стержня ВС обеспечена.
5. Определяем перемещение точки D, для чего изобразим систему
в деформированном состоянии.

29
В силу деформации стержня ВС, жесткая конструкция АВ повернется на некоторый угол вокруг шарнирно-неподвижной опоры (опорного
шарнира) А, заняв положение АВ1. Так как упругая деформация стержня
мала, то дуговую траекторию движения точки В заменим прямолинейной
траекторией ВВ1 (рис. 2.11 в) и будем считать ее перпендикулярной первоначальному положению жесткой конструкции, то есть прямой АВ, т. к.
ВВ1  АВ.
Иными словами перемещения точек жесткой конструкции всегда
перпендикулярны ее исходному положению.
Аналогично рассуждение и о перемещении точки Д.
Перемещение точки В определим, связав его с деформацией 
стержня ВС.
Отрезок ВВ2, соответствующий деформации  стержня, получим
опустив перпендикуляр из точки В1, на направление стержня ВС (первоначальное направление стержня). Таким образом, ВВ2 = l.
Далее из прямоугольного треугольника ВВ1В2:
BB 2

BB1 

.
sin 30 0,5
Абсолютное укорочение стержня ВС определим по формуле Гука:
N
,
 
E A
Или, так как известна величина нормального напряжения в поперечном сечении стержня:

   ,
E
длину  стержня ВС определим из расчетной схемы:
AB
4


 4,6 м.

0
,
866
cos 30
  8,5
4,6  103
 3,9 мм,
1  104
3 ,9
BB 1 
 7,8 мм.
и следовательно
0,5
Для определения перемещения точки D рассмотрим подобие треугольников АВВ1 и АDD1 из которого следует, что:
AB ВВ1
,

АD DD1
откуда:
Тогда
30
АD  ВВ1 1,34  7,8

 2,6 мм.
АВ
4
6. Определяем величину допускаемой нагрузки, для чего:
 определяем несущую способность стержня ВС:
[N] = []  A = 10  314  102 = 314  103 Н = 314 кН;
 определяем величину допускаемой нагрузки, используя уравнение статики, составленное выше (п. 1):
N  sin 30  4 314  0,5  4
F

 468,6 кН.
1,34
1,34
DD1 
31
5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое брус? стержень?
2. Что такое продольная ось бруса?
3. Влияет ли форма поперечного сечения бруса на его прочность и
жесткость при растяжении, сжатии?
4. Что является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения стержня?
5. В каких случаях имеет место деформация осевое растяжение (сжатие)?
6. Какой внутренний силовой фактор действует в поперечных сечениях стержня?
7. Что такое эпюра продольных сил?
8. Что является границей участка в стержне? Приведите пример расчетной схемы стержня и разбейте его на участки.
9. Какие пункты метода сечений необходимо использовать, прежде
чем определить величину продольной силы?
10. Сформулируйте правило для определения величины продольной
силы и правило знаков.
11. Какие примечания необходимо учесть, чтобы воспользоваться
правилом знаков?
12. Приведите пример для определения величины продольной силы.
13. В какой последовательности строится эпюра продольных сил?
14. Каковы правила контроля эпюры «Nz»?
15. Как выполняется штриховка эпюры «Nz»? Поясните ответ.
16. Объясните на примере построение эпюры продольных сил без
выполнения предварительных расчетов.
17. Зависит ли величина продольной силы от размеров стержня и
формы его поперечного сечения?
18. Какие напряжения действуют в поперечных сечениях центрально растянутого (сжатого) бруса?
19. Зависит ли величина нормального напряжения от длины стержня в случае нагружения его сосредоточенными силами? От формы
сечения? От размеров сечения?
20. Физический смысл продольной силы.
21. В каких единицах измеряется величина напряжения в системе
СИ?
22. Условие прочности при центральном растяжении (сжатии).
23. Как вычисляется величина допускаемого напряжения? Что принимается за опасное напряжение для хрупких и пластичных материалов?
32
24. Что такое коэффициент запаса прочности? От чего зависит его
величина.
25. Три типа расчетов на прочность при растяжении (сжатии) и порядок их решения.
26. В каких случаях прочность стержня считается достаточной?
27. Как определяется площадь прокатных профилей: швеллера, двутавра и др.?
28. Что такое перемещение поперечного сечения стержня? Как
определяется его величина?
29. Формула Гука для определения абсолютной деформации.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дарков А. Е., Шпиро Г. С. Д. 20 Сопротивление материалов. Учебник для технических вузов – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк. 1989 – 624 с: ил.
2. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986 – 512 с.
3. Костенко Н. А. Сопротивление материалов – М.: Высш. шк. 2000 – 430c: ил.
33
ПРИЛОЖЕНИЕ
Приложение 1
N
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
угол
в град.
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
sin
cos
0,2588
0,3420
0,4226
0,5000
0,5736
0,6428
0,7071
0,7660
0,8192
0,8660
0,9063
0,9397
0,9659
0,9659
0,397
0,9063
0,8660
0,8192
0,7660
0,7071
0,6428
0,5736
0,5000
0,4226
0,3420
0,2588
Приложение 2
Сортамент прокатной стали
Прокатная угловая неравнополочная сталь
(по ГОСТ 8510-86)
y1 x o y
d r
b
и
x
R
yo
d
yo
b
В
25
32
4/2,5
40
4,5/2,8
45
5/3,2
50
5,6/3,6
56
6,3/4,0
63
x
r
a и
№
профиля
2,5/1,6
3,2/2
x1
34
Размеры, мм
b
d
R
16
3
3,5
20
3
3,5
4
25
3
4
4
28
3
5
4
32
3
5,5
4
3,5
36
4
6,0
5
4
5
40
6
7,0
8
r
1,2
1,2
1,3
1,7
1,8
2,0
2,3
Площадь
профиля, см2
1,16
1,49
1,94
1,89
2,47
2,14
2,80
2,42
3,17
3,16
3,58
4,41
4,04
4,98
5,90
7,68
Продолжение прил. 2
Прокатная угловая равнополочная сталь
(по ГОСТ 8509-86)
d
r
xo
R
x
r
d
zo
b
yo
xo
b
yo
x
№
профиля
2
b
20
2,5
25
2,8
3
28
30
3,2
32
3,5
35
4
40
4,5
45
5
50
5,6
56
x1
35
Размеры, мм
d
R
3
3,5
4
3
3,5
4
5
3
4
3
4,0
4
5
3
4,5
4
3
4,5
4
3
5,0
4
5
6
3
5,0
4
5
6
3
5,5
4
5
6
7
8
4
6
5
r
1,2
1,2
1,3
1,3
1
1,5
1,5
1,7
1,7
1,8
2
Площадь
профиля, см2
1,13
1,46
1,43
1,86
2,27
1,62
1,74
2,27
2,78
1,86
2,43
2,10
2,75
2,35
3,08
3,79
4,48
2,65
3,48
4,29
5,08
2,96
3,89
4,80
5,69
6,56
7,41
4,38
5,41
Окончание прил. 2
Балки двутавровые (ГОСТ 8239-72)
y
r
> 12 %
d
h
x
x
b-d
4
R
y
b
t
d
x
10
12
14
16
18
18а
20
20а
22
№
профиля
x
R >10%
r
y
b
Масса
1 пог.
м, кг
9,46
11,5
13,7
15,9
18,4
19,9
21,0
22,7
24,0
Размеры, мм
h
b
d
t
R
r
100
120
140
160
180
180
200
200
220
55
64
73
81
90
100
100
110
110
4,5
4,8
4,9
5,0
5,1
5,1
5,2
5,2
5,4
7,2
7,3
7,5
7,8
8,1
8,3
8,4
8,6
8,7
7
7,5
8
8,5
9
9
9,5
9,5
10
2,5
3
3
3,5
3,5
3,5
4
4
4
Площадь
профиля,
см2
12,0
14,7
17,4
20,2
23,4
25,4
26,8
28,9
30,6
Швеллеры (ГОСТ 28240-72)
b-d
2
zo y
h
№
профиля
5
6,5
8
10
12
14
14а
16
16а
18
18а
20
Масса
1 пог.
м, кг
4,84
5,90
7,05
8,59
10,4
12,3
13,3
14,2
15,3
10,3
17,4
18,4
Размеры, мм
h
b
d
t
R
r
50
65
80
100
120
140
140
160
160
180
180
200
32
36
40
46
52
58
62
64
68
70
74
76
4,4
4,4
4,5
4,5
4,8
4,9
4,9
5,0
5,0
5,1
5,1
5,2
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,1
8,7
8,4
9,0
8,7
9,3
9,0
6,0
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,0
8,5
8,5
9,0
9,0
9,5
2,5
2,5
2,5
3
3
3
3
3,5
3,5
3,5
3,5
4
36
Площадь
профиля,
см2
6,16
7,51
8,98
10,9
13,3
15,6
17,0
18,1
19,5
20,7
22,2
23,4
СОДЕРЖАНИЕ
РАЗДЕЛ «ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ИЛИ СЖАТИЕ...........................
1. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ........................................................................
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.......................................................
2.1. Понятие о брусе.............................................................................
2.2. Продольная сила и метод ее определения..................................
2.3. Напряжения в поперечных сечениях...........................................
2.4. Определение деформаций и перемещений при осевом растяжении (сжатии)........................................................................................
2.5. Расчет на прочность....................................................................
3
3
3
3
4
8
9
10
3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ПРИМЕР РАСЧЕТА СТУПЕНЧАТОГО
БРУСА..................................................................................................................................
3.1. Пример..........................................................................................
11
15
4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ПРИМЕР РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМОЙ
СТЕРЖНЕВОЙ
ЦИИ..........................................................
КОНСТРУК-
4.1. Пример..........................................................................................
4.2. Подбор сечений стержней...........................................................
4.3. Пример..........................................................................................
5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.......................................................................................
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ................................................................
ПРИЛОЖЕНИЯ
37
18
22
24
28
32
33
34
Составители: Корзун Светлана Григорьевна
Неумоина Наталья Георгиевна
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Сопротивление материалов»
Под редакцией авторов
Темплан 2005 г., поз. № 60.
Подписано в печать 3. 11. 2005 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага потребительская. Гарнитура ”Times“.
Усл. печ. л. 2,37. Усл. авт. л. 2,125.
Тираж 100 экз. Заказ
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
38